Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z п...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Назва видання: | Український математичний журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164748 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1647482025-02-09T13:58:05Z Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори Weak local homeomorphisms and B-favorable spaces Карлова, О.О. Михайлюк, В.В. Статті Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z пространства Y отображения f : X → Z имеют такое же свойство. Let X and Y be topological spaces such that an arbitrary mapping f: X → Y for which every preimage f⁻¹(G) of a set G open in Y is an F σ-set in X can be represented in the form of the pointwise limit of continuous mappings f n : X → Y. We study the problem of subspaces Z of the space Y for which the mappings f: X → Z possess the same property. 2008 Article Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748 517.51 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Карлова, О.О. Михайлюк, В.В. Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори Український математичний журнал |
| description |
Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z пространства Y отображения f : X → Z имеют такое же свойство. |
| format |
Article |
| author |
Карлова, О.О. Михайлюк, В.В. |
| author_facet |
Карлова, О.О. Михайлюк, В.В. |
| author_sort |
Карлова, О.О. |
| title |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори |
| title_short |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори |
| title_full |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори |
| title_fullStr |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори |
| title_full_unstemmed |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори |
| title_sort |
слабкі локальні гомеоморфізми та b-сприятливі простори |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748 |
| citation_txt |
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT karlovaoo slabkílokalʹnígomeomorfízmitabspriâtlivíprostori AT mihajlûkvv slabkílokalʹnígomeomorfízmitabspriâtlivíprostori AT karlovaoo weaklocalhomeomorphismsandbfavorablespaces AT mihajlûkvv weaklocalhomeomorphismsandbfavorablespaces |
| first_indexed |
2025-11-26T13:26:38Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:26:38Z |
| _version_ |
1849859613892018176 |
| fulltext |
UDK 517.51
O. O. Karlova, V. V. Myxajlgk (Çerniv. nac. un-t)
SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY
TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY
Let X and Y be topological spaces such that every mapping f : X → Y for which the set f G– ( )1 is
an Fσ -set in X for any set G open in Y can be represented as a pointwise limit of continuous
mappings fn : X → Y. The question of subspaces Z of the space Y for which mappings f : X → Z
have the same property is investigated.
Pust\ X y Y — takye topolohyçeskye prostranstva, çto proyzvol\noe otobraΩenye f : X →
→ Y, dlq kotoroho kaΩd¥j proobraz f G– ( )1
otkr¥toho v Y mnoΩestva G qvlqetsq Fσ -
mnoΩestvom v X, moΩno predstavyt\ v vyde potoçeçnoj hranyc¥ neprer¥vn¥x otobraΩenyj
fn : X → Y. Yssleduetsq, dlq kakyx podprostranstv Z prostranstva Y otobraΩenyq f : X →
→ Z ymegt takoe Ωe svojstvo.
1. Nexaj X ta Y — topolohiçni prostory. Symvolom H X Y1( , ) budemo pozna-
çaty sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y perßoho klasu Lebeha, tobto ta-
kyx, wo dlq dovil\no] vidkryto] v Y mnoΩyny G proobraz f G– ( )1
[ mnoΩy-
nog typu Fσ v X. Sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y perßoho klasu Bera,
tobto potoçkovyx hranyc\ poslidovnostej neperervnyx vidobraΩen\, poznaçaty-
memo çerez B X Y1( , ).
Zhidno z teoremog Lebeha – Hausdorfa [1, s. 402] ma[ misce rivnist\ H X1( ,
Y) = B X Y1( , ), qkwo X — metryçnyj prostir, a Y = 0 1,[ ]m
, de m ≤ ℵ0. Po-
dal\ßi doslidΩennq zv’qzkiv miΩ perßym berivs\kym i perßym lebehivs\kym
klasamy provodylys\ bahat\ma matematykamy: S. Rolevyçem, Ç. Stihallom,
R.;Hansellom, M. Fosherau, L. Veselym ta in. Z oderΩanyx nymy rezul\tativ
vyplyva[, wo rivnist\ H X Y1( , ) = B X Y1( , ) [ pravyl\nog, qkwo:
1) X — metryçnyj prostir, Y — separabel\na opukla pidmnoΩyna banaxovo-
ho prostoru [2];
2) X — povnyj metryçnyj prostir, Y — banaxovyj prostir [3];
3) X — normal\nyj prostir, Y — povnyj separabel\nyj metryçnyj abso-
lgtnyj retrakt [4];
4) X — metryçnyj prostir, Y — metryçnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj i
lokal\no linijno zv’qznyj prostir [5];
5) X — normal\nyj prostir, Y — metryçnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj
i lokal\no linijno zv’qznyj prostir [6].
