О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных

Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку. A new sharp inequality of the Kolmogorov type is proved that estimates the norm of a mixe...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Український математичний журнал
Date:	2008
Main Authors:	Бабенко, В.Ф., Пичугов, С.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут математики НАН України 2008
Subjects:	Короткі повідомлення
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164680
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных / В.Ф. Бабенко, С.А. Пичугов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 837–842. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164680
record_format	dspace
spelling	Бабенко, В.Ф. Пичугов, С.А. 2020-02-10T13:54:58Z 2020-02-10T13:54:58Z 2008 О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных / В.Ф. Бабенко, С.А. Пичугов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 837–842. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164680 517.5 Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку. A new sharp inequality of the Kolmogorov type is proved that estimates the norm of a mixed derivative of fractional order (in the Marchaud sense) of a function of two variables with the help of the norm of function itself and norms of its first-order partial derivatives. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных On Kolmogorov-type inequalities for fractional derivatives of functions of two variables Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
spellingShingle	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных Бабенко, В.Ф. Пичугов, С.А. Короткі повідомлення
title_short	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
title_full	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
title_fullStr	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
title_full_unstemmed	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных
title_sort	о неравенствах типа колмогорова для дробных производных функций двух переменных
author	Бабенко, В.Ф. Пичугов, С.А.
author_facet	Бабенко, В.Ф. Пичугов, С.А.
topic	Короткі повідомлення
topic_facet	Короткі повідомлення
publishDate	2008
language	Russian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	On Kolmogorov-type inequalities for fractional derivatives of functions of two variables
description	Доведено нову точну нерівність типу Колмогорова, яка оцінює норму мішаної похідної дробового порядку (в сенсі Маршо) функції двох змінних через норму самої функції і норми її частинних похідних першого порядку. A new sharp inequality of the Kolmogorov type is proved that estimates the norm of a mixed derivative of fractional order (in the Marchaud sense) of a function of two variables with the help of the norm of function itself and norms of its first-order partial derivatives.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164680
citation_txt	О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных / В.Ф. Бабенко, С.А. Пичугов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 837–842. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT babenkovf oneravenstvahtipakolmogorovadlâdrobnyhproizvodnyhfunkciidvuhperemennyh AT pičugovsa oneravenstvahtipakolmogorovadlâdrobnyhproizvodnyhfunkciidvuhperemennyh AT babenkovf onkolmogorovtypeinequalitiesforfractionalderivativesoffunctionsoftwovariables AT pičugovsa onkolmogorovtypeinequalitiesforfractionalderivativesoffunctionsoftwovariables
