Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами
С помощью операторов дробного интегрирования и дифференцирования доказана теорема o корректности общей параболической краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с интегральными операторами в краевых условиях. By using the operators of fractional integration and differentiation, we...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2008 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164792 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами / А.О. Данилюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1610–1618. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860242241676640256 |
|---|---|
| author | Данилюк, А.О. |
| author_facet | Данилюк, А.О. |
| citation_txt | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами / А.О. Данилюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1610–1618. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | С помощью операторов дробного интегрирования и дифференцирования доказана теорема o корректности общей параболической краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с интегральными операторами в краевых условиях.
By using the operators of fractional integration and differentiation, we prove the theorem on the
correctness of general parabolic boundary-value problem for a system of integro-differential equations
with integral operators under boundary conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:31:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.956.4
A. O. Danylgk (Çerniv. nac. un-t)
KRAJOVA ZADAÇA DLQ PARABOLIÇNO} SYSTEMY
INTEHRO-DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
Z INTEHRAL|NYMY UMOVAMY
By using the operators of fractional integration and differentiation, we prove the theorem on the
correctness of general parabolic boundary-value problem for a system of integro-differential equations
with integral operators under boundary conditions.
S pomow\g operatorov drobnoho yntehryrovanyq y dyfferencyrovanyq dokazana teorema o
korrektnosty obwej parabolyçeskoj kraevoj zadaçy dlq system¥ yntehro-dyfferencyal\n¥x
uravnenyj s yntehral\n¥my operatoramy v kraev¥x uslovyqx.
Zahal\na teoriq linijnyx paraboliçnyx krajovyx zadaç bula stvorena v osnovno-
mu u 60-ti roky mynuloho stolittq [1 – 4], zhidno z qkog umova Lopatyns\koho
(dopovnql\nosti) i umova rivnomirno] paraboliçnosti systemy vyznaçagt\ ko-
rektnist\ paraboliçno] krajovo] zadaçi. Rozvyvalys\ rizni metody wodo znaxod-
Ωennq rozv’qzkiv krajovyx zadaç, zokrema metod intehral\nyx operatoriv [4]. U
monohrafi] M. I. Matijçuka [5] pry doslidΩenni B-paraboliçnyx krajovyx zadaç
vyznaçal\nym [ pobudova fundamental\noho rozv’qzku B - paraboliçnoho rivnqn-
nq
Λ ( )D u ≡ ∂
∂
+ − +′
u
t
B ub
x x
b
n
( ) ( )1 ∆ = f
na poverxni S, a takoΩ vyvçennq di] operatoriv drobovoho intehruvannq ta dy-
ferencigvannq, wo vidpovidagt\ c\omu paraboliçnomu operatoru Λ ( )D .
U danij statti za dopomohog operatoriv drobovoho intehruvannq ta dyferen-
cigvannq vstanovleno korektnu rozv’qznist\ zadaçi dlq paraboliçno] systemy
intehro-dyferencial\nyx rivnqn\ z dyferencial\nymy ta intehral\nymy krajo-
vymy umovamy. Fundamental\nyj rozv’qzok ΓΓΓΓ paraboliçno] systemy intehro-
dyferencial\nyx rivnqn\ ta zadaçu Koßi doslidΩeno v [6]. Dlq isnuvannq kla-
syçnoho rozv’qzku dano] krajovo] zadaçi potribno z’qsuvaty, qki novi umovy vy-
nykagt\ u zv’qzku z tym, wo krajovi umovy mistqt\ intehral\ni operatory fred-
hol\movoho typu.
1. Postanovka zadaçi i formulgvannq osnovnoho rezul\tatu. Nexaj Ω
— kompaktna oblast\ u prostori R
n
, qka obmeΩena poverxneg S, Γ0 = ( , )0 T ×
× S. V oblasti Q = ( , )0 T × Ω rozhlqnemo krajovu zadaçu dlq paraboliçno]
systemy N intehro-dyferencial\nyx rivnqn\
L t x D K u( , , , ) ≡
∂
∂
− −
≤
∑ ∫ ∫u
t
A t x D u d K t x u dk
k b
x
k
t
( , ) ( , , , ) ( , )
2 0
τ τ ξ τ ξ ξ
Ω
=
= f t x( , ), (1)
u t = 0 = ϕ ( )x , x ∈Ω, (2)
B t z D u P t z D u t dSi x
S
i( , , ) ( , , , ) ( , )Γ0
+ ∫ ξ ξξ ξ = g t zi( , ), i = 1, bN , z ∈ S , (3)
de
B t z Di x( , , ) ≡ b t z Dik
k r
x
k
i
( , )
≤
∑ , P t z Di( , , , )ξ ξ ≡ p t z Dik
k r
k
i
( , , )ξ ξ
≤ −
∑
1
,
1 ≤ ri < 2 b .
