Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега
В узагальнених просторах Лебега зi змiнним показником знайдено порядки найкращих наближень на класах (ψ,β)- диференцiйовних 2π-перiодичних функцiй, отримано аналог вiдомої нерiвностi Бернштейна для (ψ,β)-похiдної, за допомогою якого доведено оберненi теореми теорiї наближення функцiй на зазначених к...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164521 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега / С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1249-1265. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164521 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1645212025-02-09T23:25:52Z Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега Best approximations of periodic functions in generalized lebesgue spaces Чайченко, С.О. Статті В узагальнених просторах Лебега зi змiнним показником знайдено порядки найкращих наближень на класах (ψ,β)- диференцiйовних 2π-перiодичних функцiй, отримано аналог вiдомої нерiвностi Бернштейна для (ψ,β)-похiдної, за допомогою якого доведено оберненi теореми теорiї наближення функцiй на зазначених класах. In generalized Lebesgue spaces with variable exponent, we determine the orders of the best approximations in the classes of (ψ; β)-differentiable 2π-periodic functions, deduce an analog of the well-known Bernstein inequality for the (ψ; β)-derivative, and apply this inequality to prove the inverse theorems of approximation theory in these classes. 2012 Article Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега / С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1249-1265. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164521 517.5 ru Український математичний журнал application/pdf Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Чайченко, С.О. Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега Український математичний журнал |
| description |
В узагальнених просторах Лебега зi змiнним показником знайдено порядки найкращих наближень на класах (ψ,β)- диференцiйовних 2π-перiодичних функцiй, отримано аналог вiдомої нерiвностi Бернштейна для (ψ,β)-похiдної, за допомогою якого доведено оберненi теореми теорiї наближення функцiй на зазначених класах. |
| format |
Article |
| author |
Чайченко, С.О. |
| author_facet |
Чайченко, С.О. |
| author_sort |
Чайченко, С.О. |
| title |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега |
| title_short |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега |
| title_full |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега |
| title_fullStr |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега |
| title_full_unstemmed |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега |
| title_sort |
наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах лебега |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164521 |
| citation_txt |
Наилучшие приближения периодических функций в обобщенных пространствах Лебега / С.О. Чайченко // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1249-1265. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT čaičenkoso nailučšiepribliženiâperiodičeskihfunkciivobobŝennyhprostranstvahlebega AT čaičenkoso bestapproximationsofperiodicfunctionsingeneralizedlebesguespaces |
| first_indexed |
2025-12-01T16:59:27Z |
| last_indexed |
2025-12-01T16:59:27Z |
| _version_ |
1850325988477501440 |
| fulltext |
УДК 517.5
C. О. Чайченко (Славян. гос. пед. ун-т)
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА
In generalized Lebesgue spaces with variable exponent, we determine the order of the best approximation on the classes
of (ψ;β)-differentiable 2π-periodic functions. We also obtain an analog of the well-known Bernstein inequality for the
(ψ;β)-derivative, with the help of which the converse theorems of approximation theory are proved on the indicated
classes.
В узагальнених просторах Лебега зi змiнним показником знайдено порядки найкращих наближень на класах (ψ;β)-
диференцiйовних 2π-перiодичних функцiй, отримано аналог вiдомої нерiвностi Бернштейна для (ψ;β)-похiдної, за
допомогою якого доведено оберненi теореми теорiї наближення функцiй на зазначених класах.
Пусть p = p(x) — 2π-периодическая измеримая и существенно ограниченная функция, Lp(·) —
пространства измеримых 2π-периодических функций f таких, что
π∫
−π
|f(x)|p(x) dx <∞. (1)
Если p := ess inf
x
|p(x)| > 1 и p̄ := ess sup
x
|p(x)| < ∞, то Lp(·) являются банаховыми
пространствами [1] (см. также [2]) с нормой, которая может быть задана формулой
‖f‖p(·) := inf
{
α > 0:
π∫
−π
∣∣∣∣∣f(x)
α
∣∣∣∣∣
p(x)
dx ≤ 1
}
. (2)
Пространства Lp(·) получили название обобщенных пространств Лебега с переменным по-
казателем. Понятно, что в случае, когда p = p(x) = const > 0, пространства Lp(·) совпадают
с классическими пространствами Лебега Lp. В свою очередь, если p̄ < ∞, пространства Lp(·)
являются частным случаем так называемых пространств Орлича – Муселяка [3]. Пространства
Лебега с переменным показателем впервые появились в статье В. Орлича [4]. В работе [5]
пространства Lp(·) рассматривались как пример более общих функциональных пространств и в
дальнейшем исследовались многими авторами в разных направлениях. С основными результа-
тами теории этих пространств можно ознакомиться, например, в работах [1, 2, 6 – 9]. Отметим
также, что обобщенные пространства Лебега с переменным показателем применяются в тео-
рии упругости, механике, теории дифференциальных операторов, вариационном исчислении
[10 – 12].
Приведем ряд определений и известных утверждений, необходимых при формулировке и
доказательстве результатов этой работы. Важную роль в теории пространств Lp(·) играет так
называемое условие Дини – Липшица, которое накладывается на показатель p = p(x).
Определение 1. Говорят, что функция p = p(x) удовлетворяет условию Дини – Липшица
порядка γ, если
ω(p; δ)
(
ln
1
δ
)γ
≤ K, 0 < δ < 1, (3)
c© C. О. ЧАЙЧЕНКО, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9 1249
1250 C. О. ЧАЙЧЕНКО
где
ω(p; δ) = sup
x1,x2∈[−π;π]
{
|p(x1)− p(x2)| : |x1 − x2| ≤ δ
}
.
Множество 2π-периодических показателей p = p(x) > 1, p̄ < ∞, которые на периоде
удовлетворяют условию Дини – Липшица порядка γ, будем обозначать Pγ .
