О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии
Параболічне рівняння розглядається на римановому многовиді недодатньої секційної кривизни непозитивного перерізу (многовиди типу Картана - Адамарада). Друга крайова задача цього рівняння задається в обмеженій області, поверхня якої є гладкою підмножиною. Доведено, що градієнт одношарового потенціалу...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164699 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии / Ю.Н. Бернацька // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 879–891. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164699 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1646992025-02-09T15:24:28Z О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии On the behavior of a simple-layer potential for a parabolic equation on a Riemannian manifold Бернацька, Ю.Н. Статті Параболічне рівняння розглядається на римановому многовиді недодатньої секційної кривизни непозитивного перерізу (многовиди типу Картана - Адамарада). Друга крайова задача цього рівняння задається в обмеженій області, поверхня якої є гладкою підмножиною. Доведено, що градієнт одношарового потенціалу для такої задачі має стрибок при переході через підмноговиди аналогічно його поведінці в евклідовому просторі. A parabolic equation is considered on a Riemannian manifold of nonpositive section curvature (a Cartan – Hadamard-type manifold). The second boundary-value problem for this equation is set in a bounded domain whose surface is a smooth submanifold. It is proved that the gradient of the singlelayer potential for such problem possesses a jump in crossing the submanifold similarly to its behavior in the Euclidean space. 2008 Article О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии / Ю.Н. Бернацька // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 879–891. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164699 517.956.4 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Бернацька, Ю.Н. О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии Український математичний журнал |
| description |
Параболічне рівняння розглядається на римановому многовиді недодатньої секційної кривизни непозитивного перерізу (многовиди типу Картана - Адамарада). Друга крайова задача цього рівняння задається в обмеженій області, поверхня якої є гладкою підмножиною. Доведено, що градієнт одношарового потенціалу для такої задачі має стрибок при переході через підмноговиди аналогічно його поведінці в евклідовому просторі. |
| format |
Article |
| author |
Бернацька, Ю.Н. |
| author_facet |
Бернацька, Ю.Н. |
| author_sort |
Бернацька, Ю.Н. |
| title |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| title_short |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| title_full |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| title_fullStr |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| title_full_unstemmed |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| title_sort |
о поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164699 |
| citation_txt |
О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии / Ю.Н. Бернацька // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 7. — С. 879–891. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT bernacʹkaûn opovedeniipotencialaprostogosloâdlâparaboličeskogouravneniânarimanovommnogoobrazii AT bernacʹkaûn onthebehaviorofasimplelayerpotentialforaparabolicequationonariemannianmanifold |
| first_indexed |
2025-11-27T09:38:23Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:38:23Z |
| _version_ |
1849935852750241792 |
| fulltext |
UDK 517.956.4
G. N. Bernackaq (Nac. un-t „Kyevo-Mohylqnskaq akademyq”, Kyev)
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ
DLQ PARABOLYÇESKOHO URAVNENYQ
NA RYMANOVOM MNOHOOBRAZYY
A parabolic equation is considered on a Riemannian manifold of nonpositive section curvature (a Car-
tan – Hadamard-type manifold). The second boundary-value problem for this equation is set in a
bounded domain whose surface is a smooth submanifold. It is proved that the gradient of the single-
layer potential for such problem possesses a jump in crossing the submanifold similarly to its behavior in
the Euclidean space.
Na rimanovomu mnohovydi nedodatno] sekcijno] kryvyny (mnohovydi typu Kartana – Adamara)
rozhlqnuto paraboliçne rivnqnnq. Druhu hranyçnu zadaçu dlq n\oho zadano v obmeΩenij oblas-
ti, poverxneg qko] [ hladkyj pidmnohovyd. Dovedeno, wo hradi[nt potencialu prostoho ßaru
dlq tako] zadaçi ma[ strybok pry perexodi çerez pidmnohovyd podibno do joho povedinky v evkli-
dovomu prostori.
1. Vvedenye. Pust\ M — polnoe odnosvqznoe rymanovo mnohoobrazye razmer-
nosty n, udovletvorqgwee uslovyqm, pryvedenn¥m nyΩe. Na πtom mnohoobra-
zyy rassmotrym parabolyçeskoe uravnenye
∂
∂
u
t
= 1
2
∆u , (1)
hde ∆ — operator Laplasa – Bel\tramy, kotor¥j opredelqetsq çerez ortobazys
ek{ } v Tx M formuloj ∆ u = div gradu =
k ek
u∑ ∇ grad , ek . Dlq πtoho urav-
nenyq reßaetsq vtoraq kraevaq zadaça vnutry yly vne nekotoroj ohranyçennoj
oblasty D s hranycej S :
∂
∂ν
u
x S
= f t x( , ), u t T= 0
= 0, (2)
hde νx — vneßnqq edynyçnaq normal\ k S v M v toçke x, a funkcyq f t x( , )
neprer¥vna na ( , )T T0 × D.
Pryvedennaq zadaça v evklydovom prostranstve reßena metodom potencyala
prostoho sloq osnovopoloΩnykom πtoho metoda dlq parabolyçeskyx hranyçn¥x
zadaç V. PohoΩel\skym. Eho rezul\tat¥ yzloΩen¥ v monohrafyy A. Frydma-
naA[1], hde v byblyohrafyy moΩno najty ss¥lky na oryhynal\n¥e rabot¥.
Reßenye metodom potencyala trebuet dopolnytel\noho dokazatel\stva na-
lyçyq skaçka hradyenta potencyala pry perexode çerez hranycu S. Poskol\ku
pry dokazatel\stve πtoho fakta suwestvenno yspol\zuetsq evklydova heomet-
ryq, neposredstvenno perenesty eho na mnohoobrazye ne predstavlqetsq voz-
moΩn¥m. Xotq yntuytyvno qsno, çto potencyal prostoho sloq y eho hradyent
na mnohoobrazyy budut vesty sebq tak Ωe, kak v evklydovom prostranstve, odna-
ko πto utverΩdenye trebuet strohoho dokazatel\stva.
Oçevydnost\ povtorenyq svojstv v¥tekaet yz rezul\tatov H. Makkyna [2],
sohlasno kotor¥m lgboe parabolyçeskoe uravnenye v evklydovom prostranstve
s nev¥roΩdennoj matrycej dyffuzyy, zavysqwej ot koordynat¥ y vremeny,
moΩet b¥t\ pereneseno na hladkoe mnohoobrazye. Poslednee stroytsq na osno-
ve matryc¥ dyffuzyy: metryçeskyj tenzor beretsq ravn¥m obratnoj k πtoj
matryce. V rezul\tate neodnorodnost\ matryc¥ dyffuzyy perexodyt v nely-
nejnost\ prostranstva. Y takye unyversal\n¥e funkcyy, kak potencyal¥
prostoho y dvojnoho sloq, qvlqqs\ xarakterystykamy uravnenyq, dolΩn¥ sox-
ranqt\ svoy svojstva.
