Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений
Показано неєдиність розв'язку просторової задачі Геллерстедта для одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь. It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations....
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164789 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 265–269. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164789 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Алдашев, С.А. 2020-02-10T19:55:32Z 2020-02-10T19:55:32Z 2010 Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 265–269. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164789 517.956 Показано неєдиність розв'язку просторової задачі Геллерстедта для одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь. It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| spellingShingle |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Алдашев, С.А. Короткі повідомлення |
| title_short |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_full |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_fullStr |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_full_unstemmed |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| title_sort |
неединственность решения пространственной задачи геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений |
| author |
Алдашев, С.А. |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Nonuniqueness of the solution of the gellerstedt space problem for one class of many-dimensional hyperbolic-elliptic equations |
| description |
Показано неєдиність розв'язку просторової задачі Геллерстедта для одного класу багатовимірних гіперболо-еліптичних рівнянь.
It is shown that the solution of the Gellerstedt space problem is not unique for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164789 |
| citation_txt |
Неединственность решения пространственной задачи Геллерстедта для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С.А. Алдашев // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 2. — С. 265–269. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa needinstvennostʹrešeniâprostranstvennoizadačigellerstedtadlâodnogoklassamnogomernyhgiperboloélliptičeskihuravnenii AT aldaševsa nonuniquenessofthesolutionofthegellerstedtspaceproblemforoneclassofmanydimensionalhyperbolicellipticequations |
| first_indexed |
2025-11-26T19:20:38Z |
| last_indexed |
2025-11-26T19:20:38Z |
| _version_ |
1850771105129693184 |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.956
С. А. Алдашев (Актюб. ун-т, Актобе, Казахстан)
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ
ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
We show nonuniqueness of a solution of the Gellerstedt spatial problem for a class of multidimensional
hyperbolic elliptic equations.
Показано неєдинiсть розв’язку просторової задачi Геллерстедта для одного класу багатовимiрних гiпер-
боло-елiптичних рiвнянь.
Проблема корректности смешанных задач для гиперболо-эллиптических уравне-
ний в многомерных областях в настоящее время остается открытой [1, 2]. В данной
работе показано, что однородная пространственная задача Геллерстедта для одно-
го класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений имеет бесчисленное
множество нетривиальных решений.
Пусть D — конечная область евклидова пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t),
ограниченная в полупространстве t > 0 сферической поверхностью Γ: |x|2 + t2 =
= 1, а при t < 0 конусами K0 : |x| = −t, K1 : |x| = 1 + t, −1/2 ≤ t ≤ 0, где |x| —
длина вектора x = (x1, . . . , xm).
Обозначим через D+ и D− части области D, лежащие соответственно в полу-
пространствах t > 0 и t < 0, через S — общую часть границ областей D+, D−,
представляющих множество {t = 0, 0 < |x| < 1} точек из Em. Часть конусов K0,
K1, ограничивающих области D−, обозначим через S0, S1 соответственно.
В области D рассмотрим многомерные гиперболо-эллиптические уравнения
∆xu + sgn tutt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к
сферическим r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, . . . ,m− 1,
θ = (θ1, . . . , θm−1).
В [1, 2] в качестве многомерного аналога задачи Геллерстедта для уравнения (1)
предложена следующая задача.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области D при t 6= 0 из класса
C(D) ∩ C2(D+ ∪D−), удовлетворяющее краевым условиям
u |Γ = 0, u |S0 = 0. (2)
Пусть {Y k
n,m(θ)} — система линейно независимых сферических функций по-
рядка n, 1 ≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m−3)!(2n+m−2), W l
2(S), l = 0, 1, . . . ,
— пространство Соболева.
c© С. А. АЛДАШЕВ, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2 265
266 С. А. АЛДАШЕВ
Через ak
in(r, t), âk
in(r, t), bk
n(r, t), ck
n(r, t), hk
n обозначим коэффициенты раз-
ложения в ряды по сферическим функциям Y k
n,m(θ) соответственно функций
ai(r, θ, t)h(θ), ai
xi
r
h, b(r, θ, t)h, c(r, θ, t)h, h(θ), i = 1, . . . ,m, причем h(θ) ∈
∈ C∞(H), H — единичная сфера в Em.
