Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях
Нехай M — гладка зв’язна компактна поверхня i P — числова пряма R або коло S1. Для пiдмножини X⊂M позначимо через D(M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на X. У данiй статтi розглядається спецiальний клас F гладких вiдображень f:M→P з iзольованими критичними точками, який мiстить усi вiдображення...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164520 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях / С.И. Максименко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1165-1204. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164520 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1645202025-02-10T00:50:54Z Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях Homotopic types of right stabilizers and orbits of smooth functions on surfaces Максименко, С.И. Статті Нехай M — гладка зв’язна компактна поверхня i P — числова пряма R або коло S1. Для пiдмножини X⊂M позначимо через D(M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на X. У данiй статтi розглядається спецiальний клас F гладких вiдображень f:M→P з iзольованими критичними точками, який мiстить усi вiдображення Морса. Для кожного f∈F визначаються деякi пiдмноговиди X⊂M, природним чином „адаптованi” з f, та вивчається права дiя групи D(M,X) на C∞(M,P). Основнi результати описують гомотопiчнi типи компонент зв’язностi стабiлiзаторiв S(f) та орбiт O(f) вiдображень f∈F i узагальнюють результати попереднiх робiт автора. Let M be a connected smooth compact surface and let P be either the number line R or a circle S 1. For a subset X ⊂ M, by D(M, X) we denote a group of diffeomorphisms of M fixed on X. We consider a special class F of smooth mappings f:M → P with isolated singularities containing all Morse mappings. For each mapping f ∈ F, we consider certain submanifolds X ⊂ M “adapted” to f in a natural way and study the right action of the group D(M, X) on C ∞( M, P). The main results of the paper describe the homotopic types of the connected components of stabilizers S(f) and the orbits O(f) of all mappings f ∈ F and generalize the results of the author in this field obtained earlier. Частично поддержана грантом Министерства образования и науки, молодежи и спорта Украины No M/150-2009 и грантом Государственного фонда фундаментальных исследований Украины № Φ40.1/009. 2012 Article Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях / С.И. Максименко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1165-1204. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164520 515.14 ru Український математичний журнал application/pdf Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Максименко, С.И. Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях Український математичний журнал |
| description |
Нехай M — гладка зв’язна компактна поверхня i P — числова пряма R або коло S1. Для пiдмножини X⊂M позначимо через D(M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на X. У данiй статтi розглядається спецiальний клас F гладких вiдображень f:M→P з iзольованими критичними точками, який мiстить усi вiдображення Морса. Для кожного f∈F визначаються деякi пiдмноговиди X⊂M, природним чином „адаптованi” з f, та вивчається права дiя групи D(M,X) на C∞(M,P). Основнi результати описують гомотопiчнi типи компонент зв’язностi стабiлiзаторiв S(f) та орбiт O(f) вiдображень f∈F i узагальнюють результати попереднiх робiт автора. |
| format |
Article |
| author |
Максименко, С.И. |
| author_facet |
Максименко, С.И. |
| author_sort |
Максименко, С.И. |
| title |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| title_short |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| title_full |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| title_fullStr |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| title_full_unstemmed |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| title_sort |
гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164520 |
| citation_txt |
Гомотопические типы правых стабилизаторов и орбит гладких функций на поверхностях / С.И. Максименко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1165-1204. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT maksimenkosi gomotopičeskietipypravyhstabilizatoroviorbitgladkihfunkciinapoverhnostâh AT maksimenkosi homotopictypesofrightstabilizersandorbitsofsmoothfunctionsonsurfaces |
| first_indexed |
2025-12-02T07:46:07Z |
| last_indexed |
2025-12-02T07:46:07Z |
| _version_ |
1850381767544930304 |
| fulltext |
УДК 515.14
С. И. Максименко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ
И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ*
Let M be a smooth connected compact surface, P be either the real line R or a circle S1. For a subset X ⊂ M, let
D(M,X) denote the group of diffeomorphisms of M fixed on X. In this note, we consider a special class F of smooth
maps f : M → P with isolated singularities that contains all Morse maps. For each map f ∈ F , we consider certain
submanifolds X ⊂ M that are “adopted” with f in a natural sense, and study the right action of the group D(M,X) on
C∞(M,P ). The main result describes the homotopy types of the connected components of the stabilizers S(f) and orbits
O(f) for all maps f ∈ F . It extends previous results of the author on this topic.
Нехай M — гладка зв’язна компактна поверхня i P — числова пряма R або коло S1. Для пiдмножини X ⊂ M
позначимо через D(M,X) групу дифеоморфiзмiв M, нерухомих на X . У данiй статтi розглядається спецiальний
клас F гладких вiдображень f : M → P з iзольованими критичними точками, який мiстить усi вiдображення Морса.
Для кожного f ∈ F визначаються деякi пiдмноговиди X ⊂ M, природним чином „адаптованi” з f, та вивчається
права дiя групи D(M,X) на C∞(M,P ). Основнi результати описують гомотопiчнi типи компонент зв’язностi
стабiлiзаторiв S(f) та орбiт O(f) вiдображень f ∈ F i узагальнюють результати попереднiх робiт автора.
1. Введение. Пусть M — гладкая связная компактная поверхность и P — числовая прямая R
либо окружность S1. В данной работе будем рассматривать подпространство F ⊂ C∞(M,P ),
состоящее из отображений f : M → P, удовлетворяющих следующим двум аксиомам.
Аксиома (B1). Множество Σf критических точек f конечно и содержится во внутренно-
сти IntM поверхности M, а f принимает постоянные значения на компонентах границы M.
Аксиома (L1). Для каждой критической точки z отображения f существует локаль-
ное представление f в виде fz : R2 → R такое, что z = (0, 0) и fz является однородным
многочленом без кратных множителей.
В частности, согласно лемме Морса, в окрестности невырожденной критической точки
функция f : M → P эквивалентна однородному многочлену ±x2 ± y2, который, очевидно, не
имеет кратных множителей. Поэтому каждая функция Морса удовлетворяет аксиоме (L1).
Напомним, что однородный многочлен g : R2 → R может быть представлен в виде произ-
ведения g = Lp11 . . . Lpαα Q
q1
1 . . . Q
qβ
β , где Li(x, y) = aix + biy, а Qj(x, y) = cjx
2 + 2djxy + ejy
2
— неприводимая над R (определенная) квадратичная форма, причем Li/Li′ 6= const для i 6= i′
и Qj/Qj′ 6= const для j 6= j′. Аксиома (L1) требует, чтобы pi = qj = 1 для всех i, j.
Отметим, что если pi ≥ 2 для некоторого i, то вся прямая {Li = 0} состоит из критических
точек f. Поэтому из аксиомы (L1) следует, что все критические точки f изолированы. Более
того, требование qj = 1 для всех j гарантирует некоторую „невырожденность”.
Определение 1.1. Пусть X ⊂ M — компактное подмногообразие, компоненты связно-
сти которого могут иметь различные размерности, Xi, i = 0, 1, 2, — объединение связных
компонент X размерности i, f : M → P — какое-нибудь гладкое отображение, удовлетворя-
ющее аксиоме (B1). Скажем, что X является f -адаптированным, если выполнены следующие
условия:
*Частично поддержана грантом Министерства образования и науки, молодежи и спорта Украины No M/150-2009
и грантом Государственного фонда фундаментальных исследований Украины № Φ40.1/009.
c© С. И. МАКСИМЕНКО, 2012
1186 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1187
(0) X0 ⊂ Σf ;
(1) X1 ∩ Σf = ∅ и f принимает постоянные значения на компонентах связности X1;
(2) ограничение f |X2 удовлетворяет аксиоме (B1).
Например, следующие множества и их компоненты связности являются f -адаптированны-
ми: ∅, ∂M, Σf , f
−1(c), где c ∈ P — регулярное значение f, и f−1(I), где I ⊂ P — замкнутый
интервал, оба конца которого являются регулярными значениями f.
