Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций
Доведено, що множина логарифмів модулів цілих функцій кількох комплексних змінних ніде не щільна у просторі плюрісубгармонічних функцій, оснащеному топологією, що є узагальненням топології рівномірної збіжності на компактах. Вказана топологія породжується метрикою, в якій плюрісубгармонічні функції...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164788 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций / М.А. Гирнык // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1602–1609. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164788 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1647882025-02-23T17:06:04Z Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций Logarithms of moduli of entire functions are nowhere dense in the space of plurisubharmonic functions Гирнык, М.А. Статті Доведено, що множина логарифмів модулів цілих функцій кількох комплексних змінних ніде не щільна у просторі плюрісубгармонічних функцій, оснащеному топологією, що є узагальненням топології рівномірної збіжності на компактах. Вказана топологія породжується метрикою, в якій плюрісубгармонічні функції утворюють повний метричний простір. Таким чином, логарифми модулів цілих функцій є множиною першої категорії за Бером. We prove that the set of logarithms of moduli of entire functions of several complex variables is nowhere dense in the space of plurisubharmonic functions equipped with a topology that is a generalization of the topology of uniform convergence on compact sets. This topology is generated by a metric in which plurisubharmonic functions form a complete metric space. Thus, the logarithms of moduli of entire functions form a set of the first Baire category. 2008 Article Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций / М.А. Гирнык // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1602–1609. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164788 517.574 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Гирнык, М.А. Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций Український математичний журнал |
| description |
Доведено, що множина логарифмів модулів цілих функцій кількох комплексних змінних ніде не щільна у просторі плюрісубгармонічних функцій, оснащеному топологією, що є узагальненням топології рівномірної збіжності на компактах. Вказана топологія породжується метрикою, в якій плюрісубгармонічні функції утворюють повний метричний простір. Таким чином, логарифми модулів цілих функцій є множиною першої категорії за Бером. |
| format |
Article |
| author |
Гирнык, М.А. |
| author_facet |
Гирнык, М.А. |
| author_sort |
Гирнык, М.А. |
| title |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| title_short |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| title_full |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| title_fullStr |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| title_full_unstemmed |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| title_sort |
логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164788 |
| citation_txt |
Логарифмы модулей целых функций нигде не плотны в пространстве плюрисубгармонических функций / М.А. Гирнык // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1602–1609. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT girnykma logarifmymodulejcelyhfunkcijnigdeneplotnyvprostranstveplûrisubgarmoničeskihfunkcij AT girnykma logarithmsofmoduliofentirefunctionsarenowheredenseinthespaceofplurisubharmonicfunctions |
| first_indexed |
2025-11-24T02:48:01Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:48:01Z |
| _version_ |
1849638237171089408 |
| fulltext |
UDK 517.574
M. A. Hyrn¥k (L\vov. kommer. akad.)
LOHARYFMÁ MODULEJ CELÁX FUNKCYJ
NYHDE NE PLOTNÁ V PROSTRANSTVE
PLGRYSUBHARMONYÇESKYX FUNKCYJ
We prove that the set of logarithms of the moduli of entire functions of several complex variables is
nowhere dense in the space of plurisubharmonic functions equipped with topology which is a
generalization of the topology of uniform convergence on compacts. This topology is generated by a
metric in which plurisubharmonic functions form the complete metric space. Thus, the set of logarithms
of the moduli of entire functions is a set of first category according to Baire.
Dovedeno, wo mnoΩyna loharyfmiv moduliv cilyx funkcij kil\kox kompleksnyx zminnyx nide
ne wil\na u prostori plgrisubharmoniçnyx funkcij, osnawenomu topolohi[g, wo [ uzahal\nen-
nqm topolohi] rivnomirno] zbiΩnosti na kompaktax. Vkazana topolohiq porodΩu[t\sq metrykog,
v qkij plgrisubharmoniçni funkci] utvorggt\ povnyj metryçnyj prostir. Takym çynom, loha-
ryfmy moduliv cilyx funkcij [ mnoΩynog perßo] katehori] za Berom.