Если ai(x, t), b(x, t), c(x, t) ∈ W l
2(D
+ ∪ D−), i = 1, . . . ,m, l ≥ m + 1, то
справедлива следующая теорема.
Теорема. Задача 1 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.
Доказательство. В сферических координатах уравнение (1) в области D+
имеет вид [3, 4]
urr +
m− 1
r
ur −
1
r2
δu + utt +
m∑
i=1
ai(r, θ, t)uxi
+ b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0, (3)
где
δ ≡ −
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(sinm−j−1 θj),
g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Решение задачи 1 в области D+ будем искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūk
n(r, t)Y k
n,m(θ), (4)
где ūk
n(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставив (4) в (3), аналогично [3, 5] получим уравнение вида
h1
0ū
1
0rr + h1
0u
1
0tt +
(
m− 1
r
h1
0 +
m∑
i=1
â1
i0
)
ū1
0r + b1
0ū
1
0t + c1
0ū
1
0 +
+
∞∑
n=1
kn∑
k=1
{
hk
nūk
nrr + hk
nūk
ntt +
(
m− 1
r
hk
n +
m∑
i=1
âk
in
)
ūk
nr + bk
nūk
nt +
+
[
ck
n −
λnhk
n
r2
+
m∑
i=1
(
ak
in−1 − nâk
in
)]
ūk
n
}
= 0, λn = n(n + m− 2). (5)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
h1
0ū
1
0rr + h1
0ū
1
0tt +
m− 1
r
h1
0ū
1
0r = 0, (6)
hk
1 ūk
1rr + hk
1 ūk
1tt +
m− 1
r
hk
1 ūk
1r −
λ1
r2
hk
1 ūk
1 =
= − 1
k1
(
m∑
i=1
â1
i0ū
1
0r + b1
0ū
1
0t + c1
0ū
1
0
)
, n = 1, k = 1, k1, (7)
hk
nūk
nrr + hk
nūk
ntt +
m− 1
r
hk
nūk
nr −
λn
r2
hk
nūk
n =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА . . . 267
= − 1
kn
kn−1∑
k=1
{
m∑
i=1
âk
in−1ū
k
n−1r + bk
n−1ū
k
n−1t+
+
[
ck
n−1 +
m∑
i=1
(
ak
in−2 − (n− 1) âk
in−1
)]
ūk
n−1
}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (8)
Нетрудно убедиться, что если {ūk
n}, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , — решение системы
(6) – (8), то оно является и решением уравнения (5).
Учитывая ортогональность сферических функций {Y k
n,m(θ)} [4], первое из
условий (2) записываем в виде
ūk
n
(
r,
√
1− r2
)
= 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , 0 ≤ r ≤ 1. (9)
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (6) – (8) можно представить в
виде
ūk
nrr + ūk
ntt +
m− 1
r
ūk
nr −
λn
r2
ūk
n = f̄k
n(r, t), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (10)
где f̄k
n(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом
f̄1
0 (r, t) ≡ 0.
Выполняя в (9), (10) замену переменных ūk
n(r, t) = r(1−m)/2uk
n(r, t), а затем
полагая r = ρ cos ϕ, t = ρ sinϕ, ρ ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ π, получаем
υk
nρρ +
1
ρ
υk
nρ +
1
ρ2
υk
nϕϕ +
λn
ρ2 cos2 ϕ
υk
n = fk
n(ρ, ϕ), (11)
υk
n(1, ϕ) = 0,
υk
n(ρ, ϕ) = uk
n(ρ cos ϕ, ρ sinϕ), λn =
(m− 1)(3−m)− 4λn
4
, (12)
fk
n(ρ, ϕ) = (ρ cos ϕ)(m−1)/2
f̄k
n(ρ cos ϕ, ρ sinϕ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Сначала рассмотрим случай n = 0, k = 1. Тогда из (11), (12) находим
υ1
0ρρ +
1
ρ
υ1
0ρ +
1
ρ2
υ1
0ϕϕ +
λ0
ρ2 cos2 ϕ
υ1
0 = 0, (13)
υ1
0(1, ϕ) = 0. (14)
Решение задачи (13), (14) будем искать в виде
υ1
0(ρ, ϕ) = R(ρ)φ(ϕ). (15)
Подставляя (15) в (13), имеем
ρ2Rρρ + ρRρ − µR = 0, (16)
φϕϕ +
(
µ +
λ0
cos2 ϕ
)
φ = 0, µ = const . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
268 С. А. АЛДАШЕВ
Ограниченным решением уравнения (16) является функция
R(ρ) = ρs, µ = s2, 0 ≤ s = const .
