Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори

Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори

Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2008
Hauptverfasser: Карлова, О.О., Михайлюк, В.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2008
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164748
record_format dspace
spelling Карлова, О.О.
Михайлюк, В.В.
2020-02-10T17:28:34Z
2020-02-10T17:28:34Z
2008
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748
517.51
Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z пространства Y отображения f : X → Z имеют такое же свойство.
Let X and Y be topological spaces such that an arbitrary mapping f: X → Y for which every preimage f⁻¹(G) of a set G open in Y is an F σ-set in X can be represented in the form of the pointwise limit of continuous mappings f n : X → Y. We study the problem of subspaces Z of the space Y for which the mappings f: X → Z possess the same property.
uk
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
Weak local homeomorphisms and B-favorable spaces
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
spellingShingle Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
Карлова, О.О.
Михайлюк, В.В.
Статті
title_short Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
title_full Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
title_fullStr Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
title_full_unstemmed Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори
title_sort слабкі локальні гомеоморфізми та b-сприятливі простори
author Карлова, О.О.
Михайлюк, В.В.
author_facet Карлова, О.О.
Михайлюк, В.В.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2008
language Ukrainian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt Weak local homeomorphisms and B-favorable spaces
description Пусть X и Y — такие топологические пространства, что произвольное отображение f : X → Y, для которого каждый прообраз f⁻¹(G) открытого в Y множества G является fσ-множеством в X, можно представить в виде поточечной границы непрерывных отображений fn : X → Y. Исследуется, для каких подпространств Z пространства Y отображения f : X → Z имеют такое же свойство. Let X and Y be topological spaces such that an arbitrary mapping f: X → Y for which every preimage f⁻¹(G) of a set G open in Y is an F σ-set in X can be represented in the form of the pointwise limit of continuous mappings f n : X → Y. We study the problem of subspaces Z of the space Y for which the mappings f: X → Z possess the same property.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164748
citation_txt Слабкі локальні гомеоморфізми та B-сприятливі простори / О.О. Карлова, В.В. Михайлюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1189–1195. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT karlovaoo slabkílokalʹnígomeomorfízmitabspriâtlivíprostori
