Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке
Досліджується задача про алгебраїчні многочлени із заданим старшим коефіцієнтом, що найменше відхиляються від нуля за мірою на відрізку [–1,1], а точніше, відносно функціонала μ(f)=mes{x∈[–1,1]:∣f(x)∣≥1}. Обговорюється аналогічна задача відносно інтегральних функціоналів ∫1–1φ(∣f(x)∣)dx для функцій...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164727 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке / В.В. Арестов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 291–300. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164727 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1647272025-02-10T00:29:52Z Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке Algebraic polynomials least deviating from zero in measure on a segment Арестов, В.В. Статті Досліджується задача про алгебраїчні многочлени із заданим старшим коефіцієнтом, що найменше відхиляються від нуля за мірою на відрізку [–1,1], а точніше, відносно функціонала μ(f)=mes{x∈[–1,1]:∣f(x)∣≥1}. Обговорюється аналогічна задача відносно інтегральних функціоналів ∫1–1φ(∣f(x)∣)dx для функцій φ, визначених, невід'ємних та неспадних на півосі [0,+∞). We investigate the problem of algebraic polynomials with given leading coefficients that deviate least from zero on the segment [–1, 1] with respect to a measure, or, more precisely, with respect to the functional μ(f) = mes{x ∈ [–1, 1]: ∣f (x)∣ ≥ 1}. We also discuss an analogous problem with respect to the integral functionals ∫ –11 φ (∣f (x)∣) dx for functions φ that are defined, nonnegative, and nondecreasing on the semiaxis [0, +∞). 2010 Article Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке / В.В. Арестов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 291–300. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164727 517.518.86 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Арестов, В.В. Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке Український математичний журнал |
| description |
Досліджується задача про алгебраїчні многочлени із заданим старшим коефіцієнтом, що найменше відхиляються від нуля за мірою на відрізку [–1,1], а точніше, відносно функціонала μ(f)=mes{x∈[–1,1]:∣f(x)∣≥1}. Обговорюється аналогічна задача відносно інтегральних функціоналів ∫1–1φ(∣f(x)∣)dx для функцій φ, визначених, невід'ємних та неспадних на півосі [0,+∞). |
| format |
Article |
| author |
Арестов, В.В. |
| author_facet |
Арестов, В.В. |
| author_sort |
Арестов, В.В. |
| title |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| title_short |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| title_full |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| title_fullStr |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| title_full_unstemmed |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| title_sort |
алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164727 |
| citation_txt |
Алгебраические многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля по мере на отрезке / В.В. Арестов // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 291–300. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT arestovvv algebraičeskiemnogočlenynaimeneeuklonâûŝiesâotnulâpomerenaotrezke AT arestovvv algebraicpolynomialsleastdeviatingfromzeroinmeasureonasegment |
| first_indexed |
2025-12-02T04:30:02Z |
| last_indexed |
2025-12-02T04:30:02Z |
| _version_ |
1850369431402708992 |
| fulltext |
UDK 517.518.86
V. V. Arestov (Ural. un-t, Yn-t matematyky y mexanyky Ural. otd-nyq RAN, Rossyq)
ALHEBRAYÇESKYE MNOHOÇLENÁ,
NAYMENEE UKLONQGWYESQ OT NULQ
PO MERE NA OTREZKE
∗∗∗∗
We study the problem of algebraic polynomials with given leading coefficient that deviate least from
zero in measure on the segment [–,] 11 more ( precisely, with respect to the functional µ() f =
= mesxfx ∈≥ {}) [–,]:() 111. We discuss a similar problem with respect to the integral functionals
ϕfxdx () ()
−∫1
1
for functions ϕ which are defined, nonnegative, and nondecreasing on the half line
[,) 0+∞.
DoslidΩu[t\sq zadaça pro alhebra]çni mnohoçleny iz zadanym starßym koefici[ntom, wo naj-
menße vidxylqgt\sq vid nulq za mirog na vidrizku [–,] 11, a toçniße, vidnosno funkcionala
µ() f = mesxfx ∈≥ {}) [–,]:() 111. Obhovorg[t\sq analohiçna zadaça vidnosno intehral\nyx
funkcionaliv ϕfxdx () ()
−∫1
1
dlq funkcij ϕ , vyznaçenyx, nevid’[mnyx ta nespadnyx na piv-
osi [,) 0+∞.