first_indexed	2025-11-27T05:59:11Z
last_indexed	2025-11-27T05:59:11Z
_version_	1850800531308544000
fulltext	K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q UDK 517.5 V. F. Babenko (Dnepropetr. nac. un-t; Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck), S. A. Pyçuhov (Dnepropetr. nac. un-t ynΩenerov Ω.-d. transp.; Dnepropetr. nac. un-t) O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ DROBNÁX PROYZVODNÁX FUNKCYJ DVUX PEREMENNÁX A new sharp inequality of the Kolmogorov type is proved that estimates the norm of a mixed derivative of fractional order (in the Marchaud sense) of a function of two variables with the help of the norm of function itself and norms of its first-order partial derivatives. Dovedeno novu toçnu nerivnist\ typu Kolmohorova, qka ocing[ normu mißano] poxidno] drobovo- ho porqdku (v sensi Marßo) funkci] dvox zminnyx çerez normu samo] funkci] i normy ]] çastyn- nyx poxidnyx perßoho porqdku. Vo mnohyx voprosax analyza voznykaet neobxodymost\ rassmatryvat\ proyzvod- n¥e y yntehral¥ drobnoho porqdka (sm., naprymer, [1]). Klassyçeskoe oprede- lenye Lyuvyllq proyzvodn¥x drobnoho porqdka α ∈( , )0 1 funkcyy x u( ) , u ∈R , zadannoj na vsej dejstvytel\noj osy, takovo [1, c. 43]: D x u+( )α ( ) : = 1 1Γ( – ) ( ) ( – ) – α α d du x t u t dt u ∞ ∫ , D x u– ( )α( ) : = – ( – ) ( ) ( – ) 1 1Γ α α d du x t u t dt u ∞ ∫ . Ne menee vaΩn¥, a v rqde voprosov bolee udobn¥, proyzvodn¥e v sm¥sle Marßo [2] (sm. takΩe [1, c. 95 – 97]) D x u±( )α ( ) : = α α αΓ( – ) ( ) – ( ) 1 1 0 x u x u t t dt ∓ + ∞ ∫ . (1) NyΩe dlq sokrawenyq zapysej budem polahat\ Aα = α αΓ( – )1 . Yzvestno (sm., naprymer, [1, c. 96]), çto dlq dostatoçno xoroßyx funkcyj znaçenyq πtyx proyzvodn¥x sovpadagt: D ±( )α x u( ) = D x u±( )α ( ) . (2) Dlq v¥polnenyq πtoho ravenstva dostatoçno, naprymer, çtob¥ funkcyq x u( ) b¥la lokal\no absolgtno neprer¥vnoj na R (x ∈ ACloc( )R ). Dlq δ > 0 rassmotrym zadaçu D ± ∞ α x → sup; x ∈ ACloc( )R , x ∞ ≤ δ , ′ ≤∞x 1, (3) hde x ∞ : = ess sup ( ) :x u u ∈{ }R . Zadaça (3) qvlqetsq çastn¥m sluçaem obwej zadaçy o toçnoj ocenke norm¥ © V. F. BABENKO, S. A. PYÇUHOV, 2008 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 837 838 V. F. BABENKO, S. A. PYÇUHOV „promeΩutoçnoj” proyzvodnoj pry yzvestn¥x ocenkax norm funkcyy y ee pro- yzvodnoj bolee v¥sokoho porqdka (sm., naprymer, [3], § 1.7), kotoraq aktyvno yzuçalas\ mnohymy matematykamy. Obzor¥ yzvestn¥x toçn¥x rezul\tatov po ee reßenyg v sluçae proyzvodn¥x celoho porqdka y dal\nejßye ss¥lky moΩno najty, naprymer, v [3 – 5]. Sluçaj proyzvodn¥x drobnoho porqdka menee yssle- dovan. Zametym, çto dlq rassmatryvaemoho klassa funkcyj v sylu uslovyq x ∈ ∈ ACloc( )R v¥polnqgtsq ravenstva (2). Reßenye zadaçy (3) soderΩytsq v sledugwem toçnom neravenstve typa Kol- mohorova (sm. [6]): D ± ∞ α x ≤ 1 1 2 1 1 1 Γ( – ) – – – α α α α αx x∞ ∞′ , pryçem dannoe neravenstvo obrawaetsq v ravenstvo dlq funkcyy x u( ) , kotoraq opredelqetsq sledugwym obrazom: x u( ) = u – 1 / 2, esly u ≤ 1, y x u( ) = = 1 / 2, esly u ≥ 1. Yz pryvedennoho neravenstva poluçaem sup ( ) , x AC x