Пусть X ⊂M — f -адаптированное подмногообразие и D(M,X) — группа диффеоморфиз-
мов M, неподвижных на X. Наделим D(M,X) и C∞(M,P ) топологиями C∞. Тогда D(M,X)
непрерывно действует на C∞(M,P ) справа по формуле
f · h = f ◦ h, h ∈ D(M,X), f ∈ C∞(M,P ). (1.1)
Поэтому для каждого отображения f ∈ C∞(M,P ) можно определить его стабилизатор
S(f,X) = {h ∈ D(M,X) | f ◦ h = f} и орбиту O(f,X) = {f ◦ h | h ∈ D(M,X)} отно-
сительно данного действия. Обозначим через Did(M,X) и Sid(f,X) компоненты связности
групп D(M,X) и S(f,X), содержащие тождественное отображение, а через Of (f,X) компо-
ненту связности f в O(f,X).
Мы будем опускать обозначения дляX в случае, когдаX = ∅.Например, Sid(f) = Sid(f,∅)
и т. д.
В работах [1 – 4] для случаев X = ∅ и X = Σf вычислены гомотопические типы Sid(f,X)
и Of (f,X) для широкого класса отображений f : M → P, который содержит все отображения,
удовлетворяющие аксиомам (B1) и (L1). В частности, он содержит все отображения Морса.
Цель данной работы — обобщить эти результаты на случай группы D(M,X), где X —
произвольное f -адаптированное подмногообразие.
Обозначения. Везде в работе T 2 = S1 × S1 — двумерный тор, Mö — лист Мебиуса и K —
бутылка Клейна. Для топологических пространств X и Y запись X ∼= Y означает, что X и Y
гомотопически эквивалентны.
Пусть f : M → P — отображение, c ∈ P и ω — связная компонента множества уровня
f−1(c). Будем говорить, что ω является критической, если она содержит критическую точку f.
В противном случае ω будем называть регулярной. Обозначим через ∆f сингулярное слоение
на M, элементы которого — критические точки f и связные компоненты множеств f−1(c)\Σf ,
где c ∈ P (см. [1, 3]).
Для векторного поля F на M и гладкой функции α : M → R будем обозначать через F (α)
производную Ли α вдоль F.
2. Основные результаты. В этом пункте будем предполагать, что f : M → P — гладкое
отображение, удовлетворяющее аксиомам (B1) и (L1), а X ⊂ M — f -адаптированное подмно-
гообразие. Ниже мы сформулируем основные результаты данной работы — теоремы 2.1 – 2.4.
Они являются новыми только для случая, когда X бесконечно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1188 С. И. МАКСИМЕНКО
Гомотопический тип Sid(f,X). Согласно теореме 1.9 из [1] и теореме 1.3 из [3] тож-
дественная компонента стабилизатора Sid(f) стягиваема, за исключением следующих четырех
типов функций:
(A) fA : S2 → P, имеющей только две критические точки — максимум и минимум, и обе
они невырождены;
(B) fB : D2 → P, имеющей единственную критическую точку — максимум или минимум,
и эта точка невырождена;
(C) fC : S1 × I → P без критических точек;
(D) fD : T 2 → S1 без критических точек.
Для этих функций Sid(f) гомотопически эквивалентна окружности S1.
Теорема 2.1 (ср. с [1, 3]). Sid(f,X) ∼= S1 тогда и только тогда, когда выполнены следу-
ющие условия:
(i) Sid(f) ∼= S1, т. е. f принадлежит одному из типов (A) – (D),
(ii) X ⊂ Σf .
Во всех остальных случаях группа Sid(f,X) стягиваема.
Доказательство этой теоремы приведено в п. 4.
Гомотопический тип Of(f,X). Покажем, что для описания гомотопического типа
Of (f,X) можно предполагать, что ∂M ⊂ X. Нам будет необходим следующий технический
результат.
Теорема 2.2. Отображение p : D(M,X) → O(f,X), заданное формулой p(h) = f ◦ h
для h ∈ D(M,X), является расслоением Серра.
Для X = ∅ орбита O(f) имеет „конечную коразмерность” в пространстве всех гладких
отображений. Для этого случая теорема 2.2 доказана в [5] (см. также лемму 11 из [3], где
установлена конечная коразмерность O(f)). Доказательство теоремы 2.2 приведено в п. 5.
Следствие 2.1. Пусть Y — (возможно пустое) объединение произвольных связных компо-
нент ∂M, так что X∪Y является f -адаптированным подмногообразием M. Тогда Of (f,X∪
∪ Y ) = Of (f,X).
Доказательство. Можно считать, что X ∩ Y = ∅. В противном случае заменим Y на
Y \X.
Очевидно, что Of (f,X ∪ Y ) ⊂ Of (f,X).
Наоборот, пусть g ∈ Of (f,X), т. е. существует путь ω : I → O(f,X) такой, что ω0 = f и
ω1 = g. Поскольку p — расслоение Серра, ω поднимается до пути ω̃ : I → D(M,X) такого, что
ω̃0 = idM и ωt = f ◦ ω̃t. В частности, g = ω1 = f ◦ ω̃1.
Так как ω̃1 изотопен idM относительно X, ω1 оставляет инвариантными связные компонен-
ты Y. Поэтому, используя аксиому (B1), легко построить диффеоморфизм h ∈ D(M,X) такой,
что h = ω̃1 в некоторой окрестности Y и f ◦ h = f. Следовательно, h−1 ◦ ω̃1 ∈ D(M,X ∪ Y ) и
g = f ◦ ω̃1 = f ◦ h−1ω̃1 ∈ Of (f,X ∪ Y ).
Лемма 2.1 [6 – 10]. Гомотопические типы Did(M,X) представлены в следующей таб-
лице:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1189
№ п/п (M,X) Гомотопический тип Did(M,X)
1 S2, RP2 SO(3)
2 T 2 T 2
3 (S2, ∗), (S2, ∗∗), K S1
4 (D2, ∗), D2, S1 × I, Mö S1
5 остальные случаи точка
Здесь ∗ — точка, а (S2, ∗∗) означает, что X состоит из двух точек. Мы также опускаем
обозначение для X, если X = ∅, например S2 = (S2,∅) и т. д.
В частности, если χ(M) меньше мощностиX, например когдаX бесконечно, тоDid(M,X)
стягиваема.
Замечание 2.1. В третьем и четвертом случаях гомотопические типы Did(M,X) одина-
ковы, но мы различаем эти случаи по наличию границы в M : в третьем случае M замкнута,
а в четвертом — нет.
Обозначим
S ′(f,X) := S(f,X) ∩ Did(M,X).
Таким образом, h ∈ S ′(f,X) тогда и только тогда, когда h сохраняет f и изотопен idM , хотя
эта изотопия не обязательно сохраняет f.Мы сейчас увидим, что в большинстве случаев группа
S ′(f,X) изоморфна фундаментальной группе π1Of (f,X). Отметим, что π0S ′(f,X) является
ядром гомоморфизма
i0 : π0S(f,X)→ π0D(M,X),
индуцированного вложением i : S(f,X) ⊂ D(M,X).
Теорема 2.3. Для n ≥ 2 имеют место изоморфизмы
πnOf (f,X) = πnDid(M,X). (2.1)
Таким образом, если (M,X) = (S2,∅) или (RP2,∅), то πnOf (f,X) = πnS
2 для n ≥ 3
и π2Of (f,X) = 0. В противном случае πnOf (f,X) = 0, n ≥ 2, т. е. орбита Of (f,X)
асферична.
Более того, имеет место точная последовательность
0→ π1Did(M,X)
π1Sid(f,X)
p1−−→ π1Of (f,X)
∂1−−→ π0S ′(f,X)→ 0. (2.2)
В частности, в случае 5, когда группа Did(M,X) стягиваема, получаем изоморфизм
π1Of (f,X) ≈ π0S ′(f,X). (2.3)
В случае 4 обозначим Y = X ∪ ∂M. Тогда
π1Of (f,X) = π1O(f, Y ) ≈ π0S ′(f, Y ). (2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1190 С. И. МАКСИМЕНКО
Доказательство. Докажем (2.1). Предположим, что группа Sid(f,X) стягиваема. Тогда из
точной последовательности гомотопических групп расслоения p : D(M,X) → O(f,X) полу-
чаем πnOf (f,X) = πnDid(M,X) для n ≥ 2.
Предположим теперь, что Sid(f,X) ∼= S1. Тогда из той же точной последовательности сле-
дует, что πnOf (f,X) = πnDid(M,X) для n ≥ 3, а для n = 2 имеем точную последовательность
0→ π2Did(M,X)
p2−−→ π2Of (f,X)
∂2−−→ π1S(f,X)
i1−−→ π1Did(M,X).
