Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 1984 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1984
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164663 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет / Ю.А. Митропольский // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 584 – 595. назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164663 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Митропольский, Ю.А. 2020-02-10T11:01:37Z 2020-02-10T11:01:37Z 1984 Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет / Ю.А. Митропольский // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 584 – 595. назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164663 ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет Article first published |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| spellingShingle |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет Митропольский, Ю.А. Статті |
| title_short |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_full |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_fullStr |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_full_unstemmed |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет |
| title_sort |
основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в институте математики ан усср за 50 лет |
| author |
Митропольский, Ю.А. |
| author_facet |
Митропольский, Ю.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
1984 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164663 |
| citation_txt |
Основные результаты в области математической физики и нелинейной механики, полученные в Институте математики АН УССР за 50 лет / Ю.А. Митропольский // Український математичний журнал. — 1984. — Т. 36, № 5. — С. 584 – 595. назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mitropolʹskiiûa osnovnyerezulʹtatyvoblastimatematičeskoifizikiinelineinoimehanikipolučennyevinstitutematematikianussrza50let |
| first_indexed |
2025-11-25T23:10:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:10:29Z |
| _version_ |
1850581676483149824 |
| fulltext |
Ю. А. Митрополъский
Основные результаты в области математической физики
и нелинейной механики, полученные
в Институте математики АН УССР за 50 лет
Математическая физика — одна из наиболее бурно развивающихся
областей современного естествознания. Методы классической математи-
ческой физики находят самое широкое применение в различных областях
науки и техники — в теории колебаний, аэро- и гидродинамике, оптике,
акустике, электро- и радиотехнике, теплофизике и многих других.
Освоение передовых рубежей науки о природе колебательных явлений
в физике, технике, биологии, физики элементарных частиц, физики твердо-
го тела, квантовой электроники •— потребовало создания ряда аппаратов
современной математической физики, включающих теорию возмущений,
элементы теории групп, функционального анализа, теории функций многих
комплексных переменных, теории обобщенных функций, теории вероятно-
стей и других, разделов математики.
Важный вклад в развитие математической физики внесли ученые Ин-
. ститута математики АН УССР. Основные достижения в этой области науки,
полученные в Институте математики АН УССР, связаны с именами
Н. М. Крылова и Н . Н. Боголюбова.
Фундаментальный вклад в развитие нелинейной механики •— важного
раздела математической физики — внесли труды Н. М. Крылова и
Н . Н. Боголюбова. Ими были созданы и строго математически обоснованы
так называемые асимптотические методы нелинейной механики.
Основная идея асимптотических методов нелинейной механики может
быть проиллюстрирована на примере нелинейного уравнения второго по-
р лдка
сРх/с1Р + аРх = в? {х, йхЩ, (1)
где в — малый положительный параметр.
Исходя из физических соображений о виде решения при наличии воз-
мущения, решение уравнения (1)'ищется в виде степенного ряда
х — а соэ 1|) + &щ (а, яр) + е2ы2 (а, яр) + ..., (2)
где их (а, яр), а 2 (а, яр), ... периодически зависят от угла яр, а а и яр определя-
ются дифференциальными уравнениями
с1а/сИ = вА1 (а) + &2А2(а) + ..., Оф/сИ = со + еВ1 (а) + е а £ 2 (а).... (3)
Итак, задача сводится к подбору соответствующих выражений для щ (а,
•ф), и2 (а, -ф), ..., Ах.(а), В1 (а), А2 (а), В2 (а), ... таким образом, чтобы выра-
жение (2) формально удовлетворяло уравнению (1). Эта задача решается
элементарно, а для искомых коэффициентов разложения получаются явные
выражения.
Идея асимптотических методов оказалась исключительно общей и гиб-
кой. Она применима к самым разнообразным случаям систем с «малым» и
«большим» параметром, в том числе и к системам с бесконечным числом сте-
пеней свободы.
Асимптотические методы исследования нелинейных дифференциальных
уравнений занимают в настоящее время центральное место в нелинейной
механике и смежных разделах метаматики, механики, физики и техники.
В 1945—1949 гг. большой вклад в эту область математической физики
был внесен Н. Н. Боголюбовым, который сформулировал и строго матема-
тически обосновал метод усреднения, разработал теорию интегральных мно-
гообразий и метод исследования одночастотных колебательных режимов в
системах со многими степенями свободы. Фундаментальные теоремы, дока-
занные Н. Н. Боголюбовым, стали классическими и явились неиссякаемыми
источниками для последующих обобщений и анализа сложных явлений в
нелинейных колебательных системах.
584 У к р. мат. журн., 1984, т. 36, № 5 584
1. О д н о ч а с т о т н ы й м е т о д и с и с т е м ы с м е д л е н -
н о м е н я ю щ и м и с я п а р а м е т р а м и . В 1948 г. Н . Н . Боголю-
бов установил эффективный метод исследования нелинейных колебательных
систем со многими степенями свободы — так называемый одночастотный
метод. Суть его состоит в том, что находится не общее решение системы диф-
ференциальных уравнений, а только частное, зависящее от двух произволь-
ных постоянных и соответствующее определенному колебательному процес-
су в системе со многими степенями свободы.
