O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений
Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера. For quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) of the Muckenhoupt A p -class, we...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164694 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860161572910923776 |
|---|---|
| author | Мамедов, Ф.И. Аманов, Р.А. |
| author_facet | Мамедов, Ф.И. Аманов, Р.А. |
| citation_txt | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера.
For quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) of the Muckenhoupt A p -class, we prove the Harnack inequality, an estimate for the Hölder norm, and a sufficient criterion for the regularity of boundary points of the Wiener type.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:55:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.946
F. Y. Mamedov, R. A. Amanov (Yn-t matematyky y mexanyky NAN AzerbajdΩana, Baku)
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ
KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ URAVNENYJ
For the quasilinear equations div ( , , )A x u u∇ = 0 with degeneracy ω( )x from the Muckenhaupt Ap-
class, we prove the Harnack inequality, an estimate of the Hölder norm, and a sufficient test for the
regularity of boundary points of the Wiener type.
Dlq kvazilinijnyx rivnqn\ div ( , , )A x u u∇ = 0 z vyrodΩennqm ω( )x iz Ap-klasu Makkenxaupta
dovedeno nerivnist\ Harnaka, ocinku normy Hel\dera i dostatng oznaku rehulqrnosti meΩovyx
toçok typu Vinera.
1. Vvedenye. V dannoj stat\e dokazan¥ neravenstvo Harnaka, ocenka norm¥
Hel\dera y dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek dlq v¥roΩda-
gwyxsq kvazylynejn¥x uravnenyj vyda
div ( , , ) =A x u u∇ 0 . (1)
V sluçae lynejn¥x yly kvazylynejn¥x uravnenyj bez v¥roΩdenyq πty vopros¥
dostatoçno xoroßo yzuçen¥ v rabotax [1 – 5] (sm. takΩe obzorn¥e stat\y [6 –
8]). Pry dokazatel\stve neravenstva Harnaka m¥ budem sledovat\ ydeqm mono-
hrafyy [9] (a takΩe [6]), v kotoroj prymenqetsq lemma vozrastanyq poloΩy-
tel\n¥x reßenyj uravnenyj (1) v uzkyx oblastqx. V nastoqwej stat\e takaq
lemma dokaz¥vaetsq dlq uravnenyj (1), v¥roΩdagwyxsq s Ap -uslovyem Mak-
kenxaupta ω ∈ Ap , 1 ≤ p < ∞ :
sup
Q Q
p
Q
p
p
n Q
d x
Q
dx A
⊂
− ′
−
∫ ∫
= < ∞
R
1 1 1
1
ω ω . (2)
Zdes\ Q — proyzvol\n¥j ßar v R
n
, Q — eho mera Lebeha, p′ — so-
prqΩennoe çyslo k 1 < p < ∞,
1
p
+
1
′p
= 1, p′ = 1 pry p = ∞, p′ = ∞ pry p = 1,
v¥raΩenye ω1
1
− ′
−
∫( )p
Q
p
d x ymeet sm¥sl ess sup
Q
ω−1
pry p = 1.
Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R
n
, n ≥ 1, Lip( )D — prostranstvo
lypßycevo neprer¥vn¥x v D funkcyj, Lip0 ( )D — lynejnoe podmnoΩestvo
Lip( )D funkcyj s kompaktn¥m nosytelem v D, ω : Rn → 0, ∞[ ] — lokal\no
yntehryruemaq funkcyq, ω1
1
− ′ ∈p L , loc pry 1 < p < ∞, ω−
∞∈1 L , loc pry p = 1.
Oboznaçym çerez
˜ ( )W Dpω
1
prostranstvo funkcyj u L Dp∈ ω( ) , ymegwyx v D
proyzvodn¥e ux j{ }, j = 1, 2, … , n, v sm¥sle teoryy raspredelenyj yz L Dpω( ),
nadelennoe normoj
u u uW D L D L Dp p p
˜ ( ) ( ) ( )ω ω ω
1 = + ∇ , (3)
hde u L Dpω ( ) = u dxp
D
p
ω∫( )1/
, ∇u L Dpω ( ) = ∇( )∫ u dxp
D
p
ω
1/
, ∇u =
∂
∂
u
x1
,
∂
∂
∂
∂
u
x
u
xn2
, ,…
.
© F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV, 2008
918 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 919
Çerez sup
D
u inf
D
u
budem oboznaçat\ ess sup
D
u ess inf
D
u
funkcyy u v D;
χE oboznaçaet xarakterystyçeskug funkcyg mnoΩestva E.
Zam¥kanye Lip( )D Lip0 ( )D( ) otnosytel\no norm¥ (3) oboznaçym çerez
W Dpω
1 ( )
°( )W Dpω
1 ( ) . Esly u Dj ∈Lip( ), u uj W Dp
−
ω
1 ( )
→ 0, to { }uj naz¥vaetsq
approksymyrugwej posledovatel\nost\g dlq u W Dp∈ ω
1 ( ) . Prostranstva
˜ ( )W Dpω
1
, W Dpω
1 ( ),
°W Dpω
1 ( ) qvlqgtsq poln¥my refleksyvn¥my pry ω ,
ω1− ′p ∈ L1, loc , 1 < p < ∞ (sm. [10]). Zametym, çto v sluçae ω ∈ Ap , 1 < p < ∞,
˜ ( )W Dpω
1 = W Dpω
1 ( ) (sm. [11, 12]).
V dal\nejßem budem yspol\zovat\ neravenstvo Soboleva
u x dx CR
Q
u x dxpn
Q
pn
R
x n p
p
Q
p
R
x
R
x
( )
( )
( )
/
/
/
′
′
∫ ∫
≤
( )
∇
ω
ω
ω
0 0
1
1
1
0
, p ≥ 1, (4)
u QR
x∈ ( )Lip0
0
s vesom ω, udovletvorqgwym uslovyg (2), hde C = C n p Ap
p n( , )
1 1 1+
,
C n p( , ) > 0 zavysyt ot n, p; QR
x0
— ßar radyusa R > 0 s centrom v toçke
x n
0 ∈R , ω QR
x0( ) = ω dx
QR
x0∫ . Neravenstvo (4) lehko v¥vodytsq yz obwyx veso-
v¥x rezul\tatov otnosytel\no neravenstva typa Soboleva [13] (teorema 5) (sm.
takΩe [14]) v sluçae Ap -vesov. Yz neravenstva (4) dlq funkcyj u QR
x∈ ( )Lip0
0
sleduet eho v¥polnenye takΩe dlq u ∈
�
W Qp R
x
ω
1 0( ). Dejstvytel\no, pust\ { }uj
approksymyruet u, tohda dlq nekotoroj podposledovatel\nosty ujk{ } ujk
→
→ u poçty vsgdu na QR
x0
y lim
j
j L Q
k
k p R
xu
→∞ ( )∇
ω
0
= ∇ ( )u L Qp R
x
ω
0 < ∞ . Prymenqq
teoremu Fatu y perexodq k predelu v neravenstve (4), dlq ujk{ } poluçaem ne-
ravenstvo (4) v sluçae u ∈
�
W Dpω
1 ( ).
Pust\ a ∈R
1
, E ⊂ D — podmnoΩestvo D, u ∈ L Dpω( ). Budem hovoryt\,
çto u x( ) ≥ a u x a( ) ≤( ) poçty vsgdu na mnoΩestve E, esly mes E u x a∩ ( ) <{ }
= 0 mes E u x a∩ ( ) >{ } =( )0 . Pust\ a ∈R
1
, E ⊂ D . Budem hovoryt\, çto u x( )
≥ a u x a( ) ≤( ) na E v sm¥sle W Dpω
1 ( ), esly u xj ( ) ≥ a u x aj ( ) ≤( ) na E dlq
nekotoroj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj . Dlq u ∈ W Dpω
1 ( ),
z ∈ W Dpω
1 ( ) budem hovoryt\, çto z ≥ u (z ≤ u ) na E ⊂ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ),
esly z j ≥ uj z uj j≤( ) na E dlq sootvetstvugwyx approksymyrugwyx posle-
dovatel\nostej.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
920 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
Dlq p ≥ 1, k ∈R
1, u ∈ W Dpω
1 ( ) poloΩym u k{ } = max ( ),u x k{ } . Tohda ymeet
mesto u k{ } ∈ W Dpω
1 ( ). Dejstvytel\no, pust\ uj ∈ Lip D( ) approksymyruet u,
u uj W Dp
−
ω
1 ( )
→ 0. PokaΩem, çto uj k
{ } → u k{ } v W Dpω
1 ( ) syl\no. V¥berem
yz { }uj podposledovatel\nost\ (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe samoe obozna-
çenye) takug, çto uj → u , ∇uj → ∇u poçty vsgdu v D. Oçevydno, uj k
{ } ∈
∈ Lip D( ) , u k{ } = k + χu k u k> −( ) , uj k
{ } = k + χu k jj
u k> −( ), otkuda uj k
{ } –
– u k{ } = ( )u uj u kj
− >χ + ( )u k− χ χu k u kj > >−( ). Tohda, prymenqq neravenstvo
Mynkovskoho
{ } { }
( )
u uj k k L Dp
−
ω
≤
≤ ( )
( )
u uj u k L Dj
p
− >χ
ω
+ ( )
( )
u k u k u k L Dj
p
− −( )> >χ χ
ω
→ 0
pry j → ∞ , tak kak u uj L Dp
−
ω ( )
→ 0, ubeΩdaemsq, çto vtoroe slahaemoe
stremytsq k nulg v sylu maΩorantnoj teorem¥ Lebeha ( χ χu k u kj > >→ poçty
vsgdu v D ). Yz pryvodym¥x v¥ße predstavlenyj dlq uj k
{ } y u k{ } v¥vodym
toΩdestvo
∇ − ∇ = ∇ − ∇ + ∇ −( )> > >{ } { } ( )u u u u uj k k j u k u k u kj j
χ χ χ .
