Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана

Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Український математичний журнал
Дата:2008
Автор: Савчук, В.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2008
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164691
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 783–795. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164691
record_format dspace
spelling Савчук, В.В.
2020-02-10T14:11:51Z
2020-02-10T14:11:51Z
2008
Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 783–795. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164691
517.5
Виконано за підтримки Державного фонду фундаментальних досліджень Украйни (грант #:GP/F13/0018).
uk
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
Linear methods for approximation of some classes of holomorphic functions from the Bergman space
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
spellingShingle Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
Савчук, В.В.
Статті
title_short Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
title_full Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
title_fullStr Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
title_full_unstemmed Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана
title_sort лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору бергмана
author Савчук, В.В.
author_facet Савчук, В.В.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2008
language Ukrainian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Linear methods for approximation of some classes of holomorphic functions from the Bergman space
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164691
citation_txt Лінійні методи наближення деяких класів голоморфних функцій із простору Бергмана / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 6. — С. 783–795. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT savčukvv líníinímetodinabližennâdeâkihklasívgolomorfnihfunkcíiízprostorubergmana
AT savčukvv linearmethodsforapproximationofsomeclassesofholomorphicfunctionsfromthebergmanspace
first_indexed 2025-11-24T15:52:17Z
last_indexed 2025-11-24T15:52:17Z
_version_ 1850849062835716096
fulltext UDK 517.5 V. V. Savçuk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ IZ PROSTORU BERHMANA ∗∗∗∗ We construct a linear method of the approximation { },Qn nψ ∈N in the unit disk of classes of holomorphic functions Ap ψ that are the Hadamard convolutions of unit balls of the Bergman space Ap with reproducing kernels ψ ψ( )z zk k k = = ∞∑ 0 . We give conditions on ψ under which the method { },Qn nψ ∈N approximate the class Ap ψ in metrics of the Hardy space Hs and Bergman space As , 1 ≤ ≤s p , with error that coincides in order with a value of the best approximation by algebraic polynomials. Postroen lynejn¥j metod pryblyΩenyq { },Qn nψ ∈N v edynyçnom kruhe klassov holomorfn¥x funkcyj Ap ψ , qvlqgwyxsq svertkamy po Adamaru edynyçn¥x ßarov prostranstva Berhmana Ap s vosproyzvodqwymy qdramy ψ ψ( )z zk k k = = ∞∑ 0 . Ukazan¥ uslovyq dlq ψ, pry kotor¥x metod { },Qn nψ ∈N pryblyΩaet klass Ap ψ v metrykax prostranstv Hardy Hs y Berhmana As , 1 ≤ ≤s p , s pohreßnost\g, kotoraq po porqdku sovpadaet s velyçynoj nayluçßeho pryblyΩe- nyq alhebrayçeskymy mnohoçlenamy. 