Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку
Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию. We prove a theorem on th...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164768 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164768 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Перун, Г.М. 2020-02-10T19:29:35Z 2020-02-10T19:29:35Z 2008 Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164768 519.21 Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию. We prove a theorem on the well-posedness of the Cauchy problem for a linear stochastic equation of the parabolic type of higher order with time-dependent coefficients and continuous perturbations whose solutions are subjected to pulse action at fixed times. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку Problem with pulse action for a linear stochastic parabolic equation of higher order Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| spellingShingle |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку Перун, Г.М. Короткі повідомлення |
| title_short |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| title_full |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| title_fullStr |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| title_full_unstemmed |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| title_sort |
задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку |
| author |
Перун, Г.М. |
| author_facet |
Перун, Г.М. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Problem with pulse action for a linear stochastic parabolic equation of higher order |
| description |
Доказана теорема o корректности задачи Коши для линейного стохастического уравнения параболического типа высшего порядка с коэффициентами, зависящими от времени, и непрерывными возмущениями, решения которого в фиксированные моменты времени подвержены импульсному воздействию.
We prove a theorem on the well-posedness of the Cauchy problem for a linear stochastic equation of the
parabolic type of higher order with time-dependent coefficients and continuous perturbations whose
solutions are subjected to pulse action at fixed times.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164768 |
| citation_txt |
Задача з імпульсною дією для лінійного стохастичного параболічного рівняння вищого порядку / Г.М. Перун // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 10. — С. 1422–1426. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT perungm zadačazímpulʹsnoûdíêûdlâlíníinogostohastičnogoparabolíčnogorívnânnâviŝogoporâdku AT perungm problemwithpulseactionforalinearstochasticparabolicequationofhigherorder |
| first_indexed |
2025-11-27T07:35:28Z |
| last_indexed |
2025-11-27T07:35:28Z |
| _version_ |
1850806607851552768 |
| fulltext |
UDK 519.21
H. M. Perun (Çerniv. nac. un-t)
ZADAÇA Z IMPUL|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO
STOXASTYÇNOHO PARABOLIÇNOHO RIVNQNNQ
VYWOHO PORQDKU
We prove a theorem on the well-posedness of the Cauchy problem for a linear stochastic equation of the
parabolic type of higher order with time-dependent coefficients and continuous perturbations whose
solutions are subjected to pulse action at fixed times.
Dokazana teorema o korrektnosty zadaçy Koßy dlq lynejnoho stoxastyçeskoho uravnenyq pa-
rabolyçeskoho typa v¥sßeho porqdka s koπffycyentamy, zavysqwymy ot vremeny, y neprer¥v-
n¥my vozmuwenyqmy, reßenyq kotoroho v fyksyrovann¥e moment¥ vremeny podverΩen¥ ym-
pul\snomu vozdejstvyg.
Systemy zvyçajnyx dyferencial\n¥x rivnqn\, qki zaznagt\ impul\sno] di], hly-
boko vyvçeno v praci A.2M.2Samojlenka, M.2O.2Perestgka [1]. Krajovi zadaçi
dlq rivnqn\ druhoho porqdku paraboliçnoho typu z bilym ßumom riznymy meto-
damy doslidΩuvalys\ u pracqx J. I. Hixmana [2], I. J. Hixmana [3], A. Q. Dorohov-
ceva, S. D. Ivasyßena, A. H. Kukußa [4]. Vlastyvosti rozv’qzkiv kvazilinijnyx
hiperboliçnyx rivnqn\ z impul\snog di[g vyvçaly M. O. Perestgk, A. V. Tkaç
[5]. Rezul\taty vyvçennq zadaçi Koßi dlq paraboliçnyx system z impul\snog
di[g vykladeno u praci M. I. Matijçuka ta V. M. Luçka [6].
Nexaj vyznaçeno jmovirnisnyj prostir ( Ω , F, P ) z nespadnym potokom σ -al-
hebr { }, ,F t F F t tt t t≥ ⊂ <0
1 2 1 2pry . Vypadkova funkciq u ( t, x, ω ) , qka vyzna-
çena na [ t0, T ] × En × Ω ≡ Π × Ω , vymirna i z imovirnistg221 [ rozv’qzkom zadaçi
Koßi
d ut = A t D u t x dt C t D u t x dw tk x
k
k b
k x
k
k m
( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , )ω ω ω
≤ ≤
∑ ∑
+
2
, (1)
x ∈ En , ω ∈ Ω ,
u t x t t( , , )ω = 0
= ϕ ( x, ω ) , (2)
qkyj pry t = τi , i = 1, 2, … , N , t0 < τ1 < … < τN ≤ T, zadovol\nq[ umovu
strybka [1]
∆t tu t x
i
( , , )ω τ= = u x u xi i( , , ) ( , , )τ ω τ ω+ − −0 0 = B u xi i( , , )τ ω− 0 ≡ B ui . (3)
Qkwo τi — toçka rozryvu perßoho rodu, to funkciq u [ neperervnog zliva.