x x ∈ ≤ ′ ≤ ± ∞ ∞ ∞ R D δ α 1 = 1 1 2 1 1 Γ( – ) ( ) – – α δ α α . Druhye yzvestn¥e toçn¥e neravenstva typa Kolmohorova dlq drobn¥x pro- yzvodn¥x sm. v rabotax [7 – 10]. Otmetym, çto v sluçae funkcyj dvux y bolee peremenn¥x toçn¥x neravenstv typa Kolmohorova yzvestno nemnoho (sm. [11 – 15]). V dannoj stat\e rassmotrym analoh zadaçy (3) dlq funkcyj dvux peremen- n¥x x u( ) , u = ( , )u u1 2 , zadann¥x na R 2 . Pust\ α = ( , )α α1 2 , α1, α2 ∈ (0, 1); ∆t x u u 1 1 2( , ) : = x u u( , )1 2 – x u t u( , )1 1 2+ , ∆t x u u 2 1 2( , ) : = x u u( , )1 2 – x u u t( , )1 2 2+ , ∆ ∆t t x u u 1 2 1 2( , ) : = x u u( , )1 2 – x u t u( , )1 1 2+ – x u u t( , )1 2 2+ + x u t u t( , )1 1 2 2+ + , ε = ( , )ε ε1 2 , εi = ±, x ∞ : = esssup ( ) :x u u ∈{ }R 2 . Smeßann¥e proyzvodn¥e Marßo D ε α x porqdka α opredelqgtsq ravenstvom (sm. [1, c. 347] ) D ε α( ) x u( ) : = A x u u t t dt dt t t α ε ε α α ∆ ∆– – ( , ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 00 1 2+ + ∞∞ ∫∫ , hde Aα = A Aα α1 2 . Pust\ ACloc( )R 2 — klass funkcyj x u( ) , u = ( , )u u1 2 ∈ R2 , takyx, çto pry lgbom fyksyrovannom znaçenyy odnoj peremennoj poluçaemaq funkcyq druhoj peremennoj qvlqetsq lokal\no absolgtno neprer¥vnoj. Dlq funkcyj x ∈ ACloc( )R 2 pry poçty vsex ( , )u u1 2 ∈ R2 suwestvugt çastn¥e proyzvodn¥e D x u u( , ) ( , )1 0 1 2 = ∂ ∂ x u u u 1 1 2( , ) y D x u u( , ) ( , )0 1 1 2 = ∂ ∂ x u u u 2 1 2( , ). Toçnaq formulyrovka zadaçy takova: ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ DROBNÁX PROYZVODNÁX … 839 D ε α x ∞ → sup, x ∈ ACloc( )R 2 , x ∞ ≤ δ , D x( , )1 0 ∞ ≤ 1, D x( , )0 1 ∞ ≤ 1. (4) Dlq reßenyq πtoj zadaçy dokaΩem toçnoe neravenstvo typa Kolmohorova dlq norm D ε α x ∞ , x ∞ , D x( , )1 0 ∞ , D x( , )0 1 ∞ . Teorema. Pust\ x u( ) ∈ ACloc( )R 2 , x ∞ < ∞, D x( , )1 0 ∞ < ∞ , D x( , )0 1 ∞ < < ∞, D x( , )1 0 ∞ D x( , )0 1 ∞ ≠ 0, α = ( , )α α1 2 , α1, α2 ∈ (0, 1), α 1 + α2 < 1. Tohda ymeet mesto toçnoe neravenstvo D ε α x ∞ ≤ 2 1 1 2 11 2 1 1 2 1 2 Γ Γ( – ) ( – ) – ( ) – ( ) α α α α α α+ + x D D∞ + ∞ ∞ 1 1 0 0 11 2 1 2– ( ) ( , ) ( , )α α α α . (5) Dokazatel\stvo. Ymeem D ε α x ∞ ≤ A x t t dt dt t t α ε ε α α ∆ ∆– – ( , ) 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 00 1 2 ⋅ ⋅ ∞ + + ∞∞ ∫∫ . (6) Dlq ocenky norm¥ smeßannoj raznosty yspol\zuem neravenstva (t1, t2 > 0) ∆ ∆– – ( , )ε ε1 1 2 2t t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 22 x ∞ , ∆ ∆– – ( , )ε ε1 1 2 2t t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 2 1 1 ∆– ( , )ε t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 2 1 1 0t D x( , ) ∞ , ∆ ∆– – ( , )ε ε1 1 2 2t t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 2 2 2 ∆– ( , )ε t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 2 2 0 1t D x( , ) ∞ . Obæedynqq πty ocenky, poluçaem ∆ ∆– – ( , )ε ε1 1 2 2t t x ⋅ ⋅ ∞ ≤ 2 2 1 1 0 2 0 1min , ,( , ) ( , )x t D x t D x∞ ∞ ∞{ }. (7) Prymenqq (7) v (6), poluçaem D ε α x u( ) ∞ ≤ 2 2 1 1 0 2 0 1 1 1 2 1 00 1 21 2 A x t D x t D x t t dt dtα α α min , ,( , ) ( , ) ∞ ∞ ∞ + + ∞∞ { } ∫∫ = : 2A Iα . (8) Dlq proyzvol\n¥x h1, h2 > 0 razob\em oblast\ yntehryrovanyq R+ 2 v (8) na try çasty: R+ 2 = U1 ∪ U2 ∪ U3, U1 = t h t h t t h∈ ≤ ≤{ }+R 2 2 1 1 2 1 1: , , U2 = t h t h t t h∈ ≤ ≤{ }+R 2 1 2 2 1 2 2: , , U3 = t t h t h∈ ≥ ≥{ }+R 2 1 1 2 2: , . Poparn¥e