В дальнейшем одночастотный метод был существенно развит и строго
обоснован Ю. А. Митропольским применительно к ряду важных классов
систем нелинейных дифференциальных уравнений с «малым» параметром и
применительно к исследованию колебательных процессов, описываемых
дифференциальными уравнениями в частных производных, близких к урав-
нениям гиперболического типа. Асимптотические методы были также рас-
пространены на исследование нелинейных колебательных систем с медлен-
но изменяющимися параметрами. Разработана и строго обоснована теория
медленных процессов в нелинейных колебательных системах как с одной,
так и со многими степенями свободы, которая нашла широкое применение
при решении многих важных задач физики и техники (прохождение
через резонанс в нелинейных системах, колебание маятника с переменной
длиной, исследование нестационарных процессов в роторах турбомашин
и гироскопических явлений в синхрофазотронах, при расчете орбит
спутников ИТ. п.).
2. Р а з в и т и е а с и м п т о т и ч е с к и х м е т о д о в и п р и м е -
н е н и е Э В М. На основе анализа ряда вариантов асимптотических ме-
тодов Ю. А. Митропольским, А. М. Самойленко, А. И. Скрипником,
П. М. Сеником, В. Г. Самойленко сформулированы характерные особенности
и закономерности асимптотических методов и предложена общая схема по-
строения асимптотических разложений, которая позволяет разрабатывать
'новые варианты асимптотических методов. В основу анализа положено изу-
чение кольца функций из класса С°°. Аксиоматически вводятся три усло-
' вия, накладываемые на оператор усреднения М и на некоторый вспомога-
I
тельный дифференциальный оператор Ь . Установлено свойство разделимости
решения исходной системы на «нормально» и «плавно» или ж е на «быстро»
и «медленно» изменяющиеся компоненты.
Установлена оценка близости точного решения и его т-то приближения.
Показано, что разработанная схема включает в себя классический алгоритм
метода усреднения. Реализация предложенного алгоритма для системы с
главной линейной частью при т оо и е = 1 приводит к методу нормаль-
ных форм.
На основе рассмотренной методики предложен алгоритм асимптоти-
ческого интегрирования для исследования слабо нелинейных дифферен-
, циальных уравнений. Найдены формулы асимптотических приближений,
исследованы уравнения т-х приближений.
Д л я систем дифференциальных уравнений, близких к существенно не-
линейным, разработан математический аппарат, основанный на сочетании
асимптотического метода нелинейной механики с методом минимизации сред-
неквадратичной величины соответствующей невязки. Построены улучшен-
ные в среднем стационарные асимптотические представления. Развита тео-
рия многочастотных колебаний, разработаны схемы асимптотического ин-
тегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений, описыва-
ю щ и х многочастотные колебания. Получены новые фундаментальные теоре-
мы по обоснованию асимптотических методов исследования многочастотных
колебаний. Проведен анализ колебаний систем, описываемых дифференциа-
льными уравнениями второго порядка в резонансном и нерезонансном слу-
чаях , получены формулы асимптотических приближений.
Д л я систем обыкновенных дифференциальных уравнений исследованы
алгоритмы асимптотического разделения движений на «быстрые» и «медлен-
ные» соответственно некоторой шкале масштабов времени. Разработана ме-
тодика построения трех- и многомасштабных асимптотических схем.
У к р. мат. журн., 1984, т. 36, № 5 585
Предложено развитие асимптотического метода на основе операции
«погружения» в теории колебаний систем с сосредоточенными параметрами.
Суть его состоит в переходе к вспомогательной системе в полных дифферен-
циалах. Если нулевое приближение этой системы обладает специальными
групповыми свойствами, то для нее можно на основе гармонического ана-
лиза на группах развить асимптотический метод.
Особо следует отметить сложившееся в последние десятилетия направ-
ление, получившее название конструктивного анализа нелинейных сис-
тем. Оно связано с исследованием либо сложных систем, либо систем с боль-
шой размерностью. Указанное направление можно условно отнести к ин-
тенсивно развивающейся в последнее время «машинной математике», ко-
торая в процессе исследования существенно использует ЭВМ. Асимптоти-
ческие методы нелинейной механики были применены при расчете на ЭВМ
резонансных цепей микроэлектроники. Разработаны программы, реализу-
ющие буквенные выкладки алгоритмов на ЭВМ. Д л я этого весьма важной
оказалась разработка новых методов конструктивного построения асимпто-
тических решений. Получены явные формулы для определения асимптоти-
ческих разложений, соответствующих асимптотическому методу с некоторым
общим оператором усреднения, и разработан метод конструктивного по-
строения решений на ЭВМ.
3. Р а з в и т и е м е т о д а у с р е д н е н и я . В 30-х годах
Н. М. Крылов и Н. Н . Боголюбов предложили некоторый общий подход
для исследования уравнений нелинейной механики, содержащих малый
параметр. Содержание этого метода сводится к построению замены пере-
менных, позволяющей отделять «медленные» переменные от «быстрых». Такая
замена дает возможность представлять решения системы уравнений в виде
асимптотического ряда, первый член которого совпадает с решением, полу-
чаемым по методу Ван-дер-Поля .
В 40-х годах Н. Н . Боголюбов создал строгую теорию метода усреднения
и показал, что этот метод органически связан с существованием некоторой
замены переменных, позволяющей исключить время t из правых частей урав-
нений с произвольной степенью точности относительно малого параметра е.
При этом, исходя из тонких физических соображений, им было указано, как
строить не только систему первого приближения (усредненную систему),
но и усредненные системы высших приближений, решения которых аппрок-
симируют решения исходной (точной) системы с произвольной наперед за-
данной точностью.
Суть этого метода заключается в следующем. Рассматривается диффе-
ренциальное уравнение в векторной форме
dx/dt — sX(t, х), (4)
где е — малый положительный параметр, t — время, х, X— точки n-мер-
ного евклидова пространства Еп. Уравнения, правая часть которых про-
порциональна в, согласно терминологии, введенной Н . Н . Боголюбовым,
называются уравнениями в «стандартной» форме.