В доказательстве теоремы 1.9 из [1] показано, что отображение i1 является мономорфизмом.
Следовательно, π2Of (f,X) = π2Did(M,X). Остается отметить, что точные значения групп
πnDid(M,X) указаны в лемме 2.1.
Докажем (2.2). Поскольку π2Of (f,X) = 0, получим точную последовательность
0→ π1Sid(f,X)
i1−−→ π1Did(M,X)
p1−−→ π1Of (f,X)
∂1−−→ π0S(f,X)
i0−−→ π0D(M,X),
из которой и следует (2.2).
Наконец, (2.3) следует из (2.2), а (2.4) — из (2.2) и следствия 2.1.
Теорема доказана.
Фундаментальная группа π1Of(f,X). Следующая теорема показывает, что вычисление
π1Of (f,X) почти всегда сводится к случаю, когдаM является одной из поверхностейD2, S1×I
или Mö. Этот результат обобщает теорему 1.8 из [4] на случай, когда множество X бесконечно,
т. е. dimX ≥ 1.
Теорема 2.4 (ср. с теоремой 1.8 [4]). Предположим, что выполнено одно из следующих
условий:
(i) ∂M 6= ∅;
(ii) χ(M) < 0;
(iii) X бесконечно.
Тогда существует конечное множество f -адаптированных попарно дизъюнктных поверх-
ностей B1, . . . , Bn ⊂M, имеющих следующие свойства:
1) IntBi ∩X ⊂ X0;
2) Bi диффеоморфна D2, S1 × I или Mö для каждого i = 1, . . . , n;
3) пусть Yi = ∂Bi ∪ (Bi ∩X0), тогда
π1Of (f,X) ≈
n∏
i=1
π0S ′(f |Bi , Yi). (2.5)
Остальная часть работы посвящена доказательству теорем 2.1, 2.2 и 2.4.
В следующем пункте будут введены три дополнительные аксиомы (B2) – (B4) для отоб-
ражения f : M → P, которые являются следствиями аксиом (B1) и (L1). Затем в пп. 4 и 5
мы докажем теоремы 2.1 и 2.2 для более широкого класса отображений, удовлетворяющих
аксиомам (B1) – (B4). Теорема 2.4 будет доказана в п. 6.
3. Аксиомы для отображения f : M → P. Пусть f : M → P — гладкое отображение,
удовлетворяющее аксиоме (B1). Для векторного поля F на M, касательного к ∂M, обозначим
через F : M × R→M его поток, а через ϕ : C∞(M,P )→ C∞(M,M) — отображение сдвига,
заданное формулой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1191
ϕ(α)(x) = F(x, α(x))
для α ∈ C∞(M,P ) и x ∈M.
Скажем, что векторное поле F на M косоградиентно относительно f, если производная
Ли F (f) ≡ 0, причем F (z) = 0 тогда и только тогда, когда z является критической точкой f. В
частности, f постоянна вдоль орбит F.
Пусть M — неориентируемая компактная поверхность. Тогда через β : M̃ → M будем
обозначать ориентируемое двулистное накрытие M, а через ξ : M̃ → M̃ — обращающую ори-
ентацию инволюцию, которая порождает группу Z2 накрывающих трансформаций M̃.
Для C∞-отображения f : M → P положим f̃ = β ◦ f : M̃ → P и обозначим через D̃(M̃)
группу диффеоморфизмов M̃, коммутирующих с ξ, т. е. h̃ ◦ ξ = ξ ◦ h̃ для всех h̃ ∈ D̃(M̃).
Пусть также S̃(f̃) = {h̃ ∈ D̃(M̃) | f̃ ◦ h̃ = f̃} — стабилизатор f̃ относительно правого действия
группы D̃(M̃), а S̃id(f̃) — его тождественная компонента связности.
Отметим, что каждый h̃ ∈ D̃id(M̃) индуцирует единственный диффеоморфизм h : M →M
так, что соответствие h̃ 7→ h является гомеоморфизмом
ν : D̃id(M̃)→ Did(M),
который, в свою очередь, дает гомеоморфизм ν : S̃id(f̃)→ Sid(f).
Аксиома (B2). Предположим, что поверхностьM ориентируема. Тогда наM существует
косоградиентное относительно f векторное поле F, для которого справедливы следующие
утверждения:
1. Пусть Γ = {α ∈ C∞(M,R) | F (α) > −1}. Тогда ϕ(Γ) = Sid(f).
2. Если f имеет критическую точку, которая либо является вырожденным локальным
экстремумом, либо не является локальным экстремумом, то ϕ|Γ : Γ→ Sid(f) — гомеоморфизм
относительно C∞-топологий. Поскольку множество Γ, очевидно, выпукло, группа Sid(f) стя-
гиваема.
В противном случае ϕ|Γ : Γ→ Sid(f) является Z-накрывающим отображением и Sid(f) ∼=
∼= S1. В этом случае существует строго положительная функция θ ∈ Γ такая, что для любых
α, β ∈ Γ условие ϕ(α) = ϕ(β) равносильно тому, что α− β = nθ для некоторого n ∈ Z.
Если M неориентируема, то на M̃ существует косоградиентное относительно f̃ вектор-
ное поле F, для которого справедливы следующие утверждения:
1. F кососимметрично относительно ξ в том смысле, что ξ∗F = −F. Это условие экви-
валентно соотношению Fθ ◦ ξ = ξ ◦ F−θ для всех θ ∈ R.
2. Пусть Γ̃ = {α ∈ C∞(M̃,R) | F (α) > −1, α ◦ ξ = −α}. Тогда ϕ(Γ̃) = S̃id(f̃), а
ограничение отображения сдвига ϕ : Γ̃ → S̃id(f̃) является гомеоморфизмом относительно
C∞-топологий. Поэтому S̃id(f̃), а значит, и Sid(f) = ν
(
S̃id(f̃)
)
. Поскольку множество Γ̃,
очевидно, выпукло, эти группы стягиваемы.
Аксиома (B3). Отображение p : D(M) → O(f), заданное формулой p(h) = f ◦ h для
h ∈ D(M), является расслоением Серра.
Аксиома (B4). Пусть Y ⊂M — такая подповерхность, что ограничение f |Y удовлетворя-
ет аксиоме (B1). Если f удовлетворяет аксиомам (B2) и (B3), то эти же аксиомы справедливы
и для f |Y .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1192 С. И. МАКСИМЕНКО
Лемма 3.1 [3]. Аксиомы (B1) и (L1) влекут аксиомы (B2) – (B4).
Доказательство. В работе [3] использованы три аксиомы (A1) – (A3) для гладкого отоб-
ражения f : M → P такие, что (B1) совпадает с (A1), (B3) — с (A3), (B1)&(L1) ⇒ (A1) – (A3)
согласно лемме 12 из [3] и (A1) – (A3) ⇒ (B2) согласно теореме 3 из [3]. Чтобы проверить
аксиому (B4), предположим, что f : M → P удовлетворяет аксиомам (B1) и (L1), а Y ⊂ M —
такое подмногообразие, что f |Y удовлетворяет аксиоме (B1). Тогда f |Y также удовлетворяет
аксиоме (L1), а значит, и всем остальным аксиомам.
4. Доказательство теоремы 2.1. Ориентируемый случай теоремы 2.1 содержится в следу-
ющей лемме.
Лемма 4.1. Предположим, что M — ориентируемая поверхность и f : M → P удовле-
творяет аксиомам (B1) и (B2). Пусть F, F, ϕ и Γ — такие же, как и в аксиоме (B2). Положим
ΓX = {α ∈ Γ | α|X1∪X2 = 0}. Тогда
ϕ(ΓX) = Sid(f,X). (4.1)
Более того, Sid(f,X) ∼= S1 тогда и только тогда, когда Sid(f) ∼= S1 и X ⊂ Σf . В противном
случае группа Sid(f,X) стягиваема.
Доказательство. Установим (4.1). Предположим, что α ∈ ΓX , т. е. α = 0 на X1 ∪ X2.
Покажем, что тогда ϕ(α) ∈ Sid(f,X). Достаточно показать, что отображение ϕ(α) неподвижно
на X.