© G. N. BERNACKAQ, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7 879
880 G. N. BERNACKAQ
Sleduet otmetyt\, çto poskol\ku operator Laplasa – Bel\tramy v koordy-
natnoj zapysy ymeet slahaemoe, otveçagwee za snos:
∆u = g x u
x x
jk
j k( ) ∂
∂ ∂
2
+ Γi j
i jk
kg x u
x
( ) ∂
∂
,
k uravnenyg (1) s samosoprqΩenn¥m operatorom pryvodqtsq tol\ko uravnenyq
dyffuzyy (yly teploprovodnosty) so specyal\n¥m snosom. Pry proyzvol\nom
snose yly eho otsutstvyy vmesto (1) poluçaem uravnenye
∂
∂
u
t
= 1
2
∆u + gradu B, , (3)
hde vektornoe pole B : M → Tx M zadaet snos.
Preobrazovanye matryc¥ dyffuzyy v heometryg mnohoobrazyq okazalos\
oçen\ πffektyvn¥m v teoryy dyffuzyonn¥x processov. Kohda Ωe S. Vara-
danA[3] naßel asymptotyku fundamental\noho reßenyq p t x y( , , )
lim – ln ( , , )
t
t p t x y
→
[ ]
0
2 = ρ2( , )x y ,
πtot podxod naçaly yspol\zovat\ v teoryy dyfferencyal\n¥x uravnenyj. Po-
qvylos\ mnoΩestvo rabot, predlahagwyx ocenky fundamental\noho reßenyq
vyda
f t x y
x y
t1
2
2
( , , ) exp –
( , )ρ
≤ p t x y( , , ) ≤
≤ f t x y
x y
t2
2
2
( , , ) exp –
( , )ρ
,
hde funkcyy f t x yi( , , ) zavysely ot heometryy mnohoobrazyq, a haussovskyj
mnoΩytel\ exp –
( , )ρ2
2
x y
t
opys¥val dyffuzyg vdol\ heodezyçeskoj, dlyna
kotoroj meΩdu toçkamy x y y oboznaçena kak ρ( , )x y . V çastnosty, dlq mno-
hoobrazyq otrycatel\noj ohranyçennoj sverxu y snyzu sekcyonnoj kryvyzn¥
vozmoΩna dvustoronnqq ocenka s funkcyqmy
const
f ti( )
, a dlq mnohoobrazyj typa
Kartana – Adamara πty funkcyy moΩno opredelyt\ y bolee toçno: f ti( ) = tn /2
[4].
K soΩalenyg, poçty vse rabot¥ ohranyçyvagtsq ocenkamy reßenyq, ne
predlahaq sxem¥ eho postroenyq. Blahodarq rabotam K. Yosyd¥ [5] y V. H. Bon-
darenko [6] ymeetsq sxema postroenyq metodom parametryksa fundamental\no-
ho reßenyq parabolyçeskoho uravnenyq na mnohoobrazyqx typa Kartana – Ada-
mara. Dlq sxodymosty yteracyonnoj procedur¥ trebuetsq naloΩyt\ ewe neko-
tor¥e uslovyq na sekcyonnug kryvyznu. Nastoqwaq rabota qvlqetsq pervoj
pop¥tkoj dokazat\ svojstvo skaçka hradyenta potencyala prostoho sloq v
prostranstve s heometryej, otlyçnoj ot evklydovoj, çto neobxodymo dlq po-
stroenyq reßenyq vtoroj kraevoj zadaçy.
Posle postanovky zadaçy, kotoroj posvqwen vtoroj punkt stat\y, v tret\em
punkte predloΩeno dokazatel\stvo suwestvovanyq skaçka hradyenta potencya-
la prostoho sloq na rassmatryvaemom mnohoobrazyy. V¥çyslena takΩe velyçy-
na skaçka. V poslednem punkte soderΩatsq v¥vod¥, a ymenno, utverΩdaetsq
vozmoΩnost\ postroenyq reßenyq vtoroj kraevoj zadaçy dlq parabolyçeskoho
uravnenyq na mnohoobrazyy s pomow\g rassmatryvaemoho potencyala.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 881
2. Postanovka zadaçy. Opredelym potencyal prostoho sloq dlq rassmat-
ryvaemoho uravnenyq po analohyy s lynejn¥m prostranstvom R
n
formuloj
V t x( , ) = d y p t x y dS
T
t
yτ µ τ τ
0
∫ ∫ ( , ) ( – , , )
S
, (4)
hde p t x y( , , ) — fundamental\noe reßenye uravnenyq (1), µ( , )t x — plotnost\
potencyala, dSy — πlement obæema podmnohoobrazyq S.
Uslovyq na mnohoobrazye M formulyrugtsq v termynax tenzora kryvyzn¥
R x( ) [6]:
1a) R x( ) ( , )U V U , V ≥ 0 dlq vsex x ∈ M, U , V Tx∈ M , t. e. sekcyonnaq
kryvyzna mnohoobrazyq nepoloΩytel\na;
1b) dlq proyzvol\n¥x ortobazysov ek{ }, hk{ } v Tx M
R x U e V hk k
k
( ) , ,( )∑ ≤ c x U U x V VR Ric Ric( )( , ) ( )( , ) ,
a konstanta cR ne zavysyt ot x ;
1v) vdol\ lgboj heodezyçeskoj γ skalqrnaq kryvyzna ub¥vaet dostatoçno
b¥stro, t.Ae. sr s dsγ( )( )
∞
∫0
< cr , hde cr ne zavysyt ot γ ;
1h) kovaryantn¥e proyzvodn¥e tenzora kryvyzn¥ udovletvorqgt ocenkam
∇( )( )( )X s R s Y s s Z s( ) ( ) ( ), ˙ ( ) ( )ϕ ϕ ≤ f s X s Y s Z s1 ϕ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,
∇ ∇ ( )( )U s X s R s Y s s Z s( ) ( ) ( ) ( ), ˙ ( ) ( )ϕ ϕ ≤ f s X s Y s Z s U s2 ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,
hde funkcyy f1 y f2 takye, çto vdol\ lgboj heodezyçeskoj γ v¥polnqetsq ne-
ravenstvo s f s dsk
2
0
γ( )( )
∞
∫ < c f , v kotorom c f ne zavysyt ot γ.
