Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам
Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi про...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Український математичний журнал
2012
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164523 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам / В.В. Билет // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1273-1281. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164523 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1645232025-02-09T11:50:34Z Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам Geodesic spaces tangent to metric spaces Билет, В.В. Короткі повідомлення Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi простори до даного метричного простору є геодезичними. We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point. We find a sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic. This condition is almost exact in the sense that it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a given metric space are geodesic. 2012 Article Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам / В.В. Билет // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1273-1281. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164523 517.124.4 ru Український математичний журнал application/pdf Український математичний журнал |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення |
| spellingShingle |
Короткі повідомлення Короткі повідомлення Билет, В.В. Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам Український математичний журнал |
| description |
Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi простори до даного метричного простору є геодезичними. |
| format |
Article |
| author |
Билет, В.В. |
| author_facet |
Билет, В.В. |
| author_sort |
Билет, В.В. |
| title |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_short |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_full |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_fullStr |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_full_unstemmed |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| title_sort |
геодезические касательные пространства к метрическим пространствам |
| publisher |
Український математичний журнал |
| publishDate |
2012 |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164523 |
| citation_txt |
Геодезические касательные пространства к метрическим пространствам / В.В. Билет // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 9. — С. 1273-1281. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT biletvv geodezičeskiekasatelʹnyeprostranstvakmetričeskimprostranstvam AT biletvv geodesicspacestangenttometricspaces |
| first_indexed |
2025-11-25T22:34:05Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:34:05Z |
| _version_ |
1849803454971641856 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.124.4
В. В. Билет (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ
We investigate the geometry of spaces tangent and pretangent to general metric spaces with marked point. We find a
sufficient condition under which every separable tangent space is geodesic. This condition is almost exact in the sense that
it is necessarily satisfied if all spaces pretangent to a given metric space are geodesic.
Дослiджується геометрiя дотичних та переддотичних просторiв до загальних метричних просторiв iз вiдмiченою
точкою. Знайдено достатню умову, за якою довiльний сепарабельний дотичний простiр є геодезичним. Ця умова є
майже точною в тому сенсi, що вона обов’язково виконується, якщо всi переддотичнi простори до даного метричного
простору є геодезичними.
1. Введение. Предкасательные и касательные пространства, используемые в настоящей работе,
были введены в [7] (см. также [8]) для определения обобщенного дифференцирования на
метрических пространствах без линейной структуры.
В данной работе найдено условие геодезичности касательных пространств к общим мет-
рическим пространствам. Выбор геодезичности как основного объекта исследования основан
на том, что многие модельные геодезические пространства, например CAT (k)-пространства
(для подробного ознакомления см., например, [2], гл. 2, [3], гл. 4), G-пространства (или про-
странства геодезических), дезарговы пространства, гиперболические по Громову метрические
пространства и т. д. (более подробно об этих пространствах см. [4], гл. 6), находят все большее
применение при изучении проблем современной математики.
2. Предварительные замечания. Приведем необходимые определения.
Пусть (X, d) — метрическое пространство и p — точка из X. Зафиксируем некоторую по-
следовательность r̃ положительных вещественных чисел rn, стремящихся к нулю. Назовем r̃
нормирующей (или масштабирующей) последовательностью. Будем обозначать через X̃ мно-
жество всех последовательностей точек из X.
Определение 1. Две последовательности x̃, ỹ ∈ X̃, x̃ = {xn}n∈N и ỹ = {yn}n∈N, взаимно
стабильны относительно нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N, если существует
конечный предел
lim
n→∞
d(xn, yn)
rn
:= d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃(x̃, ỹ). (1)
Cемейство F̃ ⊆ X̃ самостабильное, если любые две последовательности x̃, ỹ ∈ F̃ взаимно
стабильны, F̃ ⊆ X̃ — максимальное самостабильное, если F̃ самостабильное и для произволь-
ной z̃ ∈ X̃ \ F̃ существует x̃ ∈ F̃ такая, что x̃ и z̃ не взаимно стабильны.
Предложение 1. Пусть (X, d) — метрическое пространство и p ∈ X, тогда для каждой
нормирующей последовательности r̃ = {rn}n∈N существует максимальное самостабильное
семейство X̃p,r̃ такое, что постоянная последовательность p̃ = {p, p, . . .} принадлежит X̃p,r̃.
c© В. В. БИЛЕТ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9 1273
1274 В. В. БИЛЕТ
Рассмотрим функцию d̃ : X̃p,r̃ × X̃p,r̃ → R, где d̃(x̃, ỹ) = d̃r̃(x̃, ỹ) определена через (1).