© A. O. DANYLGK, 2008
1610 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
KRAJOVA ZADAÇA DLQ PARABOLIÇNO} SYSTEMY … 1611
Ma[ misce nastupna teorema.
Teorema6(pro korektnist\). Nexaj zadaça (1) – (3) v oblasti Q zadovol\-
nq[ umovu rivnomirno] paraboliçnosti ta umovu Lopatyns\koho,
A C Qk t x∈ ,
( )( )α
, f ∈
o
xC Q( )( )α
, ϕ α∈ +C b( )( )2 Ω i L ϕ ∈
o
C( )( )α Ω ,
gi , bik ∈ Ct z
b ri
,
( )( )2
0
− +α Γ , pik ∈ C St z
b ri
,
( )( , )2
0
− +α Γ , S C b∈ +( )2 α
,
qdro intehral\noho operatora systemy K t x( , , , )τ ξ = ( ) ,Kij i j
N
=1 [ neperervnym
pry t > τ, x, ξ ∈ Ω i zadovol\nq[ nerivnist\
D K t xx
m
ij ( , , , )τ ξ ≤ C
e
t
m
c t x
n b m
b
−
+ + −
−
1
2
2
ρ τ ξ
α
τ
( , , , )
( )
,
ρ τ ξ( , , , )t x =
x
t b
q
−
−
ξ
τ( ) /1 2 , q =
2
2 1
b
b −
, m = 0, 1,
vykonu[t\sq umova uzhodΩenosti
B z D x P z D dSi x
S
i( , , ) ( ) ( , , , ) ( )0 0
0
ϕ ξ ϕ ξξ ξΓ + ∫ = g zi( , )0 , i = 1, bN , z ∈ S .
Todi rozv’qzok zadaçi (1) – (3) vyznaça[t\sq formulog
u t x( , ) = ϕ τ τ ξ τ ξ τ ξ ϕ ξ ξ( ) ( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( )x d t x f L D K d
t
+ −( )∫ ∫
0 Ω
Γ +
+
i
bN t
S
i S id t x D g dSi
=
∑ ∫ ∫
1 0
τ τ ξ τ ξα
ξE ( , , , ) ( , )( )
(4)
i spravdΩu[t\sq nerivnist\
u b2 +α ≤ C C f C gb
j
bN
j b rj
1 2 2 3
1
2
ϕ α α α+
=
− +
+ + ∑ , (5)
v qkij
Ci = C C b C S pi i
j
bN
k r
jk b r i
j
bN
k r
jk b r
j
j
j
j
1 2
1
2 3
1 1
2
+ +
= ≤ − +
= ≤ − − +∑ ∑sup sup
α α
mes ,
i = 1, 2.
Tut ΓΓΓΓ — fundamental\na matrycq rozv’qzkiv systemy (1) [6], DS
i( )α
— ope-
rator drobovoho dyferencigvannq, Ei vyznaçagt\sq za dopomohog rezol\vent
Rij
1
ta Rij
2
rivnostqmy
Ei t x( , , , )τ ξ ≡
ε τ ξ β ε β β τ ξα
τ
α
i
j
bN t
S
j ij y
i jt x d t x y y dS( ) ( )
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )+
=
∑ ∫ ∫
1
R ,
Rij t z( , , , )τ ξ ≡ R t z R t zij ij
1 2( , , , ) ( , , , )τ ξ τ ξ+ +
+
k
bN t
S
ik kj yd R t z y R y dS
=
∑ ∫ ∫
1
2 1
τ
β β β τ ξ( , , , ) ( , , , ) , i, j = 1, bN ,
ε α
i
i( )
— qdra poverxnevyx potencialiv, wo zvodqt\ krajovu zadaçu do systemy in-
tehral\nyx rivnqn\,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1612 A. O. DANYLGK
g t zi( , ) = g t z B u Pu dSi i
S
i( , ) − − ∫1 10Γ ξ ,
u1 — rozv’qzok zadaçi (1), (2) v oblasti Q .
2. DopomiΩni tverdΩennq. Navedemo oznaçennq prostoriv, v qkyx rozhlq-
da[t\sq dana zadaça.
