Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164962 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 326–342. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164962 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Іксанов, О.М. 2020-02-11T11:15:28Z 2020-02-11T11:15:28Z 2006 Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 326–342. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164962 519.21 uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням On the rate of convergence of a regular martingale related to a branching random walk Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| spellingShingle |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням Іксанов, О.М. Статті |
| title_short |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| title_full |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| title_fullStr |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| title_full_unstemmed |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| title_sort |
про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням |
| author |
Іксанов, О.М. |
| author_facet |
Іксанов, О.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2006 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the rate of convergence of a regular martingale related to a branching random walk |
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164962 |
| citation_txt |
Про швидкість збіжності регулярного мартингала, пов'язаного з гіллястим випадковим блуканням / О.М. Іксанов // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 3. — С. 326–342. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT íksanovom prošvidkístʹzbížnostíregulârnogomartingalapovâzanogozgíllâstimvipadkovimblukannâm AT íksanovom ontherateofconvergenceofaregularmartingalerelatedtoabranchingrandomwalk |
| first_indexed |
2025-11-26T05:15:04Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:15:04Z |
| _version_ |
1850610367390023680 |
| fulltext |
УДК 519.21
О. М. Iксанов (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО
МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО З ГIЛЛЯСТИМ
ВИПАДКОВИМ БЛУКАННЯМ
LetMn, n = 1, 2, . . . , be a supercritical branching random walk in which a number of direct descendants
of an individual may be infinite with positive probability. Assume that the standard martingale Wn
related to Mn is regular, and W is a limit random variable. Let a(x) be a nonnegative function which
regularly varies at infinity, with exponent greater than −1. We present sufficient conditions of almost
sure convergence of the series
∑∞
n=1
a(n)(W − Wn). We also establish a criteria of finiteness of
EW ln+ Wa(ln+ W ) and E ln+ |Z∞|a(ln+ |Z∞|), where Z∞ := Q1 +
∑∞
n=2
M1 . . . MnQn+1 and
(Mn, Qn) are independent identically distributed random vectors, not necessarily related to Mn.
НехайMn, n = 1, 2, . . . , — надкритичне гiллясте випадкове блукання, в якому число безпосереднiх
нащадкiв одного iндивiдуума може бути нескiнченним з додатною ймовiрнiстю. Припустимо, що
стандартний мартингал Wn, пов’язаний з Mn, є регулярним, a W — гранична випадкова величи-
на. Нехай a(x) — невiд’ємна функцiя, що правильно змiнюється на нескiнченностi з показником,
бiльшим за −1. В роботi наведено достатнi умови м. н. збiжностi ряду
∑∞
n=1
a(n)(W −Wn). Та-
кож встановлено критерiї скiнченностi EW ln+ Wa(ln+ W ) та E ln+ |Z∞|a(ln+ |Z∞|), де Z∞ :=
:= Q1 +
∑∞
n=2
M1 . . . MnQn+1, а (Mn, Qn) — незалежнi однаково розподiленi випадковi вектори,
не обов’язково пов’язанi з Mn.
1. Вступ та основнi результати. Нехай M — точковий процес на R, тобто випад-
кова локально скiнченна мiра, що рахує. Вважаємо, що M{+∞} = 0. Покладемо
L := M(R). У данiй роботi величина L може бути детермiнованою або випадко-
вою, скiнченною або нескiнченною з додатною ймовiрнiстю.
Гiллястим випадковим блуканням (ГВБ) будемо називати послiдовнiсть точко-
вих процесiв Mn, n = 0, 1, . . . , де для борелiвської множини B ∈ R M0(B) =
= 1{0∈B},
Mn+1(B) :=
∑
r
Mn,r(B −An,r), n = 0, 1, . . . . (1)
Тут {An,r} — точкиMn, {Mn,r} — незалежнi копiїM. Бiльш детальне визначення
процесу наведено в [1, 2].
Зазначимо, що це означення ГВБ вiдрiзняється вiд двох вiдомих ранiше. Су-
часне означення ГВБ, що було введене в [3], мiстить припущення L < ∞ майже
напевно (м. н. ). До появи роботи [3] пiд ГВБ розумiли послiдовнiсть (1), але побу-
довану за точковим процесом M з незалежними однаково розподiленими точками.
Останнi процеси iнодi називають однорiдними ГВБ.
У роботi розглядаються надкритичнi ГВБ, тому якщо P{L < ∞} = 1, то
додатково припускається EL > 1. Надкритичнiсть гарантує виживання популяцiї
з додатною ймовiрнiстю.
Нехай U :=
⋃∞
n=0 Nn — множина всiх скiнченних послiдовностей u = i1 . . . in,
ik ∈ N, що мiстить порожню послiдовнiсть N0 := {∅}. Дерево T з коренем ∅
— це пiдмножина U , що мiстить ∅, така, що з того, що i1 . . . in ∈ T , випливає
i1 . . . ik ∈ T , k = 1, n− 1; кожному елементу i1 . . . in ∈ T поставлено у вiдповiд-
нiсть Li1...in
∈ [0,∞], при цьому i1 . . . inj ∈ T ⇔ j ∈ {1, . . . , Li1...in
}. Дерево T
називається помiченим, якщо кожному u ∈ T поставлено у вiдповiднiсть мiтку Au.
c© О. М. IКСАНОВ, 2006
326 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 327
Кожнiй реалiзацiї ГВБ вiдповiдає помiчене дерево з коренем ∅. Елементи
u цього дерева називають iндивiдуумами, ∅ — початковим предком; мiтка Au є
позицiєю iндивiдуума u на дiйснiй осi, A∅ = 0. Якщо u = i1 . . . in, то n називають
поколiнням iндивiдуума u i позначають |u| = n (|∅| = 0).
Припустимо, що для деякого γ > 0
m(γ) :=
∞∫
−∞
eγxM1(dx) ∈ (0,∞). (2)
Для n = 1, 2, . . . через Fn := σ(M1, . . . ,Mn) позначимо σ-алгебру, породжену
точковими процесами M1, . . . ,Mn, i покладемо
Wn := m−n(γ)
∫
R
eγxMn(dx) = m−n(γ)
∑
|u|=n
eγAu .
При додаткових моментних обмеженнях в статтях [3, 4] (для випадку L < ∞
м. н.) та в [5] вказано умови регулярностi (рiвномiрної iнтегровностi) невiд’ємного
мартингала (Wn,Fn, n = 1, 2, . . .). Для випадку, коли величина L може бути нескiн-
ченною з додатною ймовiрнiстю, без апрiорних моментних припущень критерiй
регулярностi мартингала наведено в твердженнi 1.1 [1] (доведення див. у [2]).
