О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине
Встановлено, що у сферичній системі координат фундаментальний розв’язок рівняння Гельмгольца у клині задовольняє на нескінченності умови випромінювання Зоммерфельда рівномірно за кутовими координатами. It is found that, in the spherical coordinate system, the fundamental solution of the Helmholtz e...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 1993 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1993
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164607 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине / Ю.И. Мельник, Ю.К. Подлипенко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1312–1314. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859608625722425344 |
|---|---|
| author | Мельник, Ю.И. Подлипенко, Ю.К. |
| author_facet | Мельник, Ю.И. Подлипенко, Ю.К. |
| citation_txt | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине / Ю.И. Мельник, Ю.К. Подлипенко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1312–1314. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Встановлено, що у сферичній системі координат фундаментальний розв’язок рівняння Гельмгольца у клині задовольняє на нескінченності умови випромінювання Зоммерфельда рівномірно за кутовими координатами.
It is found that, in the spherical coordinate system, the fundamental solution of the Helmholtz equation in a wedge satisfies the Sommerfeld radiation conditions at infinity uniformly in angle coordinates.
|
| first_indexed | 2025-11-28T07:58:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
YUK 519. 64
I IO. H. MeJibHHKI, n-p q>H3.-MaT. HayK (HH-T MaTeMaTHKH AH YKpaHHbl, Kues),
IO. K. Ilo~JIHIICHKO, Kann. q>H3.- MaT. ttayK (Kues. ytt-T)
0 (l)YHKUIUI rPMHA
,UJUI YPABHEHMR rEJihMrOJihUA B KJIMHE
It is found that , in the spherical coordinate system, the fundamental solution of the Helmholtz equation
in a wedge satisfies the Sommerfeld emission conditions at infinity uniformly with respect to the angle
coordinates.
BcTaHOBJJe HO, 11.10 y c<pepH'lHill CHCTeMi KOOpilHHaT <pyHJlaMeHTIIJlbHHll p038 'JIJOK piBHJIIIHJI re11bM
rOJ1bU3 y KJIHHi JailOBOJlbHJ1£ Ha HCCKiH'lCHHOCTI YMOBH BHllpoMiHIOBaHHJI 30MMep<pe11bna piBHOMiptto
38 KYTOBHMH KOOpilHHaTaMH. .
1. BBell,eM B JR 3 Cq:>epH'leCKYIO CRCTeMy KOOpll,RI!aT r, 8 , (j) (0~ r < oo, 0 ~ 8 ~ 1t,
O~<p~21t)Ro6o3Ha'IHM'lepe3 Q:={(r,8,<p)E JR 3 ir>O, 0<8<1t, O<q><<I>}
KJIHH c yr110M pacrnopa <I>, 0 <<I>~ 21t.
TTOJIO:lKHM
Y,,, = mrrJ<I>, m = l, 2, . .. ; M = (rM, 9M, 'PM)E Q, N = (rN, 9N, q>N) E Q;
P; (x) - npncoell.HHennbie cpynKQHH Jle:iKaHll,pa [ 1. rn. 3 ]; iv(x) - ccpeptt'leCKHe
q:>yHKQHH EecceJI.H, ~ 1\x) - ccpepH'ieCKHe cpyHKQHH XaHKeJIR [2. C. 256]; ,.< :=
:= min{rM, rN}, r > := max{rM, rN} H nyCTb
G(M. N) := : i sinymq>Msinl,,q>N i [2(11 +y111 )+ l] x
m= I >1=0
x 1(11 + 2y,,, + 1)(11! )-1 P,,-}-t .. (cos e,M) x
x Pn-/t,.. (cos8N)i,.+y,..(kr<)h!1~-y(h·>) (1)
- cpy1maMeHTaJibHoe peweHHe, Yll.OBJieTBOp.>I!Oll.lee B KJIHHe Q ypanueHHIO
2
{ _?( a )( ? a ) -2 . -1 8 ( a )( . 8 a ) -2 . _? 8 a
'°h{ drM 'M drM + rM sm M ae M sm M ae M + 'M sm - M d<p~ +
+ k 2 }G(M, N) = -r_v1 sin-I 8No(rM - rN )o(8M - 8N )o(q>M - <j)N)
u Kpaeab!M yc11oaH.>1M G(rM, eM, q>M, rN, 9N • <pN) = Otta ero rpattgx q>M = 0 H
q>M = <I> (CM., ttanpHMep, [3. c. 356]).