Oznaçennq61 [5, c. 72]. Funkciq f t x( , ; , )τ ξ naleΩyt\ klasu C m
µ
( )( , )Γ Γ0 0 ,
qkwo pry t > τ vona ma[ neperervni poxidni D fx
k
do porqdku cilo] çastyny m
m m m= +( )[ ] { } , dlq qkyx pravyl\nymy [ ocinky:
1) pry k ≤ [ ]m
D f t xx
k ( , ; , )τ ξ ≤ C t e
k
b c t x( ) ( , , , )−
− +
−τ
µ
ρ τ ξ2 ,
2) pry k = [ ]m i ∆x < ( ) /t b− τ 1 2
∆x x
kD f t x( , ; , )τ ξ ≤ C x t e em
m
b c t x x c t x∆ ∆{ } ( , , , ) ( , , , )( )− +[ ]− +
− + −τ
µ
ρ τ ξ ρ τ ξ2 ,
3) pry k ≤ [ ]m i 0 < ∆ t < t – τ
∆t x
kD f t x( , ; , )τ ξ ≤ C t t e
k
b
k
b c t x∆
µ µ
ρ τ ξτ
− − +
−−2 2( ) ( , , , ) .
C m
µ
( )( )Γ0 — klas funkcij f t x( , ), poxidni qkyx zadovol\nqgt\ umovy 1 – 3 pry
znaçennqx τ = ξ = 0.
Oznaçennq62. C Qm( )( )+α
— klas funkcij f t x( , ), wo vyznaçeni v Q i ma-
gt\ neperervni poxidni po x do porqdku m, do toho Ω starßi poxidni po x [
hel\derovymy z pokaznykom α . Norma v klasi C Qm( )( )+α
vyznaça[t\sq takym
çynom:
u m+α = u
D u t x
xC
t x t x x Q
x x
m
m( ) sup
( , )
( , ),( , )
+
+ ∈∆
∆
∆ α .
o
C Q( )( )α
— klas funkcij f C Q∈ ( )( )α
, wo zadovol\nqgt\ umovu f t x( , ) Γ0
= 0.
Rozhlqnemo dali operatory drobovoho intehruvannq ta dyferencigvannq, qki
vyznaçeni na funkciqx z klasu C m
µ
( )( , )Γ Γ0 0 :
I fS
α ( ) =
1
1Γ( ) ( )
( , , ) ( , ; , )
α
β
β
β β τ ξ
τ
α
t
S
y
d
t
G t x y f y dS∫ ∫−
−− ,
D fS
α ( ) =
1
1Γ( )
( , ; , )
( )− −α
τ ξ
τ α
f t x
t
+
+
α
α
β
β
β β τ ξ τ ξ
τ
αΓ( ) ( )
( , , ) ( , ; , ) ( , ; , )
1 1− −
− −[ ]∫ ∫+
t
S
y
d
t
G t x y f y f t x dS ,
de Γ( )α — hamma-funkciq Ejlera, G t x y( , , ) — fundamental\nyj rozv’qzok
paraboliçnoho rivnqnnq
Λ ( )D G ≡
∂
∂
+ −
t
Gb
x
b( )1 ∆ = 0, t > 0,
na poverxni S, qkyj ma[ vlastyvist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
KRAJOVA ZADAÇA DLQ PARABOLIÇNO} SYSTEMY … 1613
S
x
m k
yD G t x y y x dS∫ −( , , )( ) =
0
2
, ,
!, , , .
m k
m m k k m b
≠
= <
Sformulg[mo tverdΩennq pro dig cyx operatoriv.
TverdΩennq [5, c. 80]. 1. Qkwo µ < n – 1 + 2 b, 0 < 2 b α < m < 2 b , to
operator drobovoho dyferencigvannq DS
α
vidobraΩa[ prostir C m
µ
( )( , )Γ Γ0 0 v
C b
m b
µ α
α
+
−
2
2
0 0
( )( , )Γ Γ .
2. Qkwo vykonu[t\sq umova m b+ [ ]2 α < 2 b , to operator drobovoho in-
tehruvannq IS
α
di[ z prostoru C m
µ
( )( , )Γ Γ0 0 u prostir C b
m b
µ α
α
−
+
2
2
0 0
( )( , )Γ Γ .
Navedemo we lemu pro ocinku poverxnevoho intehrala, qka lehko dovodyt\sq,
qkwo v lokal\nij systemi koordynat perejty vid poverxnevoho intehrala do ob’-
[mnoho, qkyj ocing[t\sq intehralom typu Puassona.
Lema6(pro ocinku poverxnevoho intehrala). Qkwo S C∈ +( )1 α , to poverxne-
vyj intehral
I t x( , , )τ =
S
c t x
n
b
e
t
dS∫
−
−
−
ρ τ ξ
ξ
τ
( , , , )
( )
1
2
, c > 0,
[ obmeΩenog funkci[g dlq bud\-qkyx x ∈ R
n, t > τ .