Далее, уравнение (17) запишем следующим образом:
φϕϕ =
[
l(l − 1)
cos2 ϕ
− s2
]
φ, l = −m− 3
2
. (18)
Выполняя в уравнении (18) замену переменных ξ = sin2 ϕ, приходим к уравне-
нию
ξ(ξ − 1)gξξ +
[
(α + β + 1)ξ − 1
2
]
gξ + αβg = 0,
g(ξ) =
φ(ϕ)
cosl ϕ
, α =
l + s
2
, β =
l − s
2
,
общее решение которого представимо в виде [6]
gs(ξ) = c1sF
(
α, β,
1
2
; ξ
)
+ c2s
√
ξF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; ξ
)
(19)
и периодическое по ϕ, если s = 0, 1, . . . , где c1s, c2s — произвольные независимые
постоянные, а F (α, β, γ; ξ) — гипергеометрическая функция Гаусса.
Таким образом, в силу (15), (19) общее решение уравнения (13) принимает вид
υ1
0(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
ρs cosl ϕ
[
c1sF
(
α, β,
1
2
; sin2 ϕ
)
+
+c2s sinϕF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
)]
. (20)
Поскольку
∣∣∣υ1
0
(
ρ,
π
2
)∣∣∣ < ∞, из (20) имеем
c1sF
(
α, β,
1
2
; 1
)
+ c2sF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; 1
)
= 0
или
c2s = − 2c1sΓ(1− α)Γ(1− β)
Γ(1/2− α)Γ(1/2− β)
, (21)
где Γ(z) — гамма-функция.
Подставляя (21) в (20), получаем
υ1
0(ρ, ϕ) =
∞∑
s=0
c1sρ
s cosl ϕ
[
F
(
α, β,
1
2
; sin2 ϕ
)
−
− 2Γ(1− α)Γ(1− β)
Γ(1/2− α)Γ(1/2− β)
sinϕF
(
α +
1
2
, β +
1
2
,
3
2
; sin2 ϕ
)]
. (22)
Подчинив функцию (22) граничному условию (14), получим c1s = 0, s =
= 0, 1, . . . , и, значит, υ1
0(r, ϕ) ≡ 0, т. е. u1
0(r, t) ≡ 0. Отсюда следует f
k
1 (r, t) ≡ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ГЕЛЛЕРСТЕДТА . . . 269
Далее, из задачи (11), (12) получаем задачу
υk
1ρρ +
1
ρ
υk
1ρ +
1
ρ2
υk
1ϕϕ +
λ1
ρ2 cos2 ϕ
υk
1 = 0,
υk
1 (ρ, ϕ) = 0, n = 1, k = 1, k1,
решение которой также υk
1 (ρ, ϕ) ≡ 0.
Продолжая этот процесс, находим υk
n(ρ, ϕ) ≡ 0, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Таким образом, u(r, θ, t) ≡ 0 ∀(r, θ, t) ∈ D̄+.
Следовательно, задача 1 сводится к задаче Дарбу в области D− для уравнения
∆xu− utt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi
+ b(x, t)ut + c(x, t)u = 0
c данными u |S = 0, u |S0 = 0, имеющей бесчисленное множество нетривиальных
решений [3, 5].
Теорема доказана.
1. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
2. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. –
287 с.
3. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. –
Алматы: Гылым, 1994. – 170 с.
4. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз,
1962. – 254 с.
5. Алдашев С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений //
Дифференц. уравнения. – 1998. – 34, № 1. – С. 64 – 68.
6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1965. –
703 с.
Получено 17.06.09,
после доработки — 26.08.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 2
|