Нагадаємо, що з регулярностi довiльного мартингала (Un,Gn) випливає iсну-
вання (класу еквiвалентностi) G∞-вимiрної випадкової величини U такої, що:
а) EU = EUn; б) при n→∞ Un збiгається до U м. н.
НехайW — гранична випадкова величина для регулярного мартингалаWn. Тодi
EW = 1 i
W = m(γ)−n
∑
|u|=n
eγAuW (u),
де при заданiй Fn {W (u) : |u| = n} — умовно незалежнi копiї W .
Введемо позначення Yu := eγAu/m|u|(γ). Нехай (Z, S) — випадковий вектор,
розподiл якого задається рiвнiстю
E
∑
|u|=1
Yuk
Yu,
∑
|v|=1
Yv
= Ek(Z, S), (3)
що виконується для довiльної невiд’ємної обмеженої борелiвської функцiї двох
змiнних k(x, y). Для задач, що розглядаються в данiй роботi, сумiсний розподiл
вектора (Z, S) не використовується, а знання маргiнальних розподiлiв є суттєвим.
Якщо функцiя k не залежить вiд x, то з (3) отримуємо рiвнiсть
P{S ∈ dy} = yP{W1 ∈ dy}.
Вибираючи в (3) k(x, y) = r(x), отримуємо
Er(Z) = E
∑
|u|=1
Yur(Yu),
або, бiльш загально,
Er(Z1 . . . Zn) = E
∑
|u|=n
Yur(Yu), (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
328 О. М. IКСАНОВ
де Z1, Z2, . . . — незалежнi копiї випадкової величини Z. Зазначимо, що (4) вико-
нується для довiльної невiд’ємної борелiвської функцiї r з такою домовленiстю:
якщо права частина є нескiнченною або не iснує, то те саме справедливе i для
лiвої.
Нехай функцiя a : R+ → R+ правильно змiнюється на∞ з показником α > −1.
Якщо α = 0, то додатково припускаємо, що a не спадає в околi ∞. У роботi
наводяться достатнi умови м. н. збiжностi ряду
∞∑
n=0
a(n)(W −Wn) (5)
за умови (6), яка гарантує, що Wn збiгається до W в середньому (див. твер-
дження 1.1 у [1]). Цей результат є твердженням про швидкiсть м. н. збiжностi
регулярного мартингала Wn до границi W .
Теорема 1. Нехай
E lnZ ∈ (−∞, 0), EW1 ln+W1 <∞ (6)
та розподiл lnZ неарифметичний. Умови
E(ln+ Z)3a(ln+ Z) <∞, EW1(ln+W1)2a(ln+W1) <∞ (7)
є достатнiми для м. н. збiжностi ряду (5).
На думку автора, нерiвнiсть в (7) можна послабити до
E(ln+ Z)2a(ln+ Z) < ∞. Якщо гiпотеза правильна, то згiдно з теоремою 2 має
виконуватись еквiвалентнiсть∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
a(n)(W −Wn)
∣∣∣∣∣ <∞ м. н. ⇔ EW ln+Wa(ln+W ) <∞. (8)
У наведеному нижче наслiдку стверджується, що гiпотеза є правильною для двох
окремих випадкiв.
Наслiдок 1. Нехай виконується (6). Якщо M(−∞,−γ−1 lnm(γ)) = 0 м. н.
та розподiл lnZ неарифметичний, або Wn = Mn(R)/(EM(R))n, то (5) м. н.
збiгається тодi i тiльки тодi, коли EW ln+Wa(ln+W ) <∞.
Теорема 2. Якщо виконується (6), то EW ln+Wa(ln+W ) <∞тодi i тiльки
тодi, коли EW1(ln+W1)2a(ln+W ) <∞.
Зауваження 1. Теорема 1.3(б) [1] мiстить критерiй скiнченностi величини
EWf(W ) для вгнутих функцiй f , що зростають швидше за будь-яку степiнь лога-
рифма. В умовах теореми 2 скористатися цим результатом неможливо.
2. Доведення теореми 1. Будемо використовувати iдею доведення теореми 4.1
iз [6].
На множинi вимирання популяцiї (вона може мати ймовiрнiсну мiру 0) ряд
(5) мiстить скiнченне число ненульових членiв i тривiально збiгається. Тому, не
наголошуючи на цьому в подальшому, дослiджуємо збiжнiсть ряду на множинi
виживання та вважаємо, що W > 0.
Без обмеження загальностi можемо припускати, що m(γ) = 1. Справдi {Au,
|u| = n} — позицiї iндивiдуумiв у поколiннi n, n = 1, 2, . . . , можемо замiнити
такими: {Bu := Au − |u| lnm(γ), |u| = n}. Далi будемо зберiгати всi введенi
ранiше позначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 329
Покладемо b(x) := xa(x) i зауважимо, що b(x) правильно змiнюється на ∞ з
показником β := α+ 1 > 0. При n = 0, 1, . . . визначимо послiдовностi
W̃n+1 :=
∑
|u|=n
eγAuW
(u)
1 1{b(n)eγAu W
(u)
1 ≤1},
Rn := E(Wn − W̃n+1|Fn) = E
∑
|u|=n
eγAuW
(u)
1 1{b(n)eγAu W
(u)
1 >1}|Fn
,
де при заданому Fn {W (u)
1 : |u| = n} — умовно незалежнi копiї випадкової вели-
чини W1.
Лема 1. Припустимо, що (6) виконується та розподiл lnZ є неарифмети-
чним. Тодi умови
E(ln+ Z)3a(ln+ Z) <∞, EW1 ln+W1a(ln+W1) <∞ (9)
є достатнiми для м. н. збiжностi рядiв
∞∑
n=0
P{Wn+1 6= W̃n+1},
∞∑
n=0
D
(
b(n)
(
W̃n+1 −Wn +Rn
))
.
Отже, якщо (9) виконується, то послiдовнiсть
m∑
n=0
b(n)(W̃n+1 −Wn +Rn), m = 0, 1, . . . ,
є L2-обмеженим, а отже, i регулярним мартингалом. Тому ряд
∑∞
n=0
b(n)(W̃n+1−
− Wn + Rn) м. н. збiгається. За лемою 1 та лемою Бореля – Кантеллi ряд∑∞
n=0
b(n)(Wn+1 − Wn + Rn) також м. н. збiгається. Iз спiввiдношення (4.8)
[6] випливає м. н. збiжнiсть ряду
∑∞
n=1
a(n)
(
W −Wn +
∑∞
k=n
Rk
)
.