3. Alhorytm dovedennq teoremy pro korektnist\. Rozv’qzok zadaçi (1) –
(3) ßuka[mo u vyhlqdi sumy u t x( , ) = u t x u t x1 2( , ) ( , )+ , de u1 — rozv’qzok syste-
my (1), wo zadovol\nq[ poçatkovu umovu (2), u2 — rozv’qzok neodnoridno] kra-
jovo] zadaçi
L t x D K u( , , , ) 2 = 0, u t2 0= = 0,
(6)
B u P t z D u t dSi
S
i2 20Γ + ∫ ( , , , ) ( , )ξ ξξ ξ = g t zi( , ), i = 1, bN , z ∈ S .
ProdovΩymo koefici[nty systemy A t xk ( , ) z oblasti Ω na uves\ prostir zi
zbereΩennqm hel\derovosti [7, c. 106]. Todi pry vykonanni umov teoremy isnu[
fundamental\na matrycq rozv’qzkiv systemy ΓΓΓΓ = Z + V , V Cn b
b∈ − −
+
2
2
α
α( ) ( , )Π Π ,
ΠΠΠΠ = ( , )0 T n× R , za dopomohog qko] rozv’qzok zadaçi (1), (2) zobraΩu[t\sq u
vyhlqdi
u t x1( , ) = ϕ τ τ ξ τ ξ τ ξ ϕ ξ ξ( ) ( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( )x d t x f L D K d
t
+ −( )∫ ∫
0 Ω
Γ .
Ob’[mnyj potencial ma[ vsi poxidni, wo vxodqt\ v systemu, na osnovi lemy
pro dyferencigvannq ob’[mnoho intehrala po oblasti Ω [8, c. 41] ta umov na
funkci] f ta ϕ .
Rozv’qzok krajovo] zadaçi (6) ßuka[mo za dopomohog poverxnevyx potencia-
liv z nevidomog wil\nistg µ j :
u t x2( , ) =
j
bN t
S
j jd t x dSj
=
∑ ∫ ∫
1 0
τ ε τ ξ µ τ ξα
ξ
( )
( , , , ) ( , ) , (7)
de
ε τ ξα
j
j t x
( )
( , , , ) = G t x W t xj j
j( )
( , , , ) ( , , , )
α τ ξ τ ξ− , 0 < αj < 1 , 1 ≤ j ≤ bN ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1614 A. O. DANYLGK
W t xj ( , , , )τ ξ =
τ
αβ β β β τ ξ
t
y jd t x y L y D K G y dy
n
j∫ ∫
+R
ΓΓ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
( )
, (8)
Gj
j( )α
— funkci] typu qder Puassona, qki vyznaçeno v [5, c. 86] i dlq qkyx vyko-
nugt\sq nerivnosti
D G t xx
k
j
j( )
( , , , )
α τ ξ ≤ C t ek
n b r k b
b c t x
j j
( ) ( , , , )−
−
− + − + −
−τ
α
ρ τ ξ
1 2 2
2 ,
(9)
t > τ , x
n∈ +R , ξ ∈ S .
Rozhlqnemo potencial Wj . Joho wil\nist\
L t x D K G t xx j
j( , , , ) ( , , , )
( )α τ ξ =
k b
k k x
k
jA A t x D G j
=
∑ −[ ]
2
( , ) ( , )
( )τ ξ α
+
+
P t x D G d K t x y G y dyb x j
t
j
j
n
j
2 1− + ∫ ∫
+
( , , ) ( , , , ) ( , , , )
( ) ( )α
τ
αβ β β τ ξ
R
,
de operator P b2 1− mistyt\ molodßi poxidni iz L t x Dx( , , ) . Nexaj vykonugt\sq
umovy teoremy. Poklademo α j =
2
2
b r
b
j− − ε
< 1, ε < α . Todi
L t x D K Gx j
j( , , , )
( )α
∈ Cn b− + − ′
+
1 2 0ε
α( ) ( , )Π Γ , ε′ = α – ε > 0.
