Про ∗-зображення деформацій CAR
Рассмотрены неприводимые ∗-представления деформаций канонических антикоммутационных соотношений (CAR), которые принадлежат классу ∗-алгебр, порожденных обобщенными куонами. We consider irreducible ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations (CAR) that belong to the class...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164647 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про ∗-зображення деформацій CAR / Д.П. Проскурін // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 203–214. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164647 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Проскурін, Д.П. Сукретний, К.М. 2020-02-10T10:30:31Z 2020-02-10T10:30:31Z 2010 Про ∗-зображення деформацій CAR / Д.П. Проскурін // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 203–214. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164647 517.98 Рассмотрены неприводимые ∗-представления деформаций канонических антикоммутационных соотношений (CAR), которые принадлежат классу ∗-алгебр, порожденных обобщенными куонами. We consider irreducible ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations (CAR) that belong to the class of ∗-algebras generated by generalized quons. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Про ∗-зображення деформацій CAR On ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про ∗-зображення деформацій CAR |
| spellingShingle |
Про ∗-зображення деформацій CAR Проскурін, Д.П. Сукретний, К.М. Статті |
| title_short |
Про ∗-зображення деформацій CAR |
| title_full |
Про ∗-зображення деформацій CAR |
| title_fullStr |
Про ∗-зображення деформацій CAR |
| title_full_unstemmed |
Про ∗-зображення деформацій CAR |
| title_sort |
про ∗-зображення деформацій car |
| author |
Проскурін, Д.П. Сукретний, К.М. |
| author_facet |
Проскурін, Д.П. Сукретний, К.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations |
| description |
Рассмотрены неприводимые ∗-представления деформаций канонических антикоммутационных соотношений (CAR), которые принадлежат классу ∗-алгебр, порожденных обобщенными куонами.
We consider irreducible ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations (CAR) that belong to the class of ∗-algebras generated by generalized quons.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164647 |
| citation_txt |
Про ∗-зображення деформацій CAR / Д.П. Проскурін // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 203–214. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT proskuríndp prozobražennâdeformacíicar AT sukretniikm prozobražennâdeformacíicar AT proskuríndp onrepresentationsofdeformationsofcanonicalanticommutationrelations AT sukretniikm onrepresentationsofdeformationsofcanonicalanticommutationrelations |
| first_indexed |
2025-11-25T22:13:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:13:40Z |
| _version_ |
1850560949059059712 |
| fulltext |
УДК 517.98
Д. П. Проскурiн (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
К. М. Сукретний (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR
Irreducible ∗-representations of deformations of canonical anticommutation relations (CAR) belonging to a
class of ∗-algebras generated by generalized quons are considered.
Рассмотрены неприводимые ∗-представления деформаций канонических антикоммутационных соотно-
шений (CAR), которые принадлежат классу ∗-алгебр, порожденных обобщенными куонами.
1. Вступ. Останнiм часом у зв’язку з численними застосуваннями в матема-
тичнiй фiзицi, теорiї операторiв, некомутативнiй теорiї ймовiрностей пiдвищив-
ся iнтерес до вивчення ∗-зображень скiнченнопороджених ∗-алгебр взагалi та ∗-
алгебр, породжених деформацiями канонiчних комутацiйних та антикомутацiйних
спiввiдношень квантової механiки, зокрема. Так, теорiя зображень деформованих
CCR (канонiчних комутацiйних спiввiдношень) використовується при побудовi
некласичних моделей у квантовiй механiцi, теорiї квантових однорiдних просторiв
тощо.
Метою даної роботи є опис класiв унiтарної еквiвалентностi незвiдних ∗-зобра-
жень деформацiй канонiчних антикомутацiйних спiввiдношень, якi позначатимемо
далi як λij-CAR. А саме, розглядатимемо ∗-алгебри, породженi твiрними ai, a
∗
i ,
i = 1, . . . , d, що задовольняють визначальнi спiввiдношення
a∗i ai + aia
∗
i = 1, a∗i aj = λijaja
∗
i , ajai = λijaiaj , i 6= j, (1)
де i, j = 1, . . . , d, λij = λji, λ
n
ij = 1 при всiх i 6= j. Нехай Λ = {λij , i 6= j}. Через
AΛ будемо позначати ∗-алгебру, породжену спiввiдношеннями (1).
Як приклад застосування опису незвiдних зображень λij-CAR наведемо ре-
алiзацiю унiверсальної C∗-алгебри, породженої спiввiдношеннями (1) для випадку
d = 2, λ4
12 = 1.
Зауважимо, що спiввiдношення (1) належать до широкого класу комутацiйних
спiввiдношень для узагальнених куонiв, що був уведений та вивчався в роботах
[1 – 3].