1. Postanovka zadaçi. Osnovni rezul\taty. Nexaj D : = { }:z z∈ <C 1 i Hol( )D — mnoΩyna usix funkcij, holomorfnyx u kruzi D. Nexaj, dali, 1 ≤ p < ∞ , ν i σ — normovani miry Lebeha vidpovidno v kruzi D i na koli T : = { }:z z∈ =C 1 , Ap — prostir Berhmana holomorfnyx v D funkcij iz normog f Ap : = D ∫     f dp p ν 1/ < ∞ i Hp — prostir Hardi holomorfnyx v D funkcij iz normog f Hp : = sup ( ) ( ) / 0 1 1 < < ∫    � � T f w d wp p σ < ∞ . Pry p = ∞ poklada[mo A∞ = H∞ i rozumi[mo pid cym prostir obmeΩenyx holomorfnyx v D funkcij iz normog f H∞ : = sup ( )z f z∈D . Dlq dano] poslidovnosti kompleksnyx çysel { }ψk k= ∞ 0 tako], wo limk k k →∞ ψ ≤ 1, pobudu[mo funkcig ψ ( )z : = ψk k k z = ∞ ∑ 0 , z ∈D . Qkwo funkciq f ∈Hol( )D i f z( ) = f̂ zk k k = ∞∑ 0 — ]] rozvynennq v rqd Tejlo- ra, v qkomu f̂k : = f kk( )( ) !/0 , to suma rqdu ∗ Vykonano za pidtrymky DerΩavnoho fondu fundamental\nyx doslidΩen\ Ukra]ny (hrant #:GP/F13/0018). © V. V. SAVÇUK, 2008 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 783 784 V. V. SAVÇUK ( )( )f z∗ ψ : = f̂ zk k k k ψ = ∞ ∑ 0 vyznaça[ funkcig, holomorfnu v D , i nazyva[t\sq zhortkog za Adamarom funkcij f i ψ . Qkwo dlq zadano] poslidovnosti { }ψk k= ∞ 0 funkcig f ∈Hol( )D moΩna zob- razyty u vyhlqdi zhortky g ∗ ψ z deqkog funkci[g g ∈Hol( )D , to kaΩut\ [1], wo f [ ψ - intehralom funkci] g. U svog çerhu funkcig g nazyvagt\ ψ - poxidnog funkci] f i vykorystovugt\ pry c\omu poznaçennq f ψ . Zrozumilo, wo qkwo ψk > 0 dlq vsix k ∈ +Z , to f zψ( ) = 1 0 ψk k k k f zˆ = ∞ ∑ ∀ ∈z D . Dlq zadano] poslidovnosti { }ψk k= ∞ 0 vyznaçymo klas Ap ψ , 1 ≤ p ≤ ∞ , takym çynom: Ap ψ : = f f Ap ∈ ≤  Hol( ) :D ψ 1 . Dali vvaΩa[mo, wo ψk > 0 dlq vsix k = 0, 1, 2, … , a funkcig f z( ) = = ψk k k z = ∞∑ 0 pry c\omu nazyvatymemo tvirnym qdrom klasu Ap ψ . Symvolom � poznaçymo mnoΩynu vsix neskinçennyx nyΩn\otrykutnyx mat- ryc\ Λ : { },= λk n , k = 0 1, n − , n ∈N , elementamy qkyx [ funkci] λk n, ( )⋅ , vy- znaçeni na vidrizku [ , ]0 1 . Postavyvßy u vidpovidnist\ koΩnij matryci Λ ∈� poslidovnist\ linijnyx operatoriv { },Un nΛ ∈N , zadanyx na Hol( )D pravylom U f zn, ( )( )Λ = λk n k k k n z f z, ( ) ˆ = − ∑ 0 1 , (1) tym samym vyznaçymo pevnyj linijnyj metod nablyΩennq holomorfnyx funk- cij. Qkwo operator Un,Λ vidobraΩa[ mnoΩynu Hol( )D u prostir �n−1 alheb- ra]çnyx mnohoçleniv stepenq ne bil\ße n – 1, to budemo hovoryty, wo matrycq Λ porodΩu[ polinomial\nyj linijnyj metod nablyΩennq holomorfnyx funk- cij. ZauvaΩymo, wo dlq vsix z z z∈ = =T� �: :{ } pry fiksovanomu � ∈[ , ]0 1 λk n z, ( ) = const. Tomu metod Un,Λ na koΩnomu koncentryçnomu koli T� moΩna traktuvaty qk polinomial\nyj linijnyj metod nablyΩennq, porodΩenyj çyslovog matryceg Λ� �: ( ){ },= λ k n . Nexaj ψ — tvirne qdro klasu Ap ψ , � � Λ∗ — matrycq, elementy qko] vyznaçagt\sq pravylom λk n z, ( )∗ = 1 2 1 1 2 2 2− − + + − −ψ ψ ψn k k i n kn k n e znarg ( ) , k n= −0 1, , n = ∞1, , (2) i Q Un n, ,:ψ = ∗Λ , n ∈ N , — linijnyj metod, porodΩenyj matryceg Λ∗ . U danij roboti vyvçagt\sq aproksymatyvni vlastyvosti linijnoho metodu { },Qn nψ ∈N stosovno funkcij klasu Ap ψ . Konkretniße, predmetom doslidΩennq [ velyçyna ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 785 U A Xn p( ),ψ : = sup ( ), f A n X p f Q f ∈ − ψ ψ , (3) v qkij X poznaça[ odyn iz prostoriv Hs i As pry s p∈[ , ]1 . PobiΩno doslidΩugt\sq takoΩ velyçyny Ln pA X( ),ψ : = inf sup ( ), Λ Λ ∈ ∈ − � f A n X p f U f ψ (4) i E A Xn p( ),ψ : = sup ( ) f A n X p E f ∈ ψ , (5) de E fn X( ) : = infP Xn f P∈ − −� 1 , qki nazyvagt\sq vidpovidno najkrawym linij- nym ta najkrawym mnohoçlennym nablyΩennqm klasu Ap ψ u prostori X . Meta doslidΩennq polqha[ u z’qsuvanni toho, qki moΩlyvosti ma[ metod { },Qn nψ ∈N stosovno klasiv Ap ψ u porivnqnni z mnohoçlenamy najkrawoho na- blyΩennq. Osnovnym rezul\tatom roboty [ nastupne tverdΩennq, v qkomu vykorystano taki poznaçennq: �n : = g g g g z zn n k k n k∈ > +     ≥ ∀ ∈      = ∞ +∑Hol( ) : ˆ , Re ˆ ˆD D0 1 2 1 0 1 i D zψ( ) : = k k kk z = ∞ ∑ + 0 