Za teoremogQ6.5 [5, c. 80] W Cj n
b∈ − − ′
+ +
1
2
0ε
α( )( , )Π Γ . A ce oznaça[, wo pry t > 0 i za
umov x ∈ Ω , µ α
j C∈ ( )( )Γ0 u2 zadovol\nq[ odnoridnu systemu za raxunok toho,
wo L t x D K Wj( , , , ) = L t x D K Gj
j( , , , )
( )α
. Nul\ova poçatkova umova vykonu[t\sq,
oskil\ky pidintehral\ni funkci] ε α
j
j( )
[ neperervnymy za sukupnistg zminnyx
pry t > τ , x ≠ ξ . Vykorystavßy spivvidnoßennq [5, c. 87], qke vykonu[t\sq na
meΩi oblasti, zadovol\nymo krajovi umovy (6):
I t z d E t z dSS i
j
bN t
S
ij j
i( ) ( , ) ( , , , ) ( , )α
ξµ τ τ ξ µ τ ξ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
+
+
j
bN t
S S
i j j yd P t z D t y dS y dSj
=
∑ ∫ ∫ ∫
1 0
τ ξ ε τ ξ µ τξ
α
ξ( , , , ) ( , , , ) ( , )
( )
= g t zi( , ) , i = 1, bN ,
(10)
de
E t zij ( , , , )τ ξ =
l
i
l
z l i
l
z lB t z D a z B D a z∑ −[ ]( ) ( )( , , ) ( ) ( , , ) ( )0 τ ξ ×
× G t z
a
g
B t z D W t z
W t z
t
j
l l
l i z j ij
j
i
( , )
( )
( ), ; ,
( )
( )
( , , ) ( , , , )
( , , , )
( )
α
ατ ξ τ ξ ξ
ξ
τ ξ δ τ ξ
τ
− − − −
− −
Λ
1 . (11)
Zastosuvavßy operator drobovoho dyferencigvannq porqdku αi , systemu inte-
hral\nyx rivnqn\ Vol\terry – Fredhol\ma 1-ho rodu (10) vidnosno nevidomyx
wil\nostej µ j zvedemo do ekvivalentno] systemy 2-ho rodu
µi t z( , ) = D g t z d Q t z dSS i
j
bN t
ij
S
j
i( ) ( , ) ( , , , ) ( , )α
ξτ τ ξ µ τ ξ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
, i = 1, bN , (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
KRAJOVA ZADAÇA DLQ PARABOLIÇNO} SYSTEMY … 1615
de vvedeno poznaçennq
Q t zij ( , , , )τ ξ ≡ – D E t z D P t z y D t y dSS ij S i y
S
j y
i i j( ) ( ) ( )
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )α α ατ ξ ε τ ξ− ∫ . (13)
Dlq odnoznaçnoho znaxodΩennq rozv’qzku systemy metodom poslidovnyx nably-
Ωen\ ocinymo qdra Qij .
Rozhlqnemo funkci] Eij , wo vyznaçagt\sq formulog (11). Vraxovugçy, wo
b Cik
b ri∈ − +( )( )2
0
α Γ , B W Ci j n r
b r
i
i∈ − + − ′
− + +
1
2
0ε
α( )( , )Π Γ , W Cn
b
Λ Γ Γ∈ −
+
2
2
0 0
( )( , )α , znaxodymo,
wo E Cij n r
b r
i
i∈ − + − ′
− +
1
2
0 0ε
α( )( , )Γ Γ . Dali, na pidstavi tverdΩennq z p.Q2 pro dig operatora
drobovoho dyferencigvannq oderΩymo, wo D E CS ij n b
i( ) ( ) ( , )α
α
α ε∈ − + −
+
1 2 0 0Γ Γ .
Ocinymo druhyj dodanok u formuli (13). Dlq poxidnyx funkcij ε α
j
j( )
na
osnovi ocinky (9) z uraxuvannqm vyboru çysel α j spravdΩu[t\sq nerivnist\
D t xx
k
j
jε τ ξα( )
( , , , ) ≤ C t ek
n k
b c t x( ) ( , , , )−
− − + +
−τ
ε
ρ τ ξ
1
2 ,
(14)
t > τ , x , ξ ∈ S , k b< 2 .
Wob vstanovyty porqdok dyferencial\noho operatora P t z y Di y( , , , ) , y , z ∈ S ,
rozpyßemo dig operatora drobovoho dyferencigvannq, qkyj vyznaçeno u p.Q2:
D t zS ij
i( ) ( , , , )α τ ξP =
1
1Γ( )
( , , , )
( )− −α
τ ξ
τ α
i
ij t z
t i
P
+
+
α
α
β
β
β β τ ξ τ ξ
τ
α
i
i
t
b b
b S
ij ij y
d
t
G t z y y t z dS
iΓ( )
( )
( , , ) ( , , , ) ( , , , )
1 2 2
2
−
−
− −[ ]∫ ∫+ P P ≡
≡
1
1 11 2Γ Γ( ) ( )−
+
−α
α
αi
i
i
H H ,
de
Pij t z( , , , )τ ξ ≡
S k s
ik y
k
j yp t z y D t y dSj∫ ∑
≤
( , , ) ( , , , )
( )ε τ ξα
.
Na pidstavi nerivnosti (14) ta lemy pro ocinku poverxnevoho intehrala iz p.Q2
ma[mo
H t z1( , , , )τ ξ ≤ C p t z y t
i bN k s
z y S
ik
s b r
b
i
sup ( , , ) ( )
,
,
1
2
2
≤ ≤ ≤
∈
− + −
− τ ,
(15)
t > τ , z , ξ ∈ S .
