О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы
Вивчаються групи, у яких система Lnon-nn(G) всіх підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замиканні. We study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all not nearly norm...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164672 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы / Н.Н. Семко, М.М. Пискун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 657–668. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164672 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Семко, Н.Н. Пискун, М.М. 2020-02-10T13:44:14Z 2020-02-10T13:44:14Z 2008 О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы / Н.Н. Семко, М.М. Пискун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 657–668. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164672 512.544 Вивчаються групи, у яких система Lnon-nn(G) всіх підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замиканні. We study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all not nearly normal subgroups has the Krull dimension. A subgroup H of the group G is said to be nearly normal if H has finite index in its normal closure. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы On the application of some concepts of ring theory to the study of the influence of systems of subgroups of a group Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| spellingShingle |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы Семко, Н.Н. Пискун, М.М. Статті |
| title_short |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| title_full |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| title_fullStr |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| title_full_unstemmed |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| title_sort |
о применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы |
| author |
Семко, Н.Н. Пискун, М.М. |
| author_facet |
Семко, Н.Н. Пискун, М.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the application of some concepts of ring theory to the study of the influence of systems of subgroups of a group |
| description |
Вивчаються групи, у яких система Lnon-nn(G) всіх підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замиканні.
We study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all not nearly normal subgroups has the Krull
dimension. A subgroup H of the group G is said to be nearly normal if H has finite index in its normal
closure.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164672 |
| citation_txt |
О применении некоторых понятий теории колец для изучения влияния систем подгрупп группы / Н.Н. Семко, М.М. Пискун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 5. — С. 657–668. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT semkonn oprimeneniinekotoryhponâtiiteoriikolecdlâizučeniâvliâniâsistempodgruppgruppy AT piskunmm oprimeneniinekotoryhponâtiiteoriikolecdlâizučeniâvliâniâsistempodgruppgruppy AT semkonn ontheapplicationofsomeconceptsofringtheorytothestudyoftheinfluenceofsystemsofsubgroupsofagroup AT piskunmm ontheapplicationofsomeconceptsofringtheorytothestudyoftheinfluenceofsystemsofsubgroupsofagroup |
| first_indexed |
2025-11-25T22:29:25Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:29:25Z |
| _version_ |
1850560960450789376 |
| fulltext |
УДК 512.544
Н. Н. Семко, М. М. Пискун (Нац. ун-т гос. налог. службы Украины, Ирпень)
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ
ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ
СИСТЕМ ПОДГРУПП ГРУППЫ
We study the groups, in which the family Lnon-nn(G) of all not nearly normal subgroups has the Krull
dimension. A subgroup H of the group G is said to be nearly normal if H has finite index in its normal
closure.
Вивчаються групи, у яких система Lnon-nn(G) всiх пiдгруп, що не є наближено нормальними, має ви-
мiрнiсть Крулля. Пiдгрупа H групи G називається наближено нормальною, якщо H має скiнченний
iндекс у своєму нормальному замиканнi.
Группы с обширными системами подгрупп, в том или ином смысле близких к
нормальным, являются достаточно давним объектом исследований в теории групп.
Наличие большого числа нормальных и близких к ним подгрупп оказывает очень
сильное влияние на структуру группы. Образно говоря, чем больше группа име-
ет нормальных и близких к ним подгрупп, тем ближе такая группа к абелевой.
Развитие теории групп с условиями конечности привело к появлению многих есте-
ственных обобщений нормальных подгрупп. Одним из таких обобщений являются
приближенно нормальные подгруппы. Подгруппа H группы G называется прибли-
женно нормальной в G, если она имеет конечный индекс в своем нормальном
замыкании HG. Подгруппы такого вида начал рассматривать Б. Нейман [1]. Он
показал, что если любая подгруппа группы является приближенно нормальной, то
группа имеет конечный коммутант. В работе Л. А. Курдаченко, Н. Ф. Кузенного и
Н. Н. Семко [2] рассмотрены группы, у которых система всех приближенно нор-
мальных подгрупп является плотной. Позднее С. Франциози и Ф. де Жиованнi [3]
рассмотрели группы, у которых упорядоченная по включению система Lnon-nn(G)
всех подгрупп группы G, не являющихся почти нормальными, удовлетворяет усло-
вию минимальности, а в работе A. Галоппо [4] рассмотрена двойственная ситуа-
ция, т. е. были рассмотрены группы, у которых система Lnon-nn(G) удовлетворяет
условию максимальности. В данной статье будет рассмотрено условие конечно-
сти, являющееся очень широким обобщением как условия минимальности, так и
условия максимальности. Это ограничение появилось впервые в теории колец и
оказалось весьма эффективным. Цель этой статьи — попытаться использовать его
для изучения влияния на строения групп важных ее естественных систем подгрупп,
в частности, системы Lnn(G) всех ее приближенно нормальных подгрупп и систе-
мы Lnon-nn(G). Теория колец была первой, где начали рассматривать различные
естественные ограничения на системы левых (соответственно правых) идеалов.
Теория артиновых колец (т. е. колец с условием минимальности) и теория нетеро-
вых колец (т. е. колец с условием максимальности) являются одними из наиболее
развитых. В теории колец возникло много естественных и интересных обобще-
ний артиновых и нетеровых колец. Одним из таких обобщений являются кольца,
имеющие размерность Крулля.
Пусть A — частично упорядоченное множество. Для элементов a, b ∈ A опре-
делим замкнутый интервал с концами a, b как подмножество
c© Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН, 2008
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5 657
658 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
[a, b] =
{
x ∈ A
∣∣ a ≤ x ≤ b
}
.