Тому м. н. збiжнiсть ряду
∑∞
n=1
a(n)(W −Wn) еквiвалентна м. н. збiжностi
ряду
∑∞
n=1
a(n)
∑∞
k=n
Rk, яка, в свою чергу, еквiвалентна м. н. збiжностi ряду∑∞
n=1
b(n)Rn. Останнє випливає з того, що Rn ≥ 0 м. н., iз рiвностi
m∑
n=1
an
∞∑
k=n
Rk =
(
m∑
k=1
ak
) ∞∑
n=m+1
Rn +
m∑
n=1
Rn
(
n∑
k=1
ak
)
,
що виконується для довiльного m ∈ N, та з леми 4.2 [6].
Наступна лема завершує доведення теореми 1.
Лема 2. Припустимо, що виконуються умови (6), (9) та розподiл lnM є
неарифметичним. Ряд
∑∞
n=1
b(n)Rn м. н. збiгається тодi i тiльки тодi, коли
EW1(ln+W1)2a(ln+W1) <∞. (10)
У цьому мiсцi доцiльно довести наслiдок 1.
Доведення наслiдку 1. НехайM(−∞,−γ−1 lnm(γ)) = 0 м. н. або еквiвалентно
Z ∈ [0, 1] м. н. У цьому випадку нерiвностi, в якi входить випадкова величина
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
330 О. М. IКСАНОВ
Z, в теоремах 1, 2 та лемах 1, 2 виконуються автоматично. Припустимо, що
EW ln+Wa(ln+W ) <∞. За теоремою 2 це еквiвалентно нерiвностi
EW1(ln+W1)2a(ln+W1) <∞.
За теоремою 1 ряд (5) м. н. збiгається.
Нехай тепер ряд (5) м. н. збiгається. Якщо EW1 ln+W1a(ln+W1) < ∞,
то за лемою 2 EW1(ln+W1)2a(ln+W1) < ∞. Отже, за теоремою 2
EW ln+Wa(ln+W ) < ∞. Припустимо, що EW1 ln+W1a(ln+W1) = ∞. Оскiль-
ки за умовою EW1 ln+W1 < ∞, то α ≥ 0. При цьому якщо α > 0, то знайдеться
δ ∈ [0, α) таке, що EW1(ln+W1)δ+1 <∞, але EW1(ln+W1)δ+2 = ∞. За лемою 2
ряд
∑∞
n=1
nδ(W −Wn) розбiгається. Згiдно з критерiєм Абеля при ε ∈ (0, α− δ)
ряд
∑∞
n=1
nα−ε(W −Wn) не може збiгатися. Тому ряд (5) розбiгається. Якщо
α = 0, то EW1 ln+W1 <∞, EW1(ln+W1)2 = ∞. За лемою 2 ряд
∑∞
n=1
(W−Wn)
розбiгається. Оскiльки за припущенням на початку пункту a(x) не спадає при вели-
ких x, то ряд (5) розбiгається. Доведення наслiдку для процесу Гальтона – Ватсона
аналогiчне. Достатньо зауважити, що в цьому випадку в (2) потрiбно вибрати
γ = 0, i Z = (EM(R))−1 м. н.
Наслiдок доведено.
Доведення леми 1. Позначимо через F (x) функцiю розподiлу випадкової ве-
личини W1. Нехай Sn — випадкове блукання, що стартує в нулi, з кроком, розпо-
дiленим як (− lnZ). За припущенням леми µ := ES1 ∈ (0,∞). За лемою 4(б) при
x > 0
V (x) :=
∞∑
n=1
b(n)P{Sn ≤ ln b(n) + lnx} <∞. (11)
При x > 0 розглянемо функцiї
K(x) :=
x∫
0
ydV (y) = xV (x)−
x∫
0
V (y)dy,
M(x) :=
∞∫
x
y−1dV (y) = −x−1V (x) +
∞∫
x
y−2V (y)dy.
Оскiльки функцiя l(x) := µ−α−2b(lnx) повiльно змiнюється на ∞, а за лемою 4
для функцiї V (x), визначеної в (11), виконується (28), то ця V належить класу де
Хаана Πl.
За теоремою 3.7.1 [7]
lim
x→∞
K(x)
xb(lnx)
= µα+2, lim
x→∞
xM(x)
b(lnx)
= µα+2. (12)
Далi маємо
∞∑
n=0
P{Wn+1 6= W̃n+1} =
∞∑
n=0
P{b(n) sup
|u|=n
eγAuW
(u)
1 > 1} ≤
≤
∞∑
n=0
E
∑
|u|=n
P{b(n)eγAuW
(u)
1 > 1|Fn} =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 331
=
∞∑
n=0
E
∑
|u|=n
eγAu
∞∫
b−1(n)e−γAu
dF (x)e−γAu
(4)
=
∞∑
n=0
EeSn
∞∫
b−1(n)eSn
dF (x) =
=
∞∫
0
E
( ∞∑
n=0
eSn1{eSn≤b(n)x}
)
dF (x) =
∞∫
0
K(x)dF (x).
Останнiй iнтеграл збiгається внаслiдок (12) i того, що EW1b(ln+W1) <∞.
Нагадаємо означення умовної дисперсiї: D(X|G) = E(X2|G) − (E(X|G))2.
Оскiльки E(W̃n+1|Fn) = Wn −Rn та E(W̃n+1 −Wn +Rn|Fn) = 0, то
D(b(n)(W̃n+1 −Wn +Rn)) = b2(n)E
(
D(W̃n+1|Fn)
)
.
Далi,
D(W̃n+1|Fn) =
∑
|u|=n
D(eγAuW
(u)
1 1{b(n)eγAu W
(u)
1 ≤1}|Fn) ≤
≤ E
( ∑
|u|=n
e2γAuE
(
W 2
1 1{b(n)eγAu W1≤1}
∣∣∣∣∣Fn
))
=
= E
( ∑
|u|=n
e2γAu
b−1(n)e−γAu∫
0
x2dF (x)
∣∣∣∣∣Fn
)
. (13)
Таким чином,
∞∑
n=0
D(b(n)(W̃n+1 −Wn +Rn)) =
=
∞∑
n=0
b2(n)E
(
D(W̃n+1|Fn)
) (4),(13)
≤
(4),(13)
≤
∞∑
n=0
Ee−Sn
b−1(n)eSn∫
0
x2dF (x) =
=
∞∫
0
x2E
( ∞∑
n=0
e−Sn1{eSn >b(n)x}
)
dF (x) =
=
∞∫
0
x2M(x)dF (x).
Останнiй iнтеграл збiгається внаслiдок (12) та того, що EW1b(ln+W1) <∞.