1. Vvedenye. Pust\ Pm — mnoΩestvo alhebrayçeskyx mnohoçlenov
fx m() = axk
k
k
m
=
∑
0
(1.1)
porqdka m≥0 s kompleksn¥my koπffycyentamy. Pry m≥1 na mnoΩestve
Pm rassmotrym funkcyonal
µ() fm = mesxfx m ∈≥ {} [–,]:() 111,(1.2)
znaçenye kotoroho est\ mera Lebeha mnoΩestva toçek x∈[–,] 11, v kotor¥x
modul\ mnohoçlena fmm ∈P bol\ße lybo raven 1. Dlq fyksyrovannoho
y∈R vvedem velyçynu
σmy() = infµ() (): yxfxf mm
mmm 21
111
−
−−− −∈ {} P,(1.3)
kotorug moΩno ynterpretyrovat\ kak velyçynu nayluçßeho pryblyΩenyq
funkcyy yx mm 21− mnoΩestvom Pm−1 alhebrayçeskyx mnohoçlenov porqdka
m−1 otnosytel\no funkcyonala (1.2). Velyçynu (1.3) moΩno zapysat\ v
neskol\ko ynoj forme. Pust\ Pmy() — mnoΩestvo alhebrayçeskyx mnohoçle-
nov porqdka m, starßyj koπffycyent kotor¥x est\ ym21−, t. e. mnohoçlenov
vyda
∗
V¥polnena pry podderΩke Rossyjskoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj (proekt 08-
01-00213) y Prohramm¥ hosudarstvennoj podderΩky veduwyx nauçn¥x ßkol RF (proekt NÍ-
3208.2010.1).
© V. V. ARESTOV, 2010
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3291
292V. V. ARESTOV
fx m() = yxfx mm
m 21
1
−
− +(), fmm −− ∈ 11 P.
Tohda
σmy() = infµ():() ffy mmm ∈ {} P;(1.4)
πto uΩe est\ varyant zadaçy o mnohoçlenax, naymenee uklonqgwyxsq ot nulq.
VaΩnug rol\ v dal\nejßem budut yhrat\ mnohoçlen¥ Çeb¥ßeva pervoho
roda, kotor¥e dlq x∈[–,] 11 opredelen¥ formuloj Tx m() = cos() mx arccos.
Pry m≥1 starßyj koπffycyent πtoho mnohoçlena raven 21 m− (sm., napry-
mer, [1], hl. 3). Poπtomu zadaça (1.3), (1.4) netryvyal\na lyß\ pry y>1; qs-
no, çto dostatoçno ohranyçyt\sq sluçaem y>1.
Otnosytel\no zadaçy (1.4) spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Teorema 1.1. Pry m≥1, y>1 ymeet mesto ravenstvo
σmy() = 211 − () −ym/.(1.5)
Bolee toho, mnohoçlen
fx m
∗() = Tyx m
m 1/ ()(1.6)
y eho sdvyhy
fxh m
∗− (), h ≤ 11 −−ym/,(1.7)
prynadleΩat mnoΩestvu Pmy() y qvlqgtsq πkstremal\n¥my mnohoçlenamy v
zadaçe (1.4) (mnohoçlenamy, naymenee uklonqgwymysq ot nulq), y tol\ko
takye mnohoçlen¥ reßagt zadaçu (1.4).
∏kstremal\n¥e mnohoçlen¥ v rassmotrenn¥x v dannoj rabote zadaçax okaza-
lys\ vewestvenn¥my, poπtomu rezul\tat¥ rabot¥ (teorem¥ 1.1, 3.1 y 4.1) osta-
gtsq spravedlyv¥my dlq mnohoçlenov (1.1) s vewestvenn¥my koπffycyentamy.
Dlq tryhonometryçeskyx polynomov zadaçy, podobn¥e tem, kotor¥e obsuΩ-
dagtsq v dannoj rabote, y rodstvenn¥e ym, yssledovan¥ ranee sovmestno avto-
rom y A. S. Mendelev¥m [2].
2. Rezul\tat¥ P. L. Çeb¥ßeva y H. Poja otnosytel\no alhebrayçeskyx
mnohoçlenov, naymenee uklonqgwyxsq ot nulq. Zadaça (1.4) svqzana s ne-
skol\kymy druhymy πkstremal\n¥my zadaçamy dlq mnohoçlenov, v çastnosty s
zadaçej o mnohoçlenax s fyksyrovann¥m starßym koπffycyentom, naymenee
uklonqgwymysq ot nulq otnosytel\no ravnomernoj norm¥ na kompaktax.
