О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь

Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами,...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Український математичний журнал
Date:	2010
Main Author:	Буслаев, В.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут математики НАН України 2010
Subjects:	Статті
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164729
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164729
record_format	dspace
spelling	Буслаев, В.И. 2020-02-10T15:02:38Z 2020-02-10T15:02:38Z 2010 О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164729 517.5 Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами, інше доведення теореми Гончара про гіпотезу Лейтона, оцінку зверху радіуса кола мероморфності функції, що задана С-дробом. We obtain explicit formulas that express the Hankel determinants of functions given by their expansions in continued P-fractions in terms of the parameters of the fraction. As a corollary, we obtain a lower bound for the capacity of the set of singular points of these functions, an analog of the van Vleck theorem for P-fractions with limit-periodic coefficients, another proof of the Gonchar theorem on the Leighton conjecture, and an upper bound for the radius of the disk of meromorphy of a function given by a C-fraction. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь On Hankel determinants of functions given by their expansions in P-fractions Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
spellingShingle	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь Буслаев, В.И. Статті
title_short	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_full	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_fullStr	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_full_unstemmed	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь
title_sort	о ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в p-дробь
author	Буслаев, В.И.
author_facet	Буслаев, В.И.
topic	Статті
topic_facet	Статті
publishDate	2010
language	Russian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	On Hankel determinants of functions given by their expansions in P-fractions
description	Одержано явні формули, що виражають ганкелеві визначники функцій, які задано своїм розвиненням у неперервний P-дріб, через параметри дробу. Як наслідок отримано оцінку знизу ємності множини особливих точок таких функцій, аналог теореми Ван Флека для P-дробів з граничними періодичними коефіцієнтами, інше доведення теореми Гончара про гіпотезу Лейтона, оцінку зверху радіуса кола мероморфності функції, що задана С-дробом. We obtain explicit formulas that express the Hankel determinants of functions given by their expansions in continued P-fractions in terms of the parameters of the fraction. As a corollary, we obtain a lower bound for the capacity of the set of singular points of these functions, an analog of the van Vleck theorem for P-fractions with limit-periodic coefficients, another proof of the Gonchar theorem on the Leighton conjecture, and an upper bound for the radius of the disk of meromorphy of a function given by a C-fraction.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164729
citation_txt	О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь / В.И. Буслаев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 315–326. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT buslaevvi ogankelevyhopredelitelâhfunkciizadannyhsvoimrazloženiemvpdrobʹ AT buslaevvi onhankeldeterminantsoffunctionsgivenbytheirexpansionsinpfractions