Krome toho, dlq suwestvovanyq reßenyq kraevoj zadaçy sleduet potrebo-
vat\ opredelennoj hladkosty ot podmnohoobrazyq S — ono dolΩno ymet\
svojstva poverxnosty Lqpunova. Uslovyq na podmnohoobrazye S :
2a) v kaΩdoj toçke x ∈S suwestvuet kasatel\noe prostranstvo Tx S ;
2b) suwestvuet çyslo δ > 0 takoe, çto dlq lgboj toçky x ∈S mnoΩestvo
S ∩ B x( ; )δ svqzno (B x( ; )δ — heodezyçeskyj ßar v M radyusa δ s centrom v
toçke x) y ßar B x( ; )δ peresekaetsq heodezyçeskymy, parallel\n¥my normaly
νx , ne bolee çem v odnoj toçke; sfera radyusa δ s centrom v toçke x
naz¥vaetsq sferoj Lqpunova;
2v) normal\ νx udovletvorqet neravenstvu Lypßyca, t.Ae. neprer¥vna na
S ; πto oznaçaet, çto suwestvuet çyslo cν > 0 takoe, çto
ν νγy xy x– ( , )Φ ≤ c x yν ρ( , ) ∀ x , y ∈S ,
hde ρ( , )x y — rasstoqnye v M meΩdu toçkamy x y y, γ( )s — heodezyçeskaq,
soedynqgwaq πty toçky v M, Φγ ( , )y x — operator parallel\noho perenosa yz
toçky x v toçku y vdol\ heodezyçeskoj γ v M.
3. Svojstvo skaçka hradyenta potencyala prostoho sloq. Yzvestno, çto
v lynejnom prostranstve hradyent prostoho sloq ymeet skaçok pry perexode
çerez hranycu S oblasty D. DokaΩem, çto podobn¥m svojstvom obladaet y
potencyal prostoho sloq dlq uravnenyq na mnohoobrazyy. A ymenno, dokaΩem,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
882 G. N. BERNACKAQ
çto spravedlyvo ravenstvo (sm. rysunok)
lim , ( ) , ˙ ( )
s →
( )
0
gradx V t s sα α = µ( , )t x0 + d y
p t x y
dS
T
t
x
yτ µ τ ∂ τ
∂ν
( , )
( – , , )
S
∫∫
0 0
0 ,
hde α( )s — heodezyçeskaq α( )0( = x0, α( )0 = νx0 ) , v¥xodqwaq yz toçky x0 v
napravlenyy normaly k podmnohoobrazyg S . V¥çyslenye v¥raΩenyq
gradx0
V t s, ( )α( ), ˙ ( )α s pryvodyt k yntehralu
d y
p t x y
dS
T
t
x
yτ µ τ ∂ τ
∂ν
( , )
( – , , )
S
∫∫
0 0
0 ,
kotor¥j qvlqetsq nesobstvenn¥m, poskol\ku v toçke y = x0 terqet sm¥sl.
Vzqt\ takoj yntehral udaetsq, esly v¥vesty toçku x0 yz podmnohoobrazyq S,
naprymer smestyt\ vdol\ α( )s . Pust\ α( )s = x — fyksyrovannaq toçka. Bu-
dem yskat\ yntehral
d y
p t x y
dS
T
t
x
yτ µ τ ∂ τ
∂ν
( , )
( – , , )
S
∫∫
0
,
hde νx — normal\ νx0
, parallel\no perenesennaq yz toçky x0 vdol\ heodezy-
çeskoj α( )s , t. e. νx = Φα ν( , )x x x0 0
. Krome toho, νx = ˙ ( )α s , poskol\ku pola-
haem, çto s — natural\n¥j parametr. Takym obrazom, ymeet mesto sledugwaq
teorema.
Teorema 1. Pust\ mnohoobrazye M udovletvorqet uslovyqm 1, a podmno-
hoobrazye S — uslovyqm 2. Tohda dlq vtoroj kraevoj zadaçy (1), (2), zadan-
noj v oblasty D ⊂ M s hranycej S, moΩno postroyt\ potencyal prostoho
sloq po formule (2), opredelenn¥j vezde v ( , )T0 ∞ × M.
Hradyent opredelennoho takym obrazom potencyala ymeet skaçok pry
perexode çerez hranycu S oblasty D, t.Ae. suwestvugt predel¥
U t xi( , )0 0 = lim ( , ),
( , ) ( , )x t x t
x D
x xV t x
→
∈
0 0
grad ν ,
U t xe( , )0 0 = lim ( , ),
( , ) ( , )x t x t
x D
x xV t x
→
∉
0 0
grad ν
y spravedlyv¥ ravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 883
U t xi( , )0 0 = – ( , )µ t x0 0 + gradx xV t x
0 00 0( , ), ν ,
U t xe( , )0 0 = µ( , )t x0 0 + gradx xV t x
0 00 0( , ), ν .
Dokazatel\stvo. Proanalyzyrovav funkcyg, predstavlqgwug hradyent
rassmatryvaemoho potencyala, v¥delym v nej çlen, soderΩawyj osobennost\, y
dokaΩem neprer¥vnost\ ostal\n¥x. Zatem najdem predel¥ y dokaΩem raven-
stva, soderΩawyesq v teoreme, dlq sluçaq edynyçnoj plotnosty potencyala. Y
nakonec, rasprostranym poluçenn¥j rezul\tat na sluçaj proyzvol\noj plot-
nosty.
Dlq nahlqdnosty dokazatel\stva osuwestvym takoe postroenye (sm. rysu-
nok): toçky x ∈ M, x0, y ∈S soedynym heodezyçeskymy v sootvetstvugwyx
metrykax. Toçky x y x0 soedynqet heodezyçeskaq α( )s , ortohonal\naq k pod-
mnohoobrazyg S, toçky x y y — heodezyçeskaq γ ρ( ) v sm¥sle metryky M.
Toçky x0 y y soedynen¥ heodezyçeskoj σ ε( ) v sm¥sle metryky S, hde natu-
ral\n¥j parametr ε qvlqetsq peremennoj, t. e. toçka y budet podvyΩnoj.
Rassmotrym varyacyg ϕ ε( , )s , ϕ( , )s 0 = α( )s , heodezyçeskoj γ ρ( ) .