Нагадаємо, що ∗-алгебра, породжена CAR з d степенями свободи, має вигляд
B = C
〈
ai, a
∗
i |a∗i ai + aia
∗
i = 1, a∗i aj = −aja∗i , i 6= j,
ajai = −aiaj , a2
i = 0, i, j = 1 . . . , d
〉
.
Вiдомо (див., наприклад, [4]), що ∗-алгебра B має єдине незвiдне ∗-зображення у
просторi (C2)⊗d, i це зображення є фокiвським.
У роботi [5] вивчався вiкiвський аналог CAR-алгебри при d = 2. А саме, роз-
глядалась ∗-алгебра WCAR, породжена спiввiдношеннями
a∗i ai + aia
∗
i = 1, i = 1, 2,
a∗1a2 = −a2a
∗
1.
c© Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 203
204 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
У цьому випадку порушується теорема про єдинiсть незвiдного ∗-зображення. Про-
те всi незвiднi ∗-зображення є скiнченновимiрними, з розмiрностями, що не переви-
щують 4. Останнiй факт дозволяє реалiзувати обгортуючу C∗-алгебру, породжену
WCAR, як замкнену пiдалгебру алгебри неперервних матриць-функцiй на спектрi.
В роботi [6] розпочато вивчення бiльш широкого класу вiкiвських деформацiй CAR,
а саме, розглянуто ∗-алгебри λ-WCAR з d = 2, породженi спiввiдношеннями
a∗i ai + aia
∗
i = 1, i = 1, 2,
a∗1a2 = λa2a
∗
1, λ
n = 1.
У данiй роботi наведено класифiкацiю незвiдних ∗-зображень λ-WCAR та побу-
довано реалiзацiю обгортуючої C∗-алгебри за допомогою неперервних матриць-
функцiй.
2. Незвiднi ∗-зображення λij-CAR. Спочатку зауважимо, що будь-яке ∗-
зображення спiввiдношень (1) є обмеженим. Розглянемо довiльний набiр опера-
торiв {Ai, i = 1, . . . , d}, Ai : H → H, що задовольняють спiввiдношення (1).
Побудуємо лiвi полярнi розклади Ai = UiCi, i = 1, . . . , d, де Ci ≥ 0, Ui — частковi
iзометрiї та kerUi = kerCi = kerAi. Легко одержати наступне твердження.
Лема 1. Набiр операторiв {Ai, i = 1, . . . , d} ⊂ B(H) задовольняє спiввiд-
ношення (1) тодi i лише тодi, коли оператори Ci, Ui, де Ai = UiCi — полярнi
розклади, задовольняють спiввiдношення
UiC
2
i U
∗
i = 1− C2
i , CiCj = CjCi, i = 1, . . . , d,
C2
i Uj = UjC
2
i , i, j = 1, . . . , d, i 6= j, (2)
UjUi = λijUiUj , U∗i Uj = λijUjU
∗
i , i, j = 1, . . . , d, i 6= j.
Крiм того, неважко пересвiдчитись, що набiр {Ai, i = 1, . . . , d} буде незвiдним
тодi i лише тодi, коли набiр {Ui, U∗i , Ci, i = 1, . . . , d} буде незвiдним. Аналогiчна
властивiсть має мiсце щодо унiтарної еквiвалентностi наборiв.
Отже, тепер ми розглядатимемо набiр операторiв {Ui, Ci, i = 1, . . . , d}, що
задовольняють спiввiдношення (2). Нагадаємо опис незвiдних ∗-зображень спiв-
вiдношень (2) при d = 1 (див., наприклад, [4]).
Теорема 1. Всi незвiднi попарно нееквiвалентнi ∗-зображення спiввiдношення
UC2U∗ = 1− C2, C ≥ 0, kerU = kerC, (3)
де U — часткова iзометрiя, мають такий вигляд:
1) фокiвське зображення:
σ(C2) = {0, 1},
C2 =
(
1 0
0 0
)
, U =
(
0 0
1 0
)
;
2) зображення, пов’язанi з циклами довжини 2:
σ(C2) = {x, 1− x},
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR 205
C2 =
(
1− x 0
0 x
)
, U =
(
0 eiφ
1 0
)
, 0 < x <
1
2
, 0 ≤ φ < 2π;
3) зображення, пов’язанi з нерухомою точкою:
σ(C2) =
{
1
2
}
,
C2 =
1
2
, U = eiψ, 0 ≤ ψ < 2π.
Перейдемо до загального вигляду.
Лема 2. В незвiдному ∗-зображеннi AΛ спектр оператора C2
i зосереджений
на невiд’ємнiй орбiтi динамiчної системи, заданої вiдображенням f : x → 1 − x,
причому всi власнi числа мають однакову кратнiсть.
Доведення. Розглянемо незвiдний набiр {Ci, Ui, i = 1, . . . , d}, що задовольняє
спiввiдношення (2). Зафiксуємо деяке i ∈ {1, . . . , d}, тодi пара {C2
i , Ui} задає ∗-
зображення спiввiдношень (3). Звiдси випливає, що σ(C2
i ) є iнварiантним вiдносно
вiдображення x → 1 − x. Припустимо, що σ(C2
i ) не збiгається з орбiтою цього
вiдображення.