Очевидно, d̃ симметрична и неотрицательна. Кроме того, из неравенства треугольника для d
имеем
d̃(x̃, ỹ) ≤ d̃(x̃, z̃) + d̃(z̃, ỹ)
для всех x̃, ỹ, z̃ из X̃p,r̃. Следовательно,
(
X̃p,r̃, d̃
)
— псевдометрическое пространство.
Определим отношение эквивалентности ∼ на X̃p,r̃ как x̃ ∼ ỹ тогда и только тогда, когда
d̃r̃(x̃, ỹ) = 0. Обозначим через ΩX
p,r̃ множество всех классов эквивалентности на X̃p,r̃, порож-
денных отношением ∼ . Для α, β ∈ ΩX
p,r̃ положим ρ(α, β) = d̃(x̃, ỹ), где x̃ ∈ α, ỹ ∈ β, тогда
ρ — метрика на ΩX
p,r̃. Переход от псевдометрического пространства
(
X̃p,r̃, d̃
)
к метрическому
пространству
(
ΩX
p,r̃, ρ
)
будем называть метрической идентификацией
(
X̃p,r̃, d̃
)
.
Определение 2. Пространство
(
ΩX
p,r̃, ρ
)
называется предкасательным к X в точке p
относительно нормирующей последовательности r̃.
Заметим, что ΩX
p,r̃ 6= ∅, так как постоянная последовательность p̃ лежит в X̃p,r̃ (см. пред-
ложение 1).
Пусть {nk}k∈N — бесконечная строго возрастающая последовательность натуральных чи-
сел. Обозначим через r̃′ подпоследовательность {rnk
}k∈N нормирующей последовательности
r̃ = {rn}n∈N и пусть x̃′ := {xnk
}k∈N для каждой x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃. Ясно, что если x̃ и ỹ
взаимно стабильны относительно r̃, то x̃′ и ỹ′ взаимо стабильны относительно r̃′ и
d̃r̃(x̃, ỹ) = d̃r̃′(x̃
′, ỹ′). (2)
Если X̃p,r̃ — максимальное самостабильное относительно r̃ семейство, то, по лемме Цорна,
существует максимальное самостабильное относительно r̃′ семейство X̃p,r̃′ такое, что{
x̃′ : x̃ ∈ X̃p,r̃
}
⊆ X̃p,r̃′ .
Обозначим через inr̃′ отображение из X̃p,r̃ в X̃p,r̃′ с inr̃′(x̃) = x̃′ для всех x̃ ∈ X̃p,r̃.
После метрической идентификации отображение inr̃′ переходит в изометрическое вложение
em′ : ΩX
p,r̃ → ΩX
p,r̃′ , для которого диаграмма
X̃p,r̃
inr̃′−−−−→ X̃p,r̃′
π
y
yπ′
ΩX
p,r̃
em′
−−−−−→ ΩX
p,r̃′
(3)
коммутативна. Здесь π и π′ — отображения проектирования на соответствующие фактор-
пространства, π(x̃) :=
{
ỹ ∈ X̃p,r̃ : d̃r̃(x̃, ỹ) = 0
}
и π′(x̃) :=
{
ỹ ∈ X̃p,r̃′ : d̃r̃′(x̃, ỹ) = 0
}
.
Пусть X и Y — два метрических пространства. Напомним, что отображение f : X →
→ Y называется изометрией, если f сохраняет расстояние и биективно. Будем говорить, что
предкасательное пространство ΩX
p,r̃ является касательным, если em′ : ΩX
p,r̃ → ΩX
p,r̃′ — изометрия
для каждого X̃p,r̃′ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1275
Замечание 1. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство с соответствующим
предкасательным пространством ΩX
p,r̃. Легко видеть, что ΩX
p,r̃ является касательным тогда и
только тогда, когда для каждой подпоследовательности r̃′ = {rnk
}k∈N последовательности r̃
семейство {x̃′ : x̃ ∈ X̃p,r̃} — максимальное самостабильное по отношению к r̃′.
Следующие стандартные определения можно найти, например, в [2, 3].
Определение 3. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Кривая γ : [0, d(x, y)] →
→ X такая, что:
γ(0) = x,
γ
(
d(x, y)
)
= y,
d(γ
(
t1), γ(t2)
)
= |t1 − t2| для любых t1, t2 ∈ [0, d(x, y)],
называется геодезической с концами x, y ∈ X.
Определение 4. Метрическое пространство (X, d) является геодезическим простран-
ством, если любые две точки x, y ∈ X могут быть соединены геодезической.