При ряде ограничений, накладываемых на правые части уравнения (4),
путем замены переменных, близкой к тождественной, согласно формулам
х = I + sFt (i, l) + 82F2 (t, Ю + ... + s"Fm (t, Z) (5)
уравнение (4) сводится к точному уравнению
. dl/dt = sX0 (E) + e © + . . . + emPm © + в^+Щ (t, (6)
Отбрасывая в.уравнении (6) слагаемое &m+lR (t, £), получаем «усредненное»
уравнение m-ro приближения:
dl!dt = &Х0 © + ггР(1) + ... + s"lPm (£). (7)
Помимо построения схемы усреднения, Н . Н. Боголюбовым было дано
обстоятельное математическое обоснование предложенного им метода ус-
реднения. Это обоснование в основном сводится к решению следующих двух
проблем:
584
У к р. мат. журн., 1984, т. 36, № 5 586
1) отыскание условий, при которых разность между решением точной
системы уравнений
dx/dt = еХ (t, х) (8)
и решением соответствующей ей усредненной системы
dl!dt = еМ {X (t, £)} = еХ0 (£) (9)
/
при достаточно малых значениях параметра & становится сколь угодно ма-
лой на сколь угодно большом, но все ж е конечном интервале времени;
2) установление соответствия между различными свойствами решений
•точных уравнений (8) и решений усредненных уравнений (9), которые зави-
сят от их поведения на бесконечном интервале времени.
Д л я решения этих проблем Н . Н. Боголюбовым доказан ряд тонких
теорем, которые стали классическими. Это математическое обоснование по-
служило многим ученым источником идей для дальнейшего развития мето-
да.
К а к известно, в последние годы в работах советских и зарубежных ма-
тематиков ш ф о к о е развитие получили различные варианты метода усред-
нения в формулировке Н . Н . Боголюбова как для рассматривавшихся ра-
нее, т а к и для новых классов дифференциальных уравнений. В Институте
математики АН УССР приведенные выше результаты H . H . Боголюбова нашли
дальнейшее развитие в ряде работ Ю. А. Митропольского, А. М. Самой-
ленко, А. К- Лопатина, В. Г. Коломийца, В. И. Фодчука, В. Н . Челомея,
И . 3 . Штокало.
Метод усреднения был распространен на нелинейные уравнения с мед-
ленно меняющимися коэффициентами, на многочастотные системы, урав-
нения, близкие к точно интегрирующимся, уравнения в частных производ-
ных, конечно-разностные уравнения, уравнения с недифференцируемыми
правыми частями, уравнения с мгновенными силами, с запаздывающим ар-
гументом, стохастические уравнения, уравнения в бесконечномерных про-
странствах, в гильбертовом пространстве и т. п. Д л я всех этих случаев были
доказаны теоремы — обобщения первой основной теоремы H . H . Боголюбо-
ва об оценке разности между решениями точной системы и усредненной.
Д л я иллюстрации метода усреднения Н . Н . Боголюбовым был рассмот-
рен изящный пример — колебания маятника с вибрирующей точкой под-
веса. Здесь был получен важный вывод об устойчивости верхнего положения
равновесия при достаточно большой частоте вибрации точки подвеса. Этот
вывод явился стимулом интересной работы В. Н . Челомея, в которой было
показано, что те ж е по природе динамические силы, которые рассматрива-
лись в примере с маятником, приводят статически неустойчивую систему
(в частности, стержень) к динамически устойчивой, в результате чего
В. Н . Челомеем была показана принципиальная возможность повышения
устойчивости упругих систем при помощи вибраций.
На основании идей метода усреднения И. 3 . Штокало была решена зада-
ча устойчивости линейных дифференциальных уравнений с квазипериоди-
ческими коэффициентами, установлена формальная теорема Флоке в том
смысле, что процесс сведения к системе с постоянными коэффициентами
асимптотически сходящийся.
Большой цикл исследований выполнен по разработке теоретико-груп-
пового подхода в развитии метода усреднения.
Установлены необходимые и достаточные условия декомпозиции систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности на
подсистемы более низкой размерности. Эти условия конструктивно выра-
жаются через коэффициенты системы и сводятся к построению алгебр Ли
(конечномерных и бесконечномерных). Разложимость этих алгебр в прямую
сумму идеалов обеспечивает декомпозируемость.
Дальнейшим развитием метода усреднения стали результаты, относя-
щиеся к асимптотической декомпозиции дифференциальных систем в. ок-
рестности интегральных многообразий систем с заданными свойствами (си-
стемы нулевого приближения). В основу здесь положено преобразование
У к р. матг журя., 1984, т. 36, №,5 587
Кэмпбелла — Хаусдорфа, и задача сводится к задаче возмущения на алгеб-
рах. При различных предположениях о свойствах алгебры Ли невозмущен-
ной системы, например разложимости в прямую сумму подалгебр, компакт-
ности и т . д. , стало возможным рассмотреть ряд новых задач.
Впервые разработана теория возмущений для пфаффовых систем, что,
как известно, эквивалентно исследованию систем дифференциальных урав-
нений в частных производных общего вида.
Д л я систем с медленными и быстрыми переменными доказана деком-
позируемость при самых общих условиях, накладываемых на правые части.
Д л я полной декомпозируемости (невырожденный случай системы нулево-
го приближения) требуется наложить ряд ограничений, сводящихся в ко-
нечном счете к условию отсутствия перекрестных резонансных соотноше-
ний.