Розглянемо M ⊂ σ(C2
i ), iнварiантну вiдносно f, та спектральний проектор
EC2
i
(M). Тодi iз спiввiдношень
C2
i C
2
j = C2
jC
2
i , C2
i Uj = UjC
2
i , i, j = 1, . . . , d, i 6= j,
випливає
EC2
i
(M)C2
j = C2
jEC2
i
(M), EC2
i
(M)Uj = UjEC2
i
(M).
Тобто образ EC2
i
(M) є iнварiантним вiдносно Cj , Uj , U∗j , i, j = 1, . . . , d, j 6= i.
Але iз спiввiдношення C2
i Ui = Ui(1− C2
i ) випливає
EC2
i
(M)Ui = UiEC2
i
(f−1(M)),
звiдки очевидно, що образ EC2
i
(M) є iнварiантним вiдносно Ui. Таким чином,
для довiльної iнварiантної вiдносно f пiдмножини M ⊂ σ(C2
i ) образ EC2
i
(M) є
iнварiантним вiдносно всiх операторiв зображення. Тодi з незвiдностi зображення
випливає, що σ(C2
i ) зосереджений на орбiтi f.
Для доведення твердження про кратнiсть власних чисел зауважимо, що в незвiд-
ному зображеннi одновимiрного CAR, пов’язаному з орбiтою довжини 2, обидва
власних числа оператора C2 мають кратнiсть 1, а в незвiдному зображеннi (2)
оператор C2
i є прямою сумою копiй незвiдних зображень (3), пов’язаних iз однiєю
орбiтою.
Лему доведено.
Наступне твердження є основою для опису незвiдних ∗-зображень спiввiдно-
шень (2).
Теорема 2. Нехай набiр операторiв {Ui, Ci, i = 1, . . . , d} визначає незвiдне
∗-зображення спiввiдношень (2) в гiльбертовому просторi H. Тодi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
206 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
1. Якщо σ(C2
1 ) = {0, 1},то iснує гiльбертiв простiрK такий, щоH = C2⊗K,
та
C2
1 =
(
1 0
0 0
)
⊗ 1K , U1 =
(
0 0
1 0
)
⊗ 1K ,
C2
i = 1⊗ C̃2
i , Ui =
(
1 0
0 λ1i
)
⊗ Ũi, i > 1,
де {C̃i, Ũi, i > 1} є незвiдним набором операторiв, що задовольняють (2).
2. Якщо σ(C2
1 ) = {x1, 1 − x1} для деякого 0 < x1 <
1
2
, то знайдеться гiль-
бертiв простiр K такий, що H = C2 ⊗K, та
C2
1 =
(
1− x1 0
0 x1
)
⊗ 1K , C2
i = 1⊗ C̃2
i , i > 1,
U1 =
(
0 0
1 0
)
⊗ 1K +
(
0 1
0 0
)
⊗ Ũ1, Ui =
(
1 0
0 λ1i
)
⊗ Ũi, i > 1,
де Ũ1 — унiтарний оператор, що задовольняє спiввiдношення
CiŨ1 = Ũ1Ci, ŨiŨ1 = λ2
1iŨ1Ũi, i > 1,
оператори C̃i, Ũi, i > 1, задовольняють спiввiдношення (2) та набiр {C̃i, Ũi, Ũ1,
i > 1} є незвiдним на K.
3. Якщо σ(C2
1 ) =
{
1
2
}
, то C2
1 =
1
2
1H, а набiр {Ci, Ui, U1, i > 1} незвiдний на
H, де всi оператори задовольняють спiввiдношення (2). Для унiфiкацiї позначень
у цьому випадку будемо писати C̃i, Ũi, Ũ1 замiсть Ci, Ui, U1 та K замiсть H.
Набори операторiв, що визначаються рiзними значеннями σ(C2
1 ), не еквiва-
лентнi.
Якщо два набори {Ci, Ui, i = 1, . . . , d} задаються одним значенням σ(C2
1 ), то
вони еквiвалентнi тодi i тiльки тодi, коли вiдповiднi редукованi набори є унiтарно
еквiвалентними.