Теорема A. Если p ∈ Pγ , γ ≥ 1, то для произвольной функции f ∈ Lp(·) выполняется
оценка
‖f̃‖p(·) ≤ cp‖f‖p(·), (4)
где f̃(·) — функция, тригонометрически сопряженная с f(·), а cp — постоянная, которая
зависит только от показателя p = p(x).
Пусть L — пространство 2π-периодических суммируемых на периоде функций. В работе
[1] показано, что в случае, когда 1 < p, p̄ < ∞, пространство Lp
′(·), где p′(x) =
p(x)
p(x)− 1
,
является сопряженным с Lp(·) и для произвольных функций f ∈ Lp(·) и g ∈ Lp′(·) имеет место
аналог классического неравенства Гельдера
π∫
−π
|f(x)g(x)| dx ≤ 2‖f‖p(·)‖g‖p′(·),
из которого, в частности, следует включение Lp(·) ⊂ L.
Пусть, далее, f ∈ L и
S[f ] =
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
≡
∞∑
k=0
Ak(f, x) (5)
— ряд Фурье функции f,
Sn(f ;x) =
a0(f)
2
+
n∑
k=1
(
ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx
)
, n = 0, 1, . . . , (6)
— частные суммы Фурье порядка n этой функции.
Теорема B. Если p ∈ Pγ , γ ≥ 1, то для произвольной функции f ∈ Lp(·) выполняется
оценка
‖Sn(f)‖p(·) ≤ cp‖f‖p(·), (7)
в которой постоянная cp зависит только от показателя p = p(x).
Теоремы A и B были получены в работе [9]. Из этих теорем, в частности, следует, что для
произвольной функции f ∈ Lp(·) при условии p ∈ Pγ , γ ≥ 1, суммы Фурье сходятся к этой
функции в метрике пространств Lp(·), т. е.
‖f − Sn(f)‖p(·) → 0, n→∞, (8)
а также выполняется соотношение
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1251
‖f − Sn−1(f)‖p(·) = O(1)En(f)p(·) = O(1)En(f̃)p(·), (9)
в котором
En(ϕ)p(·) := inf
tn−1∈Tn−1
‖ϕ− tn−1‖p(·), ϕ ∈ Lp(·),
— наилучшее приближение функции ϕ с помощью подпространства Tn−1 тригонометрических
полиномов порядка не выше n − 1, а O(1) — величины, равномерно ограниченные по n. При
этом условие на показатель p ∈ Pγ , γ ≥ 1, является неулучшаемым.
Далее нам понадобится определение (ψ;β)-производной и множеств Lψβ , которое принад-
лежит А. И. Степанцу [13, c. 142 – 143].
Определение 2. Пусть f ∈ L и (5) — ее ряд Фурье. Пусть, далее, ψ(k) — произвольная
функция натурального аргумента и β ∈ R. Предположим, что ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk(f) sin
(
kx+
βπ
2
))
(10)
является рядом Фурье некоторой функции из L. Эту функцию обозначают через fψβ (·)
(
или
(Dψ
β f)(·)
)
и называют (ψ;β)-производной функции f(·), а множество функций f(·), которые
удовлетворяют такому условию, обозначают через Lψβ .
В этой работе через Lψβ,p(·) будем обозначать классы (ψ;β)-дифференцируемых функций
f ∈ L, у которых fψβ ∈ L
p(·).
Пусть M — множество последовательностей действительных чисел ψ(k) > 0, которые
удовлетворяют условиям:
1) ψ(k)− ψ(k + 1) ≥ 0, k ∈ N;
2) lim
k→∞
ψ(k) = 0;
3) ψ(k + 2)− 2ψ(k + 1) + ψ(k) > 0, k ∈ N,
а M′ — подмножество функций ψ ∈M, для которых
∑∞
k=1
ψ(k)
k
<∞.
Тогда если ψ ∈M′ и β ∈ R, то, как показано в монографии [13, c. 143, 144], всегда найдется
функция fψβ ∈ L
0, L0 := {ϕ ∈ L : ϕ ⊥ 1}, ряд Фурье которой совпадает с (10). Отметим при
этом, что если fψβ ∈ L
p(·), p ∈ Pγ , γ ≥ 1, то на основании соотношения (8) в смысле сходимости
в метрике пространств Lp(·) выполняется равенство
fψβ (x) =
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk(f) sin
(
kx+
βπ
2
))
. (11)
Из разложения (11) следуют формулы связи между коэффициентами Фурье функций f и fψβ :
ak(f) = ψ(k)
(
ak(f
ψ
β ) cos
βπ
2
− bk(fψβ ) sin
βπ
2
)
, (12)
bk(f) = ψ(k)
(
ak(f
ψ
β ) sin
βπ
2
+ bk(f
ψ
β ) cos
βπ
2
)
(13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1252 C. О. ЧАЙЧЕНКО
и
ak(f
ψ
β ) =
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
βπ
2
+ bk(f) sin
βπ
2
)
, (14)
bk(f
ψ
β ) =
1
ψ(k)
(
bk(f) cos
βπ
2
− ak(f) sin
βπ
2
)
. (15)
В этой работе в метрике пространств Lp(·) будут найдены порядки наилучших прибли-
жений на классах Lψβ,p(·), а также получен аналог известного неравенства Бернштейна для
(ψ;β)-производной, с помощью которого доказываются обратные теоремы теории приближе-
ния функций на классах (ψ;β)-дифференцируемых функций. Имеет место следующее утвер-
ждение.