Определим отклонение dev(A) частично упорядоченного множества A (см., на-
пример, [5], определение 6.1) по следующему правилу.
Если на A задан тривиальный порядок, то полагаем dev(A) = −∞.
Если порядок, заданный на A, нетривиален, но A удовлетворяет условию ми-
нимальности, то полагаем dev(A) = 0.
Для порядкового числа α определим dev(A) = α в случае, если dev(A) 6= β < α
и для любой убывающей цепочки a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . элементов множества
A все интервалы [an, an+1], за исключением конечного множества замкнутых
интервалов, имеют отклонение, строго меньшее чем α.
Будем говорить, что частично упорядоченное множество A имеет отклонение,
если найдется порядковое число α, для которого dev(A) = α.
Образно говоря, отклонение частично упорядоченного множества показывает,
насколько оно удалено от множеств с условием минимальности, в частности от
вполне упорядоченных множеств. Однако, частично упорядоченные множества,
имеющие отклонение, можно рассматривать и как обобщение частично упоря-
доченных множеств с условием максимальности (см, например, [5], определе-
ние 6.1.8).
Понятие отклонения нашло полезные применения в теории колец и модулей, и
само его возникновение связано с этой теорией. Напомним, что кольцо R имеет
размерность Крулля, если упорядоченное по включению семейство всех его левых
идеалов имеет отклонение (см., например, [5], определение 6.2.2). Это отклонение
и называется размерностью Крулля кольца R и обозначается символом K(R).
Пусть теперь G — группа и S — некоторое семейство подгрупп G. Мы можем
рассматривать S как частично упорядоченное множество относительно теоретико-
множественного включения. Поскольку в теории групп [a, b] обозначает комму-
татор элементов a, b, то для замкнутого интервала упорядоченного семейства S
подгрупп с концами A, B будем использовать обозначение [[A,B]], т. е.
[[A,B]] = {C | C ∈ S и A ≤ C ≤ B} .
Если частично упорядоченное семейство S имеет отклонение, то в этом случае
будем говорить, что семейство S имеет размерность Крулля; под этой размерно-
стью будем понимать отклонение частично упорядоченного семейства S и исполь-
зовать для него обозначение KS(G). Если ν — некоторое теоретико-групповое свой-
ство и
S =
{
H
∣∣∣ H— подгруппа группы G, имеющая свойство ν
}
,
то вместо KS(G) будем писать Kν(G).
Напомним, что группа G удовлетворяет слабому условию минимальности для
подгрупп семейства S, если для любой убывающей последовательности
H1 ≥ H2 ≥ . . . ≥ Hn ≥ . . .
подгрупп семейства S найдется такой номер m, что индексы |Hn : Hn+1| конечны
при n ≥ m. В этом случае каждый замкнутый интервал [[Hn,Hn+1]] конечен и, в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ... 659
частности, удовлетворяет условию минимальности. Таким образом, если группа
G удовлетворяет слабому условию минимальности для подгрупп семейства S, то
семейство S имеет размерность Крулля, более того, KS(G) ≤ 1. Следовательно, мы
получаем обобщение не только обычного условия минимальности для S-подгрупп,
но и слабого условия минимальности для S-подгрупп.
Теперь в качестве семейства S рассмотрим семейство Lnon-nn(G) всех подгрупп
группы G, которые не являются приближенно нормальными, и будем изучать груп-
пы, у которых это семейство имеет размерность Крулля. Соответствующую раз-
мерность будем обозначать через Knon-nn(G).
1. Некоторые предварительные результаты. Отметим сразу, что если в груп-
пе G семейство всех подгрупп, не являющихся приближенно нормальными, имеет
размерность Крулля, то, очевидно, это же справедливо для любой подгруппы груп-
пы G и любой ее фактор-группы, а значит, и для любой ее секции. В дальнейшем
будем пользоваться этим без всяких ссылок.
Пусть G — группа, H — ее подгруппа. Будем говорить, что H является рав-
номерным произведением подгрупп Hλ, λ ∈ Λ, если выполняются следующие
условия:
1) HλHµ = HµHλ для любой пары индексов λ, µ ∈ Λ;
2) Hλ ∩ 〈Hµ | µ 6= λ〉 = 〈1〉.
Если H — равномерное произведение подгрупп Hλ, λ ∈ Λ, то будем записывать
это с помощью символа H = Unλ∈ΛHλ.
Если M — подмножество Λ, то обозначим символом H M подгруппу 〈Hλ |
λ ∈ M〉 = Unλ∈MHλ.
Также обозначим через ΛUn(H) семейство
{
H M | M ⊆ Λ
}
. Семейство
ΛUn(H) частично упорядочено по включению. Обозначим через [[K, L]]Un замк-
нутый интервал упорядоченного по включению семейства ΛUn(H).
1.1. Лемма. Пусть G — группа и H — такая ее подгруппа, что H = Unλ∈ΛHλ.
Если семейство ΛUn(H) имеет отклонение, то множество индексов Λ конечно.
Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть Λ бесконечно. Пусть,
далее, α — порядковое число, для которого dev
(
ΛUn(H)
)
= α. Будем доказывать
это утверждение, используя индукцию по числу α. Пусть сначала α = 0. Из беско-
нечности множества Λ получаем существование бесконечной убывающей цепочки
Λ1 ⊃ Λ2 ⊃ . . . ⊃ Λn ⊃ . . .