Mnohoçlen¥ Çeb¥ßeva (naymenee uklonqgwyesq ot nulq s edynyçn¥m
starßym koπffycyentom) na kompaktax kompleksnoj ploskosty yzuçalys\
mnohymy matematykamy y ymegt mnohoçyslenn¥e pryloΩenyq (sm., naprymer,
[3]). Opyßem bolee podrobno rezul\tat¥ P. L. Çeb¥ßeva y H. Poja
otnosytel\no alhebrayçeskyx mnohoçlenov, naymenee uklonqgwyxsq ot nulq.
Pust\ �m = �m() R, m≥1, est\ mnoΩestvo alhebrayçeskyx mnohoçlenov
Px m() = xcx m
k
k
k
m
+
=
−
∑
0
1
s edynyçn¥m starßym y proyzvol\n¥my (kompleksn¥my) ostal\n¥my koπffy-
cyentamy. P. L. Çeb¥ßev [4] naßel naymen\ßee uklonenye ot nulq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
ALHEBRAYÇESKYE MNOHOÇLENÁ, NAYMENEE UKLONQGWYESQ OT NULQ … 293
Em([–,]) 11 = infPP mCmm [–,]
:
11
∈ {} �(2.1)
na otrezke [–,] 11 mnohoçlenov yz klassa �m. A ymenno, on pokazal, çto
Em([–,]) 11 =
1
21 m−
, m≥1,(2.2)
y πkstremal\n¥m qvlqetsq mnohoçlen
Px m
∗() =
1
21 mmTx
−
(), Tx m() = cos() mx arccos.
S pomow\g lynejnoj zamen¥ lehko proverqetsq, çto dlq lgboho otrezka I =
= [,] ab dlyn¥ I = ba − = 2ρ, ρ>0, velyçyna
EI m() = infPP mCImm ()
:∈ {} �
ymeet znaçenye
EI m() = 2
2
ρ
m
;
sootvetstvenno peresçyt¥vaetsq πkstremal\n¥j mnohoçlen. K prymeru, dlq
otrezka [–,] ρρ takov¥m qvlqetsq mnohoçlen
gx m
∗() = 2
2
ρ
ρ
m
mT
x
.(2.3)
Dlq kompaktnoho podmnoΩestva Q⊂R poloΩym
EQ m() = infPP mCQmm ()
:∈ {} �.(2.4)
H. Pojq yzuçal naymen\ßee znaçenye
Em() 2ρ = inf():() EQQ m∈ {} Q2ρ(2.5)
velyçyn¥ (2.4) po semejstvu Q = Q() 2ρ vsex kompaktn¥x podmnoΩestv Q⊂R
çyslovoj osy, mera kotor¥x ravna fyksyrovannomu çyslu 2ρ, ρ>0, y doka-
zal sledugwee utverΩdenye (sm., naprymer, [5, c. 23]).
Teorema 2.1. Pry lgbom ρ>0 dlq lgboho mnoΩestva Q∈Q() 2ρ v¥pol-
nqetsq neravenstvo
EQ m() ≥ 2
2
ρ
m
,
pryçem znak ravenstva dostyhaetsq lyß\ v tom sluçae, kohda Q est\ otrezok
(dlyn¥ 2ρ). Kak sledstvye,
Em() 2ρ = 2
2
ρ
m
.(2.6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
294V. V. ARESTOV
3. Dokazatel\stvo teorem¥ 1.1. Svqz\ zadaç.
Lemma 3.1. Pry lgb¥x m≥1, y>1 v zadaçe (1.4) suwestvuet πkstre-
mal\n¥j mnohoçlen; vse nuly πkstremal\noho mnohoçlena vewestvenn¥ y leΩat
na otrezke [–,] 11.
Dokazatel\stvo. Mnohoçlen¥ fy mm ∈P() moΩno zapysat\ v vyde
fx m() = yxz m
k
k
m
21
1
−
=
− ∏(),(3.1)
hde {} zkk
m
=1 — (neobqzatel\no vewestvenn¥e) korny mnohoçlena fm. Pry kaΩ-
dom k , 1 ≤ k ≤ m , oboznaçym çerez xk toçku otrezka I = [–,] 11, blyΩaj-
ßug k toçke zk v kompleksnoj ploskosty C . PoloΩym
"fx m() = yxx m
k
k
m
21
1
−
=
− ∏().
