Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса
Розглядаються функції багатьох комплексних змінних, які є голоморфними в полікрузі або у верхній поліпівплощині. Наведено необхідні i достатні умови того, що голоморфна функція є інтегралом типу Коші - Стільтьєса комплексного заряду. Показано декілька застосувань цього критерію до інтегральних зобра...
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164974 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 522–542. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164974 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1649742025-02-09T15:00:58Z Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса Representation of holomorphic functions of many variables by Cauchy-Stieltjes-type integrals Савчук, В.В. Статті Розглядаються функції багатьох комплексних змінних, які є голоморфними в полікрузі або у верхній поліпівплощині. Наведено необхідні i достатні умови того, що голоморфна функція є інтегралом типу Коші - Стільтьєса комплексного заряду. Показано декілька застосувань цього критерію до інтегральних зображень деяких класів голоморфних функцій. We consider functions of many complex variables that are holomorphic in a polydisk or in the upper half-plane. We give necessary and sufficient conditions under which a holomorphic function is a Cauchy-Stieltjes-type integral of a complex charge. We present several applications of this criterion to integral representations of certain classes of holomorphic functions. 2006 Article Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 522–542. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164974 517.5 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Савчук, В.В. Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса Український математичний журнал |
| description |
Розглядаються функції багатьох комплексних змінних, які є голоморфними в полікрузі або у верхній поліпівплощині. Наведено необхідні i достатні умови того, що голоморфна функція є інтегралом типу Коші - Стільтьєса комплексного заряду. Показано декілька застосувань цього критерію до інтегральних зображень деяких класів голоморфних функцій. |
| format |
Article |
| author |
Савчук, В.В. |
| author_facet |
Савчук, В.В. |
| author_sort |
Савчук, В.В. |
| title |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса |
| title_short |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса |
| title_full |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса |
| title_fullStr |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса |
| title_full_unstemmed |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса |
| title_sort |
зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу коші - стільтьєса |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164974 |
| citation_txt |
Зображення голоморфних функцій багатьох змінних інтегралами типу Коші - Стільтьєса / В.В. Савчук // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 4. — С. 522–542. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT savčukvv zobražennâgolomorfnihfunkcíjbagatʹohzmínnihíntegralamitipukošístílʹtʹêsa AT savčukvv representationofholomorphicfunctionsofmanyvariablesbycauchystieltjestypeintegrals |
| first_indexed |
2025-11-27T03:20:54Z |
| last_indexed |
2025-11-27T03:20:54Z |
| _version_ |
1849912111690416128 |
| fulltext |
УДК 517.5
В. В. Савчук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ
БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ
ТИПУ КОШI – СТIЛЬТЬЄСА
We consider functions of several complex variables which are holomorphic in the polydisk or upper
polyhalf plane. We give necessary and sufficient conditions to ensure that the holomorphic function is a
Cauchy – Stieltjes-type integral of a complex signed measure. We show some applications of this criterion
to integral representations of certain classes of holomorphic functions.
Розглядаються функцiї багатьох комплексних змiнних, якi є голоморфними в полiкрузi або у верхнiй
полiпiвплощинi. Наведено необхiднi i достатнi умови того, що голоморфна функцiя є iнтегралом
типу Кошi – Стiльтьєса комплексного заряду. Показано декiлька застосувань цього критерiю до
iнтегральних зображень деяких класiв голоморфних функцiй.
Вступ. У данiй роботi наведено результати дослiджень, якi мотивованi двома
класичними теоремами, авторство котрих присвоюють Р. Неванлiнi, Ф. Рiссу i
ґ. Герґлотцу.
Теорема А. Для того щоб голоморфну у верхнiй пiвплощинi H := {z ∈ C :
Im z > 0} функцiю f можна було зобразити у виглядi
f(z) =
∫
R
dµ(x)
x− z
, z ∈ H, (1)
де µ — неспадна функцiя обмеженої варiацiї на R, необхiдно i достатньо, щоб
Im f ≥ 0 i sup
0<y<∞
|yf(iy)| < ∞.