Теорема 1. Пусть f ∈ Lψβ,p(·), p ∈ P
γ , γ ≥ 1, причем ψ ∈ M′. Тогда для произвольного
натурального n существует постоянная Kp, которая зависит только от функции p = p(x) и
такая, что выполняется неравенство
En(f)p(·) ≤ Kpψ(n)En(fψβ )p(·). (16)
Отметим, что утверждение теоремы 1 в большинстве случаев является известным. При
ψ(n) = n−α, β = α, α > 0, n ∈ N, оценка (16) получена в работе [15]. В случае p = const,
1 ≤ p ≤ ∞, такие результаты принадлежат А. И. Степанцу и А. К. Кушпелю [16, 17]. В
случае же p = const, 1 < p < ∞, и ψ(n) = n−r, β = r, n, r ∈ N, неравенство (16) доказано
А. Ф. Тиманом [18, c. 316].
Доказательство. На основе соотношения (8) можно утверждать, что в метрике прост-
ранств Lp(·) для произвольной функции f ∈ Lψβ,p(·), p ∈ P
γ , γ ≥ 1, при условии ψ ∈M′, β ∈ R
выполняются равенства
f(x) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x), fψβ (x) =
∞∑
k=0
Ak(f
ψ
β ;x).
Учитывая теперь формулы связи между коэффициентами функций f и fψβ (равенства (12), (13)),
находим
f(x) =
∞∑
k=0
Ak(f ;x) =
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(ak(f) cos kx+ bk(f) sin kx) =
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(
ψ(k)
[
ak(f
ψ
β ) cos
βπ
2
− bk(fψβ ) sin
βπ
2
]
cos kx+
+ψ(k)
[
ak(f
ψ
β ) sin
βπ
2
+ bk(f
ψ
β ) cos
βπ
2
]
sin kx
)
=
=
a0(f)
2
+
∞∑
k=1
(
ψ(k) cos
βπ
2
[
ak(f
ψ
β ) cos kx+ bk(f
ψ
β ) sin kx
]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1253
+ψ(k) sin
βπ
2
[
ak(f
ψ
β ) sin kx− bk(fψβ ) cos kx
])
=
=
a0(f)
2
+ cos
βπ
2
∞∑
k=1
ψ(k)Ak(f
ψ
β ;x) + sin
βπ
2
∞∑
k=1
ψ(k)Ak(f̃
ψ
β ;x). (17)
Принимая во внимание соотношения (6) и (17), получаем
f(x)− Sn−1(f ;x) =
∞∑
k=n
Ak(f ;x) =
= cos
βπ
2
∞∑
k=n
ψ(k)Ak(f
ψ
β ;x) + sin
βπ
2
∞∑
k=n
ψ(k)Ak(f̃
ψ
β ;x). (18)
Далее имеем
∞∑
k=n
ψ(k)Ak(f
ψ
β ;x) =
∞∑
k=n
ψ(k)
[(
Sk(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
)
−
(
Sk−1(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
)]
=
=
∞∑
k=n
ψ(k)
(
Sk(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
)
−
∞∑
k=n
ψ(k)
(
Sk−1(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
)
=
=
∞∑
k=n
[ψ(k)− ψ(k + 1)]
[
Sk(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
]
− ψ(n)
[
Sn−1(f
ψ
β ;x)− fψβ (x)
]
. (19)
Аналогично получаем
∞∑
k=n
ψ(k)Ak(f̃
ψ
β ;x) =
∞∑
k=n
[ψ(k)− ψ(k + 1)]
[
Sk(f̃
ψ
β ;x)− f̃ψβ (x)
]
−
−ψ(n)
[
Sn−1(f̃
ψ
β ;x)− f̃ψβ (x)
]
. (20)
Используя свойства нормы и соотношение (9), на основании равенств (18) – (20) находим
En(f)p(·) ≤ ‖f − Sn−1(f)‖p(·) ≤
≤
∞∑
k=n
[ψ(k)− ψ(k + 1)]
∥∥∥∥Sk(fψβ )− fψβ
∥∥∥∥
p(·)
+ ψ(n)
∥∥∥∥Sn−1(fψβ )− fψβ
∥∥∥∥
p(·)
+
+
∞∑
k=n
[ψ(k)− ψ(k + 1)]
∥∥∥∥Sk(f̃ψβ )− f̃ψβ
∥∥∥∥
p(·)
+ ψ(n)
∥∥∥∥Sn−1(f̃ψβ )− f̃ψβ
∥∥∥∥
p(·)
≤
≤ K
(
ψ(n)En(fψβ )p(·) + ψ(n)En(f̃ψβ )p(·)
)
≤ Kψ(n)En(fψβ )p(·),
где K = Kp — постоянная, которая зависит только от функции p = p(x).
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1254 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Следствие 1. Пусть f ∈ Lψβ,p(·), p ∈ P
γ , γ ≥ 1, причем ψ ∈M′. Тогда
En(f)p(·) ≤ Kpψ(n),
где Kp — постоянная, которая зависит только от функции p = p(x).
Обозначим через M∗ множество последовательностей ψ(k) > 0, которые удовлетворяют
только первым двум условиям из определения множества M, т. е.
M∗ =
{
ψ(k) : ψ(k)− ψ(k + 1) ≥ 0, lim
k→∞
ψ(k) = 0, k ∈ N
}
.
Теорема 2. Пусть p ∈ Pγ , γ ≥ 1, и ψ ∈M∗. Тогда для произвольного тригонометриче-
ского полинома Tn порядка не выше n выполняется неравенство
‖Dψ
βTn‖p(·) ≤
Kp
ψ(n)
‖Tn‖p(·), n = 0, 1, . . . , (21)
где 1/ψ(0) := 0, a Kp — постоянная, которая зависит только от функции p = p(x).
Соотношение (21) является аналогом классического неравенства для максимума модуля
производной тригонометрического полинома, полученного С. Н. Бернштейном в работе [19]. В
дальнейшем это неравенство уточнялось и обобщалось в работах многих авторов. С основными
результатами относительно неравенства С. Н. Бернштейна и комментариями к ним можно
ознакомиться, например, в книге Н. П. Корнейчука, В. Ф. Бабенко и А. А. Лигуна [20] (см.