∏to est\ mnohoçlen yz Pmy(), vse korny kotoroho leΩat na I . Pry πtom v¥-
polnqetsq neravenstvo
"fx m() ≤ fx m(), x∈I. Esly mnohoçlen fm ymeet
xotq b¥ odyn koren\ vne I , to vsgdu, krome kornej mnohoçlena fm, prynad-
leΩawyx I , πto neravenstvo budet strohym y, kak sledstvye, ymeet mesto
strohoe neravenstvo µ() "fm < µ() fm. Sledovatel\no, dejstvytel\no, v zadaçe
(1.4) moΩno ohranyçyt\sq mnohoçlenamy, vse m kornej kotor¥x prynadleΩat
otrezku I .
Funkcyonal µ() fm, fy mm ∈P(), qvlqetsq neprer¥vnoj funkcyej kornej
mnohoçlena fm. Na kompakte Im πta funkcyq dostyhaet svoeho naymen\ßeho
znaçenyq.
Lemma dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 1.1. Pust\ fy mm ∈P() est\ πkstremal\n¥j
mnohoçlen zadaçy (1.4). Eho moΩno predstavyt\ v vyde
fx m() = ygx m
m 21−(), gx m() = () xxj
j
m
−
=
∏
1
;(3.2)
mnohoçlen gm prynadleΩyt mnoΩestvu �m (y, v sylu lemm¥ 3.1, vse eho
korny leΩat na [–,] 11). Rassmotrym dva (kompaktn¥x) mnoΩestva
Hm = xfx m ∈≥ {} [–,]:() 111,
Gm = xfx m ∈≤ {} [–,]:() 111 = xgxy m
m ∈≤ {} −− [–,]:()() 11211;
ymeem HG mm + = 2 y Hm = σmy(). PoloΩym ρ = 12 −σmy()/, tohda
2ρ = 2−σmy() = Gm.(3.3)
V sylu opredelenyq (2.5) y utverΩdenyq (2.6) spravedlyva cepoçka sootno-
ßenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
ALHEBRAYÇESKYE MNOHOÇLENÁ, NAYMENEE UKLONQGWYESQ OT NULQ … 295
2
2
ρ
m
= Em() 2ρ ≤ EG mm () ≤ gmCGm ()
=
1
21 ym−
.(3.4)
Otsgda sleduet, çto
2ρ ≤ 21 ym −/.(3.5)
Sootnoßenyq (3.3) y (3.5) dagt dlq velyçyn¥ (1.4) sledugwug ocenku snyzu:
σmy() = 22 −ρ ≥ 211 − () −ym/.(3.6)
Mnohoçlen (1.6) prynadleΩyt mnoΩestvu Pmy() y daet ocenku, obratnug
(3.6). Takym obrazom, ravenstvo (1.5) provereno. Odnovremenno dokazano, çto
mnohoçlen (1.6) qvlqetsq πkstremal\n¥m v zadaçe (1.4). Oçevydno, çto tohda y
vse mnohoçlen¥ (1.7) budut πkstremal\n¥my. Ubedymsq, çto druhyx πkstre-
mal\n¥x mnohoçlenov net.
PredpoloΩym, çto mnohoçlen fy mm ∈P() qvlqetsq πkstremal\n¥m v zada-
çe (1.4) y gmm ∈� est\ mnohoçlen, svqzann¥j s fm sootnoßenyem (3.2). Na
πtyx mnohoçlenax vse neravenstva (3.4), y, kak sledstvye, (3.5), obratqtsq v ra-
venstvo. V sylu teorem¥ 2.1 ravenstvo Em() 2ρ = EG mm () oznaçaet, çto mno-
Ωestvo Gm qvlqetsq otrezkom [,] hh −+ ρρ dlyn¥ 2ρ, ρ = ym −1/. ∏tot ot-
rezok prynadleΩyt [–,] 11. Sledovatel\no, Gm = [,] hh −+ ρρ , h ≤ 1−ρ .
Ravenstvo EG mm () = gmCGm ()
vleçet teper\, çto gm qvlqetsq sootvetst-
vugwym sdvyhom mnohoçlena (2.3). Kak sledstvye, fx m() = Tyxh m
m 1/() − ().