first_indexed	2025-11-26T20:30:34Z
last_indexed	2025-11-26T20:30:34Z
_version_	1850773609293807616
fulltext	UDK 517.5 V. Y. Buslaev (Mat. yn-t RAN, Moskva, Rossyq) O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX SVOYM RAZLOÛENYEM V P - DROB\| ∗∗∗∗ We obtain explicit formulas expressing the Hankel determinants of functions, which are given by their own expansion in a continuous P-fraction, in terms of parameters of the fraction. As corollaries, we establish an estimate from below for a set of singular points of functions of this sort, prove an analog of the Van Vliek theorem for P-fractions with ultimately periodic coefficients, present another proof of the Gonchar theorem on the Layton hypothesis, and obtain an estimate from above for a radius of meromorphy disk of a function given by C-fraction. OderΩano qvni formuly, wo vyraΩagt\ hankelevi vyznaçnyky funkcij, qki zadano svo]m rozvy- nennqm u neperervnyj P-drib, çerez parametry drobu. Qk naslidok otrymano ocinku znyzu [mno- sti mnoΩyny osoblyvyx toçok takyx funkcij, analoh teoremy Van Fleka dlq P-drobiv z hra- nyçnymy periodyçnymy koefici[ntamy, inße dovedennq teoremy Honçara pro hipotezu Lejtona, ocinku zverxu radiusa kola meromorfnosti funkci], wo zadana C-drobom. 1. Formulyrovka osnovnoj teorem¥ y ee dokazatel\stvo. Napomnym, çto P-drob\g naz¥vaetsq neprer¥vnaq drob\ a b a b a b 1 1 2 2 3 3 () () () ξ ξ ξ + + +… ,(1) hde ak∈C\{}0, bk() ξ, k = 1, 2, … , — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym ko- πffycyentom. Dalee budem predpolahat\, çto stepeny βk mnohoçlenov bk() ξ takov¥, çto bb kk −+> 10, k = 1, 2, … , β00 =. Tohda nk = nkk −+1β > nk−2, hde nk = ββ 1+…+k. Yz πtoho predpoloΩenyq y trexçlenn¥x rekurrentn¥x sootnoßenyj Pk() ξ = bPaP kkkk ()()() ξξξ −− + 12, (2) Qk() ξ = bQaQ kkkk ()()() ξξξ −− + 12, k = 1, 2, … , dlq çyslytelej {} () Pkk ξ= ∞ 1 y znamenatelej {} () Qkk ξ= ∞ 1 podxodqwyx drobej P- droby (1) y naçal\n¥x uslovyj P−1() ξ = 1, P0() ξ = 0, Q−1() ξ = 0, Q0() ξ = 1 yndukcyej po k = 1, 2, … poluçaem, çto mnohoçlen Qk ymeet stepen\ nk y edynyçn¥j starßyj koπffycyent. Yz yzvestnoho ravenstva P Q P Q k k k k () () () () ξ ξ ξ ξ −− − 1 1 = A QQ k kk −1()() ξξ , Ak = () −… − 11 1 k k aa (qvlqgwehosq prost¥m sledstvyem rekurrentn¥x sootnoßenyj (2)), v okrest- nosty toçky ξ = ∞ poluçaem ravenstvo ∗ Çastyçno podderΩana prohrammoj OMN RAN „Sovremenn¥e problem¥ teoretyçeskoj matema- tyky" y Rossyjskym fondom fundamental\n¥x yssledovanyj (hrant¥ #08-01-00317 y #09-01- 12160-ofy-m). © V. Y. BUSLAEV, 2010 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3315 316V. Y. BUSLAEV P Q P Q k k k k () () () () ξ ξ ξ ξ −− − 1 1 = Ak nn kk ξ−+ −+… () 1 .(3) Poskol\ku nn kk −+1 < nn kk ++1, ravenstvo (3) pozvolqet standartn¥m obra- zom postavyt\ v sootvetstvye P-droby (1) stepennoj rqd (vozmoΩno, formal\- n¥j) fp p p ξ− = ∞ ∑1 takoj, çto f P Q p p p k k ξ ξ ξ − = ∞ ∑− 1 () () = Ak nn kk + −+++… 1 1 ξ(), k = 1, 2, … .