Dlq sumovnosti H1 potribno, wob s ri− < 0. OtΩe, s = ri − 1.
Dlq ocinky H2 ocinymo spoçatku pryrist funkcij Pij po perßomu arhu-
mentu:
∆t ij t zP ( , , , )τ ξ =
S k r
ik ik y
k
j y
i
jp t t z y p t z y D t t y dS∫ ∑
≤ −
+ −[ ] +
1
( , , ) ( , , ) ( , , , )
( )∆ ∆ε τ ξα
+
+
S k r
ik y
k
j y
k
j y
i
j jp t z y D t t y D t y dS∫ ∑
≤ −
+ −[ ]
1
( , , ) ( , , , ) ( , , , )
( ) ( )ε τ ξ ε τ ξα α∆ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1616 A. O. DANYLGK
Ocinka perßoho dodanka vyplyva[ z hel\derovosti koefici[ntiv krajovoho
operatora po perßomu arhumentu z pokaznykom
2
2
b r
b
i− + α
, oskil\ky pik Q∈
∈ C St z
b ri
,
( )( , )2
0
− +α Γ , lemy pro ocinku poverxnevoho intehrala i toho, wo t t+ −∆ τ ≥
≥ t − τ . Ocinka druhoho dodanka vyplyva[ z toho, wo Dy
k
j
jε α( )
∈ Cn k
b k
− + +
−
1
2
0 0ε
( ) ( , )Γ Γ ,
k b< 2 . Ostatoçno ma[mo
∆t ij t zP ( , , , )τ ξ ≤ C t t
b r
b
r
b
i i
1
2
2
1
2∆
− + − − +
−
α ε
τ( ) +
+ C p t z y t t
i bN k r
z y S
ik
b r
b
r
b
i
i i
2
1 1
2 1
2
1
2sup ( , , ) ( )
,
,
≤ ≤ ≤ −
∈
− + − − +
−∆ τ
ε
, (16)
t > τ , z , ξ ∈ S .
H2 bezposeredn\o ocinyty ne moΩna, tomu podilymo promiΩok intehruvannq
popolam toçkog t1 i rozhlqnemo dva intehraly
H2 =
τ
t1
∫ … +
t
t
1
∫ … ≡ H H2
1
2
2+ .
Dlq ocinky H2
1
vykorysta[mo lemu pro ocinku poverxnevoho intehrala i te, wo
t – β ≥ t – t1 ≥ ( )/t − τ 2, s = ri − 1, 2b iα = 2b ri− − ε:
H t z2
1( , , , )τ ξ ≤ C
d
t
e
t
dS
t
b b
b
r
b S
c t z y
n
b
yi i1 2 2
2
1
2
1
2
1
τ
α ε
ρ ββ
β β τ β
∫ ∫
− − −
+ − +
−
−
( ) ( ) ( )
( , , , )
+
+ C
d
t
e
t
dS t
t
b b
b S
c t z y
n
b
y
r
b
i
i
2 2 2
2
1
2
1
2
1
τ
α
ρ β ε
β
β β
τ∫ ∫
− −
−+
−
−
− − +
( ) ( )
( )
( , , , )
≤ C t
b
b( )−
− −
τ
2 1
2 , (17)
t > τ , z , ξ ∈ S .
Zobrazymo H2
2
u vyhlqdi
H t z2
2( , , , )τ ξ =
t
t
S
ij ij y
d
t
G t z y y t y dS
i
1
1∫ ∫−
− −[ ]+
β
β
β β τ ξ τ ξα( )
( , , ) ( , , , ) ( , , , )P P +
+
t
t
S
ij ij y
d
t
G t z y t y t z dS
i
1
1∫ ∫−
− −[ ]+
β
β
β τ ξ τ ξα( )
( , , ) ( , , , ) ( , , , )P P ≡ h h1 2+ .
Dlq ocinky h1 vykorysta[mo nerivnist\ (16) dlq pryrostu funkci] Pij :
h t z1( , , , )τ ξ ≤ C
d
tt
t
b b
b
b r
b
r
b
i i i1 2 2
2
2
2
1
21
∫
− −
+ − − + − +
β
β β τ
α α ε
( ) ( )
+
+ C
d
tt
t
b b
b
b r
b
r
b
i i i2 2 2
2
2 1
2
1
21
∫
− −
+ − − + − +
β
β β τ
α ε
( ) ( )
≤ C t
r
b
i
( )−
− −
τ
2
2 , (18)
t > τ , z , ξ ∈ S .