2. TeopeMa. <l>yHK4u.J1 G(M, N) npu ;i1060M (jJuKcupoeaHHOM N E Q yooo-
11emoop.Rem C AeOy10ufUM )'CIIOOU.JIM 11.3/l)''leHUJl 30MMep(jJe11b()a Ha 6eCKOHe'IHOCmU
G(M. N) = O(ri/ ), rM ➔ +oo,
f.::: G(M, N) - ikG(M, N) = o(ri/ ), r M ➔ +00 •
'M
pa6HOMepno llO O < 9M < 1t u O < q>M < <I>.
aoKa:Jame,n,cmeo. I. PacCMOTJ)HM CJIY'lafi
e ~ 9m ~ 1t - e,
r ll,e e - q:>HKCHpOBaHHoe ll.OCTaTO'IHO MaJioe IIOJIO:lKHTeJibHOe 'IHCJIO.
© IO. U. MEJlbilllK. IO. K. IlOJl.lUIITEHKO, 1993
(2)
(3)
(4)
1312 ISSN 0041-6053 . Y,q,. >-<am. ;A.'JP"·• 1993. m. 45 , N° 9
) <l> YIIKU1111 rr1111A }UHi YPABIIEIH151 rEJlbMrOJlbUA ... DIJ
)]..1 r>1 01\e11K11 o6wen> y1Ie11a p>11u1 ( I ) Bocnom,3yeMc>1 c1 Ie11yIow11M11 11 epa 11e11c-r-
11aMII [ 4, c. IO 18, 5. c. 27J:
'
p -Ym (cos0) 1 < rr I12(11+v )- I12r c11+ l)r- I (11+v + l)sin-'(,,,-l /20
n + "fm · - I m I m · •
r M > ro,
(5)
(6)
r He ] y(X) 1-1 //~1 \ r) - COOTBeTCTBe11110 l\liJll111LWHYeCKHe lf>YIIKI\HH Eecce101 H
Xa11KeJ1>1 , ,.M > r N, q - m o6oe nOJJO)KHTeJlblIOe YHCJIO, MellbWee e[lHHH l~bl , Aq -
nOCTO.Hlllla51 , 3aBHC.HW,,UI TOJlbKO OT q. 11cnOJlb3Y.H con Iowe111rn (2, C. 256)
ill+ "In (kTN) = 7t 1(2 (2krN)- 1(2 lll +"In+ ,12(krN).
l,;,~Ym (kTM) = 7tl /2(2krMfl /2 H~~Ym +l /2(krM)
11 HepaBeHCTBa (4) - (6), no1IriaeM
l sin (Y,11<pM)sin(Y,,,<pN)[2(11+y111 )+ l]r(11+2y111 + l)(11 1f 1 x
x P,;};~, (cos0M)P,;}.;~, (cos0N)J,, +-,,, (krN)h~~y ,,, (krM)I $
$ A [2(11 + Y;11 ) + )](11 + y,,, f I r(11 + 2y,,, + 1)(1(11 + Ym + l))- 2 111 X
• • 0 )-Ym-I(2 A / ) ) 2 n+ym+l/2 - I A A
x (s111£S111 N q\ 11 + Ym + 2 q rM, , q = const. (7)
_,,
0603HaYa51 8111, 11 := r ( 11 + 2y,,, + 1) 11!(1( 11 + y,,, + 1)) - H HCnOJlb3Y>I 113BeCTIIYIO
aCHMnTOTHYeCKyIO cpopMy JJY [I , C. 62 ]
lnf'(x+a) = (.r + a - ½)lnx -x+½Jn2rr + O(x- 1 ), X4+ 00 , a= const ,
nOCJTe rrpOCTbl.X rrpeo6pa30BallHH HMeeM
lno/11, 11 = (11 + 2ylll + ½)ln (11+2y,,,) -(11+2y,,,)+½ln21t+0((11+2y,,,r1)+
+ (11 + { )111 11 - 11 + -21 Jn 2rr + o(l) -2(11 + 2ylll + -21 ) 111 (11 + y,,,) + 2(11 + y,,.)-
- II
- In 2rr + 0 ( (11 + y111 f I) $ 2y111 + A , A = const,
TaK YTO
8,,, ,,, $ A exp(2y,,,). (8)
Ifa 11epaBeHCTB (7). (8) 11erKO 3aKJIIOLfaeM, '-ITO, Bbl6Hpa51 q AOCTaTO'IHO MaJJbTM,
MO)KHO A06HTbC51 Toro. '-IT06bl 06w,11i1 tJJ1e11 P51Aa (1) Ma)KOpHp0BaJIC51 BeJIH'-IHIJO"i:1
A(Q)1;i:;1Q" + Ym , me O < Q < l (H 3aBHCHT OT BbI60pa q), A(Q) - KOHCTairra (3aBH
C.HW,a.H OT Q). Orc1oaa Henocpe[lCTBeHHO CJleJ.J,yeT cnpaBeAJIHBOCTb aCHMnTOTH-
YeCKOll OL\eHKH (2) paBIJOMep110 no £ $ 0M $ 7t - £, 0 < <pM < <l>.