AT mihailûkvv slabkílokalʹnígomeomorfízmitabspriâtlivíprostori
AT karlovaoo weaklocalhomeomorphismsandbfavorablespaces
AT mihailûkvv weaklocalhomeomorphismsandbfavorablespaces
first_indexed 2025-11-26T13:26:38Z
last_indexed 2025-11-26T13:26:38Z
_version_ 1850624799784566784
fulltext UDK 517.51 O. O. Karlova, V. V. Myxajlgk (Çerniv. nac. un-t) SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY Let X and Y be topological spaces such that every mapping f : X → Y for which the set f G– ( )1 is an Fσ -set in X for any set G open in Y can be represented as a pointwise limit of continuous mappings fn : X → Y. The question of subspaces Z of the space Y for which mappings f : X → Z have the same property is investigated. Pust\ X y Y — takye topolohyçeskye prostranstva, çto proyzvol\noe otobraΩenye f : X → → Y, dlq kotoroho kaΩd¥j proobraz f G– ( )1 otkr¥toho v Y mnoΩestva G qvlqetsq Fσ - mnoΩestvom v X, moΩno predstavyt\ v vyde potoçeçnoj hranyc¥ neprer¥vn¥x otobraΩenyj fn : X → Y. Yssleduetsq, dlq kakyx podprostranstv Z prostranstva Y otobraΩenyq f : X → → Z ymegt takoe Ωe svojstvo. 1. Nexaj X ta Y — topolohiçni prostory. Symvolom H X Y1( , ) budemo pozna- çaty sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y perßoho klasu Lebeha, tobto ta- kyx, wo dlq dovil\no] vidkryto] v Y mnoΩyny G proobraz f G– ( )1 [ mnoΩy- nog typu Fσ v X. Sukupnist\ usix vidobraΩen\ f : X → Y perßoho klasu Bera, tobto potoçkovyx hranyc\ poslidovnostej neperervnyx vidobraΩen\, poznaçaty- memo çerez B X Y1( , ). Zhidno z teoremog Lebeha – Hausdorfa [1, s. 402] ma[ misce rivnist\ H X1( , Y) = B X Y1( , ), qkwo X — metryçnyj prostir, a Y = 0 1,[ ]m , de m ≤ ℵ0. Po- dal\ßi doslidΩennq zv’qzkiv miΩ perßym berivs\kym i perßym lebehivs\kym klasamy provodylys\ bahat\ma matematykamy: S. Rolevyçem, Ç. Stihallom, R.;Hansellom, M. Fosherau, L. Veselym ta in. Z oderΩanyx nymy rezul\tativ vyplyva[, wo rivnist\ H X Y1( , ) = B X Y1( , ) [ pravyl\nog, qkwo: 1) X — metryçnyj prostir, Y — separabel\na opukla pidmnoΩyna banaxovo- ho prostoru [2]; 2) X — povnyj metryçnyj prostir, Y — banaxovyj prostir [3]; 3) X — normal\nyj prostir, Y — povnyj separabel\nyj metryçnyj abso- lgtnyj retrakt [4]; 4) X — metryçnyj prostir, Y — metryçnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj prostir [5]; 5) X — normal\nyj prostir, Y — metryçnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj prostir [6]. Nexaj X — deqkyj topolohiçnyj prostir. Topolohiçnyj prostir Y budemo nazyvaty B-spryqtlyvym dlq prostoru X, qkwo ma[ misce vklgçennq H X1( , Y) � B X Y1( , ). Sukupnist\ usix B-spryqtlyvyx dlq X prostoriv budemo po- znaçaty symvolom B( )X . Qkwo vykonu[t\sq vklgçennq B X Y1( , ) � H X1( , Y) , to prostir Y budemo nazyvaty H-spryqtlyvym dlq X i symvolom H ( )X po- znaçaty sukupnist\ usix H-spryqtlyvyx dlq X prostoriv. U vypadku, koly ma[ misce rivnist\ H X Y1( , ) = B X Y1( , ), prostir Y nazyvatymemo