Доведення. Нехай {Ui, C2
i , i = 1, . . . , d} — незвiдний набiр операторiв, якi
задовольняють спiввiдношення (2). Згiдно з лемою 2 потрiбно розглянути наступнi
варiанти:
a) σ(C2
1) = {0, 1}. З леми 2 випливає, що H = H1 ⊕ H0, де H1 та H2 є
власними пiдпросторами оператора C2
1 , що вiдповiдають власним числам 1 та 0
вiдповiдно, та H1 v H0 v K, де K — деякий гiльбертiв простiр. Тобто
H = K ⊕K w C2 ⊗K
i, вiдповiдно до цього розкладу, використавши умови kerU1 = kerC1 та C2
1U1 =
= U1(1− C2), отримаємо
C2
1 =
(
1 0
0 0
)
=
(
1 0
0 0
)
⊗ 1K , U1 =
(
0 0
1 0
)
=
(
0 0
1 0
)
⊗ 1K .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR 207
Подамо тепер оператори C2
i , Ui, i > 1 у блочному виглядi, що вiдповiдає розкладу
H = K ⊕K:
C2
i =
(
C11 C12
C∗12 C22
)
, Ui =
U (i)
11 U
(i)
12
U
(i)
21 U
(i)
22
.
Тодi з рiвностей
C2
1C
2
i = C2
i C
2
1 , C2
i U1 = U1C
2
i , i > 1,
вiдповiдно матимемо
C12 = C∗12 = 0, C11 = C22 = C̃2
i , i > 1.
А з рiвностей
C2
1Ui = UiC
2
1 , UiU1 = λ1iU1Ui, i > 1,
випливатиме
U
(i)
12 = U
(i)
21 = 0, U
(i)
22 = λ1iU
(i)
11 .
Покладемо U (i)
11 = Ũi, i > 1. Очевидно, що умова kerCi = kerUi еквiвалентна
умовi ker C̃i = ker Ũi. Отже,
C2
i =
(
C̃2
i 0
0 C̃2
i
)
= 1⊗ C̃2
i , Ui =
(
Ũi 0
0 λ1iŨi
)
=
(
1 0
0 λ1i
)
⊗ Ũi, i > 1.
При цьому оператори {C̃2
i , Ũi, i > 1} задовольняють спiввiдношення (2).
b) σ(C2
1) = {x1, 1 − x1}, 0 < x1 <
1
2
. Нагадаємо, що в цьому випадку
оператор U1 є унiтарним. Мiркуваннями, аналогiчними тим, що проводились у
п. a), дiстанемо
H ' H1−x1 ⊕Hx1 ' K ⊕K ' C2 ⊗K,
i вiдповiдно до цих розкладiв одержимо
C2
1 =
(
(1− x1)1K 0
0 x11K
)
=
(
1− x1 0
0 x1
)
⊗ 1K , 0 < x1 <
1
2
,
U1 =
(
0 Ũ1
1K 0
)
,
де оператор Ũ1 : K −→ K є унiтарним.
Мiркуючи, як i в попередньому випадку, отримуємо
C2
i =
(
C̃2
i 0
0 C̃2
i
)
= 1⊗ C̃2
i , Ui =
U (i)
11 0
0 U
(i)
22
, i > 1.
Далi, з умов UiU1 = λ1iU1Ui, i > 1, маємо
U
(i)
11 Ũ1 = λ1iŨ1U
(i)
22 , U
(i)
22 = λ1iU
(i)
11 .
Покладемо U (i)
11 = Ũi, i > 1. Одержимо ker Ũi = ker C̃i, i > 1, та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
208 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
U1 =
(
0 Ũ1
1 0
)
=
(
0 0
1 0
)
⊗ 1 +
(
0 1
0 0
)
⊗ Ũ1,
Ui =
(
1 0
0 λ1i
)
⊗ Ũi, i > 1,
ŨiŨ1 = λ2
1iŨ1Ũi, C̃2
i Ũ1 = Ũ1C̃
2
i , i > 1,
i оператори {C̃i, Ũi, i > 1} задовольняють спiввiдношення (2).
c) σ(C2
1) =
{
1
2
}
. У цьому випадку C2
1 =
1
2
1K , U1 = Ũ1 — унiтарний опе-
ратор. Оператори C̃2
i = C2
i , Ũi = Ui, i > 1, задовольняють (2) та Ũ1, Ũi, i > 1,
додатково задовольняють спiввiдношення ŨiŨ1 = λ1iŨ1Ũi, i > 1.
Покажемо, що в усiх випадках сiм’я {Ci, Ui, i = 1, . . . , d} є незвiдною тодi i
тiльки тодi, коли редукованi набори операторiв {C̃i, Ũi, i > 1} у випадку a) та {C̃i,
Ũi, Ũ1, i > 1} в рештi випадкiв є незвiдними.
Доведемо це для випадку b). Випадок c) є тривiальним, а у випадку a) всi
мiркування аналогiчнi.
Скористаємось лемою Шура. Нехай T : H −→ H — обмежений оператор, такий,
що
TC2
i = C2
i T, TUi = UiT, i = 1, . . . , d.
Подамо T у виглядi блочної матрицi T = (Tij)2
i,j=1, що вiдповiдає розкладу про-
стору зображення у пряму суму H = K ⊕K. Тодi TC2
1 = C2
1T еквiвалентно умовi
T12 = T21 = 0.