Tohda, prymenqq teoremu Lebeha y uçyt¥vaq, çto ∇ − ∇u uj L Dpω ( )
→ 0, polu-
çaem
∇ − ∇{ } { }
( )
u uj k k L Dpω
≤
≤ ∇ − ∇u uj L Dpω ( )
+ χ χ ωu k u k
p p
D
p
j
u dx> >− ∇
∫
1/
→ 0.
Takym obrazom, uj k
{ } → u k{ } syl\no v W Dpω
1 ( ). Pust\ { }uj approksymyruet
u y dlq nekotoroj eho podposledovatel\nosty (dlq kotoroj ostavlqem to Ωe
samoe oboznaçenye) ymeet mesto lim { } { }
( )
j
j k k W D
u u
p→∞
−
ω
1 = δ > 0. Tohda, povto-
rqq pred¥duwye rassuΩdenyq, ubeΩdaemsq, çto yz πtoj podposledovatel\nos-
ty moΩno v¥brat\ podposledovatel\nost\, dlq kotoroj (soxranqq oboznaçenye)
spravedlyvo sootnoßenye
lim { } { }
( )j
j k k W D
u u
p→∞
− =
ω
1 0 .
Poluçennoe protyvoreçye dokaz¥vaet syl\nug v W Dpω
1 ( ) sxodymost\ uj k
{ } →
→ u k{ } dlq lgboj approksymyrugwej posledovatel\nosty { }uj → u, çto y
trebovalos\ dokazat\.
Zameçanye 1. PrynadleΩnost\ u k{ } prostranstvu W Dpω
1 ( ) v [2], a takΩe
v [1], pokazana yz druhyx soobraΩenyj, hde suwestvenno yspol\zuetsq slabaq
kompaktnost\ ohranyçennoho v W Dpω
1 ( ) mnoΩestva, çto naklad¥vaet dopolny-
tel\noe trebovanye p > 1. V [1, s.S75] otmeçeno, çto uj k
{ } sxodytsq k u k{ } v
W Dpω
1 ( ) syl\no. Pryvedennoe v¥ße prqmoe dokazatel\stvo πtoho utverΩdenyq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 921
verno y v sluçae p = 1 (druhoe dokazatel\stvo sm. v [15, s.S82]).
Blyzkye rassuΩdenyq pokaz¥vagt, çto esly u ∈ W Dpω
1 ( ), u x( ) ≤ k, k ∈R
1
,
na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ), to uk = u x k( ){ } – k prynadleΩyt
�
W Dpω
1 ( ). Esly
u ∈ W Dpω
1 ( ), z ∈ W Dpω
1 ( ) y z ≥ u na ∂ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ), to ( )u z− + =
= max ( ) ( ),u x z x−{ }0 prynadleΩyt
�
W Dpω
1 ( ). Pust\ A = A xj ( , , )ξ η{ }, j = 1,
2, … , n, — yzmerymaq funkcyq na R
n × R
1 × R
n → R
n
, udovletvorqgwaq
uslovyqm Karateodory po x ∈ D y ( , )ξ η ∈ R
1 × Rn
, t.Se. A( , , )⋅ ξ η — yzmery-
maq funkcyq v D dlq kaΩdoho ξ ∈ R
1
, η ∈ R
n
y A x( , , )⋅ ⋅ neprer¥vna v R
1 ×
× Rn dlq poçty vsex x ∈ D. V¥polnqgtsq takΩe sledugwye uslovyq rosta:
A x x p( , , ) ( )ξ η η ω η≥ , (5)
A x x p( , , ) ( )ξ η λω η≤ −1
, λ ∈ ∞[ , )1 , (6)
A x A x( , , ) ( , , )ξ η ξ η− = − . (7)
Budem hovoryt\, çto u ∈ W Dpω
1 ( ) qvlqetsq subreßenyem (superreßenyem)
uravnenyq (1) v D, esly
A x u u dx
D
( , , )∇ ∇ ≤∫ ϕ 0 ( ≥ 0) ∀ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ), ϕ ≥ 0. (8)
Funkcyg u ∈ W Dpω
1 ( ) budem naz¥vat\ reßenyem uravnenyq (1) v D, esly
A x u u dx
D
( , , )∇ ∇ =∫ ϕ 0 ∀ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ). (9)
2. Neravenstvo Harnaka y ocenka norm¥ Hel\dera.
Lemma 1. Pust\ 1 ≤ p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v QR
x0
, ymegwaq pre-
del\n¥e toçky na sfere SR
x0 y peresekagwaq ßar QR
x
/2
0
. PredpoloΩym, çto
u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obra-
wagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D, leΩa-
wej stroho vnutry ßara QR
x0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda dlq lg-
boho A > 0 najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n , p , λ , Ap y A ,
takaq, çto pry
D Rn< δ (10)
v¥polnqetsq neravenstvo
sup sup
/
D D Q
u A u
R
x
≥
∩ 2
0
. (11)
Dokazatel\stvo. Pust\ u x( ) ≤ M (M > 0) na SR
x0 ∩ D v sm¥sle W Dpω
1 ( ).
Oboznaçym z x( ) = u x M( ) −( )+ξ , ξ = 4
3
1
4
0
2
2
x x
R
− −
+
. Pust\ k ∈ 0, sup
D
z( ],
poloΩym zk = z x k( ){ } – k, Dk = x D z x k∈ >{ }: ( ) . Oçevydno, Dk ⊂ D ∩ QR
x0
y,
kak otmeçeno v¥ße, zk ∈
�
W Qp R
x
ω
1 0( ), zk ≥ 0. Polahaq v (8) ϕ = zk , poluçaem
A x u u z dx
Dk
( , , )∇ ∇ ≤∫ 0 ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
922 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
yly, çto to Ωe samoe, A u M dx
Dk
( )∇ − ∇∫ ξ ≤ 0. Otsgda s uçetom (5), (6) ymeem
ω λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫ −u dx
M
R
u dxp
D
p
Dk k
3 1
.
Prymenqq neravenstvo Hel\dera, naxodym
ω λ ω∇ ≤
∫ ∫u dx M
R
dxp
D
p
p
Dk k
( )3 . (12)
Zametym, çto ∇z ≤ ∇u + 3M
R
v Dk . Tohda v sylu neravenstva ( )a b p+ ≤
≤ 2 1p p pa b− +( ), a ≥ 0, b ≥ 0, 1 ≤ p < ∞, ymeem ∇z p ≤ 2 31p p p
p
u M
R
− ∇ +
.
Poπtomu yz (12) poluçaem
∇ ≤
∫ ∫z dx C M
R
dxk
p
Q
p
D
R
x
k
ω ω
0
1 , C p p p
1
13 2 1= +− ( )λ .