1( )ψ . Teorema/1. Nexaj 1 ≤ s ≤ p ≤ ∞ , 1 / p + 1 / q = 1 i En pA X( ),ψ — odna z velyçyn (3), (4) abo (5). Qkwo D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ , de n 0 — deqke fiksovane natural\ne çyslo, to dlq bud\-qkoho natural\noho n ≥ n0 : 1) vykonugt\sq nerivnosti min( , ) ( ) ( )/ / p q n qn n q2 1 2 1 1 + + ψ ≤ En p sA H( ),ψ ≤ ( ) ( )/ / n qn n q + + 1 2 1 1 ψ ; (6) 2) magt\ misce spivvidnoßennq C n p s n1 1 1/ /− ψ ≤ En p sA A( ),ψ ≤ C n p s n2 1 1/ /− ψ , (7) de C1 = ( ) ( )/ / // /p sp s2 2 21 1′ ′ , 1 / s + 1 / s ′ = 1, i C2 = 2 21s p s spp s sp+ −−( ( ) )/ ( )/ ( 00 = 1 ) ; 3) dlq bud\-qko] funkci] f Ap∈ ψ f Q fn Hs − , ( )ψ ≤ z f z n n n p A n q p / /( ) ( ) ( )/ ψ ψ+ + 1 2 1 1 (8) i E fn Hs ( ) ≤ E f n qnn A n qp ( ) ( ) ( )/ / ψ ψ+ + 1 2 1 1 . (9) Rezul\tat teoremy:1 [ sumiΩnym z rezul\tatamy robit [2 – 9], v qkyx velyçy- ny (4) i (5) doslidΩuvalysq na klasax ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 786 V. V. SAVÇUK Hp ψ : = f f Hp ∈ ≤  Hol( ) :D ψ 1 qk za konkretnyx znaçen\ parametra ψ, tak i v zahal\nomu vypadku. Zokrema, v [6, 7] pokazano, wo E H Hn p s( ),ψ = Ln p sH H( ),ψ = ψn ∀ n ≥ n0 za umovy, wo poslidovnist\ { }ψk k= ∞ 0 [ dodatnog, a harmoniçni funkci] K zn, ( )ψ : = ψ ψn k n k k z/ Re2 1 + += ∞∑ — znakostalymy v D dlq koΩnoho natu- ral\noho n ≥ n0 . Do toho Ω v [6] pokazano, wo linijnyj metod { },Un nΛ ∈N , po- rodΩenyj matryceg Λ z elementamy λk n, = 1 2− −ψ ψ n k k , k n= −0 1, , n = ∞1, , [ najkrawym linijnym metodom nablyΩennq klasiv Hp ψ i [dynym pry p = ∞ . Zaznaçymo, wo znakostalist\ funkcij Kn,ψ pry dodatnyx ψk rivnosyl\na to- mu, wo ψ ∈ ≥ �nn n0 ∩ . Prokomentu[mo dali teoremu:1, zrobyvßy nyzku zauvaΩen\. ZauvaΩennq. 1. Qk bude vydno z dovedennq teoremy:1, umova D ψ:∈ ∈ �nn n≥ 0 ∩ istotno vykorystovu[t\sq lyße dlq dovedennq vidpovidnyx ocinok zverxu. Navedeni ocinky znyzu velyçyn En pA X( ),ψ spravdΩugt\sq zavΩdy, qkym by ne bulo tvirne qdro klasu Ap ψ . 2. Vklgçennq D mψ ∈� , m ∈ N , harantu[, wo ( )k k+ 1 ψ ≤ ( )m m+ 1 ψ ∀ k ≥ m . (10) OtΩe, qkwo D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ , de n0 — deqke fiksovane natural\ne çyslo, to poslidovnist\ { }( )k k k n+ = ∞1 0 ψ [ nezrostagçog i pry p > 1 lim / n p nn →∞ 1 ψ = q n qn q n n q2 1 2 1 1 1     + +→∞ / /lim ( ) ( )/ ψ = 0, vnaslidok çoho velyçyny En p sA H( ),ψ u spivvidnoßennqx (6) prqmugt\ do nulq zi ßvydkostqmy n p n 1/ ψ . Pry p = 1 iz spivvidnoßen\ (6) vyplyva[, wo U A Hn( ),1 1 ψ = O A Hn( ) ,( )1 1 1L ψ = O E A Hn( ) ,( )1 1 1 ψ = O n n( )1 ψ , n → ∞ , i tomu iz samoho lyße vklgçennq D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ , n0 ∈ N , vzahali kaΩuçy, ne vyplyva[, wo velyçyny E A Hn( ),1 1 ψ i Ln A H( ),1 1 ψ prqmugt\ do nulq pry n → ∞ (vzqty, napryklad, ψk = ( )k + −1 1, k = 1, 2, … ). Najprostißymy prykladamy tvirnyx qder, wo zadovol\nqgt\ umovy teore- my:1, [ funkci] ψ ( z ) = ψk k k z= ∞∑ 0 , v qkyx koefici[nty ψk [ dodatnymy i ta- kymy, wo çyslova poslidovnist\ { }( )k k k+ = ∞1 0ψ [ obmeΩenog zverxu i opuklog. Spravdi, poklavßy µk : = ( )k k+ 1 ψ , zhidno z oznaçennqm opuklo] çyslovo] poslidovnosti oderΩymo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 787 � � �k k k k k kµ µ µ− ++ + + +2 1 1 2 2 = � � �k k k k( )µ µ µ− ++ +2 1 2 2 = = � � �k k k k k k( ( ))( ) ( )µ µ µ µ µ− + + − − −+ + + +2 1 2 11 2 1 2 ≥ 0 ∀ ∈� [ , )0 1 , k = 0, 1, … . Okrim c\oho � k kµ ↓ 0. Tomu za vidomog teoremog (dyv., napryklad, [10, c. 100]) dlq bud\-qkoho natural\noho n i � ∈[ , )0 1 tryhonometryçnyj rqd ( ) ( ) cosn k n ktn k n k k+ + + + = ∞ +∑1 2 1 0 ψ ψ � zbiha[t\sq skriz\ na [ 0, 2 π ] do nevid’[mno] funkci] ta [ ]] rqdom