бесконечных подмножеств Λ. Однако существование такой цепочки влечет за собой
существование бесконечной цепочки подгрупп
H Λ1 > H Λ2 > . . . > H Λn > . . . .
С другой стороны, равенство dev
(
ΛUn(H)
)
= 0 означает, что упорядоченное
по включению множество ΛUn(H) удовлетворяет условию минимальности, и мы
получаем противоречие, которое доказывает утверждение для случая
dev
(
ΛUn(H)
)
= 0.
Допустим теперь, что α > 0 и утверждение доказано для всех порядковых
чисел, строго меньших α. Использовав бесконечность множества Λ, найдем в нем
бесконечную убывающую цепочку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
660 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
Λ1 ⊃ Λ2 ⊃ . . . ⊃ Λn ⊃ . . .
таких подмножеств Λ, что разности Mn = Λn\Λn+1 бесконечны при любом n ∈ N.
Снова получаем бесконечную цепочку подгрупп
H Λ1 > H Λ2 > . . . > H Λn > . . . .
Найдется такой номер k ∈ N, что dev([[H Λn ,H Λn+1 ]]Un) < α для всех n ≥
≥ k. Однако H Λn = H Mn H Λn+1 и H Mn ∩H Λn+1 = 〈1〉. Нетрудно
показать, что упорядоченные по включению множества [[H Λn ,H Λn+1 ]]Un и
ΛUn(H Mn ) изоморфны. Отсюда следует, что ΛUn(H Mn ) имеет отклонение
и dev
(
ΛUn(H Mn )
)
< α. Вследствие индуктивного допущения это означает, что
подмножество Mn должно быть конечным для n ≥ k. Это последнее противоречие
и доказывает лемму.
1.2. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Предпо-
ложим, что L, K, H — подгруппы G, удовлетворяющие следующим условиям:
i) L — нормальная подгруппа K;
ii) H ∩K ≤ L;
iii) K/L = ×λ∈ΛKλ/L, где Kλ 6= L, Kλ−H-инвариантная подгруппа для всех
λ ∈ Λ, в частности, подгруппы K и L H-инвариантны;
iv) множество индексов Λ бесконечно.
Тогда подгруппа HL приближенно нормальна в G.
Доказательство. Бесконечность множества Λ влечет существование таких
бесконечных подмножеств ∆, Σ из Λ, что ∆ ∩ Σ = ∅, ∆ ∪ Σ = Λ. Допустим,
что подгруппа HK M не является приближенно нормальной в G для любого
бесконечного подмножества M ⊆ ∆. Отсюда следует, что упорядоченное по вклю-
чению семейство подгрупп
{
HK M | M ⊆ ∆
}
имеет отклонение. Нетрудно
убедиться в том, что это упорядоченное множество изоморфно упорядоченному
множеству ΛUn
(
K ∆ /L
)
(отметим, что K ∆ /L = ×
λ∈∆Kλ/L, а прямое про-
изведение является частным случаем равномерного произведения). Отсюда выте-
кает, что упорядоченное множество ΛUn
(
K ∆ /L
)
имеет отклонение. В силу
леммы 1.1 это влечет конечность подмножества ∆, и мы получаем противоречие
с его выбором. Полученное противоречие показывает, что существует бесконеч-
ное подмножество M ⊆ ∆, для которого HK M приближенно нормальна в
G. Аналогичные рассуждения показывают, что Σ включает в себя бесконечное
подмножество Γ, для которого HK Γ приближенно нормальна в G. Из выбора
подмножеств ∆, Σ получаем равенство HL = HK M ∩ HK Γ . Поскольку
пересечение двух приближенно нормальных подгрупп является приближенно нор-
мальной подгруппой [6] (лемма 1), HL приближенно нормальна в G.
1.3. Следствие. Пусть G — группа, для которой Lnon-nn(G) существует. Пред-
положим, что L, K, H — подгруппы G, удовлетворяющие следующим условиям:
i) L — нормальная подгруппа K;
ii) K/L = ×λ∈ΛKλ/L, где Kλ 6= L, Kλ — H-инвариантная подгруппа для всех
λ ∈ Λ, в частности, подгруппы K, L H-инвариантны;
iii) подмножество Λ\ Supp
(
HL/L ∩K/L
)
бесконечно.
Тогда подгруппа HL приближенно нормальна в G.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ... 661
Доказательство. Положим M = Λ\ Supp
(
HL/L ∩ K/L
)
и T/L =
= ×
λ∈M
Kλ/L. Применяя теперь лемму 1.2 к подгруппам H, T, L, получаем тре-
буемый результат.
1.4. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует.
Предположим, что L, K, H — подгруппы G, удовлетворяющие следующим усло-
виям:
i) L — нормальная подгруппа K;
ii) K/L = ×
λ∈ΛKλ/L, где Kλ 6= L, Kλ — H-инвариантная подгруппа для всех
λ ∈ Λ, в частности, подгруппы K и L H-инвариантны;
iii) множество индексов Λ бесконечно.
Тогда для любого элемента h ∈ H подгруппа 〈h〉L приближенно нормальна в G.
Доказательство. Поскольку Kλ H-инвариантна, то она и 〈h〉-инвариантна.
Очевидно, подмножество Supp
(
〈h〉L/L ∩ K/L
)
конечно, а потому M =
= Λ\Supp
(
〈h〉L/L∩K/L
)
будет бесконечным и можно применить следствие 1.3.
Следствие доказано.
