Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями
We study impulsive storage process switching by a jump process. The switching process itself is an
 averaging process. Weak convergence of the storage process in a series scheme when a small parameter
 ε tends to zero is proved. Исследован импульсный процесс накопления, который перек...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164754 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1282–1286. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860239669950676992 |
|---|---|
| author | Самойленко, І.В. |
| author_facet | Самойленко, І.В. |
| citation_txt | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1282–1286. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | We study impulsive storage process switching by a jump process. The switching process itself is an
averaging process. Weak convergence of the storage process in a series scheme when a small parameter
ε tends to zero is proved.
Исследован импульсный процесс накопления, который переключается с помощью скачкообразного процесса. Переключающий процесс, в свою очередь, усредняется. Доказана слабая сходимость процесса накопления в схеме серий, когда малый параметр ε стремится к нулю.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:28:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
I. V. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
ZBIÛNIST| IMPUL|SNOHO PROCESU NAKOPYÇENNQ
ZI STRYBKOVYMY PEREMYKANNQMY
We study impulsive storage process switching by a jump process. The switching process itself is an
averaging process. Weak convergence of the storage process in a series scheme when a small parameter
ε tends to zero is proved.
Yssledovan ympul\sn¥j process nakoplenyq, kotor¥j pereklgçaetsq s pomow\g skaçkoobraz-
noho processa. Pereklgçagwyj process, v svog oçered\, usrednqetsq. Dokazana slabaq sxo-
dymost\ processa nakoplenyq v sxeme seryj, kohda mal¥j parametr ε stremytsq k nulg.
U roboti [1] rozhlqda[t\sq zbiΩnist\ procesiv nakopyçennq z peremykannqmy v
sxemi serij, qki budugt\sq za dopomohog sum umovno nezaleΩnyx vypadkovyx ve-
lyçyn abo procesiv z umovno nezaleΩnymy pryrostamy na tra[ktoriqx procesiv,
wo peremykagt\sq. Vyvçeno takoΩ deqki zastosuvannq do analizu procesiv na-
kopyçennq v modelqx system obsluhovuvannq.
Bil\ß detal\no, v [1] rozhlqnuto poslidovnist\ procesiv
S tn( ) =
k
nt
nk nk kS x
=
∑ ( )
0
ν
γ
( )
; ,
de Snk +1 = Snk + ξnk kx( , Snk ), ξnk , γ nk — nezaleΩni sim’] nezaleΩnyx u sukup-
nosti vypadkovyx velyçyn, xk — markovs\kyj proces, ν( )t = min k{ : k ≥ 0,
t tk + ≥ }1 , t ≥ 0, — zahal\na kil\kist\ toçok peremykannq na promiΩku 0, t[ ].
Takym çynom, procesy S tn( ) utvorggt\ procesy nakopyçennq z peremykan-
nqm na rekurentnyx procesax napivmarkovs\koho typu. Bulo vyvçeno zbiΩnist\
za parametrom n. Vykorystovugçy metody robit [2, 3] , zokrema metod xarakte-
rystyçnyx funkcij, dovedeno zbiΩnist\ S tn( ) do neodnoridnoho procesu z neza-
leΩnymy pryrostamy.
My proponu[mo rozhlqnuty analohiçnu zadaçu u dewo sprowenomu varianti v
terminax maloho parametra serij, wo prqmu[ do nulq, ta zastosuvaty dlq dove-
dennq zbiΩnosti metod, zaproponovanyj v roboti [4] (dyv. takoΩ [5]).
Dotrymugçys\ roboty [4], poznaçymo çerez x t( ), t ≥ 0, markovs\kyj proces
strybkiv u standartnomu prostori staniv ( , )E E . Nexaj cej proces vyznaça[t\sq
heneratorom
Q xϕ( ) = q x P x dy y x
E
( ) ( , ) ( ) – ( )∫ [ ]ϕ ϕ .
Napivmarkovs\ke qdro
Q x B t( , , ) = P x B e q x t( , ) – – ( )1( ), x E∈ , B∈E , t ≥ 0,
vyznaça[ asocijovanyj markovs\kyj proces vidnovlennq ( , )xk kτ , k ≥ 0, de xk ,
k ≥ 0, — vkladenyj lancgh Markova, wo zadanyj stoxastyçnym qdrom
P x B( , ) = P( )x B x xk k+ ∈ =1 ,
a τk , k ≥ 0, — toçkovyj proces momentiv strybkiv, qkyj vyznaça[t\sq funkci[g
rozpodilu çasu perebuvannq θk +1 = τk +1 – τk , k ≥ 0,
P( )θk kt x x+ ≤ =1 = 1 – e q x t– ( )
.