Fur’[. OtΩe, stosovno funkci] ψ pomiça[mo, wo dlq bud\-qkoho natural\noho n v koΩnij toçci z ∈ D , z = �eit , 1 2 1 1 1 0 + + + +    = ∞ +∑Re ( ) ( ) n k n z n k n k k ψ ψ = = 1 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) cos n n k n kt n n k n k k + + + + +    = ∞ +∑ψ ψ ψ � ≥ 0, (11) tobto D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ . ZauvaΩennq//3. Pry p = 2 i 1 ≤ s ≤ 2 spivvidnoßennq (6) peretvorg[t\- sq v rivnist\ En sA H( ),2 ψ = n n+ 1 ψ . NevaΩko pomityty, wo dlq vykonannq ci[] rivnosti dlq vsix n ∈ N dosyt\ vyma- haty lyße, wob poslidovnist\ { }k k k+ = ∞1 0ψ bula nezrostagçog. Spravdi, dlq bud\-qko] funkci] f A∈ 2 ψ f A ψ 2 2 = k k k f k= ∞ ∑ +0 2 21 ˆ ( ) ψ ≤ 1. Vnaslidok c\oho i umovy ψ0 2 ≥ 2 1ψ ≥ … ≥ ( )k k+ 1 2ψ ≥ … dlq koΩnoho natural\noho n ma[mo spivvidnoßennq E fn H 2 2 ( ) ≤ f Q fn H − , ( )ψ 2 2 = k n n k k k k n k n k n f f = − − = ∞ ∑ ∑− + + + 0 1 2 2 2 2 2 2 22 1 1 ψ ψ ( ) ( ) ˆ ˆ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( ) n n k k n f kn k n n k n k k + − + + + += − −∑1 2 1 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 3 2 2ψ ψ ψ ψ + + k n k k k k f k= ∞ ∑ + + ( ) ˆ ( ) 1 1 2 2 2ψ ψ ≤ ( ) ˆ ( ) n f kn k n k k + += − ∑1 1 2 0 1 2 2ψ ψ + + ( ) ˆ ( ) n f kn k n k k + += ∞ ∑1 1 2 2 2ψ ψ ≤ ( )n n+ 1 2ψ , qke dlq funkci] f z∗( ) = n zn n+ 1 ψ peretvorg[t\sq v rivnist\. ZauvaΩennq.//4. Porivnggçy pravi çastyny u spivvidnoßennqx (6) i (7), ba- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 788 V. V. SAVÇUK çymo, wo pry s < p metod { },Qn nψ ∈N da[ nablyΩennq u prostori As , qke za porqdkom krawe, niΩ u prostori Hs . 5. Oskil\ky rivnomirno u kruzi D z f zn pψ( ) → 0 pry n → ∞ , to v p.:3 teoremy:1 dlq vsix p ∈ [ 1, ∞ ) i bud\-qko] funkci] f Ap∈ ψ velyçyna z f zn p Ap / ( )ψ → 0 pry n → ∞ i tomu f Q fn Hs − , ( )ψ = o n p n( ) /1 1 ψ , n → ∞ . Odnak pry p = ∞ take spivvidnoßennq, vzahali kaΩuçy, vΩe ne [ pravyl\nym. Ce pov’qzano z tym, wo metod { },Qn nψ ∈N moΩe buty nasyçenym u prostori Hs . Dlq prykladu rozhlqnemo odyn takyj vypadok. Nahada[mo (dyv., napryklad, [11], [12] (hl.:2) i [13, c. 434]), wo linijnyj metod nablyΩennq { },Un nΛ ∈N [ nasyçenym u prostori Hp , qkwo isnu[ dodatna funk- ciq ϕ natural\noho arhumentu, monotonno spadna do nulq i taka, wo koΩna funkciq f Hp∈ , dlq qko] f U fn Hp − , ( )Λ = o n( ) ( )1 ϕ , n → ∞ , [ invariantnym elementom metodu, qkwo toj rozhlqdaty qk operator Un,Λ , tobto U fn, ( )Λ = f, i qkwo mnoΩyna Φ Λ( )Hp : = f H f U f O n np n Hp ∈ − = → ∞  : ( ) ( ) ( ),,Λ 1 ϕ mistyt\ prynajmni odyn neinvariantnyj element. Pry c\omu funkciq ϕ nazyva- [t\sq porqdkom nasyçennq, a mnoΩyna Φ Λ( )Hp — klasom nasyçennq. Nexaj tvirne qdro ψ ( z ) = ψk k k z= ∞∑ 0 take, wo vykonu[t\sq (10) pry m = 1 i Cψ : = inf lim k n n k n∈ →∞ − +Z ψ ψ 2 > 0, (12) a f — funkciq z Hp , dlq qko] f Q fn Hp − , ( )ψ = o n( )1 ψ , n → ∞ . Todi za dopomohog ocinky koefici[ntiv Tejlora funkcij z Hp ( ∀ ∈g Hp ⇒ ĝk ≤ ≤ g Hp , k ∈ +Z ) otrymu[mo spivvidnoßennq C fk k ψ ψ ˆ ≤ ˆ lim f n k n k k n n k nψ ψ ψ→∞ − − + + 2 2 1 1 = ˆ lim ,fk n k n n→∞ ∗−1 λ ψ ≤ ≤ lim ( ), n n n H f Q f p→∞ −1 ψ ψ = 0 ∀ ∈ +k Z , z qkoho vyplyva[, wo f ≡ 0, tobto f [ invariantnym elementom operatora Qn,ψ . Z inßoho boku, dlq funkci] f ( z ) = zk , de k — dovil\ne natural\ne çyslo, ma[mo f Q fn Hp − , ( )ψ = ψ ψ 2 2 1 1 n k k n k n − − + + = O n( )1 ψ ∀ n ≥ k . OtΩe, pokazano, wo za umov (10) i (12) metod { },Qn nψ ∈N [ nasyçenym v Hp z porqdkom nasyçennq ψn i tomu spivvidnoßennq f Q fn Hp − , ( )ψ = o n( )1 ψ , n → ∞ , ne moΩe vykonuvatysq dlq Ωodno] funkci] z Hp , okrim funkcij, to- toΩnyx nulevi. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 789 Na zaverßennq komentuvannq teoremy:1 navedemo odne zastosuvannq oderΩa- nyx rezul\tativ do pobudovy linijnoho metodu nablyΩennq klasiv Ap mψ, , qki oznaçagt\sq takym çynom. Nexaj poslidovnist\ { }ψk k = ∞ 0 taka, qk i raniße, m — fiksovane natural\ne çyslo, f ∈Hol( )D i f zmψ, ( ) : = k k k m kf z = ∞ +∑ 0 1 ψ ˆ . Todi Ap mψ, : = f f m Ap ∈ ≤  Hol( ) : , D ψ 1 . Oskil\ky bud\-qku funkcig f z klasu Ap mψ, moΩna podaty u vyhlqdi f ( z ) = P z z g zm m − +1( ) ( ), de Pm−1 — deqkyj alhebra]çnyj mnohoçlen z �m−1 i g — deqka funkciq z Ap ψ , to dlq koΩno] funkci] f Ap m∈ ψ, spravdΩu[t\sq formula f z f z z f z k m k k m k n m k m n k m k( ) ˆ ˆ ,− +    = − = − − + +∑ ∑ 0 1 0 1 λ = z g z g zm k n m k m n k k( ) ˆ,−    = − − +∑ 0 1 λ , v qkij g ( z ) : = f̂ zk m k k += ∞∑ 0 — funkciq z Ap ψ . OtΩe, vnaslidok spivvidnoßennq (6) linijnyj metod, porodΩenyj matryceg Λ∗∗ = { },λk n ∗∗ , n ≥ m, v qkij λk n, ∗∗ = 1 0 1 1 2 1 1 12 2 , , , , , ,arg k m n k m n m e k m nn k m k m i n m = − − − − + − + = −     − − − −ψ ψ ψ (13) zdijsng[ nablyΩennq u prostori Hs bud\-qko] funkci] f Ap m∈ ψ, z poxybkog, qka ne perevywu[ znaçennq ( ) ( ( ) )/ /n m q n mn m q− + − +− −1 2 1 1ψ , tobto f U f n Hp − ∗∗, ( )Λ = g z g z k n m k m n k k Hs ( ) ˆ,− = − − + ∗∗∑ 0 1 λ ≤ ( ) ( ( ) )/ / n m q n m n m q − + − + −1 2 1 1 ψ . Z inßoho boku, qk bude vydno z dovedennq teoremy:1, funkciq f z∗∗( ) = min( , ) ( ) ( ( ) )/ / p q n m q n m zn m q n 2 1 2 1 1 − + − + −ψ naleΩyt\ klasovi Ap mψ, i dlq ne] min( , ) ( ) ( ( ) )/ / p q n m q n m n m q2 1 2 1 1 − + − + −ψ = E fn Hs ( )∗∗ ≤ E A Hn p m s( , ),ψ . Takym çynom, dovedeno nastupne tverdΩennq. Teorema/2. Nexaj m ∈ N , 1 ≤ s ≤ p ≤ ∞ , 1 / p + 1 / q = 1 i En p mA X( , ),ψ — odna z velyçyn (3), v qkij Qn,ψ = U n,Λ∗∗ , (4) abo (5). Qkwo Dψ :∈ ∈ �nn n≥ 0 ∩ , de n0 — deqke fiksovane natural\ne çyslo take, wo n 0 ≥ m , to dlq bud\-qkoho natural\noho n ≥ n0 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 790 V. V. SAVÇUK min( , ) ( ) ( ( ) )/ / p q n m q n m n m q2 1 2 1 1 − + − + −ψ ≤ En p m sA H( , ),ψ ≤ ( ) ( ( ) )/ / n m q n m n m q − + − + −1 2 1 1 ψ . U teoremi:2 cikavym vyda[t\sq toj vypadok, koly ψk = ( )k + −1 1 i m = 1. Pry c\omu, qk lehko baçyty, klas Ap mψ, sklada[t\sq z usix funkcij f ∈Hol( )D , dlq qkyx ′f Ap ≤ 1 (takyj klas pryjnqto nazyvaty klasom Dirixle i poznaça- ty �p ), a linijnyj metod { },Un nΛ∗∗ ∈N , porodΩenyj matryceg (13), nabyra[ vy- hlqdu U f zn, ( )( )Λ∗∗ = k n k kk n f z = − ∑ −    0 1 1 ˆ = : σn f z( )( ) , tobto peretvorg[t\sq v klasyçnyj metod Fej[ra. 2. Dovedennq rezul\tativ. Nexaj µk : = ( )k k+ 1 ψ i P ( r, t ) : = Pn ( r, t ) : = 2 1 0 Re k k n n k iktr e = ∞ +∑ −µ µ . Lema. Nexaj funkciq f ∈Hol( )D . Todi dlq bud\-qkyx θ ∈ [ 0, 2 π ] , � ∈ [ 0, 1 ) i n ∈ N spravdΩu[t\sq rivnist\ � � �2 2 2( )( ) ( )( ),f e Q f ei n iθ ψ θ− = µ π π ψ θn i t nf re r e P r t dt rdr 0 0 2� ∫ ∫ + −( ) ( , )( ) int . (14) Dovedennq. Bezposerednimy obçyslennqmy z vykorystannqm formuly Koßi perekonu[mosq v tomu, wo � �2 2Q f en i , ( )( )ψ θ = 1 1 0 0 2 0 1 2 2 2 π µ µ µ π ψ θ µ � ∫ ∫ ∑+ = − − − −−    f re e r r e dt rdri t k n n k k i n k k kn( )( ) arg ( ) ikt , � �2 2f ei( )θ = 1 0 0 2 π ψ π ψ θ � ∫ ∫ + −f re D re dt rdri t( ) ( )( ) it = = 1 0 0 2 π ψ π ψ θ � ∫ ∫ + − +f re D re g r t dt rdri t( ) ( ) ( , )( ) ( )it , de g ( r, t ) — bud\-qka funkciq, vyznaçena na [ 0, 1 ] × [ 0, 2 π ] i taka, wo pry koΩnomu fiksovanomu r funkciq g ( r, ⋅ ) [ sumovnog na [ 0, 2 π ] i ma[ rqd Fur’[ vyhlqdu g ( r, t ) ∼ k k iktc r e = ∞ ∑ 1 ( ) . Zvidsy otrymu[mo formulu � � �2 2 2( )( ) ( )( ),f e Q f ei n iθ ψ θ− = 1 0 0 2 π ψ π ψ θ � ∫ ∫ + −  f re D