Если G — группа, x — ее элемент, то через xG обозначим класс элементов,
сопряженных с x, т. е. подмножество {g−1xg | g ∈ G}. Положим
FC(G) = {x ∈ G | xG конечно}.
Нетрудно убедиться в том, что FC(G) — характеристическая подгруппа группы G.
Ее называют FC-центром группы G.
1.5. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует.
Предположим, что K, H — подгруппы G, удовлетворяющие следующим условиям:
i) K = ×
λ∈ΛKλ, где Kλ — неединичная H-инвариантная подгруппа для всех
λ ∈ Λ;
ii) множество индексов Λ бесконечно.
Тогда H ≤ FC(G).
Действительно, из следствия 1.4 получаем, что подгруппа 〈h〉 приближенно
нормальна в G для любого элемента h ∈ H. Остается отметить, что приближенно
нормальная циклическая подгруппа группы содержится в ее FC-центре [1] (лем-
ма 3.6).
1.6. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
K — такая подгруппа группы G, что K = ×
λ∈ΛKλ, где подгруппы Kλ неединичны
для всех λ ∈ Λ и множество индексов Λ бесконечно, то K ≤ FC(G).
1.7. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует.
Предположим, что L, K — подгруппы G, удовлетворяющие следующим условиям:
i) L — нормальная подгруппа K;
ii) K/L = ×
λ∈ΛKλ/L, где Kλ 6= L для всех λ ∈ Λ;
iii) множество Λ бесконечно.
Тогда подгруппы K, L приближенно нормальны в G.
Доказательство. Бесконечность множества Λ влечет существование таких
бесконечных подмножеств ∆, Σ из Λ, что ∆ ∩ Σ = ∅, ∆ ∪ Σ = Λ. Положим
U = ×
λ∈∆Kλ/L, V = ×
λ∈ΣKλ/L, тогда, очевидно, K = UV и U ∩ V = L.
Кроме того, имеем K/U ∼= ×
λ∈ΣKλ/L и K/V ∼= ×
λ∈∆Kλ/L. Из леммы 1.2 полу-
чаем, что подгруппы U, V приближенно нормальны. Поскольку пересечение двух
приближенно нормальных подгрупп и подгруппа, порожденная ими, приближенно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
662 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
нормальны [6] (лемма 1), то требуемое утверждение вытекает из равенств K = UV
и U ∩ V = L.
2. Абелевы секции групп, у которых семейство Knon-nn(G) имеет размер-
ность Крулля.
2.1. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если под-
группа H не является приближенно нормальной в G, то фактор-группа H/[H,H]
будет минимаксной.
Доказательство. Выберем в абелевой группе H/[H,H] такую свободную
абелеву подгруппу F/[H,H], что фактор-группа H/F будет периодической. Из
следствия 1.7 вытекает, что множество Π(H/F ) должно быть конечным. Пусть
F/[H,H] = ×
λ∈ΛCλ, где Cλ — бесконечная циклическая группа для любого λ ∈ Λ.
Пусть теперь p — простое число, не принадлежащее множеству Π(H/F ). Имеем
D/[H,H] =
(
F/[H,H]
)p = ×
λ∈ΛCp
λ. Если предположить теперь, что множество
индексов Λ бесконечно, то фактор-группа F/D будет бесконечной элементарной
абелевой p-группой. Из выбора простого числа p получаем, что F/D — силовская
p-подгруппа H/D, так что H/D = F/D×Q/D, где Q/D — силовская p′-подгруппа
H/D. Тогда H/Q ∼= (H/D)/(Q/D) ∼= F/D является бесконечной элементарной
абелевой p-группой. Но в этом случае согласно следствию 1.7 подгруппа H долж-
на быть приближенно нормальной. Полученное противоречие показывает, что
множество индексов Λ конечно, а значит, фактор-группа F/[H,H] будет конеч-
нопорожденной.
Пусть r ∈ Π(H/F ) и R/F — силовская r-подгруппа H/F. Поскольку R/F изо-
морфна некоторой фактор-группе H, применяя снова следствие 1.7, получаем, что
фактор-группа (R/F )/(R/F )p должна быть конечной. В свою очередь это означа-
ет, что R/F = K/F × C/F, где подгруппа K/F конечна, а C/F делима (см. [7],
лемму 3). Отсюда вытекает, что H имеет делимую r-фактор-группу, изоморфную
C/F. Эта фактор-группа будет прямым произведением квазициклических r-групп
(см., например, [8], теорему 23.1). Принимая во внимание следствие 1.7, получаем,
что число этих квазициклических множителей должно быть конечным. Это озна-
чает, что подгруппа C/F будет черниковской. Из конечности K/F получаем, что
и R/F черниковская. Поскольку это справедливо для любой силовской подгруппы
H/F и, как мы видели выше, множество Π(H/F ) конечно, то и вся фактор-группа
H/F будет черниковской. Таким образом, абелева группа H/[H,H] является рас-
ширением конечнопорожденной подгруппы F/[H,H] с помощью черниковской
группы H/F. Это и означает, что H/[H,H] минимаксна.
2.2. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует.
Если абелева подгруппа H не является приближенно нормальной в G, то H мини-
максна.
Теперь напомним некоторые необходимые понятия теории модулей. Пусть R
— коммутативное кольцо, A — R-модуль. Положим
tR(A) = {a ∈ A | AnnR(a) 6= 〈0〉} .