Nexaj X — deqkyj topolohiçnyj prostir. Topolohiçnyj prostir Y budemo
nazyvaty B-spryqtlyvym dlq prostoru X, qkwo ma[ misce vklgçennq H X1( ,
Y) � B X Y1( , ). Sukupnist\ usix B-spryqtlyvyx dlq X prostoriv budemo po-
znaçaty symvolom B( )X . Qkwo vykonu[t\sq vklgçennq B X Y1( , ) � H X1( , Y) ,
to prostir Y budemo nazyvaty H-spryqtlyvym dlq X i symvolom H ( )X po-
znaçaty sukupnist\ usix H-spryqtlyvyx dlq X prostoriv. U vypadku, koly ma[
misce rivnist\ H X Y1( , ) = B X Y1( , ), prostir Y nazyvatymemo BH-spryqtlyvym
dlq X i poznaçatymemo sukupnist\ usix takyx prostoriv çerez BH ( )X .
ZauvaΩymo, wo u vypadkax 1 – 5 prostir znaçen\ Y [ metryzovnym. Wo sto-
su[t\sq nemetryzovnyx prostoriv znaçen\, to u [7] bulo vstanovleno, wo stroha
induktyvna hranycq Y poslidovnosti lokal\no opuklyx metryzovnyx prostoriv
[ BH-spryqtlyvym prostorom dlq spadkovo berivs\koho separabel\noho metry-
© O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK, 2008
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 1189
1190 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK
zovnoho prostoru X.
Nexaj E — pidprostir topolohiçnoho prostoru Y. Lehko baçyty, wo qkwo
prostir Y [ H -spryqtlyvym dlq H, to E takoΩ [ H-spryqtlyvym dlq X
prostorom. Qkwo Ω Y X∈ B( ), to, vzahali kaΩuçy, E X∉ B( ), qk pokazu[
pryklad z [1, s. 400]. Spravdi, nexaj Y = 0 1,[ ] i E = 0 1,{ } . Todi Y ∈ [ ]( )B 0 1, ,
ale E ∉ [ ]( )B 0 1, , adΩe xarakterystyçna funkciq f : 0 1,[ ] → 0 1,{ } odnotoçko-
vo] mnoΩyny naleΩyt\ do perßoho klasu Lebeha, ale ne [ perßoho klasu Bera.
Tomu postalo pytannq : qki pidprostory B-spryqtlyvoho prostoru Y budut\ B-
spryqtlyvymy?
U cij statti my z’qsovu[mo, wo retrakt B-spryqtlyvoho prostoru bude B-
spryqtlyvym i koΩna opukla pidmnoΩyna z neporoΩn\og vnutrißnistg, qka
mistyt\sq v B-spryqtlyvomu topolohiçnomu vektornomu prostori, takoΩ bude
B-spryqtlyvog.
U roboti [8] bulo vvedeno ponqttq slabkoho lokal\noho homeomorfizmu i do-
vedeno, wo dlq topolohiçnoho prostoru X, lindel\ofovoho prostoru Y, topo-
lohiçnoho prostoru Z, slabkoho lokal\noho homeomorfizmu ϕ : Z → Y i vidob-
raΩennq f ∈ H X Y1( , ) isnu[ vidobraΩennq g ∈ H X Z1( , ) take, wo f = ϕ � g. Cej
rezul\tat my nazyva[mo teoremog pro pidnqttq.
Nahada[mo, wo neperervne vidobraΩennq ϕ : X → Y [ slabkym lokal\nym
homeomorfizmom, qkwo dlq dovil\no] toçky y Y∈ isnugt\ ]] vidkrytyj okil V
i vidkryta v X mnoΩyna U � ϕ– ( )1 V taki, wo ϕ U : U → V — homeomorfizm.