Proyzvodnug vdol\ normaly
∂
∂ν
p t x y
x
( , , )
v¥razym s yspol\zovanyem predstav-
lenyq hradyenta fundamental\noho reßenyq yz [7]
gradx p t x y( , , ) =
ρ( , )
( , ) ( , , ) ( , , )
x y
t
e x y W t x y p t x y+
,
hde vektornoe pole W t x y( , , ) ohranyçeno: W t x y( , , ) ≤ cW , a e x y( , ) — kasa-
tel\n¥j vektor k heodezyçeskoj, soedynqgwej toçku x s y, — v naßem po-
stroenyy qvlqetsq vektorom
∂ϕ
∂s S =0
, kotor¥j budem oboznaçat\ ϕ̇x . Tohda
gradx V t s s, ( ) , ˙ ( )α α( ) = d y
p t x y
dS
T
t
x
yτ µ τ ∂ τ
∂ν
( , )
( – , , )
S
∫∫
0
=
= d y
x y
t
p t x y dS
T
t
x x yτ µ τ ρ
τ
ϕ ν τ( , )
( , )
–
( ˙ , ) ( – , , )
S
∫∫
0
+
+ d y W t x y p t x y dS
T
t
x yτ µ τ τ ν τ( , ) ( – , , ), ( – , , )
S
∫∫
0
.
Vtoroj yntehral predstavlqet soboj neprer¥vnug funkcyg, a perv¥j raspa-
daetsq na dva yntehrala, esly uçest\, çto po metodu parametryksa dlq parabo-
lyçeskoho uravnenyq na rymanovom mnohoobrazyy [6] fundamental\noe reßenye
ywut v vyde summ¥
p t x y( , , ) = m t x y( , , ) +
d m t x z r z y V dz
t
τ τ τ
M
∫∫
0
( – , , ) ( , , ) ( ),
hde naçal\noe pryblyΩenye ymeet vyd
m t x y( , , ) = e q t x y
x y
–
( , )
( , , )
φ
2
, q t x y( , , ) = ( ) exp
( , )– /2
2
2
2
π ρ
t
x y
t
n
.
Yntehral v πtoj summe takΩe ohranyçen, poπtomu osobennost\ soderΩytsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
884 G. N. BERNACKAQ
tol\ko v slahaemom
1
2 2 22
2
1
2
0
( )
( , )
( , ) ˙ ,
( – )
exp –
( , )
( – )
–
( , )
/π
τ µ τ ρ ϕ ν
τ
ρ
τ
φ
n
T
t
x x
n yd y
x y
t
x y
t
x y
dS
S
∫∫ +
.
Pust\ plotnost\ potencyala toΩdestvenno ravna edynyce µ( , )t x ≡ 1. Pro-
yntehryrovav πto slahaemoe po vremeny, ustremyv nyΩnyj predel k – ∞ y pry-
menyv zamenu η =
ρ
τ
2
2( – )t
,
1
t – τ
=
2
2
η
ρ
, dτ =
ρ
η
η
2
22
d , poluçym
U t x( , ) = 1
2 2 22
2
1
2
( )
( , ) ˙ ,
( – )
exp –
( , )
( – )
–
( , )
/
–
π
τ ρ ϕ ν
τ
ρ
τ
φ
n
t
x x
n yd
x y
t
x y
t
x y
dS
S
∫∫
∞
+
=
=
Γ n
x y
dSn
x x
n y
2
22 1
{ }∫π
ϕ ν
ρ
φ
/
˙ ,
exp –
( , )
–
S
.
V¥berem okrestnost\ B x( ; )0 δ toçky x0 sohlasno uslovyg 2b) y budem pola-
hat\, çto vse postroenyq provodqtsq v predelax πtoj okrestnosty. Yntehral
U t x( , ) toΩe zapyßem v vyde summ¥ yntehralov:
U t x( , ) = U t x0( , ) + ′U t x( , ) =
S x S S xδ δ( ) ( )0 0
∫ ∫+
/
,
hde S xδ( )0 = S ∩ B x( ; )0 δ . Vtoroj yntehral budet funkcyej, neprer¥vnoj v lg-
boj toçke x0 ∈S , poskol\ku pod¥ntehral\noe v¥raΩenye na ohranyçennom
podmnohoobrazyy qvlqetsq ohranyçennoj funkcyej. Potomu v dal\nejßem bu-
dem rassmatryvat\ yntehral U t x0( , ).
Predstavym v¥raΩenye
˙ ,
–
ϕ ν
ρ
x x
n 1 v vyde
ω ε
ε
( )
( )/u n 2 , hde ω ε( ) = ρ σ εx, ( )( ) ϕ̇x ,
νx y u( )ε = ρ σ ε2 x, ( )( ), y razloΩym ω ε( ) y u( )ε po formule Tejlora v ok-
restnosty toçky x0, hde ε = 0 (poloΩym x D∉ , çto sootvetstvuet rysunku).
Otnosytel\no funkcyy ω ε( ) moΩno skazat\, çto ω( )0 = – ( , )ρ x x0 y
′ω ε( ) = ˙ , ˙ϕ σy ˙ ,ϕ νx x + ρ ε′Z ( )0 , νx , hde perexod k polg Qkoby Zε osuwest-
vlen sohlasno [8, s. 148]. Proyzvodnug polq Qkoby ′Zε( )0 naxodym, yntehryruq
uravnenyq Qkoby s kraev¥my uslovyqmy Zε( )0 = 0 y Zε ρ( ) = ˙ ( )σ ε – ˙ ˙ϕ ϕy y ,
˙ ( )σ ε . Poslednee ravenstvo poluçaetsq dyfferencyrovanyem toΩdestva
ϕ ρ σ εx, ( )( )( , ε) = σ ε( ) , otkuda naxodym
˙ ˙ , ˙ ( )ϕ ϕ σ εy y + Zε ρ( ) = ˙ ( )σ ε . (5)
Reßenye uravnenyq Qkoby predstavym v vyde Zε ρ( ) = U12 0( , )ρ ′Zε( )0 , otkuda
′Zε( )0 = U12
±1 Z ε ρ( ) = U12
–1 ˙ ( )σ ε[ – ˙ ˙ , ˙ ( )ϕ ϕ σ εy y ]. Operator U12 ymeet svojstvo
U12
–1 ρϕ ρ ε˙ ( , )[ ] = ˙ ( , )ϕ ε0 = ϕ̇x , poπtomu
′w ( )ε = ˙ , ˙ ˙ ,ϕ σ ϕ νy x x +
ρ σ νU12
–1 ˙ , x – ˙ , ˙ ˙ ,ϕ σ ϕ νy x x =
ρ σ νU12
–1 ˙ , x .