Если R — область целостности, то tR(A) будет подмодулем A. В этом случае подмо-
дуль tR(A) называется R-периодической частью модуля A. Модуль A называется
R-периодическим, если A = tR(A); будем говорить, что A не имеет R-кручения,
если подмодуль tR(A) нулевой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ... 663
Пусть D — дедекиндова область. Положим
Spec(D) =
{
P | P — максимальный идеал D
}
.
Если I — идеал D, то положим
AI =
{
a ∈ A | aIn = 〈0〉 для некоторого n ∈ N
}
.
Легко видеть, что AI — D-подмодуль A. AI называют I-компонентой A. Если
A совпадает со своей I-компонентой, то будем говорить, что A — I-модуль над
кольцом D. Далее, пусть
ΩI,n(A) = {a ∈ A | aIn = 〈0〉}.
Нетрудно убедиться в том, что ΩI,n(A) — D-подмодуль и ΩI,n(A) ≤ ΩI,n+1(A),
n ∈ N, так что ∪n∈NΩI,n(A) = AI .
Положим AssD(A) =
{
P ∈ Spec(D) | AP 6= 〈0〉
}
. Тогда tD(A) = ⊕P∈πAP , где
π = AssD(A) (см., например, [9], следствие 6.25).
Пусть D — дедекиндова область, C — простой D-модуль, тогда C ∼= D/P
для некоторого P ∈ Spec(D). Обозначим D-инъективную оболочку C через CP∞ .
Модуль CP∞ называется прюферовым P -модулем. Как и в теории абелевых групп,
можно показать, что
CP∞
∼= lim inj
{
D/Pn | n ∈ N
}
.
По построению CP∞ — P -модуль, причем ΩP,k(CP∞) ∼= D/P k и
ΩP,k+1(CP∞)/ΩP,k(CP∞) ∼= (D/P k+1)/(P/P k+1) ∼= D/P
для любого k ∈ N. Следовательно, если E — собственный D-подмодуль CP∞ ,
то найдется такое число k ∈ N, что E = ΩP,k(CP∞). Действительно, если b 6∈
6∈ ΩP,k(CP∞)\ΩP,k−1(CP∞), то C = bD. Отметим также, что прюферов P -модуль
CP∞ монолитичен и его монолит совпадает с ΩP,1(CP∞).
Если D — дедекиндова область, A — артинов D-модуль, то A является D-
периодическим, так что A = ⊕P∈πAP , где множество π = AssD(A) конечно.
Далее, AP = C1 ⊕ . . . ⊕ Ck ⊕ E1 ⊕ . . . ⊕ Ed, где Cj , 1 ≤ j ≤ k, — циклический
P -модуль, Ej , 1 ≤ j ≤ d, — прюферов P -модуль (см., например, [10], теорему 5.7).
2.3. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
g — элемент группы G, для которого существует 〈g〉-инвариантная бесконечная
элементарная абелева p-подгруппа A, то A включает в себя 〈g〉-инвариантную
подгруппу B, любая подгруппа которой 〈g〉-инвариантна.
Доказательство. Пусть J = Fp〈x〉 — групповое кольцо бесконечной цикличе-
ской группы 〈x〉 над простым полем Fp. Действие элемента x на A определим по
правилу ax = g−1ag, a ∈ A. Это действие можно расширить естественным обра-
зом до действия на A всего кольца J. Таким образом, A становится модулем над J.
Отметим, что групповое кольцо J является областью главных идеалов, в частности,
оно является дедекиндовой областью. Предположим сначала, что A не является
J-периодическим. Тогда найдется такой элемент a ∈ A, что AnnJ(a) = 〈0〉. В этом
случае имеем S = 〈a〉〈g〉 = aJ ∼= J. Положим K = Fp〈xp〉, тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
664 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
J = K ⊕Kx⊕Kx2 ⊕ . . .⊕Kxp−1.
Пусть C = aK, тогда C имеет бесконечный индекс в A и CJ = S или, в мультипли-
кативных обозначениях, C〈g〉 = S. Из следствия 1.7 вытекает, что любая подгруппа
A приближенно нормальна в G. В частности, подгруппа C приближенно нормаль-
на в 〈A, g〉. Это означает, что индекс |C〈g〉 : C| = |S : C| должен быть конечным.
Полученное противоречие показывает, что модуль A будет J-периодическим.
Пусть π = AssD(A), тогда A = ⊕P∈πAP , где AP — P -компонента A. Положим
σ = π\
{
(x− 1)J ∪ . . . ∪ (x− p + 1)J
}
, E = ⊕P∈σΩP,1(A). Тогда E = ⊕λ∈ΛCλ,
где Cλ — простой J-подмодуль для любого λ ∈ Λ. Кроме того, Cλ
∼= J/Pλ, где Pλ
— простой идеал кольца J и Pλ 6= (x− k)J, 1 ≤ k ≤ p− 1, λ ∈ Λ. Отсюда следует,
что Cλ конечен и |Cλ| > p. Допустим, что множество Λ бесконечно. Выберем в
каждом Cλ неединичный элемент cλ и положим U = 〈cλ|λ ∈ Λ〉 . Вследствие тако-
го выбора U имеет бесконечный индекс в E и UJ = E или, в мультипликативных
обозначениях, U 〈g〉 = E. Как уже отмечалось выше, любая подгруппа A прибли-
женно нормальна в G. В частности, подгруппа U приближенно нормальна в 〈A, g〉.