Prymenqq neravenstvo (4) k levoj çasty, s pomow\g neravenstva Hel\dera na-
xodym
z d xk
QR
x
ω
0
∫ = z dxk
Dk
ω∫ ≤ z dx dxk
pn
D
pn
D
pn
k k
′
′ − ′
∫ ∫
ω ω
1 1 1/ /
≤
≤
CC M
Q
dx
p
R
x pn
D
n p
k
1
1
1
1 1
0
/
/
/
( )ω
ω
( )
∫
+
,
otkuda poluçaem
z dx
C M
Q
dxk
D R
x pn
D
n p
k k
ω
ω
ω∫ ∫≤
( )
+
( )
/
/
0
1
1 1
,
hde C > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap . Polahaq β( )k = ωz dxkDk
∫ , ymeem ′β ( )k =
= – ω dx
Dk
∫ . Tohda
β
ω
β( )
( )
( )/
/k CM
Q
k
R
x pn
np≤
( )
− ′( ) +
0
1
1 1
. (13)
Reßaq dyfferencyal\noe neravenstvo s uçetom β(sup )
′D
z = 0, naxodym
sup ( )
( )
( )/
/( )
/( )
′
+
+≤ +
( )
D R
x pn
np np
npz C np M
Q
2 1
1
1 11 0
0ω
β ,
hde ′D = x D z x∈ >{ }: ( ) 0 , C2 = C np np/( )+1
, otkuda s pomow\g (13) poluçaem
sup
( )
( )
/
′
≤ ′
D R
x
np
z CM
D
Q
ω
ω 0
1
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 923
tak kak C C Cnp
2
1 1/( )+ = . Uçyt¥vaq, çto
sup
/D QR
x
u
∩ 2
0
=
sup
/D QR
x
z
∩ 2
0
≤ sup
′D
z , ymeem
sup ( )
/D QR
x
u x
∩ 2
0
≤ C M
D
QR
x
n p
3 0
′
ε /
, tak kak yz ω ∈ Ap sleduet, çto ω ∈ ∞A y su-
westvugt C y ε > 0 takye, çto
ω
ω
( )
( )
E
Q
≤ C
E
Q
ε
dlq lgb¥x Q n⊂ R , E Q⊂ .
V sylu toho, çto ′ ⊂D D, poluçaem
sup
/D QR
x
u
∩ 2
0
≤ C M
D
Rn
n p
3
ε
, hde C3 > 0, ε >
> 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap . S uçetom uslovyq (10), v¥byraq δ > 0 yz so-
otnoßenyq C n p
3δε / = 1
A
, ymeem
M A u x
D QR
x
≥ sup ( )
/∩ 2
0
,
otkuda vsledstvye v¥bora M takoho, çto sup
D
u ≥ M, sleduet
sup
D
u ≥
A u
D QR
x
sup
/∩ 2
0
.
Lemma 1 dokazana.
Zameçanye 2. Lemma 1 ostaetsq takΩe v syle dlq reßenyj u ∈ W Dpω
1 ( ) ∩
∩ C D( ) uravnenyq (1), ravn¥x nulg na Γ.
Lemma 2. Pust\ 1 ≤ p < ∞ , ω ∈ Ap , D QR
x⊂ 0
— oblast\, ymegwaq pre-
del\n¥e toçky na sfere SR
x0
y soderΩawaq toçku x0 . PredpoloΩym, çto
u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1) v D ,
obrawagweesq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D,
leΩawej stroho vnutry ßara QR
x0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7). Tohda
najdetsq postoqnnaq δ > 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , takaq, çto pry
D Rn< δ
ymeet mesto neravenstvo
sup lim sup ( ) exp
/( )
D Q
n n
u u x R
Dx
≥
→
−
ε
ε
γ
0
1 1
0
, (14)
hde γ > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap .
Lemma 2 v¥vodytsq yz lemm¥ 1 po standartnoj sxeme [16] (§S4) s prymeneny-
em pryncypa maksymuma (sm. nyΩe).
Zameçanye 3. V uslovyqx lemm¥ 2 s uçetom zameçanyq 2 dlq reßenyj urav-
nenyq (1) u ∈ W Dpω
1 ( ) ∩ C D( ) , ravn¥x nulg na Γ, v¥polnqetsq ocenka
sup ( ) exp
/( )
D
n n
u u x R
D
≥
−
0
1 1
γ .
Lemma 3 (pryncyp maksymuma). Pust\ D — ohranyçennaq oblast\, u ∈
∈ W Dpω
1 ( ) — subreßenye (superreßenye) uravnenyq (1) v D y v¥polnen¥
uslovyq (5) – (7). Tohda esly u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
924 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
to u x M( ) ≤ u x M( ) ≥( ) poçty vsgdu v D.
Dokazatel\stvo. PoloΩym ′D = x D u x M∈ ≥{ }: ( ) , ϕ = max ( ) ,u x M−{ }0
— probnaq funkcyq dlq (8). Tohda ϕ ∈
�
W Dpω
1 ( ), ϕ ≥ 0 y A d x
D
∇
′
∫ ϕ ≤ 0, t.Se.
A ud x
D
∇
′
∫ ≤ 0 y ∇u ≡ 0 poçty vsgdu v ′D , otkuda v sylu neravenstvaS(4) sle-
duet, çto u ≡ M poçty vsgdu v ′D . Vtoraq çast\ lemm¥ 3 dokaz¥vaetsq ana-
lohyçno.
Lemma 4. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap y oblast\ D , raspoloΩennaq v ßare
QR
x0
, peresekaet ßar QR
x
/ 4
0 y ymeet predel\n¥e toçky na SR
x0
. PredpoloΩym,
çto Γ — çast\ hranyc¥ D, leΩawaq stroho vnutry ßara QR
x0
, u ∈ W Dpω
1 ( )
— poloΩytel\noe ohranyçennoe subreßenye uravnenyq (1), obrawagweesq v
nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω
1 ( ), y v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7), sup
/D QR
x
u
∩ 4
0
= m,
D2 — mnoΩestvo Q DR
x
/ \2
0
, a D1 — mnoΩestvo
x D QR
x∈{ ∩ /2
0
: 0 < u x( ) <
< m
2} , D0 =
x D Q u x m
R
x∈ ≥{ }∩ / : ( )2
0
2
.
Tohda dlq lgb¥x A > 0, 0 < σ < 2−n
n nσ / najdetsq takaq postoqnnaq ε >
> 0, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , A y σ, çto yz neravenstv D1 < εRn
,
D0 > σRn, D2 > σRn sleduet, çto
sup
D
u Am≥ .
Dokazatel\stvo. Pust\ uj approksymyruet u, uj = 0 na D2 . Dlq neko-
toroj podposledovatel\nosty, dlq kotoroj soxranqetsq preΩnee oboznaçenye,
sxodymost\ uj → u, ∇uj → ∇u budet ravnomernoj vne nekotoroho otkr¥toho
mnoΩestva Dδ nelynejnoj emkosty capp Dω δ( ) < δ, δ > 0 — proyzvol\noe
çyslo (sm. [17, s.S300], opredelenye nelynejnoj emkosty v (29)). Tohda (n – 1)-
mernug meru Xausdorfa hranyc¥ ∂Dδ , sovpadagwug s nelynejnoj emkost\g
mnoΩestva Dδ pry p = 1, ω ≡ 1 (sm. [17, s.S97]), takΩe moΩno sçytat\ proyz-
vol\no maloj. Pust\ δ < σRn
2
takoe, çto u uj − < m
4
v D D\ δ pry j ≥ j0 .
Tohda
∇∫ u dx
D1
≥ ∇∫ u dx
D D1 \ δ
≥ 1
2
1
∇∫ u dxj
D D\ δ
≥
≥ 1
2 1 2
0
4
0mesn R
x
j
m
x D D Q u x t dt− ∈ ={ }∫ ( \ ) : ( )/
/
δ ∩ ≥
≥ m Rn n n
n8
1( )( )/σ β− ≥ m Rn
n n n
8
1 1β σ( )/− −
. (15)
Zdes\ yspol\zovano to, çto v ßare QR
x
/2
0
poverxnost\ {x ∈ ( \ )D Dδ ∩ QR
x
/2
0
:
u xj ( ) = t, t ∈ ( , / )0 4m } otdelqet mnoΩestvo D2 ot mnoΩestva D D0 \ δ, mera
Lebeha kaΩdoho yz kotor¥x bol\ße yly ravna σRn
. Poπtomu dlq πtoj poverx-
nosty ymeet mesto yzoperymetryçeskoe neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 925
mesn R
x
jx D D Q u x t t m− ∈ = ∈( ){ }1 2
0 0 4( \ ) : ( ) , , //δ ∩ ≥
≥ β σn
n n nR( )( )/−1 = β σn
n n nR( )/− −1 1
(sm. [9, s.S258]). Krome toho, b¥la uçtena proyzvol\nost\ δ y prymenena for-
mula Federera (sm. [17, s.S40]), yz kotoroj sleduet, çto
∇ ≥ ∈ ={ }∫ ∫ −u dx x D D Q u x t dtj
D D
n R
x
j
m
1
0
1 2
0
4
\
/
/
( \ ) : ( )
δ
δmes ∩ .
Sohlasno neravenstvu Hel\dera ymeem
∇ ≤ ∇
∫ ∫ ∫ − ′
′
u dx u dx dx
D
p
D
p
p
D
p
1 1 1
1
1
1
ω ω
/ /
v sylu ω1− ′p ∈ Ap′ ⊂ A∞ y D1 ⊂ D ∩ QR
x
/2
0
, otkuda sleduet, çto
∇ ≤
∇
∫ ∫ ∫
′
− ′
′
u dx C
D
Q
dx u dx
D R
x
p
p
Q
p
p
D Q
p
R
x
R
x
1
0
2
1 1
1 1
0 0
δ
ω ω
/ / /
/∩
, (16)
hde C, δ > 0 zavysqt ot uslovyq (2).