rei t( ) ( )( ) it – – k n n k k i n k k ke r r e g r t dt rdrn = − − − −∑ −    +  0 1 2 2 21 µ µ µµarg ( ) ( , )ikt . (15) Vykona[mo peretvorennq vyrazu, wo sto]t\ u duΩkax pid znakom intehrala v ostannij rivnosti, vybravßy za g funkcig ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 791 g ( r, t ) = e r ei nt k n k kn2 2 1 (arg )µ µ− = + ∞ ∑ ikt . OtΩe, D re e r r e g r t k n n k k i n k k knψ µ µ µµ( ) ( , )arg ( )− = − − − −− −    +∑it ikt 0 1 2 2 21 = = k k k k n k k k n n k i n kr e r e e r en = ∞ − = − − = − − − −∑ ∑ ∑− + 0 0 1 0 1 2 2 2µ µ µ µikt ikt iktarg + + e r ei nt k n k kn2 2 1 (arg )µ µ− = + ∞ ∑ ikt = k n k k i nt k n k kr e e r en = ∞ − − = + ∞ ∑ ∑+µ µµikt ikt2 1 (arg ) = = µ µ µ µ µ µ µ n n k n k n k n i k n t n i n k n k n k n i k n tr e r e e r e r en− = ∞ − − − − = ∞ − −∑ ∑+     int int( ) arg ( )2 = = µ µ µn n k k n n k i tr e r e− = ∞ +∑ −     int k2 1 0 Re = µn nr e P r t−int ( , ). Pidstavyvßy znajdenyj vyraz qdra v (15), otryma[mo formulu (14). Dovedennq teoremy/1. Nexaj f — dovil\na funkciq z Ap ψ , M fp( )( )� : = T ∫     f w d wp p ( ) ( ) / � σ 1 , 1 ≤ p < ∞ , i M f( )( )� : = M f∞( )( )� : = max ( ) [ , ]t itf e ∈ 0 2π � , 0 ≤ � < 1 . Nahada[mo, wo velyçyna M fp( )( )� , qk funkciq zminno] �, [ nespadnog na pivvidrizku [ 0, 1 ) i f Hp = sup ( )( )0 1< <� �M fp , f Ap = 2 0 1 1 M f r r drp p p ( )( ) / ∫( ) , 1 ≤ p < ∞ . Zrozumilo takoΩ, wo M fs( )( )� ≤ M fp( )( )� , qkwo 1 ≤ s ≤ p . Dovedennq teoremy:1 rozib’[mo na dvi çastyny. Perßa çastyna stosuvaty- met\sq ocinok velyçyn, pro qki jdet\sq v teoremi, zverxu v metryci vidpovidnyx prostoriv, a druha — ocinok znyzu. V perßij çastyni dovedennq skorysta[mos\ lemog. Za umovog teoremy D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ , a ce rivnosyl\no tomu, wo funkci] P r tn( , ), n ≥ n0 , qk funk- ci] dvox zminnyx u prqmokutnyku [ 0, 1 ] × [ 0, 2 π ] , nabuvagt\ nevid’[mnyx zna- çen\. OtΩe, ocinggçy intehral u pravij çastyni rivnosti (14) za nerivnistg Hel\dera, otrymu[mo spivvidnoßennq � � �2 2 2f e Q f ei n i( ) ( )( ), )θ ψ θ− ≤ ≤ µ π π ψ θ n i t p pkn p f re r P r t dt rdr1 0 0 2 1� ∫ ∫ +     ( ) ( , )( ) / 1 0 0 2 1 π π� ∫ ∫      r P r t dt rdrqmn q ( , ) / ≤ ≤ 1 2 1 0 0 2 1 2 1π µπ ψ θ � �∫ ∫ + +      + f re r P r t dt rdr qmn i t p pkn p n mn q q( ) ( , ) ( ) ( ) / / // , k m+ = 1, k, m ≥ 0. (16) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 792 V. V. SAVÇUK Pidnisßy obydvi çastyny ci[] nerivnosti do stepenq p, zintehruvavßy po θ na vidrizku [ 0, 2 π ] i zastosuvavßy teoremu Fubini, z uraxuvannqm toho, wo 0 2π ∫ P r t dt( , ) = 2 π , otryma[mo ocinku � �2 2M f Q fp p n( ), ( ) ( )− ψ ≤ 1 2 1 0 0 2 2 π θ µπ ψ θ � �∫ ∫ + + f re r d rdr qmn i p pkn n p p mn q p q( ) ( ) ( / ) // ≤ ≤ 2 1 2 1 0 2 � �∫ + + +M f r r rdr n qmnp p pkn n p p q p mn q( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( / )ψ ψ ∀ � ∈ [ 0, 1 ) . (17) Spivvidnoßennq (17) [ klgçovym v dovedenni teoremy:1, z n\oho bezposered- n\o vyplyva[: 1) nerivnist\ (8), qkwo vzqty k = 1 / p , m = 1 / q i sprqmuvaty � do 1; 2) nerivnist\ (9), qkwo vzqty k = 0, m = 1, perepoznaçyty f ψ : = f Pψ − , de P n∈ −� 1 , i sprqmuvaty � do 1; 3) verxnq ocinka v nerivnosti (6) dlq koΩno] z velyçyn (3) – (5), qkwo poklasty k = 0, m = 1, sprqmuvaty � do 1, potim vzqty verxng meΩu po kla- su Ap ψ v obox çastynax (17) i vraxuvaty te, wo E A Hn p s( , )ψ ≤ Ln p sA H( , )ψ ≤ U A Hn p s( , )ψ . Zrozumilo, wo spivvidnoßennq (17) zalyßyt\sq pravyl\nym, qkwo v n\omu formal\no zaminyty p na s, a q na ′s , de 1 1/ /s s+ ′ = 1. Zrobyvßy tak, pro- dovΩymo dali ocinku intehrala u pravij çastyni (17): � �2 2M f Q fs s n( ), ( ) ( )− ψ ≤ 2 1 2 1 0 2 � �∫ + ′ + ′ + ′M f r r rdr n s mn s s skn n s s s s mn s( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) / ( / )ψ ψ ≤ ≤ M f n skn s mn s s n s s s skn s mn s( ) ( ) / / ( ) ( ) ( )( ) / ( / )ψ ψ � � + + ′ + ′ + + + ′1 2 1 2 1 2 2 = = ( ) ( ) / ( ) ( )n n M fn s s s s n+ +     +1 2 1 2ψ ψ � � ≤ 2 2s n s s s s nM fψ ψ( )( ) ( )� � + . Tut vzqto znaçennq k = 1 / s , m = 1 / s ′ . Z ostann\oho spivvidnoßennq vyplyva[ nerivnist\ 4 2 3M f Q fs s n( ), ( ) ( )− ψ � � ≤ 2 2 1s n s s s snM f+ +ψ ψ( )( )� � , (18) zintehruvavßy qku vidnosno � na intervali (0, 1) ta zastosuvavßy nerivnist\ Hel\dera, oderΩymo nyzku spivvidnoßen\ f Q fn A s s − , ( )ψ = 4 0 1 2 3∫ −M f Q f r ds s n( ), ( ) ( )( ))ψ � � � ≤ ≤ 2 21 0 1 s n s s s snM f d+ ∫ψ ψ( )( )� � � � ≤ ≤ 2 2 21 0 1 0 1 s n s s p s p spn p s p s p M f d d+ − − ∫ ∫            ψ ψ( )( ) / /( ) ( )/ � � � � � � ≤ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 793 ≤ 2 2 1 2 1 1 0 1 s n s p p s p p s pM f d spn p s + −∫     − +    ψ ψ( )( ) ( ) / ( )/� � � ≤ ≤ 2 21s p s p s p p n sp s sp n+ − −−    ( ) ( )/ ( )/ ψ . Cym dovedeno verxng ocinku velyçyny Ln p sA A( , )ψ i U A An p s( , )ψ v (7). Dlq ocinky velyçyny E A An p s( , )ψ dosyt\ pokazaty, wo dlq bud\-qko] funk- ci] f Ap∈ ψ isnu[ alhebra]çnyj mnohoçlen P fn n, ( )ψ ∈ −� 1 takyj, wo f P fn As − , ( )ψ ≤ C n p s n2 1 1/ /− ψ , n ∈ N , (19) de C2 — stala v (7). Viz\memo v qkosti Pn,ψ mnohoçlen vyhlqdu P f zn, ( )( )ψ = k n n k k i k ke f zn = − −∑ −   0 1 2 21 µ µ ψarg ˆ . Vykorystovugçy formulu Koßi, podibno do toho, qk ce zrobleno v dovedenni lemy, perekonu[mos\ u tomu, wo dlq bud\-qkyx � ∈ ( 0, 1 ) i θ ∈ [ 0, 2 π ] f e P f ei n i( ) ( )( ),� �2 2θ ψ θ− = = 1 2 0 2 0 1 2 2 π ψ ψ π ψ θ ψ∫ ∑ ∑+ = − − − = ∞ −+   f e e e ei t k n n k i k k n n kn( )( ) arg� � �ikt ikt + + e e dti nt k n k kn2 2 1 (arg )ψ ψ− = + ∞ ∑   � ikt = = ψ π ψ ψ π ψ θn n i t k k n n k i tf e e e dt � � � 2 2 1 0 2 0 ∫ ∑+ − = ∞ + −     ( ) Re( ) int k . (20) PokaΩemo, wo za umov teoremy qdro v ostann\omu intehrali [ nevid’[mnym, inßymy slovamy, dovedemo implikacig D nn n ψ ∈ ≥ � 0 ∩ ⇒ ψ ∈ ≥ �nn n0 ∩ . Dlq c\oho zafiksu[mo natural\ne n ≥ n0 i rozhlqnemo funkci] h zn( ) : = 1 2 1 11 + + + += ∞ +∑ k k n n kk n n z ψ ψ , H zn( ) : = 1 2 1 + = ∞ +∑ k k n n kz ψ ψ . Zrozumilo, wo funkci] hn i Hn [ holomorfnymy v kruzi D. Tomu dlq bud\- qkoho � ∈ [ 0, 1 ) spravdΩu[t\sq formula H en i( )�2 θ = n h e K t dtn it n + −∫1 2 0 2 π θ π ( ) ( , )� � , (21) v qkij ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 794 V. V. SAVÇUK Kn( , )� θ : = 1 1 2 11n k n k k k + + + += ∞ ∑ � cos θ . Z formuly (21) ma[mo rivnist\ Re ( )H en i�2 θ = n h e K t dtn it n + −∫1 2 0 2 π θ π Re ( ) ( , )� � , z qko] vnaslidok toho, wo Re ( )h en i� θ ≥ 0 za umovog, a K en i( , )� θ ≥ 0 zhidno z (11), de vzqto ψk = 1 1 2/ ( )k + , vyplyva[, wo i Re ( )H en i�2 θ ≥ 0 dlq bud\-qkyx � ∈ [ 0, 1 ) i θ ∈ [ 0, 2 π ] , tobto ψ ∈�n . Na pidstavi vykladenoho z rivnosti (20) za intehral\nog nerivnistg Minkov- s\koho oderΩu[mo spivvidnoßennq M f P fs n( ( ))( ),− ψ �2 ≤ ψ ψ n n sM f� �( )( ) i tym paçe 4 2 3M f P fs s n( ( ))( ),− ψ � � ≤ 2 2 1s n s s s snM f+ +ψ ψ( )( )� � . Prava çastyna ostann\o] nerivnosti taka sama, qk i prava çastyna nerivnosti (18). Takym çynom, zhidno zi spivvidnoßennqmy, vstanovlenymy dlq velyçyny f Q fn As − , ( )ψ , otrymu[mo (19). Perejdemo do druho] çastyny dovedennq teoremy:1. Nexaj Ls( )D i Ls( )T — prostory Lebeha funkcij, vyznaçenyx i sumovnyx v stepeni s vidnosno mir ν ta σ vidpovidno v D i na T z normamy f Ls( )D = f ds s ν D∫( )1/ i f Ls( )T = = f ds s σ T∫( )1/ . Zhidno zi spivvidnoßennqmy