V obox intehralax vraxovano te, wo β – τ ≥ t1 – τ = ( )/t − τ 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
KRAJOVA ZADAÇA DLQ PARABOLIÇNO} SYSTEMY … 1617
Ocinymo h2 . Funkciq Pij t z( , , , )τ ξ po tret\omu arhumentu ma[ poxidni do
porqdku 2b ri− , pryçomu starßi poxidni [ hel\derovymy z pokaznykom α , os-
kil\ky c\omu klasu naleΩat\ funkci] pik . Cym i skorysta[mos\ pry ocingvanni
riznyci poxidnyx funkci] Pij porqdku m = 2b ri− . Dlq c\oho dodamo i vidnime-
mo vid riznyci perßi m çleniv rqdu Tejlora:
h2 =
t
t
S
z
m
ij z
m
ijd
t
G t z y
D t z y z D t z
mi
1
1∫ ∫−
−
+ − −
+
β
β
β
τ θ ξ τ ξ
α( )
( , , )
( , , ( ), ) ( , , , )
!
P P
×
×
( )
( )
( , , , )
!
( , , )( )y z dS
d
t
D t z
k
G t z y y z dSm
y
t
t
k b r
z
k
ij
S
k
yi
i
− +
−
− −∫ ∑ ∫+
≤ ≤ −1
1
1 2
β
β
τ ξ
βα
P
.
Tak, zhidno z vlastyvistg fundamental\noho rozv’qzku, qku navedeno v p.Q2, dru-
hyj dodanok dorivng[ nulevi. Takym çynom,
h t z2( , , , )τ ξ ≤ C
d
t
e
t
y z
t
dS
t
t
S
c t z y
n
b
b r
r
b
yi
i
i
1
1 1
2
2
1
2
∫ ∫−
−
−
−
+
−
−
− +
− +
β
β
β τ
α
ρ β α
ε( )
( ) ( )
( , , , )
≤
≤ C t
r
b
i
( )−
− − −
τ
α1
2 , t > τ , z , ξ ∈ S . (19)
Tut my podilyly i pomnoΩyly na t – β u vidpovidnomu stepeni, v rezul\tati çoho
oderΩaly intehral typu
z e dzm c z q
n
−
−∫R 1 , qkyj [ zbiΩnym.
OtΩe, na osnovi ocinok (15) – (19) dlq druhoho dodanka v konstrukci] qder
Qij ma[mo
D P t z D t y dSS
S
i j
i j( ) ( )
( , , , ) ( , , , )α
ξ
α
ξξ ε τ ξ∫ ≤ C t
b
b( )−
− −
τ
2 1
2 , t > τ .
Dlq znaxodΩennq rozv’qzku systemy (12) podamo qdro Qij u vyhlqdi sumy
dvox qder
Q t zij ( , , , )τ ξ = – D E t z D P t y dSS ij S
S
i j y
i i j( ) ( ) ( )
( , , , ) ( , , , )α α ατ ξ ε τ ξ− ∫ ≡ Q Qij ij
( ) ( )1 2+ ,
dlq qkyx spravdΩugt\sq ocinky
Q t zij
( )( , , , )1 τ ξ ≤ C t e
n b
b c t z( ) ( , , , )−
− − + −
−τ
α
ρ τ ξ
1 2
2 , t > τ , z , ξ ∈ S ,
Q t zij
( )( , , , )2 τ ξ ≤ C t
b
b( )−
− −
τ
2 1
2 , t > τ , z , ξ ∈ S .
Todi systema (12) nabere vyhlqdu
µi t z( , ) = D g t z d Q dS d Q dSS i
j
bN t
S
ij j
j
bN t
S
ij j
i( ) ( ) ( )( , )α
ξ ξτ µ τ µ+ +
= =
∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫
1 0
2
1 0
1 , i = 1, bN .
(20)
Qkwo rozhlqdaty (20) qk systemu intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry – Fredhol\-
ma 2-ho rodu vidnosno ßukano] funkci] µi z qdrom Qij
( )1
ta neodnoridnistg
D g d Q dSS i
j
bN t
S
ij j
i( ) ( )α
ξτ µ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
2
,
to kvazirehulqrnist\ qdra Qij
( )1
dozvolq[ vstanovyty zbiΩnist\ rqdu Nejmana, i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1618 A. O. DANYLGK
dlq rezol\venty R t zij
1 ( , , , )τ ξ pravyl\nog [ ocinka, qk i dlq qdra Qij
( )1
z inßymy
stalymy. Todi rozv’qzok systemy (20) matyme vyhlqd
µi t z( , ) = D g t z d R t z D g dSS i
j
bN t
S
ij S j
i j( ) ( )
( , ) ( , , , ) ( , )α α
ξτ τ ξ τ ξ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
1 +
+
j
bN t
S
ij j
j
bN t
S
ij
l
bN
S
jl l yd Q dS d R t z d Q dS dS
= = =
∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫+
1 0
2
1 0
1
1 0
2τ µ τ τ ξ β µξ
τ
ξ
( ) ( )( , , , ) , i = 1, bN .