Budemo hovoryty, wo prostir Y slabko nakryva[t\sq prostorom Z , qkwo is-
nu[ slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Z → Y. Vyqvlq[t\sq, wo qkwo pros-
tir Y slabko nakryva[t\sq B-spryqtlyvym prostorom Z , to i prostir Y [ B-
spryqtlyvym. Takym çynom, pryrodnym [ pytannq pro isnuvannq slabkoho lo-
kal\noho homeomorfizmu. V [9] bulo dovedeno, wo dovil\na vidkryta zv’qzna
pidmnoΩyna normovanoho separabel\noho prostoru slabko nakryva[t\sq samym
prostorom. Tut my pokaΩemo, wo dlq dovil\noho vidkrytoho lindel\ofovoho
linijno zv’qznoho pidprostoru G topolohiçnoho vektornoho prostoru Y isnu[
slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Y → G.
Nasamkinec\ my dovedemo, wo lindel\ofovyj prostir Y, qkyj slabko nakry-
va[t\sq metryzovnym separabel\nym linijno zv’qznym i lokal\no linijno zv’qz-
nym prostorom (tobto B-spryqtlyvym dlq normal\noho prostoru X), takoΩ [
metryzovnym separabel\nym linijno zv’qznym i lokal\no linijno zv’qznym.
2. Nahada[mo, wo retraktom prostoru X [10, s. 12] nazyva[t\sq mnoΩyna
E, dlq qko] isnu[ neperervne vidobraΩennq (retrakciq) r : X → E take, wo
r x( ) = x pry x E∈ .
TverdΩennq 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — B -spryqtlyvyj
dlq X topolohiçnyj prostir i E — retrakt prostoru Y. Todi E X∈ B( ).
Dovedennq. Nexaj f ∈ H X E1( , ) . Todi f ∈ H X Y1( , ). Oskil\ky Y X∈B( ),
to isnu[ poslidovnist\ gn n( ) =
∞
1 neperervnyx vidobraΩen\ gn: X → Y taka, wo
lim ( )
n
ng x
→∞
= f x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Z toho, wo mnoΩyna E [ retraktom
prostoru Y, vyplyva[, wo isnu[ take neperervne vidobraΩennq r : Y → E, wo
r y( ) = y, qkwo y E∈ . Dlq koΩnoho n ∈N poklademo fn = r gn� . Zrozumilo,
wo vidobraΩennq fn : X → E neperervni dlq koΩnoho n. Krim toho,
lim ( )
n
nf x
→∞
= lim ( )
n
nr g x
→∞
( ) = r f x( )( ) = f x( ),
oskil\ky f x E( ) ∈ . OtΩe, f ∈ B X E1( , ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1191
Perejdemo teper do vypadku, koly E — opukla pidmnoΩyna topolohiçnoho
vektornoho prostoru Y. Poçnemo z dopomiΩnoho tverdΩennq.
Lema 1. Nexaj Y — topolohiçnyj vektornyj prostir, G — opuklyj okil
nulq v Z i q > 1. Todi G qG⊆ .
Dovedennq. Nexaj z G∈ i q = 1 + δ, de δ > 0. Zrozumilo, wo U = – δ G —
takoΩ okil nulq v Y. Todi ( )z U+ ∩ G ≠ ∅, zvidsy vyplyva[, wo isnugt\ ele-
menty u G∈ i y G∈ taki, wo y = z – δ u. Todi
z = y + δu G∈ + δG = ( )1 + δ G = qG,
adΩe mnoΩyna G [ opuklog.
TverdΩennq 2. Nexaj Y — topolohiçnyj vektornyj prostir, E — opuk-
lyj okil nulq v Y. Todi formulog
p y( ) = sup : int0 1< ≤ ∈{ }t ty E ,
vyznaça[t\sq vidobraΩennq p : Y → 0 1,( ], qke [ neperervnym.