dvo]stosti [14] (hl.:1) dlq dovil\no] funkci] f:∈ X , de X poznaça[ odyn iz prostoriv Ls( )D abo Ls( )T , spravdΩu[t\sq riv- nist\ E fn X( ) = sup , : ,〈 〉 ∈ ≤{ }⊥ ∗f g g X gX n X 1 (22) v qkij X∗ — prostir, sprqΩenyj do X, 〈 〉f g X, = f g d X L f g d X L s s σ ν T D T D ∫ ∫ = =     , ( ), , ( ), qkwo qkwo i Xn ⊥ : = g X P g PX n∈ 〈 〉 = ∀ ∈{ }∗ −: , 0 1� . Oçevydno, wo prava çastyna (22) ne menßa za velyçynu 〈 〉f g X, , de g — bud\-qka funkciq z Xn ⊥ . Tomu dlq koΩnoho n ∈ N spravdΩu[t\sq nerivnist\ E A Xn p( , )ψ ≥ E fn X( )∗ ≥ 〈 〉∗ ∗f g X, , (23) v qkij funkci] f∗ ta g∗ magt\ vyhlqd f z∗( ) = A zX n , g z∗( ) = B zX n, de stali AX i BX pidibrano tak, wob f Ap ∗ ψ ≤ 1 i g X∗ ≤ 1. Dlq X = Ls( )T poklademo AX = min( , ) ( ) ( )/ / p q n qn n q2 1 2 1 1 + + ψ i BX = 1. NevaΩko perekonatysq v tomu, wo g Ls∗ ( )T = 1 i ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6 LINIJNI METODY NABLYÛENNQ DEQKYX KLASIV HOLOMORFNYX FUNKCIJ … 795 f Ap ∗ ψ = min( , ) ( ) ( )/ // / p q n qn pnq p2 1 2 1 2 11 1 + + + ≤ 1. OtΩe, zhidno z (23) E A Hn p s( , )ψ ≥ E fn Hs ( )∗ ≥ min( , ) ( ) ( )/ / p q n qn n q2 1 2 1 1 + + ψ , wo j dovodyt\ nyΩng ocinku v (6). Qkwo Ω X = Ls( )D , to poklademo AX = p n p n2 1 1 +    / ψ i BX = ′ +    ′s n s 2 1 1/ , 1 1/ /s s+ ′ = 1. Todi f Ap ∗ ψ = g Ls∗ ( )D = 1, a spivvidnoßennq (23) nabyra[ vyhlqdu E A An p s( ),ψ ≥ E fn As ( )∗ ≥ p n s n n p s n 2 1 2 1 1 1 1 +    ′ +    + ′/ / ψ ≥ ≥ p s n p s p s n2 2 1 2 1 1 1 1 1    ′    ′ + ′− / / / / ψ . Cym dovedeno nyΩng ocinku v (7) i zaverßeno dovedennq teoremy::1. 1. Stepanec A. Y., Savçuk V. V. PryblyΩenyq yntehralov typa Koßy // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 5. – S.:706 – 740. 2. Babenko K. Y. Nayluçßye pryblyΩenyq klassov analytyçeskyx funkcyj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. – 1958. – 22, # 5. – S.:631 – 640. 3. Tajkov L. V. O nayluçßyx lynejn¥x metodax pryblyΩenyq klassov Br y Hr // Uspexy mat. nauk. – 1963. – 18, # 4. – S.:183 – 189. 4. Scheick J. T. Polynomial approximation of functions analytic in a disk // Proc. Amer. Math. Soc. – 1966. – 17. – P. 1238 – 1243. 5. Tajkov L. V. O nayluçßem pryblyΩenyy v srednem nekotor¥x klassov analytyçeskyx funkcyj // Mat. zametky. – 1967. – 1, # 2. – S.:155 – 162. 6. Bel¥j V. Y., Dvejryn M. Z. O nayluçßyx lynejn¥x metodax pryblyΩenyq na klassax funkcyj, opredelqem¥x sogzn¥my qdramy // Metryçeskye vopros¥ teoryy funkcyj y otob- raΩenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1971. – 5. – S.:37 – 54. 7. Tajkov L. V. Popereçnyky nekotor¥x klassov analytyçeskyx funkcyj // Mat. zametky. – 1977. – 22, # 2. – S.:285 – 295. 8. Dvejryn M. Z., Çebanenko Y. V. O polynomyal\noj approksymacyy v banaxov¥x prostranst- vax analytyçeskyx funkcyj // Teoryq otobraΩenyj y pryblyΩenye funkcyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1983. – S.:62 – 73. 9. Vakarçuk S. B. Nayluçßye lynejn¥e metod¥ pryblyΩenyq y toçn¥e ocenky n-popereçny- kov klassov analytyçeskyx funkcyj // Dop. NAN Ukra]ny. – 1994. – # 6. – S.:15 – 20. 10. Bary N. K. Tryhonometryçeskye rqd¥. – M.: Fyzmathyz, 1961. – 936 s. 11. Havrylgk V. T., Stepanec A. Y. Vopros¥ nas¥wenyq lynejn¥x metodov // Ukr. mat. Ωurn. – 1991. – 43, # 3. – S.:291 – 308. 12. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyj: V 2-x ç. – Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 2002. – Ç.I. – 427 s. 13. Butzer P., Nessel J. R. Fourier analysis and approximation. – Basel: Birkhäuser, 1971. – 553 p. 14. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq. – M.: Nauka, 1976. – 320 s. OderΩano 14.03.07 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 6

Схожі ресурси