Теорема B. Для того щоб голоморфну в крузi D := {z ∈ C : |z| < 1} функцiю
g можна було зобразити у виглядi
g(z) =
2π∫
0
dν(t)
1− e−itz
− g(0), z ∈ D,
де ν — неспадна на [0, 2π] функцiя, необхiдно i достатньо, щоб Re g ≥ 0.
Цi твердження є лише фрагментом великої серiї теорем про iнтегральнi зобра-
ження (iнтегралами типу Кошi – Стiльтьєса) класiв голоморфних функцiй у верхнiй
пiвплощинi або в одиничному крузi комплексної площини. У монографiях [1;
2, с. 219 – 226; 3, с. 519 – 530], [4] (гл. XI, § 9), [5, 6] (лекцiя 14) можна знайти
огляд частини iз таких результатiв, що мають безпосереднє застосування в теорiях,
котрим присвячено цi книги.
У багатовимiрному випадку нам вiдомо про аналоги теорем А i В, якi отримано
в [7 – 10], а також у роботах, згаданих в оглядi [11] (гл. 4, § 4).
Зазначимо, що теорема В вкладається у схему, за якою в [12] отримано наступну
теорему про опис множини голоморфних у розширенiй комплекснiй площинi з
розрiзом вздовж одиничного кола функцiй, що допускають iнтегральне зображення
iнтегралами типу Кошi – Стiльтьєса.
Теорема С. Для того щоб голоморфну в Ω := {z ∈ Ĉ : |z| 6= 1} функцiю f
можна було зобразити у виглядi
c© В. В. САВЧУК, 2006
522 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 523
f(z) =
2π∫
0
dµ(t)
1− e−itz
, z ∈ Ω,
де µ — деяка комплекснозначна функцiя обмеженої варiацiї на [0, 2π], необхiдно i
достатньо, щоб
f(∞) = 0 i sup
0≤%<1
2π∫
0
|f(%eit)− f(%−1eit)|dt < ∞. (2)
Iдея доведення цього твердження базується на тому фактi, що за умов (2) функ-
цiя z 7→ f(z) − f(1/z) є гармонiчною функцiєю класу h1 в одиничному крузi,
а вiдтак може бути зображена iнтегралом Пуассона (див., наприклад, [4, с. 374;
13, с. 2])
f(%eit)− f(%−1eit) =
2π∫
0
1− %2
1− 2% cos(t− θ) + %2
dµ(θ),
в якому dµ є слабкою границею при r → 1 сiм’ї комплексних зарядiв
(
f(reiθ) −
−f(r−1eiθ)
)
dθ, 0 ≤ r < 1.
Неважко помiтити, що ця iдея є дiєвою i для доведення аналога теореми С
стосовно функцiй, голоморфних у розширенiй комплекснiй площинi з розрiзом
вздовж дiйсної осi (див. теорему 2).
Основною метою даної роботи є подальший розвиток такої iдеї з намаганням
отримати аналоги теореми С для функцiй багатьох змiнних.
Побiчною метою було показати певний зв’язок основних результатiв з твер-
дженнями, що є аналогами в багатовимiрному випадку класичних теорем теорiї
функцiй, таких як теореми А, В i теорема братiв Рiссiв.
Звiсно, в математичнiй лiтературi досить повно висвiтленi рiзноманiтнi аналоги
цих тверджень стосовно функцiй багатьох змiнних (див. коментарi до теореми 5),
тому ми не стiльки претендуємо на авторство, як прагнемо дати новi доведення з
єдиної методичної точки зору.
Позначення. Нехай n — довiльне натуральне число, Cn, Rn, Zn i Nn — мно-
жини всiх упорядкованих наборiв z := (z1, z2, . . . , zn) вiдповiдно з n комплексних,
дiйсних, цiлих i натуральних чисел. Будемо розглядати Cn з топологiчної точки
зору, тобто як евклiдiв простiр вимiру 2n.
Розширений простiр позначимо як Ĉn := C ∪ {∞} × . . . × C ∪ {∞}, зокрема,
Ĉn можемо ототожнювати з декартовим добутком n сфер Рiмана.