Лему 1 доведено.
Для кожного фiксованого x ∈ R розглянемо випадковi величини
Q(x) :=
∞∑
n=1
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu >e−x},
Q̂(x) :=
∞∑
n=1
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu >e−xb−1(n)}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
332 О. М. IКСАНОВ
За умов
E lnZ ∈ (−∞, 0), E(ln+ Z)2b(ln+ Z) <∞
вони м. н. скiнченнi, оскiльки за теоремою 1 [8] для всiх x ∈ R
EQ(x) =
∞∑
n=1
b(n)P{Sn ≤ x} <∞,
де Sn — таке ж випадкове блукання, як в доведеннi леми 1, а те, що EQ̂(x) < ∞,
випливає з подiбних мiркувань та нерiвностi (20).
Лема 3. Якщо виконується (6) та E(ln+ Z)2b(ln+ Z) < ∞, то м. н. на
множинi виживання
lim
x→∞
Q(x)
xb(x)
= lim
x→∞
Q̂(x)
xb(x)
=
W
(β + 1)(−E lnZ)β+1
> 0, (14)
де β > 0 — показник правильної змiни b.
Доведення подiбне доведенню теореми B [3]. Виберемо довiльне 0 < a < µ =
= −E lnZ. Для кожного x > 0 знайдеться натуральне N = N(x) > 0 таке, що
(N − 1)2a ≤ x < N2a. При x > 0 визначимо випадковi величини
Q1(x) :=
1
(N − 1)2ab((N − 1)2a)
N2∑
n=1
b(n)Wn
,
Q2(N,x) :=
1
(N − 1)2ab((N − 1)2a)
∞∑
n=N2
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu >e−an}
.
Нагадаємо, що для майже всiх ω з множини виживання W (ω) > 0 м. н. Оскiльки
приm→∞
∑m
n=1
b(n)Wn ∼W
∑m
n=1
b(n) м. н. ,
∑m
n=1
b(n) ∼ (β+1)−1mb(m),
то
lim sup
x→∞
Q1(x) ≤
W
(β + 1)aβ+1
м. н.
Спрямовуючи a→ µ, отримуємо
lim sup
x→∞
Q1(x) ≤
W
(β + 1)µβ+1
м. н. (15)
За лемою 4(а) ряд
∑∞
n=1
b(n)P{Sn − an ≤ 0} збiгається. Тому
E
∞∑
N=2
Q2(N,x) =
=
∞∑
N=2
1
(N − 1)2ab((N − 1)2a)
( ∞∑
n=N2
b(n)P{e−Sn > e−an}
)
<∞.
Таким чином,
lim
x→∞
Q2(N,x) = 0 м. н. (16)
За теоремою 1.5.3 [7] без обмеження загальностi можемо вважати, що b(x) не
спадає при x > 0. Тому при x > 0
Q(x)
xb(x)
≤ Q1(x)+Q2(x), i з (15), (16) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 333
lim sup
x→∞
Q(x)
xb(x)
≤ W
(β + 1)µβ+1
м. н. (17)
Виберемо тепер довiльне a > µ. Для кожного x > 0 знайдеться натуральне
N = N(x) > 0 таке, що Na ≤ x < (N + 1)a. При x > 0 розглянемо
Q3(x) :=
1
(N + 1)ab((N + 1)a)
(
N∑
n=1
b(n)Wn
)
,
Q4(x) :=
1
(N + 1)ab((N + 1)a)
N∑
n=0
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu≤e−an}
.
Як i для Q1(x), доводимо, що
lim inf
x→∞
Q3(x) ≥
W
(β + 1)µβ+1
м. н. (18)
Доведення того, що
lim inf
x→∞
Q4(x) = 0 м. н., (19)
майже збiгається з доведенням подiбного факту в [3, с. 35]. За теоремою 4.2 [9]
r :=
∑∞
n=1
n−1P{Sn > an} <∞. Тому
E
∑∞
n=1
n−1
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu≤e−an} = r <∞.
За лемою Кронекера
lim
n→∞
(n+ 1)−1
n∑
k=1
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu≤e−an} = 0 м. н. ,
звiдки з урахуванням монотонностi b випливає (19).
При великих x
Q(x)
xb(x)
≥ Q3(x) +Q4(x). Тому з (18), (19) отримуємо
lim inf
x→∞
Q(x)
xb(x)
≥ W
(β + 1)µβ+1
м. н.
Разом з (17) остання нерiвнiсть доводить граничне спiввiдношення для Q(x).
Зафiксуємо тепер δ ∈ (0, µ) та виберемо r = r(δ) > 0 так, щоб ln b(n) ≤ δn+ r,
n = 1, 2, . . . . Виконується нерiвнiсть
Q(x) ≤ Q̂(x) ≤
∞∑
n=1
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{eγAu >e−x−δn−r}. (20)
Запропонований вище аналiз дозволяє перевiрити, що для правої частини цiєї не-
рiвностi виконується таке ж граничне спiввiдношення (14), як для Q(x).
Лему 3 доведено.
Доведення леми 2. З визначення Rn випливає зображення
Rn =
∑
|u|=n
eγAu
∞∫
b−1(n)e−γAu
xdF (x),
де, як i ранiше, F (x) — функцiя розподiлу випадкової величини W1. Тому викону-
ється формальна рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
334 О. М. IКСАНОВ
∞∑
n=1
bnRn =
∞∫
0
xdF (x)
∞∑
n=1
b(n)
∑
|u|=n
eγAu1{γAu>− ln x−ln b(n)} =
=
∞∫
0
Q̂(lnx)xdF (x).
За припущенням леми E lnZ ∈ (−∞, 0) та E(ln+ Z)2b(ln+ Z) < ∞. Тому згiдно
з лемою 3 при x → ∞ Q̂(lnx) ∼ const lnxb(lnx) м. н. Отже, ряд з невiд’ємними
членами
∑∞
n=1
b(n)Rn збiгається тодi i тiльки тодi, коли виконується (10).
Лему 2 доведено.
3. Моменти випадкових рядiв та доведення теореми 2. Нехай (M1, Q1),
(M2, Q2), . . . — визначенi на фiксованому ймовiрнiсному просторi незалежнi копiї
випадкового вектора (M,Q), не обов’язково пов’язаного з ГВБ. Покладемо
Π0 := 1, Πn := M1M2 . . .Mn, n = 1, 2, . . . ,
Z∞ :=
∞∑
k=1
Πk−1Qk.
(21)
У цьому пунктi будем вважати, що
P{M = 0} = 0,P{Q = 0} < 1,
i за умови м. н. абсолютної збiжностi ряду в (21) розподiл Z∞ є невиродженим.