Это означает, что индекс |U 〈g〉 : U | = |E : U | должен быть конечным. Полученное
противоречие показывает, что множество индексов Λ конечно. Это влечет за собой
тот факт, что E — артинов J-модуль (см., например, [10], лемму 5.6). Тогда либо E
конечен, либо E включает в себя прюферов P -модуль V для некоторого P ∈ σ. Во
втором случае из того факта, что аддитивная группа V — бесконечная элементар-
ная абелева, получаем существование в V такой бесконечной подгруппы W, что
и индекс |V : W | бесконечен. В то же время любой собственный J-подмодуль
V будет конечным, а потому WJ = V или, в мультипликативных обозначениях,
W 〈g〉 = V. Как уже отмечалось выше, W приближенно нормальна в 〈A, g〉. Это
означает, что индекс |W 〈g〉 : W | = |V : W | должен быть конечным. Полученное
противоречие доказывает, что E конечна.
Выберем теперь простой идеал P из множества π\σ и допустим, что фактор-
модуль ΩP,2(A)/ΩP,1(A) бесконечен. Поскольку аддитивная группа ΩP,2(A) явля-
ется элементарной абелевой, то ΩP,2(A) = ΩP,1(A) ⊕ Y для некоторой под-
группы Y. В частности, Y бесконечна, имеет бесконечный индекс в ΩP,2(A) и
Y J = ΩP,2(A) или, в мультипликативных обозначениях, Y 〈g〉 = ΩP,2(A). Как и
выше, индекс |Y 〈g〉 : Y | = |ΩP,2(A) : Y | должен быть конечным, и снова полу-
чаем противоречие, которое доказывает конечность ΩP,2(A)/ΩP,1(A). Если допус-
тить теперь, что AP /ΩP,1(A) бесконечна, то, используя рассуждения, приводимые
выше, получаем, что AP /ΩP,1(A) включает в себя прюферов P -подмодуль. Снова
приходим к противоречию. Таким образом, конечность AP /ΩP,1(A) доказана. В
частности, AnnJ(AP ) 6= 〈0〉. В этом случае имеем разложение AP = ⊕µ∈MLµ,
где Lµ — циклический J-подмодуль для любого λ ∈ Λ (см., например, [11], те-
орему 6.14). Положим MP =
{
µ ∈ M
∣∣ |Lµ| > p
}
. Из конечности AP /ΩP,1(A)
вытекает теперь конечность подмножества MP . Но тогда AP = XP ⊕ ZP , где
XP , ZP — J-подмодули (т. е. они будут 〈g〉-инвариантными), XP конечен, а ZP —
однородный полупростой J-подмодуль, любой простой подмодуль которого имеет
простой порядок p. Положим теперь B = ⊕P∈π\σZ
P
. Вследствие такого выбора
B будет 〈g〉-инвариантной подгруппой, имеющей в A конечный индекс, и любая
подгруппа B, очевидно, является 〈g〉-инвариантной.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ... 665
2.4. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
H — подгруппа группы G, для которой существует H-инвариантная бесконечная
элементарная абелева p-подгруппа A, то H ≤ FC(G).
Доказательство. Пусть h — произвольный элемент подгруппы H. Посколь-
ку A H-инвариантна, то она будет и 〈h〉-инвариантной. Из леммы 2.3 следует,
что A включает в себя 〈h〉-инвариантную подгруппу B конечного индекса, любая
подгруппа которой также 〈h〉-инвариантна. В частности, B — бесконечная элемен-
тарная абелева подгруппа. Из следствия 1.5 получаем включение h ∈ FC(G). Так
как оно имеет место для любого элемента h ∈ H, то H ≤ FC(G).
2.5. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
G включает в себя бесконечную нормальную элементарную абелеву p-подгруппу,
то G — FC-группа.
2.6. Лемма. Пусть G — группа, H — ее подгруппа. Предположим, что G
включает в себя H-инвариантную абелеву подгруппу A без кручения. Если B —
сервантная приближенно нормальная в G подгруппа A, то B H-инвариантна.
Доказательство. Пусть D = BH . Поскольку A H-инвариантна, то D ≤ A.
Будучи приближенно нормальной в G, подгруппа B приближенно нормальна и
в 〈A,H〉. Отсюда следует, что фактор-группа D/B конечна. С другой стороны,
поскольку B сервантна в A, то фактор-группа A/B не имеет кручения. Это и
доказывает равенство D = B, которое показывает, что B — H-инвариантная под-
группа.
2.7. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
H — подгруппа группы G, для которой существует H-инвариантная свободная
абелева подгруппа F бесконечного ранга, то H ≤ FC(G).
Доказательство. Имеем F = ×
λ∈ΛCλ, где Cλ — бесконечная циклическая
группа для любого λ ∈ Λ. Из следствия 1.7 вытекает, что каждая из подгрупп Cλ
приближенно нормальна в G. Каждая из этих подгрупп также будет сервантной в
F. Из леммы 2.6 получаем, что Cλ H-инвариантна для любого λ ∈ Λ. Применив
теперь следствие 1.5, получим включение H ≤ FC(G).
2.8. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
G включает в себя нормальную свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга,
то G — FC-группа.
3. Строение групп, у которых семейство Knon-nn(G) имеет размерность
Крулля.
3.1. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если G
— FC-группа, то G имеет конечный коммутант.