Разработанные алгоритмы оказались весьма эффективными в прикладных
задачах. Рассмотрена задача асимптотического расщепления системы урав-
нений п-го порядка движения летательного аппарата, когда в нулевом при-
ближении уравнения разделяются на две независимые подсистемы: про-
дольного и бокового движения. Аналогичная задача встречается при плос-
копараллельном адиабатическом движении газа.
Рассмотрена задача о возмущении дифференциальной системы, до-
пускающей некоторую группу преобразований Ли . С помощью асим-
птотической замены она сводится к уравнениям с той же группой
симметрии.
Д л я описания волновых процессов в распределенных динамических
системах предложен модовый подход. В его основе лежит исследование груп-
повых свойств интегральных многообразий, использование групповых
свойств алгебр и переход к гильбертовым пространствам, обобщающим раз-
ложения в классические ряды Фурье Это позволяет сохранить ряд преиму-
ществ асимптотического метода, обеспечивает преемственность с асимптоти-
ческими методами нелинейной механики, открывая тем самым широкие
возможности перенесения методов и постановок задач на новые классы
: проблем.
4. П р о б л е м а и з у ч е н и я и н т е г р а л ь н ы х м н о г о -
о б р а з и й в н е л и н е й н о й м е х а н и к е . При исследовании коле-
бательных процессов в сложных системах с большим числом степеней сво-
боды часто большое значение имеет выделение из общего многообразия дви-
жений, допускаемых системой, более простых частных движений или дви-
жений, обладающих характерными свойствами.
Это —• проблема изучения интегральных многообразий. К этой проб-
леме, в частности, относится известная проблема об исследовании одночас-
тотных колебательных режимов в системах со многими степенями свободы,
о которой сказано выше.
Проблема изучения интегральных многообразий в нелинейной механи-
ке состоит в выделении из всей совокупности решений, допускаемых слож-
ными системами нелинейных дифференциальных уравнений, многообразия
решений (интегральных многообразий), имеющего размерность мень-
ше порядка системы и обладающего теми или иными характерными свой-
ствами.'
Основная идея метода интегральных многообразий впервые была четко
сформулирована П. Н. Боголюбовым для нелинейных дифференциальных
уравнений в стандартной форме. Для этих уравнений Н. Н. Боголюбовым
сформулированы и доказаны основополагающие теоремы существования и
устойчивости многообразия, которые легли в основу всех последующих ис-
следований
Основные проблемы, возникающие при исследовании интегральных
многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений, состоят в
следующем
Наряду с заданной системой нелинейных дифференциальных уравне-
ний рассматривается соответствующая ей система «первого приближения»
или «невозмущенная» система. Как хорошо известно, даже малые возму-
щения могут резко изменить характер фазовых траекторий приближенной
588 У к р. мат. журн., 1984, т. 36, № 5 588
системы. В то же время при некоторых довольно общих условиях, наклады-
ваемых на правые части рассматриваемых уравнений, удается показать,
что если соответствующие приближенные уравнения обладают интеграль-
ным многообразием 9Л0, то в достаточно малой его окрестности будет суще-
ствовать интегральное многообразие ЯЛг исходных уравнений, которое при
к 0 стремится к ЭЛ„. При этом, если Ю!0 устойчиво, условно устойчиво или
неустойчиво, то и але соответственно будет устойчивым, условно устойчи-
вым или неустойчивым.
Таким образом, метод интегральных многообразий позволяет устано-
вить соответствие между решениями точных (исходных) уравнений и соот-
ветствующих им приближенных (усредненных, невозмущенных и т. п. урав-
нений).
Независимо от этой проблемы теория интегральных многообразий пред-
ставляет также самостоятельный интерес в связи с тем, что, найдя интеграль-
ное многообразие для нелинейной системы уравнений, мы сводим ее рас-
смотрение к уравнениям на многообразии, размерность которого меньше
размерности исходного фазового пространства.
Особенный интерес представляет случай, если многообразие устойчиво
и размерность его равна 1 или 2.
Идея метода интегральных многообразий и методы доказательства со-
ответствующих теорем оказались очень эффективными и гибкими и получили
в Институте математики (Ю. А. Митропольский, О . Б . Л ы к о в а , А. М. Са-
мойленко, К- В. Задирака, В. И. Фодчук) дальнейшее развитие и приме-
нение для исследования широкого класса нелинейных дифференциальных
уравнений. Здесь в первую очередь следует отметить исследование инте-
гральных многообразий для уравнений, близких к точно интегрирующимся;
уравнений с медленно меняющимися параметрами; уравнений, содержащих
быстрые и медленные движения, в частности уравнений с быстро вра-
щающейся фазой; уравнений с отклоняющимся аргументом. Применив
аппарат спектральной теории линейных операторов, метод интегральных
многообразий удалось также распространить для исследования указанных
типов уравнений в случае бесконечномерного банахова пространства, в
частности гильбертова пространства.
С помощью метода интегральных многообразий исследована устойчи-
вость стационарных решений нелинейных уравнений при постоянно дей-
ствующих возмущениях; доказано существование квазипериодического ре-
шения системы нелинейных уравнений. Изучены нелинейные дифференци-
альные уравнения с малым параметром при старшей производной, рассмот-
рена задача о сведении, позволяющая судить об устойчивости решений ис-
ходной системы по устойчивости решений на интегральном многообразии,
размерность которого определяется кратностью критической части спектра
некоторого линейного уравнения.