(21)
Qkwo v ostann\omu dodanku zminyty porqdok intehruvannq, to vidnosno µi
(21)Q [ systemog intehral\nyx rivnqn\ Vol\terry – Fredhol\ma 2-ho rodu
zQqdrom
N t zij ( , , , )τ ξ ≡ Q t z d R t z y Q y dSij
l
bN t
S
il lj y
( ) ( )( , , , ) ( , , , ) ( , , , )2
1
1 2τ ξ β β β τ ξ
τ
+
=
∑ ∫ ∫
ta neodnoridnistg
D g d R D g dSS i
j
bN t
S
ij S j
i j( ) ( )α α
ξτ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
1
.
Na osnovi ocinok dlq Qij
( )2
ta Rij
1
qdro Nij zadovol\nq[ nerivnist\
N t zij ( , , , )τ ξ ≤ C t
b
b( )−
− −
τ
2 1
2 , t > τ , z , ξ ∈ S ,
qka harantu[ isnuvannq rezol\venty Rij
2
, dlq qko] spravdΩu[t\sq ocinka
R t zij
2( , , , )τ ξ ≤ C t
b
b( )−
− −
τ
2 1
2 , t > τ , z , ξ ∈ S .
Todi rozv’qzok systemy (21) ma[ vyhlqd
µi t z( , ) =
D g t z d t z D g dSS i
j
bN t
S
ij S j
i j( ) ( )
( , ) ( , , , ) ( , )α α
ξτ τ ξ τ ξ+
=
∑ ∫ ∫
1 0
R ,
a ostatoçnyj rozv’qzok krajovo] zadaçi vyznaça[t\sq formulog (4).
Usi vstanovleni nerivnosti dozvolqgt\ ocinyty rozv’qzok krajovo] zadaçi ta
oderΩaty ocinku (5).
Teoremu dovedeno.
1. ∏jdel\man S. D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 444 s.
2. Zahorskyj T. Q. Smeßannaq zadaça dlq system dyfferencyal\n¥x uravnenyj s çastn¥my
proyzvodn¥my parabolyçeskoho typa. – L\vov: Yzd-vo L\vov. un-ta, 1961. – 115 s.
3. Solonnykov V. A. O kraev¥x zadaçax dlq lynejn¥x parabolyçeskyx system dyfferency-
al\n¥x uravnenyj obweho vyda // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1965. – 83. – S.Q3 – 162.
4. Yvasyßen S. D. Matryca Hryna parabolyçeskyx zadaç. – Kyev: Vywa ßk., 1990. – 199 s.
5. Matijçuk M. I. Paraboliçni synhulqrni krajovi zadaçi. – Ky]v: In-t matematyky NAN
Ukra]ny, 1999. – 176 s.
6. Danylgk A. O. Pro fundamental\nu matrycg rozv’qzkiv zadaçi Koßi dlq paraboliçno]
systemy intehro-dyferencial\nyx rivnqn\ // Nauk. visn. Çerniv. un-tu. Matematyka. – 2007. –
Vyp.Q349. – S. 18 – 24.
7. Frydman A. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my parabolyçeskoho typa. – M.: Myr, 1968.
– 427 s.
8. Matijçuk M. I. Paraboliçni ta eliptyçni krajovi zadaçi z osoblyvostqmy. – Çernivci: Prut,
2003. – 248Qs.
OderΩano 15.01.08,
pislq doopracgvannq — 07.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164792 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:31:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Данилюк, А.О. 2020-02-10T20:06:48Z 2020-02-10T20:06:48Z 2008 Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами / А.О. Данилюк // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1610–1618. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164792 517.956.4 С помощью операторов дробного интегрирования и дифференцирования доказана теорема o корректности общей параболической краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений с интегральными операторами в краевых условиях. By using the operators of fractional integration and differentiation, we prove the theorem on the
 correctness of general parabolic boundary-value problem for a system of integro-differential equations
 with integral operators under boundary conditions. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами Boundary-value problem for a parabolic system of integro-differential equations with integral conditions Article published earlier |
| spellingShingle | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами Данилюк, А.О. Статті |
| title | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| title_alt | Boundary-value problem for a parabolic system of integro-differential equations with integral conditions |
| title_full | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| title_fullStr | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| title_full_unstemmed | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| title_short | Крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| title_sort | крайова задача для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь з інтегральними умовами |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164792 |
| work_keys_str_mv | AT danilûkao kraiovazadačadlâparabolíčnoísistemiíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzíntegralʹnimiumovami AT danilûkao boundaryvalueproblemforaparabolicsystemofintegrodifferentialequationswithintegralconditions |