Pust\ 0 ≤ η( )t ≤ 1 — dyfferencyruemaq funkcyq, η( )t ≡ 1 pry t ∈ 0 1
2
,
,
η( )t ≡ 0 pry t ≥ 1, ′η ≤ C0 . PoloΩym ϕ = u x
x x
R
p
( ) η −
0
v (8) v kaçestve
probnoj funkcyy. Tohda A u pA u dxp p
D
∇ + ∇( )−∫ η η η 1 ≤ 0, otkuda sleduet, çto
D
p pu dx∫ ∇ω η ≤ p u dx
D
pλ ω η η η∫ ∇ ∇( ) −1
. V sylu neravenstva Hel\dera
v¥vodym
ω η λ ω∇ ≤ ∇∫ ∫u dx p u u dxp p
D
p p p
D
( ) ,
poπtomu
ω λ ω∇ ≤
( )∫ u dx
p C
R
u Qp
D Q
p
D
p
R
x
R
x∩ 0
0 0sup . (17)
S uçetom uslovyq D1 < εRn
yz (15) – (17) poluçaem
sup /
/
D
n
n n
n
p R
x p
Q
p p
u
mR
p C C
Q dx
R
x
≥ ( )
−
′
− ′
− −
∫σ β
λ ε
ω ωδ
1
0
1
1 1
8
0
0
. (18)
Yz (18) s uçetom uslovyq ω ∈ Ap sleduet, çto
sup
/
/
D
n
n
p
p
n
p
n
u
A n
CC p
m≥
−
−
′
σ β
λ ε σδ
1
1
0 8
, σn
nS R= ( ) . (19)
Ostalos\ v¥brat\ v (19) postoqnnug ε > 0 tak, çtob¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
926 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
σ β σ
λ εδ
n
n
p
p
n n
p
A n
CC p
A
−
− −
′ =
1
1 1
0 8
/
/ ,
tohda sup
D
u Am≥ .
Lemma 4 dokazana.
Lemma 5. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\, leΩawaq v ßare QR
x0
,
peresekagwaq ßar QR
x
/ 4
0
y ymegwaq predel\n¥e toçky na sfere SR
x0
. Pred-
poloΩym, çto Γ — ta çast\ hranyc¥ D, kotoraq raspoloΩena stroho vnut-
ry ßara QR
x0
, u ∈ W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq
(1) v D , obrawagweesq v nul\ na Γ v sm¥sle W Dpω
1 ( ), y v¥polnqgtsq uslo-
vyq (5) – (7). PoloΩym H = Q DR
x
/ \4
0
.
Tohda dlq lgboho τ ∈ ( , / )0 2 2− n
n nσ suwestvuet γ > 0 takoe, çto yz
uslovyq H > τ Rn
sleduet, çto
sup ( ) sup
/
D D Q
u u
R
x
≥ +1
4
0
γ
∩
,
hde γ > 0 — konstanta, zavysqwaq ot n, p, λ, Ap , τ.
Lemma 5 v¥vodytsq yz lemm 1, 4 po standartnoj sxeme [9, s.S143] (s prymene-
nyem lemm¥ 3).
Teorema 1. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap y v ßare QR
x0 opredeleno poloΩy-
tel\noe ohranyçennoe reßenye u W Qp R
x∈ ( )ω
1 0 uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥-
polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda suwestvuet konstanta C > 0, zavysqwaq
ot n, p, λ, Ap , takaq, çto
sup inf
/ /
/
Q Q
R
x
R
x
u u C
4
0 2
0
≤ . (20)
Teorema 1 v¥vodytsq yz lemm 1, 5 po standartnoj sxeme [6, s.S115].
Teorema 2. Pust\ 1 < p < ∞ , ω ∈ Ap , u ∈ W Dpω
1 ( ), — ohranyçennoe reßenye
uravnenyq (1), dlq kotoroho v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7). Tohda dlq poçty
vsex x, ′x yz Dρ = { x D∈ : dist x R Dn, \( ) ≥ ρ} ymeet mesto ocenka
u x u x C x x( ) ( )− ′ ≤ − ′ α
,
hde 0 < α ≤ 1 zavysyt ot n, p, λ, Ap , a C > 0 — ewe y ot ρ > 0.
Dokazatel\stvo. Oboznaçym mR
x0 = inf
QR
x
u
0
, MR
x0 = sup
QR
x
u
0
, osc
QR
x
u
0
= MR
x0 –
– mR
x0 , R > 0. Prymenqq neravenstvo Harnaka dlq lgboho ßara Q DR
x
2
0 ⊂ y
funkcyj v = u – m R
x
2
0
, w = M R
x
2
0 – u, ymeem
M m C m mR
x
R
x
R
x
R
x0 0 0 0
2 2− ≤ −( ) , M m C M MR
x
R
x
R
x
R
x
2 2
0 0 0 0− ≤ −( ).
M¥ vprave prymenyt\ neravenstvo Harnaka k funkcyqm v, w, tak kak dlq
nyx poluçagtsq uravnenyq vyda (1) s temy Ωe postoqnn¥my, çto y dlq reßenyq
u x( ) v uslovyqx (5) – (7).
Uçyt¥vaq poslednye neravenstva, poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 927
osc osc
Q QR
x
R
x
u
C
C
u
2
0 0
1
1
≥ +
−
, (21)
hde C > 0 — konstanta neravenstva Harnaka (ne zavysyt ot u).
Mnohokratnoe prymenenye ocenky (21) dokaz¥vaet teoremu 2 (sm., naprymer,
[9, s.S59]).
3. Dostatoçn¥j pryznak rehulqrnosty hranyçn¥x toçek. Dlq prostot¥
yzloΩenyq v πtom punkte ohranyçymsq uravnenyqmy vyda (1) s funkcyqmy A =
= A xj ( , )η{ }, j = 1, 2, … , n, ne zavysqwymy ot ξ (reßenyq), otnosytel\no koto-
r¥x budem predpolahat\ yzmerymost\ po x D∈ dlq lgboho η ∈R
n
dlq poçty
vsex x — neprer¥vnost\ po η ∈R
n
, sçytat\, çto v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7)
y
A x p A x q p q( , ) ( , ) ( )−( ) − > 0 (22)
pry p ≠ q, p n∈R , q n∈R dlq poçty vsex x D∈ .
Suwestvovanye y edynstvennost\.
Lemma 6. Pust\ D — ohranyçennaq oblast\ v R
n
, V =
�
W Dpω
1 ( ), V ′ — so-
prqΩennoe prostranstvo k V, φ ∈ W Dpω
1 ( ), f V∈ ′ — zadann¥e funkcyy y v¥-
polnqgtsq uslovyq p > 1, (5) – (7) y (22). Tohda suwestvuet edynstvennoe
reßenye u ∈ W Dpω
1 ( ) uravnenyq
− ∇ =div A x u f( , ) , (23)
udovletvorqgwee uslovyg u – φ ∈ V.
Dokazatel\stvo. PoloΩym z = u – φ. Tohda z V∈ , u = z + φ, ∇u = ∇z +
+ ∇φ,
A x z dx f dx
D D
( , )∇ + ∇ ∇ =∫ ∫φ ϕ ϕ ∀ ∈ϕ V . (24)
Operator A1: V → V ′, dejstvugwyj po pravylu
A z A x z dx
D
1( ), ( , )ϕ φ ϕ= ∇ + ∇ ∇∫ ∀ ∈ϕ V ,
ymeet sledugwye svojstva.
Ohranyçennost\. Po svojstvu (6) ymeem
A z z dx zp
D
L D
p
L Dp p1
1 1( ), ( ) ( )ϕ λ φ ω ϕ λ φ ϕ
ω ω
≤ ∇ + ∇ ∇ ≤ ∇ + ∇ ∇− −∫ ,
otkuda
A z zV W D W D
p
p p1
1
1 1( ) ( ) ( )′
−
≤ +( )λ φ
ω ω
.
Monotonnost\. Dlq lgb¥x z z≠ ˜ yz V v sylu uslovyq (22) v¥polnqetsq
neravenstvo
A z A z z z1 1( ) (˜), ˜− − =
= A x z A x z z z dx
D
( , ) ( , ˜ ) ( ˜ )∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ] ∇ + ∇ − ∇ + ∇[ ]∫ φ φ φ φ > 0.