5. К о л е б а и и я в н е л и н е й н ы х с и с т е м а х с п о с л е -
д е й с т в и е м . В настоящее время одной из актуальных задач теории
колебаний является задача исследования колебательных процессов в си-
стемах с последействием, которые обычно описываются дифференциальными
уравнениями с отклоняющимся аргументом (с запаздыванием). К исследо-
ванию таких систем приводят физические и технические задачи, в которых
сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положе-
ния этой точки не только в данный момент, но и в некоторый момент, пред-
шествующий данному. Актуальность исследования подобных задач, а так-
же возможность распространения асимптотических методов для исследо-
вания их была высказана H . H . Боголюбовым в начале 50-х годов. Эти идеи
были развиты рядом результатов, полученных Ю. А. Митропольским,
Д . И. Мартынюком, Д . Г. Кореневским, В. И. Фодчуком. Ими разработаны
алгоритмы (схемы) построения асимптотических решений для нелинейных
уравнений с отклоняющимся аргументом. Рассмотрены различные случаи:
постоянных и медленно меняющихся коэффициентов и запаздывания, ав-
тономных и неавтономных уравнений, резонансный и нерезонансный. Раз-
работан метод исследования одночастотных колебаний в нелинейных си-
стемах с запаздыванием со многими степенями свободы, а также метод ус-
6 Укр. мат. журн., 1984-, т. 36, № 5
реднения, позволяющий исследовать периодические решения таких
систем.
Получил развитие асимптотический метод нелинейной механики для
исследования как детерминированных нелинейных колебаний в системах
с распределенными параметрами и с запаздыванием, так и случайных коле-
баний в нелинейных колебательных системах с запаздыванием. Особое
внимание было обращено на исследование периодических и квазипериоди-
ческих систем с запаздыванием.
Д л я исследования сильно нелинейных систем с запаздыванием развит
топологический метод исследования периодических решений, метод Чеза-
ри, численно-аналитический метод и др.
Предложен также проекционно-итеративный метод определения перио-
дических решений нелинейных систем с запаздыванием, сочетающий идеи
метода Галеркина и численно-аналитического метода.
Получили развитие вопросы существования инвариантных тороидаль-
ных многообразий для систем с запаздыванием. Доказаны новые теоремы
существования и устойчивости инвариантных многообразий, указан алго-
ритм асимптотического интегрирования систем с запаздыванием, обобщаю-
щий метод асимптотического интегрирования квазилинейных систем обык-
новенных дифференциальных уравнений второго порядка.
6. В л и я н и е с л у ч а й н ы х с и л н а к о л е б а т е л ь н ы е
с и с т е м ы . Изучение влияния случайных сил на нелинейные колебатель-
ные системы имеет большое значение во многих практических задачах.
У ж е в 1945 г. Н . Н. Боголюбов в монографии « О некоторых статисти-
ческих методах в математической физике» рассмотрел задачи о влиянии слу-
чайных сил на гармонический осциллятор и установлении статистического
равновесия в системе, связанной с термостатом.
В частности, при исследовании предельного поведения линейной колеба-
тельной системы, находящейся под воздействием случайных сил, в пределе
превращающихся в «белый шум», Н. Н. Боголюбов показал, что движение
такой системы описывается марковским процессом, переходные вероятности
которого удовлетворяют уравнению Колмогорова — Фоккера — Планка
(КФП).
Развивая эти идеи, Ю. А. Митропольский, В. Б . Ларин и В. Г. Коло-
миец при помощи асимптотических методов нелинейной механики изучали
случайные колебания квазилинейных систем, описываемых обыкновенными
дифференциальными стохастическими уравнениями второго и высших поряд-
ков, стохастическими дифференциальными уравнениями в частных произ-
водных гиперболического типа, а также интегро-дифференциальными урав-
нениями со случайными возмущениями типа «белого шума». Изучены слу-
чайные колебания в существенно нелинейных стохастических системах с од-
ной степенью свободы. Показано, что первое приближение асимптотическо-
го метода может быть получено методом статистической линеаризации. До-
казаны аналоги теоремы усреднения для систем интегро-дифференциальных
уравнений первого и второго порядка гиперболического типа с последей-
ствием и случайными воздействиями.
Решена задача оптимизации колебательной системы с одной степенью
свободы, находящейся под воздействием случайных сил типа «белого шума».
7. К о л е б а т е л ь н ы е с и с т е м ы с р а с п р е д е л е н н ы -
м и п а р а м е т р а м и ( м а с с а м и , р а с п р е д е л е н н ы м и
с и л а м и ) . Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов впервые обратили
внимание на эффективность применения асимптотических методов нели-
нейной механики для рассмотрения колебательных явлений в системах с
распределенными массами (валы, стержневые системы).
Эти идеи получили существенное развитие в Институте математики АН
УССР в работах Ю. А. Митропольского и Б . И: Мосеенкова. Так , ими развит
асимптотический метод нелинейной механики для исследования как стацио-
нарных, так и нестационарных колебаний в системах с распределенными
параметрами, описываемых уравнениями в частных производных. Здесь
большое внимание уделено актуальным, быстро развивающимся разделам
нелинейной теории колебаний систем с распределенными параметрами —
590 Укр. мат. журн., 1984-, т. 36, № 5
нелинейным краевым задачам с учетом нелинейностей в уравнениях дви-
жения и краевых условиях, нелинейным уравнениям гиперболического типа
с 'учетом влияния случайных сил и запаздывания. Были рассмотрены изгиб-
ные, крутильные и изгибно-крутильные колебания в механических упругих
системах с учетом различных нелинейных характеристик и возмущений.
Доказаны теоремы о существовании почти периодических решений волно-
вых уравнений. Метод усреднения был распространен на системы нелиней-
ных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболи-
ческого типа. Полученные результаты нашли широкое применение при
исследовании нестационарных колебаний в механических системах с рас-
пределенными параметрами, при исследовании волн в стратификационной
среде, взаимодействия волн в дисперсионной среде и др .