(4) Lehko vydet\, çto esly P-drob\ (1) sxodytsq v okrestnosty toçky ξ=∞ k ho- lomorfnoj funkcyy f, to f() ξ = P Q P Q P Q k k j j j j j () () () () () () ξ ξ ξ ξ ξ ξ +−     + + 1 1 == ∞ ∑ k = P Q A QQ k k j jj jk () ()()() ξ ξξξ ++ + = ∞ ∑1 1 y, sledovatel\no, rqd, kotor¥j stavytsq v sootvetstvye P-droby (1), qvlqetsq sxodqwymsq stepenn¥m rqdom, sovpadagwym s razloΩenyem v rqd predel\noj funkcyy f v okrestnosty toçky ξ = ∞ . Neprer¥vnaq drob\ az az az 1 2 3 1 2 3 1 1 1 α α α + + +… ,(5) hde ak∈C\{}0, αk∈N, k = 1, 2, … , naz¥vaetsq C-drob\g. Esly αk=1 pry vsex k = 1, 2, … , to C-drob\ naz¥vaetsq pravyl\noj. Esly natural\n¥e pokazately αα 12 ,,… udovletvorqgt uslovyg ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 () ≥ 0, k = 1, 2, … ,(6) to C-drob\ (5) moΩno predstavyt\ v vyde az az az 1 2 3 01 12 23 1 1 1 ββ ββ ββ + + + + + +… ,(7) hde β00 =, βk = ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 (), k = 1, 2, … ,(8) y πkvyvalentn¥m preobrazovanyem neprer¥vn¥x drobej pryvesty k P-droby a a a 1 2 3 1 2 3 ξ ξ ξ β β β + + +… ,(9) hde ξ = z−1. Pry πtom βk∈+ Z y ββ kk −+1 = αk > 0, k = 1, 2, … . V çast- nosty, pravyl\naq C-drob\ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 317 az az az 1 2 3 1 1 1 + + +… (10) πkvyvalentn¥m preobrazovanyem pryvodytsq k P-droby a a a 1 2 3 1 ξ ξ + + +… .(11) V teoryy neprer¥vn¥x drobej vaΩnug rol\ yhragt qvn¥e formul¥, poz- volqgwye v¥razyt\ hankelev¥ opredelytely rqda, sootvetstvugweho nepre- r¥vnoj droby, çerez parametr¥ neprer¥vnoj droby. V çastnosty, v sluçae pra- vyl\noj C-droby (10), kotoroj sootvetstvuet stepennoj rqd fz p p p= ∞ ∑1 , yme- gt mesto sledugwye formul¥: ff ff k kk 1 21 … ……… …− = aaaaaaa kk kkkk 123 1 2423 2 2221 1 ()()() − −−−− …(12) (sm. [1, c. 221], hde πty formul¥ pryveden¥ v vyde ravenstv, πkvyvalentn¥x ra- venstvam (12)). V dannoj stat\e formul¥ (12), spravedlyv¥e dlq pravyl\noj C-droby (10) yly, çto to Ωe samoe, dlq P-droby (11), rasprostranqgtsq na sluçaj obwyx P- drobej (1). A ymenno, v stat\e dokaz¥vaetsq sledugwaq teorema. Teorema. Pust\ stepennoj rqd f() ξ = fp p p ξ− = ∞ ∑1 sootvetstvuet P- droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym ko- πffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+> 10, k = 1, 2, … , β0 = = 0. Tohda s toçnost\g do znaka ymeet mesto ravenstvo ∆ n f k = aj nn j k kj − = − ∏1 1 ,(13) hde ∆n f = ff ff n nn 1 21 … ……… …− , nk = ββ 1+…+k. Zametym, çto dlq P- droby (11) nnk kk 212 −== y ravenstva (13) sovpadagt s ravenstvamy (12). Qvnoe v¥raΩenye dlq znaka v ravenstve (13) ne pryvodytsq v sylu eho hro- mozdkosty y nenuΩnosty v pryvodym¥x nyΩe pryloΩenyqx teorem¥. Vmeste s tem otmetym, çto znak v ravenstve (13) moΩno prosledyt\ po xodu dokazatel\- stva teorem¥. Dokazatel\stvo teorem¥. Yz ravenstva (4) pry k=1 vydno, çto perv¥e nn 121 +− ≥ 21 1n− koπffycyentov rqda fp p p ξ− = ∞ ∑1 sovpadagt s sootvet- stvugwymy koπffycyentamy pervoj podxodqwej droby ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 318V. Y. BUSLAEV P Q 1 1 () () ξ ξ = a b 1 1() ξ = an 1 1 ξ− + … . Poπtomu fk=0 pry k = 1, … , n11 − y fa n11 =, Sledovatel\no, ∆ n f 1 = 01 121 1 … ……… … a afn− = an 1 1(14) (s toçnost\g do znaka). PokaΩem, çto pry vsex j = 1, 2, … s toçnost\g do zna- ka ymegt mesto ravenstva ∆n f j+1 = () aaj nn n f jj j 11 1 …+ − +∆.(15) Dejstvytel\no, esly nn jj +=1, to ravenstvo (15) tryvyal\no. Poπtomu budem predpolahat\, çto nn jj +>1. UmnoΩaq ravenstvo (4) pry k = j na Qj() ξ = ξξ n j n jn jj j qq ++…+ − ,, 1 1 , v okrestnosty toçky ξ = ∞ poluçaem ravenstvo () ,,() qqfP jnj nn p p p j j jj +…++− −− = ∞ ∑ 1 1 1 ξξξξ = Aj nj + −+ 1 1 ξ + … .