Koπrcytyvnost\. Na osnovanyy svojstv (5), (6) y ε-neravenstva Koßy ab ≤
≤ ε a p′ + C b p( )ε , a ≥ 0, b ≥ 0, ε > 0, ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
928 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A z z A x z z dx C z dx C
D
p
D
W D
p
p
1 1 2 1( ), ( , )
( )
= ∇ + ∇ ∇ ≥ ∇ −∫ ∫φ ω φ
ω
,
hde C1 > 0, C2 > 0 ne zavysqt ot z, φ. Dalee, sohlasno neravenstvu (4)
A z z C z C
W D
p
W D
p
p p
1 3 21 1( ),
( ) ( )
≥ −
ω ω
φ ,
otkuda
A z z
z V
1( ), → ∞ pry z V → ∞ .
Semyneprer¥vnost\. Ustanovym neprer¥vnost\ v¥raΩenyq
A z tz A x z t z dx
D
1( ˜), ( , ˜ )+ = ∇ + ∇ + ∇ ∇∫ϕ φ ϕ
po parametru t ∈R
1
, hde ϕ, z, z̃ prynadleΩat V.
Pust\ tn → t0 . Po predpoloΩenyg funkcyy A x z t zj ( , ˜ )∇ + ∇ + ∇{ }φ , j = 1,
2, … , n, neprer¥vno zavysqt ot parametra t. Pod¥ntehral\noe v¥raΩenye ma-
Ωoryruetsq yntehryruemoj funkcyej
A x z t zn( , ˜ )∇ + ∇ + ∇ ∇φ ϕ ≤ λ φ ω ϕ∇ + ∇ + ∇ ∇−z t zn
p˜ 1 ≤
≤ 4 21
0
p p p p pz t z− ∇ + ∇ + ∇( )λ φ ω˜
pry n n≥ 0 . Poπtomu na osnovanyy maΩorantnoj teorem¥ Lebeha poluçaem
A z t z A z t zn1 1 0( ˜), ( ˜),+ → +ϕ ϕ pry t tn → 0 .
Teper\ posle toho, kak ustanovlen¥ yzloΩenn¥e v¥ße svojstva operatora A1:
V → V ′, na osnove [18, s.S182] (teorema 2.1) (yly [19], hl.S2) poluçaem suwestvo-
vanye reßenyq z V∈ zadaçy A z1( ) = f ∀ ∈ ′f V . Tohda u = z + φ budet reße-
nyem zadaçy − ∇div A x u( , ) = f, u – φ ∈ V, u ∈ W Dpω
1 ( ).
DokaΩem edynstvennost\. Pust\ u ∈ W Dpω
1 ( ), ũ ∈ W Dpω
1 ( ), — dva reßenyq
pred¥duwej zadaçy. Tohda u – ũ ∈ V, poπtomu yz uravnenyq (23) sleduet
A x u A x u u u dx
D
( , ) ( , ˜) ( ˜)∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ =∫ 0 .
V sylu (22) otsgda v¥vodym, çto ∇ −( ˜)u u ≡ 0 poçty vsgdu v D, t.Se. u ≡ ũ
poçty vsgdu v D v sylu neravenstva (4).
Lemma dokazana.
Lemma 7. Pust\ z ∈ W Dpω
1 ( ) — superreßenye, a u ∈ W Dpω
1 ( ) — subreße-
nye uravnenyq (1) v D , pryçem z x( ) ≥ u x( ) na ∂D v sm¥sle W Dpω
1 ( ). Tohda
z x( ) ≥ u x( ) poçty vsgdu v D.
Dokazatel\stvo. PoloΩym D′ = { x D∈ : u x( ) ≥ z x( )}. Kak otmeçeno v¥-
ße, ( )u z u z− ≥χ ∈
�
W Dpω
1 ( ). Tohda
A x u A x z u z dxu z
D
( , ) ( , ) ( )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇ ≤≥∫ χ 0 ,
otkuda ∇ −( )u z ≡ 0 poçty vsgdu v D ′ y, sledovatel\no, v sylu (4) u ≡ z poçty
vsgdu v D ′.
Lemma 7 dokazana.
Lemma 8. Pust\ E ⊂ D — kompaktnoe podmnoΩestvo, u ∈
�
W Dpω
1 ( ) — re-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 929
ßenye uravnenyq (1) v D E\ , u x( ) ≥ M na E ( )M > 0 . Tohda dlq approksy-
myrugwej posledovatel\nosty u j{ } pry poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] spravedlyvo
ravenstvo
t A x u n d A x u u dxj j j
D
j
t
j
t
j
( , ) ( , )
\
∇ = ∇ ∇ +∫ ∫σ δ
∂Σ Σ
,
hde Σt
j = { x D∈ : u xj ( ) > t }, n — normal\ k ∂ Σt
j
, napravlennaq v storonu E,
M j = min ( )
x E
ju x
∈
, δ j → 0 pry j → ∞.
Dokazatel\stvo. V¥berem probnug funkcyg ϕ = g uh
j
, hde pry gh =
=
t u
h
j−
pry t – h < u j < t, gh = 1 pry u j ≤ t – h, gh = 0 pry u j ≥ t. Tohda
ϕ ∈
�
W D Epω
1 ( \ ) y yz (9) poluçym
δ j – 1
h
A u u u dxj j j
t h u tj
( , )⋅ ∇ ∇ ⋅
− < <
∫ +
+ A u u g dxj j
h
u tj
( , )⋅ ∇ ∇
<
∫ = 0, h > 0 . (25)
∏to sleduet yz toho, çto u — reßenye uravnenyq (1), u j{ } — approksymyrug-
waq posledovatel\nost\ dlq neho, t.Se.
− ∇ ∇ =∫ A x u dxj
D E
j( , )
\
ϕ δ ,
hde δ j → 0 pry j → ∞ dlq lgboho ϕ ∈
�
W D Epω
1 ( \ ) . ∏to sleduet yz teorem¥
Vytaly v sylu toho, çto u j → u, ∇u j → ∇u poçty vsgdu v D E\ y yntehral¥
A x u dxj
D E
( , )
\
∇ ∇∫ ϕ ravnostepenno absolgtno neprer¥vn¥, t.Se. dlq lgboho ε
> 0 suwestvuet η > 0 takoe, çto dlq lgboho mnoΩestva V ⊂ D E\ , V < < η,
v¥polneno neravenstvo
A x u dxj
V
( , )∇ ∇ <∫ ϕ ε
dlq vsex j = 1, 2, … .
Dlq vtoroho slahaemoho v (25) sohlasno formule Federera y teoreme Lebeha
[20, s.S16] dlq poçty vsex t ∈ 0, M j[ ] pry h → + 0 ymeem
1
h
s ds
A u u
u
d t A u nd
t h
t j j
j
j
s
j
t
j−
∫ ∫ ∫⋅ ∇ ∇
∇
→ ⋅ ∇( , )
( , )σ σ
∂ ∂Σ Σ
,
a takΩe A u g d xj
hu x tj ∇ ⋅
<∫{ ( ) }
→ A u dxj
u x tj ∇
<∫{ ( ) }
pry h → 0 na osnove maΩo-
rantnoj teorem¥ Lebeha. Yz (25), perexodq k predelu pry h → 0 s uçetom πtyx
sootnoßenyj, poluçaem trebuemoe ravenstvo.
Lemma 8 dokazana.
Lemma 9. Pust\ u ∈ W Gpω
1 ( ) — reßenye uravnenyq (1) v oblasty G,
u j
j{ } =
∞
1
— approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq neho. Tohda dlq poçty
vsex t1, t2 yz oblasty znaçenyj funkcyy u xj ( ) spravedlyvo ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
930 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A x u nd A x u ndj j
j
t
j
t
j
( , ) ( , )∇ = ∇ +∫ ∫σ σ δ
∂ ∂Σ Σ
1 2
, (26)
hde Σt
j = { x G∈ : u xj ( ) > t }, δ j → 0 pry j → 0, n — normal\ k ∂Σt
j
.
Dokazatel\stvo analohyçno dokazatel\stvu lemm¥ 8; dostatoçno zametyt\
tol\ko, çto
A x u dxj
G
j( , )∇ ∇ =∫ ϕ δ , ϕ ∈
�
W Gpω
1 ( ) , (27)
hde δ j → 0 v sylu toho, çto u — reßenye uravnenyq.