Pust\ f — celaq funkcyq v Cp
, tohda log f qvlqetsq plgrysubharmonyçes-
koj funkcyej v Cp
, a pry p = 1 πto subharmonyçeskaq funkcyq v C (sm. [1 –
3]). M¥ dokaΩem, çto mnoΩestvo funkcyj vyda log E qvlqetsq ysklgçy-
tel\n¥m v prostranstve vsex plgrysubharmonyçeskyx funkcyj PSH p( )C , a
ymenno, mnoΩestvo log E nyhde ne plotno v PSH p( )C , osnawennom estest-
vennoj topolohyej. ∏ta topolohyq qvlqetsq obobwenyem topolohyy ravnomer-
noj sxodymosty na kompaktax y poroΩdaetsq metrykoj, v kotoroj PSH p( )C
stanovytsq poln¥m metryçeskym prostranstvom. Poπtomu log E obrazuet
mnoΩestvo pervoj katehoryy po Bπru [4] v PSH p( )C . Otmetym, çto naçynaq s
klassyçeskyx rabot N. N. Luzyna ponqtye bπrovskoj katehoryy prymenqgt v
kompleksnom analyze, v çastnosty dlq dokazatel\stva teorem suwestvovanyq
(sm., naprymer, [4 – 10]). V nastoqwej rabote takΩe budet dokazana analohyç-
naq teorema dlq funkcyj, analytyçeskyx v polydyske. M¥ predpolahaem, çto
takoe utverΩdenye verno dlq proyzvol\noj oblasty, odnako vopros ostaetsq
otkr¥t¥m.
Pry yzloΩenyy budem yspol\zovat\ standartn¥e oboznaçenyq y svedenyq yz
teoryy potencyala y teoryy plgrypotencyala. Napomnym nekotor¥e yz nyx.
Nadelqem Cp
evklydovoj metrykoj prostranstva R2p
, kotorug oboznaçaem
. Kak ob¥çno, z : = (z1, z2, … , zp) = ( , )z z1 ′ ∈ Cp
. Oboznaçaem D a r( , ) : = z{ ∈
∈ C : z a– < r} , D : = D( , )0 1 , C a r( , ) : = z{ ∈ C : z a– ≤ r} , S a r( , ) : = z{ ∈
∈ C : z a– = r} , m p2 — mera Lebeha v R2p
, bukvamy M s yndeksamy yly bez
nyx otmeçaem dejstvytel\n¥e postoqnn¥e, v skobkax ukaz¥vaem zavysymost\ ot
parametrov. SH( )Ω — mnoΩestvo funkcyj, subharmonyçeskyx v oblasty Ω,
PSH( )Ω — mnoΩestvo plgrysubharmonyçeskyx v Ω funkcyj. Çerez Gγ obo-
znaçym γ-okrestnost\ mnoΩestva G
p⊂ C , t.;e.
z G
w∈
{∪ ∈ Cp : w z– < γ},
çerez µu — meru Ryssa subharmonyçeskoj funkcyy u, n t u( , )µ : = µu C t( , )0( ) .
Pust\ u ∈ PSH( )Ω , v ∈ PSH( )Ω , poloΩym u z∨ v( ) = max ( )u z( , v( )z ) . Yzvest-
no, çto u ∨ v ∈ PSH( )Ω .