© I. V. SAMOJLENKO, 2008
1282 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
ZBIÛNIST| IMPUL|SNOHO PROCESU NAKOPYÇENNQ ZI STRYBKOVYMY … 1283
V rozdili 3 roboty [4] vyvça[t\sq proces
S tε( ) = s +
k
t
k kC S x
=
∑ ( )
1
ν ε
ε
( / )
; ,
de s d∈ ′R , Sk
ε = S k( )ετ , ν( )t = max k{ : τk t≤ } — liçyl\nyj proces strybkiv.
V [4] dovedeno, wo proces S tε( ) pry ε → 0 zbiha[t\sq do rozv’qzku rivnqnnq
d
dt
S tˆ( ) = ˆ ˆ( )C S t( ),
de
ˆ( )C s =
E
dx C s x∫ π( ) ( ; ) . (1)
U danij roboti my dewo uzahal\ng[mo ostanng zadaçu ta rozhlqda[mo im-
pul\snyj proces u prostori Rd
U tε( ) = u +
k
t
k k kS x
=
∑ ( )
1
ν ε
ε εα
( / )
; , (2)
de αε
k s x( ; ) , k ≥ 1, s
d∈ ′R , x E∈ , — sim’q vypadkovyx velyçyn iz znaçennqmy
vJRd
.
Osnovnog metog roboty [ dovedennq slabko] zbiΩnosti procesu (2).
ZauvaΩennq. Na vidminu vid roboty [1] , de vyvça[t\sq zbiΩnist\ za paramet-
rom n → ∞, my vvodymo normuvannq çasu malym parametrom ε → 0. Krim toho,
vidminnist\ vid roboty [1] polqha[ v deqkyx obmeΩennqx na vypadkovi velyçyny,
qki vxodqt\ v oznaçennq procesu (2). Zokrema, dali vvedemo umovy na αε
k .
Nexaj vykonugt\sq nastupni umovy:
C
1
. Prypustymo, wo x t( ), t ≥ 0, — rivnomirno erhodyçnyj proces zi stacio-
narnym rozpodilom π( )B , B∈E . Takym çynom, vkladenyj lancgh Markova
xk , k ≥ 0, takoΩ [ rivnomirno erhodyçnym ta ma[ stacionarnyj rozpodil ρ( )B ,
B∈E , i vykonugt\sq spivvidnoßennq
π( ) ( )dx q x = q dxρ( ) , q : =
E
dx q x∫ π( ) ( ).
C
2
. Sim’q vypadkovyx velyçyn αε
k s x( ; ) , k ≥ 1, s d∈ ′R , x E∈ , rozhlqda[t\-
sq v sxemi serij z malym parametrom ε > 0 ta vyznaça[t\sq funkci[g rozpodilu
Φε( , ; )s x z = P αε
k s x z( ; ) <{ } , s
d∈ ′R , z
d∈R , x E∈ .
C
3
. Sim’q vypadkovyx velyçyn αε
k s x( ; ) , k ≥ 1, s
d∈ ′R , x E∈ , [ rivnomirno
kvadratyçno intehrovnog:
sup sup ( , ; )
ε
ε
> ∈ >
∫
0
2
x E z c
z s x dzΦ → 0, c → ∞.
Nexaj vykonugt\sq umovy puassonivs\ko] aproksymaci]:
PA
1
. Aproksymaciq serednix:
a s xε( ; ) = Eαε
k s x( ; ) =
Rd
z s x dz∫ Φε( , ; ) = ε θεa s x s xa( ; ) ( ; )+[ ]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1284 I. V. SAMOJLENKO
ta
c s xε( ; ) =
Rd
zz s x dz∫ ∗Φε( , ; ) = ε θεc s x s xc( ; ) ( ; )+[ ].
PA
2
. Puassonivs\ka aproksymaciq qdra intensyvnosti
Rd
g z s x dz∫ ( ) ( , ; )Φε = ε θεΦg gs x s x( , ) ( ; )+[ ]
dlq vsix g ∈ C
d
3 R( ) ta qdro Φg s x( , ) obmeΩene dlq vsix g ∈ C
d
3 R( ) , tobto
sup ( , )
x E
g s x
∈
Φ ≤ Φg < ∞.
Çleny, qkymy moΩna znextuvaty θ θ θε ε ε
a c g, ,( ), zadovol\nqgt\ umovy
sup ( ; )
x E
s x
∈
⋅θ
ε → 0, ε → 0.
Osnovnym rezul\tatom roboty [ nastupna teorema.