J.1cnOJJb3Y51 peKyppe11n1oe COOTIIOWe111-1e
c) hl l) ( ·) _ ( l' -1,(1) ( ) h(I) . -c- 11 +y X - - II + Y,,, + J-t 111+y X + n+y _1 (x) a.r m m m
H TOT q_)aKT, '-ITO Q.))'HK[\1-IH h~~Ym (krM) YAOBJleTBOp51IOT )'CJIOBHIO (3), a TaK)Ke
ISSN 0041-6053. YKp . Mam . »:yp11., 1993, m . ./5, N• 9
1314 IO. tt. MEJlbHttK, 10. K. non.rumEHKO
coo6pa)Kemu1, npuseJJ,em1b1e B [5. c . 28), ana.nonP-11-1 0 ycTa1-iasJmsaeM cnpaseJJ,JJH
BOCTb aCHMITTOTH'leCKOfi oueHKH (3) paBHOMepuo no £ s eM s n - £, 0 < cpM < <l>.
II. PaCCMOTpHM CJJy 'lafi 0 < 0M 5 £, 7C - £ 5 0M < 7C . (8 CI-IJIY H3BeCTHOro COOT
HOllleHHJI [ 4, C. 1020]
JJ,OCTaTO'IHO 01-paHH'IHTbCH CJJY'!aeM O < 0M 5 £.)
llcnOJib3YH mrrerpa.nb1-10e npeACTaBJ1e1-me [6, c. 53]
P;µ (cosS) = r-1 (v + µ + 1) J exp (-1 cosS)lµ (I sin0 )t dt,
0
0 < S < n / 2, Re (v + µ+ 1) > 0,
u HepaBeHCTBO [2, C. 184]
Ifµ (I sinS )I s 2 I½ sin0 Jµ n- 112 1 1 ( µ+½) ,
noJ1y'laeM
JP,;/,tm(cos0 M)I = 1r1cn+2y,,, + l)J exp(-1cos8M)Jym(1sin0M)''+Ym x
0
xt"+ Ymdt l < ?(lsine)Ymn:_112 r - 1(11+?v +l)r-1(v +l)x - - 2 -1 m I m 2
~ y
I ( ) n+1""'d ,.,(1 • )'"' -1/2( )- (11+2-y, +I)
X exp -/ COS£ t ' t = L. l S111 £ 7C COS£ m X
0
l1cnOJJb3YH Tenepb CXeMY JJ,OKa3aTeJJI,CTBa 'laCTlfl ( Mell5151 npH '.:)TOM Hepaneucrno (5)
Ha HepaBeHCTBO (9)), JierKO y 6e)KuaeMC5l s cnpaseummOCTH aCHMilTOTH'leCKHX
01~eHOK (2), (3) pan1-10Mep1-10 no 0 < SM s £ , n - £ s SM< n. 0 < <pM < <l>. TeopeMa
UOKa3aHa.
3 aMe'lauusi. 1. JlerKo BHUeTb, '!TO TeopeMa ocT aeTC}I c npaaeum-rnon LI.JUI
c:pyHKUHH G(M, N), YAOBJieTBOpHIOlllefi m t rpmrnx KJ1mia <p = 0 1-1 cp = <1> 6oJiee
06ll(HM KpaeBbIM YCJJOBH51M HJl.meH/(aHCHOro THna.