Posledovatel\nost\ funkcyj un ∈ PSH( )Ω πksponencyal\no sxodytsq rav-
nomerno na kompaktax k funkcyy u (oboznaçaem u un
exp→→ ), esly posledovatel\-
nost\ funkcyj expun ravnomerno na kompaktax sxodytsq k funkcyy expu
© M. A. HYRNÁK, 2008
1602 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
LOHARYFMÁ MODULEJ CELÁX FUNKCYJ NYHDE NE PLOTNÁ … 1603
(oboznaçenye expun →→ expu). Ponqtno, çto πksponencyal\naq ravnomernaq
sxodymost\ na kompaktax qvlqetsq obobwenyem ravnomernoj sxodymosty na
kompaktax. Otmetym, çto pry u un
exp→→ mnoΩestva z{ : u zn( ) = –∞} mohut otly-
çat\sq ot mnoΩestva z{ : u z( ) = –∞}. Avtoru ne vstreçalas\ v lyterature
takaq sxodymost\, vozmoΩno, çto ona vvodytsq zdes\ vperv¥e. Motyvacyq sle-
dugwaq: ne tol\ko expu ∈ PSH( )Ω , no y u ∈ PSH( )Ω . DokaΩem πto utverΩ-
denye. Funkcyq expu poluneprer¥vna sverxu kak predel posledovatel\nosty
poluneprer¥vn¥x sverxu funkcyj, πto Ωe svojstvo ymeet y funkcyq u =
= log(exp )u . Esly u z( ) < M v zamknutom kruhe, to y u zn( ) < M tam Ωe, naçy-
naq s nekotoroho nomera n, poπtomu u Mn ∨ →→
exp
u M∨ . Dalee, poskol\ku
u Mn ∨ ≥ M y u M∨ ≥ M, to
exp ( ) – exp ( )u z M u z Mn ∨( ) ∨( ) ≥ exp( ) ( ) – ( )M u z M u z Mn ∨ ∨ ,
y yz πksponencyal\noj ravnomernoj sxodymosty na kompaktax u Mn ∨ k funk-
cyy u M∨ sleduet ravnomernaq sxodymost\ na kompaktax. Takym obrazom,
u M∨ ∈ PSH( )Ω . Zametym, çto u M∨ ↓ u, kohda M ↓ – ∞. Otsgda zaklgça-
em, çto u ∈ PSH( )Ω .
Topolohyg v PSH( )Ω , zadannug πksponencyal\no ravnomernoj sxodymos-
t\g na kompaktax, moΩno metryzovat\ sledugwym obrazom. Pust\ Cn — ys-
çerp¥vagwaq Ω posledovatel\nost\ kompaktov, t.;e.
C Cn n⊂ +1, n ∈N,
n
nC
=
∞
=
1
∪ Ω .
PoloΩym d un( , )v : = sup exp ( )u z{ – exp ( )v z : z Cn∈ } y opredelym metryku
formuloj
d u( , )v : =
n
n
n
n
d u
d u=
∞
∑ +1
2
1
– ( , )
( , )
v
v
, (1)
pry πtom PSH( )Ω stanovytsq poln¥m metryçeskym prostranstvom. Otmetym,
çto poroΩdaemaq topolohyq ne zavysyt ot v¥bora ysçerp¥vanyq.
Teorema 1. MnoΩestvo log E nyhde ne plotno v PSH p( )C , osnawennom
metrykoj (1).
Teorema 2. MnoΩestvo log A loharyfmov modulej funkcyj, analyty-
çeskyx v polydyske, nyhde ne plotno v PSH p( )D , osnawennom metrykoj (1).
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Dalee udobno sçytat\, çto Cn = C(0 , rn
p) .
Naçnem s rassmotrenyq sluçaq p = 1. Sohlasno opredelenyg nyhde ne plot-
noho mnoΩestva, m¥ dolΩn¥ dokazat\, çto dlq proyzvol\noj celoj funkcyy f
y dlq lgboho dejstvytel\noho çysla ε > 0 suwestvuet ßar B u( , )δ : = : = v{ ∈
∈ SH( )C : d u( , )v < δ} � SH \ log E , hde 0 < δ < ε y d f ulog ,( ) < ε. Ne umen\-
ßaq obwnosty, moΩem sçytat\, çto mnoΩestvo nulej celoj funkcyy f ne
pusto. Esly funkcyq f ne ymeet nulej, to umnoΩym ee na f za( ) : = (1 – z / a),
a > 0. PoloΩym N = N( )ε : = log( / )8 ε[ ] + 1, tohda
n N
n
=
∞∑ 2– < ε
4
. Ymeem
d f f fn alog , log ⋅( ) = sup ( ) – ( ) ( ) :f z f z f z z Ca n∈{ } ≤
≤ M z a1 1 1( ) – – /ε < M z a1( ) /ε < ε,
esly n N≤ y a > M1( )ε rN / ε.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1604 M. A. HYRNÁK
Naçnem s postroenyq funkcyy u. Takoj v¥bor moΩno sdelat\ razn¥my spo-
sobamy. Predlahaemaq nyΩe konstrukcyq, vozmoΩno, ne qvlqetsq samoj pros-
toj y korotkoj. Ee preymuwestvo zaklgçaetsq v tom, çto ta Ωe ydeq osuwest-
vyma y dlq p ≥ 2. Kompakt CN soderΩyt tol\ko koneçnoe mnoΩestvo ζ1{ ,
ζ2, … , ζl} nulej funkcyy f, pryçem πto mnoΩestvo ne pusto y xotq b¥ odyn
nul\ prynadleΩyt CN –1: pry neobxodymosty uvelyçym N, ostavyv preΩnym
znaçenye a. Predstavym log f v vyde
log ( )f z =
j
l
jz
=
∑
1
log – ζ + log ( )g z , (2)
hde celaq funkcyq g ne ymeet nulej na CN . PoloΩym (çyslo α, 0 < α < 1,
budet v¥brano dalee)
u z( ) : =
j
l
C j
z dm
=
∑ ∫
1
1 2
2π α ζ ζ
ζ α
– –
( , )
log – ( ) + log ( )g z . (3)
Qsno, çto u ∈ SH( )C \ log E , tak kak nosytel\ ee mer¥ Ryssa qvlqetsq nesçet-
n¥m mnoΩestvom.