Исследованы асимптотические свойства решений интегральных, ин-
тегр о -диффер енци а ль ных ур ав нений.
К приведенному выше циклу работ, посвященных развитию асимпто-
тических методов нелинейной механики применительно к исследованию си-
стем с распределенными параметрами, примыкает цикл исследований, про-
веденных А. А. Березовским, К- Я. Кухтой.
Разработан единый приближенный метод решения граничных задач на
собственные значения для упругих систем с непрерывными и переменными
непрерывно-дискретными параметрами при произвольном числе разрывов,
а т акже при непрерывных и дискретных возмущениях. Метод применен к
расчету поперечных крутильных и изгибно-крутильных колебаний несу-
щих поверхностей самолетов.
Проведены исследования по нелинейным краевым задачам теории обо-
лочек, теплоизлучения и электромагнитных полей в ферромагнитных средах.
Здесь основное внимание было уделено, наряду с установлением теорем су-
ществования и единственности, разработке алгоритмов построения прибли-
женных решений краевых задач, которые, как правило, не допускают точ-
ных решений.
Объединяющим фактором указанных выше задач из различных облас-
тей математической физики является их принадлежность к специально-
му классу нелинейных краевых задач с явно выделенными главными
линейными частями, содержащих нелинейности только в виде сильных
возмущений правых частей дифференциальных уравнений и краевых
условий.
8. М е т о д у с к о р е н н о й с х о д и м о с т и в з а д а ч а х
н. е л и н е й н о й м е х а н и к и и м н о г о ч а с т о т н ы е к о л е -
б а н и я . В 1934 г. Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым был предложен
метод последовательных замен, который стал эффективным аппаратом для
решения многих интересных задач нелинейной механики. В частности,
этим методом была решена задача о существовании квазипериодического
режима с двумя основными частотами в нелинейных колебательных систе-
мах. Однако получаемые приближенные решения в общем случае содержали
расходящиеся ряды. В 50—60-х годах А. Н. Колмогоровым и В. И. Арноль-
дом для гамильтоновых систем были получены принципиальные результаты
по методу построения решений, характеризующихся ускоренной сходи-
мостью, типичной для ньютоновского метода касательных. В 1963 г.
Н. Н . Боголюбов, объединяя идею выше указанных работ со своим методом
интегральных многообразий, исследовал неконсервативную систему и по-
строил для ее решения сходящиеся ряды. При этом им было доказано су-
ществование тороидального многообразия квазипериодических решений
(при п > 2), исследована их зависимость от параметров и решен ряд дру-
гих вопросов.
Идеи и результаты Н. Н. Боголюбова получили дальнейшее развитие в
ряде работ Ю. А. Митропольского, А. М. Самойленко, В. Л . К у л и к а . Было
построено общее решение системы нелинейных дифференциальных урав-
нений и решен вопрос о приводимости нелинейной системы к линейной с
постоянными коэффициентами . Исследовано поведение траекторий на
п-мерном гладком торе, решен вопрос о приводимости линейной системы
дифференциальных уравнений (как аналитической, так и конечное число
У к р. мат. журн . , 1984, т. 36, № 5 591
раз дифференцируемой) с квазипериодическими коэффициентами к системе
с постоянной матрицей, исследована мера приводимости таких систем.
Изучено расположение интегральных кривых систем нелинейных уравнений
в окрестностях гладких тороидальных и компактных инвариантных
многообразий.
Предложен новый подход к теории возмущения инвариантных торо-
идальных многообразий динамических систем, связанный с использованием
функций Грина для линеаризованной задачи. Этот подход дал возможность
рассмотреть с общей точки зрения теорию возмущения как гладких, т а к и
недифференцируемых инвариантных многообразий и доказать новые теоре-
мы об их существовании. Рассмотрены вопросы существования, единствен-
ности и гладкости функции Грина линеаризованной системы, ее расщепля-
емости и дихотомии.
Многие из перечисленных результатов, полученных методом ускорен-
ной сходимости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
были перенесены на уравнения с запаздыванием, с импульсными толчка-
ми, на счетные системы уравнений.
Результаты Н. Н . Боголюбова были также обобщены на случай, когда
в аналитической системе уравнений матрица линейной части Я — перемен-
ная, Я = Я (ср). После построения специальных аналитических сглажи-
вающих операторов эти результаты удалось перенести на системы с диффе-
ренцируемыми конечное число раз коэффициентами.
Глубокие результаты получены в теории многочастотных колебаний.
Под многочастотными колебаниями обычно понимают движение системы,
описываемое квазипериодической функцией х Ц). Сама эта функция — пло-
хой объект исследования, поскольку как угодно малые возмущения могут
существенно изменить ее частотный багис. При этом во многих случаях ока-
зывается, что поверхность, «заметаемая» тракторией в фазовом пространстве
х-ов, устойчива по отношению к малым возмущениям. Поэтому возникли
важные и сложные задачи по исследованию устойчивости этих поверхностей,
расположения траекторий на них, возможности линеаризации автономной
системы дифференциальных уравнений в их окрестности и многие другие.
Здесь рассмотрена возможность введения фазовых ср и нормальных у коор-
динат в окрестности /п-мерного инвариантного тора Доказано, что ог-
раничение количества фазовых координат ср всегда позволяет ввести такие
координаты. Отказ от этого ограничения приводит к тому, что не всегда в
окрестности т о р а ^ т можно ввести координаты (ср, у). Разработан важный с
практической стороны метод Галеркина для отыскания инвариантных то-
роидальных поверхностей для системы дифференциальных уравнений.