(16) Pryravnyvaq meΩdu soboj koπffycyent¥ pry ξξ −− …+ 11 ,, nj v levoj y pravoj çastqx ravenstva (16), poluçaem systemu ravenstv qfqff jnjnn jjj ,, 111 +…+++ = 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(17) qfqff jnnjnnnn jjjjjj ,, +++ −+−+− +…++ 111 1121 = 0, qfqff jnnjnnnn jjjjjj ,, +++ +…++ +−+ 111 11 = Aj+1. Ne menqq znaçenyq opredelytelq ∆ n f j+1 = ffff ffff nnn nnnnn jjj jjjj 11 212 1 …… ……………… …… + −+ + jj jjjjj j ffff f nnnnn n + + + − +++ 1 1 1 1 1221 …… ……………… …ffff nnnnn jjjjj +−+− +++ 111 121 … , dobavym k eho poslednemu, nj+1-mu, stolbcu lynejnug kombynacyg pred¥du- wyx nj stolbcov s koπffycyentamy qq jjnj ,, ,, 1…. Zatem sdelaem to Ωe samoe ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 319 s predposlednym, () nj+−11-m, stolbcom y t. d. do () nj+1-ho stolbca vklgçy- tel\no. Tohda perv¥e nj stolbcov opredelytelq ∆ n f j+1 ne yzmenqtsq, v sylu ravenstv (17) () np j+−+ 11-j πlement (pry numeracyy sverxu vnyz) () np j+-ho stolbca budet raven Aj+1, a vse πlement¥ v¥ße v πtom stolbce budut ravn¥ nulg (,,) pnn jj =…− + 11. Otsgda poluçaem (s toçnost\g do znaka) ravenstvo ∆ n f j+1 = ∆ n f j nn j jj A+ − + 1 1, sovpadagwee s uçetom opredelenyq çysel Aj+1 = = () −…+ 111 j j aa s ravenstvom (15) (s toçnost\g do znaka). Posledovatel\no yspol\zuq ravenstva (15) pry j = k – 1, … , 1 y uçyt¥vaq ravenstvo (14), poluçaem ravenstvo ∆ n f k = () aaj nn j k jj 1 1 1 …− = − ∏ (s toçnost\g do znaka), sovpadagwee s ravenstvom (13). Teorema dokazana. Yzvestnaq teorema Polya [2] utverΩdaet, çto esly K — kompakt kompleks- noj ploskosty y f — funkcyq, holomorfnaq v toçke ξ = ∞ y dopuskagwaq meromorfnoe prodolΩenye v C\K, to lim / n n fn →∞ ∆ 12 ≤ cap() K,(18) hde ∆n f — opredelenn¥e v¥ße hankelev¥ opredelytely funkcyy f() ξ = = fp p p ξ− = ∞ ∑0 , cap() K — (loharyfmyçeskaq) emkost\ kompakta K . Poπtomu kak sledstvye dokazannoj teorem¥ y teorem¥ Polya poluçaem dva sledugwyx utverΩdenyq. Sledstvye 1. Pust\ P-droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto βk−1 + + βk > 0, k = 1, 2, … , β00 =, sootvetstvuet neformal\n¥j stepennoj rqd, sxodqwyjsq v okrestnosty toçky ξ = ∞ k funkcyy, dopuskagwej meromorf- noe prodolΩenye v nekotorug oblast\ G ! ∞ . Tohda cap(\) CG ≥ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 ≥ lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11,(19) hde nk = ββ 1+…+k. Dejstvytel\no, pervoe neravenstvo v (19) sleduet yz (18) y (13). Çtob¥ ubedyt\sq v spravedlyvosty vtoroho neravenstva v (19), poloΩym A = = lim /() kk nn aaakk →∞ + …− 12 11 Tohda dlq lgboho ε>0 pry vsex jj ≥0 v¥- polnqetsq neravenstvo aaj nn jj 1 1 … −− ≥ () A nn jj −−− ε 2 1 2 . Sledovatel\no, ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 320V. Y. BUSLAEV aj nn j k kj − = − ∏1 1 = () aaj nn j k jj 1 1 1 …− = − ∏ ≥ ≥ ()() () aaA j nn j j nn jjjj jj k 1 1 1 1 02 1 2 0 …− − = −− −− = ∏ε ∑∑ ≥ CAnk () −ε 2 , hde C ne zavysyt ot nk. V sylu proyzvol\nosty çysla ε otsgda sleduet, çto A ≤ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 ≤ lim / k j nn j k n akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 . Sledstvye 1 dokazano. Sledstvye 2. Pust\ P- droby (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto βk−1 + + βk > 0, k = 1, 2, … , β00 =, sootvetstvuet neformal\n¥j stepennoj rqd, sxodqwyjsq v okrestnosty toçky ξ = ∞ k funkcyy f, dopuskagwej me- romorfnoe prodolΩenye v nekotorug oblast\ G ! ∞ , hranycej kotoroj qv- lqetsq kryvaq J takaq, çto cap() J = lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11.