Vektor U12
–1 σ̇ = Y( )ε moΩno sçytat\ ohranyçenn¥m v malom ßare B x( ; )0 δ .
Oboznaçym eho normu cZ . Teper\ moΩno zapysat\ funkcyg ω ε( ):
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 885
ω ε( ) = – ( , )ρ x x0 + ρ σ ε ε ν εx Y dx
d x y
, ( ) ( ),
( , )
( )∫
0
0
= – ( , )ρ x x0 + h x x y1 0( , , ) .
Funkcyg u( )ε predstavym formuloj Tejlora vtoroho porqdka. Oboznaçym
v( )ε = ˙ , ˙ϕ σy , tohda ′u ( )ε = 2ρ σ εx, ( )( ) v( )ε y ′′u ( )ε =
2 2v ( )ε[ + ρ σ εx, ( )( ) ×
×
′ ]v ( )ε , hde ′v ( )ε = ∇ ˙ ˙ , ˙σ ϕ σy + ˙ , ˙˙ϕ σσy ∇ , pryçem ∇ ˙ ˙σ ϕy = ′Zε ρ( ) . DomnoΩaq
(5) skalqrno na ˙ ( )σ ε , poluçaem Z ε ρ( ), ˙ ( )σ ε = 1 – v
2( )ε . Vvodq vektornoe po-
le Bt = ρ ρε′Z ( ) – Zε ρ( ) , opredelennoe v termynax polq Qkoby:
Bε = s x s R s s Z s s ds
x
y yΦ
0
ρ σ ε
ερ σ ε ϕ ε ϕ ϕ
, ( )
, ( ) , ( , ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( )
( )
∫ ( )( ) ( )( ) ,
ymeem ′v ( )ε =
Bε σ
ρ
, ˙
+
Zε ρ σ
ρ
( ), ˙
+ ˙ , ˙˙ϕ σσy ∇ . Tohda
u( )ε = ρ2
0( , )x x A+A d x y2
0( , ) + 2
0
0
B dy
d x y
′
( )
+ ∇[ ] ′( ) ′∫ ε σσ ρ ϕ σ ε ε ε, ˙ ˙ , ˙ –˙
,
=
= ρ2
0( , )x x + d x y2
0( , ) + h x x y2 0( , , ).
Takym obrazom, dokazana sledugwaq lemma.
Lemma 1. Dlq predloΩennoho v¥ße heometryçeskoho postroenyq ymeet
mesto predstavlenye
˙ ,
–
ϕ ν
ρ
x x
n 1 =
± +
+ +( )
ρ
ρ
( , ) ( , , )
( , ) ( , ) ( , , )
/
x x h x x y
x x d x y h x x y
n
0 1 0
2
0
2
0 2 0
2 ,
hde znak „+” sootvetstvuet sluçag x D∈ , znak „–” — sluçag x D∉ .
TakΩe ymeet mesto sledugwee utverΩdenye.
Lemma 2. Pry v¥polnenyy uslovyj 1 na mnohoobrazye M y uslovyq 2b) na
podmnohoobrazye S ymeet mesto ocenka
h x x y1 0( , , ) ≤
c
dZ
2 0
2ρ +( ) ,
a pry v¥polnenyy uslovyj 1 na mnohoobrazye M y uslovyq 2a) na podmnohoob-
razye S — ocenka
h x x y2 0( , , ) ≤ c d dB +( ) +
1 1
30
2 3ρ ,
hde dlq sokrawenyq v¥raΩenyj vveden¥ oboznaçenyq ρ0 =∆ ρ( , )x x0 y d =∆
=∆ d x y( , )0 .
Dokazatel\stvo. Rasklad¥vaq ρ σ εx, ( )( ) po formule Tejlora vdol\ ε v
okrestnosty toçky x0, poluçaem
ρ σ εx, ( )( ) = ρ( , )x x0 + ˙ ( ), ˙ ( )ϕ σ ε ε
ε
y s d′ ′∫
0
≤ ρ0 + ε.
Otsgda s uçetom toho, çto normal\ edynyçna, norma vektora Y( )ε ohranyçena y
ravna cZ , lehko poluçaem ocenku yntehrala
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
886 G. N. BERNACKAQ
h x x y1 0( , , ) ≤ c dZ
d x y
( )
,
ρ ε ε0
0
0
+
( )
∫ =
c
dZ
2 0
2ρ +( ) .
Poskol\ku ∇ ˙ ˙σ σ ≤ 1, neposredstvenno poluçaem ocenku
h x x y2 0( , , ) ≤ 2
0
0
B d
d x y
′
( )
′ ′∫ ε ε ε ε( – )
,
+ 2
0
0
ρ σ ε ε ε εx d
d x y
, ( ) ( – )
,
′( ) ′ ′
( )
∫ .
Vektornoe pole Bε na mnohoobrazyy M, udovletvorqgwem uslovyqm 1, oce-
nyvaetsq sledugwym obrazom:
Bε = B Zk
k
ε ρ, ( ) 2∑ ≤ B Zk
k
ε ρ, ( )∑ ≤
≤ s s R s Z s s s Z s dsy y k
k
Φ Φϕ ε ϕ
ρ
ρ ϕ ϕ ρ( , ) ˙ ( ), ( ) ˙ ( ), ( , ) ( )( )∫∑
0
≤
≤ c s s s Z s dsR y yRic ˙ ( ), ˙ ( ) ( )ϕ ϕ
ρ
ε( )∫
0
≤ c sr s Z s dsR ϕ ε
ρ
ε( , ) ( )( )∫
0
.
Zdes\ yspol\zovan¥ svojstva 1b), 1v). Esly oblast\ yzmenenyq ρ leΩyt vblyzy
nulq — rassmatryvaetsq malaq okrestnost\ toçky x0 — kryvyznu moΩno sçy-
tat\ ohranyçennoj: r sϕ ε( , )( ) ≤ cr . Tohda s uçetom ocenky polq Qkoby dlq ta-
koho mnohoobrazyq Z sε( ) ≤ s Ztρ
ρ( ) , Z xε ρ σ ε, ( )( )( ) = ˙ ( )σ ε ymeet mesto ocen-
ka
Bε ≤ c sr s Z s dsR ϕ ε
ρ
ε( , ) ( )( )∫
0
≤ c c s dsR r
2
0
ρ
ρ
∫ =
c cR r
3
2ρ = cBρ2 .
Dalee
h x x y2 0( , , ) ≤ c x dB
d x y
ρ σ ε ε ε ε2
0
0
, ( ) ( – )
,
′( ) ′ ′
( )
∫ + ρ σ ε ε ε εx d
d x y
, ( ) ( – )
,
′( )
( )
∫
0
0
≤
≤ c d d
B +( ) +
1
30
2
3
ρ .