BH-spryqtlyvym dlq X i poznaçatymemo sukupnist\ usix takyx prostoriv çerez BH ( )X . ZauvaΩymo, wo u vypadkax 1 – 5 prostir znaçen\ Y [ metryzovnym. Wo sto- su[t\sq nemetryzovnyx prostoriv znaçen\, to u [7] bulo vstanovleno, wo stroha induktyvna hranycq Y poslidovnosti lokal\no opuklyx metryzovnyx prostoriv [ BH-spryqtlyvym prostorom dlq spadkovo berivs\koho separabel\noho metry- © O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK, 2008 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 1189 1190 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK zovnoho prostoru X. Nexaj E — pidprostir topolohiçnoho prostoru Y. Lehko baçyty, wo qkwo prostir Y [ H -spryqtlyvym dlq H, to E takoΩ [ H-spryqtlyvym dlq X prostorom. Qkwo Ω Y X∈ B( ), to, vzahali kaΩuçy, E X∉ B( ), qk pokazu[ pryklad z [1, s. 400]. Spravdi, nexaj Y = 0 1,[ ] i E = 0 1,{ } . Todi Y ∈ [ ]( )B 0 1, , ale E ∉ [ ]( )B 0 1, , adΩe xarakterystyçna funkciq f : 0 1,[ ] → 0 1,{ } odnotoçko- vo] mnoΩyny naleΩyt\ do perßoho klasu Lebeha, ale ne [ perßoho klasu Bera. Tomu postalo pytannq : qki pidprostory B-spryqtlyvoho prostoru Y budut\ B- spryqtlyvymy? U cij statti my z’qsovu[mo, wo retrakt B-spryqtlyvoho prostoru bude B- spryqtlyvym i koΩna opukla pidmnoΩyna z neporoΩn\og vnutrißnistg, qka mistyt\sq v B-spryqtlyvomu topolohiçnomu vektornomu prostori, takoΩ bude B-spryqtlyvog. U roboti [8] bulo vvedeno ponqttq slabkoho lokal\noho homeomorfizmu i do- vedeno, wo dlq topolohiçnoho prostoru X, lindel\ofovoho prostoru Y, topo- lohiçnoho prostoru Z, slabkoho lokal\noho homeomorfizmu ϕ : Z → Y i vidob- raΩennq f ∈ H X Y1( , ) isnu[ vidobraΩennq g ∈ H X Z1( , ) take, wo f = ϕ � g. Cej rezul\tat my nazyva[mo teoremog pro pidnqttq. Nahada[mo, wo neperervne vidobraΩennq ϕ : X → Y [ slabkym lokal\nym homeomorfizmom, qkwo dlq dovil\no] toçky y Y∈ isnugt\ ]] vidkrytyj okil V i vidkryta v X mnoΩyna U � ϕ– ( )1 V taki, wo ϕ U : U → V — homeomorfizm. Budemo hovoryty, wo prostir Y slabko nakryva[t\sq prostorom Z , qkwo is- nu[ slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Z → Y. Vyqvlq[t\sq, wo qkwo pros- tir Y slabko nakryva[t\sq B-spryqtlyvym prostorom Z , to i prostir Y [ B- spryqtlyvym. Takym çynom, pryrodnym [ pytannq pro isnuvannq slabkoho lo- kal\noho homeomorfizmu. V [9] bulo dovedeno, wo dovil\na vidkryta zv’qzna pidmnoΩyna normovanoho separabel\noho prostoru slabko nakryva[t\sq samym prostorom. Tut my pokaΩemo, wo dlq dovil\noho vidkrytoho lindel\ofovoho linijno zv’qznoho pidprostoru G topolohiçnoho vektornoho prostoru Y isnu[ slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Y → G. Nasamkinec\ my dovedemo, wo lindel\ofovyj prostir Y, qkyj slabko nakry- va[t\sq metryzovnym separabel\nym linijno zv’qznym i lokal\no linijno zv’qz- nym prostorom (tobto B-spryqtlyvym dlq normal\noho prostoru X), takoΩ [ metryzovnym separabel\nym linijno zv’qznym i lokal\no linijno zv’qznym. 2. Nahada[mo, wo retraktom prostoru X [10, s. 12] nazyva[t\sq mnoΩyna E, dlq qko] isnu[ neperervne vidobraΩennq (retrakciq) r : X → E take, wo r x( ) = x pry x E∈ . TverdΩennq 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — B -spryqtlyvyj dlq X topolohiçnyj prostir i E — retrakt prostoru Y. Todi E X∈ B( ). Dovedennq. Nexaj f ∈ H X E1( , ) . Todi f ∈ H X Y1( , ). Oskil\ky Y X∈B( ), to isnu[ poslidovnist\ gn n( ) = ∞ 1 neperervnyx vidobraΩen\ gn: X → Y taka, wo lim ( ) n ng x →∞ = f x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Z toho, wo mnoΩyna E [ retraktom prostoru Y, vyplyva[, wo isnu[ take neperervne vidobraΩennq r : Y → E, wo r y( ) = y, qkwo y E∈ . Dlq koΩnoho n ∈N poklademo fn = r gn� . Zrozumilo, wo vidobraΩennq fn : X → E neperervni dlq koΩnoho n. Krim toho, lim ( ) n nf x →∞ = lim ( ) n nr g x →∞ ( ) = r f x( )( ) = f x( ), oskil\ky f x E( ) ∈ . OtΩe, f ∈ B X E1( , ) . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1191 Perejdemo teper do vypadku, koly E — opukla pidmnoΩyna topolohiçnoho vektornoho prostoru Y. Poçnemo z dopomiΩnoho tverdΩennq. Lema 1. Nexaj Y — topolohiçnyj vektornyj prostir, G — opuklyj okil nulq v Z i q > 1. Todi G qG⊆ . Dovedennq. Nexaj z G∈ i q = 1 + δ, de δ > 0. Zrozumilo, wo U = – δ G — takoΩ okil nulq v Y. Todi ( )z U+ ∩ G ≠ ∅, zvidsy vyplyva[, wo isnugt\ ele- menty u G∈ i y G∈ taki, wo y = z – δ u. Todi z = y + δu G∈ + δG = ( )1 + δ G = qG, adΩe mnoΩyna G [ opuklog. TverdΩennq 2. Nexaj Y — topolohiçnyj vektornyj prostir, E — opuk- lyj okil nulq v Y. Todi formulog p y( ) = sup : int0 1< ≤ ∈{ }t ty E , vyznaça[t\sq vidobraΩennq p : Y → 0 1,( ], qke [ neperervnym. Dovedennq. Poznaçymo G = int E, G0 = Y i Gt = 1 t G . Oçevydno, wo mno- Ωyny Gt [ opuklymy i vidkrytymy v prostori Y. U cyx poznaçennqx funkciq p di[ za pravylom p y( ) = sup 0{ < t ≤ 1 : y ∈ Gt} . Te, wo funkcig p vyznaçeno na vs\omu prostori Y, bezposeredn\o vyplyva[ z radial\nosti mnoΩyny G. PokaΩemo, wo dlq dovil\noho ε ∈( , )0 1 mnoΩyny p– ,1 1ε( ]( ) i p – ( , )1 0 ε( ) [ vidkrytymy v 0 1,( ]. Zafiksu[mo 0 < ε < 1. Nerivnist\ p y( ) > ε vykonu[t\sq to- di i til\ky todi, koly isnu[ take t > ε, wo y Gt∈ . Takym çynom, p– ,1 1ε( ]( ) = = t tG>ε∪ . Zvidsy vyplyva[, wo mnoΩyna p– ,1 1ε( ]( ) [ vidkrytog v 0 1,( ]. Nerivnist\ p y( ) < ε vykonu[t\sq todi i til\ky todi, koly isnu[ s < ε take, wo;; y Gs∉ . Zhidno z lemog;1 pry s < t toçka y ne naleΩyt\ do mnoΩyny Gt .;;;OtΩe, p– ( , )1 0 ε( ) = t tY G< ( )ε∪ \ . Todi mnoΩyna p– ( , )1 0 ε( ) takoΩ [ vid- krytog v;;Y. ZauvaΩymo, wo p y( ) = 1, qkwo y E∈ . Krim toho, qkwo 0 < λ < p y( ) , to λy E∈ . Teorema 1. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — B-spryqtlyvyj dlq X topolohiçnyj vektornyj prostir, E — opukla pidmnoΩyna prostoru Y taka, wo int E ≠ ∅. Todi E X∈ B( ). Dovedennq. Oskil\ky zsuvy v topolohiçnomu vektornomu prostori [ homeo- morfizmamy, to moΩna vvaΩaty, wo 0 ∈ int E. Nexaj f ∈ H X E1( , ) . Todi f ∈ H X Y1( , ). Oskil\ky Y X∈ B( ), to isnu[ posli- dovnist\ fn n( ) = ∞ 1 neperervnyx vidobraΩen\ fn : X → Y taka, wo lim ( ) n nf x →∞ = = f x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Zhidno z tverdΩennqm 2 funkciq p : Y → 0 1,( ], qka vyznaça[t\sq formulog p y( ) = sup 0{ < t ≤ 1 : t y ∈ int E}, [ neperervnog. Dlq vsix n ∈N i x X∈ poklademo g xn( ) = n n p f x f xn n+ ( ) 1 ( ) ( ) . Oskil\ky n n p f xn+ ( ) 1 ( ) < p f xn( )( ), to g xn( ) ∈ E, pryçomu vidobraΩennq gn : X → E [ neperervnym dlq koΩnoho n. Zafiksu[mo x X∈ . Todi lim ( ) n ng x →∞ = p f x f x( ) ( )( ) = f x( ), ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 1192 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK adΩe p f x( )( ) = 1, oskil\ky f x( ) ∈ E. OtΩe, E X∈ B( ). Teorema 2. Nexaj X — topolohiçnyj prostir, Y — lindel\ofovyj pros- tir, Z — B-spryqtlyvyj dlq X topolohiçnyj prostir, qkyj slabo nakryva[ prostir Y. Todi Y X∈ B( ). Dovedennq. Nexaj f ∈ H X Y1( , ) i ϕ : Z → Y — slabkyj lokal\nyj homeo- morfizm. Z teoremy pro pidnqttq vyplyva[, wo isnu[ vidobraΩennq g ∈ ∈ H X Z1( , ) take, wo f x( ) = ϕ g x( )( ) dlq vsix x X∈ . Z toho, wo Z X∈ B( ) , vy- plyva[, wo g ∈ B X Z1( , ) . Tomu isnu[ poslidovnist\ gn n( ) = ∞ 1 neperervnyx vidob- raΩen\ gn: X → Z taka, wo lim ( ) n ng x →∞ = g x( ) dlq koΩnoho x X∈ . Poklademo f xn( ) = ϕ g xn( )( ). Zrozumilo, wo vidobraΩennq fn : X → Y [ neperervnym. Qk- wo x X∈ , to lim ( ) n nf x →∞ = lim ( ) n ng x →∞ ( )ϕ = ϕ g x( )( ) = f x( ). OtΩe, f ∈ B X Y1( , ). Takym çynom, Y X∈ B( ). 3. Nexaj X — vektornyj prostir, N0 = N ∪ 0{ } i Q2 + — mnoΩyna vsix do- datnyx dvijkovo-racional\nyx çysel. Poslidovnist\ Vn( : n ∈ )N0 neporoΩnix zaokruhlenyx pidmnoΩyn Vn prostoru X nazyva[t\sq dvijçastog, qkwo V0 = = X i Vn +1 + Vn +1 � Vn dlq koΩnoho n ∈N0. KoΩnomu çyslu r ∈ +Q2 spivsta- vymo pidmnoΩynu Ur z prostoru X za pravylom Ur = α1 1V + … + αn nV , qkwo r = 0( , α1… αn)2, i Ur = V0, qkwo r ≥ 1, de 0( , α 1… αn)2 = k n k k=∑ 1 2 α = r, αk ∈ 0 1,{ } pry k = 1, … , n – 1 i αn = 1. Sim’q Un( : r ∈ )+Q2 nazyva[t\sq dvijçastog sim’[g, porodΩenog poslidovnistg Vn( : n ∈ )N0 . Dlq koΩnoho x X∈ poznaçymo Ax = r ∈{ +Q2 : x Ur∈ } . Vyznaçymo funk- cig f : X → R takym çynom: f x( ) = inf Ax i budemo nazyvaty ]] funkci[g, porodΩenog dvijçastog poslidovnistg Vn( ) [11, s. 53]. Lema 2. Nexaj Y — hausdorfovyj topolohiçnyj vektornyj prostir, V — vidkrytyj zaokruhlenyj okil nulq v Y i U = V + V + V + V. Todi isnu[ nepe- rervna funkciq f : Y → 0 1,[ ] taka, wo f y( ) = 1, qkwo y V∈ , i f y( ) = 0, qkwo y Y∈ \ U. Dovedennq. Poznaçymo V0 = Y, V1 = U, V2 = V + V, V3 = V i vyberemo dlq koΩnoho m ≥ 4 takyj zaokruhlenyj okil nulq Vm , wo Vm + Vm � Vm –1. Roz- hlqnemo funkcig g : Y → 0 1,[ ], wo porodΩena poslidovnistg Vm m( ) = ∞ 1, i nepe- rervne vidobraΩennq h : 1 4 1 2 ,    → 0 1,[ ] take, wo h 1 4( ) = 1 i h 1 2( ) = 