также монографии А. Ф. Тимана [18], Н. И. Ахиезера [21]). Отметим еще, что в случае, когда
ψ(n) = n−α, β = α, α > 0, n ∈ N, теорема 2 доказана в работе [15]. В случае p = const,
1 ≤ p ≤ ∞, неравенство (21) получено А. И. Степанцом и А. К. Кушпелем в статье [17].
Доказательство. Если
Tn(x) =
n∑
k=0
(ak cos kx+ bk sin kx)
— тригонометрический полином порядка не выше n, то согласно равенству (11)
(Dψ
βTn)(x) =
n∑
k=1
1
ψ(k)
ak cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βπ
2
)
=
=
n∑
k=1
cos βπ2
ψ(k)
(
ak cos kx+ bk sin kx
)
−
n∑
k=1
sin βπ
2
ψ(k)
(
ak sin kx− bk cos kx
)
=
=
n∑
k=1
cos βπ2
ψ(k)
Ak(Tn;x)−
n∑
k=1
sin βπ
2
ψ(k)
Ak(T̃n;x) =
= cos
βπ
2
(Dψ
0 Tn)(x)− sin
βπ
2
(Dψ
0 T̃n)(x). (22)
Положим
Rψm(ϕ;x) :=
m−1∑
k=0
[
1− ψ(m)
ψ(k)
]
Ak(ϕ;x), m = 1, 2, . . . , (23)
где 1/ψ(0) := 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1255
Из равенства (22) следует, что функция
ϕ1(x) := ψ(n)(Dψ
0 Tn)(x) =
n∑
k=1
ψ(n)
ψ(k)
Ak(Tn;x)
является тригонометрическим полиномом порядка не выше n (т. е. Ak(ϕ1;x) ≡ 0, k > n).
Учитывая это и используя преобразование Абеля, для произвольного натурального числаm ≥ n
получаем
Rψm(ϕ1;x) =
m−1∑
k=0
[
1− ψ(m)
ψ(k)
]
Ak(ϕ1;x) =
=
n∑
k=0
[
1− ψ(m)
ψ(k)
]
ψ(n)
ψ(k)
Ak(Tn;x) =
= ψ(n)
n−1∑
k=0
[
1
ψ(k)
− 1
ψ(k + 1)
] k∑
i=0
[
1− ψ(m)
ψ(i)
]
Ai(Tn;x) +
n∑
i=0
[
1− ψ(m)
ψ(i)
]
Ai(Tn;x) =
= ψ(n)
n−1∑
k=0
[
1
ψ(k)
− 1
ψ(k + 1)
]
rψ,mk (Tn;x) + rψ,mn (Tn;x), (24)
где
rψ,mk (Tn;x) :=
k∑
i=0
[
1− ψ(m)
ψ(i)
]
Ai(Tn;x), k = 0, 1, . . . , n.
Снова используя преобразование Абеля, имеем
rψ,mk (Tn;x) = ψ(m)
k−1∑
i=0
[
1
ψ(i+ 1)
− 1
ψ(i)
] i∑
j=0
Aj(Tn;x)+
+ψ(m)
[
1
ψ(m)
− 1
ψ(k)
] k∑
j=0
Aj(Tn;x),
откуда в силу монотонности последовательности ψ(k) и соотношения (7) следует
‖rψ,mk (Tn; ·)‖p(·) ≤ Kp‖Tn(·)‖p(·). (25)
Применяя теперь оценку (25) к равенству (24), для произвольного натурального числа m ≥ n
находим
‖Rψm(ϕ1; ·)‖p(·) ≤ Kp‖Tn(·)‖p(·). (26)
Аналогично, для функции
ϕ2(x) := ψ(n)(Dψ
0 T̃n)(x) =
n∑
k=1
ψ(n)
ψ(k)
Ak(T̃n;x),
учитывая соотношение (4), для произвольного натурального числа m ≥ n получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1256 C. О. ЧАЙЧЕНКО
‖Rψm(ϕ2; ·)‖p(·) ≤ Kp‖Tn(·)‖p(·). (27)
Положим
Qψm1,m2
(ϕ;x) :=
ψ(m1)
ψ(m1)− ψ(m2)
Rψm2
(ϕ;x)− ψ(m2)
ψ(m1)− ψ(m2)
Rψm1
(ϕ;x), (28)
где m1 < m2 ∈ N, а Rψm(ϕ;x) — величина, которая определяется соотношением (23).
Считая, что последовательности ψ(k) из множества M являются сужениями на множество
натуральных чисел непрерывных функций ψ(t) непрерывного аргумента t ≥ 1, в соответствии
с [13, c. 159] через η(t) = η(ψ; t) обозначим функцию, которая связана с ψ равенством
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t), t ≥ 1.
Отсюда, вследствие строгой монотонности и убывания к нулю ψ, функция η(t) для всех t ≥ 1
определяется однозначно
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
, (29)
где ψ−1 — функция, обратная к ψ.
Пусть теперь m1 = n и m2 = [η(n)], где [a] — целая часть числа a. Тогда имеют место
соотношения
ψ(m1)
ψ(m1)− ψ(m2)
= O(1),
ψ(m2)
ψ(m1)− ψ(m2)
= O(1). (30)
На основе соотношений (26) – (30) находим
‖Qψn,[η(n)](ϕi; ·)‖p(·) ≤ Kp‖Tn(·)‖p(·), n = 1, 2, . . . , i = 1, 2, (31)
где Kp — постоянная, которая зависит только от функции p = p(x).