2. 113 LlOKa3aTeJJI,CTBa -repeMbl CJJeuyeT, '!TO aCIIMilTOTll'leCKHe o q eHK H (2) . (3)
51BJJ51IOTC51 pamIOMepHblMH no BCeM N, npm!aLJ.Ji e )Kall.(HM 3aMKHYTOMY orpaHH'lel-1110-
MY MHO)KeCTBY D C n.
3. TToJJy'leHilble pe3yJJbTaTbl AaIOT B03M0)K[-JOCTb nOCTpoe1-IH}I Teop1m no1emi11 -
a.na /J.]151 3..'U(a'I AH<:ppaKUHH Ha npemlTCTBHJIX, C()Aep)Kall.(HXC>I nnyrp11 KJllma.
1. 6el.1mMelt r ., 3 p oeiilt A . 8 1,1<.: urnc TpaHC(leH/ICIITllhlC q>yHKIJHH. - M.: H ay Ka , 1973. - 294 C.
2. Cnpaoo'<JtllK no c neUHaJlblfblM q >yHKI\HJ<M / IT011 pc;1. M. A6paM01n111a 1-1 H. C n11· ,111. - M.: llay Ka ,
1979. -830c.
3. <Pe11ce1t JI. , Map90111i H. v\ 3.11yYe1-1He 11 paccc>111Hc 1101111: B 2-x T. - M.: M 11p, 1978 . - T. 2 - 555 c.
4. rpao 111111e11" H. C., P blJK1tK H. M. Ta6m -1111~,;11i-crpa11on, cyMM, p J1 1~o n u npo113ue11c 111-1 r-1. - M .:
HayKa, 1971.- 1108 c.
5 . n oo,1u11e11KO IO. K. TeopH>i llOTC l·ILIHaJ!a JlJIJI 3a11ay /lH<t >JXl Kl\ 1-111 B KJll111e 1-1 CJ IOC . - K11cn, 1988. -
68 c . - (ITpenp1111T / AH YCCP. HH-T Mare,-1aTIIK H; 88.55).
6. Kwflle oe <Pepi,e ) I(. II Op. (l>yHKUI-IH M3TCMaHl 'ICCK0A q>l·l 3HKH. - M. : <!>1-1:iMal 1"1 13, 1963. - 102 C.
O OJl )''ICIIO 0 'i . 06. 91
ISSN 004/ .()()53. Y,;p . M ( l/11. ;,.ypll., /993. Ill . .J.5 . N" 9
0126
0127
0128
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164607 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T07:58:47Z |
| publishDate | 1993 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мельник, Ю.И. Подлипенко, Ю.К. 2020-02-10T09:41:24Z 2020-02-10T09:41:24Z 1993 О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине / Ю.И. Мельник, Ю.К. Подлипенко // Український математичний журнал. — 1993. — Т. 45, № 9. — С. 1312–1314. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164607 519.64 Встановлено, що у сферичній системі координат фундаментальний розв’язок рівняння Гельмгольца у клині задовольняє на нескінченності умови випромінювання Зоммерфельда рівномірно за кутовими координатами. It is found that, in the spherical coordinate system, the fundamental solution of the Helmholtz equation in a wedge satisfies the Sommerfeld radiation conditions at infinity uniformly in angle coordinates. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине On Green's function for the Helmholtz equation in a wedge Article published earlier |
| spellingShingle | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине Мельник, Ю.И. Подлипенко, Ю.К. Короткі повідомлення |
| title | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине |
| title_alt | On Green's function for the Helmholtz equation in a wedge |
| title_full | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине |
| title_fullStr | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине |
| title_full_unstemmed | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине |
| title_short | О функции Грина для уравнения Гельмгольца в клине |
| title_sort | о функции грина для уравнения гельмгольца в клине |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164607 |
| work_keys_str_mv | AT melʹnikûi ofunkciigrinadlâuravneniâgelʹmgolʹcavkline AT podlipenkoûk ofunkciigrinadlâuravneniâgelʹmgolʹcavkline AT melʹnikûi ongreensfunctionforthehelmholtzequationinawedge AT podlipenkoûk ongreensfunctionforthehelmholtzequationinawedge |