Наведена нижче теорема має самостiйний iнтерес, доповнює теорему 1.6 [1]
та, крiм того, є ключовою для доведення теореми 2. Нагадаємо, що функцiя
b(x) правильно змiнюється на ∞ з показником β > 0, та покладемо c(x) :=
:= xb(x).
Теорема 3. Якщо
E ln |M | ∈ (−∞, 0), E ln+ |Q| <∞, (22)
то
Eb(ln+ |Z∞|) <∞⇔ Ec(ln+ |M |) <∞, Ec(ln+ |Q|) <∞. (23)
Доведення. Функцiї b та c мають вигляд b(x) = xβL(x), c(x) = xβ+1L(x), де
L(x) повiльно змiнюється на ∞. Для y > 1 покладемо Λβ(y) :=
lnβ−1 yL(ln y)
βy
.
Ця функцiя правильно змiнюється на ∞ з показником (−1). Функцiя sup
t≥x
Λβ(t) не
зростає, i за теоремою 1.5.3 [7] sup
t≥x
Λβ(t) ∼ Λβ(x). Тут i далi запис F ∼ G означає
lim
x→∞
(F (x)/G(x)) = 1. Пiсля замiни змiнної та використання теореми Карамата
отримуємо
b(lnx) ∼
x∫
1
Λβ(y)dy ∼
x∫
1
sup
t≥y
Λβ(t)dy =: f̃(x− 1). (24)
Аналогiчно
c(lnx) ∼
x∫
1
Λβ+1(y)dy ∼
x∫
1
sup
t≥y
Λβ+1(t)dy =: φ(x− 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 335
Функцiї f̃ та φ не спадають, є вгнутими на R+, при x = 0 дорiвнюють 0 та
прямують до ∞ при x→∞. Зокрема, φ є субадитивною. Також з (24) та теореми
Карамата випливає
(β + 1)−1c(lnx) ∼
x∫
1
(f̃(y)/y)dy =: g̃(x− 1).
Функцiя c(x) правильно змiнюється на ∞ з показником β + 1 > 1. За теоре-
мою 1.5.3 [7] на ∞ вона еквiвалентна функцiї, що не спадає. Отже, за лемою 1(а)
[8] знайдеться функцiя ψ(x) ∼ c(lnx), що не спадає, ψ(x) = 0 при x ≤ 1 та
ψ(xy) ≤ a(ψ(x) + ψ(y)) (25)
для всiх x, y ∈ [1,∞) та деякої додатної константи a.
Звiдси робимо висновок, що еквiвалентнiсть (23) достатньо довести при замiнi
функцiї b(lnx) на f̃(x), c(lnx) на g̃(x), φ(x) або ψ(x).
При доведеннi iмплiкацiї ⇐ теореми потрiбно скористатися тим, що згiдно з
теоремою 2.1 [10] умова (22) гарантує |Z∞| <∞ м. н.
Припустимо спочатку, що |M | ∈ [0, 1] м. н. У цьому випадку умова
Ec(ln+ |M |) < ∞ виконується автоматично. Нехай Ec(ln+ |Q|) < ∞ або, що
еквiвалентно, Eg̃(|Q|) <∞. За теоремою 1.6(a) [1] Ef̃(|Z∞|) <∞. Це еквiвален-
тне тому, що Eb(ln+ |Z∞|) < ∞. Iмплiкацiя ⇒ доводиться аналогiчно на пiдставi
тiєї ж теореми 1.6(a) [1].
Перейдемо до загального випадку. Припустимо спочатку, що в (23) викону-
ються нерiвностi для |M | та |Q| або, що еквiвалентно,
Eg̃(|M |) <∞,Eg̃(|Q|) <∞.
Розглянемо випадковi величини
N0 := 0, Ni+1 := inf{n > Ni : |Πn| < |ΠNi
|}, i = 0, 1, . . . .
Оскiльки в умовах твердження Πn → 0 м. н. при n→∞, то ENi <∞, i = 1, 2, . . . .
При k = 1, 2, . . . покладемо
M ′
k := |MNk−1+1| . . . |MNk
|, Π′
0 := 1, Π′
k := M ′
1 . . .M
′
k,
Q′k := |QNk−1+1|+ |MNk−1+1||QNk−1+2|+ . . .+ |MNk−1+1| . . . |MNk−1||QNk
|.
Випадковi вектори {(M ′
k, Q
′
k) : k = 1, 2, . . .} — незалежнi копiї вектора
(
|ΠN1 |,
N1∑
k=1
|Πk−1||Qk|
)
та, крiм того,
∞∑
k=1
|Πk−1||Qk| =
∞∑
k=1
Π′
k−1Q
′
k.
Якщо буде встановлено, що
Eg̃
(
N1∑
k=1
|Πk−1||Qk|
)
<∞, (26)
то звiдси буде випливати, що Eb(|Z∞|) < ∞, i, таким чином, теорема буде дове-
дена в один бiк. Дiйсно, оскiльки |ΠN1 | ∈ (0, 1) м. н. та P{|ΠN1 | = 1} = 0, а
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
336 О. М. IКСАНОВ
(26) гарантує, що E ln+
(∑N1
k=1
|Πk−1||Qk|
)
< ∞, то за першою частиною до-
ведення, застосованою до вектора
(
|ΠN1 |,
∑N1
k=1
|Πk−1||Qk|
)
замiсть (|M |, |Q|),
отримуємо стверджуване.
Перевiримо (26) з g̃, замiненою на ψ. Оскiльки
N1∑
k=1
|Πk−1||Qk| ≤ N1 sup
1≤k≤N1
|Πk−1||Qk| ≤ N1 sup
0≤k≤N1−1
|Πk|
N1∑
i=1
|Qi|,
то, враховуючи (25), робимо висновок, що для доведення (26) достатньо перевiрити
виконання трьох нерiвностей: 1) Eψ(N1) < ∞; 2) Eψ
(
sup
0≤k≤N1−1
|Πk|
)
< ∞;
3) Eψ
(∑N1
i=1
|Qi|
)
<∞. Оскiльки EN1 <∞, а ψ зростає повiльнiше за лiнiйну
функцiю, то перша нерiвнiсть виконується. Далi, ψ(ex) правильно змiнюється з
показником β+1 > 1, тому згiдно з (36) друга нерiвнiсть випливає з Eψ(|M |∨1) <
< ∞. Останнє еквiвалентне Ec(ln+ |M |) < ∞. При перевiрцi третьої нерiвностi
замiнимо ψ на φ. Перевага замiни полягає в тому, що φ є субадитивною. Оскiльки
випадковi величини 1{N1≥n} та |Qn| незалежнi, то
Eφ(
N1∑
i=1
|Qi|) ≤ E
N1∑
i=1
φ(|Qi|) = EN1Eφ(|Q|) <∞.