Поскольку выполняется равенство
Qψm1,m2
(ϕ;x) =
ψ(m1)ψ(m2)
ψ(m1)− ψ(m2)
m2−1∑
k=0
(
1
ψ(m2)
− 1
ψ(k)
)
Ak(ϕ;x)−
− ψ(m1)ψ(m2)
ψ(m1)− ψ(m2)
m1−1∑
k=0
(
1
ψ(m1)
− 1
ψ(k)
)
Ak(ϕ;x),
которое с помощью преобразования Абеля принимает вид
Qψm1,m2
(ϕ;x) =
ψ(m1)ψ(m2)
ψ(m1)− ψ(m2)
m2−1∑
k=m1
(
1
ψ(k + 1)
− 1
ψ(k)
)
Sk(ϕ;x),
для произвольного тригонометрического полинома Tm, порядок которого не превышает m1,
имеем
Qψm1,m2
(Tm;x) = Tm(x). (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1257
Принимая теперь во внимание то, что
Qψm1,m2
(cϕ;x) = cQψm1,m2
(ϕ;x), c = const,
на основе соотношений (22), (31) и (32) находим
‖(Dψ
βTn)(·)‖p(·) ≤ ‖(D
ψ
0 Tn)(·)‖p(·) + ‖(Dψ
0 T̃n)(·)‖p(·) =
=
∥∥∥∥ 1
ψ(n)
Qψn,[η(n)](ϕ1; ·)
∥∥∥∥
p(·)
+
∥∥∥∥ 1
ψ(n)
Qψn,[η(n)](ϕ2; ·)
∥∥∥∥
p(·)
≤
≤ Kp
ψ(n)
‖Tn(·)‖p(·), n = 0, 1, . . . , (33)
что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Заметим, что неравенство (21) является неулучшаемым по порядку, так как для тригоно-
метрического полинома t∗n(x) = cosnx имеем
(Dψ
0 t
∗
n)(x) =
1
ψ(n)
cosnx
и
‖Dψ
0 t
∗
n)‖p(·) = ‖ 1
ψ(n)
cosnx‖p(·) =
1
ψ(n)
‖t∗n‖p(·).
Используя теорему 2 можно доказать утверждения, которые обычно называют обратными
теоремами теории приближения функций. Для формулирования этих результатов нам понадо-
бятся определения множеств M0 и F, которые принадлежат А. И. Степанцу (см. [13, c. 160,
c. 165]):
M0 =
{
ψ ∈M : 0 <
t
η(ψ; t)− t
≤ K, t ≥ 1
}
,
F =
{
ψ ∈M : η′(ψ; t) ≤ K
}
,
где η(ψ; t) — функция, определенная в соотношении (29).
Теорема 3. Пусть p ∈ Pγ , γ ≥ 1, причем p(x) ≤ p̄ <∞. Тогда для произвольной функции
f ∈ Lp(·) :
1) если ψ ∈M и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|ψ(k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
En(fψβ )p(·) ≤ C1
∞∑
k=n
Ek(f)p(·)|ψ(k)|−1, n ∈ N; (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1258 C. О. ЧАЙЧЕНКО
2) если ψ ∈M0 и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|kψ(k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
En(fψβ )p(·) ≤ C2
(
En(f)p(·)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)|kψ(k)|−1
)
, n ∈ N; (35)
3) если ψ ∈ F, η(ψ; t)− t ≥ K > 0 и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|ψ(k)(η(k)− k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
En(fψβ )p(·) ≤ C3
(
En(f)p(·)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)|ψ(k)(η(k)− k)|−1
)
, n ∈ N, (36)
где Ci, i = 1, 2, 3, — постоянные, которые зависят только от функций p = p(x) и ψ = ψ(k).
Если ψ(n) = n−α, β = α, α > 0, n ∈ N, то утверждения теоремы 3 содержат теорему 4
работы [15]. В метрике пространств Lp, p = const, 1 < p < ∞, аналогичные результаты для
монотонных последовательностей ψ получены Е. И. Жукиной [22] и А. И. Степанцом [23], а в
случае ψ(n) = nα, α ∈ R, n ∈ N, и p = const, 1 < p < ∞ — в работе [24]. При ψ(n) = n−r,
β = r, r ∈ N и p = const, 1 < p <∞, теорема 3 была установлена А. Ф. Тиманом [18].
Для доказательства теоремы будем использовать схему, предложенную в монографии [14,
c. 120 – 126]. Пусть {tn(·)}∞n=1 — последовательность тригонометрических полиномов, которые
осуществляют наилучшее приближение функции f в пространстве Lp(·). Тогда ряд
tn(x) +
∞∑
k=n+1
(
tk(x)− tk−1(x)
)
(37)
будет сходиться к f(x) по норме пространства Lp(·), так как его частные суммы Tm при m > n
совпадают с полиномами tm(x).
Рассмотрим ряд
(Dψ
β tn)(x) +
∞∑
k=n+1
(
Dψ
β (tk − tk−1)
)
(x) (38)
и покажем, что он сходится к сумме T (x), ряд Фурье которой имеет вид
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk(f) sin
(
kx+
βπ
2
))
. (39)
Тем самым существование производной fψβ (·) будет установлено. Поскольку разность
uk(x) = tk(x)− tk−1(x) является полиномом порядка k, применяя теорему 2, находим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1259
‖(Dψ
βuk)(·)‖p(·) ≤
Cp
|ψ(k)|
‖uk(·)‖p(·) ≤
≤ Cp
|ψ(k)|
(
‖tk(·)− f(·)‖p(·) + ‖f(·)− tk−1(·)‖p(·)
)
≤ 2CpEk(f)p(·)|ψ(k)|−1.
Отсюда следует, что
∞∑
k=n+1
∥∥(Dψ
βuk)(·)
∥∥
p(·) ≤ Cp
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)|ψ(k)|−1, (40)
причем по условию пункта 1 теоремы ряд в правой части соотношения (40) сходится. Это
означает, что ряд (38) действительно сходится в пространстве Lp(·) к функции T (x), которая
принадлежит этому же пространству.