Ocenym
d u f, log ( )( ) ≤
n
N
n
nd u f
=
∑ ( )
1
2– , log ( ) + ε
4
=
=
n
N
n
nu z f z z C
=
∑ ∈{ }
1
2– sup exp ( ) – exp log ( ) : + ε
4
<
< sup exp ( ) – exp log ( ) :u z f z z CN∈{ } + ε
4
. (4)
Pust\ z C∈ ′ : = CN ∩
j
j l
jD=
= ( )1∪ ζ α, , tohda
sup exp ( ):u z z C∈ ′{ } =
= sup exp log – ( ) ( ) :– –
( , )
π α ζ ζ ζ
ζ α
1 2
2
C
j
j
dm g z z C∫
∈ ′
≤
≤ sup ( ) : exp log – ( )– –
( , )
g z z C dmN
j
j l
C j
∈{ } ( )
=
=
∑ ∫
1
1 2
2π α α α ζ
ζ α
≤
≤ M l
1
2( ) /ε α < ε
8
, (5)
esly α dostatoçno malo.
Analohyçno pokaz¥vaetsq, çto
sup exp log ( ) :f z z C∈ ′{ } < ε
8
. (6)
Funkcyy u y f subharmonyçeskye, poπtomu yx naybol\ßye znaçenyq na
mnoΩestve ′′C : = C CN \ ′ dostyhagtsq na hranyce πtoho mnoΩestva, kotoraq
soderΩytsq v obæedynenyy mnoΩestv
j
j l
jS=
= ( )1∪ ζ α, y S rN( , )0 . V¥ße b¥lo
dokazano, çto na
j
j l
jS=
= ( )1∪ ζ α, znaçenyq obeyx funkcyj men\ße, çem
ε
8
, po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, #12
LOHARYFMÁ MODULEJ CELÁX FUNKCYJ NYHDE NE PLOTNÁ … 1605
πtomu naybol\ßye znaçenyq v ′′C y expu, y f dostyhagtsq na S rN( , )0 .