Lemma 10. Pust\ 1 < p < ∞, ω ∈ Ap , D — oblast\ v ßare Q R
x
4
0
, perese-
kagwaq QR
x0
y ymegwaq predel\n¥e toçky na S R
x
4
0
. PredpoloΩym, çto u ∈ ∈
W Dpω
1 ( ) — poloΩytel\noe ohranyçennoe reßenye uravnenyq (1), obrawagwe-
esq v nul\ v sm¥sle W Dpω
1 ( ) na çasty Γ hranyc¥ oblasty D , leΩawej
stroho vnutry ßara Q R
x
4
0
, y v¥polnen¥ uslovyq (5) – (7) y (22). Tohda
sup sup
D
p
R
x
p
p
D Q
u
H
Q
R u
R
x
≥ + ( )
′ −
1
0 0
1
η
ω
ωcap
∩
, (28)
hde η > 0 zavysyt tol\ko ot n, p, Ap ; H = Q DR
x0 \ , capp Hω — eho nely-
nejnaq vesovaq emkost\:
capp
p
R
nH z dx z R z H
n
ω ω= ∇ ∈ ≥
∫inf : Lip ( ),0 1 na . (29)
Dokazatel\stvo. PoloΩym M = sup
D
u, y pust\ G = Q HR
x
4
0 \ . Suwestvuet
φ ∈ Lip G( ), ravnaq M na ∂H y nulg na S R
x
4
0
, takaq, çto φ ∈ ˜ ( )W Gpω
1
, a yz
ω ∈ Ap sleduet, çto φ ∈ W Gpω
1 ( ) (m¥ vospol\zovalys\ tem, çto lgbug lypßy-
cevug funkcyg v zamknutom podmnoΩestve E ⊂ Rn moΩno prodolΩyt\ na vse
R
n
s soxranenyem ee lypßycevosty, sm. [20, s.S206]).
Pust\ Uh — reßenye zadaçy
div A x UH( , )∇ = 0 v G, UH – φ ∈
�
W Gpω
1 ( ) , U W GH p∈ ( )ω
1
. (30)
Suwestvovanye y edynstvennost\ reßenyq rassmatryvaemoj zadaçy v¥tekaet yz
lemm¥ 6. PoloΩym z = M – UH v G . Tohda z qvlqetsq reßenyem uravne-
nyqS(1) y z – M + φ ∈
�
W Gpω
1 ( ) . Poπtomu suwestvugt ψ j ∈ Lip0( )G , approksy-
myrugwye z – M + φ, takye, çto funkcyy α j = M – φ + ψ j budut approksy-
myrovat\ funkcyg z v G , pryçem α j ∈ Lip G( ) v sylu φ ∈ Lip G( ). Tohda
z x( ) > 0 na S R
x
4
0
v sm¥sle W Dpω
1 ( ) y z x( ) = 0 na ∂H. Prymenym lemmu 7 k re-
ßenyqm z, u v oblasty D. Ymeem z x( ) ≥ u x( ) na ΓUS R
x
4
0
v sm¥sle W Dpω
1 ( );
z S R
x
4
0 = M ≥ u x( ) , z Γ ≥ 0 ≡ u x( ) . Tohda na osnovanyy lemm¥ 7 z x( ) ≥ u x( )
poçty vsgdu v D. Poπtomu
sup sup
D Q D QR
x
R
x
u z
∩ ∩0 0
≤ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 931
yly
sup inf ( )
D Q D Q
H
R
x
R
x
u M U x
∩ ∩0 0
≤ − ,
otkuda
M U u
D Q
H
D QR
x
R
x
≥ +inf sup
∩ ∩
0 0
. (31)
Doopredelyv UH = M na H, ocenym v¥raΩenye inf
Q
H
R
x
U
0
snyzu. Pust\
UH
j
j{ } =
∞
1
— approksymyrugwaq posledovatel\nost\ dlq UH , UH
j
H
= M, 0 ≤
≤ UH
j ≤ M. Oboznaçym a j = sup ( )
\x Q Q
H
j
R
x
R
x
U x
∈ 4
0
2
0
, M = sup ( )
x Q
H
j
R
x
U x
∈ 4
0
, Σt
j = { x Q R
x∈ 4
0 :
U xH
j ( ) > t}, hde t ∈ ( , )0 M .
Vo yzbeΩanye dal\nejßej hromozdkosty v oboznaçenyqx UH
j , a j , Σ j
t , δ j
yndeks j budem opuskat\. Tohda Σa soderΩytsq v ßare Q R
x
2
0
. V sylu lemm¥ 9
najdutsq dostatoçno maloe ε > 0 y a1 ∈ a a M, min( , )2( ) takye, çto
A x U nd A x U ndH H
M a
( , ) ( , )∇ = ∇ +
−
∫ ∫σ σ δ
∂ ∂εΣ Σ
1
, (32)
hde, sohlasno lemme 8,
A x U nd
M
A x U U dx
MH H H
QM R
x
M
( , )
( )
( , )
\
∇ ≥
−
∇ ∇ −
− −
∫ ∫σ
ε
δ
∂ ε εΣ Σ
1
2 2
4
0
.
Sohlasno uslovyg (5), pervoe slahaemoe pravoj çasty prev¥ßaet
1
2
4
0
( )
\
M
U dxH
p
Q R
x
M
−
∇
−
∫ε
ω
εΣ
≥
≥
( )M p
p M
− −
−
ε
ω ε
1
2
cap Σ ≥
( )M
H
p
p
− −ε
ω
1
2
cap .
Sledovatel\no, v¥byraq ε > 0 tak, çtob¥
( )M p− −ε 1
2
> M p−1
4
, poluçaem
A x U nd M H
MH
p
p
M
( , )∇ ≥ −
−
∫
−
σ δ
∂
ω
εΣ
1
4 2
cap (33)
çerta
nad cappω oznaçaet, çto emkost\ beretsq otnosytel\no ßara Q R
x
4
0
:
capp Hω = inf
Q
p
R
x
z dx
4
0
∫
∇ ω ): z Q R
x∈ ( )0Lip 4
0
, z ≥ 1 n a H
. Yz lemm¥ 8
sleduet takΩe, çto
A x U nd
a
A x U U d x
aH H H
Qa R
x
a
( , ) ( , )
\
∇ ≤ ∇ ∇ +∫ ∫σ δ
∂Σ Σ
1 4
0
1
1
. (34)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
932 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
Pust\ ϕa1
— potencyal dlq Σa1
: div ω ϕ ϕ∇ ∇( )−
a
p
a1 1
2
= 0 v Q R
x
a4
0
1
\ Σ y
ϕa1
– UH ∈
�
W Qp R
x
aω
1
4
0
1
\ Σ( ). Tohda sohlasno varyacyonnomu sm¥slu funkcyy
ϕa1
ymeem
ω ϕ ω∇ =∫ a
p
Q
p
p adx a
R
x
a
1
4
0
1
11
\ Σ
Σcap
(sm. [3]). S pomow\g uravnenyq (1), v¥byraq probnug funkcyg ϕ = UH – ϕa1
,
naxodym
A x U U dxH H
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫
4
0
1
Σ
=
≤ A x U dxH a
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫ ϕ
1
4
0
1
Σ
≤ λ ω ϕ∇ ∇−∫ U dxH
p
a
Q R
x
a
1
1
4
0
1
\ Σ
≤
≤ λ ω ∇
∫
′
U dxH
p
Q
p
R
x
a4
0
1
1
\
/
Σ
ω ϕ∇
∫ a
p
Q
p
d x
R
x
a
1
4
0
1
1
\
/
Σ
≤
≤ λ A x U U dxH H
Q
p
R
x
a
( , )
\
/
∇ ∇
∫
′
4
0
1
1
Σ
capp a
p
aωΣ
1
1
1( ) /
,
otkuda v sylu (5), (6)
A x U U d xH H
Q R
x
a
( , )
\
∇ ∇∫
4
0
1
Σ
≤ λ ω
p p
p aa1 1
cap Σ ≤
≤ ( )2λ ω
p p
p aa cap Σ ≤ ( )2 2
0λ ω
p p
p R
xa Qcap , (35)
tak kak Σa1
⊂ Σa ⊂ Q R
x
2
0
. Yz (32) – (35) sleduet, çto
M H
M
a Q
a
p
p
p p
p R
x
−
−− ≤ + +
1
1
24 2
2 1 10cap capω ω
δ λ δ( ) ,
yly
a C
H
Q
Mp
p R
x
p
≥
−
′ −
cap
cap
ω
ω
δ
2
1
0
,
hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, a, H, M. Ustremyv j k ∞ , analohyçnug ocenku
poluçym dlq reßenyq U xH ( ) (opuskaem δ j ). V sylu neravenstva Harnaka y
lemm¥ 3
inf inf
Q
H
Q
H
p
p R
x
p
R
x
R
x
U U Ca C
H
Q
M
0
2
0 0
2
1
≥ ≥ ≥
′ −
cap
cap
ω
ω
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 933
hde C > 0 ne zavysyt ot R, x0 , H, M. Dejstvytel\no, v sylu lemm¥ 3 inf
Q
H
R
x
U
2
0
, a
takΩe sup
\Q Q
H
R
x
R
x
U
4
0
2
0
budut dostyhat\sq na poverxnosty sfer¥ S R
x
2
0
. Poskol\ku
lgb¥e dve toçky na S R
x
2
0
moΩno soedynyt\ cepoçkoj samoe bol\ßee µn ßarov
QR
x
/2
ν{ }, hde xν ∈ S R
x
2
0
, to, prymenqq v kaΩdoj QR
x
/2
ν
neravenstvo Harnaka, yme-
em
sup sup inf inf
\Q Q
H
S
H
S
H
Q
H
R
x
R
x
R
x
n
R
x
n
R
x
U U C U C U
4
0
2
0
2
0 2
0
2
0
5 5= ≤ =µ µ
,
hde C5 — konstanta yz teorem¥ 1, t.Se. C = C n
5
−µ
vo vtoroj ocenke, pryvody-
moj v¥ße.