Teorema 1.1 dokazana.
Yz dokazatel\stva teorem¥ 1.1 (a, vproçem, formal\no yz formulyrovok te-
orem 1.1 y 2.1) vydno, çto spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Teorema 3.1. Zadaçy (1.4) y (2.5) svqzan¥ sootnoßenyqmy
Em() 2ρ =
1
21 ym−
, 2 = 2ρσ +my(), ρ = ym −1/, y>1.(3.7)
4. Mnohoçlen¥, naymenee uklonqgwyesq ot nulq otnosytel\no yn-
tehral\n¥x funkcyonalov. Zadaça o mnohoçlenax s fyksyrovann¥m starßym
koπffycyentom, naymenee uklonqgwyxsq ot nulq, yzuçena ne tol\ko otnosy-
tel\no ravnomernoj norm¥. Ona xoroßo yssledovana (sm., naprymer, [6], § 15) v
prostranstvax L
p
(,) −11, 1≤<∞ p, nadelenn¥x normoj
f
L
p
(,) −11
=
1
2
1
11
fxdx
p
p
()
/
−
∫
.(4.1)
Vproçem, lyß\ pry p = 1 y p = 2 mnohoçlen¥ naymen\ßeho uklonenyq v¥py-
san¥ qvno; a ymenno, takov¥my qvlqgtsq (pry sootvetstvugwej normyrovke)
mnohoçlen¥ Çeb¥ßeva vtoroho roda () p=1 y mnohoçlen¥ LeΩandra () p=2
(sm., naprymer, [7], § 2.9). Mnohoçlen¥, naymenee uklonqgwyesq ot nulq, yz-
vestn¥ [8] ewe v prostranstve L011 (,) −, a toçnee, otnosytel\no funkcyonala
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
296V. V. ARESTOV
f
L011 (,) − = expln()
1
2
1
1
fxdx
−
∫
.(4.2)
Pust\ teper\ Φ — mnoΩestvo funkcyj ϕ , opredelenn¥x, neotrycatel\n¥x
y neub¥vagwyx na poluosy [,) 0+∞. V dannom punkte budet obsuΩdat\sq za-
daça o mnohoçlenax, naymenee uklonqgwyxsq ot nulq otnosytel\no yntehral\-
n¥x funkcyonalov
ϕfxdx () ()
−
∫
1
1
, ϕ∈Φ.(4.3)
Vo mnoΩestve Pm alhebrayçeskyx mnohoçlenov porqdka m rassmotrym
lynejn¥j operator Am, kotor¥j mnohoçlenu (1.1) sopostavlqet eho starßug
komponentu, normyrovannug mnoΩytelem 21 −− () m:
()() Aft mm = 21 −− () m
m
m ax, fmm ∈P.(4.4)
Netrudno ponqt\, çto zadaça o mnohoçlene, naymenee uklonqgwemsq ot nulq
otnosytel\no (proyzvol\noj) norm¥ na prostranstve Pm, πkvyvalentna prob-
leme v¥çyslenyq norm¥ operatora (4.4). V çastnosty, rezul\tat P. L. Çeb¥ße-
va (2.2) oznaçaet, çto norma operatora (4.4) na mnoΩestve Pm s ravnomernoj
normoj ravna edynyce.
Dlq funkcyy ϕ∈Φ oboznaçym çerez cm() ϕ naymen\ßug konstantu v ne-
ravenstve
ϕ21
1
1
−−
−
() ∫() m
m
m axdx ≤ cfxdx mm ()() ϕϕ()
−
∫
1
1
, fmm ∈P.(4.5)
PoloΩym
cm
∗ = sup(): cmϕϕ∈ {} Φ.(4.6)
NyΩe v teoreme 4.1 budet ukazano toçnoe znaçenye πtoj velyçyn¥.
Klassu Φ prynadleΩyt, v çastnosty, funkcyq ϕ∗, opredelennaq sootno-
ßenyqmy
ϕ∗() u =
001
11
,[,),
,[,).
u
u
∈
∈+∞
(4.7)
Dlq πtoj funkcyy funkcyonal¥ (4.3) y (1.2) sovpadagt:
ϕ∗
−
() ∫fxdx m()
1
1
= µ() fm.(4.8)
Poπtomu velyçyna αm = cm() ϕ∗ qvlqetsq naymen\ßej konstantoj v nera-
venstve
µ() () 21 −− m
m
m ax ≤ αµ mmf (), fmm ∈P.(4.9)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
ALHEBRAYÇESKYE MNOHOÇLENÁ, NAYMENEE UKLONQGWYESQ OT NULQ … 297
Teorema 4.1. Pry lgbom m≥1 ymegt mesto ravenstva
cm
∗ = αm = 1.(4.10)
Teorema 4.1 v¥tekaet yz pryvedenn¥x nyΩe lemm 4.1 y 4.2.