С помощью введения определенных соотношений между скоростями
сближения траекторий на торе и скоростью приближения траекторий из
окрестности тора, при этом предполагается определенная гладкость функ-
ций, стоящих в правых частях уравнений, доказана сходимость приближе-
ний метода Галеркина к т -мерной инвариантной тороидальной поверхности.
К а к известно, условия, гарантирующие неразрушаемость тора
в системе уравнений при малых возмущениях, определяют некоторый «гру-
бый» характер поведения траекторий этой системы в окрестности Изу-
чение этой окрестности было необходимо и важно для выяснения механизма
разрушения инвариантной поверхности малыми возмущениями динамиче-
ской системы. При этом получен ряд результатов о взаимосвязи траекторий,
расположенных в окрестности тора и на самом торе. Оказалось, что каж-
дая траектория из окрестности тора «выбирает» единственную траекторию на
самом торе и экспоненциально к ней приближается на бесконечности. Изу-
чена возможность линеаризации нелинейной динамической системы в ок-
рестности тора а также вопросы теории бифуркации инвариантных мно-
гообразий для ряда достаточно гладких систем. Предполагалось, что для
всех е £ [0, е„] система уравнений имеет одно и то же инвариантное
множество ал о, и в процессе изменения параметра 8 происходит смена
устойчивости множества ЭЛ. При этих условиях доказано, что при
прохождении параметра е через критическое значение, ведущее к смене
устойчивости, из ЭЛ может появиться новое инвариантное множество 9Л8. ДЛЯ
592 Укр. мат. журн., 1984-, т. 36, № 5
появления такого множества достаточно смены асимптотической устойчи-
вости Ж на неустойчивость. Структура порождаемого множества 9J?e зави-
сит от множества ?D?0 и характера смены устойчивости.
Получены условия существования инвариантного тора для нели-
нейной системы с медленно меняющейся фазой, в том числе для д в о я к о
периодической колебательной системы с медленно меняющимися коэффи-
циентами.
Подробно изучена функция Грина G (т, <р) в задаче об инвариантных то-
рах: зависимость от параметра, модуль непрерывности по переменным q ,
дифференцируемость и др.
Получен ряд результатов по исследованию экспоненциальной дихо-
томичности тора З г
т с помощью квадратичных форм.
Разработан новый подход к исследованию поведения решений линейной
однородной системы на всей оси R, позволяющий охватывать сразу целые
семейства таких систем. Это дало возможность получить условия существо-
вания равномерно ограниченных на R решений неоднородной системы урав-
нений, а также исследовать неоднозначную функцию Грина задачи об огра-
ниченных решениях.
Исследована возможность расщепления системы уравнений заменой пе-
ременных Ляпунова х — L (<р)у на системы меньшего порядка.
Основополагающие идеи и фундаментальные результаты, полученные
в области асимптотических методов нелинейной механики, составляют в
настоящее время основу многих современных исследований по общей меха-
нике, механике сплошной среды, теории устойчивости, теории регулирова-
ния и стабилизации, математической экологии и других направлений на-
уки и техники.
Подводя итог основным результатам, полученным в Институте мате-
матики АН УССР Н Н. Боголюбовым и его учениками и последователями в
многочисленных трудах в области создания асимптотических методов нели-
нейной механики, следует особо подчеркнуть, что благодаря своему глубо-
кому теоретическому содержанию и широкой практической направленности
эти методы получили широкую известность не только в нашей стране, но и
во всем мире. Они обогатили советскую науку новыми достижениями как в
области математики, так и в области приложений к механике, физике и тех-
нике. С полной уверенностью можно сказать, что во всем мире асимптоти-
ческие методы нелинейной механики—один из наиболее эффективных ме-
тодов расчета нелинейных колебательных процессов.
9. М а т е м а т и ч е с к и е в о п р о с ы т е о р е т и ч е с к о й
ф и з и к и . Остановимся теперь на основных результатах, полученных в
Институте математики в области теоретической физики. Эти результаты в
основном связаны с работами Н . Н. Боголюбова, а т акже О. С. Парасюка
и В. И. Фущича.
Первые работы Н. Н. Боголюбова, относящиеся к этой области, есте-
ственно связаны с дальнейшим развитием асимптотических методов нели-
нейной механики и применением их в задаче многих тел в классической ста-
тистической механике.
Уже в 1945 г в монографии «О некоторых статистических методах в ма-
тематической физике» Н. Н. Боголюбовым были рассмотрены задачи о
влиянии случайных сил на гармонический осциллятор и установлении рав-
новесия в системе, связанной с термостатом. Показано, что в зависимости от
использования аппроксимации и выбора масштаба времени один и тот же
случайный процесс может рассматриваться как динамический, марковский
или — в общем случае — как некоторый немарковский.
Выдвинутая Н. Н. Боголюбовым идея об иерархии времен в статисти-
ческой физике определила все дальнейшее развитие статистической теории
необратимых процессов.