Vospol\zuemsq teper\ πlementarn¥my ocenkamy capp R
xQω 2
0 ≤ CR Qp
R
x− ( )ω 4
0
,
capp Hω ≥ capp Hω . Dalee, ω Q R
x
4
0( ) ≤ C QR
xω 0( ) v sylu svojstva udvoenyq
funkcyj ω ∈ Ap , v ytohe poluçaem ocenku
inf
S
H
p
p
R
x
p
R
x
U C
R H
Q
M
0 0
1
≥ ( )
′ −
cap ω
ω
,
hde C > 0 ne zavysyt ot x0 , R, H, M. S uçetom poslednej ocenky yz (31) sle-
duet utverΩdenye lemm¥ 10.
Lemma 10 dokazana.
Obobwennoe reßenye zadaçy Dyryxle. Pust\ f — proyzvol\naq neprer¥v-
naq na ∂D funkcyq. Postroym obobwennoe reßenye uf zadaçy Dyryxle dlq
uravnenyq (1) v oblasty D :
div A x u( , )∇ = 0 v D, u fD∂ = . (36)
V sluçae f ∈ Lip( )∂D suwestvuet ee prodolΩenye φ s ∂D na vse D takoe,
çto φ ∈ Lip D( ) . Tohda φ ∈ W Dpω
1 ( ) y obobwenn¥m reßenyem uf zadaçy (36)
nazovem reßenye zadaçy
div A x u( , )∇ = 0 v D, u – φ ∈
�
W Dpω
1 ( ). (37)
Zadaça (37) razreßyma v sylu lemm¥ 6.
Proyzvol\nug neprer¥vnug funkcyg f na ∂D approksymyruem hladkymy
funkcyqmy fk → f ravnomerno na ∂D, hde fk ∈ Lip( )∂D . Pust\ φk — pro-
dolΩenye fk na D, φk ∈ Lip D( ) . Oboznaçym çerez uk reßenye zadaçy (37)
dlq φ = φk . Ymeem f fk m− ≤ δkm → 0 na ∂D pry k, m → ∞ . Tohda v sylu
lemm¥ 7 u uk m− ≤ δkm poçty vsgdu v D. Poπtomu posledovatel\nost\
funkcyj uk{ } sxodytsq v L D∞( ) k nekotoroj suwestvenno ohranyçennoj v D
funkcyy u f , kotorug budem naz¥vat\ obobwenn¥m reßenyem zadaçy (36).
Funkcyq u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v lgboj stroho vnutrennej
podoblasty G : G ⊂ D . Dejstvytel\no, lim sup
k D
ku
→∞
≤ 2 max
∂D
f y
lim ( )k
k W Du
p→∞ ω
1 < ∞, tak kak yz uravnenyq (37) sleduet (v¥byraem probnug
funkcyg ϕ = uk
pξ , hde ξ ∈ Lip D( ) ravna 1 na G , G ⊂ Ω, y nulg vne Ω,
Ω ⊂ D)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
934 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
A x u u dxk k
p
D
( , )∇ ∇∫ ξ ≤ λ ξ ξ ωp u u dxk
p
k
p
D
− −∇ ∇∫ 1 1 ≤
≤ λ ω ξ ω ξp u dx u dxk
p p
D
p
k
p p
D
p
∇
∇
∫ ∫
′1 1/ /
,
yly s uçetom (5)
ω ξ∇∫ u dxk
p p
D
≤ C G D f
D
, , max ,
∂
ω
, (38)
otkuda
ω ∇∫ u dxk
p
D
≤ C G D f
D
, , max ,
∂
ω
.
Tohda ∇uk → v v L D
p p( )
( )ξ ω slabo dlq nekotoroj podposledovatel\nosty,
dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye. Yz sxodymosty uk → u f v
L D∞( ) sleduet, çto v = ∇u f . Tohda ∇uk → ∇u f v L D
p p( )
( )ξ ω y L Gpω( ) sla-
bo, ∇u f ∈ L Gpω( ).
PokaΩem, çto ∇uk → ∇u f poçty vsgdu v G dlq nekotoroj podposledova-
tel\nosty. Podbyraq probnug funkcyg ( )u uk f
p− ξ , yz uravnenyq (37) naxo-
dym
A x u A x u u u dxk f k f
p
D
( , ) ( , )∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )∫ ξ ≤
≤ p A x u u u dx Ik k f
p
D
k( , )∇ − ∇ −−∫ ξ ξ1 ≤
≤ p u u u dx dx Ik f
p
k
p
D
p
p
p
kλ ξ ω ω ξsup
/ /
Ω Ω
− ∇
∇
−∫ ∫
′1 1
, (39)
I A x u u u d xk f k f
p
D
= ∇ ∇ − ∇ →∫ 1 0
ω
ξ ω( , )( ) , k → ∞.
Tohda s uçetom (38), slaboj sxodymosty ∇uk → ∇u f v L D
p p( )
( )ξ ω y sup
Ω
uk –
– u f → 0 poluçaem F dxk
G
∫ = δk → 0, hde
F A x u A x u u uk k f k f= ∇ − ∇[ ] ∇ − ∇( )( , ) ( , ) .
Yz πtoho v¥tekaet, çto Fk → 0 po mere v G. Tohda dlq nekotoroj podposledo-
vatel\nosty, dlq kotoroj ostavlqem preΩnee oboznaçenye, Fk → 0 poçty vsg-
du v G . Otsgda sleduet, çto ∇uk → ∇uf poçty vsgdu v G v sylu uslovyq
(22): pust\ ∇uk → g v toçke x G∈ , hde F xk ( ) → 0, tohda yz (5) v¥tekaet, çto
g koneçen, a yz (22) sleduet, çto g = ∇u xf ( ) . Tohda ω− ∇1/ ( , )p
kA x u →
→ ω− ∇1/ ( , )p
fA x u poçty vsgdu v G vsledstvye neprer¥vnosty funkcyj
{A xj ( , )η : j = 1, 2, … , n} po η. No lim ( , ) /
( )k
k
p
L G
A x u
p→∞
−∇
′
ω 1 ≤ λ
ω
∇ −uk L G
p
p ( )
1 <
< ∞. Po teoreme Lyonsa [18, s.S25], A x uk
p( , ) /∇ −ω 1 → ω− ∇1/ ( , )p
fA x u v L Gp′( )
slabo, tak çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O NEKOTORÁX SVOJSTVAX REÍENYJ KVAZYLYNEJNÁX VÁROÛDAGWYXSQ … 935
0 = ∇ ∇ → ∇ ∇∫ ∫A x u dx A x u dxk
G
f
G
( , ) ( , )ϕ ϕ ∀ϕ ∈
�
W Gpω
1 ( ) ,
t.Se. u f qvlqetsq reßenyem uravnenyq (36) v G.
Opredelenye. Toçka x D0 ∈∂ naz¥vaetsq rehulqrnoj dlq uravnenyq (36),
esly dlq lgboj neprer¥vnoj na ∂D funkcyy f
lim ( ) ( )
x x
fu x f x
→
=
0
0 . (40)
Teorema 3. Pust\ pry 1 < p < ∞, ω ∈ Ap v¥polnqgtsq uslovyq (5) – (7) y
(22) dlq uravnenyq (36). Tohda dlq rehulqrnosty hranyçnoj toçky x0 dosta-
toçno, çtob¥
4
4
1
1
0
− ′ −
=
∞
−( )
= ∞∑
m p
p m
x
p
m
H
Q m
cap ω
ω
, (41)
hde Hm = Q Dm
x
4
0
− \ , capp mHω — eho nelynejnaq vesovaq emkost\ (29).
Dokazatel\stvo provodytsq analohyçno [6, s.S151]. Pust\ ε > 0, tohda
najdetsq δ1 > 0 takoe, çto f x f x( ) ( )− 0 < ε
4
pry x x− 0 < δ1, x D∈∂ .