Poklademo
u xi( , , )τ ω = u xi( , , )τ ω− 0 = lim ( , , )
t i
u t x
→ −τ
ω
0
.
Tut A tk( ) i C tk( ) — neperervni funkci], ϕ ( x, 0 ) [ obmeΩenog, ϕ ( x, ω ) ne zale-
Ωyt\ vid potoku Ft , Bi ∈ R , w ( t, ω ) — standartnyj skalqrnyj vinerivs\kyj
proces.
Zastosu[mo do zadaçi (1) – (3) intehral\ne peretvorennq Fur’[ [7]
v ( t, σ, ω ) = Fx u ( t, x, ω ) = e u t x dxi x
En
σ ω( , , )∫ , σ ∈ En ,
© H. M. PERUN, 2008
1422 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
ZADAÇA Z IMPUL|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO STOXASTYÇNOHO … 1423
todi
dt v ( t, σ, ω ) =
A t i t dt C t i t dw tk
k
k b
k
k
k m
( )( ) ( , , ) ( )( ) ( , , ) ( , )σ σ ω σ σ ω ωv v
≤ ≤
∑ ∑
+
2
, (4)
v( , , )t t tσ ω = 0
= ˜ ( )ϕ σ , σ ∈ En , (5)
∆t tt
i
v( , , )σ ω τ= = Bi iv( , , )τ σ ω− 0 . (6)
Rivnqnnq (4) [ linijnym odnoridnym stoxastyçnym rivnqnnqm. Zadaça (4), (5)
ma[ [dynyj z toçnistg do stoxastyçno] ekvivalentnosti neperervnyj rozv’qzok
[8] pry t ≠ τi , i = 1, 2, … , N , qkyj vyznaça[t\sq formulog
v ( t, σ, ω ) = ˜ ( ) exp ( )( ) ( )( )ϕ σ σ σA s i C s i dsk
k
k
k
k mk bt
t
−
≤≤
∑∑∫ 1
2
2
20
+
+
t
t
k
k
k m
C s i dw s
0
∫ ∑
≤
( )( ) ( , )σ ω . (7)
Formula (7) mistyt\ normal\nyj fundamental\nyj rozv’qzok (NFR) zadaçi
Koßi dlq vidpovidnoho (1) determinovanoho rivnqnnq
Q ( t, τ, σ ) = exp ( )( )
τ
σ
t
k
k
k b
A s i ds∫ ∑
≤
2
.
NFR zadaçi (4), (5) dlq stoxastyçnoho rivnqnnq z imovirnistg221 [ funkciq
Q1 ( t, τ, σ, ω ) = exp ( )( ) ( )( ) ( )A s i C s i s dsk
k
k
k
k mk b
t
σ σ
τ
−
≤≤
∑∑∫ 1
2
2
2
+
+
τ
σ
t
k
k
k m
C s i dw s∫ ∑
≤
( )( ) ( ) ≡ Q t C s i dw sk
k
k m
t
( , , ) exp ( )( ) ( )τ σ σ
τ ≤
∑∫
–
–
τ
σ
t
k
k
k m
C s i ds∫ ∑
≤
1
2
2
( )( ) , Q1 ( τ, τ, σ, ω ) = 1. (8)
Nenul\ovyj rozv’qzok zadaçi (4) – (6) nazvemo matrycantom V t t( , , , )0 σ ω , qk-
wo V t t( , , , )0 0 σ ω = 1 z imovirnistg221. Matrycant zadaçi z impul\snog di[g [1]
ma[ vyhlqd
V t t( , , , )0 σ ω = Q t t B Q t tj m j m j j
m
1 1 1
1
1( , , , )( ) ( , , , )+ + + + −
=
+ ∏σ ω σ ων ν
ν
×
× ( ) ( , , , )1 1 1 0+ + −B Q tj jν τ σ ω , (9)
t0 ≤ τ j+1 < τ j m+ < t ≤ τ j m+ +1 < T.