Rassmotrym neskol\ko bolee obwug sytuacyg. Pust\ Λm — proyzvol\n¥j
lynejn¥j operator v Pm. Dlq funkcyy ϕ∈Φ oboznaçym çerez cm() ϕ =
= cmm (,) Λϕ nayluçßug (naymen\ßug vozmoΩnug) konstantu v neravenstve
ϕ()() Λmmftdt ()
−
∫
1
1
≤ cftdt mmm (,)() Λϕϕ()
−
∫
1
1
, fmm ∈P.(4.11)
Otmetym, çto, naprymer, dlq funkcyy ϕpu() = up konstanta () (,)/ cmmp
p Λϕ1
qvlqetsq normoj operatora Λm na podprostranstve Pm, nadelennom normoj
prostranstva Lp. Predstavlqet ynteres naybol\ßaq yz konstant cmm (,) Λϕ,
t. e. velyçyna
cmm () Λ = sup(,): cmm ΛΦ ϕϕ∈ {}.(4.12)
V sylu (4.8) velyçyna αmm () Λ = cmm (,) Λϕ∗ qvlqetsq naymen\ßej kon-
stantoj v neravenstve
µ() Λmmf ≤ αµ mmmf ()() Λ, fmm ∈P.(4.13)
Na mnoΩestve tryhonometryçeskyx polynomov neravenstva typa (4.13) yzuçal
A. H. Babenko [9] v 1992 hodu. On poluçyl dvustoronnye ocenky konstant¥ v ta-
kom neravenstve dlq dovol\no ßyrokoho klassa operatorov y, v çastnosty, dlq
klassyçeskyx operatorov vzqtyq starßej harmonyky y dyfferencyrovanyq.
Esly Λm/≡0, to
αmm () Λ ≥ 1.(4.14)
Dejstvytel\no, predpoloΩym, çto mnohoçlen fmm ∈P obladaet svojstvom
Λmmf/≡0. Rassmotrym semejstvo mnohoçlenov {} , ufu m>0. Ymeem
µ() ufm = mestftu m ∈≥ {} [–,]:()/ 111 → 2, u→+∞.
Takoe Ωe svojstvo ymeet y velyçyna µ(()) Λmm uf = µ(()) uf mm Λ. Podstavlqq
funkcyy {} , ufu m>0 v (4.13), poluçaem neravenstvo (4.14).
Funkcyq (4.7) prynadleΩyt klassu Φ, poπtomu ymeet mesto neravenstvo
αmm () Λ ≤ cmm () Λ. Na samom Ωe dele dve poslednye velyçyn¥ sovpadagt.
∏tot fakt, v obwem-to, qsen. V klasse tryhonometryçeskyx polynomov on do-
kazan v [10]; dlq polnot¥ yzloΩenyq pryvedem eho dokazatel\stvo v Pm.
Lemma 4.1. Pry lgbom m≥1 dlq lgboho odnorodnoho (v çastnosty, ly-
nejnoho) operatora Λm v Pm ymeet mesto ravenstvo
supcmm (,): ΛΦ ϕϕ∈ {} = αmm () Λ.(4.15)
Dokazatel\stvo. Esly Λm≡0, to obe velyçyn¥ v (4.15) ravn¥ nulg.
Budem sçytat\, çto Λm/≡0. Na dannom πtape ymeem 1≤≤ αmmmm c ()() ΛΛ.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
298V. V. ARESTOV
Dlq obosnovanyq lemm¥ ostalos\ dokazat\, çto dlq lgboj funkcyy ϕ∈Φ
v¥polnqetsq neravenstvo
cm() ϕ = cmm (,) Λϕ ≤ αmm () Λ;
pry πtom moΩno sçytat\, çto αmm () Λ<+∞.