Krome toho, najdetsq fk ∈ Lip( )∂D , dlq kotoroj f fk − < ε
4
dlq vsex x ∈
∈ ∂D. Pust\ uk — reßenye zadaçy div A x uk( , )∇ = 0 v D , uk – φk ∈
�
W Dpω
1 ( ),
hde φk ∈ Lip D( ) — prodolΩenye fk s ∂D na vsg D . Funkcyq z = uk –
– f x( )0 – ε
2
est\ reßenye zadaçy div A x z( , )∇ = 0 v D , z – φk + f x( )0 +
+ ε
2
∈
�
W Dpω
1 ( ). Tohda dlq lgboho x ∈ Qx
δ1
0 ∩ ∂D ymeem z < 0. Funkcyq z ne-
prer¥vna v D. Oboznaçym ′D = { x D∈ : z x( ) > 0}. Pust\ m0 — takoe natu-
ral\noe çyslo, çto 4 0−m < δ1. Prymenqq k ßaram Q m
x
4
0
− , Q m
x
4 1
0
− +( ) y podoblas-
ty ′D dlq m = m0, m0 + 1, … , l, mnohokratno lemmu 10, poluçaem
sup max exp
( )Q D D
p m
x
m p
p
m m
l
l
x
m
z f
H
Q
4
0 0
0
3 4
4
1
− −
≤ −
−
′ −
=
∑
∩ ∂
ωγ
ω
cap
.
Yz πtoj ocenky y analohyçnoj dlq funkcyj z1 = f x( )0 – ε
2
– uk ymeem
sup ( ) ( ) exp
Q D
f
mp
p m
x
p
m m
l
l
x
m
u x f x L
H
Q
4
0 0
0
0
4
1
2
4
− −
− < + − ( )
− ′ −
=
∑
∩
ε γ
ω
ωcap
, (42)
hde L > 0 zavysyt ot n, p, λ, Ap , max
∂D
f (podrobnee sm. [6, s.S151]). Otsgda,
v¥byraq l( )ε ∈ N tak, çtob¥ vtoroe slahaemoe (42) b¥lo men\ße ε/2 pry l ≥
≥ l( )ε , poluçaem u x f xf ( ) ( )− 0 < ε pry x x− 0 < δ, x D∈ , hde δ = 4−l( )ε
.
Yz dokazatel\stva teorem¥ 3 vydno, çto v rehulqrnoj hranyçnoj toçke
moΩno ocenyt\ modul\ neprer¥vnosty funkcyj u xf ( ) v zavysymosty ot modu-
lq neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy f y skorosty rasxodymosty rqda (41).
Pust\ f x f x( ) ( )− 0 ≤ θ x x−( )0 , hde θ (θ( )0 = 0, θ ′ > 0, θ ′′ ≤ 0) — modul\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
936 F. Y. MAMEDOV, R. A. AMANOV
neprer¥vnosty hranyçnoj funkcyy. Tohda
u x f x f
H
Q
d
f
D
p
p
x
p
x x
( ) ( ) ( ) max exp− ≤ + − ( )
′ −
−
∫0
1
2 3
0
0
θ δ γ
τ
ω
τ
τ∂
ω τ
τ
δ cap
pry x x− 0 < δ, x D∈ ,
hde δ > 0, γ > 0 zavysqt ot n, p, λ, Ap ; Hτ = Q Dx
τ
0 \ ; capp Hω τ — nelynejnaq
vesovaq emkost\ Hτ (29).
1. Littman W., Stampacchia G., Weinberger H. F. Regular points for equations with discontinuous
coefficients // Ann. sci. norm. super. Pisa. Cl. Sci. – 1963. – 17. – P. 43 – 77 (Sb. per. „Mate-
matyka”. – 1965. – 9, # 2. – S. 72 – 97).
2. Fabes E. B., Kenig C. E., Serapioni R. P. The local regularity of solutions of degenerate elliptic
equations // Communs Part. Different. Equat. – 1982. – 7. – P. 77 – 116.
3. Fabes E. B., Jerison D., Kenig C. The Wiener test for degenerate elliptic equations // Ann. Inst.
Forier (Grenoble). – 1982. – 32. – P. 151 – 182.
4. Chanillo S., Wheeden R. L. Harnack’s inequality and mean-value inequalities for solutions of
degenerated elliptic equations // Communs Part. Different. Equat. – 1986. – 11(10). – P. 1111 –
1134.
5. Garieppy R., Ziemer W. P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear
elliptic equations // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1977. – 67. – P. 25 – 39.
6. Kondrat\ev V. A., Landys E. M. Kaçestvennaq teoryq lynejn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x vtoroho porqdka // Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl.
matematyky. Fundam. napravlenyq. – M.: VYNYTY, 1988. – 32. – S. 99 – 217.
7. Maz’ya V. G. On Wiener’s type regularity of a boundary points for higher order elliptic equations //
Nonlinear Anal. Function Spaces and Appl. / Eds M. Krbec, A. Kufner (Proc. Spring School Held in
Prague, May 31 – June 6, 1988). – 1988. – 6. – P. 119 – 155.
8. Maly J., Ziemer W. P. Regularity of solutions of elliptic partial differential equations // Math. Surv.
and Monogr. – Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1997. – 51.
9. Landys E. M. Uravnenyq vtoroho porqdka πllyptyçeskoho y parabolyçeskoho typov. – M.:
Nauka, 1971. – 287 s.
10. Kufner A. Weighted Sobolev spaces. – Leipzig: Feubner, 1980.
11. Kilpelainen T. Smooth approximation in weighted Sobolev spaces // Comment math. Univ. carol. –
1997. – 38. – P. 29 – 35.
12. Franchi B., Serapioni R., Serra Cassano F. Approximation and embedding theorems for weighted
Sobolev spaces associated with Lipschitz continuous vector fields // Boll. Unione mat. ital. – 1997. –
7, # 11-B. – P. 83 – 117.
13. Sawyer E. T., Wheeden R. L. Weighted inequalities for fractional integrals on Euclidean and
homogeneous spaces // Amer. J. Math. – 1992. – 114. – P. 813 – 874.
14. Mamedov F. I. On two weighted Sobolev inequalities in unbounded domains // Proc. A. Razmadze
Math. Inst. Georgian Acad. Sci / Ed. V. M. Kokilashvili. – 1999. – 21. – P. 117 – 123.
15. Lad¥Ωenskaq O. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravnenyq πllyptyçesko-
ho typa. – M.: Nauka, 1967. – 574 s.
16. Landys E. M. Nekotor¥e vopros¥ kaçestvennoj teoryy πllyptyçeskyx uravnenyj // Uspexy
mat. nauk. – 1963. – 18, # 1. – S. 3 – 62.
17. Maz\q V. H. Prostranstva Soboleva. – L.: Yzd-vo Lenynhr. un-ta, 1985.
18. Lyons Û.-L. Nekotor¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x kraev¥x zadaç. – M.: Myr, 1972. –
585 s.
19. Drabek P., Kufner A., Nicolosi F. Nonlinear elliptic equations (singular and degenerated case). –
Univg West Bohemia in Pilshen, 1996. – 211 p.
20. Stejn Y. Synhulqrn¥e yntehral¥ y dyfferencyal\n¥e svojstva funkcyj. – M.: Myr,
1973. – 342 s.
Poluçeno 26.04.06,
posle dorabotky — 28.08.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164694 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:55:11Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мамедов, Ф.И. Аманов, Р.А. 2020-02-10T14:14:39Z 2020-02-10T14:14:39Z 2008 O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений / Ф.И. Мамедов, Р.А. Аманов // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 918–936. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164694 517.946 Для квазілінійних рівнянь div A(x, u, ∇u) = 0 з виродженням ω(x) із Ap -класу Маккенхаупта доведено нерівність Гарнака, оцінку норми Гельдера і достатню ознаку регулярності межових точок типу Вінера. For quasilinear equations div A(x, u, ∇u) = 0 with degeneracy ω(x) of the Muckenhoupt A p -class, we prove the Harnack inequality, an estimate for the Hölder norm, and a sufficient criterion for the regularity of boundary points of the Wiener type. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations Article published earlier |
| spellingShingle | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений Мамедов, Ф.И. Аманов, Р.А. Статті |
| title | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_alt | On some properties of solutions of quasilinear degenerate equations |
| title_full | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_fullStr | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_full_unstemmed | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_short | O некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| title_sort | o некоторых свойствах решений квазилинейных вырождающихся уравнений |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164694 |
| work_keys_str_mv | AT mamedovfi onekotoryhsvoistvahrešeniikvazilineinyhvyroždaûŝihsâuravnenii AT amanovra onekotoryhsvoistvahrešeniikvazilineinyhvyroždaûŝihsâuravnenii AT mamedovfi onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations AT amanovra onsomepropertiesofsolutionsofquasilineardegenerateequations |