Teper rozv’qzok zadaçi zobrazymo v obrazax Fur’[:
v ( t, σ, ω ) = V t t( , , , ) ˜ ( , )0 σ ω ϕ σ ω . (10)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1424 H. M. PERUN
Nexaj G t x( , , , )τ ω — funkciq Hrina, qka [ obernenym peretvorennqm Fur’[
matrycanta
G t x( , , , )τ ω = F V tσ τ σ ω−1 ( , , , ) = 1
2( )
( , , , )
π
τ σ ω σσ
n
E
i x
n
e V t d∫ − , (11)
∆t tG t t x
i
( , , , )0 ω τ= = B G t xi i( , , , )τ ω0 , t0 < … < τi < … < τi m+ < t < T. (12)
Za dopomohog funkci] Hrina zapyßemo rozv’qzok zadaçi (1) – (3) u vyhlqdi
u ( t, x, ω ) =
En
G t t x d∫ ( , , , , ) ( , )0 ξ ω ϕ ξ ω ξ . (13)
Ob©runtu[mo formulu (13). Poznaçymo C s∗( , )σ = Re ( )( )C s ik
k
k m
σ
≤
∑ ,
C s∗∗( , )σ = Im ( )( )C s ik
k
k m
σ
≤
∑ , todi
Q t t1 0( , , , )σ ω = exp ( )( ) ( , ) ( , )A s i C s C s dsk
k
k bt
t
σ σ σ− +
∗ ∗∗
≤
∑∫ 1
2
1
2
2
20
+
+
t
t
t
t
t
t
C s dw i C s dw s C s C s ds
0 0 0
∫ ∫ ∫∗ ∗∗ ∗ ∗∗+ −
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )σ σ σ σ .
Vykorystovugçy ponqttq modulq kompleksnoznaçno] funkci], ma[mo
Q t t1 0( , , , )σ ω = exp Re ( )( ) ( , ) ( ( , ))A s i C s C s dsk
k
k bt
t
σ σ σ− −( )
∗ ∗∗
≤
∑∫ 1
2
2 2
20
+
+
t
t
C s dw s
0
∫ ∗
( , ) ( , )σ ω . (14)
Skorysta[mosq vlastyvistg intehrala Vinera – Ito dlq sumovnyx z kvadratom
funkcij [9]
M exp ( , ) ( , )
t
t
f s dw s
0
∫
ω ω = exp ( , )1
2
0
2
t
t
f s ds∫
ω ,
de M — operaciq matematyçnoho spodivannq.
Zastosuvavßy operacig matematyçnoho spodivannq do obox çastyn rivnosti
(14), otryma[mo
M Q t t1 0( , , , )σ ω{ } = exp Re ( )( ) ( , )A s i C s dsk
k
k bt
t
σ σ+ ( )
∗∗
≤
∑∫ 1
2
2
20
. (15)
Prypustymo, wo vidpovidne determinovane do (1) rivnqnnq [ rivnomirno para-
boliçnym, tobto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
ZADAÇA Z IMPUL|SNOG DI{G DLQ LINIJNOHO STOXASTYÇNOHO … 1425
Re ( )( )A s ik
k
k b
σ
=
∑
2
≤ – δ σ0
2b , δ0 > 0, (16)
i, oçevydno,
C s∗∗( )( , )σ
2
≤ c m
0
2σ . (17)
Z ostannix umov oderΩu[mo umovu paraboliçnosti stoxastyçnoho rivnqnnq
(1), qka zabezpeçu[ isnuvannq peretvorennq Fur’[ matrycanta F V tσ τ σ ω−1 ( , , , ) :
Re ( )( ) ( , )A s i C sk
k
k b
σ σ
≤
∗∗∑
+ ( )
2
21
2
≤ – δ σ1
2b, δ1 < δ0 , m ≤ b . (18)
Zavdqky rivnosti (15) ta umovi (18) moΩemo ocinyty matrycant
M V t t( , , , )0 σ ω{ } ≤ c t Bj m
b
j mexp ( )− −{ } ++ +δ τ σ1
2 1 ×
×
ν
ν ν νδ τ τ σ δ τ σ
=
+ + − + −∏ − −{ } + − −{ }
m
j j
b
j j
bB t
1
1 1
2
1 1 0
21exp ( ) exp ( ) ≤
≤ c B t t
m
j
b
ν
ν δ σ
=
+∏ + − −{ }
0
1
2
01 exp ( ) , τj > t0 , t > tj + m , σ ∈ En . (19)
Zastosovugçy do M V t t( , , , )0 σ ω{ } lemu221.1 [7], pryxodymo do vysnovku,
wo F V t tσ σ ω− { }1
0M ( , , , ) isnu[.