(20) Tohda funkcyq f ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty G∗ = Gzz ∪−< {} 0ε, hde zJ 0∈, ε>0. Dejstvytel\no, zametym, çto ymeet mesto strohoe neravenstvo cap(\) CG∗ < cap()J. Poπtomu, predpolahaq, çto funkcyq f meromorfna v oblasty G∗, yspol\zuq neravenstvo (19), v kotorom kompakt C\G zamenqetsq kompaktom C\G∗, y uçyt¥vaq ravenstvo (20), poluçaem protyvoreçye cap()J > cap(\) CG∗ ≥ lim /() k k nn aaakk →∞ + …− 12 11 = cap()J, çto y zaverßaet dokazatel\stvo sledstvyq 2. Esly kryvaq J qvlqetsq zamknutoj Ωordanovoj kryvoj, to v πtom sluçae sledstvye 2 moΩno sformulyrovat\ sledugwym obrazom: vse toçky kryvoj J qvlqgtsq osob¥my toçkamy meromorfnoj funkcyy f (a oblast\ G — este- stvennoj oblast\g suwestvovanyq πtoj funkcyy). V sledugwem punkte budet dokazano, çto prymenytel\no k P- drobqm, πkvy- valentn¥m C-drobqm, sledstvye 2 vleçet za soboj teoremu Honçara [3] o polo- Ωytel\nom otvete na hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej C-droby. 2. Druhoe dokazatel\stvo teorem¥ Honçara o hypoteze Lejtona. V mo- nohrafyy Uolla [4] otmeçeno, çto yz rezul\tatov RamanudΩana sleduet, çto funkcyq, zadannaq neprer¥vnoj drob\g RamanudΩana 1 1 1 2 + + +… z z , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 321 meromorfna v kruhe z<1 y ne ymeet meromorfnoho prodolΩenyq za prede- l¥ πtoho kruha. V 1940 h. Lejton v¥skazal hypotezu, çto analohyçnoe utverΩdenye spraved- lyvo dlq funkcyj, zadann¥x neprer¥vn¥my C-drobqmy (5) takymy, çto αk∈N, lim k k →∞ α = ∞ , ak∈C\{}0, lim / k k ak →∞ 1α = 1.(21) Ravnomernaq sxodymost\ C-droby (5) s naloΩenn¥my na ee parametr¥ uslo- vyqmy (21) v sferyçeskoj metryke vnutry (na kompaktn¥x podmnoΩestvax) kru- ha z<1 sleduet, naprymer, yz yzvestnoho kryteryq Vorpyckoho [5] sxody- mosty neprer¥vn¥x drobej. Kryteryj Vorpyckoho. Neprer¥vnaq drob\ a a a 1 2 3 1 1 1 + + +… sxodytsq, esly an≤14/ pry vsex dostatoçno bol\ßyx n . Takym obrazom, osnovnoe soderΩanye hypotez¥ Lejtona sosredotoçeno v ut- verΩdenyy o nevozmoΩnosty meromorfnoho prodolΩenyq funkcyy, zadannoj C-drob\g (5) s uslovyqmy (21), za predel¥ kruha z<1. Dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… hypoteza Lejtona dokazana A. Honçarom [3]. Teorema (Honçar). Kruh z<1 qvlqetsq estestvennoj oblast\g suwe- stvovanyq meromorfnoj funkcyy, zadannoj C-drob\g (5) s uslovyqmy (21) y ααααα kkkk k −+−+…+− −−− − 123 1 1 1 () > 0, k = 1, 2, … .(22) Oçevydno, çto lgbaq neub¥vagwaq posledovatel\nost\ pokazatelej v sovo- kupnosty s ny na çto ne vlyqgwym predpoloΩenyem αα 21 > udovletvorqet uslovyg (22). Poπtomu teorema Honçara daet poloΩytel\n¥j otvet na hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… . Ranee Skott y Uoll [6] dokazaly hypotezu Lejtona dlq ves\ma specyal\noho sluçaq αk k m= y aa k=, k = 1, 2, … , hde lybo a∈R\0, m — neçetnoe celoe, bol\ßee yly ravnoe 3, lybo a<0, m — celoe, bol\ßee yly ravnoe 2. Tron [7] dokazal hypotezu Lejtona dlq neub¥vagwej posledovatel\nosty pokazatelej αα 12 ,,… pry syl\nom dopolnytel\nom predpoloΩenyy suwest- vovanyq posledovatel\nosty {} µk natural\n¥x çysel takoj, çto limkk →∞µ = = ∞ y µk delyt αn pry vsex nnk ≥(). Zametym, çto teorema Honçara qvlqetsq çastn¥m sluçaem sformulyrovan- noho v pred¥duwem punkte sledstvyq 2 teorem¥, pryçem strohye neravenst- va (22) v teoreme Honçara moΩno zamenyt\ nestrohymy neravenstvamy (6). Dejstvytel\no, kak otmeçalos\ v pervom punkte, C-drob\ (5) s pokazatelqmy, udovletvorqgwymy uslovyg (6), πkvyvalentna P- droby (9), hde βk∈+ Z y ββ kk −+1 = αk > 0, k = 1, 2, … . Poskol\ku P- drob\ (9) πkvyvalentna C-droby (5), k kotoroj moΩno pryme- nyt\ v sylu uslovyj (21) kryteryj Vorpyckoho, P- drob\ (9) sxodytsq ravnomer- no v sferyçeskoj metryke na kompaktax vne edynyçnoho kruha k meromorfnoj funkcyy. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 322V. Y. BUSLAEV Tak kak emkost\ okruΩnosty Jz == {}1 ravna 1 (sm., naprymer, [8]), to uslovye lim / kk ak →∞ 1α = 1 (sm. (21)) vleçet za soboj ravenstvo cap()J = 1 = lim / k k ak →∞ 1α = lim /() k k aak →∞ +…+ …1 11 αα . Uçyt¥vaq, çto nn kk −+1 = ()() ββββ 111 +…+++…+ −kk = αα 1+…+k,(23) poslednee ravenstvo moΩno zapysat\ v vyde ravenstva cap()J = lim /() k k nn aakk →∞ + …− 1 11, kotoroe vleçet za soboj ravenstvo (20). Takym obrazom, teorema Honçara qvlqetsq çastn¥m sluçaem sledstvyq 2 dokazannoj teorem¥. 3. Ocenka sverxu radyusa kruha meromorfnosty funkcyy, zadannoj C- drob\g. Pust\ F — funkcyq, holomorfnaq v toçke z = 0. Oboznaçym çerez RF() radyus kruha meromorfnosty funkcyy F, t. e. maksymal\noho kruha s centrom v toçke z = 0, v kotor¥j funkcyq F moΩet b¥t\ meromorfno pro- dolΩena. V 1967 h. Tron y Kallas [9] poluçyly ocenku sverxu radyusa kruha mero- morfnosty funkcyy, zadannoj pravyl\noj C-drob\g (10). Teorema (Tron, Kallas). Pust\ funkcyq F zadaetsq pravyl\noj C- dro- b\g (10) s koπffycyentamy αα 12 ,,… takymy, çto suwestvuet otlyçn¥j ot nulq predel limkk a →∞. Tohda RF() ≤ 2 1 lim k k a →∞ − ().(24) ∏ta teorema qvlqetsq sledstvyem yx bolee obwej teorem¥. Teorema (Tron, Kallas). Pust\ funkcyq F zadaetsq pravyl\noj C- dro- b\g (10) s ohranyçenn¥my koπffycyentamy αα 12 ,,…. Tohda RF() ≤ inf m q mq > + 02 1 , hde q = lim / µ ν ν µ µ ν →∞= ≤ + ∏ a m am 1 21 12 . A. Honçar pokazal (bez posledugwej publykacyy), çto ocenku (24) moΩno uluçßyt\ v dva raza, a ymenno, v predpoloΩenyqx pervoj yz teorem Trona – Kallasa ymeet mesto neravenstvo RF() ≤ lim k k a →∞ − ()1 .(25) Kak sledstvye dokazannoj v pervom punkte teorem¥ spravedlyvo sledugwee utverΩdenye. Sledstvye 3. Pust\ funkcyq f() ξ zadaetsq P- drob\g (1) s koπffycy- entamy ak∈C\{}0 y mnohoçlenamy bk() ξ s edynyçn¥m starßym koπffy- cyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+> 10, k = 1, 2, … , β0 = 0, y pust\ Fzfz ()() =−1. Tohda ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 323 RF() ≤ lim /() k k nn aakk →∞ + − …     − 1 1 1 1,(26) hde nk = ββ 1+…+k. Dejstvytel\no, funkcyq f meromorfna v oblasty G = ξ> {} − RF 1(). Uçyt¥vaq, çto emkost\ kruha ravna eho radyusu, yz neravenstva (19) poluçaem neravenstvo RF() = cap(\) CG−1 ≤ lim /() k k nn aakk →∞ + − …     − 1 1 1 1, sovpadagwee s neravenstvom (26). Poskol\ku pravyl\naq C-drob\ (10) πkvyvalentna P- droby (11), dlq koto- roj β21 k− = 1, β2k = 0, nnk kk −+= 1, k = 1, 2, … , yz neravenstva (26) polu- çaem sledugwug ocenku radyusa meromorfnosty funkcyy F, zadannoj pra- vyl\noj C-drob\g (10): RF() ≤ lim / k k k aa →∞ − …     1 1 1 ,(27) dagwug, v çastnosty, ocenku Honçara (25). Zametym, çto ocenka (27) qvlqetsq toçnoj. Dejstvytel\no, v rabote avtora [10] pokazano, çto pry vsex qi =exp() 2πτ, hde τ — vewestvennoe yrracyonal\- noe çyslo, neprer¥vnaq drob\ RodΩersa – RamanudΩana 1 1 1 2 + + + qz qz … sxodytsq ravnomerno v sferyçeskoj metryke k meromorfnoj funkcyy Fz q() na kompaktax, leΩawyx v edynyçnom kruhe z< {}1. Poπtomu RFq () ≥ 1 = lim / k kk qq →∞ − …     111 = lim / k k k aa →∞ − …     1 1 1 . Sledovatel\no, ocenku (27) uluçßyt\ nel\zq. 4. Sxodymost\ predel\no peryodyçeskyx P - drobej. Ewe odno sledstvye teorem¥ svqzano s yzvestnoj teoremoj Van Fleka [11]. Teorema (Van Flek). Pust\ koπffycyent¥ pravyl\noj C-droby (10) yme- gt predel limkk a →∞ = a ≠ 0. Tohda C-drob\ (10) sxodytsq ravnomerno v sferyçeskoj metryke k merorfnoj funkcyy F na kompaktax, leΩawyx v ob- lasty C\J, hde J = ztat =−≥ {} /, 41. A. Honçar dopolnyl (v ustnom vyde) teoremu Van Fleka sledugwym vaΩn¥m zameçanyem, pokaz¥vagwym, çto predel\naq funkcyq ne moΩet ymet\ mero- morfnoho prodolΩenyq ny çerez kakoj ynterval razreza J. Dopolnenye Honçara k teoreme Van Fleka. V predpoloΩenyqx y obozna- çenyqx teorem¥ Van Fleka funkcyq F ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcy- ej ny v kakoj oblasty () \ CJzz ∪−< {} 0ε, hde zJ 0∈, ε>0. V rabote [12] avtor rasprostranyl teoremu Van Fleka y dopolnenye Honçara k nej na sluçaj pravyl\n¥x C-drobej s predel\no peryodyçeskymy koπffycy- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 324V. Y. BUSLAEV entamy. V πtom punkte teorema Van Fleka y dopolnenye Honçara k nej raspro- stranqgtsq na sluçaj predel\no peryodyçeskyx P- drobej. A ymenno, ymeet mesto sledugwee utverΩdenye. Sledstvye 4. Pust\ m∈N y P-drob\ (1), hde ak∈C\{}0, bk() ξ — mnohoçlen¥ s edynyçn¥m starßym koπffycyentom y stepenqmy βk takymy, çto ββ kk −+≥ 11, k = 1, 2, … , β00 =, ymeet peryodyçeskye predel¥ lim k kml a →∞+ = al ∗ ≠ 0, lim() k kml b →∞+ξ = bl ∗() ξ, l = 1, … , m .(28) Tohda P-drob\ (1) ravnomerno sxodytsq v sferyçeskoj metryke k meromorf- noj funkcyy f na kompaktax, leΩawyx v oblasty G = C\() JJ ∪∗, hde J∗ — nekotoroe koneçnoe mnoΩestvo, J = ξξ ∈∈−…     {} ∗∗ C:(),() Iaa m m 2 1 041,(29) I() ξ = Tr 0 1 0 1 1 1 a b a b m m ∗ ∗ ∗ ∗         ×…×         ()() ξξ         . Pry πtom cap()J = aam bbm 1 121 ∗∗+…+ … ∗∗ /(degdeg) = lim / n n fn →∞ ∆ 12 ,(30) funkcyq f dopuskaet meromorfnoe prodolΩenye v toçky mnoΩestva J∗ y ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty G∗ = () \ CJ ∪ ∪ ξξε −< {} 0, ξ0∈J, ε>0. Dejstvytel\no, sxodymost\ P- droby (1) vne mnoΩestva JJ ∪∗ y meromorf- noe prodolΩenye funkcyy f v toçky koneçnoho mnoΩestva J∗ (kotoroe moΩ- no opredelyt\ qvn¥m obrazom) dokazan¥ v rabote avtora [12]. Dlq poluçenyq utverΩdenyq o nevozmoΩnosty funkcyy f b¥t\ meromorf- noj funkcyej v okrestnosty lgboj toçky ξ0∈J zametym, çto, yspol\zuq re- kurrentn¥e sootnoßenyq (2), prymenenn¥e k çyslytelqm Pk ∗() ξ y znamenate- lqm Qk ∗() ξ, k = 1, 2, … , k-j podxodqwej droby peryodyçeskoj P- droby a b a b a b a b m m 1 1 2 2 1 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + + + + () () () () ξ ξ ξ ξ … … ,(31) ynduktyvn¥m rassuΩdenyem moΩno pokazat\, çto 0 1 0 1 1 1 a b a b m m ∗ ∗ ∗ ∗         ×…×         ()() ξξ = PP QQ mm mm − ∗∗ − ∗∗         1 1 ()() ()() ξξ ξξ , degQm ∗ = degdeg bbm 1 ∗∗ +…+, degPm− ∗ 1 ≤ degdeg bbm 21 ∗ − ∗ +…+. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 O HANKELEVÁX OPREDELYTELQX FUNKCYJ, ZADANNÁX … 325 Poskol\ku degdeg bbm 21 ∗ − ∗ +…+ < degdeg bbm 1 ∗∗ +…+, otsgda ymeem neravenstvo degPm− ∗ 1 < degQm ∗ y ravenstvo degI = deg() PQ mm − ∗∗ +1 = degQm ∗ = degdeg bbm 1 ∗∗ +…+. Yz opredelenyq (29) mnoΩestva J y yzvestn¥x svojstv emkosty mnoΩestv (sm., naprymer, [8]) sleduet, çto cap() J = cap0411 12 ,() /deg −…  () ∗∗ m m I aa = aam bbm 1 121 ∗∗+…+ … ∗∗ /(degdeg) . Takym obrazom, pervoe yz ravenstv (30) dokazano. S uçetom ravenstva (23) otsgda v sylu predel\noj peryodyçnosty P- droby (1) (sm. ravenstva (28)) polu- çaem takΩe y ravenstvo cap() J = lim/() k k nn aakk →∞ + …− 1 11.