Определение 5. Метрическое пространство (X, d) называется срединно выпуклым (или
допускающим срединное отображение), если для любых различных точек x, y ∈ X существует
третья точка z ∈ X, называемая срединной точкой, для которой выполняются равенства
d(x, y) = d(x, z) + d(z, y) и d(x, z) =
1
2
d(x, y). (4)
Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Определение 6. Будем говорить, что пространство X является срединно выпуклым в
точке p, если для любых двух последовательностей x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃ и ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃,
сходящихся к p, найдется последовательность z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, z̃ = z̃(x̃, ỹ) такая, что
d(xn, zn) =
1
2
d(xn, yn) + o
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
)
(5)
и
d(yn, zn) =
1
2
d(xn, yn) + o
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
)
, (6)
где
d(xn, p) ∨ d(yn, p) = max
{
d(xn, p), d(yn, p)
}
,
а формулы (5) и (6) означают, что
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= lim
n→∞
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0. (7)
Замечание 2. При d(xn, p) = d(yn, p) = 0 формула (7) не определена, но ее легко доопре-
делить, как это сделано ниже в формуле (9).
Очевидно, что любое срединно выпуклое пространство X является срединно выпуклым
в каждой точке p. Обратное утверждение не верно. Окружность T = {z ∈ C : |z| = 1} с
обычной нормой, индуцированной из комплексной плоскости C, является примером полного
метрического пространства, срединно выпуклого в любой точке p ∈ T, но не допускающего
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1276 В. В. БИЛЕТ
срединного отображения. Это можно проверить непосредственно исходя из определений или
получить из следствия 2, приведенного в следующем пункте работы.
Следующее утверждение является переформулировкой определения 6.
Утверждение 1. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Пространство X срединно выпукло в точке p тогда и только тогда, когда
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
= 0, (8)
где Ψ — функция, определенная на X ×X ×X правилом
Ψ(x, y, z) :=
∣∣∣∣d(x, z)− 1
2
d(x, y)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(y, z)− 1
2
d(x, y)
∣∣∣∣
d(x, p) ∨ d(y, p)
при d(x, p) ∨ d(y, p) > 0,
0 при x = y = z = p,
∞ при x = y = p, z 6= p.
(9)
Доказательство. Пусть X — срединно выпукло в точке p, но
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
> 0. (10)
Тогда найдутся последовательности x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃, ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃ и число ε0 > 0, для
которых limn→∞ d(xn, p) = limn→∞ d(yn, p) = 0, и
inf
z∈X
Ψ(xn, yn, z) > ε0 (11)
при всех n ∈ N. Из (11) следует, что d(xn, p)∨d(yn, p) > 0, так как если d(xn, p)∨d(yn, p) = 0,
то xn = yn = p, и в силу (9) имеем Ψ(xn, yn, p) = 0, а это противоречит (11). Поскольку X
срединно выпукло в точке p, найдется последовательность z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, z̃ = z̃(x̃, ỹ) такая,
что
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= lim
n→∞
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0,
откуда
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0.
Тогда, используя (9), находим
lim
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0.
Полученное соотношение противоречит (11). Следовательно, еслиX срединно выпукло в точке
p, то lim supx,y→p
(
infz∈X Ψ(x, y, z)
)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1277
Для доказательства достаточности предположим, что справедливо (8). Тогда для любых
двух последовательностей x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃ и ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃, сходящихся к p, имеем
lim sup
n→∞
inf
z∈X
(
Ψ(xn, yn, z)
)
= 0.
Следовательно, существует z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃, для которой
lim sup
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0. (12)
Поскольку при всех n ∈ N
Ψ(xn, yn, zn) ≥
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
≥ 0
и
Ψ(xn, yn, zn) ≥
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
≥ 0,
из этих неравенств и (12) следует (7), что и доказывает достаточность.
Утверждение доказано.
3. Основные результаты. Нам понадобятся следующие известные результаты из [1, 2, 7].
Утверждение 2 [7, с. 17]. Пусть (X, d) — метрическое пространство, p ∈ X и r̃ =
= {rn}n∈N — нормирующая последовательность. Тогда любое касательное пространство ΩX
p,r̃
является полным.
Утверждение 3 ([2, с. 4], см. также [4, с. 25]). Полное метрическое пространство явля-
ется геодезическим метрическим пространством тогда и только тогда, когда оно срединно
выпукло.