Действительно, если x ∈ X1 ∪ X2, то ϕ(α)(x) = F(x, α(x)) = F(x, 0) = x. Более того,
поскольку каждая точка x ∈ X0 является критической для f, то F(x, t) = x для всех t ∈ R. В
частности, ϕ(α)(x) = F(x, α(x)) = x. Следовательно, ϕ(α) ∈ S(f,X).
Так как множество Γ связно, ϕ(0) = idM ∈ S(f,X), а отображение ϕ непрерывно, то
ϕ(α) ∈ Sid(f,X).
Наоборот, предположим, что h ∈ Sid(f,X). Это означает, что существует изотопия ht : M →
→ M в Sid(f,X) между h0 = idM и h1 = h. Поскольку ϕ индуцирует накрывающее отоб-
ражение Γ на Sid(f) и начальное отображение h0 = idM накрывается нулевой функцией
α0 = 0, гомотопию ht можно поднять до гомотопии функций αt : M → R, t ∈ [0, 1], такой, что
ht(x) = F(x, αt(x)) и α0 ≡ 0. Покажем, что αt ∈ ΓX , т. е. αt = 0 на X1 ∪X2.
Для каждой точки x ∈ X1 ∪ X2 рассмотрим множество ее периодов Λx = {τ ∈ R |
F(x, τ) = x}. Тогда αt(x) ∈ Λx для всех t ∈ [0, 1]. Отметим, что Λx = {0}, если x непери-
одическая, Λx = θxZ для периодической точки периода θx и Λx = R, если x неподвижна, а
следовательно, является критической для f.
Так как для каждой регулярной точки x отображения f множество Λx дискретно и содержит
0, а α0 = 0, то αt = 0 на (X1 ∪ X2) \ Σf для всех t ∈ R. Но Σf нигде не плотно, поэтому
αt = 0 на всем X1 ∪X2. Таким образом, αt ∈ ΓX , что и доказывает (4.1).
Теперь можем описать гомотопический тип Sid(f,X). Отметим, что Γ и ΓX — выпуклые
подмножества в C∞(M,R). Поэтому они стягиваемы.
1. Пусть Sid(f,X) стягиваема, т. е. ϕ : Γ → Sid(f) — гомеоморфизм. Тогда ϕ : ΓX →
→ Sid(f,X) — также гомеоморфизм, а значит, Sid(f,X) также стягиваема.
2. Предположим, что Sid(f,X) ∼= S1, а значит, ϕ : Γ → Sid(f) — Z-накрывающее отобра-
жение. Рассмотрим два случая.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1193
a) Предположим, что X1 ∪ X2 = ∅ и потому X = X0 ⊂ Σf . Тогда ΓX = Γ, а значит,
Sid(f,X) = Sid(f) ∼= S1.
b) ПустьX1∪X2 6= ∅. Тогда ограничение отображения ϕ|ΓX : ΓX → Sid(f,X) инъективно.
Тогда из (4.1) вытекает, что это отображение является гомеоморфизмом.
Действительно, предположим, что ϕ(α) = ϕ(β) для некоторых функций α, β ∈ ΓX . Тогда
по аксиоме (B2) α = β+nθ для некоторого n ∈ Z. Однако θ > 0 наM, в то время как α = β = 0
на X1 ∪X2. Поэтому n = 0, а значит, α = β на всем M.
Лемма 4.1 доказана.
Предположим, что M неориентируема. Тогда X̃ = β−1(X) является f̃ -адаптированным
подмногообразием в M̃. Пусть S̃(f̃ , X̃) — подгруппа в S(f̃ , X̃), состоящая из диффеоморфиз-
мов, коммутирующих с ξ, а S̃id(f̃ , X̃) — ее тождественная компонента связности. Рассуждая,
как и при доказательстве леммы 4.1, можно показать, что S̃id(f̃ , X̃) стягиваема. Более того,
гомеоморфизм ν : S̃id(f̃)→ Sid(f) отображает S̃id(f̃ , X̃) на Sid(f,X). Поэтому Sid(f,X) также
стягиваема.
5. Доказательство теоремы 2.2. Теорема 2.2 является частным случаем теоремы 5.1.
Теорема 5.1. Предположим, что f : M → P удовлетворяет аксиомам (B1) – (B4). Тог-
да ограничение отображения p|D(M,X) : D(M,X) → O(f,X) также является расслоением
Серра.
Доказательство. Пусть S — конечный связный CW-комплекс и s0 ∈ S — точка. Пусть
также ψ : S × I → O(f,X) — гомотопия такая, что ψ(s0, 0) = f, а ограничение ψ|S×0 : S ×
× 0→ O(f,X) поднимается до отображения η0 : S → D(M,X), удовлетворяющего условиям:
η0(s0) = idM и ψ(s, 0) = p(η0(s)) = f ◦ η0(s). В частности, η0(s)|X = idX для всех s ∈ S.
Покажем, что η0 продолжается до отображения η : S × I → D(M,X) такого, что ψ = p ◦ η.
Так как p : D(M)→ O(f) — расслоение Серра, η0 продолжается до отображения κ : S×I →
→ D(M) такого, что ψ = p ◦ κ. Таким образом, получаем коммутативную диаграмму
8 СЕРГЕЙ МАКСИМЕНКО
�Sid( �f, �X) стягиваема. Более того, гомеоморфизм ν : �Sid( �f) → Sid(f) отображает
�Sid( �f, �X) на Sid(f, X). Поэтому Sid(f, X) также стягиваема.
5. Доказательство теоремы ??
Теорема ?? является частным случаем теоремы ??.
Теорема 5.1. Предположим, что f : M → P удовлетворяет аксиомы (B1)-(B4).
Тогда ограничение отображение p|D(M,X) : D(M, X) → O(f, X) также является
расслоением Серра.
Доказательство. Пусть S �конечный связный CW-комплекс и s0 ∈ S � точка.Пусть
также ψ : S × I → O(f, X)� гомотопия такая, что ψ(s0, 0) = f , а ограничение
ψ|S×0 : S × 0 → O(f, X) поднимается до отображения η0 : S → D(M, X) удовле-
творяющего условиям: η0(s0) = idM и ψ(s, 0) = p(η0(s)) = f ◦ η0(s). В частности,
η0(s)|X = idX для всех s ∈ S.
Покажем, что η0 продолжается до отображения η : S × I → D(M, X) такого, что
ψ = p ◦ η.
Так как p : D(M) → O(f)�расслоение Серра, то η0 продолжается до отображения
κ : S × I → D(M) такого, что ψ = p ◦ κ. Таким образом, получаем коммутативную
диаграмму:
S × 0� �
��
η0 �� D(M, X) �
�
�� D(M)
p
��
S × I
ψ
��
κ
��
η
��
O(f, X) �
�
�� O(f)
Для дальнейшего изложения заметим, что κ индуцирует непрерывное отображение
K : S × I × M → M, K(s, t, x) = κ(s, t)(x).
Лемма 5.2. Пусть (s, t) ∈ S×I и γ � слой сингулярного слоения ∆f , содержащийся
в X. Тогда κ(s, t)(γ) = γ. Если dim γ = 1, то κ(s, t) также сохраняет ориентацию
γ.
Доказательство. По определению ψ(s, t) = f ◦ κ(s, t). С другой стороны, так как
ψ(s, t) ∈ O(f, X), то найдется диффеоморфизм λ ∈ D(M, X), зависящий от (s, t) и
такой, что ψ(s, t) = f ◦ λ. Поэтому f ◦ κ(s, t) ◦ λ−1 = f , а значит
κ(s, t) ◦ λ−1(Σf ) = Σf , κ(s, t) ◦ λ−1(f−1(c)) = f−1(c)
для всех c ∈ P . Более того, так как λ неподвижен на X, то
κ(s, t)
�
Σf ∩ X
�
⊂ Σf , κ(s, t)
�
f−1(c) ∩ X
�
⊂ f−1(c),
для всех (s, t) ∈ S × I. Следовательно,
K
�
S × I × [Σf ∩ X
��
⊂ Σf , K
�
S × I × [f−1(c) ∩ X]
�
⊂ f−1(c).
Отметим, что для γ имеется ровно три возможности:
(i) γ является критической точкой f ,
(ii) γ является регулярной компонентой некоторого множества уровня f−1(c), c ∈
P ,
(iii) найдётся критическая компонента ω некоторого множества уровня f−1(c) та-
кая, что γ является связной компонентой ω \ Σf .