Dovedennq. Poznaçymo G = int E, G0 = Y i Gt = 1
t
G . Oçevydno, wo mno-
Ωyny Gt [ opuklymy i vidkrytymy v prostori Y. U cyx poznaçennqx funkciq p
di[ za pravylom p y( ) = sup 0{ < t ≤ 1 : y ∈ Gt} . Te, wo funkcig p vyznaçeno na
vs\omu prostori Y, bezposeredn\o vyplyva[ z radial\nosti mnoΩyny G.
PokaΩemo, wo dlq dovil\noho ε ∈( , )0 1 mnoΩyny p– ,1 1ε( ]( ) i p – ( , )1 0 ε( ) [
vidkrytymy v 0 1,( ]. Zafiksu[mo 0 < ε < 1. Nerivnist\ p y( ) > ε vykonu[t\sq to-
di i til\ky todi, koly isnu[ take t > ε, wo y Gt∈ . Takym çynom, p– ,1 1ε( ]( ) =
=
t tG>ε∪ . Zvidsy vyplyva[, wo mnoΩyna p– ,1 1ε( ]( ) [ vidkrytog v 0 1,( ].
Nerivnist\ p y( ) < ε vykonu[t\sq todi i til\ky todi, koly isnu[ s < ε take,
wo;; y Gs∉ . Zhidno z lemog;1 pry s < t toçka y ne naleΩyt\ do mnoΩyny
Gt .;;;OtΩe, p– ( , )1 0 ε( ) =
t tY G< ( )ε∪ \ . Todi mnoΩyna p– ( , )1 0 ε( ) takoΩ [ vid-
krytog v;;Y.
ZauvaΩymo, wo p y( ) = 1, qkwo y E∈ . Krim toho, qkwo 0 < λ < p y( ) , to
λy E∈ .
Teorema 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — B-spryqtlyvyj dlq X
topolohiçnyj vektornyj prostir, E — opukla pidmnoΩyna prostoru Y taka,
wo int E ≠ ∅. Todi E X∈ B( ).
Dovedennq. Oskil\ky zsuvy v topolohiçnomu vektornomu prostori [ homeo-
morfizmamy, to moΩna vvaΩaty, wo 0 ∈ int E.
Nexaj f ∈ H X E1( , ) . Todi f ∈ H X Y1( , ). Oskil\ky Y X∈ B( ), to isnu[ posli-
dovnist\ fn n( ) =
∞
1 neperervnyx vidobraΩen\ fn : X → Y taka, wo lim ( )
n
nf x
→∞
=
= f x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Zhidno z tverdΩennqm 2 funkciq p : Y → 0 1,( ],
qka vyznaça[t\sq formulog p y( ) = sup 0{ < t ≤ 1 : t y ∈ int E}, [ neperervnog.
Dlq vsix n ∈N i x X∈ poklademo
g xn( ) = n
n
p f x f xn n+
( )
1
( ) ( ) .
Oskil\ky
n
n
p f xn+
( )
1
( ) < p f xn( )( ), to g xn( ) ∈ E, pryçomu vidobraΩennq gn :
X → E [ neperervnym dlq koΩnoho n. Zafiksu[mo x X∈ . Todi
lim ( )
n
ng x
→∞
= p f x f x( ) ( )( ) = f x( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1192 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK
adΩe p f x( )( ) = 1, oskil\ky f x( ) ∈ E. OtΩe, E X∈ B( ).
Teorema 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — lindel\ofovyj pros-
tir, Z — B-spryqtlyvyj dlq X topolohiçnyj prostir, qkyj slabo nakryva[
prostir Y. Todi Y X∈ B( ).
Dovedennq. Nexaj f ∈ H X Y1( , ) i ϕ : Z → Y — slabkyj lokal\nyj homeo-
morfizm. Z teoremy pro pidnqttq vyplyva[, wo isnu[ vidobraΩennq g ∈
∈ H X Z1( , ) take, wo f x( ) = ϕ g x( )( ) dlq vsix x X∈ . Z toho, wo Z X∈ B( ) , vy-
plyva[, wo g ∈ B X Z1( , ) . Tomu isnu[ poslidovnist\ gn n( ) =
∞
1 neperervnyx vidob-
raΩen\ gn: X → Z taka, wo lim ( )
n
ng x
→∞
= g x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Poklademo
f xn( ) = ϕ g xn( )( ). Zrozumilo, wo vidobraΩennq fn : X → Y [ neperervnym. Qk-
wo x X∈ , to
lim ( )
n
nf x
→∞
= lim ( )
n
ng x
→∞
( )ϕ = ϕ g x( )( ) = f x( ).