Далi, TU1 = U1T виконується тодi i тiльки тодi, коли
T11 = T22, Ũ1T11 = T11Ũ1.
Позначимо T11 = T̃ . Остаточно спiввiдношення
C2
i T = TC2
i , UiT = TUi, i > 1,
еквiвалентнi спiввiдношенням
C̃2
i T̃ = T̃ C̃2
i , ŨiT̃ = T̃ Ũi, i > 1.
Отже, оператор T комутує з усiма Ci, Ui, i = 1, . . . , d, тодi i тiльки тодi, коли
T = 12⊗ T̃ , де T̃ комутує з усiма C̃i, Ũi, Ũ1, i > 1. Таким чином, T скалярний тодi
i лише тодi, коли скалярним є T̃ .
Розглянемо два набори операторiв {C(1)
i , U
(1)
i , i = 1, . . . , d} та
{
C
(2)
i , U
(2)
i ,
i = 1, . . . , d
}
, якi задовольняють спiввiдношення (2). Очевидно, якщо набори є
унiтарно еквiвалентними, то σ
((
C
(1)
1
)2) = σ
((
C
(2)
1
)2)
. Тодi, мiркуючи, як i при
доведеннi незвiдностi, переконуємося, що набори
{
C
(1)
i , U
(1)
i , i = 1, . . . , d
}
та{
C
(2)
i , U
(2)
i , i = 1, . . . , d
}
є унiтарно еквiвалентними тодi i лише тодi, коли реду-
кованi набори є унiтарно еквiвалентними.
Теорему доведено.
Тепер можна сформулювати основний результат роботи.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR 209
Теорема 3. Нехай оператори Ci, Ui : H −→ H, i = 1, . . . , d, задають незвiд-
не зображення спiввiдношень (2). Тодi знайдуться розбиття множини iндексiв
{1, 2, . . . , d} = Φ1 ∪ Φ2 ∪ Φ3 (кожна iз компонент може дорiвнювати порожнiй
множинi), набiр чисел {xi, i ∈ Φ2}, 0 < xi <
1
2
, гiльбертiв простiр K такий, що
H '
⊗
j∈Φ1
C2
⊗
j∈Φ2
C2 ⊗K,
i незвiдний набiр унiтарних операторiв Ũi, i ∈ Φ2∪Φ3 ⊂ B(K), якi задовольняють
спiввiдношення
ŨjŨi = λ4
ijŨiŨj , i, j ∈ Φ2, i 6= j,
ŨjŨi = λ2
ijŨiŨj , i ∈ Φ2, j ∈ Φ3, (4)
ŨjŨi = λijŨiŨj , i, j ∈ Φ3, i 6= j,
такi, що {Ci, Ui, i = 1, . . . , d} є унiтарно еквiвалентними сiм’ї операторiв
C2
i =
⊗
j<i, j∈Φ1
12 ⊗
(
1 0
0 0
) ⊗
j>i, j∈Φ1
12 ⊗
⊗
j∈Φ2
12 ⊗ 1K , i ∈ Φ1,
C2
i =
⊗
j∈Φ1
12 ⊗
⊗
j<i, j∈Φ2
12 ⊗
(
1− xi 0
0 xi
) ⊗
j>i, j∈Φ2
12 ⊗ 1K , i ∈ Φ2,
C2
i =
1
2
⊗
j∈Φ1
12 ⊗
⊗
j∈Φ2
12 ⊗ 1K , i ∈ Φ3,
(5)
Ui =
⊗
j<i, j∈Φ1
(
1 0
0 λji
)
⊗
(
0 0
1 0
)
⊗
⊗
j>i, j∈Φ1
12 ⊗
⊗
j∈Φ2
12 ⊗ 1K , i ∈ Φ1,
Ui =
⊗
j∈Φ1
(
1 0
0 λji
)
⊗
⊗
j<i, j∈Φ2
(
1 0
0 λji
)
⊗
(
0 0
1 0
)
⊗
⊗
j>i, j∈Φ2
12 ⊗ 1K+
+
⊗
j∈Φ1
(
1 0
0 λji
)
⊗
⊗
j<i, j∈Φ2
(
1 0
0 λji
)
⊗
(
0 1
0 0
)
⊗
⊗
⊗
j>i, j∈Φ2
⊗
(
1 0
0 λ2
ji
)
⊗ Ũi, i ∈ Φ2,
Ui =
⊗
j∈Φ1
(
1 0
0 λji
)
⊗
⊗
j∈Φ2
(
1 0
0 λji
)
⊗ Ũi, i ∈ Φ3.
Навпаки, будь-який набiр операторiв, побудований за формулами (5), де {Ũi,
i ∈ Φ2 ∪ Φ3} є незвiдним набором унiтарних операторiв, що задовольняють (4),
0 < xi <
1
2
, i ∈ Φ2, визначає незвiдне зображення (2).