pereseçenyq πtyx çastej ymegt nulevug ploskug meru Lebeha, tak çto I = I1 + I2 + I3, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 840 V. F. BABENKO, S. A. PYÇUHOV hde Ik — yntehral v (8) po oblasty Uk, k = 1, 2, 3. Ocenym yntehral I2: I2 ≤ t D x t t dt dt U 2 0 1 1 1 2 1 1 21 2 2 ( , ) ∞ + +∫∫ α α = D x t t dt dt h h h t ( , ) – – –0 1 2 0 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ∞ ∞ ∫ ∫α α = = D x h h t dt h( , ) – – – 0 1 1 1 2 2 0 2 1 1 2 2 ∞     ∫α α α α = D x h h ( , ) – – ( ) 0 1 1 1 2 2 1 11 2 1 ∞ +( )α α α α α . Analohyçno I1 ≤ D x h h ( , ) – – ( ) 1 0 2 1 2 1 1 21 1 2 ∞ +( )α α α α α . Yntehral I3 ocenyvaetsq tak: I3 ≤ 2 1 1 2 1 1 21 2 21 x t t dt dt hh ∞ + + ∞∞ ∫∫ α α = 2 1 1 2 1 2 1 2 x h h ∞ α α α α . V rezul\tate dlq proyzvol\n¥x h1, h2 > 0 poluçaem addytyvnoe neravenstvo D ε α x u( ) ∞ ≤ ≤ 2 2 1 2 1 2 1 2A x h hα α α α α ∞   – – + D x h h D x h h ( , ) – ( , ) – – ( ) – ( ) 0 1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 2 1 1 21 1 2 1 1 2 ∞ ∞ +( ) + +( )   α α α α α α α α α α . (9) Polahaq v pravoj çasty neravenstva (9) h1 = 2 1 0 x D x ∞ ∞ ( , ) , h2 = 2 0 1 x D x ∞ ∞ ( , ) , ymeem D ε α x u( ) ∞ ≤ 2 1 1 0 0 11 2 1 2A x D x D xα α α α α ∞ + ∞ ∞ – ( ) ( , ) ( , ) × × 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 α α α α α α α αα α α α α α + + +( ) + +( )     – – – – – ( ) – ( ) , çto sovpadaet s (5). Teper\ postroym funkcyg f u u( , )1 2 , kotoraq obrawaet (5) v ravenstvo. Snaçala opredelym f u u( , )1 2 dlq ( , )u u1 2 ∈ R+ 2 . PoloΩym f u u( , )1 2 = u2 – u1 + 1 2 , esly u2 ≤ u1 ≤ 1, f u u( , )1 2 = u2 – 1 2 , esly u2 ≤ 1 ≤ u1, f u u( , )1 2 = u1 – u2 + 1 2 , esly u1 ≤ u2 ≤ 1, f u u( , )1 2 = u1 – 1 2 , esly u1 ≤ 1 ≤ u2, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 O NERAVENSTVAX TYPA KOLMOHOROVA DLQ DROBNÁX PROYZVODNÁX … 841 f u u( , )1 2 = 1 2 , esly u1 > 1, u2 > 1. ProdolΩym f u u( , )1 2 na vsg ploskost\ R2 çetn¥m obrazom po kaΩdoj pere- mennoj. Oçevydno, çto f ∞ = 1 2 , D f( , )1 0 ∞ = D f( , )0 1 ∞ = 1. (10) Krome toho, dlq smeßannoj raznosty v nule pry t1, t2 > 0 spravedlyv¥ raven- stva ∆ ∆t t f 1 2 0 0( , ) = 2 2t , esly t t2 1 1≤ { }min , , ∆ ∆t t f 1 2 0 0( , ) = 2 1t , esly t t1 2 1≤ { }min , , ∆ ∆t t f 1 2 0 0( , ) = 2, esly t1 ≥ 1, t2 ≥ 1. Dlq ε = ( – , – ) ocenym D ε α f u( ) ∞ snyzu: D ε α f u( ) ∞ ≥ D ε α( ) f ( , )0 0 = = A f t t dt dt t tt tt t t t α α α+ +         ≥ ≥≤ { }≤ { } + +∫∫∫∫∫∫ 1 21 22 1 1 2 1 2 1 111 1 1 2 1 1 2 0 0 ,min ,min , ( , )∆ ∆ = = 2 1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 1 2 Aα α α α α α α α α + +( ) + +( )    – ( ) – ( ) = 2 11 2 1 2 Aα α α α α– ( )+( ) . Uçyt¥vaq (10) y pryvedennoe v¥ße v¥raΩenye dlq D ε α f ( , )0 0 , poluçaem D ε α α α α α f f D f D f ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 0 0 11 2 1 2– ( – ) ( , ) ( , ) ≥ 2 1 1 2 11 2 1 1 2 1 2 Γ Γ( – ) ( – ) – ( ) – ( ) α α α α α α+ + , otkuda y sleduet toçnost\ neravenstva (5). Analohyçn¥m obrazom stroqtsq πkstremal\n¥e funkcyy y dlq druhyx zna- çenyj vektora ε = ( , )ε ε1 2 . Teorema dokazana. Yz teorem¥ v¥vodym takoe sledstvye. Sledstvye. V uslovyqx teorem¥Q1 sup ( ) loc ( , ) ( , ) ( ), , , x AC x D x D x x ∈ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ∞ R D 2 1 0 0 11 1 δ ε α = 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2⋅ +( ) + ( ) ( – ) ( – ) – ( ) – ( )δ α α α α α α Γ Γ . Zameçanyq. 