Teorema 1. Za umov C
1
– C
3
, PA
1
, PA
2
ma[ misce slabka zbiΩnist\ pary
U t S tε ε( ), ( )( ) fi ˆ ( ), ˆ( )U t S t( ) , ε → 0.
Hranyçnyj proces
ˆ( ), ˆ( )U t S t( ) , t ≥ 0, vyznaça[t\sq heneratorom
ˆ( ) ( , )A s u sϕ = ˆ( ) ( , )a s u su′ϕ + ˆ( ) ( , )C s u ss′ϕ +
Rd
u z s u s s dz∫ +[ ]ϕ ϕ( , ) – ( , ) ˆ ( ; )Φ ,
(3)
de userednenyj determinovanyj zsuv vyznaça[t\sq qk
ˆ( )a s =
E
dx a s x∫ π( ) ( ; ) , (4)
a userednene qdro intensyvnosti — qk
ˆ ( ; )Φ s dz =
E
dx s x dz∫ π( ) ( , ; )Φ . (5)
Tut qdro Φ( ,s x ; dz) vyznaça[t\sq z rivnosti
Φg s x( ; ) =
Rd
g z s x dz∫ ( ) ( , ; )Φ , g z C d( ) ( )∈ 3 R .
Dovedennq. Dlq dovedennq slabko] zbiΩnosti vykorysta[mo rezul\taty,
otrymani v rozdili 3 roboty [4].
Nexaj C d
0
2 R( × E) — prostir dijsnoznaçnyx dviçi neperervno dyferenci-
jovnyx funkcij po perßomu arhumentu, vyznaçenyx na Rd × E i takyx, wo do-
rivnggt\ nulg na neskinçennosti, a C dR( × E) — prostir dijsnoznaçnyx nepe-
rervno obmeΩenyx funkcij, vyznaçenyx na Rd × E.
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema 2 [4] (teorema 6.3). Nexaj sim’q markovs\kyx procesiv ξε( )t , t ≥ 0,
ε > 0, zadovol\nq[ nastupni umovy:
CD1. Isnu[ sim’q test-funkcij ϕε( , )u x u prostori C Ed
0
2 R ×( ) takyx,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
ZBIÛNIST| IMPUL|SNOHO PROCESU NAKOPYÇENNQ ZI STRYBKOVYMY … 1285
wo
lim ( , )
ε
εϕ
→0
u x = ϕ( )u ,
rivnomirno na u, x.
CD2. Ma[ misce zbiΩnist\
lim ( , )
ε
ε εϕ
→0
L u x = Lϕ( )u
rivnomirno na u, x. Sim’q funkcij Lε εϕ , ε > 0, [ rivnomirno obmeΩenog, a
Lϕ( )u i Lε εϕ naleΩat\ do C
dR( × E) .
CD3. Kvadratyçni xarakterystyky martynhaliv, wo vidpovidagt\ markov-
s\komu procesu ξε( )t , t ≥ 0, ε > 0, magt\ vyhlqd µε
t
=
0
t
s ds∫ ζε( ) , de vypad-
kovi funkci] ζε , ε > 0, zadovol\nqgt\ umovu
sup ( )
0≤ ≤s T
sE ζε ≤ c < + ∞.
CD4. Poçatkovi znaçennq zbihagt\sq ta
sup ( )
ε
εζ
>0
0E ≤ C < + ∞.
Todi ma[ misce slabka zbiΩnist\
ξε( )t fi ξ( )t , ε → 0.
Rozhlqnemo trykomponentnyj markovs\kyj proces
U tε( ), S tε( ), x t( / )ε , t ≥ 0,
de tretq peremykagça komponenta vyznaça[t\sq na standartnomu prostori
( , )E E za dopomohog heneratora
Q xϕ( ) = q x P x dy y x
E
( ) ( , ) ( ) – ( )∫ [ ]ϕ ϕ .
Cej proces xarakteryzu[t\sq martynhalom
µεt = ϕ εε εU t S t x t( ), ( ), ( / )( ) –
0
t
U S x d∫ ( )Lε ε εϕ τ τ τ ε τ( ), ( ), ( / ) , (6)
de henerator Lε ma[ vyhlqd [4] (rozdil 3)
Lεϕ( , , )u s x = ε ϕε ε– ( , ) ( , ) ( , , )1Q s x s x u s x+ +[ ]A C . (7)
Tut
A
ε ϕ( , ) ( )s x u = ε ϕ ε ϕ– ( ( ; )) – ( )1 u a s x u+[ ],
A( , ) ( )s x uϕ = a s x u( ; ) ( )′ϕ ,
C
ε ϕ( , ) ( )s x s = ε ϕ ε ϕ– ( ( ; )) – ( )1 s C s x s+[ ],
C( , ) ( )s x sϕ = C s x s( ; ) ( )′ϕ .