Два набори, побудованi за формулами (5), є унiтарно еквiвалентними тодi i
тiльки тодi, коли:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
210 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
1) збiгаються вiдповiднi розбиття;
2) збiгаються вiдповiднi значення xi, i ∈ Φ2;
3) вiдповiднi незвiднi набори унiтарних операторiв Ũi, i ∈ Φ3, є унiтарно
еквiвалентними.
Доведення випливає з теореми 2 та iндуктивних мiркувань.
Зауваження 1. Якщо λnij = 1 при всiх i 6= j, i, j = 1, . . . , d, то набiр унiтарних
операторiв {Ũi, i ∈ Φ2 ∪ Φ3} ⊂ B(K) визначає незвiдне ∗-зображення багатови-
мiрного рацiонального тора. З приводу опису ∗-зображень рацiональних торiв див.,
наприклад, [7].
У протилежному випадку одержимо класифiкацiю незвiдних ∗-зображень AΛ з
точнiстю до класифiкацiї незвiдних зображень iррацiональних торiв. Зазначимо, що
iррацiональнi тори є ядерними C∗-алгебрами не типу один та опис класiв унiтарної
еквiвалентностi незвiдних ∗-зображень цих алгебр є вкрай важкою задачею.
3. Унiверсальна обгортуючаC∗-алгебра. У цьому пунктi застосуємо теорему
про опис незвiдних ∗-зображень λij-CAR для опису унiверсальної C∗-алгебри,
породженої спiввiдношеннями (1) при d = 2 та λ4
12 = 1.
Нагадаємо спочатку означення унiверсальної C∗-алгебри, породженої ∗-алгеб-
рою A.
Означення 1. Пара (A, ρ), де A — C∗-алгебра, а ρ : A → A — унiталь-
ний гомоморфiзм, називається обгортуючою для ∗-алгебри A, якщо для кожно-
го обмеженого ∗-зображення π : A → B(H) знайдеться єдине ∗-зображення
π̃ : A → B(H) таке, що π = π̃ ◦ ρ. У цьому випадку C∗-алгебра A називається
унiверсальною C∗-алгеброю, породженою ∗-алгеброю A.
Зауважимо, що для iснування унiверсальної C∗-алгебри необхiдно i достатньо,
щоб всi обмеженi ∗-зображення A були рiвномiрно обмеженими.
Перш нiж навести опис C∗-алгебри, породженої спiввiдношеннями (1) при
d = 2 та λ4
12 = 1, надамо перелiк незвiдних ∗-зображень цих спiввiдношень у
термiнах твiрних a1, a2. З теореми 3 одержимо наступний результат.
Теорема 4. Нехай ∗-алгебра A породжена твiрними a1, a2, що задовольня-
ють спiввiдношення
a∗jaj + aia
∗
j = 1, j = 1, 2,
a∗1a2 = ia2a
∗
1, a2a1 = ia1a2, i2 = −1.
(6)
Тодi всi незвiднi ∗-зображення A, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi, ма-
ють наступний вигляд:
1) ρx1,x2,ϕ1,ϕ2(a1) =
(
0 0√
1− x1 0
)
⊗ 12 + eiϕ1
(
0
√
x1
0 0
)
⊗
(
1 0
0 −1
)
,
ρx1,x2,ϕ1,ϕ2(a2) =
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0 0√
1− x2 0
)
+ eiϕ2
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0
√
x2
0 0
)
,
0 < x1, x2 <
1
2
, ϕ1, ϕ2 ∈ [0, 2π);
2) πF (a1) =
(
0 0
1 0
)
⊗ 12, πF (a2) =
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0 0
1 0
)
;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR 211
3a) π(1)
x2,ϕ2
(a1) =
(
0 0
1 0
)
⊗ 12,
π(1)
x2,ϕ2
(a2) =
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0 0√
1− x2 0
)
+ eiϕ2
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0
√
x2
0 0
)
,
0 < x2 <
1
2
, ϕ2 ∈ [0, 2π);
3b) π(2)
x1,ϕ1
(a1) =
(
1 0
0 −i
)
⊗
(
0 0√
1− x1 0
)
+ eiϕ1
(
1 0
0 −i
)
⊗
(
0
√
x1
0 0
)
,
π(2)
x1,ϕ1
(a2) =
(
0 0
1 0
)
⊗ 12, 0 < x1 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, 2π);
4a) ρ(1)
x1,ϕ1,ϕ2
(a1) =