Lemma dokazana.
Lemma 3. V uslovyqx lemm¥A2 v¥polnqgtsq ravenstva
lim
– ( , ) ( , , )
( , ) ( , )
/ /
( )
x x
x D
n n
S x
y
n
x x h x x y
x x d x y
dS
→
∈
+
+( )∫
0
0
2
2
0 1 0
2
0
2
0
2
Γ
π
ρ
ρ
δ
= – 1,
lim
( , ) ( , , )
( , ) ( , )
/ /
( )
x x
x D
n n
S x
y
n
x x h x x y
x x d x y
dS
→
∉
+
+( )∫
0
0
2
2
0 1 0
2
0
2
0
2
Γ
π
ρ
ρ
δ
= 1,
hde S xδ( )0 oboznaçaet ßar maloho radyusa δ s centrom v toçke x0.
Dokazatel\stvo. Yntehral moΩno razbyt\ na dva slahaem¥x; yx udobno
rassmotret\ otdel\no. Oboznaçym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 887
W t x1
δ( , ) =
Γ n
x x
x x d x y
dSn n
S x
y
2
2
0
2
0
2
0
2
0
+( )∫π
ρ
ρ
δ
/ /
( )
( , )
( , ) ( , )
.
Vzqtye yntehrala predpolahaet perexod k kasatel\nomu prostranstvu T Sx0
,
hde nov¥my peremenn¥my budut koordynat¥ vektora ξ, ξ = d x y( , )0 . V sylu
malosty S xδ( )0 qkobyan perexoda J x( , )ξ =
det G
G x
xExp
det ( )
ξ( )
det ∂
∂ξ
ξExpx , hde
G — metryçeskyj tenzor podmnohoobrazyq S, qvlqetsq hladkoj y ohranyçen-
noj funkcyej. Krome toho,
∂
∂ξ
J x( , )θξ takΩe qvlqetsq ohranyçennoj funk-
cyej v S xδ( )0 . Tohda qkobyan v okrestnosty nulq moΩno predstavyt\ formu-
loj Tejlora J x( , )ξ = 1 +
∂
∂ξ
θξJ x( , ) , ξ , hde 0 < θ < 0. Perexodq v W t x1
δ( , )
k yntehryrovanyg po kasatel\nomu prostranstvu, poluçaem
W t x1
δ( , ) =
Γ n
x x
x x
x x J x
x x
dSn n n
T S xx
2
2
0
2
0
2 2
0
2
0
2 2
0 0
+( )
+
+( )
∫π
ρ
ρ ξ
ρ ∂
∂ξ
θξ ξ
ρ ξδ
ξ/ / /
( )
( , )
( , )
( , ) ( , ),
( , )
.
Vtoroe slahaemoe moΩno ocenyt\ sledugwym obrazom:
ρ ∂
∂ξ
θξ ξ
ρ ξ
( , ) ( , ),
( , )
/
x x J x
x x
n
0
2
0
2 2
+( )
< C
x x
x x
n
ρ ξ
ρ ξ
( , )
( , )
/
0
2
0
2 2
+( )
.
Dlq v¥çyslenyq pervoho slahaemoho perejdem k sferyçeskym koordynatam,
qkobyan perexoda ymeet vyd J = rn – 2 sin –n 3
1ϕ … sin –ϕn 3 . Pervoe slahaemoe
W t x1
δ( , ) prynymaet vyd
ρ
ρ ξδ
ξ
0
0
2 2 2
0 0 +( )∫ n
T S xx
dS/
( )
= 2
1
2
1
2
0
2
0
2 2 2
0
π ρ
ρ
δ
n
n
nn
r dr
r
–
–
/–Γ
+( )∫ ,
a ocenka vtoroho —
C dSn
T S xx
ρ ξ
ρ ξδ
ξ
0
0
2 2 2
0 0 +( )∫ /
( )
= C n
r dr
r
n
n
n
2
1
2
1
2
0
1
0
2 2 2
0
π ρ
ρ
δ
–
–
/–Γ
+( )∫ .
V¥polnym ewe odnu zamenu r = ρ0 tgϑ , r2 + ρ0
2 =
ρ
ϑ
0
2
2cos
, dr =
ρ ϑ
ϑ
0
2
d
cos
y v¥çys-
lym predel funkcyy W t x1
δ( , ) pry ( , )t x → ( , )t x0 0 , kohda x leΩyt vne oblas-
ty D. Dlq pervoho slahaemoho poluçym
Γ n
dS
n t x t x
x D
n
T S xx
2
2
0
0
2 2 2
0 0
0 0
+( )→
∉
∫π
ρ
ρ ξ
ξ
δ
/ ( , ) ( , ) /
( )
lim =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
888 G. N. BERNACKAQ
=
2
2
1
2
0 0
0
2
0
2 2 2
0
Γ
Γ
n
n
r dr
r
n
n
+( )→ ∫
π
ρ
ρρ
δ
– lim
–
/ =
=
2
2
1
2
0
2
2
Γ
Γ
n
n dn
∫
π
ϑ ϑ
π
– sin
/
– =
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
Γ
Γ
Γ Γ
Γ
n
n
n
n
π –
–
= 1.
Vtoroe slahaemoe qvlqetsq neprer¥vnoj funkcyej, poskol\ku
Γ n J x
dSn t x t x
x D
n
T S xx
2
2
0
0
2 2 2
0 0
0 0
+( )→
∉
∫π
ρ ∂
∂ξ
θξ ξ
ρ ξ
δ
ξ/ ( , ) ( , ) /
( )
lim
( , ),
≤
≤ C
n
n
r dr
r
n
n
2
2
1
2
0 0
0
0
1
0
2 2 2
Γ
Γ
+( )→ ∫
π
ρ
ρρ
δ
– lim
–
/ ≤
≤ C
n
n
d
2
2
1
2
0
0
0
0
0
Γ
Γ
→
∫
π
ρ ϑ
ϑρ
δ
ρ
– lim
cos
arctg
=
= C
n
n
2
2
1
2
0 0
0
0
2 2
0
2 2
Γ
Γ
+ +
+→π
ρ ρ δ δ
ρ δ δρ– lim ln
–
= 0.
Sledovatel\no,
lim ( , )
( , ) ( , )t x t x
x D
W t x
→
∉
0 0
1
δ = 1.