Пусть a(n)k = ak(tn) и b
(n)
k = bk(tn), k = 0, 1, 2, . . . , — коэффициенты Фурье полиномов
tn(·). Тогда в соответствии с равенствами (14) и (15) коэффициенты α
(n)
k и β
(n)
k полиномов
(Dψ
β tk)(·) имеют вид
α
(n)
k =
1
ψ(k)
(
a
(n)
k cos
βπ
2
+ b
(n)
k sin
βπ
2
)
, (41)
β
(n)
k =
1
ψ(k)
(
b
(n)
k cos
βπ
2
− a(n)k sin
βπ
2
)
. (42)
Поскольку равенство
T (x) = lim
n→∞
(Dψ
β tn)(x)
выполняется в метрике пространства Lp(·), то
ak(T ) = lim
n→∞
α
(n)
k , bk(T ) = lim
n→∞
β
(n)
k , k = 0, 1, . . . .
Принимая теперь во внимание то, что
lim
n→∞
a
(n)
k = ak(f), lim
n→∞
b
(n)
k = bk(f), k = 0, 1, . . . ,
на основе равенств (41), (42) получаем
ak(T ) =
1
ψ(k)
(
ak(f) cos
βπ
2
+ bk(f) sin
βπ
2
)
,
bk(T ) =
1
ψ(k)
(
bk(f) cos
βπ
2
− ak(f) sin
βπ
2
)
.
Отсюда следует, что ряд Фурье функции T (x) действительно совпадает с рядом (39). Это
означает, что у функции f(x) действительно существует (ψ;β)-производная fψβ (x), которая
принадлежит пространству Lp(·), и для нее выполняется равенство
fψβ (x) = (Dψ
β tn)(x) +
∞∑
k=n+1
(
Dψ
β [tk − tk−1]
)
(x), n ∈ N, (43)
в метрике пространства Lp(·).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1260 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Для завершения доказательства пункта 1 теоремы осталось заметить, что неравенство (34)
следует из соотношения (43) с учетом оценки (40).
Для доказательства пунктов 2 и 3 теоремы будем использовать ту же схему. Пусть
{
tn(·)
}∞
n=1
— последовательность тригонометрических полиномов, которые осуществляют наилучшее при-
ближение функции f в пространстве Lp(·). Для каждого натурального n положим
n0 = n, n1 = [η(n)] + 1, . . . , nk = [η(nk−1)] + 1, . . . .
В этом случае ряд
tn0(x) +
∞∑
k=1
(tnk
(x)− tnk−1
(x))
будет сходиться в пространстве Lp(·) к функции f. Рассмотрим ряд
(Dψ
β tn0)(x) +
∞∑
k=1
(Dψ
β [tnk
− tnk−1
])(x) (44)
и убедимся, что он будет сходиться в пространстве Lp(·) к сумме T (x), ряд Фурье которой
имеет вид (39). Применяя неравенство (21) к разности uk(x) = tnk
(x)− tnk−1
(x), получаем
‖(Dψ
βuk)(·)‖p(·) ≤ CpEnk−1+1(f)p(·)|ψ(nk)|−1,
вследствие чего
∞∑
k=1
‖(Dψ
βuk)(·)‖p(·) ≤ Cp
(
En+1(f)p(·)(ψ(n))−1 +
∞∑
k=1
Enk+1(f)p(·)|ψ(nk)|−1
)
. (45)
Используя оценку (см. [14, c. 124, 125])
Enk+1(f)
ψ(nk)
≤
nk−1∑
ν=nk−1
Eν+1(f)
νψ(ν)
, ψ ∈M0,
из соотношения (45) получаем
∞∑
k=1
‖(Dψ
βuk)(·)‖p(·) ≤ Cp
(
En+1(f)p(·)(ψ(n))−1 +
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)|kψ(k)|−1
)
. (46)
Согласно условиям пункта 2 теоремы ряд в правой части неравенства (46) сходится. Отсюда
следует, что и ряд (44) будет сходиться в пространстве Lp(·) к некоторой функции T ∈ Lp(·),
и для завершения доказательства пункта 2 теоремы осталось показать, что S[T ] = S[fψβ ]. Для
этого повторим рассуждения, которые были использованы для получения равенства (43), и
получим неравенство (35) путем объединения аналога равенства (43) и соотношения (46).
Доказательство пункта 3 теоремы проводится аналогично, с учетом следующего аналога
неравенства (46) из монографии [14, c. 125, 126]:
∞∑
k=1
‖(Dψ
βuk)(·)‖p(·) ≤ Cp
(
En+1(f)p(·)(ψ(n))−1 +
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)|ψ(k)(η(k)− k)|−1
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1261
Пусть f ∈ Lp(·), p ∈ Pγ , γ ≥ 1, и
fh(x) :=
1
h
x+h/2∫
x−h/2
f(t) dt, 0 < h < 1, x ∈ [0; 2π],
— оператор Стеклова функции f. С учетом равномерной ограниченности операторов Стекло-
ва в пространствах f ∈ Lp(·) (см. [9]) в статье [15] в рассмотрение были введены модули
непрерывности дробного порядка
Ωα(f ; δ)p(·) := sup
hi,h<δ
∥∥∥∥∥∥
[α]∏
i=1
(f − fhi)σ
β
h(f)
∥∥∥∥∥∥
p(·)
, β = α− [α],
σβh(f) =
∞∑
k=0
(−1)k
(
β
k
)
1
hk
h/2∫
−h/2
. . .
h/2∫
−h/2
f(x+
k∑
j=1
uk)
k∏
j=1
duk, 0 < β < 1,
(
β
k
)
:=
β(β − 1) . . . (β − k + 1)
k!
, k > 1;
(
β
1
)
:= β;
(
β
0
)
:= 1,
и для этих величин было доказано следующее утверждение.