Ряд исследований H . H . Боголюбова посвящен вопросам статистической
механики классических систем Здесь разработаны методы функций рас-
пределения и производящих функционалов для решения основной задачи
статистической физики о вычислении термодинамических функций через
молекулярные характеристики вещества. Дальнейшее распространение ап-
Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5 4 - 4-468 593
парата функций распределения на случай неравновесных процессов дало
"возможность Н . Н . Боголюбову подойти с единой точки зрения к т е о р и и и
методу построения кинетических уравнений для систем взаимодействующих
частиц. Д л я решения кинетических уравнений в 1947 г. был предложен ме-
тод, суть которого заключается в использовании наличия двух процессов —
медленного и быстрого — в эволюции функций распределения со временем
и специальном введении «малых» параметров. Метод кинетических функ-
ций распределения был использован Н. Н. Боголюбовым при исследовании
вопроса о получении уравнений гидромеханики на основе классической ме-
ханики совокупности молекул, взаимодействующих между собой. Не менее
важные результаты были получены в квантовой статистике, позволившие
решить в общем случае задачу о построении кинетических уравнений для
квантовых систем'во втором приближении. Был разработан метод вторич-
ного квантования, давший возможность исследовать поведение электронов
в металле и оказавшийся весьма эффективным при изучении квантовой тео-
рии ферромагнетизма.
В 1947 г. Н . Н . Боголюбовым были получены первые результаты по тео-
рии вырождения неидеальных газов. Исследование «конденсации» неиде-
ального бозе-газа явилось первым шагом на пути построения микроскопи-
ческой теории сверхтекучести гелия-I i . Был установлен исключительно
важный факт: свойством сверхтекучести может обладать только газ со вза-
имодействием, но отнюдь не идеальный газ. При этом показано, что, не-
смотря на слабость взаимодействия, обычная теория возмущений оказалась
здесь принципиально неприменимой и возникла необходимость в развитии
совершенно новой методики расчета. Развитие идей и методов, высказанных
Н . Н. Боголюбовым в 1947—1948 гг., позволило ему в 1957 г. создать (неза-
висимо от нескольких более ранних работ Бгрдина, Купера и Шриффера)
последовательную микроскопическую теорию сверхпроводимости. Д л я ре-
шения указанной проблемы Н. Н . Боголюбов построил адекватный мате-
матический аппарат, в основе которого лежит особое преобразование бозе-
амплитуд, широко известное сейчас как ии-преобразование Боголюбова.
Это преобразование получило широкое применение в теоретической физике,
например в ряде работ по квантовой теории гравитационного поля. Даль-
нейшее развитие этих идей и методов позволило Н. Н . Боголюбову создать
в 1958 г. последовательную микроскопическую теорию сверхпроводимости.
З а разработку нового метода в квантовой теории поля и статистической физи-
ке, который привел, в частности, к обоснованию теории сверхтекучести и
теории сверхпроводимости, Н . Н . Боголюбов удостоен в 1958 году Ле-
нинской премии.
Большой цикл исследований Н. I i . Боголюбова и его учеников, выпол-
ненных в Институте математики АН УССР, относится к фундаментальным
проблемам современной квантовой теории поля и элементарных частиц.
Здесь Н. Н. Боголюбовым предложен метод построения матрицы рассеяния
в виде разложения по степеням взаимодействия, дана оригинальная форму-
лировка принципа причинности. Д л я правильного определения операции ум-
ножения обобщенных причинных функций квантовой теории поля H . H . Бо-
голюбовым, и О . С . Парасюком разработана ß-операция, с помощью кото-
рой дано корректное определение хронологического произведения лагран-
жианов с точностью до квазилокальных операторов. Это позволило строго
математически обосновать метод перенормировки квантовой теории поля.
Работы Н. Н. Боголюбова и О. С, Парасюка по теории умножения об-
общенных функций сыграли основополагающую роль при построении еди-
ной теории электромагнитных и слабых взаимодействий.
Н. Н . Боголюбовым построено также доказательство дисперсионных со-
отношений, в процессе которого установлен ряд тонких свойств функций
многих комплексных переменных и обобщенных функций.
В последние 10—15 лет в Институте математики В. И. Фущичем вы-
полнен цикл работ, посвященных исследованию симметричных свойств ос-
новных уравнений современной квантовой физики. Основные результаты,
полученные в этих работах, могут быть сформулированы следующим обра-
зом.
5S4 Укр. мат. журн., 1984, т. 36, № 5
Предложен эффективный алгоритм исследования симметрийных свойств
систем дифференциальных уравнений в частных производных, существенно
отличный от классического метода Ли.
Найдены новые группы инвариантности многих уравнений квантовой
теории — Дирака , Максвелла, Клейна — Гордона, Кеммера — Дэффина
и др. Найдены интегралы движения, соответствующие нелокальной сим-
метрии уравнений квантовой физики; установлена связь интегралов дви-
жения электромагнитного поля с классическими параметрами Стокса.
Получен ряд результатов относительно симметрии нелинейных урав-
нений математической физики. Исследована симметрия поливолнового урав-
нения с нелинейными добавками и обобщенного уравнения Буссинеска.
Построен класс нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных, инвариантных относительно группы Галилея .
Получен ряд результатов по развитию теории представлений групп и
алгебр Ли применительно к задачам математической физики.
Решены задачи о редукции представлений группы движений (п +
+ 1)-мерного пространства Де-Ситтера Р (1,/г) по представлениям групп
. Пуанкаре Р (1,3) и Галилея 0 (1,3).
Решена задача описания неэквивалентных подгрупп обобщенной груп-
пы Пуанкаре Р (1,4), содержащая, в частности, такие важные с физической
точки зрения подгруппы, как группы Пуанкаре и Галилея.
Выведены и детально изучены системы дифференциальных уравнений
в частных производных, инвариантные относительно группы вращения и
сдвигов в я-мерном пространстве Минковского.
Решена задача описания некоторого класса уравнений, инвариантных
относительно группы Галилея, которые можно интерпретировать как урав-
нения движения нерелятивистской частицы произвольного спина.
Укр. мат. жури., 1984, г, 36, №5 4* 595
|