Лемма 1 [1]. Пусть (X, d) — метрическое пространство с отмеченной точкой p, B —
счетное подсемейство X̃, r̃ — нормирующая последовательность и X̃p,r̃ — максимальное са-
мостабильное семейство. Предположим, что неравенство
lim sup
n→∞
d(zn, p)
rn
<∞ (13)
выполняется для любой z̃ = {zn}n∈N ∈ B и предкасательное пространство ΩX
p,r̃ = π(X̃p,r̃)
сепарабельное и касательное. Тогда существует строго возрастающая, бесконечная последо-
вательность {nk}k∈N натуральных чисел такая, что для любой z̃ = {zn}n∈N ∈ B существует
t̃ = {tn}n∈N ∈ X̃p,r̃ такая, что z̃′ = t̃′, т. е равенство
znk
= tnk
(14)
выполняется для любого k ∈ N.
Следующая теорема дает необходимое условие геодезичности сепарабельных касательных
пространств.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1278 В. В. БИЛЕТ
Теорема 1. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если
X является срединно выпуклым в точке p, то любое сепарабельное касательное пространство
ΩX
p,r̃ является геодезическим.
Доказательство. Пусть X — срединно выпукло в точке p, а ΩX
p,r̃ — произвольное сепа-
рабельное касательное пространство. Тогда, в силу утверждений 2 и 3, ΩX
p,r̃ — геодезическое
пространство, если для любых β, γ ∈ ΩX
p,r̃ существует точка θ ∈ ΩX
p,r̃ такая, что
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(γ, β). (15)
Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, соответствующее ΩX
p,r̃, и x̃, ỹ ∈ X̃p,r̃
такие, что π(x̃) = β, π(ỹ) = γ, β 6= γ, где π — естественная проекция (см. (3)). Необходимо
показать, что существует θ ∈ ΩX
p,r̃, для которого выполнено (15). Пусть z̃ = {zn}n∈N ∈ X̃ —
последовательность точек, для которой выполнены соотношения (5) и (6). Тогда
lim sup
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
rn
=
= lim sup
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
(
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
rn
)
=
=
(
ρ(α, β) ∨ ρ(α, γ)
)
lim
n→∞
∣∣∣∣12d(xn, yn)− d(xn, zn)
∣∣∣∣
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
= 0, (16)
где α = π(p̃), p̃ = (p, p, . . .) и ρ(α, β) ∨ ρ(α, γ) > 0, так как β 6= γ. Из (16) следует, что
lim
n→∞
1
2
d(xn, yn)− d(xn, zn)
rn
= 0.
Аналогично получаем
lim
n→∞
1
2
d(xn, yn)− d(yn, zn)
rn
= 0.
Следовательно,
lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)
rn
=
1
2
ρ(β, γ). (17)
Проверим выполнение неравенства (13). В силу неравенства треугольника
d(zn, p) ≤ d(zn, xn) + d(p, xn).
Отсюда, используя (17), имеем
lim sup
n→∞
d(zn, p)
rn
≤ 1
2
ρ(β, γ) + ρ(α, β),
что доказывает (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1279
Воспользуемся леммой 1 с B, состоящим из единственного элемента {zn}n∈N. Тогда су-
ществуют строго возрастающая последовательность натуральных чисел {nk}k∈N и последова-
тельность t̃′ = {tnk
}k∈N ∈ X̃p,r̃′ такие, что
tnk
= znk
(18)
для любого k ∈ N. Пусть t̃ ∈ X̃p,r̃ — последовательность, для которой inr̃′(t̃) = t̃′ (см. (3)).
Положим θ = π(t̃). Тогда, используя (17) и (18), получаем
ρ(β, θ) = lim
n→∞
d(xn, tn)
rn
= lim
k→∞
d(xnk
, tnk
)
rnk
= lim
k→∞
d(xnk
, znk
)
rnk
= lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
=
1
2
ρ(β, γ).
Аналогично имеем
ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ).
Следовательно,
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ),
что и доказывает (15).
Теорема доказана.
Следствие 1. Любое сепарабельное касательное пространство ΩX
p,r̃ является геодезиче-
ским для любого геодезического пространства X и любой точки p ∈ X.
Теорема 2. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p. Если
все предкасательные пространства ΩX
p,r̃ являются геодезическими, то X — срединно выпукло
в точке p.