Oba πty znaçenyq men\ße, çem M2( )ε . Otsgda y yz πlementarn¥x neravenstv
(a ∈R , b ∈R)
min(exp , exp ) –a b b a ≤ exp – expa b ≤ max(exp , exp ) –a b b a (7)
sleduet, çto na ′′C v¥polnqetsq sootnoßenye
sup exp ( ) – exp log ( ) :u z f z z C∈ ′′{ } <
< M u z f z z C2( ) sup ( ) – log ( ) :ε ∈ ′′{ }. (8)
Prymenym formulu [11, s. 125]
log( – )ζ z = log( – )ζ j z +
ζ ζ
ζ
–
–
j
j z
–
ζ
ζ
ζ
j
t
t z
dt∫ –
( – )2 , (9)
v kotoroj yntehryruem po otrezku ζ ζj ,[ ], a log( – )ζ z — lgbaq odnoznaçnaq
vetv\ loharyfma v ploskosty s razrezom ot z j do ∞ po luçu, ne proxodqwemu
çerez otrezok z, ζ[ ]. Uçyt¥vaq (2), (3), (9) y sootnoßenye
C
j
j
dm
( , )
( – ) ( )
ζ α
ζ ζ ζ∫ 2 = 0,
prodolΩaem ocenku (8):
sup exp ( ) – exp log ( ) :u z f z z C∈ ′′{ } ≤
≤
M
z
t
t z
dt dm
j
j l
C
j
j
j j
2
1
2 2( )
–
–
–
–
( – )
( )
( , )
ε
ζ ζ
ζ
ζ ζ
ζ α ζ
ζ
=
=
∑ ∫ ∫
� =
=
M
t
t z
dt dm
j
j l
C j j
2
1
2 2( )
–
( – )
( )
( , )
ε ζ ζ
ζ α ζ
ζ
=
=
∑ ∫ ∫
� ≤
≤ M
t
t z
dt dm
j
j l
C j j
2
1
2 2 2
1( )
–
–
( )
( , )
ε
πα
ζ ζ
ζ α ζ
ζ
=
=
∑ ∫ ∫ . (10)
V pravoj çasty posledneho neravenstva v (10) t z– ≥ α – α , ζ – t ≤ α,
ζ
ζ
j
dt∫ ≤ α, poπtomu
C j j
t dt
t z
dm
( , )
–
–
( )
ζ α ζ
ζ
ζ ζ
πα∫ ∫ 2
2
2 ≤ α
α
2
22/( )
= 4α. (11)
Soçetaq (8), (10) y (11), zaklgçaem, çto na ′′C v¥polnqetsq
sup exp ( ) – exp log ( ) :u z f z z C∈ ′′{ } < 4 2M l( )ε α < ε
4
, (12)
esly α v¥brano dostatoçno mal¥m. Yz (4) – (6) y (12) sleduet neravenstvo
d f ulog ,( ) < ε. (13)
Sledugwaq çast\ dokazatel\stva teorem¥;1 sostoyt v tom, çtob¥ pokazat\, çto
B u( , )δ ∩ log E = ∅, (14)
esly çyslo δ dostatoçno malo.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1606 M. A. HYRNÁK
Snaçala ustanovym ocenku snyzu dlq u z( ) na CN . Poskol\ku celaq funk-
cyq g ne ymeet nulej na kompakte CN , na nem
log ( )g z ≥ M3( )ε . (15)
Dalee rassmotrym dva sluçaq. Esly z ∈ C j( , )ζ α2 , to
1
2 2πα
ζ ζ
ζ αC j
z dm
( , )
log – ( )∫ ≥ 1
2
3
2πα
ζ ζ
αC z
z dm
( , )
log – ( )∫ =
= 1 22
0
3
πα
π
α
∫ x x dxlog( ) = 1 3 92
2
0
3
α
α α
α
log( ) – ∫
x dx =
= 1 3 9 9
22
2
2
α
α α αlog( ) –
≥ 9 logα . (16)
Esly Ωe z ∈ CN \ C j( , )ζ α2 , to
1
2 2πα
ζ ζ
ζ αC j
z dm
( , )
log – ( )∫ ≥ 1
2 2πα
α ζ
ζ αC j
dm
( , )
log ( )∫ ≥ logα . (17)
Ytak, yz (3), (15) – (17) sleduet, çto dlq z CN∈ v¥polnqetsq
u z( ) ≥ 9l logα + M3( )ε (18)
y
exp ( )u z ≥ M l
4
9( )ε α > 0. (19)
DokaΩem teper\, çto esly
d u( , )ν < δ < δ < min ( ) , – –M l N
4
9 12ε α( ) (20)
y çyslo δ v¥brano tak, çto
δ – 22 1N + δ > δ /2, δ /2 < log
–
r
r
N
N 1 1+
, (21)
to v ∉log E , çto zaverßyt dokazatel\stvo teorem¥;1.