.
Для дальнейшего изложения заметим, что κ индуцирует непрерывное отображение
K : S × I ×M →M, K(s, t, x) = κ(s, t)(x).
Лемма 5.1. Пусть (s, t) ∈ S × I и γ — слой сингулярного слоения ∆f , содержащийся в
X. Тогда κ(s, t)(γ) = γ. Если dim γ = 1, то κ(s, t) также сохраняет ориентацию γ.
Доказательство. По определению ψ(s, t) = f ◦κ(s, t). С другой стороны, так как ψ(s, t) ∈
∈ O(f,X), найдется диффеоморфизм λ ∈ D(M,X), вообще говоря, не непрерывно зависящий
от (s, t) и такой, что ψ(s, t) = f ◦ λ. Поэтому f ◦ κ(s, t) ◦ λ−1 = f, а значит,
κ(s, t) ◦ λ−1(Σf ) = Σf , κ(s, t) ◦ λ−1(f−1(c)) = f−1(c)
для всех c ∈ P. Более того, так как λ неподвижен на X, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1194 С. И. МАКСИМЕНКО
κ(s, t)
(
Σf ∩X
)
⊂ Σf , κ(s, t)
(
f−1(c) ∩X
)
⊂ f−1(c)
для всех (s, t) ∈ S × I. Следовательно,
K
(
S × I × [Σf ∩X
])
⊂ Σf , K
(
S × I × [f−1(c) ∩X]
)
⊂ f−1(c).
Отметим, что для γ имеется ровно три возможности:
(i) γ является критической точкой f,
(ii) γ является регулярной компонентой некоторого множества уровня f−1(c), c ∈ P, и,
следовательно, диффеоморфна окружности,
(iii) найдется критическая компонента ω некоторого множества уровня f−1(c) такая, что γ
является связной компонентой ω \ Σf , в этом случае ω является открытой дугой.
Пусть z — критическая точка f и ω — связная компонента множества f−1(c) ∩X. Так как
κ(s0, 0) = idM , а множества S × I × {z} и S × I × ω связны, то
K
(
S × I × {z}
)
= {z}, K
(
S × I × ω
)
= ω.
Следовательно, K
(
S × I × α
)
= α для каждой связной компоненты α множества ω \ Σf .
Другими словами,
(i) κ(s, t)(z) = z,
(ii) κ(s, t)(ω) = ω,
(iii) κ(s, t)(α) = α,
и, более того, κ(s, t) сохраняет ориентацию α, так как ее сохраняет κ(s0, 0) = idM . Это
доказывает лемму для всех случаев (i) – (iii).
Лемма 5.1 утверждает, в частности, что поднятие κ неподвижно на X0. Наша цель — найти
поднятие, неподвижное на X1 ∪X2.
ПустьN — окрестностьX1∪X2. Для каждой связной компоненты Y многообразияX1∪X2
обозначим через NY связную компоненту N, содержащую Y.
Определение 5.1. Скажем, что окрестность N f -адаптирована, если выполнены сле-
дующие условия:
1. NY ∩NY ′ = ∅ для разных компонент Y, Y ′ из X1 ∪X2.
2. Пусть Y — связная компонентаX1. Обозначим J = [0, 1], если Y — компонента границы
M, и J = [−1, 1] — в противном случае. Тогда существует диффеоморфизм q : S1 × J → NY
такой, что q(S1 × 0) = Y, а для каждого t ∈ J множество q(S1 × t) является регулярной
компонентой некоторого множества уровня f.
3. Пусть Y — связная компонента X2 и γ1, . . . , γn — множество всех компонент границы
∂Y, принадлежащих внутренности IntM. Тогда NY получается из Y приклейкой воротника
Ci = S1×[0, 1] к каждой компоненте γi вдоль S1×0 так, что для каждого t ∈ [0, 1] множество
S1 × t соответствует некоторой компоненте множества уровня f.
Зафиксируем f -адаптированную окрестностьX1∪X2.Пусть также Y — связная компонента
X1 ∪X2. Будем различать следующие случаи:
(A) Y — ориентируемая поверхность,
(B) Y — неориентируемая поверхность,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1195
(C) Y — регулярная компонента некоторого множества уровня f, а значит, Y диффеоморфна
окружности.
Лемма 5.2. Предположим, что для Y выполнено одно из условий (A) или (C). Пусть так-
же F, F, ϕ и Γ — такие же, как и в аксиоме (B2). Тогда существует непрерывное отображение
δ̂ : S × I → Γ ⊂ C∞(M,R), имеющее следующие свойства:
(a) δ̂(s, 0) = 0 на M для всех s ∈ S;
(b) supp
(
δ̂(s, t)
)
⊂ NY для каждого (s, t) ∈ S × I;
(c) определим композицию отображений κ̂ = ϕ◦δ̂ : S×I δ̂−−→ Γ
ϕ−−→ Sid(f); таким образом,
κ̂(s, t)(x) = F
(
x, δ̂(s, t)(x)
)
;
тогда κ̂(s, t) = κ(s, t) на Y для всех (s, t) ∈ S × I.
Следовательно, отображение η : S × I → D(M,X), заданное формулой
η(s, t) = κ̂(s, t)−1 ◦ κ(s, t),
является требуемым поднятием ψ.
Доказательство. Случай (A). В этом случае Y — ориентируемая компонента связности
X2. Тогда по аксиоме (B4) ограничение f на Y удовлетворяет аксиоме (B2). Пусть
ΓY = {α ∈ C∞(Y,R) | F (α) > −1}
и
ϕY : ΓY → Sid(f |Y ), ϕY (α)(x) = F(x, α(x))
— соответствующее накрывающее отображение, описанное в аксиоме (B2).
Согласно лемме 5.1 f ◦κ(s, t)(x) = f(x) для (s, t, x) ∈ S×I×Y. Другими словами, ограни-
чение κ(s, t)|Y отображения κ(s, t) на Y принадлежит стабилизатору S(f |Y ) ограничения f |Y
относительно правого действия группы D(Y ). Более того, так как κ(s, 0) = idM , а S × I × Y
связно, то κ(s, t)|Y ∈ Sid(f |Y ).
Рассмотрим ограничение на Y отображения
κY : S × I → Sid(f |Y ), κY (s, t)(x) = κ(s, t)(x)
для (s, t, x) ∈ S×I×M. Очевидно, что оно непрерывно относительно C∞-топологии Sid(f |Y ).
Поскольку ϕY |ΓY — накрывающее отображение, а κY (s, 0) = idY для всех s ∈ S, κY |S×0
поднимается до отображения δ : S × 0 → ΓY по формуле δ(s, 0) = 0: Y → R для всех s ∈
∈ S. Тогда из свойства накрывающей гомотопии для ϕY |ΓY следует, что κY продолжается до
поднятия δ : S × I → ΓY , делающего коммутативной диаграмму
10 СЕРГЕЙ МАКСИМЕНКО
для (s, t, x) ∈ S × I ×M . Очевидно, что оно непрерывно относительно C∞-топологии
Sid(f |Y ).
Так как ϕY |ΓY
�накрывающее отображение, а κY (s, 0) = idY для всех s ∈ S, то
κY |S×0 поднимается до отображения δ : S × 0 → ΓY по формуле δ(s, 0) = 0 : Y → R
для всех s ∈ S. Тогда из свойства накрывающей гомотопии для ϕY |ΓY
вытекает, что
κY продолжается до поднятия δ : S × I → ΓY делающего коммутативной диаграмму:
(5.1) ΓY
ϕY
��
� � �� C∞(Y, R)
S × I
δ
��
κY �� Sid(f |Y ) �
�
�� D(Y )
Другими словами,
(5.2) κ(s, t)(x) = κY (s, t)(x) = F
�
x, δ(s, t)(x)
�
для x ∈ Y .
Отметим, что для окрестности NY существует линейный оператор расширения
E : C∞(Y, R) −→ C∞(M, R)
такой, что Eα|Y = α, и supp (Eα) ⊂ NY для каждого α ∈ C∞(Y, R), см. [?]. Определим
композицию
δ� = E ◦ δ : S × I −→ C∞(M, R)
и рассмотрим следующее отображение
K � : S × I × M → M, K �(s, t, x) = F
�
x, δ�(s, t)(x)
�
.