Теорема C. Если α > 0 и f ∈ Lp(·), где p ∈ Pγ , γ ≥ 1, то для n = 0, 1, . . . , выполняется
неравенство
Ωα
(
f ;
π
n+ 1
)
p(·)
≤ c
(n+ 1)α
n∑
k=0
(k + 1)α−1Ek(f)p(·), (47)
где c — положительная постоянная, которая зависит только от α и p = p(x).
Используя теорему C, из теоремы 3 получаем такое следствие.
Следствие 2. В условиях теоремы 3 для любого α > 0:
1) если ψ ∈M и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|ψ(k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
Ωα
(
fψβ ;
π
n+ 1
)
p(·)
≤ C1
(
1
(n+ 1)α
n∑
k=1
(k + 1)α
ψ(k)
Ek(f)p(·) +
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)
ψ(k)
)
, n ∈ N; (48)
2) если ψ ∈M0 и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|kψ(k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1262 C. О. ЧАЙЧЕНКО
Ωα
(
fψβ ;
π
n+ 1
)
p(·)
≤ C2
(
1
(n+ 1)α
n∑
k=1
(k + 1)α−1
ψ(k)
Ek(f)p(·) +
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)
kψ(k)
)
, n ∈ N;
(49)
3) если ψ ∈ F, η(ψ; t)− t ≥ K > 0 и сходится ряд
∞∑
k=1
Ek(f)p(·)|ψ(k)(η(k)− k)|−1,
то существует производная fψβ , для которой
Ωα
(
fψβ ;
π
n+ 1
)
p(·)
≤ C3
(
1
(n+ 1)α
n∑
k=1
(k + 1)α
ψ(k)(η(k)− k)
Ek(f)p(·)+
+
∞∑
k=n+1
Ek(f)p(·)
ψ(k)(η(k)− k)
)
, n ∈ N, (50)
гдеCi, i = 1, 2, 3,— постоянные, которые зависят только от α, последовательности ψ = ψ(k)
и функции p = p(x).
Доказательство. Применяя теорему C к функции fψβ , существование которой гарантирует
теорема 3, и оценивая величины наилучших приближений (ψ;β)-производной Ek(f
ψ
β )p(·) с
помощью соотношения (34), получаем
Ωα
(
fψβ ;
π
n+ 1
)
p(·)
≤ C
(n+ 1)α
n∑
k=0
(k + 1)α−1
∞∑
j=k
Ej(f)p(·)|ψ(j)|−1.
Принимая во внимание тождество
n∑
k=0
ak
∞∑
j=k
bk =
n∑
k=0
bk
k∑
j=0
aj +
∞∑
k=n+1
bk
n∑
j=0
aj ,
и оценку
1
(k + 1)α
k∑
j=0
(j + 1)α−1 =
1
k + 1
k∑
j=0
(
j + 1
k + 1
)α−1
≤ 1, k = 0, 1, . . . , n,
получаем соотношение (48). Пункты 2 и 3 следствия доказываются аналогично.
Теорема 4. Пусть f ∈ Lp(·), где p ∈ Pγ , γ ≥ 1, причем p(x) ≤ p̄ < ∞ и ψ ∈ M′. Тогда
существует тригонометрический полином Tn ∈ Tn, для которого выполняется неравенство∥∥fψβ − (Dψ
βTn)
∥∥
p(·) ≤ cpEn+1(f
ψ
β )p(·), (51)
где cp — постоянная, которая зависит только от функции p = p(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1263
Заметим, что в случае ψ(n) = n−α, β = α, α > 0, n ∈ N, утверждение теоремы 4 совпадает
с теоремой 5 работы [15].
Доказательство. Положим для удобства [η(0)] := 1 и обозначим через
Vn,[η(n)](f) = Vn,[η(n)](f ;x) :=
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
Sk(f ;x), n = 0, 1, . . . , (52)
средние Валле Пуссена функции f.
Отметим некоторые свойства величин Vn,[η(n)](f ;x). Очевидно, что для произвольного три-
гонометрического полинома Pn(x) порядка не выше n выполняется равенство
Vn,[η(n)](Pn;x) = Pn(x). (53)
Кроме того, принимая во внимание соотношение (7), получаем оценку
‖Vn,[η(n)](f)‖p(·) ≤
1
[η(n)]− n
[η(n)]−1∑
k=n
‖Sk(f ; ·)‖p(·) ≤ cp‖f‖p(·). (54)
Обозначая через tn(x) полином наилучшего приближения суммы Валле Пуссена Vn,[η(n)](f)
функции f в пространстве Lp(·) порядка n, a через Tn(x) полином наилучшего приближения
функции f порядка n и используя неравенство (7), находим
En+1(Vn,[η(n)])p(·) =
∥∥Vn,[η(n)](f)− tn
∥∥
p(·) ≤
∥∥Vn,[η(n)](f)− Tn
∥∥
p(·) =
=
∥∥∥∥∑[η(n)]−1
k=n
(Sk(f ; ·)− Tn(·))
∥∥∥∥
p(·)
[η(n)]− n
=
∥∥∥∥∑[η(n)]−1
k=n
Sk(f − Tn; ·)
∥∥∥∥
p(·)
[η(n)]− n
≤
≤ cp‖f − Tn‖p(·) = cpEn+1(f)p(·). (55)
Покажем, что в качестве полинома, который удовлетворяет соотношению (51), может быть
взят Tn(x) — полином наилучшего приближения функции f в пространстве Lp(·) порядка n.