Dlq z CN∈ v¥polneno
δ > d u( , )v >
2
1
– exp ( ) – exp ( )
exp ( ) – exp ( )
N u z z
u z z
v
v+
y otsgda, prymenqq (20) y (21), na CN poluçaem
exp ( )u z – exp ( )v z ≤
2
2
N
N
δ
δ– –
< 22 1N + δ ,
a
exp ( )v z > δ – 22 1N + δ > δ
2
. (22)
Sohlasno (7), (19), (22)
u z z( ) – ( )v ≤
2
δ
exp ( ) – exp ( )u z zv < 22 1N + δ . (23)
PredpoloΩym, çto v = log h , hde h — celaq funkcyq. DokaΩem, çto h yme-
et xotq b¥ odyn nul\ na CN , y tem sam¥m prydem k protyvoreçyg s (22). Pust\
πto ne tak y n rN( , log h ) = 0. Zapyßem formulu Yensena dlq raznosty u –
– log h v kruhe CN = C rN( , )0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, #12
LOHARYFMÁ MODULEJ CELÁX FUNKCYJ NYHDE NE PLOTNÁ … 1607
1
2
0
2
π
ϕ
π
ϕ ϕ∫ ( )u r e h r e dN
i
N
i( ) – log ( ) =
0
r
u
N n t
t
dt∫ ( , )µ
+ u( )0 – log ( )f 0 . (24)
Levaq çast\ (24) ne bol\ße, çem 22 1N + δ , pravaq Ωe çast\ (24) bol\ße, çem
logrN – log –rN 1( + 1) + u( )0 – log ( )f 0 . Esly δ v¥brano dostatoçno mal¥m, to
takoe sootnoßenye nevozmoΩno. Takym obrazom, suwestvuet nul\ funkcyy h
na CN .
V sluçae p ≥ 2 ydeq dokazatel\stva ta Ωe, no trebugtsq nekotor¥e
yzmenenyq texnyçeskoho xaraktera. Dlq toho çtob¥ nulevoe mnoΩestvo funk-
cyy f z1 0, ′( ) b¥lo ne pusto, umnoΩym ee na f za( ) : = (1 – z a1/ ) , a > 0. Esly
çyslo a v¥brano dostatoçno bol\ßym, to v¥polneno neravenstvo d fn log( ,
log f fa⋅ ) < ε, esly n N≤ . Dalee vmesto predstavlenyq (2) yspol\zuem pred-
stavlenye
log ( )f z = –
( )
–
log
–
C
f
p
N
d w
w z∫
µ
2 2 + h z( ) = P z( ) + h z( ) , (25)
v kotorom h — harmonyçeskaq funkcyq vnutry CN . Zametym, çto slahaem¥e v
predstavlenyy (25) mohut ne b¥t\ plgrysubharmonyçeskymy funkcyqmy.
Rassmotrym v Cp
funkcyg so sledugwymy svojstvamy (sm. [1], § 3.2):
K( )ξ = K ξ( ); K C( )ξ ∈ ∞
; K( )ξ = 0, ξ ≥ 1; K( )ξ > 0, ξ < 1;
C p
K dm p∫ ( ) ( )ξ ξ2 = 1.
Vmesto opredelenyq (3) yspol\zuem sledugwee:
u z( ) : =
–
( )
– –
( )log
–
–
C p
NC
f
p
p
p
d w
w z
K dm∫ ∫
µ
ξ
α ξ
α
ξ2 2
2
2 +
+
C p
h z K dmp
p∫ +
( ) ( )–ξ α ξ
α
ξ2
2 = P zα( ) + h zα( ). (26)
Sohlasno teoremam 3.6 y 3.8 yz [1] funkcyq u C∈ ∞ ∩ PSH p( )C . Snova otme-
tym, çto slahaem¥e v (26) mohut ne b¥t\ plgrysubharmonyçeskymy funkcyqmy.