OtΩe, f ∈ B X Y1( , ). Takym çynom, Y X∈ B( ).
3. Nexaj X — vektornyj prostir, N0 = N ∪ 0{ } i Q2
+
— mnoΩyna vsix do-
datnyx dvijkovo-racional\nyx çysel. Poslidovnist\ Vn( : n ∈ )N0 neporoΩnix
zaokruhlenyx pidmnoΩyn Vn prostoru X nazyva[t\sq dvijçastog, qkwo V0 =
= X i Vn +1 + Vn +1 � Vn dlq koΩnoho n ∈N0. KoΩnomu çyslu r ∈ +Q2 spivsta-
vymo pidmnoΩynu Ur z prostoru X za pravylom Ur = α1 1V + … + αn nV , qkwo
r = 0( , α1… αn)2, i Ur = V0, qkwo r ≥ 1, de 0( , α 1… αn)2 =
k
n k
k=∑ 1 2
α
= r,
αk ∈ 0 1,{ } pry k = 1, … , n – 1 i αn = 1. Sim’q Un( : r ∈ )+Q2 nazyva[t\sq
dvijçastog sim’[g, porodΩenog poslidovnistg Vn( : n ∈ )N0 .
Dlq koΩnoho x X∈ poznaçymo Ax = r ∈{ +Q2 : x Ur∈ } . Vyznaçymo funk-
cig f : X → R takym çynom:
f x( ) = inf Ax
i budemo nazyvaty ]] funkci[g, porodΩenog dvijçastog poslidovnistg Vn( )
[11, s. 53].
Lema 2. Nexaj Y — hausdorfovyj topolohiçnyj vektornyj prostir, V —
vidkrytyj zaokruhlenyj okil nulq v Y i U = V + V + V + V. Todi isnu[ nepe-
rervna funkciq f : Y → 0 1,[ ] taka, wo f y( ) = 1, qkwo y V∈ , i f y( ) = 0,
qkwo y Y∈ \ U.
Dovedennq. Poznaçymo V0 = Y, V1 = U, V2 = V + V, V3 = V i vyberemo dlq
koΩnoho m ≥ 4 takyj zaokruhlenyj okil nulq Vm , wo Vm + Vm � Vm –1. Roz-
hlqnemo funkcig g : Y → 0 1,[ ], wo porodΩena poslidovnistg Vm m( ) =
∞
1, i nepe-
rervne vidobraΩennq h : 1
4
1
2
,
→ 0 1,[ ] take, wo h 1
4( ) = 1 i h 1
2( ) = 0. Dlq
koΩnoho y Y∈ poklademo f y( ) = h max 1
4{( , min ( )g y{ , 1
2}}). Zrozumilo, wo
funkciq f : Y → 0 1,[ ] [ neperervnog. Qkwo y V∈ = V3, to g y( ) < 1
4
i f y( ) =
= h 1
4( ) = 1. Qkwo Ω y U∉ = V1, to g y( ) ≥ 1
2
i f y( ) = h 1
2( ) = 0.
Teorema 3. Nexaj Y — hausdorfovyj topolohiçnyj vektornyj prostir i G
— vidkrytyj neporoΩnij lindel\ofovyj linijno zv’qznyj pidprostir prostoru
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1193
Y. Todi isnu[ slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Y → G.
Dovedennq. Budemo vvaΩaty, wo prostir Y [ nenul\ovym. Vyberemo za-
okruhlenyj okil nulq V0 v Y i toçku y Y0 ∈ tak, wob y V0 0∉ + V0 + V0 + V0.
Dlq koΩno] toçky y G∈ vyberemo vidkrytyj zaokruhlenyj okil nulq Uy
takyj, wo y + Uy + Uy + Uy + Uy � G i
U Uy y+ … +
16 raziv
� ��� ���
� V0. Oskil\ky prostir
G lindel\ofovyj, to isnu[ poslidovnist\ toçok yn z G taka, wo G =
=
n n yy U
n=
∞ +( )1∪ . Dlq koΩnoho n ∈N poznaçymo Un = Uyn
, Vn = Un + Un +
+ Un + Un , Wn =
U Un n+ … +
16 raziv
� ��� ��� i zafiksu[mo dovil\nu toçku y G∗ ∈ .