Припустимо тепер, що виконується лiва частина (23). Це еквiвалентно тому,
що
Ef̃(|Z∞|) <∞. (27)
За твердженням 3.1 [1] або ∞ > Ef̃
(
sup
n≥0
|Πn|
)
, або ∞ > Ef̃
(
sup
n≥0
|Π2n|
)
. Еквi-
валентно або ∞ > Ef
(
sup
n≥0
Sn
)
, або ∞ > Ef
(
sup
n≥0
S̀n
)
, де Sn := ln |Πn|, S̀n :=
:= ln |Π2n|, n = 0, 1, . . . , — випадковi блукання з кроками, розподiленими як
ln |M | та ln |M1M2| вiдповiдно. Згiдно з формулою (36) або Eg(ln+M) <∞, або
Eg(ln+(M1M2)) < ∞. Зрозумiло, що в обох випадках передостання нерiвнiсть
виконується.
З iншого боку, за твердженням 3.1 [1] з (27) випливає або
Ef̃
(
sup
k≥1
Π∗
k−1|Qs
k|
)
≤ Ef̃
(
sup
k≥1
|Πk−1||Qs
k|
)
<∞,
або
Ef̃
(
sup
k≥1
Π̀∗
k−1|Q̀s
k|
)
≤ Ef̃
(
sup
k≥1
|Π̀k−1||Q̀s
k|
)
<∞,
де
Π̀0 := 1, Π̀n := M̀1M̀2 . . . M̀n, n = 1, 2, . . . ,
вектори
(M̀k, Q̀k) := (M2k−1M2k,M2k−1Q2k +Q2k−1), k = 1, 2, . . . ,
незалежнi та однаково розподiленi; (Mn, Qn) d= (Mn, Q
′
n), Qn таQ′n незалежнi при
заданому Mn, Qs
n := Qn−Q′n, а Q̀s
n та Q̀′n мають такий же сенс, але в термiнах M̀n
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 337
та Q̀n; Π∗
0 := 1, Π∗
k := M∗
1 . . .M
∗
k , M∗
k := |Mk|∧1, k = 1, 2, . . . , а Π̀∗
k визначаються
аналогiчно. Оскiльки M∗
k , M̀
∗
k ≤ 1 м. н. та строго менше за одиницю з додатною
ймовiрнiстю, то за наслiдком 3.1 [1] Eg̃(|Q|) <∞. Отже, Eg(ln+ |Q|) <∞.
Теорему 3 доведено.
Доведення теореми 2. Теорему 2 можна отримати з теореми 3 за допомогою
того ж прийому, що був використаний у [1] для отримання теореми 1.3 з тео-
реми 1.6. Теорема 3 застосовується до випадкового ряду, породженого вектором
(Z, S), визначеним у (3).
4. Додаток. Лема 4 є iстотним iнгредiєнтом в доведеннi леми 1. Пункт б) леми
стосується збурених випадкових блукань i узагальнює результат [8] для випадкових
блукань.
Лема 4. Нехай функцiя ϕ : R+ → R+ правильно змiнюється з показником
β > 0, Tn, n = 0, 1, . . . , — випадкове блукання, що стартує в нулi, з µ := ET1 ∈
∈ (0,∞). Якщо E(T−1 )2ϕ(T−1 ) <∞, то:
a) для довiльного ε > 0
I :=
∑∞
n=1
ϕ(n)P{Tn > (µ+ ε)n} <∞,∑∞
n=1
ϕ(n)P{Tn ≤ (µ− ε)n} <∞;
б) для всiх x ∈ R
V (x) :=
∑∞
n=1
ϕ(n)P{Tn ≤ lnϕ(n) + lnx} <∞.
Якщо, крiм того, розподiл випадкової величини T1 є неарифметичним, то для
всiх h > 0
lim
x→∞
V (hx)− V (x)
µ−β−1ϕ(lnx)
= lnh. (28)
Доведення. Згiдно з теоремою 1.5.3 [7] можемо вважати, що ϕ не спадає на R+.
а) Послiдовнiсть T̃n := −Tn + (µ+ ε)n, n = 0, 1, . . . , є випадковим блуканням
з ET̃1 = ε ∈ (0,∞). Тому за теоремою 1(а) [8] I =
∑∞
n=1
ϕ(n)P{T̃n ≤ 0} < ∞.
Збiжнiсть другого ряду перевiряється аналогiчно.
б) Будемо використовувати iдею доведення теореми 2 [11]. Зафiксуємо δ ∈
∈ (0, µ) та виберемо r = r(δ) > 0 так, щоб lnϕ(n) ≤ δn+r, n = 1, 2, . . . . Послiдов-
нiсть T̂n := Tn−δn — випадкове блукання з ET̂1 = µ−δ ∈ (0,∞). Оскiльки V (x) ≤
≤
∑∞
n=1
ϕ(n)P{T̂n ≤ lnx + r}, а останнiй ряд збiгається за теоремою 1(а) [8],
то функцiя V (x) є скiнченною для всiх x > 0. Спiввiдношення (28) еквiвалентне
такому:
lim
x→∞
U(x+ h)− U(x)
µ−β−1ϕ(x)
= h для всiх h ∈ R, (29)
де U(x) := V (ex). Насправдi (29) достатньо довести для малих додатних h з
iнтервалу (h0, h1) (див., наприклад, лему 3.2.1 [7]). Зафiксуємо одне таке h. Для
довiльного ε ∈ (0, µ/2) i достатньо великих x нерiвнiсть lnϕ(n) ≤ εn виконується
при n ≥ N2 = N2(x) :=
[
x+ h
µ− 2ε
+ 1
]
. Покладемо N1 = N1(x) :=
[
x+ h
µ+ ε
]
.
Використовуючи п. а) леми, для заданого ρ > 0 виберемо m = m(ρ) > 0 так, щоб
∞∑
n=m+1
ϕ(n)P{Tn > (µ+ ε)n} ≤ ρ. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
338 О. М. IКСАНОВ
Запишемо
U(x+ h)− U(x) =
∞∑
n=1
ϕ(n)P{Tn ≤ lnϕ(n) + x} =
=
m∑
n=1
+
N1∑
n=m+1
+
N2−1∑
n=N1+1
+
∞∑
n=N2
=: I1(x) + I2(x) + I3(x) + I4(x).
Очевидно, що lim
x→∞
I1(x) = 0.