Sohlasno teoreme 3.1 yz [1], esly çyslo α v¥brano dostatoçno mal¥m, to ymeet
mesto neravenstvo
h z h z( ) – ( )α < ε1, z CN∈ . (27)
Poskol\ku M5( )ε ≤ h z( ) ≤ M6( )ε , esly z CN∈ , otsgda y yz (27) sleduet, çto
sup exp ( ) – exp ( ) :h z h z z CNα ∈{ } < exp ( )M6 11ε ε+( ) < ε. (28)
Polahaem ′C : = (CN ∩ suppµ
α
u
p
) 1
2
(t.;e. α1 2/( )p
— okrestnost\ nosytelq
mer¥ Ryssa v CN ), ′′C : = C CN \ ′ . Na ′C v¥polnqetsq
sup exp ( ):u z z C∈ ′{ } =
=
sup exp –
( )
– –
( ) ( ) :log
–
–
C p
NC
f
p
p
p
d w
w z
K dm h z z C∫ ∫
+
∈ ′
µ
ε
α ξ
α
ξ α2 2
2
2 ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1608 M. A. HYRNÁK
≤ sup exp ( ) :h z z CN+( ) ∈{ }1 ×
×
sup exp –
( )
–
( ) :log
–
–
C p
NC
f
p
p
p
d w
w z
K dm z C∫ ∫ +( )
∈ ′
µ
ξ
α ξ
α
ξ2 2
2
2 ≤
≤
M
d w
K dm
p
NC
f
p p
p
p7 1 2 2 2
2
2( ) exp –
( )
( )log
/( ) –
–ε
µ
α α
α ζ
α
ξ
C
∫ ∫
+( )
≤
≤ M Cp p p
f N7
2 2 2 2 22( ) exp – ( )– –( – )/( )
logε α µ( ) < ε
8
. (29)
Analohyçno dokaz¥vaetsq y neravenstvo
sup exp log ( ) :f z z C∈ ′{ } < ε
8
. (30)
Dalee, sootnoßenye (8) ostaetsq v syle, a vot formulu (9) nado zamenyt\ sle-
dugwym obrazom. Rassmotrym funkcyg F t( ) : = – w – z – t pξ –2 2+
, hde w, z,
ξ ∈Cp , t ∈R. Zapyßem dlq nee formulu Maklorena porqdka 1 s ostatoçn¥m
çlenom v yntehral\noj forme y poloΩym v nej t = 1:
F( )1 = F( )0 + ′F ( )0 +
0
1
21∫ ′′( – ) ( )s F s ds . (31)
V rezul\tate nesloΩn¥x v¥kladok poluçaem
F( )0 = – – –w z p2 2+
,
′F ( )0 = ( – ) – ( – ) ––p w z w z w zp
k
k p
k k k k k k1 2
1=
=
∑ + ( )( )ξ ξ , (32)
′F ( )0 ≤ M w z p
8
2 1( ) – –ε + , ′′F s( ) ≤ M p p
9
1 2 2 2( ) –/( ) –
ε α α α( ) ≤ M10( )ε α ,
hde v ocenkax dlq proyzvodn¥x z C∈ ′′ , w ∈ suppµlog f , ξ α≤ , ξk — koordy-
nata ξ s nomerom k, ξk — soprqΩennoe k nej kompleksnoe çyslo.
Uçyt¥vaq (25), (26), (31), (32) y sootnoßenyq
C p
k pK dm∫
ξ ξ
α
ξ2 ( ) =
C p
k pK dm∫
ξ ξ
α
ξ2 ( ) = 0,
prodolΩaem ocenku (8) dlq sluçaq p ≥ 2:
sup exp ( ) – exp ( ) :P z P z z Cα ∈ ′′{ } ≤
≤
M M d K dm
p
NC
f
p
p2 10
2
2( ) ( ) ( )log
–ε ε α µ α ξ
α
ξ
C
∫ ∫
≤
≤ M Cf N11( ) ( )logε α µ < ε
4
. (33)
Soçetaq (28) – (30) y (33), poluçaem
d f ulog ,( ) < ε.