Oboznaçym çerez Φc mnoΩestvo funkcyj ϕ , neprer¥vn¥x, neotrycatel\-
n¥x y neub¥vagwyx na poluosy [,) 0∞ so svojstvom ϕ() 00 =. PredpoloΩym
vnaçale, çto ϕ∈Φc. Pust\ f — yzmerymaq, ohranyçennaq funkcyq na [–,] 11,
k prymeru, ffmm =∈P. Rassmotrym xarakterystyçeskug funkcyg
λ() u = λ(;) uf = mestftu ∈≥ {} [–,]:() 11, u∈∞ [,) 0,(4.16)
funkcyy f. Kak yzvestno (sm., naprymer, [11], §10.12, vproçem, πto lehko pro-
veryt\ samostoqtel\no), ymeet mesto formula
ϕftdt () ()
−
∫
1
1
= – ϕλ ()() udu
0
∞
∫.
Vzqv poslednyj yntehral po çastqm, poluçym predstavlenye
ϕftdt () ()
−
∫
1
1
= λϕ ()() udu
0
∞
∫.(4.17)
Pry lgbom u>0 ymeem (sm. (4.16))
λ(;) uf = λ1;
f
u
= µ
f
u
.
Poπtomu dlq lgboho mnohoçlena fm pry lgbom u>0 v¥polnqetsq neraven-
stvo
λ() ; uf mm Λ ≤ αλ mmm uf (); () Λ.(4.18)
Poskol\ku αmm () Λ≥1, πto neravenstvo ymeet mesto y pry u=0. V sylu
(4.17) y (4.18) ymeem
ϕΛmmftdt () ()
−
∫
1
1
= λϕ () ;() ufdu mm Λ
0
∞
∫ ≤
≤ αλϕ mmm ufdu ();() () Λ
0
∞
∫ = αϕ mmmftdt ()() Λ()
−
∫
1
1
.
Sledovatel\no, esly ϕ∈Φc, to cm() ϕ ≤ αmm () Λ.
Rassmotrym proyzvol\nug funkcyg ϕ∈Φ. Ona ymeet ne bolee çem sçet-
noe mnoΩestvo toçek razr¥va; oboznaçym πto mnoΩestvo çerez UU=() ϕ.
MoΩno sçytat\, çto v kaΩdoj toçke razr¥va u>0 funkcyq ϕ neprer¥vna
sprava. Funkcyg ϕ moΩno predstavyt\ v vyde summ¥ ϕϕϕ =+ cs neprer¥v-
noj funkcyy ϕcc ∈Φ y funkcyy skaçkov ϕs. Dlq funkcyy ϕc (po dokazan-
nomu) ymeem cmc () ϕ ≤ αmm () Λ. Ubedymsq, çto takoe Ωe neravenstvo ymeet
mesto y dlq funkcyy ϕs. Neravenstvo (4.18) moΩno ynterpretyrovat\ kak ne-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
ALHEBRAYÇESKYE MNOHOÇLENÁ, NAYMENEE UKLONQGWYESQ OT NULQ … 299
ravenstvo cmu () δ ≤ αmm () Λ dlq funkcyy skaçka δu v toçke u>0, oprede-
lennoj formulamy
δut() =
00
1
,,
,.
≤<
≥
tu
tu
V sylu neravenstva (4.14) funkcyq skaçka v toçke 0
δ0()t =
00
10
,,
,,
t
t
=
>
obladaet πtym Ωe svojstvom. Funkcyq ϕs predstavyma v vyde
ϕs = quu
uU
()δ
∈
∑,
hde qu()≥0 est\ velyçyna skaçka v toçke razr¥va u funkcyy ϕ . Otsgda sle-
duet, çto dlq funkcyy skaçkov ϕs dejstvytel\no v¥polnqetsq neravenstvo
cms () ϕ ≤ αmm () Λ. Okonçatel\no ymeem cm() ϕ = maxcc mcms (),() ϕϕ {} ≤
≤ αmm () Λ.
Lemma dokazana.
Lemma 4.2. Pry lgbom m≥1 dlq nayluçßej konstant¥ αm v neraven-
stve (4.9) ymeet mesto formula
αm = 1.(4.19)
Dokazatel\stvo. Dlq konstant¥ αm spravedlyva formula
αm =
sup
()
:
() () µ
µ
21 −−
∗ ∈
m
m
m
m
m
ax
f
fm P;(4.20)
zdes\ verxnqq hran\ beretsq po mnoΩestvu Pm
∗
mnohoçlenov fmm ∈P, dlq koto-
r¥x µ() fm>0 yly, çto to Ωe samoe, fmC[–,] 11
= max():[–,] fxx m∈ {} 11 >
> 1 . Predstavym starßyj koπffycyent mnohoçlena fmm ∈∗ P v vyde am =
= ym21−. Tohda, ysxodq yz predstavlenyq (4.20), moΩem zapysat\
αm = sup
()
()
y
m
m
yx
y >1
µ
σ
.