Zhidno z lemog;2 dlq koΩnoho n ∈N isnu[ neperervna funkciq fn : Y →
→ 0 1,[ ] taka, wo f yn( ) = 1, qkwo y Un∈ , i f yn( ) = 0, qkwo y Vn∉ . Rozhlqne-
mo vidobraΩennq gn: Y → Y, g yn( ) = f yn( ) ⋅ y. VidobraΩennq gn, oçevydno, [
neperervnym, pryçomu g yn( ) ∈ Vn dlq vsix y Y∈ , adΩe mnoΩyna Vn [ zaok-
ruhlenog.
Dlq koΩnoho n ∈N , zhidno z lemog;2, isnu[ neperervna funkciq hn : Y →
→ 0 1,[ ] taka, wo h yn( ) = 1, qkwo y Vn∈ , i h yn( ) = 0, qkwo y Wn∉ .
Oskil\ky mnoΩyna G [ linijno zv’qznog, to dlq koΩnoho n ∈N isnug ne-
perervne vidobraΩennq γ n: 0 1,[ ] → G take, wo γ n( )0 = y∗
i γ n( )1 = yn .
Dlq koΩnoho y Y∈ poklademo
ψn y( ) =
y g y y V
h y y V
n n n
n n n
+ ∈
( ) ∉
( ), ,
( ) , .
qkwo
qkwoγ
ZauvaΩymo, wo yn + g yn( ) ∈ yn + Vn � G, tomu ψn Y( ) � G . Oskil\ky vid-
obraΩennq gn, γ n i hn [ neperervnymy, to dlq toho, wob pokazaty, wo vidob-
raΩennq ψn : Y → G [ neperervnym, dosyt\ pereviryty, wo dlq vsix y Vn∈ \ Vn
vykonu[t\sq rivnist\ yn + g yn( ) = γ n nh y( )( ). Nexaj y Vn∈ \ Vn. Oskil\ky
y Vn∉ , to g yn( ) = 0, tobto yn + g yn( ) = yn . Z inßoho boku, y Vn∈ , tomu
h yn( );= 1, otΩe, γ n nh y( )( ) = yn . Takym çynom, vidobraΩennq ψn : Y → G [ ne-
perervnym.
Dlq vsix n ∈N poznaçymo An = ny0 + Un i Bn = ny0 + Wn . Dlq koΩnoho
y Y∈ poklademo
ϕ( )y =
ψn n
n
n
y ny y B n
y y B
( – ), ,
, .
0
1
qkwo dlq deqkoho
qkwo
∈
∉
∗
=
∞
∪
Perevirymo, wo vidobraΩennq ϕ : Y → G [ neperervnym. PokaΩemo spoçat-
ku, wo poslidovnist\ Bn n( ) =
∞
1 [ dyskretnog. Spravdi, nexaj y Y∈ i n m≠ .
Prypustymo, wo ( )y V+ 0 ∩ ( )ny V0 0+ ≠ ∅ i ( )y V+ 0 ∩ ( )my V0 0+ ≠ ∅. Todi is-
nugt\ toçky v1 , v2 , v3, v4 ∈ V0 taki, wo y + v1 = ny0 + v2 i y + v3 = my0 +
+ v4 . Todi ( – )n m y0 = v1 – v3 + v4 – v2 ∈ V0 + V0 + V0 + V0, zvidky y0 ∈
∈ 1
0n m
V
–
( + V0 + V0 + V0) � V0 + V0 + V0 + V0, adΩe mnoΩyna V0 [ zaokruhle-
nog. A ce supereçyt\ vyboru V0. Takym çynom, okil y + V0 peretyna[t\sq wo-
najbil\ße z odni[g z mnoΩyn ( )ny V0 0+ . OtΩe, poslidovnist\ ( )ny Vn n0 1+ =
∞
[
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1194 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK
dyskretnog, a tomu i poslidovnist\ ( )Bn n=
∞
1 dyskretna, bo Bn � ny0 + V0 dlq
koΩnoho n ∈N .