Очевидно, что K �(s, t, x) = K(s, t, x) для x ∈ Y , а значит ограничение Ks,t на Y есть
диффеоморфизм. Заметим, что Ks,t|Y получается подстановкой гладкой функции
δ�(s, t) вместо времени в отображение потока. Поэтому по теореме 19 из [?] имеем,
что
(5.3) F (δ�(s, t))(x) > −1, x ∈ Y.
Так как S×I×Y компактно, а частные производные δ�(s, t) совместно непрерывны по
всем трём координатам (s, t, x), то условие (??) выполнено для всех x из некоторой
окрестности Y , которая не зависит от (s, t). Уменьшая NY можем предполагать,
что (??) выполнено на всем NY .
Пусть W � окрестность Y такая, что
(5.4) Y ⊂ W ⊂ W ⊂ NY .
Зафиксируем C∞-функцию µ : M → [0, 1] такую, что (i) µ = 1 на Y ; (ii) µ = 0 на
M \ W ; (iii) µ принимает постоянные значения на связных компонентах множеств
уровня f , а значит F (µ) = 0.
Зададим отображение δ̂ : S × I → C∞(M, R) формулой
δ̂(s, t)(x) = µ(x)δ�(s, t)(x).
Отметим, что
F
�
δ̂(s, t)
�
= F
�
µ · δ�(s, t)
�
= µF (δ�) + F (µ)δ� = µF (δ�) > −1.
Последнее неравенство следует из (??) и предположения, что 0 ≤ µ ≤ 1. Поэтому
δ̂(S × I) ⊂ Γ.
Нужно показать, что δ̂ удовлетворяет условия (a)-(c) леммы.
(a) Так как δ(s, 0) = 0 на Y и E �линейный оператор, то δ�(s, 0) = 0 на M , а
значит, δ̂(s, 0) = 0 на всем M .
.
(5.1)
Другими словами,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1196 С. И. МАКСИМЕНКО
κ(s, t)(x) = κY (s, t)(x) = F
(
x, δ(s, t)(x)
)
(5.2)
для x ∈ Y.
Отметим, что для окрестности NY существует линейный оператор расширения
E : C∞(Y,R) −→ C∞(M,R)
такой, что Eα|Y = α, и supp (Eα) ⊂ NY для каждого α ∈ C∞(Y,R) (см. [11]). Определим
композицию
δ′ = E ◦ δ : S × I −→ C∞(M,R)
и рассмотрим отображение
K ′ : S × I ×M →M, K ′(s, t, x) = F
(
x, δ′(s, t)(x)
)
.
Очевидно, что K ′(s, t, x) = K(s, t, x) для x ∈ Y, а значит, ограничение Ks,t на Y является
диффеоморфизмом. Заметим, что Ks,t|Y получается подстановкой гладкой функции δ′(s, t)
вместо времени в отображение потока. Поэтому по теореме 19 из [12] имеем
F (δ′(s, t))(x) > −1, x ∈ Y. (5.3)
Так как S × I × Y компактно, а частные производные δ′(s, t) совместно непрерывны по всем
трем координатам (s, t, x), условие (5.3) выполнено для всех x из некоторой окрестности Y, не
зависящей от (s, t). Уменьшая NY , можно предполагать, что (5.3) выполнено на всем NY .
Пусть W — окрестность Y такая, что
Y ⊂W ⊂W ⊂ NY . (5.4)
Зафиксируем C∞-функцию µ : M → [0, 1] такую, что: (i) µ = 1 на Y ; (ii) µ = 0 на M \W ;
(iii) µ принимает постоянные значения на связных компонентах множеств уровня f, а значит,
F (µ) = 0.
Зададим отображение δ̂ : S × I → C∞(M,R) формулой
δ̂(s, t)(x) = µ(x)δ′(s, t)(x).
Отметим, что
F
(
δ̂(s, t)
)
= F
(
µ · δ′(s, t)
)
= µF (δ′) + F (µ)δ′ = µF (δ′) > −1.
Последнее неравенство следует из (5.3) и предположения, что 0 ≤ µ ≤ 1. Поэтому δ̂(S×I) ⊂ Γ.
Нужно показать, что δ̂ удовлетворяет условиям (a) – (c) леммы.
(a) Поскольку δ(s, 0) = 0 на Y и E — линейный оператор, то δ′(s, 0) = 0 на M, а значит,
δ̂(s, 0) = 0 на всем M.
(b) Так как supp (µ) ⊂ NY , то supp (δ̂(s, t)) ⊂ NY .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1197
(c) Определим отображение κ̂ : S × I → C∞(M,M) по формуле
κ̂(s, t)(x) = F
(
x, δ̂(s, t)(x)
)
.
Тогда из (5.2) следует, что κ̂(s, t) = κ(s, t) на Y. Поэтому отображение
η(s, t) = κ̂(s, t)−1 ◦ κ(s, t)
неподвижно на Y. Более того, так как κ̂(s, t) оставляет инвариантными слои ∆f , то f ◦
◦ κ̂(s, t)−1 = f. Следовательно,
f ◦ η(s, t) = f ◦ κ̂(s, t)−1 ◦ κ(s, t) = f ◦ κ(s, t) = ψ(s, t).
Случай (C). Предположим, что Y — регулярная компонента некоторого множества уровня
f, так что мы можем отождествитьNY с произведением S1×J, где S1 — единичная окружность
в комплексной плоскости и J = [−1, 1] либо [0, 1], так что Y соответствует S1 × 0.
Определим поток F : (S1×J)×R→ S1×J по формуле F(z, τ, θ) = (ze2πiθ, τ). Рассмотрим
универсальное накрывающее отображение q : R → S1, q(θ) = e2πiθ. Так как κ(s, t) оставляет
инвариантным Y = S1 × 0, а κ(s, 0) = idY для всех s ∈ S, то отображение
K : S × I × Y −→ Y = S1
поднимается до функции
∆: S × I × Y −→ R
такой, что K = q ◦∆ и ∆(s, 0, z) = 0 для (s, z) ∈ S × Y. Другими словами,
K(s, t, z) = e2πi∆(s,t,z).
Поскольку q — локальный диффеоморфизм, а отображение κ непрерывно относительно C∞-
топологий, то отображение
δ : S × I −→ C∞(Y,R), δ(s, t)(z) = ∆(s, t, z)
также непрерывно относительно C∞-топологии на C∞(Y,R).
Зафиксируем C∞-функцию µ : J → [0, 1] со следующими свойствами: (i) µ(0) = 1, (ii) µ = 0
вне [−0,5; 0,5] ∩ J и зададим отображение
δ̂ : S × I −→ C∞(S1 × J,R) = C∞(NY ,R)
формулой
δ̂(s, t)(z, τ) = µ(τ)δ(s, t)(z).
Очевидно, что supp (δ̂(s, t)) ⊂ IntNU . Поэтому можно продолжить δ̂(s, t) нулевыми значени-
ями на все M и рассматривать δ̂ как отображение δ̂ : S × I → C∞(M,R). Тогда, аналогично
случаю (A), можно проверить, что δ̂(S × I) ⊂ Γ и δ̂ имеют свойства (a) – (c).
Случай (B). Предположим, что Y — неориентируемая связная компонента X. Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1198 С. И. МАКСИМЕНКО
X̃ = β−1(X), Ñ
Ỹ
= β−1(NY ), Ỹ = β−1(Y ).
Пусть также D̃(M̃, X̃) — подгруппа в D̃(M̃), состоящая из диффеоморфизмов, неподвижных
на X̃ (и коммутирующих с ξ). Так как ψ(s0, 0) = idM , то κ поднимается до отображения
κ̃ : S × I → D̃(M̃).
Отметим, что Ỹ — связная ориентируемая поверхность, а f̃ удовлетворяет аксиомам (B1) –
(B3). Поэтому, применяя случай (A), можно найти отображение
δ̂ : S × I −→ Γ = {α ∈ C∞(M̃,R), | F (α) > −1},
имеющее свойства (a) – (c): δ̂(s, 0) = 0, supp
(
δ̂(s, t)
)
⊂ NŶ , а κ̂ = ϕ ◦ δ̂(s, t) совпадает с κ̃(s, t)
на Ŷ .
Отметим, что ограничение κ̃(s, t) на Ỹ является поднятием κ(s, t)|Y . Поэтому оно комму-
тирует с ξ, т. е.