Якщо при великих x та n ≥ N2(x) Tn ≥ (µ− ε)n, то Tn − lnϕ(n) ≥ (µ− 2ε)n.
Тому при x→∞
I4(x) ≤
∞∑
n=N2(x)
ϕ(n)P{Tn ≤ (µ− ε)n} → 0
за п. а) леми.
Якщо при великих x та n ∈ {m+ 1, . . . , N1(x)} Tn ≤ (µ+ ε)n, то
Tn − lnϕ(n) ≤ (µ+ ε)N1 − h ≤ x.
Тому
I2(x) ≤
N1∑
n=m+1
ϕ(n)P{Tn − lnϕ(n) > x} ≤
≤
N1∑
n=m+1
ϕ(n)P{Tn > (µ+ ε)n}
(30)
≤ ρ.
За нерiвнiстю Поттера (теорема 1.5.6 [7]) для довiльних q > 0, θ > 0 знайдеться
x0 > 0 такий, що
lnϕ
(
x+ h
µ− 2ε
)
− lnϕ
(
x+ h
µ+ ε
)
≤
≤ (1 + q) + (β + θ)(ln(µ+ ε)− ln(µ− 2ε)) := B(q, θ).
Тому при x ≥ x0
I3(x) ≤
N2−1∑
n=N1+1
ϕ(n)P{lnϕ(N1 + 1) + x < Tn ≤ lnϕ(N2 − 1) + x+ h} ≤
≤
∑∞
n=1
ϕ(n)P
{
lnϕ
(
x+ h
µ− 2ε
)
+ x < Tn ≤
≤ lnϕ
(
x+ h
µ− 2ε
)
+ x+ h+B(q, θ)
}
.
Застосовуючи теорему 2 [8], отримуємо
lim sup
x→∞
I3(x)
ϕ(x)
≤ h+B(q, θ)
µβ+1
.
Спрямовуючи q та ε до 0, маємо
lim sup
x→∞
I3(x)
ϕ(x)
≤ h
µβ+1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 339
Таким чином, доведено, що
lim sup
x→∞
U(x+ h)− U(x)
ϕ(x)
≤ h
µβ+1
.
Покажемо, що
lim inf
x→∞
U(x+ h)− U(x)
ϕ(x)
≥ h
µβ+1
. (31)
Покладемо Rn := Tn − lnϕ(n), n = 1, 2, . . . . Для кожного ε ∈ (0, µ) визначимо
N3 = N3(x) :=
[
x+ h
µ− ε
+ 1
]
та скористаємось величинами N1, визначеними вище.
Для довiльних q > 0, θ > 0 таких, що τ = τ(q, θ, ε) := ln(1 + q)
(
µ+ ε
µ− ε
)β+θ
< h0,
та великих x виконується нерiвнiсть Поттера lnϕ(N3(x) − 1) − lnϕ(N1(x)) ≤ τ.
Крiм того, мають мiсце нерiвностi
U(x+ h)− U(x) ≥
N3−1∑
n=N1+1
ϕ(n)P{x < Rn ≤ x+ h} ≥
≥
N3−1∑
n=N1+1
ϕ(n)P{lnϕ(n)− lnϕ(N1) + x < RN1 + Tn − TN1 ≤ x+ h} ≥
≥
N3−N1−1∑
n=1
ϕ(n+N1)P{τ + x−RN1 < Tn ≤ x−RN1 + h} ≥
≥ ϕ
(
x
µ+ ε
)N3−N1−1∑
n=1
P{τ + x−RN1 < Tn ≤ x−RN1 + h} =
= ϕ
(
x
µ+ ε
)
Eg(x−RN1(x)),
де g(t) :=
∑N3−N1−1
n=1
P{τ + t < Tn ≤ t+ h}. Буде показано, що м. н.
lim
x→∞
g(x−RN1(x)) = µ−1(h− τ). (32)
З теореми Блекуела [12] випливає, що функцiя g(t) є обмеженою. Тому з (32)
випливає
lim
x→∞
Eg(x−RN1(x)) = µ−1(h− τ).
Отже, беручи до уваги правильну змiну функцiї ϕ, отримуємо
lim inf
x→∞
U(x+ h)− U(x)
ϕ(x)
≥ h− τ(q, θ, ε)
(µ+ ε)βµ
.
Спрямовуючи q та ε до 0, приходимо до (31).
За посиленим законом великих чисел при x→∞ RN1(x) = µN1(x) + o(N1(x))
м. н. Отже, при x→∞ x−RN1(x) = ε(µ+ ε)−1x+ o(x) м. н. Для доведення (32)
достатньо перевiрити, що для довiльної невипадкової функцiї z(x) = ε(µ+ε)−1x+
+ o(x)
lim
x→∞
N2(x)−N1(x)−1∑
n=1
P{τ + z(x) < Tn ≤ z(x) + h} = µ−1(h− τ). (33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
340 О. М. IКСАНОВ
Якщо натуральне число n ≥ N3 − N1 та Tn > (µ − ε)n, то при великих x Tn >
> 2εx(µ+ ε)−1 + h > z(x) + h. Тому
∞∑
n=N3(x)−N1(x)
P{Tn ≤ z(x) + h} ≤
∞∑
n=N3(x)−N1(x)
P{Tn ≤ (µ− ε)n}.
Згiдно з п. а) цiєї леми останнiй вираз прямує до 0, коли x → ∞. За теоремою
Блекуела виконується (33) i, отже, (32).
Лему 4 доведено.
Нехай ξ1, ξ2, . . . — незалежнi копiї випадкової величини ξ з m := Eξ ∈ (−∞, 0).
Покладемо S0 := 0, Sn := ξ1 + . . . + ξn, n = 1, 2, . . . . Тодi M∞ := sup
n≥0
Sn < ∞
м. н. та при x ≥ 0 Eτ−x <∞, де
τ−x := inf{n : Sn < −x}.
Нехай функцiя f є невiд’ємною, вимiрною, lim
x→∞
f(x) = ∞ та iснує x0 ≥ 0 таке,
що f зростає та є вгнутою при x ≥ x0. Визначимо нову функцiю g так:
g(x) :=
x∫
x0
(f(y)/y)dy для x ≥ x0, g(x) := 0 для x < x0.
Покладемо u(x) := f(ex), v(x) := g(ex). Нехай функцiя h правильно змiнюється
на ∞ з показником β > 0.