(
0 0√
1− x1 0
)
⊗ 12 +
(
0
√
x1
0 0
)
⊗
(
eiϕ1 0
0 −eiϕ1
)
,
ρ(1)
x1,ϕ1,ϕ2
(a2) =
1√
2
(
1 0
0 i
)
⊗
(
0 eiϕ2
1 0
)
,
0 < x1 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, π), ϕ2 ∈ [0, 2π);
4b) ρ(2)
x2,ϕ2,ϕ1
(a1) =
1√
2
(
1 0
0 −i
)
⊗
(
0 eiϕ1
1 0
)
,
ρ(2)
x2,ϕ2,ϕ1
(a2) =
(
0 0√
1− x2 0
)
⊗ 12 +
(
0
√
x2
0 0
)
⊗
(
eiϕ2 0
0 −eiϕ2
)
,
0 < x2 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈ [0, π);
5a) δ(1)
ϕ1
(a1) =
eiϕ1
√
2
(
1 0
0 −i
)
, δ(1)
ϕ1
(a2) =
(
0 0
1 0
)
, ϕ1 ∈ [0, 2π);
5b) δ(2)
ϕ2
(a1) =
(
0 0
1 0
)
, δ(2)
ϕ2
(a2) =
eiϕ2
√
2
(
1 0
0 i
)
, ϕ2 ∈ [0, 2π);
6) для всiх ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈
[
0,
π
2
)
πϕ1,ϕ2(a1) =
1√
2
0 0 0 e1ϕ1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
,
πϕ1,ϕ2(a2) =
eiϕ2
√
2
1 0 0 0
0 i 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −i
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
212 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
Доведення. Нагадаємо, що незвiднi пари унiтарних операторiв U1, U2, якi
задовольняють спiввiдношення
U2U1 = λU1U1, λn = 1,
мають, з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi (див. [4]), вигляд
U1 =
0 eiϕ1
1 0
1
. . .
0
1 0
, U2 = eiϕ2
1
λ
. . .
λn−1
, (7)
де ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈
[
0,
2π
n
)
. Тодi теорема 4 безпосередньо випливає з теореми 3.
Зауваження 2. Нижче будемо ототожнювати тензорний добуток A ⊗ B, де
A = (aij) ∈ Mn(C) та B ∈ Mm(C), з блочною матрицею A ⊗ B = (aijB) ∈
∈Mnm(C).
Перейдемо тепер до опису унiверсальної C∗-алгебри. Розглянемо C∗-алгебру
неперервних функцiй, заданих на компактi
[
0,
1
2
]2
× [0, 2π]2, що набувають зна-
чень в M4(C). Розглянемо C∗-пiдалгебру A в C
([
0,
1
2
]2
× [0, 2π]2 → M4(C)
)
,
породжену функцiями
a1(x1, x2, ϕ1, ϕ2) = ρx1,x2,ϕ1,ϕ2(a1), a2(x1, x2, ϕ1, ϕ2) = ρx1,x2,ϕ1,ϕ2(a2), (8)
де на кiнцi вiдрiзкiв ми продовжили функцiї за неперервнiстю.
Теорема 5. Унiверсальна C∗-алгебра, породжена спiввiдношеннями (6), iзо-
морфна C∗-алгебрi A.
Доведення. Достатньо показати, що довiльне незвiдне ∗-зображення (6) унiтар-
но еквiвалентне або зображенню, визначеному набором
{
a1(x1, x2, ϕ1, ϕ2), a2(x1,
x2, ϕ1, ϕ2)
}
при фiксованих значеннях змiнних, або прямому доданку такого зоб-
раження.
Розглянемо зображення σx1,x2,ϕ1,ϕ2 спiввiдношень (6) з λ12 = i, що визначенi
формулами
σx1,x2,ϕ1,ϕ2(a2) =
(
0 0√
1− x2 0
)
⊗ 12 + eiϕ2
(
0
√
x2
0 0
)
⊗
(
1 0
0 −1
)
,
σx1,x2,ϕ1,ϕ2(a1) =
(
1 0
0 −i
)
⊗
(
0 0√
1− x1 0
)
+ eiϕ1
(
1 0
0 −i
)
⊗
(
0
√
x1
0 0
)
.
Очевидно, що для довiльного набору (x1, x2, ϕ1, ϕ2) знайдеться набiр (x1, x2, ψ1,
ψ2) такий, що
σx1,x2,ϕ1,ϕ2 ∼ ρx1,x2,ψ1,ψ2 .
Обернене твердження також є правильним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
ПРО ∗-ЗОБРАЖЕННЯ ДЕФОРМАЦIЙ CAR 213
Покажемо, що будь-яке незвiдне зображення спiввiдношень (6) еквiвалентне
зображенню, заданому операторами a1(x1, x2, ϕ1, ϕ2) та a2(x1, x2, ϕ1, ϕ2) при фiк-
сованих значеннях змiнних, або є прямим доданком такого зображення.
1. Очевидно, що
πF (ai) = ai(0, 0, 0, 0), i = 1, 2.
2. Тепер розглянемо серiї π(1)
x2,ϕ2 та π(2)
x1,ϕ1 . Для всiх 0 < x2 <
1
2
, ϕ2 ∈ [0, 2π)
π(1)
x2,ϕ2
(ai) = ai(0, x2, 0, ϕ2), i = 1, 2.