1. M¥ poluçyly mul\typlykatyvnoe neravenstvo (5) yz addy- tyvnoho neravenstva (9). Lehko vydet\, çto verno y obratnoe — yz neraven- stvaQ(5) sleduet neravenstvo (9) pry vsex znaçenyqx h1, h2 > 0. 2. Dlq v¥polnenyq neravenstva (5) dlq vsex funkcyj yz dannoho klassa po- kazately stepenej pry normax x ∞ , D x( , )1 0 ∞ , D x( , )0 1 ∞ edynstvenno voz- moΩn¥e. V πtom lehko ubedyt\sq, rassmatryvaq narqdu s funkcyej x u u( , )1 2 semejstvo funkcyj vyda Cx u u( , )δ δ1 1 2 2 , C ∈R , δ1, δ2 ∈ +R . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 842 V. F. BABENKO, S. A. PYÇUHOV 3. Uslovye α1 + α2 < 1 teorem¥ opustyt\ nel\zq, tak kak dlq postroennoj funkcyy f u u( , )1 2 pry α1 + α2 = 1 poluçaem D ε α f ( , )0 0 = ∞. 1. Samko S. H., Kylbas A. A., Maryçev O. Y. Yntehral¥ y proyzvodn¥e drobnoho porqdka y nekotor¥e yx pryloΩenyq. – Mynsk: Nauka y texnyka, 1987. – 650 s. 2. Marchaud A. Sur les derivées et sur les différences des fonctions de variables réelles // J. math. pures et appl. – 1927. – 6. – P. 337 – 425. 3. Babenko V. F., Kornejçuk N. P., Kofanov V. A., Pyçuhov S. A. Neravenstva dlq proyzvodn¥x y yx pryloΩenyq.– Kyev: Nauk. dumka, 2003. – 590 s. 4. Arestov V. V., Habußyn V. N. PryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohranyçenn¥my // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1995. – # 11. – S. 44 – 66. 5. Arestov V. V. PryblyΩenye neohranyçenn¥x operatorov ohranyçenn¥my y rodstvenn¥e πkstremal\n¥e zadaçy // Uspexy mat. nauk. – 1996. – 51, # 6. – S. 88 – 124. 6. Babenko V. F., Çurilova M. S. Pro nerivnosti typu Kolmohorova dlq poxidnyx drobovoho porqdku // Visn. Dnipropetr. un-tu. Matematyka. – 2001. – Vyp.Q6. – S. 16 – 20. 7. Hejsberh S. P. Obobwenye neravenstva Adamara // Sb. nauç. tr. Lenynhr. mex. yn-ta. – 1965. – 50. – S. 42 – 54. 8. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approxim. Theory. Banach Center Publ. – Warsaw: PWN, 1979. – P. 19 – 34. 9. Babenko V. F., Churilova M. S. On the Kolmogorov type inequalities for fractional derivatives // East J. Approxim. – 2002. – 8, # 4. – P. 437 – 446. 10. Magaril-Il’jaev G. G., Tihomirov V. M. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line // Anal. math. – 1981. – 7, # 1. – P. 37 – 47. 11. Konovalov V. N. Toçn¥e neravenstva dlq norm funkcyj, tret\yx çastn¥x y vtor¥x smeßann¥x proyzvodn¥x // Mat. zametky. – 1978. – 23, # 1. – S. 67 – 78. 12. Buslaev A. P., Tyxomyrov Y. M. O neravenstvax dlq proyzvodn¥x v mnohomernom sluçae // Tam Ωe. – 1979. – 25, # 1. – S. 59 – 74. 13. Tymoßyn O. A. Toçn¥e neravenstva meΩdu normamy çastn¥x proyzvodn¥x vtoroho y tret\eho porqdkov // Dokl. RAN. – 1995. – 344, # 1. – S. 20 – 22. 14. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Multivariate inequalities of Kolmogorov type and their applications // Multivar. Approxim. and Splines / Eds G. Nirnberger, J. W. Schmidt, G. Walz. – Basel: Birkhäuser, 1997. – P. 1 – 12. 15. Babenko V. F. O toçn¥x neravenstvax typa Kolmohorova dlq funkcyj dvux peremenn¥x // Dop.QNAN Ukra]ny. – 2000. – # 5. – S. 7 – 11. Poluçeno 26.06.06 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6

О неравенствах типа Колмогорова для дробных производных функций двух переменных

Institution

Similar Items