Rozv’qzok zadaçi synhulqrnoho zburennq dlq Lε na test-funkciqx ϕε(u, s,
x) = ϕ( , )u s + εϕ1(u , s , x) navedeno v [4] (lema 7.3). Zhidno z ci[g lemog, hra-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
1286 I. V. SAMOJLENKO
nyçnyj dvokomponentnyj proces
ˆ( )U t( ,
ˆ( )S t ) vyznaça[t\sq heneratorom
Lϕ( , )u s = ˆ( ) ( , )a s u su′ϕ + ˆ( ) ( , )C s u ss′ϕ +
Rd
u z s u s s dz∫ +[ ]ϕ ϕ( , ) – ( , ) ˆ ( ; )Φ ,
(8)
de
ˆ( )C s , ˆ( )a s i
ˆ ( ; )Φ s dz vyznaçeno v (1), (4) i (5) vidpovidno.
Teper moΩemo zastosuvaty teoremuJ2.
Z (7) ta (8) oçevydno, wo rozv’qzok zadaçi synhulqrnoho zburennq zadovol\-
nq[ umovy CD1, CD2.
Umova CD3 vymaha[, wob kvadratyçna xarakterystyka martynhala, wo vidpo-
vida[ trykomponentnomu markovs\komu procesu, bula vidnosno kompaktnog.
Analohiçni umovy dlq stoxastyçnyx system z markovs\kym peremykannqm vy-
vçagt\sq v rozdili 6.4.1 roboty [4]. Tam dovedeno (dyv., zokrema, naslidok 6.1),
wo procesy, vyznaçeni martynhalamy typu (6), [ vidnosno kompaktnymy.
Oskil\ky Uε( )0 = ˆ( )U 0 , Sε( )0 = ˆ( )S 0 , xε( )0 = x( )0 , umova CD4, oçevydno,
vykonu[t\sq. Takym çynom, vsi umovy teoremyJ2 vykonugt\sq, tobto ma[ misce
slabka zbiΩnist\ U tε( )( , S tε( )) fi ˆ ( )U t( ,
ˆ( )S t ).
Hranyçnyj markovs\kyj proces
ˆ( )U t( ,
ˆ( )S t ), t ≥ 0, zhidno z rezul\tatamy [4],
vyznaça[t\sq heneratorom (3).
TeoremuJ1 dovedeno.
1. Anisimov V. V. ZbiΩnist\ procesiv nakopyçennq z peremykannqmy // Teoriq jmovirnostej ta
mat. statystyka. – 2000. – # 63. – S. 3 – 12.
2. Billingsley P. Convergence of probability measures. – New York: J. Wiley and Sons, 1968. –
368 p.
3. Hryhelyonys B. Y. Ob otnosytel\noj kompaktnosty mnoΩestv veroqtnostn¥x mer v
D X( , ) ( )0 ∞ // Lyt. mat. sb. – 1973. – 13, # 4. – S. 83 – 96.
4. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – World Sci. Publ., 2005. –
330 p.
5. Koroliuk V. S., Limnios N. Diffusion approximation with equilibrium of evolutionary systems
switched by semi-Markov processes // Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 9. – S. 1253 – 1260.
OderΩano 29.01.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164754 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:28:36Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Самойленко, І.В. 2020-02-10T17:38:26Z 2020-02-10T17:38:26Z 2008 Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями / І.В. Самойленко // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 9. — С. 1282–1286. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164754 519.21 We study impulsive storage process switching by a jump process. The switching process itself is an
 averaging process. Weak convergence of the storage process in a series scheme when a small parameter
 ε tends to zero is proved. Исследован импульсный процесс накопления, который переключается с помощью скачкообразного процесса. Переключающий процесс, в свою очередь, усредняется. Доказана слабая сходимость процесса накопления в схеме серий, когда малый параметр ε стремится к нулю. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями Convergence of an impulsive storage process with jump switchings Article published earlier |
| spellingShingle | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями Самойленко, І.В. Короткі повідомлення |
| title | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| title_alt | Convergence of an impulsive storage process with jump switchings |
| title_full | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| title_fullStr | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| title_full_unstemmed | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| title_short | Збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| title_sort | збіжність імпульсного процесу накопичення зі стрибковими перемиканнями |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164754 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoív zbížnístʹímpulʹsnogoprocesunakopičennâzístribkovimiperemikannâmi AT samoilenkoív convergenceofanimpulsivestorageprocesswithjumpswitchings |