Доказательство. Пусть A — произвольная абелева подгруппа G. Если A
не является минимаксной, то из следствия 2.2 вытекает, что A приближенно
нормальна в G. Допустим теперь, что A — минимаксная подгруппа. Положим
B = A ∩ ζ(G). В силу теоремы Р. Бэра (см., например, [12], теорему 1.4), фактор-
группа G/ζ(G) будет периодической. Это означает, что A/B — черниковская
группа. Обозначим через D/B максимальную делимую подгруппу A/B. Так как
G — FC-группа, то ее центр включает в себя любую делимую подгруппу (см.,
например, [12], теорему 1.9), так что D/B ≤ ζ(G/B). Подгруппа D/B имеет в
A/B конечный индекс, поэтому существует конечная подгруппа K/B, для кото-
рой A/B = (D/B)(K/B). Так как G — FC-группа, то L/B = (K/B)G/B конечна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
666 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
Включение D/B ≤ ζ(G/B) показывает, что (D/B)(L/B) — нормальная подгруппа
G/B. Теперь имеем
|L : A| = |LD : KD| = |LD/B : KD/B| =
=
∣∣(LD/B)(KD/B) : (KD/B)
∣∣ =
∣∣(L/B) : (L/B) ∩ (KD/B)
∣∣ =
=
∣∣(L/B) : (K/B)(L/B ∩D/B)
∣∣ ≤ |L/B : K/B|.
Последний индекс конечен, а это влечет конечность индекса |AG : A|. Таким
образом, любая абелева подгруппа приближенно нормальна в G. В этом случае
группа G имеет конечный коммутант [12] (теорема 7.17).
3.2. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если G
включает в себя бесконечную элементарную абелеву p-подгруппу для некоторого
простого числа p, то G имеет конечный коммутант.
Доказательство. Пусть A — бесконечная элементарная абелева p-подгруппа
G. Из следствия 2.2 вытекает, что A приближенно нормальна в G. Обозначим через
K нормальное замыкание в G подгруппы A, тогда индекс |K : A| будет конечным.
В этом случае подгруппа A включает нормальную в K подгруппу B конечно-
го индекса. В частности, B — бесконечная элементарная абелева p-подгруппа.
Выберем в подгруппе K конечную подгруппу F со свойством K = FA. Очевид-
но, подгруппа B является F -инвариантной, поэтому из следствия 2.4 получаем
включение F ≤ FC(G). В силу леммы Дицмана (см., например, [12], лемму 1.3),
подгруппа E = FG будет конечной. В фактор-группе G/E нормальная подгруппа
K/E = FA/E = EA/E ∼= A/(A ∩ E) является бесконечной элементарной абеле-
вой и следствие 2.5 показывает, что G/E — FC-группа, а применение леммы 3.1
доказывает конечность коммутанта группы G/E. Из того факта, что подгруппа E
конечна, получаем конечность коммутанта всей группы G.
3.3. Следствие. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
G включает в себя периодическую абелеву подгруппу, не являющуюся черниковской,
то G имеет конечный коммутант.
Доказательство. Пусть A — периодическая абелева подгруппа, не являю-
щаяся черниковской. Предположим, что для некоторого простого числа p силовская
p-подгруппа P подгруппы A также не является черниковской. Такая ситуация
обязательно возникает, когда множество Π(A) конечно. В этом случае нижний
слой S подгруппы P бесконечен, т. е. S — бесконечная элементарная абелева p-
подгруппа G. Из леммы 3.2 получаем теперь, что G имеет конечный коммутант.
Предположим теперь, что для любого простого числа p силовская p-подгруппа
A будет черниковской. Согласно условиям леммы, это влечет бесконечность мно-
жества Π(A). В этом случае A включает в себя подгруппу B = ×p∈Π(A)Bp, где Bp
— конечная неединичная p-подгруппа, p ∈ Π(A). Поскольку B не является мини-
максной, из следствия 2.2 вытекает, что B приближенно нормальна в G. Обозначим
через K нормальное замыкание в G подгруппы B, тогда индекс |K : B| будет ко-
нечным. В этом случае подгруппа B включает нормальную в K подгруппу C
конечного индекса. Пусть |K : C| = d, D = Kd. Так как силовские подгруппы K
конечны, то фактор-группа K/D конечна. Подгруппа D, являясь характеристичес-
кой в K, нормальна в G. Из конечности K/D вытекает бесконечность множества
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
О ПРИМЕНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ КОЛЕЦ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ... 667
Π(D). Из следствия 1.5 получаем, что G — FC-группа, а применение леммы 3.1
доказывает конечность коммутанта группы G.
3.4. Лемма. Пусть G — группа, для которой Knon-nn(G) существует. Если
G включает в себя свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга, то G имеет
конечный коммутант.
Доказательство. Пусть F — свободная абелева подгруппа бесконечного ран-
га. Из следствия 2.2 вытекает, что F приближенно нормальна в G. Обозначим
через K нормальное замыкание в G подгруппы F, тогда индекс |K : F | будет
конечным. В этом случае подгруппа B включает нормальную в K подгруппу C
конечного индекса. Пусть |K : C| = d, D = Kd. Порядки элементов фактор-
группы K/D являются делителями числа d; в частности, эта фактор-группа будет
периодической. Это означает, что подгруппа D неединична и потому свободная
абелева (см., например, [8], теорему 14.5). Снова принимая во внимание тот факт,
что K/D периодическая, получаем бесконечность ранга подгруппы D. Подгруппа
D, будучи характеристической в K, нормальна в G. Из следствия 2.8 получаем,
что G — FC-группа, а применение леммы 3.1 доказывает конечность коммутанта
группы G.
Группу G назовем обобщенно радикальной, если она имеет возрастающий ряд
нормальных подгрупп, факторы которого либо локально нильпотентны, либо ло-
кально конечны.