Через T : C2 ⊗ C2 → C2 ⊗ C2 позначимо оператор транспозицiї множникiв:
Tx⊗ y = y ⊗ x, x, y ∈ C2.
Нехай U є дiагональною матрицею вигляду
U =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 i
.
Тодi для всiх 0 < x1 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, 2π)
π(2)
x1,ϕ1
(ai) = U∗Tai(0, x1, 0, ϕ1)TU, i = 1, 2.
3. Для серiй ρ(1)
x1,ϕ1,ϕ2 та ρ(2)
x2,ϕ2,ϕ1 маємо
ρ(1)
x1,ϕ1,ϕ2
(ai) = ai
(
x1,
1
2
, ϕ1, ϕ2
)
,
i = 1, 2, 0 < x1 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, π), ϕ2 ∈ [0, 2π).
З рiвностей
ρ(2)
x2,ϕ2,ϕ1
(ai) = σ1/2,x2,ϕ1,ϕ2(ai),
i = 1, 2, 0 < x2 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈ [0, π),
випливає, що для всiх 0 < x2 <
1
2
, ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈ [0, π)
ρ(2)
x2,ϕ2,ϕ1
(ai) ∼ ai
(
1
2
, x2, ψ1, ψ2
)
, i = 1, 2,
при деяких ψ1, ψ2 ∈ [0, 2π), що залежать вiд ϕ1, ϕ2.
4. Розглянемо серiї δ(1)
ϕ1 та δ(2)
ϕ2 . Позначимо через V (ϕ) оператор
V (ϕ) =
1√
2
(
eiϕ/2 −eiϕ/2
1 1
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
214 Д. П. ПРОСКУРIН, К. М. СУКРЕТНИЙ
Тодi для всiх ϕ2 ∈ [0, 2π) будемо мати
T (12 ⊗ V ∗(ϕ2))ai
(
0,
1
2
, 0, ϕ2
)
(12 ⊗ V (ϕ2))T =
= δ
(2)
ϕ2/2
(ai)⊕ δ(2)
ϕ2/2+π(ai), i = 1, 2.
Позначимо W (ϕ) : C2 ⊗ C2 → C2 ⊗ C2,
W (ϕ) =
1√
2
eiϕ/2 0 −eiϕ/2 0
0 eiϕ/2 0 −eiϕ/2
1 0 1 0
0 i 0 i
.
Тодi для всiх ϕ1 ∈ [0, 2π) одержимо
W ∗(ϕ1)ai
(
1
2
, 0, ϕ1, 0
)
= δ
(1)
ϕ1/2
(ai)⊕ δ(1)
ϕ1/2+π(ai), i = 1, 2.
5. Залишилось розглянути серiю πϕ1,ϕ2 . Позначимо через Ũ(ϕ), ϕ ∈ [0, 2π),
оператор
Ũ(ϕ) =
1 0 0 0
0 0 −eiϕ 0
0 1 0 0
0 0 0 −eiϕ
.
Тодi для i = 1, 2 та всiх ϕ1 ∈ [0, 2π), ϕ2 ∈
[
0,
π
2
)
Ũ∗
(ϕ1
2
)
(12 ⊗ V ∗(2ϕ2))ai
(
1
2
,
1
2
,
ϕ1
2
, 2ϕ2
)
(12 ⊗ V (2ϕ2))Ũ
(ϕ1
2
)
=
= πϕ1,ϕ2(ai).
Автори щиро вдячнi професору Ю. С. Самойленку за увагу до цiєї роботи.
1. Marcinek W. On commutation relations for quons // Rept. Math. Phys. – 1998. – 41, № 2. – P. 155 – 172.
2. Marcinek W., Ralowski R. On Wick algebras with braid relations // J. Math. Phys. – 1995. – 36, № 6. –
P. 2803 – 2812.
3. Proskurin D. Stability of a special class of qij -CCR and extensions of higher-dimensional noncommutati-
ve tori // Lett. Math. Phys. – 2000. – 52, № 2. – P. 165 – 175.
4. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-
algebras, I: Representations by bounded operators. – London: Gordon and Breach Publ. Group, 1999. –
261 p.
5. Proskurin D., Savchuk Yu., Turowska L. On C∗-algebras generated by some deformations of CAR
relations // Noncommutative Geometry and Representation Theory in Math. Phys., Contemp. Math. –
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005. – 391. – P. 297 – 312.
6. Albeverio S., Proskurin D., Turowska L. On ∗-representations of a deformation of a wick analogue of
the CAR algebra // Rept. Math. Phys. – 2005. – 56, № 2. – P. 175 – 196.
7. Каблучко З. Л., Проскурин Д. П., Самойленко Ю. С. О C∗-алгебрах, порожденных деформациями
CCR // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 11. – С. 1813 – 1827.
Одержано 07.09.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|