Имеем ∥∥fψβ − (Dψ
βTn)
∥∥
p(·) ≤
≤
∥∥fψβ − Vn,[η(n)](fψβ )
∥∥
p(·) +
∥∥(Dψ
β tn)− (Dψ
βTn)
∥∥
p(·) +
∥∥Vn,[η(n)](fψβ )− (Dψ
β tn)
∥∥
p(·) =:
=: R1(f) +R2(f) +R3(f). (56)
Обозначая еще через T ∗n(x) полином наилучшего приближения производной fψβ порядка n,
на основании соотношений (53) и (54) находим
R1(f) =
∥∥fψβ − Vn,[η(n)](fψβ )
∥∥
p(·) ≤
≤ ‖fψβ − T
∗
n‖p(·) +
∥∥T ∗n − Vn,[η(n)](fψβ )
∥∥
p(·) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1264 C. О. ЧАЙЧЕНКО
= En+1(f
ψ
β )p(·) +
∥∥Vn,[η(n)](T ∗n − fψβ )
∥∥
p(·) ≤
≤ En+1(f
ψ
β )p(·) + cp‖fψβ − T
∗
n‖p(·) ≤ cpEn+1(f
ψ
β )p(·). (57)
На основании (9) для произвольной функции f ∈ Lp(·), p ∈ Pγ , γ ≥ 1, получаем оценку
‖Vn,[η(n)](f)− f‖p(·) =
∥∥∥∥∑[η(n)]−1
k=n
(
Sk(f ; ·)− f(·)
)∥∥∥∥
p(·)
[η(n)]− n
= O(1)En+1(f)p(·). (58)
Применяя неравенство (21) и принимая во внимание соотношения (55) и (58), находим
R2(f) =
∥∥(Dψ
β tn)− (Dψ
βTn)
∥∥
p(·) ≤
cp
ψ(n)
‖tn − Tn‖p(·) ≤
≤ cp
ψ(n)
(
‖tn − Vn,[η(n)](f)‖p(·) + ‖Vn,[η(n)](f)− f‖p(·) + ‖f − Tn‖p(·)
)
≤
≤ cp
ψ(n)
En+1(f)p(·). (59)
Наконец, учитывая равенство Vn,[η(n)](f
ψ
β ) =
(
Dψ
βVn,[η(n)](f)
)
, определение функции η(n) =
= η(ψ;n), снова применяя неравенство (21) и оценку (55), получаем
R3(f) =
∥∥(Dψ
βVn,[η(n)](f))− (Dψ
β tn)
∥∥
p(·) ≤
≤ cp
ψ([η(n)]− 1)
‖Vn,[η(n)](f)− tn‖p(·) =
=
cp
ψ([η(n)]− 1)
En+1(Vn,[η(n)])p(·) ≤
2cp
ψ(n)
En+1(f)p(·). (60)
Объединяя теперь соотношения (16), (56), (57) и (59), (60), получаем утверждение теоремы.
Теорема доказана.
1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(x)([0; 1]) // Мат. заметки. – 1979. – 26, № 4. – С. 613 – 632.
2. Kováčik O., Rakósnı́k J. On spaces Lp(x) and W k,p(x) // Chech. Math. J. – 1991. – 41(116), № 4. – P. 592 – 618.
3. Musielak J. Orlicz spaces and modular spaces. – Berlin: Springer, 1983.
4. Orlicz W. Über conjugierte Exponentenfolgen // Stud. Math. – 1931. – 3. – P. 200 – 211.
5. Nakano H. Topology of linear topological spaces. – Tokyo: Maruzen Co. Ltd., 1951.
6. Samko S. G. Differentiation and integration of variable order and the spaces Lp(x) // Proc. Int. Conf. Operator
Theory and Complex and Hypercomplex Analysis (Mexico, 12 – 17 December 1994): Contemp. Math. – 1994. – 212.
– P. 203 – 219.
7. Шарапудинов И. И. О равномерной ограниченности в Lp (p = p(x)) некоторых семейств операторов сверт-
ки // Мат. заметки. – 1996. – 59 (2). – С. 291 – 302.
8. Fan X., Zhao D. On the spaces Lp(x) and Wm,p(x) // J. Math. Anal. and Appl. – 2001. – 263, № 2. – P. 424 – 446.
9. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближения в пространствах Lp(x)(E) // Anal. Math. – 2007.
– 33. – P. 135 – 153.
10. Diening L., Ruzicka M. Calderon – Zigmund operators on generelized Lebesgue spaces Lp(x) and problems releted
to fluid dynamics. — Preprint / Albert-Ludwings-Univ. Freiburg, 21/2002, 04.07.2002.
11. Ruzicka M. Electroreological fluids: Modeling and mathematical theory // Lect. Notes Math. – 2000. – 1748. – 176 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 1265
12. Samko S. G. On a progress in the theory of Lebesgue spaces whith variable exponent: Maximal and Singular operators
// Integral Transforms Spec. Funct. – 2005. – 16, № 5 – 6. – P. 461 – 482.
13. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. I. – 427 с.
14. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Ч. 2. – 468 c.
15. Akgün R. Trigonometric approximation of functions in generalized lebesgue spaces with variable exponent // Укр.
мат. журн. – 2011. – 63, № 1. – С. 3 – 23.
16. Степанец А. И., Кушпель А. К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций. –
Киев, 1984. – 44 с. – (Препринт / АН УССР, Ин-т математики; 84.15).
17. Степанец А. И., Кушпель А. К. Скорость сходимости рядов Фурье и наилучшие приближения в пространстве
Lp // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 4. – С. 483 – 492.
18. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
19. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной сте-
пени (1912) // Собр. соч. – Т. I. (1952). – C. 11 – 104.
20. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
21. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 407 с.
22. Жукина Е. И. Теоремы вложения // Приближение периодических функций в метрике пространства Lp. – Киев,
1987. – С. 3 – 32. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 87.47).
23. Степанец А. И. Обратные теоремы приближения периодических функций // Укр. мат. журн. – 1995. – 47, № 9.
– С. 1266 – 1273.
24. Конюшков А. А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Мат.
сб. – 1958. – 44 (86), № 1. – С. 53 – 84.
Получено 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|