κ̃(s, t) ◦ ξ(x) = ξ ◦ κ̃(s, t)(x).
Более того, κ̃(s, t)|Y ∈ S̃id(f̃ |
Ỹ
). Тогда из доказательства леммы 5.2 следует, что
δ̂(s, t)|
Ỹ
∈ Γ̃
Ỹ
= {α ∈ C∞(Ỹ ,R) | F (α) > −1, α ◦ ξ = −α}.
В частности,
δ̂(s, t) ◦ ξ(x) = −δ̂(s, t)(x) ∀x ∈ Ỹ . (5.5)
Теперь определим два отображения:
δ̂1 : S × I → C∞(M̃,R), δ̂1(s, t) =
1
2
(
δ̂(s, t)− δ̂(s, t) ◦ ξ
)
,
κ̂1 = ϕ ◦ δ̂1 : S × I → C∞(M,M), κ̂1(s, t)(x) = F
(
x, δ̂1(s, t)(x)
)
.
Лемма 5.3. Отображения δ̂1 и κ̂1 имеют следующие свойства:
δ̂1(s, t)(x) = δ̂1(s, t)(x), x ∈ Ỹ , (5.6)
δ̂1(s, t) ◦ ξ = −δ̂1(s, t), (5.7)
κ̂1(s, t) ◦ ξ = ξ ◦ κ̂1(s, t), (5.8)
δ̂1(S × I) ⊂ Γ̃, (5.9)
а также обладают свойствами (a) – (c) из леммы 5.2. Поэтому отображение
η̃ : S × I −→ D(M,X), η̃(s, t) = κ̂(s, t)−1
1 ◦ κ̃(s, t)
является ξ-эквивариантным поднятием κ(s, t) и индуцирует отображение
η : S × I → D(M,X),
которое является требуемым поднятием ψ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1199
Доказательство. Условие (5.7) очевидно, а (5.6) следует из (5.5). Поэтому
κ̂1(s, t) ◦ ξ(x) = F
(
ξ(x), δ̂1(s, t) ◦ ξ(x)
)
= F
(
ξ(x),−δ̂1(s, t)(x)
)
=
= ξ ◦ F
(
x, δ̂1(s, t)(x)
)
= ξ ◦ κ̂1(s, t)(x),
что и доказывает (5.8).
Так как δ̂(s, t) ∈ Γ, то F
(
δ̂(s, t)
)
> −1 на всем M. Более того, из (5.7) и предположения
ξ∗F = −F следует, что F
(
δ̂(s, t) ◦ ξ
)
= −F
(
δ̂(s, t)
)
. Поэтому
F (δ̂1(s, t)) =
1
2
F
(
δ̂(s, t)− δ̂(s, t) ◦ ξ
)
=
1
2
[
F
(
δ̂(s, t)
)
+ F
(
δ̂(s, t)
)]
= F
(
δ̂(s, t)
)
> −1.
Свойство (a), очевидно, выполняется, свойство (b) следует из соотношения ξ(Ñ
Ỹ
) = Ñ
Ỹ
, а
свойство (c) — из (5.6) и соответствующего свойства (c) для κ̂.
Лемма 5.3 доказана.
Таким образом, для каждой связной компоненты Y многообразия X1 ∪ X2 можно изме-
нить κ(s, t) на NY так, чтобы сделать его поднятием ψ(s, t), неподвижным на Y. Поскольку
окрестности NY попарно дизъюнктны, эти изменения можно сделать на попарно дизъюнктных
подмножествах. Следовательно, можно считать, что ψ(s, t) неподвижно на X, а значит, оно
является требуемым поднятием η.
Теорема 5.1 доказана.
6. Доказательство теоремы 2.4. Вначале докажем один технический результат.
Пусть f : S1 × I → I — функция, заданная формулой f(z, τ) = τ. Для каждого непустого
подмножества A ⊂ I обозначим через SA стабилизатор S
(
f, S1 ×A
)
, т. е. группу диффеомор-
физмов h цилиндра S1 × I таких, что:
(1) f ◦ h = f и, следовательно, h(S1 × τ) = S1 × τ для всех τ ;
(2) h неподвижен на S1 ×A.
Пусть J ⊂ I = [0, 1] — непустое, замкнутое и связное подмножество, T — замкнутая окрест-
ность J в I и T ′ — замкнутая связная окрестность T в I.
Лемма 6.1. Вложение i : ST ⊂ SJ является гомотопической эквивалентностью, т. е.
существует гомотопия
H : SJ × [0, 1] −→ SJ
такая, что H0 = id(SJ) и H1(SJ) ⊂ ST . Более того, Hs(h) = h на S1 × (I \ T ′) для всех
s ∈ [0, 1] и h ∈ SJ . В частности, Hs неподвижно на ST ′ .
Доказательство. Отождествим S1 с единичной окружностью в комплексной плоскости C
и определим векторное поле F (z, τ) =
∂
∂z
на S1 × I. Очевидно, что F порождает поток
F : (S1 × I)× R→ S1 × I, F(z, τ, t) = (e2πiτz, τ).
Покажем, что существует единственное отображение ∆ : SJ → C∞(S1 × I,R), непрерывное
относительно C∞-топологий и такое, что:
(a) h(z, τ) = F
(
z, τ,∆(h)(z, τ)
)
=
(
e2πi·∆(h)(z,τ)z, τ
)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1200 С. И. МАКСИМЕНКО
(b) если Y ⊂ I — произвольное связное подмножество, содержащее J, то
∆(h)(z, τ) = 0
для (h, τ) ∈ SY × Y ; в частности, ∆(h)(z, τ) = 0 для всех τ ∈ J.
Действительно, пустьQ : R×I → S1×I, Q(t, τ) = (e2πit, τ) — универсальное накрывающее
отображение S1 × I. Тогда каждый диффеоморфизм h ∈ SJ поднимается до единственного
диффеоморфизма
h̃ = (h̃1, h̃2) : R× I → R× I
такого, что h ◦Q = Q ◦ h̃, причем h̃ неподвижен на Q−1(S1 × J). Положим
∆(h)(t, τ) = h̃1(t, τ)− t.
Утверждается, что ∆ удовлетворяет условиям (a) и (b).
(a) Отметим, что
Q ◦ h̃(t, τ) =
(
e2πih̃1 , h̃2
)
, h ◦Q(t, τ) = h(e2πit, τ).
Тогда из тождества h ◦Q = Q ◦ h̃ получаем
h(z, τ) = h(e2πit, τ) =
(
e2πih̃1 , τ
)
=
(
e2πit · e2πi[h̃1(t,τ)−t], τ
)
=
=
(
e2πi∆(h)(t,τ)z, τ
)
= F
(
z, τ,∆(h)(z, τ)
)
.
(b) Пусть τ ∈ Y и h ∈ SY ⊂ SJ . Так как h неподвижен на S1× Y, Y связно, то поднятие h̃
неподвижно на R×Y, т. е. h̃(t, τ) = (t, τ) для всех (t, τ) ∈ R×Y. Это означает, что h̃1(t, τ) = t.
Поэтому ∆(h)(t, τ) = t− t = 0.
Зафиксируем произвольную C∞-функцию µ : I → [0, 1] такую, что µ = 0 на T и µ = 1 на
I \ T ′, и определим гомотопию H : SJ × [0, 1] −→ SJ по формуле
H(h, s) = F
(
z, τ, (sµ(τ) + 1− s) ·∆(h)(z, τ)
)
.
Покажем, что H удовлетворяет условиям леммы.
1. Сначала отметим, что H0 = id. Действительно,
H(h, 0)(z, τ) = F
(
z, τ,∆(h)(z, τ)
) (a)
=== h(z, τ).
2. H(h, s) неподвижно на S1 × J. В самом деле, если τ ∈ J, то ∆(h)(z, τ) = 0, а значит,
H(h, s)(z, τ) = F
(
z, τ, 0
)
= (z, τ).
3. Проверим, что H(h, s) — диффеоморфизм. Заметим, что H(h, s) получается подстанов-
кой гладкой функции α = (sµ + 1 − s)∆(h) вместо времени в отображение потока. Тогда по
теореме 19 из [12] H(h, s) будет диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда производная
Ли
F (α) > −1. (6.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1201
В частности, так как h = H(h, 0) — диффеоморфизм, то F (∆(h)) > −1. Следовательно,
F
(
(sµ+ 1− s) ·∆(h)
)
= F (sµ+ 1− s) ·∆(h) + (sµ+ 1− s)F
(
∆(h)
)
.