Nexaj y Y∈ i U — vidkrytyj okil toçky y, qkyj peretyna[t\sq ne bil\ße
niΩ z odni[g mnoΩynog z poslidovnosti ( )Bn n=
∞
1. Qkwo U ∩
n nB=
∞( )1∪ = ∅, to
ϕ U = y∗
. Qkwo Ω U ∩ Bk ≠ ∅ dlq deqkoho k, to U ∩ Bn = ∅ dlq vsix n ≠ k,
ϕ( )y = ψk y ky( – )0 pry y ∈ U ∩ Bk i ϕ( )y = y∗
pry y ∈ U \ Bk , tobto ϕ U =
= ψk U . OtΩe, vidobraΩennq ϕ : Y → G [ neperervnym.
Qkwo y G∈ , to isnu[ nomer n takyj, wo y yn∈ + Un . Todi vidobraΩennq
ϕ An
= ψ An
: An → ( )y Un n+ [ homeomorfizmom, bo ψn ny( 0 + ′y ) = yn + ′y
dlq vsix ′ ∈y Un . Takym çynom, vidobraΩennq ϕ : Y → G [ slabkym lokal\nym
homeomorfizmom.
Z rezul\tativ [7] i teoremy;2 bezposeredn\o vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
Teorema 4. Nexaj Y — stroha induktyvna hranycq zrostagço] poslidov-
nosti metryzovnyx lokal\no opuklyx prostoriv i G — vidkrytyj lindel\ofo-
vyj linijno zv’qznyj pidprostir prostoru Y . Todi G — B-spryqtlyvyj prostir
dlq spadkovo berivs\koho separabel\noho metryzovnoho prostoru X.
Lema 3. Nexaj X — rehulqrnyj prostir, Gn{ : n ∈ }N — lokal\no skin-
çenne vidkryte pokryttq prostoru X metryzovnymy pidprostoramy Gn . Todi
prostir X [ metryzovnym.
Dovedennq. Zhidno z metryzacijnog teoremog Binha [12, s. 418] u prostori
Gn dlq koΩnoho n isnu[ σ-dyskretna baza Un . Nexaj Un =
m n m=
∞
1∪ U , , de
systema Un m, [ dyskretnog v Gn dlq koΩnoho m.
PokaΩemo, wo systema Vm =
n n m=
∞
1∪ U , [ lokal\no skinçennog v X dlq
koΩnoho m. Spravdi, nexaj x X∈ i m ∈N . Poznaçymo N0 = n ∈{ N : x Gn∈ } .
Oskil\ky pokryttq Gn{ : n ∈ }N [ lokal\no skinçennym, to mnoΩyna N0 skin-
çenna. Dlq koΩnoho n N∈ 0 isnu[ vidkrytyj v Gn okil Un toçky x, qkyj
peretyna[t\sq ne bil\ße niΩ z odni[g mnoΩynog z systemy Un m, . Poklademo
V =
n N nU∈ 0
∩ . Oskil\ky mnoΩyna N0 [ skinçennog i vsi Un vidkryti v Gn , a
otΩe, i v X, to mnoΩyna V [ vidkrytog v X. Zrozumilo, wo V peretyna[t\sq
ne bil\ß niΩ z N0 mnoΩynamy z systemy Un m, . Takym çynom, dlq koΩnoho
m systema Vm [ lokal\no skinçennog v X.
Poklademo V =
m m=
∞
1∪ V i pokaΩemo, wo V — baza u prostori X. Nexaj G
— vidkryta v X mnoΩyna. Todi G =
n nG G=
∞ ( )
1∪ ∩ . Oskil\ky dlq koΩnoho n
mnoΩyny G Gn∩ [ vidkrytymy v Gn , to isnu[ taka systema A Un n⊆ , wo
G Gn∩ = ∪An . Za pobudovog, ∪V = ∪∪n n=
∞
1
U , tomu A Vn ⊆ . OtΩe, G =
=
n n=
∞
1∪ ∪A .