Dalee naxodym ocenku snyzu dlq funkcyy u na CN . Poskol\ku πto analohyç-
no dokazatel\stvu (18), pryvedem tol\ko çast\ dokazatel\stva, a ymenno, ocenku
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, #12
LOHARYFMÁ MODULEJ CELÁX FUNKCYJ NYHDE NE PLOTNÁ … 1609
snyzu P zα( ) dlq z C∈ ′. V πtom sluçae
P zα( ) =
–
( )
– –
( )log
–
–
C p
NC
f
p
p
p
d w
w z
K dm∫ ∫
µ
ξ
α ξ
α
ξ2 2
2
2 =
=
–
( )
– –
( )
–
– log
C
p
p
p f
N
p
K dm
w z
d w∫ ∫
C
α ξ
α
ξ
ξ
µ
2
2
2 2 =
= –
( )
– –
( )
:
–
– log
C
p
p
p f
N
K dm
w z
d w∫ ∫
<{ }
ξ ξ α
α ξ
α
ξ
ξ
µ
2
2
2 2 ≥
≥ –
( )
– –
( )
:
–
– log
C
p
p
p f
N
M dm
w z
d w∫ ∫
<{ }ξ ξ α
α ξ
ξ
µ
2
12 2
2 2 =
= –
( – )
– –
( )
:
–
– log
C
p
p
p f
N
M dm w z
w z
d w∫ ∫
<{ }
+
ξ ξ α
α ξ
ξ
µ
2
12 2
2 2 ≥
≥ – ( )–
–
– log
C
p
p
p f
N
M
r dr
r
d w∫ ∫
0
2
13
2 1
2 2
α
α µ = – ( )–
logM Cp
f N14
2 2α µ .
Nakonec, ukaΩem, kak dokazat\, çto pereseçenye B u( , )δ ∩ log E = ∅. Pred-
poloΩym, çto πto ne tak y suwestvuet celaq funkcyq h, log h ∈ B u( , )δ . Ot-
sgda sleduet ocenka snyzu h z( ) ≥ M15 > 0 dlq z CN∈ . S druhoj storon¥,
rassmotrym celug funkcyg odnoj peremennoj h z( , )1 0′ . Zapyßem dlq nee
formulu Yensena, a zatem rassuΩdenyqmy, analohyçn¥my pryvedenn¥m posle
(24), dokaΩem suwestvovanye nulq funkcyy h v kruhe z1{ : z1 < rN}. Ymenno
poπtomu m¥ umnoΩaly f na fa , teper\ suppµu z( , )1 0′ � C a( , / )α 2 y n rN –1( + 1,
µu z( , )1 0′ ) ≥ 1.
Dokazatel\stvo teorem¥ 2 tol\ko neznaçytel\n¥my detalqmy otlyçaet-
sq ot dokazatel\stva teorem¥;1 (naprymer, polahaem f za( ) : = (1 – (1 – a) / (1 –
– z)), 0 < a < 1), poπtomu m¥ eho ne pryvodym.
1. Hayman W. K., Kennedy P. B. Subharmonic functions. – London etc.: Acad. Press, 1976. – Vol 1.
– XVII + 284 p.
2. Lelong P., Gruman L. Entire functions of several complex variables. – Berlin etc.: Springer, 1986.
– XII + 270 p.
3. Klimek M. Pluripotential theory. – New York: Clarendon Press, 1991. – XIV + 266 p.
4. Oxtoby J. C. Measure and category. – Berlin etc.: Springer, 1971. – X + 106 p.
5. Gauthier P., Hengartner W. The value distribution of most functions of one or several complex va-
riables // Ann. Math. – 1972. – 96. – P. 31 – 52.
6. Anderson J. M. The radial growth of integral functions // J. London Math. Soc. – 1970. – 2, # 2. –
P. 318 – 320.
7. Eremenko A. ∏. O sçytagwyx funkcyqx posledovatel\nostej a-toçek dlq funkcyj, ho-
lomorfn¥x v kruhe // Teoryq funkcyj, funkcyon. analyz y yx pryl. – 1977. – V¥p.;31. – S.
59 – 62.
8. {remenko O. E. Pro valironivs\ki defekty cilyx xarakterystyçnyx funkcij skinçennoho
porqdku // Ukr. mat. Ωurn. – 1977. – 29, # 6. – S. 807 – 809.
9. Hol\dberh A. A., Zabolockyj N. V. Ob a-toçkax funkcyj, meromorfn¥x v kruhe // Syb. mat.
Ωurn. – 1985. – 24, # 3. – S. 34 – 36.
10. Filevych P.V. The Baire categories and Wiman’s inequality for entire functions // Mat. Stud. –
2003. – 20, # 2. – P. 215 – 221.
11. Girnyk M., Goldberg A. Approximation of subharmonic functions by logarithms of moduli of
entire functions in integral metrics // Isr. Math. Conf. Proc. – 2001. – 15. – P. 117 – 135.
Poluçeno 05.09.07
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|