Teorema$(pro korektnist\). Nexaj koefici[nty rivnqnnq (1) [ vyznaçenymy i
neperervnymy na [ t0, T ] , vykonu[t\sq umova paraboliçnosti (18) i m ≤ b ; vy-
padkova funkciq ϕ ( x, ω ) ne zaleΩyt\ vid Ft , ϕ ( x, 0 ) — neperervna obmeΩena
funkciq, Bi ∈ R , t = τi , i = 1, 2, … , N , t0 < τi . Todi funkciq Hrina zadaçi
(1)2–2(3) vyznaça[t\sq qk obernene peretvorennq Fur’[ matrycanta za formu-
log (11), dlq poxidnyx qko] spravdΩu[t\sq nerivnist\
D G t xx
k ( , , )τ ≤ c B t c
x
t
k
m
j m
n k
b
b
b
bν
τ
τ=
+
− + −
∏ + − −
−
0
2
2
2 1
1
2
1 ( ) exp
( )
. (20)
Rozv’qzok zadaçi vyznaça[t\sq formulog (13) i dlq n\oho spravdΩu[t\sq ocinka
sup ( , , )
E
x
k
n
D u t xM ω{ } ≤ t
k
b
−
{ }2
M ϕ , k ≤ 2 b . (21)
ZauvaΩennq$1. Qkwo funkciq
k m
k
kC s i
≤
∑ ( )( )σ [ dijsnoznaçnym mnohoçle-
nom, to joho stepin\ moΩe buty dovil\nym.
ZauvaΩennq$2. Za dopomohog funkci] Hrina G t x( , , , )τ ω zadaçi z impul\s-
nog di[g (1) – (3) moΩna zapysaty rozv’qzok zadaçi dlq neodnoridnoho rivnqnnq
vyhlqdu
d u t xt ( , , )ω = A t D u t x f t x dtk
k b
x
k( ) ( , , ) ( , )
≤
∑ +
2
ω +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
1426 H. M. PERUN
+ C t D u t x g t x dw tk
k b
x
k( ) ( , , ) ( , ) ( , )
≤
∑ +
ω ω . (22)
Rozv’qzok zadaçi (22), (2), (3) ma[ vyhlqd
u ( t, x, ω ) =
E
t
En n
G t x d G t s x∫ ∫ ∫− + −( , , , ) ( , ) ( , , , )0
0
ξ ω ϕ ξ ω ξ ξ ω ×
× f s C s D g s dx ds G t s x g s dw ts
k b
k
t
En
( , ) ( ) ( , ) ( , , , ) ( , ) ( , )ξ ξ ξ ω ξ ωξ−
+ −
≤
∑ ∫ ∫
0
za umovy, wo f Cx∈ α( )Π ta C t D g Ck x
k
k b x( ) ( )≤∑ ∈ α Π , 0 < α < 1. Poxidni do
porqdku 2b dopuskagt\ ocinku
sup ( , , )
Π
M D u t xx
k ω{ } ≤ t f C t D g
k
b
m
m b
x
−
{ } + +
≤
∑2
M ϕ α
α
( ) .
1. Samojlenko A. M., Perestgk N. A. Dyfferencyal\n¥e uravnenyq s ympul\sn¥m
vozdejstvyem. – Kyev: Vywa ßk., 1987. – 258 s.
2. Hyxman Y. Y. Hranyçnaq zadaça dlq stoxastyçeskoho uravnenyq parabolyçeskoho typa //
Ukr. mat. Ωurn. – 1979. – 31, # 5. – S.2483 – 489.
3. Hyxman Yl. Y. O smeßannoj zadaçe dlq stoxastyçeskoho dyfferencyal\noho uravnenyq
parabolyçeskoho typa // Tam Ωe. – 1980. – 32, # 3. – S.2367 – 372.
4. Dorohovcev A. Q., Yvasyßen S. D., Kukuß A. H. Asymptotyçeskoe povedenye reßenyj
uravnenyq teploprovodnosty s bel¥m ßumom v pravoj çasty // Tam Ωe. – 1985. – 37, # 1. –
S.213 – 20.
5. Perestgk N. A., Tkaç A. V. Peryodyçeskye reßenyq slabonelynejn¥x system v çastn¥x
proyzvodn¥x s ympul\sn¥m vozdejstvyem // Tam Ωe. – 1997. – 43, # 4. – S.2601 – 605.
6. Matijçuk M. I., Luçko V. M. Zadaça Koßi dlq paraboliçnyx system z impul\snog di[g // Tam
Ωe. – 2006. – 58, # 11. – S.2325 – 335.
7. ∏jdel\man S. D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 444 s.
8. Sverdan M. L., Carkov {. F., Qsyns\kyj V. K. Stoxastyçni dynamiçni systemy z skinçennog
pislqdi[g. – Çernivci: Zelena Bukovyna, 2000. – 556 s.
9. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Vvedenye v teoryg sluçajn¥x processov. – M.: Nauka, 1977. –
567 s.
OderΩano 10.01.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 10
|