Доказательство. Пусть все предкасательные пространства ΩX
p,r̃ являются геодезическими,
но X не является пространством, срединно выпуклым в точке p. Тогда, в силу утверждения 1,
lim sup
x,y→p
(
inf
z∈X
Ψ(x, y, z)
)
> 0, (19)
где отображение Ψ: X × X × X → [0,∞] определено формулой (9). В силу (19) найдутся
последовательности x̃ = {xn}n∈N ∈ X̃, ỹ = {yn}n∈N ∈ X̃ и число ε0 > 0, для которых
lim
n→∞
d(xn, p) = lim
n→∞
d(yn, p) = 0, (20)
и
inf
z∈X
Ψ(xn, yn, z) > ε0 (21)
при всех n ∈ N. Последовательности{
d(xn, yn)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
,
{
d(xn, p)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
,
{
d(yn, p)
d(xn, p) ∨ d(yn, p)
}
n∈N
являются ограниченными. Переходя к подпоследовательности, можем считать, что все эти
последовательности сходятся. Положим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
1280 В. В. БИЛЕТ
rn = d(xn, p) ∨ d(yn, p), n ∈ N. (22)
Соотношения (20) и (21) влекут равенство
lim
n→∞
rn = 0 (23)
и неравенство rn > 0 для всех n ∈ N. Действительно, равенство (23) очевидно. Если rn = 0,
то xn = yn = p. Используя (9), получаем Ψ(xn, yn, p) = 0, что противоречит (21). Следова-
тельно, последовательность r̃ = {rn}n∈N можно принять в качестве нормирующей. Выше было
замечено, что последовательности x̃ = {xn}n∈N, ỹ = {yn}n∈N и p̃ = {p, p, . . .} можно выбрать
попарно взаимо стабильными. Пусть X̃p,r̃ — максимальное самостабильное семейство, содер-
жащее x̃ и ỹ, а ΩX
p,r̃ — соответствующее ему предкасательное пространство. По предположению
ΩX
p,r̃ является геодезическим. Следовательно, для точек β = π(x̃) и γ = π(ỹ) найдется θ ∈ ΩX
p,r̃
такая, что
ρ(β, θ) = ρ(γ, θ) =
1
2
ρ(β, γ). (24)
Пусть z̃ = {zn}n∈N — такой элемент из X̃p,r̃, для которого π(z̃) = θ. Равенство (24) можно
представить в виде
lim
n→∞
d(xn, zn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)
rn
=
1
2
lim
n→∞
d(xn, yn)
rn
,
откуда получаем
lim
n→∞
d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
rn
= lim
n→∞
d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
rn
= 0,
что дает
lim
n→∞
∣∣∣∣d(xn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣d(yn, zn)− 1
2
d(xn, yn)
∣∣∣∣
rn
= 0.
Отсюда, используя (22) и (9), находим
lim
n→∞
Ψ(xn, yn, zn) = 0.
Полученное соотношение противоречит (21). Таким образом, если все ΩX
p,r̃ являются геодези-
ческими, то X срединно выпукло в точке p.
Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 2. Пусть (X, d, p) — метрическое пространство с отмеченной точкой p.
Предположим, что любое предкасательное пространство ΩX
p,r̃ является сепарабельным и ка-
сательным. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) X срединно выпукло в точке p;
(ii) любое ΩX
p,r̃ является геодезическим.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА К МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВАМ 1281
Замечание 3. Примеры пространств, все предкасательные к которым являются сепара-
бельными и касательными, можно найти в [5]. Можно показать, что если X — выпуклое под-
множество на плоскости, то любое касательное пространство ΩX
p,r̃ изометрично наименьшему
замкнутому выпуклому конусу с вершиной в точке p, включающему X (см. [6]), а следователь-
но, является геодезическим.
1. Abdullayev F., Dovgoshey O., Küçükaslan M. Compactness and boundedness of tangent spaces to metric spaces //
Beitr. Algebra Geom. – 2010. – 51, № 2. – P. 547 – 576.
2. Bridson M., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. – Berlin: Springer-Verlag, 1999. – 645 p.
3. Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A course in metric geometry. – Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2001.
– 496 p.
4. Deza Е., Deza М. Dictionary of distances. – Amsterdam: Elsevier, 2008. – 444 p.
5. Dovgoshey O. Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces // Ukr. Math. Bull. – 2008. – 5, № 4. –
P. 459 – 477.
6. Dovgoshey O., Abdullayev F., Küçükaslan M. Tangent metric spaces to starlike sets on the plane // arXiv: 1203.0720
(math. MG).
7. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to metric spaces // Repts Math. – 2008. – 480. – 20 p.
8. Dovgoshey O., Martio O. Tangent spaces to general metric spaces // Rev. roum. math. pures et appl. – 2011. – 56,
№ 2. – P. 137 – 155.
Получено 05.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 9
|