V sluçae, kohda toçka x leΩyt vnutry oblasty D , predel funkcyy W t x1
δ( , )
pry ( , )t x → ( , )t x0 0 okaz¥vaetsq takym Ωe po modulg, no protyvopoloΩn¥m
po znaku:
lim ( , )
( , ) ( , )t x t x
x D
W t x
→
∈
0 0
1
δ = – 1.
Rassmotrym teper\ vtoroe slahaemoe yntehralov yz uslovyq lemm¥ (ono ody-
nakovo v obeyx formulax) y oboznaçym eho tak:
W t x2
δ( , ) =
Γ n
h x x y
x x d x y
dSn n
S x
y
2
2
1 0
2
0
2
0
2
0
+( )∫π ρ
δ
/ /
( )
( , , )
( , ) ( , )
.
Yspol\zuq ocenku dlq h x x y1 0( , , ) yz lemm¥A2, zapys¥vaem
W t x2
δ( , ) ≤
Γ n
d
d
dSn n
S x
y
2
2
0
2 2 2
0
+( )∫π ρ
δ
/ /
( )
.
Yntehryruq po pryvedennoj v¥ße sxeme, poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 889
W t x2
δ( , ) <
2
2
1
2
1
0
2 2 2
0 0
2 2 2
0
Γ
Γ
n
n
r dr
r
C
r dr
r
n
n
n
n
+( )
+
+( )∫ ∫
π ρ ρ
δ δ
–
–
/ / ≤
≤
2
2
1
2
1
2
0
2 2
0
2 2
Γ
Γ
n
n C
+ +
+
+
π
ρ δ δ
ρ δ δ
δ– ln
–
,
t.Ae. funkcyq W t x2
δ( , ) qvlqetsq neprer¥vnoj, çto y zaverßaet dokazatel\stvo
lemm¥.
Vernemsq k yntehralu U t x0( , ), kotor¥j s uçetom lemm¥A1 prynymaet vyd
U t x0( , ) =
Γ n x x h x x y
x y
x x d x y h x x y
dSn n
S x
y
2 2
2
0 1 0
2
0
2
0 2 0
2
0
± +[ ] { }
+ +( )∫π
ρ φ
ρ
δ
/ /
( )
( , ) ( , , ) exp – ( , )
( , ) ( , ) ( , , )
,
y najdem predel¥ pry x → x0 dlq sluçaev x D∈ y x D∉ . Kak y preΩde, v¥-
delym v yntehrale slahaemoe, soderΩawee osobennost\. Yspol\zovav formulu
Tejlora s ostatkom v forme LahranΩa (0 < θ < 1), predstavym pod¥ntehral\-
noe v¥raΩenye v vyde
± +
+( )
ρ
ρ
( , ) ( , , )
( , ) ( , )
/
x x h x x y
x x d x y
n
0 1 0
2
0
2
0
2 ×
× 1
2 2 4
2 0
2
0
2
0
2 0
2
0
2
0
–
( , )
–
( , , )
( , ) ( , )
( , ) ( , , )
( , ) ( , )
φ θ θ
ρ θ
φ θ θ
ρ θ
x y n h x x y
x x d x y
n x y h x x y
x x d x y+
+
+
.
Pervoe slahaemoe v razloΩenyy ymeet predel¥, ustanovlenn¥e lemmojA3.
PokaΩem, çto vse ostal\n¥e slahaem¥e qvlqgtsq neprer¥vn¥my v toçkax
x0 ∈S . Yspol\zuq ocenku h x x y2 0( , , ) yz lemm¥A2 y zamenu θ d = ρ ϑ0 tg , naxo-
dym
h x x y
x x d x y
2 0
2
0
2 2
0
( , , )
( , ) ( , )
θ
ρ θ+( ) ≤ ( ) sinCB + +
1 1 1
30
2ρ ϑ ϑtg .
Na yntervale 0
, arctg δ
ρ0
ohranyçyvagwaq funkcyq monotonno vozrastaet,
y ee moΩno ocenyt\ v¥raΩenyem (CB + 1) ρ0
+ 1
3
δ
, kotoroe pry x → x0 (t.Ae.
ρ0 → 0) stremytsq k
CB + 1
3
δ , çto s uçetom lemm¥A3 oznaçaet neprer¥vnost\
sootvetstvugweho slahaemoho.
Poluçym analohyçnug ocenku funkcyy φ θ( , )x y , opredelennoj v termynax
polej Qkoby [6]:
φ( , )x y =
a s y
s
ds
x y
γ
ρ
( ),
( , ) ( )∫
0
, a yγ ρ( ),( ) = ρ ρ ρ ρ′∑ Z Z Zk k k
k
( ) – ( ), ( ) .
Yzvestno [9], çto funkcyq a x y( , ) vblyzy nulq vedet sebq kak O x yρ2( , )( ), a
poskol\ku rassmatryvaetsq malaq okrestnost\ nekotoroj toçky x0, moΩno
vospol\zovat\sq ocenkoj a x y( , ) ≤ c x yaρ2( , ). Otsgda
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
890 G. N. BERNACKAQ
φ( , )x y ≤ c s dsa
x y
0
ρ( , )
∫ =
c
x ya
2
2ρ ( , ) <
c
da
2 0
2( )ρ + ,
hde yspol\zovano neravenstvo treuhol\nyka. Prymenqq zamenu θ d = ρ ϑ0 tg ,
poluçaem ocenku φ θ( , )x y ≤
ca
2 0ρ( + δ)2
ρ0 0→
→
ca
2
δ2
, çto svydetel\stvuet
o neprer¥vnosty ostal\n¥x slahaem¥x yntehrala U t x0( , ).
Soberem vse najdenn¥e predel¥ (çerez W3
δ
oboznaçym slahaem¥e, kotor¥e
ne voßly v W1
δ
y W2
δ
):
lim ( , )
( , ) ( , )t x t x
x D
U t x
→
∈
0 0
0 = lim ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )t x t x
x D
W t x W t x W t x
→
∈
+ +[ ]
0 0
1 2 3
δ δ δ =
= – 1 + W t x W t x2 0 0 3 0 0
δ δ( , ) ( , )+[ ] = – 1 + U t x0 0 0( , ),
analohyçno
lim ( , )
( , ) ( , )t x t x
x D
U t x
→
∉
0 0
0 = 1 + U t x0 0 0( , ).
Rassmotrym teper\ sluçaj proyzvol\noj neprer¥vnoj plotnosty µ( , )t x po-
tencyala prostoho sloq.