Лема 5. Для x ≥ 0
Eu(M∞) <∞⇔ Ev
(
sup
0≤n≤τ−x −1
Sn
)
<∞. (34)
Кожна з цих нерiвностей гарантує виконання нерiвностi
Ev(ξ+) <∞. (35)
Мають мiсце еквiвалентностi(
sup
0≤n≤τ−−1
Sn
)
h
(
sup
0≤n≤τ−−1
Sn
)
<∞⇔ Eh(M∞) <∞⇔ Eξ+h(ξ+) <∞.
(36)
Доведення. Без обмеження загальностi можемо вважати, що f зростає та є
вгнутою на R+, f(0) = 0, lim
x→∞
f(x) = ∞, а g(x) =
∫ x
0
(f(u)/u)du. Це випливає
з того, що замiсть f можна розглядати функцiю f̂(x) = f(x + x0) − f(x0). Ця
функцiя має перерахованi властивостi, а вiдношення f̂/f є вiддiленим вiд нуля та
обмеженим зверху. Для фiксованого x ≥ 0 визначимо випадковi величини N0 := 0,
Ni+1 := inf{n > Ni : Sn < SNi
− x}, i = 0, 1, . . . ,
при цьому τ−x = N1. Всi Ni <∞ м. н. Покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
ПРО ШВИДКIСТЬ ЗБIЖНОСТI РЕГУЛЯРНОГО МАРТИНГАЛА, ПОВ’ЯЗАНОГО ... 341
Vk := sup{SNk
, SNk+1, . . . , SNk+1−1}, k = 0, 1, . . . ,
Zk+1 := sup{0, ξNk+1, . . . , ξNk+1 + . . .+ ξNk+1−1}, k = 0, 1, . . . ,
тодi Vk = SNk
+ Zk+1 та M∞ = sup
k≥0
Vk. Зазначимо, що Z1, Z2, . . . — незалежнi
копiї випадкової величини Z := sup
0≤i≤τ−x −1
Si та за тотожнiстю Вальда E|Z| ≤
≤ E
∑τ−x
k=1
|ξk| = Eτ−x E|ξ| <∞.
Доведемо iмплiкацiю ⇐ у (34). Оскiльки SNk
< −kx, то для фiксованого ε > 0
P{M∞ > y} ≤ P
{
sup
k≥0
(−kx+ Zk+1) > y)
}
≤
≤
∞∑
k=0
P {Zk+1 > y + k(x+ ε)} ≤
∞∑
k=[y/(x+ε)]
P{Z > k(x+ ε)} ≤
≤
∞∫
[y/(x+ε)]−1
P{Z > (x+ ε)y}dy.
Останнiй iнтеграл є збiжним, оскiльки E|Z| <∞. Отже,
∞ > Eu(M∞) =
∞∫
0
u′(z)P{M∞ > z}dz,
якщо
∞∫
−∞
u′(z)
∞∫
z
P{Z > y}dydz <∞.
Оскiльки u(x) = v′(x), iнтегрування частинами показує, що остання нерiвнiсть
еквiвалентна такiй:
∞ >
∞∫
−∞
v′(z)P{Z > z}dz = Ev(Z) = Ev
(
sup
0≤n≤τ−x −1
Sn
)
.
Доведемо iмплiкацiю ⇒ у (34). {SNk
, k = 1, 2, . . .} є випадковим блуканням,
що стартує в нулi, з кроком, розподiленим як Sτ−x
. Випадковi вектори (SNk
−
SNk−1 , Zk), k = 1, 2, . . . , незалежнi та однаково розподiленi, а lim
n→∞
SNn
= −∞ м. н.
Нехай (M̃1, Q̃1), (M̃2, Q̃2), . . . — незалежнi копiї вектора (M̃ := e
S
τ
−
x , Q̃ := eZ). За
побудовою P{M̃ ≤ 1} = 1 та P{M̃ = 1} = 0. Тому за наслiдком 3.1 [1] нерiвнiсть
Eg(Q̃) < ∞ випливає з Ef
(
sup
k≥1
M̃1 . . . M̃k−1Q̃k
)
< ∞. Залишилося зауважи-
ти, що Q̃ = exp(Z) = exp
(
sup
0≤i≤τ−x −1
Si
)
. Аналогiчно sup
k≥1
M̃1 . . . M̃k−1Q̃k =
= exp
(
sup
k≥0
(SNk
+ Zk+1)
)
= exp(M∞).
Оскiльки ξ+1 ≤ sup
0≤n≤τ−x −1
Sn, то (35) випливає з (34).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
342 О. М. IКСАНОВ
На початку доведення теореми 3 показано, що знайдеться функцiя f , яка не
спадає, є вгнутою на R+, f(0) = 0, lim
x→∞
f(x) = ∞ та h(x) ∼ f(ex). Тому перша
еквiвалентнiсть та iмплiкацiя ⇐ у другiй еквiвалентностi в (36) випливають з (34).
Залишок отримуємо з теореми 3 [8].
Лему 5 доведено.
1. Iksanov A. M., Rösler U. Some moment results about the limit of a martingale related to the
supercritical branching random walk and perpetuities // www.do.unicyb.kiev.ua/˜iksanov.
2. Iksanov A. M. Elementary fixed points of the BRW smoothing transforms with infinite number of
summands // Stochast. Process. and Appl. – 2004. – 114. – P. 27 – 50.
3. Biggins J. D. Martingale convergence in the branching random walk // J. Appl. Probab. – 1977. –
14. – P. 25 – 37.
4. Liu Q. Sur une équation fonctionnelle et ses applications: une extension du théorème de Kesten –
Stigum concernant des processus de branchement // Adv. Appl. Probab. – 1997. – 29. – P. 353 – 373.
5. Lyons R. A simple path to Biggins martingale convergence for branching random walk // Classical
and Modern Branching Processes / Eds K. B. Athreya, P. Jagers (IMA Vol. Math. and Appl.). –
Berlin: Springer, 1997. – 84. – P. 217 – 221.
6. Asmussen S., Hering H. Branching processes. – Boston: Birkhäuser, 1983. – 480 p.
7. Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1989. – 512 p.
8. Alsmeyer G. On generalized renewal measures and certain first passage times // Ann. Probab. –
1992. – 20. – P. 1229 – 1247.
9. Spitzer F. A combinatorial lemma and its applications to probability theory // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1956. – 82. – P. 323 – 339.
10. Goldie C. M., Maller R. A. Stability of perpetuities // Ann. Probab. – 2000. – 28. – P. 1195 – 1218.
11. Lai T. L., Siegmund D. A nonlinear renewal theory with applications to sequential analysis. II //
Ann. Statist. – 1979. – 7. – P. 60 – 76.
12. Blackwell D. Extension of a renewal theorem // Pacif. J. Math. – 1953. – 3. – P. 315 – 320.
Одержано 09.09.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 3
|