Pry y>1 ymeem
µ() yxm = 211 − () −ym/.
Prymenqq teoremu 1.1, poluçaem
αm = sup
()
() /
y
m
m
yx
y >− − 1
1 21
µ
= 1;
tem sam¥m ravenstvo (4.19) provereno.
Lemma dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
300V. V. ARESTOV
Teorema 4.1 v sylu lemm¥ 4.2 qvlqetsq çastn¥m sluçaem lemm¥ 4.1.
Sledstvye. Dlq lgboj funkcyy ϕ∈Φ vo mnoΩestve Pm pry m≥1
ymeet mesto neravenstvo
ϕfxdx m() ()
−
∫
1
1
≥ ϕ21
1
1
−−
−
() ∫() m
m
m axdx, fmm ∈P.(4.21)
Pry lgbom m≥1 na klasse vsex funkcyj ϕ∈Φ (a ymenno, na funkcyy (4.7))
neravenstvo (4.21) neuluçßaemo.
Dlq sravnenyq otmetym sledugwyj fakt. V prostranstve L111 (–,) nayme-
nee uklonqgwymsq ot nulq (so starßym koπffycyentom, ravn¥m 1) qvlqetsq
normyrovann¥j mnohoçlen Çeb¥ßeva vtoroho roda (sm., naprymer, [7], p. 2.9.31)
Ux m() =
1
2
1
12 m
mx
x
sin() +
−
arccos
y pry πtom
Uxdx m()
−
∫
1
1
=
1
21 m−
.
Sledovatel\no, dlq funkcyy ϕ1() u = u nayluçßej v neravenstve (4.5) qvlq-
etsq konstanta
cm() ϕ1 =
2
1 m+
.
1.Suetyn P. K. Klassyçeskye ortohonal\n¥e mnohoçlen¥. – M.: Nauka, 1979.
2.Arestov V. V., Mendelev A. S. O tryhonometryçeskyx polynomax, naymenee uklonqgwyxsq
ot nulq // Dokl. AN. – 2009. – 425, # 6. – S. 733 – 736.
3.Smyrnov V. Y., Lebedev N. A. Konstruktyvnaq teoryq funkcyj kompleksnoho peremennoho.
– M.; L.: Nauka, 1964.
4.Çeb¥ßev P. L. Teoryq mexanyzmov, yzvestn¥x pod nazvanyem parallelohrammov. Polnoe
sobranye soçynenyj P. L. Çeb¥ßeva: V 5 t. T. 2. Matematyçeskyj analyz. – M.; L.: Yzd-vo
AN SSSR, 1947. – S. 23 – 51.
5.Bernßtejn S. N. ∏kstremal\n¥e svojstva polynomov. – M.: ONTY, 1937.
6.Nykol\skyj S. M. Kvadraturn¥e formul¥. – M.: Nauka, 1979.
7.Tyman A. F. Teoryq pryblyΩenyq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Fyzmat-
hyz, 1960.
8.Hlaz¥ryna P. G. Neravenstvo brat\ev Markov¥x v prostranstve L0 na otrezke // Mat. za-
metky. – 2005. – 78, # 1. – S. 59 – 65.
9.Babenko A. H. Neravenstva slaboho typa dlq tryhonometryçeskyx polynomov // Tr. Yn-ta
matematyky y mexanyky Ural. otd-nyq RAN. – 1992. – 2. – S. 34 – 41.
10.Arestov V. V. Nekotor¥e πkstremal\n¥e zadaçy dlq tryhonometryçeskyx polynomov otno-
sytel\no funkcyonalov typa ϕ - norm¥ // Tr. MeΩdunar. let. mat. ßkol¥ S. B. Steçkyna po
teoryy funkcyj. – Tula: Yzd-vo Tul. un-ta, 2007. – S. 18 – 21.
11.Xardy H., Lyttl\vud DΩ., Polya H. Neravenstva. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1948.
Poluçeno 19.10.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3
|