DokaΩem, çto pry x0 ∈S raznost\ potencyala s zadannoj plotnost\g
µ( , )t x y s nekotoroj postoqnnoj µ( , )t x0 0 qvlqetsq funkcyej, opredelennoj
vsgdu y neprer¥vnoj v toçke ( , )t x0 0 . Dlq πtoho, kak y v¥ße, dostatoçno ras-
smotret\ slahaemoe, soderΩawee osobennost\. Tohda
U t x1( , ) – µ( , ) ( , )t x U t x0 0 0 =
=
1
2 22 0 0
2
0
( )
( , ) – ( , ) exp –
( , )
( – )/π
τ µ τ µ ρ
τn
T
t
d y t x
x y
t∫ ∫[ ]
S
–
φ ρ ϕ ν
τ
( , ) ( , ) ˙ ,
( – ) /
x y x y
t
dSy y
n y2 2 1
+ –
–
µ
π
τ ρ
τ
φ ρ ϕ ν
τ
( , )
( )
exp –
( , )
( – )
–
( , ) ( , ) ˙ ,
( – )/
–
/
t x
d
x y
t
x y x y
t
dSn
T
y y
n y
0 0
2
2
2 12 2 2
0
S
∫∫
∞
+
. (6)
Vtoroj yntehral, soderΩawyjsq v pravoj çasty formul¥, neprer¥ven v okres-
tnosty toçky ( , )t x0 0 , tak kak t > T0 y funkcyq pod yntehralom ne ymeet oso-
bennostej.
Dlq dokazatel\stva neprer¥vnosty pervoho yntehrala vospol\zuemsq teore-
moj o ravnomernoj sxodymosty yntehrala [10, s. 287]. Poskol\ku funkcyq
U t x0( , ) neprer¥vna vsgdu v ( , )T0 ∞ × M, krome kompaktnoho podmnohoobrazyq
S, na kotorom ona ymeet koneçn¥j razr¥v (ot – 1 do 1), suwestvuet takaq kon-
stanta c, çto dlq vsex x ∈M
˙ ,
exp –
( , )
–
ϕ ν
ρ
φy y
n y
x y
dS1 2{ }∫
S
< c.
Zadadym proyzvol\noe δ > 0 y v¥berem v S takug okrestnost\ Sδ toçky
( , )t x0 0 , çto µ( , )t x – µ( , )t x0 0 < δ
2
2
2n n c/ Γ
pry ( , )t x ∈ Sδ . Tohda
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
O POVEDENYY POTENCYALA PROSTOHO SLOQ … 891
d y t x
x y
t
x y x y
t
dS
T
t
y y
n yτ µ τ µ ρ
τ
φ ρ ϕ ν
τ
δ
( , ) – ( , ) exp –
( , )
( – )
–
( , ) ( , ) ˙ ,
( – ) /0 0
2
2 1
0
2 2
[ ]
∫∫ +
S
≤
≤
δ τ ρ
τ
φ ρ ϕ ν
τ
δ2
2
2 22
2
2 1
0
n
T
t
y y
n yn
c
d
x y
t
x y x y
t
dS
/ /exp –
( , )
( – )
–
( , ) ( , ) ˙ ,
( – )Γ
∫ ∫ +
S
=
=
δ ϕ ν
ρ
φ
δ
c
x y
dS
S
y y
n y∫
˙ ,
exp –
( , )
–1 2
< δ.
Takym obrazom, perv¥j yntehral ravnomerno sxodytsq v toçke (t0, x0); πto ozna-
çaet, çto dann¥j yntehral, kak funkcyq t y x, neprer¥ven v toçke ( , )t x0 0 .
Teorema dokazana.
4. V¥vod¥. Dokazannoe (teoremaA1) svojstvo skaçka hradyenta potencyala
prostoho sloq na podmnohoobrazyy pozvolqet yspol\zovat\ metod potencyala
pry reßenyy vtoroj kraevoj zadaçy dlq parabolyçeskoho uravnenyq na mnoho-
obrazyy typa Kartana – Adamara, kakymy qvlqgtsq mnohoobrazyq, udovletvorq-
gwye uslovyqm 1. V çastnosty, spravedlyva sledugwaq teorema.
Teorema 2. Esly mnohoobrazye M udovletvorqet uslovyqm 1, podmno-
hoobrazye S — uslovyqm 2, to reßenye zadaçy (1), (2) suwestvuet y pred-
stavlqetsq potencyalom prostoho sloq
u t x( , ) = d y p t x y dSy
ST
t
τ µ τ τ( , ) ( – , , )∫∫
0
,
plotnost\ kotoroho µ( , )t x naxodytsq yz yntehral\noho uravnenyq
±µ( , )t x = d y
p t x y
dS
x
y
T
t
τ µ τ ∂ τ
∂ν
( , )
( – , , )
S
∫∫
0
– f t x( , ),
hde znak „+” sootvetstvuet vnutrennej zadaçe, a znak „–” — vneßnej.
Krome toho, najdena velyçyna skaçka (lemmaA3); ona sovpadaet s takovoj dlq
sluçaq evklydova prostranstva [1].
1. Frydman A. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my parabolyçeskoho typa. – M.: Myr, 1968.
– 427 s.
2. Makkyn H. Stoxastyçeskye yntehral¥. – M.: Myr, 1973. – 184 s.
3. Varadhan S.R.S. On the behavior of the fundamental solution of the heat equation with variable
coefficients // Communs Pure and Appl. Math. – 1967. – 20, # 2. – P. 431 – 455.
4. Hryhor\qn A. A. O fundamental\nom reßenyy uravnenyq teploprovodnosty na proyzvol\-
nom rymanovom mnohoobrazyy // Mat. zametky. – 1987. – 41, # 5. – S. 687 – 692.
5. Yosida K. On the fundamental solution of the parabolic equation in a Riemannian space // Osaka
Math. J. – 1953. – 5, # 1. – P. 659 – 685.
6. Bondarenko V. H. Metod parametryksa dlq parabolyçeskoho uravnenyq na rymanovom mno-
hoobrazyy // Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 51, # 11. – S. 1443 – 1448.
7. Bondarenko V. H. Loharyfmyçeskyj hradyent qdra teploprovodnosty na rymanovom mnoho-
obrazyy // Mat. zametky. – 2003. – 73, # 5.
8. Postnykov M. M. Varyacyonnaq teoryq heodezyçeskyx. – M.: Nauka, 1965.
9. Bondarenko V. Duffusion sur variete de courbure non positive // Comptes Rendus A. S. – 1997. –
324, # 10. – P. 1099 – 1103.
10. Petrovskyj Y. H. Lekcyy ob uravnenyqx s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Nauka, 1961. –
400 s.
Poluçeno 26.06.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
|