(32) Sravnyvaq poluçennoe ravenstvo s ravenstvom (20), sohlasno sledstvyg 2 po- luçaem, çto funkcyq f ne moΩet b¥t\ meromorfnoj funkcyej ny v kakoj oblasty, ukazannoj v sledstvyy 4. RassuΩdenyq, yspol\zovann¥e pry dokazatel\stve neravenstva (19), pokaz¥- vagt, çto lim/() k k nn aakk →∞ + …− 1 11 = lim / kj nn j kn akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 . Poπtomu yz ravenstv (32), (13) y (18) ymeem cepoçku neravenstv cap() J = lim / kj nn j kn akj k →∞ − = − ∏1 2 1 1 = lim / kn fn k k →∞ ∆ 12 ≤ lim / n n fn →∞ ∆ 12 ≤ cap() J. Tak kak levaq y pravaq çasty v πtoj cepoçke neravenstv sovpadagt, vse neraven- stva v cepoçke moΩno zamenyt\ na toçn¥e ravenstva. Sledovatel\no, cap() J = = lim / nn fn →∞∆ 12 . Takym obrazom, ravenstva (30) dokazan¥. Zameçanye 1. Oboznaçym çerez f∗ funkcyg, k kotoroj sxodytsq peryo- dyçeskaq P- drob\ (31). Lehko vydet\, çto funkcyq f∗() ξ udovletvorqet kvadratnomu uravnenyg f∗() ξ = a b a b a bf m m 1 1 2 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ + + + () () ()() ξ ξ ξξ … s polynomyal\n¥my koπffycyentamy. Po sledstvyg 4, prymenennomu k pe- ryodyçeskoj P- droby (31), hyperπllyptyçeskaq funkcyq f∗ qvlqetsq odno- znaçnoj meromorfnoj funkcyej v oblasty C\J. Kak y v rabote H. Ítalq [13], oboznaçym çerez $J kakoj-lybo razrez kompleksnoj ploskosty, obladag- wyj πtym Ωe svojstvom: funkcyq f∗ qvlqetsq odnoznaçnoj meromorfnoj funkcyej v oblasty C\$J. Sohlasno teoreme Polya ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3 326V. Y. BUSLAEV cap()$J ≥ lim / n n fn →∞ ∆ 12 , a sohlasno ravenstvu (30) cap() J = lim / n n fn →∞ ∆ 12 . Poπtomu razrez J, opredelenn¥j ravenstvom (29), moΩno oxarakteryzovat\ sle- dugwym obrazom. Razrez J — πto razrez mynymal\noj emkosty sredy vsex razrezov kompleksnoj ploskosty, prevrawagwyx hyperπllyptyçeskug funkcyg f∗ v odnoznaçnug meromorfnug funkcyg. Zameçanye 2. V sylu πkvyvalentnosty P- droby (9) y C-droby (7) utverΩ- denye, analohyçnoe sledstvyg 4, moΩno sformulyrovat\ dlq predel\no pe- ryodyçeskyx C-drobej (5) s pokazatelqmy, udovletvorqgwymy uslovyg (6). 1.DΩouns U., Tron V. Neprer¥vn¥e droby. – M.: Myr, 1985. 2.Polya G. Über gewisse notwendige Determinantkriterien für die Forsetzbarkeit einer Potenzreihe // Math. Ann. – 1928. – 99. – S. 687 – 706. 3.Honçar A. A. Ob osob¥x toçkax meromorfn¥x funkcyj, zadann¥x svoym razloΩenyem v C- drob\ // Mat. sb. – 2006. – 197, # 10. – S. 3 – 14. 4.Wall H. S. Analytic theory of continued fractions. – New York: Van Nostrand, 1948. 5.Worpitsky J. Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Funktionen durch Kettenbruche // Friedrichs–Gymnasium rund Realschule Jahresbericht. – Berlin, 1865. – S. 3 – 39. 6.Scott W. T., Wall H. S. Continued fraction expansions for arbitrary power series // Ann. Math. – 1940. – 41, # 2. – P. 328 – 349. 7.Thron W. J. Twin convergence regions for continued fractions bbn 01 +K(,), II // Amer. J. Math. – 1949. – 71. – P. 112 – 120. 8.Holuzyn H. M. Heometryçeskaq teoryq funkcyj kompleksnoho peremennoho. – M.: Nauka, 1966. 9.Callas N. P., Thron W. J. Singularities of meromorphic functions represented by regular C-fracti- ons // Kgl. norske vid. selsk. skr. (Trondheim). – 1967. – # 6. – P. 11. 10.Buslaev V. Y. O sxodymosty neprer¥vnoj droby RodΩersa – RamanudΩana // Mat. sb. – 2003. – 194, # 6. – S. 43 – 66. 11.Van Vleck E. V. On the convergence of algebraic continued functions whose coefficients have limiting values // Trans. Amer. Math. Soc. – 1904. – 5, # 5. – P. 253 – 262. 12.Buslaev V. Y. O teoreme Van Fleka dlq pravyl\n¥x C-drobej s predel\no peryodyçesky- my koπffycyentamy // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2001. – 65, # 4. – S. 35 – 48. 13.Stahl H. Orthogonal polynomials with complex valued weight function. I, II // Constr. Approxim. – 1986. – 2. – P. 225 – 251. Poluçeno 28.12.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2010, t. 62, # 3

О ганкелевых определителях функций, заданных своим разложением в P-дробь

Institution

Similar Items