Приближение плотностей абсолютно непрерывных компонент мер и гильбертовом пространстве с помощью полугруппы Орнштейна — Уленбека

• Опубліковано в: : Український математичний журнал
• Дата: 2004
• Автор: Руденко, А.В.
• Формат: Стаття
• Мова: Russian
• Опубліковано: Інститут математики НАН України 2004
• Теми: Статті
• Онлайн доступ: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164847
• Назва журналу: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Цитувати: Приближение плотностей абсолютно непрерывных компонент мер и гильбертовом пространстве с помощью полугруппы Орнштейна — Уленбека / А.В. Руденко // Український математичний журнал. — 2004. — Т. 56, № 12. — С. 1654-1664. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Вивчається поведінка мір, які є результатом дії пігрупи Орнштейна - Улеибека Tt, що пов'язана з гауссовою мірою μ, на довільну ймовірнісну міру ν у сепарабельному гільбертовому просторі, при t→0+. Доведено, що щільності абсолютно неперервних частин Ttν по відношенню до μ збігаються за мірою |і до щільності абсолютно неперервної частини V по підношенню до μ. У випадку скінченної вимірності простору доведено збіжність цих щільпостей μ-майже скрізь. У нескіпченновимірному випадку наведено деякі достатні умови для збіжності майже скрізь. Також розглянуто умови па абсолютну неперервність Ttν по відношенню до μ. у термінах коефіцієнтів розкладу Ttν в ряд за поліномами Ерміта (аналог розкладу Іто - Вінера) та зв'язок з фінітною абсолютною неперервністю. We study the behavior of measures obtained as a result of the action of the Ornstein-Uhlenbeck semigroup T t associated with the Gaussian measure μ on an arbitrary probability measure ν in a separable Hilbert space as t → 0+. We prove that the densities of the parts of T t ν absolutely continuous with respect to μ converge in the measure μ to the density of the part of ν absolutely continuous with respect to μ. For a finite-dimensional space, we prove the convergence of these densities μ-almost everywhere. In the infinite-dimensional case, we give sufficient conditions for almost-everywhere convergence. We also consider conditions on the absolute continuity of T t ν with respect to μ in terms of the coefficients of the expansion of T t ν in a series in Hermite polynomials (an analog of the Ito- Wiener expansion) and the connection with finite absolute continuity.