Поскольку µ зависит только от τ, то F (sµ+ 1− s) = 0, а значит, первое слагаемое равно нулю.
Более того, 0 ≤ sµ+ 1− s ≤ 1, поэтому получаем неравенство
F
(
(sµ+ 1− s) ·∆(h)
)
= (sµ+ 1− s)F
(
∆(h)
)
> −1.
Таким образом, H(h, s) — диффеоморфизм.
4. Так как f ◦F(z, τ, t) = f(z, τ), то f ◦H(h, s) = f для всех (h, s) ∈ SJ×I. Таким образом,
H(h, s) ∈ SJ .
5. Покажем, что H1(SJ) ⊂ ST , т. е. H(h, 1) неподвижно на S1 × T. Пусть τ ∈ T. Тогда
µ(τ) = 0. Следовательно,
H(h, 1)(z, τ) = F
(
z, τ, (1 · µ(τ) + 1− 1) ·∆(h)(z, τ)
)
= F(z, τ, 0) = (z, τ).
6. Остается проверить, что H(h, s) = h на S1 × (I \ T ′). Пусть τ ∈ I \ T ′. Тогда µ(τ) = 1.
Поэтому
H(h, s)(z, τ) = F
(
z, τ, (sµ(τ) + 1− s) ·∆(h)(z, τ)
)
= F
(
z, τ,∆(h)(z, τ)
)
= h(z, τ).
Лемма доказана.
Замечание 6.1. Отметим, что отображение H1 : SJ → ST не является ретракцией.
Как следствие из леммы 6.1 получаем следующее утверждение.
Следствие 6.1. Пусть X ⊂ M — f -адаптированное подмногообразие и N̂ — f -адапти-
рованная окрестность X1 ∪X2. Обозначим X̂ = X0 ∪ N̂ . Тогда вложение
S(f, X̂) ∩ D(M, X̂) ⊂ S(f,X) ∩ D(M,X)
является гомотопической эквивалентностью. В частности, гомотопической эквивалентно-
стью является вложение S ′(f, X̂) ⊂ S ′(f,X).
Доказательство. Пусть Y — связная компонента X1∪∂X2. Тогда Y имеет окрестность U,
диффеоморфную цилиндру S1 × I и такую, что каждое множество вида S1 × τ является регу-
лярной компонентой некоторого множества уровня функции f. Тогда по лемме 6.1 существует
деформация S(f |U , U ∩X) в S(f |U , U ∩ N̂) с носителями в IntU.
Построив такую деформацию для каждой связной компоненты X1 ∪ ∂X2, получим дефор-
мацию S(f,X) ∩ D(M,X) в S(f, X̂) ∩ D(M, X̂). Детали оставляем читателю.
Следствие 6.2. Предположим, что X1 ∪X2 6= ∅. Пусть M1, . . . ,Mn — замыкания связ-
ных компонент M \ (X1 ∪ X2) и Yi = Mi ∩ X. Тогда существуют изоморфизмы µ и η,
замыкающие коммутативную диаграмму
π1Of (f,X)
µ−−−−→ ∏n
i=1 π1O(f |Mi , Yi)
∂1
y
y∏n
i=1(∂1)i
π0S ′(f,X)
η−−−−→ ∏n
i=1 π0S ′(f |Mi , Yi) ,
(6.2)
где (∂1)i : π1O(f |Mi , Yi) → π0S ′(f |Mi , Yi) и ∂1 : π1Of (f,X) → π0S ′(f,X) — граничные гомо-
морфизмы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1202 С. И. МАКСИМЕНКО
Доказательство. Поскольку X и Yi бесконечны, из (2.3) следует, что ∂1 и (∂1)i — изомор-
физмы. Таким образом, в диаграмме вертикальные стрелки являются изоморфизмами. Поэтому
достаточно построить изоморфизм η. Тогда µ будет определен однозначно.
Пусть N̂ — f -адаптированная окрестность X1 ∪X2 и X̂ = X0 ∪ N̂ . Положим Ŷi = Mi ∩ X̂,
i = 1, . . . , n. Тогда по следствию 6.1 имеют место изоморфизмы π0S ′(f,X) ≈ π0S ′(f, X̂) и
π0S ′(f |Mi , Yi) ≈ π0S ′(f |Mi , Ŷi).
Отметим, что отображение
η′ : S ′(f, X̂) −→
n∏
i=1
S ′(f |Mi , Ŷi), η′(h) =
(
h|M1 , . . . , h|Mn
)
,
является групповым изоморфизмом, так как ограничения h|Mi , i = 1, . . . , n, имеют попарно
дизъюнктные носители. Поэтому η′ индуцирует изоморфизм η из (6.2).
Доказательство теоремы 2.4. Рассмотрим следующие случаи.
(a) χ(M) < 0 и X = X0 ⊂ Σf . Тогда для X = ∅ результат доказан в теореме 1.8 из [4].
Однако анализ доказательства показывает, что оно подходит для случая X ⊂ Σf .
(b) χ(M) < 0, ∅ 6= ∂M ⊂ X ⊂ ∂M ∪ Σf . Из следствия 2.1 следует, что
Of (f,X) = O(f,X0).
Поэтому (b) следует из (a).
(c) X1 ∪X2 6= ∅. Опять, согласно следствию 2.1, можно считать, что ∂M ⊂ X. Тогда из
следствия 6.2 получаем
π1Of (f,X) ≈
n∏
i=1
π1O(f |Mi , Yi),
где M1, . . . ,Mn — замыкания связных компонент M \ (X1 ∪X2), а Yi = ∂Mi ∪ (Mi ∩X0) 6=
6= ∅. Если χ(Mi) ≥ 0, то Mi является одной из поверхностей D2, S1 × I или Mö, а значит,
удовлетворяет утверждению теоремы. В противном случае χ(Mi) < 0, и тогда можно разложить
π1O(f |Mi , Yi) так же, как в случае (b).
Очевидно, что случаи (a) – (c) включают все случаи (i) – (iii).
Теорема доказана.
Автор признателен профессору Т. Ягасаки за полезные обсуждения гомотопического типа
группы Did(M,X) для компактных поверхностей.
1. Maksymenko Sergiy. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal.
Geom. – 2006. – 29, № 3. – P. 241 – 285.
2. Maksymenko Sergiy. Homotopy dimension of orbits of Morse functions on surfaces // Trav. Math. – 2008. – 18. –
P. 39 – 44.
3. Maksymenko Sergiy. Functions with isolated singularities on surfaces // Геометрiя та топологiя функцiй на много-
видах: Працi Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7, № 4. – С. 7 – 66.
4. Maksymenko Sergiy. Functions on surfaces and incompressible subsurfaces // Methods Funct. Anal. and Top. – 2010.
– 16, № 2. – P. 167 – 182.
5. Sergeraert Francis. Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications //
Ann. Sci. École norm. super. – 1972. – 5, № 4. – P. 599 – 660.
6. Smale Stephen. Diffeomorphisms of the 2-sphere // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 10. – P. 621 – 626.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ТИПЫ ПРАВЫХ СТАБИЛИЗАТОРОВ И ОРБИТ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1203
7. Birman Joan S. Mapping class groups and their relationship to braid groups // Communs Pure and Appl. Math. –
1969. – 22. – P. 213 – 238.
8. Earle C. J., Eells J. A fibre bundle description of teichmüller theory // J. Different. Geometry. – 1969. – 3. – P. 19 – 43.
9. Earle C. J., Schatz A. Teichmüller theory for surfaces with boundary // J. Different. Geometry. – 1970. – 4. –
P. 169 – 185.
10. Gramain André. Le тип d’homotopie du groupe des difféomorphismes d’une surface compacte // Ann. Sci. École
norm. Super. – 1973. – 6, № 4. – P. 53 – 66.
11. Seeley R. T. Extension of C∞ functions defined in a half space // Proc. Amer. Math. Soc. – 1964. – 15. – P. 625 – 626.
12. Maksymenko Sergiy. Smooth shifts along trajectories of flows // Topology Appl. – 2003. – 130, № 2. – P. 183 – 204.
Получено 22.05.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|