0. Dlq koΩnoho y Y∈ poklademo f y( ) = h max 1 4{( , min ( )g y{ , 1 2}}). Zrozumilo, wo funkciq f : Y → 0 1,[ ] [ neperervnog. Qkwo y V∈ = V3, to g y( ) < 1 4 i f y( ) = = h 1 4( ) = 1. Qkwo Ω y U∉ = V1, to g y( ) ≥ 1 2 i f y( ) = h 1 2( ) = 0. Teorema 3. Nexaj Y — hausdorfovyj topolohiçnyj vektornyj prostir i G — vidkrytyj neporoΩnij lindel\ofovyj linijno zv’qznyj pidprostir prostoru ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1193 Y. Todi isnu[ slabkyj lokal\nyj homeomorfizm ϕ : Y → G. Dovedennq. Budemo vvaΩaty, wo prostir Y [ nenul\ovym. Vyberemo za- okruhlenyj okil nulq V0 v Y i toçku y Y0 ∈ tak, wob y V0 0∉ + V0 + V0 + V0. Dlq koΩno] toçky y G∈ vyberemo vidkrytyj zaokruhlenyj okil nulq Uy takyj, wo y + Uy + Uy + Uy + Uy � G i U Uy y+ … + 16 raziv � ��� ��� � V0. Oskil\ky prostir G lindel\ofovyj, to isnu[ poslidovnist\ toçok yn z G taka, wo G = = n n yy U n= ∞ +( )1∪ . Dlq koΩnoho n ∈N poznaçymo Un = Uyn , Vn = Un + Un + + Un + Un , Wn = U Un n+ … + 16 raziv � ��� ��� i zafiksu[mo dovil\nu toçku y G∗ ∈ . Zhidno z lemog;2 dlq koΩnoho n ∈N isnu[ neperervna funkciq fn : Y → → 0 1,[ ] taka, wo f yn( ) = 1, qkwo y Un∈ , i f yn( ) = 0, qkwo y Vn∉ . Rozhlqne- mo vidobraΩennq gn: Y → Y, g yn( ) = f yn( ) ⋅ y. VidobraΩennq gn, oçevydno, [ neperervnym, pryçomu g yn( ) ∈ Vn dlq vsix y Y∈ , adΩe mnoΩyna Vn [ zaok- ruhlenog. Dlq koΩnoho n ∈N , zhidno z lemog;2, isnu[ neperervna funkciq hn : Y → → 0 1,[ ] taka, wo h yn( ) = 1, qkwo y Vn∈ , i h yn( ) = 0, qkwo y Wn∉ . Oskil\ky mnoΩyna G [ linijno zv’qznog, to dlq koΩnoho n ∈N isnug ne- perervne vidobraΩennq γ n: 0 1,[ ] → G take, wo γ n( )0 = y∗ i γ n( )1 = yn . Dlq koΩnoho y Y∈ poklademo ψn y( ) = y g y y V h y y V n n n n n n + ∈ ( ) ∉     ( ), , ( ) , . qkwo qkwoγ ZauvaΩymo, wo yn + g yn( ) ∈ yn + Vn � G, tomu ψn Y( ) � G . Oskil\ky vid- obraΩennq gn, γ n i hn [ neperervnymy, to dlq toho, wob pokazaty, wo vidob- raΩennq ψn : Y → G [ neperervnym, dosyt\ pereviryty, wo dlq vsix y Vn∈ \ Vn vykonu[t\sq rivnist\ yn + g yn( ) = γ n nh y( )( ). Nexaj y Vn∈ \ Vn. Oskil\ky y Vn∉ , to g yn( ) = 0, tobto yn + g yn( ) = yn . Z inßoho boku, y Vn∈ , tomu h yn( );= 1, otΩe, γ n nh y( )( ) = yn . Takym çynom, vidobraΩennq ψn : Y → G [ ne- perervnym. Dlq vsix n ∈N poznaçymo An = ny0 + Un i Bn = ny0 + Wn . Dlq koΩnoho y Y∈ poklademo ϕ( )y = ψn n n n y ny y B n y y B ( – ), , , . 0 1 qkwo dlq deqkoho qkwo ∈ ∉      ∗ = ∞ ∪ Perevirymo, wo vidobraΩennq ϕ : Y → G [ neperervnym. PokaΩemo spoçat- ku, wo poslidovnist\ Bn n( ) = ∞ 1 [ dyskretnog. Spravdi, nexaj y Y∈ i n m≠ . Prypustymo, wo ( )y V+ 0 ∩ ( )ny V0 0+ ≠ ∅ i ( )y V+ 0 ∩ ( )my V0 0+ ≠ ∅. Todi is- nugt\ toçky v1 , v2 , v3, v4 ∈ V0 taki, wo y + v1 = ny0 + v2 i y + v3 = my0 + + v4 . Todi ( – )n m y0 = v1 – v3 + v4 – v2 ∈ V0 + V0 + V0 + V0, zvidky y0 ∈ ∈ 1 0n m V – ( + V0 + V0 + V0) � V0 + V0 + V0 + V0, adΩe mnoΩyna V0 [ zaokruhle- nog. A ce supereçyt\ vyboru