Takym çynom, V — σ-lokal\no skinçenna baza u prostori X. Zhidno z metry-
zacijnog teoremog Nahaty – Smirnova [12, s. 416] prostir X [ metryzovnym.
Teorema 5. Nexaj Y — metryzovnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj i lo-
kal\no linijno zv’qznyj prostir, X — lindel\ofovyj prostir i ϕ : Y → X —
slabkyj lokal\nyj homeomorfizm. Todi X — metryzovnyj separabel\nyj li-
nijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj prostir .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1195
Dovedennq. Oskil\ky ϕ : Y → X — slabkyj lokal\nyj homeomorfizm, to
dlq koΩnoho x X∈ isnugt\ vidkrytyj okil Ux toçky x i vidkryta v Y mno-
Ωyna Vx taki, wo ϕ Vx
: Vx → Ux — homeomorfizm. Z toho, wo prostir X [
lindel\ofovym, vyplyva[, wo isnu[ zliçenne pidpokryttq U = U xn{ : n ∈ }N
pokryttq Ux{ : x X∈ } . Zhidno z [12, s. 444] prostir X [ parakompaktnym, tomu
isnu[ lokal\no skinçenne vidkryte pokryttq G = Gx{ : n ∈ }N , vpysane v U.
Oskil\ky dlq koΩnoho n pidprostir Gn homeomorfnyj deqkomu metryzov-
nomu pidprostoru Y, to Gn — metryzovnyj pidprostir prostoru X. Zhidno z
lemog;3 prostir X [ metryzovnym.
Linijna zv’qznist\ prostoru X vyplyva[ z toho, wo vin [ neperervnym obra-
zom linijno zv’qznoho prostoru.
PokaΩemo, wo prostir X [ lokal\no linijno zv’qznym. Nexaj x X∈ i U —
okil toçky x. Isnu[ vidkryta v Y mnoΩyna V Vx⊆ taka, wo ϕ V : V → U ∩ Ux
— homeomorfizm. Oskil\ky Y — lokal\no linijno zv’qznyj prostir, to isnu[
vidkrytyj linijno zv’qznyj okil W toçky ϕ V( )–1 ( )x takyj, wo W V⊆ . Todi
ϕ V W( ) — vidkrytyj linijno zv’qznyj okil toçky x takyj, wo ϕ V W( ) � U.
Z toho, wo prostir X [ metryzovnym i lindel\ofovym, vyplyva[, wo vin [ se-
parabel\nym.
1. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1966. – T. 1. – 596 s.
2. Rolewic S. On inversion of non-linear transformations // Stud. Math. – 1958. – 17. – P. 79 – 83.
3. Stegall C. Functions of the first Baire class with values in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc.
– 1991. – 111. – P. 981 – 991.
4. Hansell R. Lebesgue’s theorem on Baire class 1 functions // Topology with Appl., Szekszárd
(Hungary). – 1993. – P. 251 – 257.
5. Fosgerau M. When are Borel functions Baire functions? // Fund. math. – 1993. – 143. – P. 137 –
152.
6. Veselý L. Characterization of Baire-one functions between topological spaces // Acta Univ. carol.
Math. et phys. – 1992. – 33, # 2. – P. 143 – 156.
7. Karlova O. O., Mykhaylyuk V. V. On Baire one mappings and Lebesgue one mappings with values
in inductive limits // Mat. stud. – 2006. – 25, # 1. – S. 103 – 107.
8. Karlova O. O. Perßyj funkcional\nyj lebehivs\kyj klas i berivs\ka klasyfikaciq nariz-
no neperervnyx vidobraΩen\ // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2004. – Vyp. 191 –
192. – S. 52 – 60.
9. Karlova O. O. Pro naleΩnist\ do perßoho klasu Bera vidobraΩen\ zi znaçennqmy v oblas-
tqx // Mat. stud. – 2005. – 23, # 2. – S. 221 – 224.
10. Borsuk K. Teoryq retraktov. – M.: Myr, 1971. – 292 s.
11. Maslgçenko V. K. Perßi typy topolohiçnyx vektornyx prostoriv. – Çernivci: Ruta, 2002. –
72 s.
12. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 752 s.
OderΩano 15.12.06
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
|