3.5. Теорема. Пусть G — обобщенно радикальная группа. Если система ее
подгрупп, не являющихся приближенно нормальными, имеет размерность Крулля,
то либо группа G имеет конечный коммутант, либо G — почти разрешимая A3-
группа.
Доказательство. Предположим, что коммутант группы G бесконечен. Пусть
A — произвольная абелева подгруппа G и T — максимальная периодическая под-
группа A. Если T не является черниковской, то из следствия 3.3 получаем, что G
имеет конечный коммутант. Полученное противоречие показывает, что T — чер-
никовская подгруппа. Допустим, что r0(A) бесконечен. В этом случае A включает
в себя свободную абелеву подгруппу бесконечного ранга. Из леммы 3.4 снова
вытекает конечность коммутанта группы G, и получаем противоречие. Это про-
тиворечие показывает, что r0(A) конечен. В свою очередь, это означает, что A —
абелева A3-группа.
Пусть R — максимальная нормальная радикальная подгруппа G. Из основного
результата работы В. С. Чарина [13] получаем, что R — разрешимая A3-группа.
Пусть L/R — максимальная нормальная локально конечная подгруппа G/R. Если
L/R включает в себя абелеву подгруппу, не являющуюся черниковской, то из след-
ствия 3.3 получаем, что G/R имеет конечный коммутант D/R. Его централизатор
CG/R(D/R) имеет конечный индекс в G/R. Если допустить, что G/R бесконеч-
на, то, принимая во внимание включение D/R ∩ CG/R(D/R) ≤ ζ(CG/R(D/R)),
получаем, что CG/R(D/R) — неединичная нильпотентная нормальная подгруппа
G/R. Однако это противоречит выбору подгруппы R. Таким образом, в этом слу-
чае G/R должна быть конечной, и все доказано. Поэтому рассмотрим случай,
когда все абелевы подгруппы L/R будут черниковскими. В этом случае L/R так-
же является черниковской [14] (теорема 5.8). Опять вследствие выбора подгрупп
L и R L/R конечна. Предположим, что G/R бесконечна и обозначим через U/L
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
668 Н. Н. СЕМКО, М. М. ПИСКУН
локально нильпотентный радикал G/L. Это означает, что U/L — локально ниль-
потентная подгруппа без кручения. Конечность L/R влечет конечность индекса
(G/R)/CG/R(L/R). Отсюда следует, что (U/R) ∩ CG/R(L/R) = V/R 6= 〈1〉. По-
скольку G/R не включает в себя нормальных локально нильпотентных подгрупп,
то (L/R) ∩ CG/R(L/R) = 〈1〉. Однако в этом случае
V/R ∼= (V/R)/ (V/R ∩ L/R) ∼= (V/R)(L/R)/(L/R) ∼= V L/L ≤ U/L.
Это показывает, что V/R — неединичная нормальная локально нильпотентная под-
группа G/R, что противоречит выбору подгруппы R. Полученное противоречие
доказывает конечность G/R, а с этим и теорему.
Случай почти разрешимой A3-группы требует отдельного рассмотрения.
3.6. Следствие. Пусть G — обобщенно радикальная группа. Если G удовлетво-
ряет слабому условию минимальности для подгрупп, не являющихся приближенно
нормальными, то либо группа G имеет конечный коммутант, либо G — почти
разрешимая A3-группа.
Действительно, в начале работы было отмечено, что в группе G, удовлетворяю-
щей слабому условию минимальности для подгрупп, не являющихся приближенно
нормальными, семейство этих подгрупп имеет размерность Крулля, не превыша-
ющую 1.
1. Neumann B. H. Groups with finite classes of conjugate subgroups // Math. Z. – 1955. – 63, № 1. –
S. 76 – 96.
2. Курдаченко Л. А., Кузенний М. Ф., Семко М. М. Групи з щiльною системою нескiнченних
пiдгруп // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1985. – № 3. – С. 7 – 9.
3. Franciosi S., de Giovanni F. Groups satisfying the minimal condition on certain non-normal
subgroups // “Groups-Korea 94”. – Berlin: Walter de Gruyter, 1995. – P. 107 – 118.
4. Galoppo A. Groups satisfying the maximal condition on non-nearly normal subgroups // Ric. mat.
– 2000. – 49, № 2. – P. 213 – 220.
5. McConnel J. C., Robson J. C. Noncommutative Noetherian rings. – New York: Wiley, 1987. –
597 p.
6. Musella C. Isomorphisms between lattices of nearly normal subgroups // Note Mat. – 2000/2001. –
20, № 1. – P. 43 – 52.
7. Курдаченко Л. А. Непериодические FC-группы и связанные с ними классы локально нормаль-
ных групп и абелевых групп без кручения // Сиб. мат. журн. – 1986. – 27, № 2. – С. 104 – 116.
8. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: В 2 т. – М.: Мир, 1974. – Т. 1. – 336 с.
9. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. – Basel: Birkhäuser,
2007. – 245 p.
10. Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Groups with prescribed quotient groups and associated
module theory. – New Jersey: World Sci., 2002. – 227 p.
11. Sharpe D. W., Vamos P. Injective modules. – Cambridge: Cambridge Univ., 1972. – 190 p.
12. Tomkinson M. J. FC-groups. – Boston: Pitman, 1984. – 171 p.
13. Чарин В. С. O разрешимых группах типа A3 // Мат. сб. – 1961. – 54, № 3. – С. 489 – 499.
14. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973.
– 210 p.
Получено 13.03.07,
после доработки — 23.10.07
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2008, т. 60, № 5
|