V0. Takym çynom, okil y + V0 peretyna[t\sq wo- najbil\ße z odni[g z mnoΩyn ( )ny V0 0+ . OtΩe, poslidovnist\ ( )ny Vn n0 1+ = ∞ [ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 1194 O. O. KARLOVA, V. V. MYXAJLGK dyskretnog, a tomu i poslidovnist\ ( )Bn n= ∞ 1 dyskretna, bo Bn � ny0 + V0 dlq koΩnoho n ∈N . Nexaj y Y∈ i U — vidkrytyj okil toçky y, qkyj peretyna[t\sq ne bil\ße niΩ z odni[g mnoΩynog z poslidovnosti ( )Bn n= ∞ 1. Qkwo U ∩ n nB= ∞( )1∪ = ∅, to ϕ U = y∗ . Qkwo Ω U ∩ Bk ≠ ∅ dlq deqkoho k, to U ∩ Bn = ∅ dlq vsix n ≠ k, ϕ( )y = ψk y ky( – )0 pry y ∈ U ∩ Bk i ϕ( )y = y∗ pry y ∈ U \ Bk , tobto ϕ U = = ψk U . OtΩe, vidobraΩennq ϕ : Y → G [ neperervnym. Qkwo y G∈ , to isnu[ nomer n takyj, wo y yn∈ + Un . Todi vidobraΩennq ϕ An = ψ An : An → ( )y Un n+ [ homeomorfizmom, bo ψn ny( 0 + ′y ) = yn + ′y dlq vsix ′ ∈y Un . Takym çynom, vidobraΩennq ϕ : Y → G [ slabkym lokal\nym homeomorfizmom. Z rezul\tativ [7] i teoremy;2 bezposeredn\o vyplyva[ nastupne tverdΩennq. Teorema 4. Nexaj Y — stroha induktyvna hranycq zrostagço] poslidov- nosti metryzovnyx lokal\no opuklyx prostoriv i G — vidkrytyj lindel\ofo- vyj linijno zv’qznyj pidprostir prostoru Y . Todi G — B-spryqtlyvyj prostir dlq spadkovo berivs\koho separabel\noho metryzovnoho prostoru X. Lema 3. Nexaj X — rehulqrnyj prostir, Gn{ : n ∈ }N — lokal\no skin- çenne vidkryte pokryttq prostoru X metryzovnymy pidprostoramy Gn . Todi prostir X [ metryzovnym. Dovedennq. Zhidno z metryzacijnog teoremog Binha [12, s. 418] u prostori Gn dlq koΩnoho n isnu[ σ-dyskretna baza Un . Nexaj Un = m n m= ∞ 1∪ U , , de systema Un m, [ dyskretnog v Gn dlq koΩnoho m. PokaΩemo, wo systema Vm = n n m= ∞ 1∪ U , [ lokal\no skinçennog v X dlq koΩnoho m. Spravdi, nexaj x X∈ i m ∈N . Poznaçymo N0 = n ∈{ N : x Gn∈ } . Oskil\ky pokryttq Gn{ : n ∈ }N [ lokal\no skinçennym, to mnoΩyna N0 skin- çenna. Dlq koΩnoho n N∈ 0 isnu[ vidkrytyj v Gn okil Un toçky x, qkyj peretyna[t\sq ne bil\ße niΩ z odni[g mnoΩynog z systemy Un m, . Poklademo V = n N nU∈ 0 ∩ . Oskil\ky mnoΩyna N0 [ skinçennog i vsi Un vidkryti v Gn , a otΩe, i v X, to mnoΩyna V [ vidkrytog v X. Zrozumilo, wo V peretyna[t\sq ne bil\ß niΩ z N0 mnoΩynamy z systemy Un m, . Takym çynom, dlq koΩnoho m systema Vm [ lokal\no skinçennog v X. Poklademo V = m m= ∞ 1∪ V i pokaΩemo, wo V — baza u prostori X. Nexaj G — vidkryta v X mnoΩyna. Todi G = n nG G= ∞ ( ) 1∪ ∩ . Oskil\ky dlq koΩnoho n mnoΩyny G Gn∩ [ vidkrytymy v Gn , to isnu[ taka systema A Un n⊆ , wo G Gn∩ = ∪An . Za pobudovog, ∪V = ∪∪n n= ∞ 1 U , tomu A Vn ⊆ . OtΩe, G = = n n= ∞ 1∪ ∪A . Takym çynom, V — σ-lokal\no skinçenna baza u prostori X. Zhidno z metry- zacijnog teoremog Nahaty – Smirnova [12, s. 416] prostir X [ metryzovnym. Teorema 5. Nexaj Y — metryzovnyj separabel\nyj linijno zv’qznyj i lo- kal\no linijno zv’qznyj prostir, X — lindel\ofovyj prostir i ϕ : Y → X — slabkyj lokal\nyj homeomorfizm. Todi X — metryzovnyj separabel\nyj li- nijno zv’qznyj i lokal\no linijno zv’qznyj prostir . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9 SLABKI LOKAL|NI HOMEOMORFIZMY TA B-SPRYQTLYVI PROSTORY 1195 Dovedennq. Oskil\ky ϕ : Y → X — slabkyj lokal\nyj homeomorfizm, to dlq koΩnoho x X∈ isnugt\ vidkrytyj okil Ux toçky x i vidkryta v Y mno- Ωyna Vx taki, wo ϕ Vx : Vx → Ux — homeomorfizm. Z toho, wo prostir X [ lindel\ofovym, vyplyva[, wo isnu[ zliçenne pidpokryttq U = U xn{ : n ∈ }N pokryttq Ux{ : x X∈ } . Zhidno z [12, s. 444] prostir X [ parakompaktnym, tomu isnu[ lokal\no skinçenne vidkryte pokryttq G = Gx{ : n ∈ }N , vpysane v U. Oskil\ky dlq koΩnoho n pidprostir Gn homeomorfnyj deqkomu metryzov- nomu pidprostoru Y, to Gn — metryzovnyj pidprostir prostoru X. Zhidno z lemog;3 prostir X [ metryzovnym. Linijna zv’qznist\ prostoru X vyplyva[ z toho, wo vin [ neperervnym obra- zom linijno zv’qznoho prostoru. PokaΩemo, wo prostir X [ lokal\no linijno zv’qznym. Nexaj x X∈ i U — okil toçky x. Isnu[ vidkryta v Y mnoΩyna V Vx⊆ taka, wo ϕ V : V → U ∩ Ux — homeomorfizm. Oskil\ky Y — lokal\no linijno zv’qznyj prostir, to isnu[ vidkrytyj linijno zv’qznyj okil W toçky ϕ V( )–1 ( )x takyj, wo W V⊆ . Todi ϕ V W( ) — vidkrytyj linijno zv’qznyj okil toçky x takyj, wo ϕ V W( ) � U. Z toho, wo prostir X [ metryzovnym i lindel\ofovym, vyplyva[, wo vin [ se- parabel\nym. 1. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1966. – T. 1. – 596 s. 2. Rolewic S. On inversion of non-linear transformations // Stud. Math. – 1958. – 17. – P. 79 – 83. 3. Stegall C. Functions of the first Baire class with values in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. – 1991. – 111. – P. 981 – 991. 4. Hansell R. Lebesgue’s theorem on Baire class 1 functions // Topology with Appl., Szekszárd (Hungary). – 1993. – P. 251 – 257. 5. Fosgerau M. When are Borel functions Baire functions? // Fund. math. – 1993. – 143. – P. 137 – 152. 6. Veselý L. Characterization of Baire-one functions between topological spaces // Acta Univ. carol. Math. et phys. – 1992. – 33, # 2. – P. 143 – 156. 7. Karlova O. O., Mykhaylyuk V. V. On Baire one mappings and Lebesgue one mappings with values in inductive limits // Mat. stud. – 2006. – 25, # 1. – S. 103 – 107. 8. Karlova O. O. Perßyj funkcional\nyj lebehivs\kyj klas i berivs\ka klasyfikaciq nariz- no neperervnyx vidobraΩen\ // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2004. – Vyp. 191 – 192. – S. 52 – 60. 9. Karlova O. O. Pro naleΩnist\ do perßoho klasu Bera vidobraΩen\ zi znaçennqmy v oblas- tqx // Mat. stud. – 2005. – 23, # 2. – S. 221 – 224. 10. Borsuk K. Teoryq retraktov. – M.: Myr, 1971. – 292 s. 11. Maslgçenko V. K. Perßi typy topolohiçnyx vektornyx prostoriv. – Çernivci: Ruta, 2002. – 72 s. 12. ∏nhel\kynh R. Obwaq topolohyq. – M.: Myr, 1986. – 752 s. OderΩano 15.12.06 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9

Ähnliche Einträge