Одиничний полiкруг в Cn, його кiстяк i верхнiй пiвпростiр у Ĉn будемо позна-
чати вiдповiдно через Dn, Tn i Hn, тобто
Dn :=
{
z ∈ Cn : max
1≤j≤n
|zj | < 1
}
,
Tn :=
{
z ∈ Cn : |zj | = 1, j = 1, n
}
,
Hn :=
{
z ∈ Ĉn : Im zj > 0, j = 1, n
}
.
Зрозумiло, що простiр Rn є кiстяком для Hn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
524 В. В. САВЧУК
У випадку, коли n = 1, верхнiм iндексом у цих та похiдних позначеннях будемо
нехтувати.
Нехай X = Tn ∨ Rn, B(X) — борелiвська σ-алгебра пiдмножин X. Скiнченну
комплексну σ-адитивну функцiю µ, визначену на B(X), таку, що µ(∅) = 0, будемо
називати зарядом. Заряд µ, який можна зобразити як µ = µ1+iµ2, де 0 ≤ µi(E) <
< ∞, i = 1, 2, для будь-якого E ∈ B(X), будемо називати комплексною борелiв-
ською мiрою, i якщо µ2 ≡ 0, то просто борелiвською.
Скрiзь далi, стверджуючи, що µ — заряд на X, будемо розумiти пiд цим заряд
µ, визначений на B(X).
Через σn позначимо нормовану мiру Лебега на Tn, а для мiри Лебега на Rn
використаємо позначення mn.
Нехай E — компактна пiдмножина X, тодi C(E) — банахiв простiр неперервних
комплекснозначних функцiй f на E з нормою ‖f‖
C(E)
:= max
z∈E
|f(z)|.
Носiєм функцiї f, визначеної на пiдмножинi E ⊂ Rn, називається замикання в
Rn множини тих точок x ∈ E, для яких f(x) 6= 0. Нехай C0(E) — банахiв простiр
iз нормою ‖ · ‖
C(E)
неперервних на E функцiй, носiї яких є компактними.
Через |µ|(E) позначимо варiацiю заряду µ на E ∈ B(X) i будемо пiд цим
розумiти норму лiнiйного функцiонала
f 7→ Fµ(f) :=
∫
E
fdµ, f ∈ C(E).
Якщо E = Rn, то пiд варiацiєю |µ|(Rn) розумiємо границю в сенсi Прингсгейма
|µ|(Rn) := lim
q→∞
|µ|(Bq),
де q = (q1, . . . , qn), qj > 0 i Bq :=
∏n
j=1
[−qj , qj ].
Якщо µ — дiйсний заряд, то норма функцiонала Fµ — повна варiацiя заряду µ у
звичайному розумiннi, тобто |µ| = µ+ + µ−, де µ+ i µ− — верхня i нижня варiацiї
заряду µ.
Нехай µ — деякий заряд на X, тодi
d̂µ(t) := (2π)−n
∫
X
e−i(w,t)dµ(w), t ∈ Rn, (w, t) := w1t1 + . . . + wntn,
— перетворення Фур’є, якщо X = Rn, i коефiцiєнт Фур’є заряду µ, якщо X = Tn.
Покладемо
C(z,w) :=
n∏
j=1
(1− zjwj)−1, C(z,w) :=
n∏
j=1
(wj − zj)−1,
P (z,w) :=
|C(z,w)|2
C(z, z)
, P(z,w) := (2i)−n |C(z,w)|2
C(z, z)
,
K(dµ)(z) :=
∫
Tn
C(z,w)dµ(w), K(dµ)(z) :=
∫
Rn
C(z,w)dµ(w),
P (dµ)(z) :=
∫
Tn
P (z,w)dµ(w), P(dµ)(z) :=
∫
Rn
P(z,w)dµ(w).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 525
Функцiї z 7→ K(dµ)(z) i z 7→ K(dµ)(z) є голоморфними вiдповiдно в областях
Ωn := Ĉn \ Tn i ∆n := Ĉn \ Rn.
Будемо називати їх iнтегралами типу Кошi – Стiльтьєса заряду µ на Tn i Rn вiд-
повiдно.
Функцiї z 7→ P (dµ)(z) i z 7→ P(dµ)(z) є n-гармонiчними в Dn та Hn вiд-
повiдно i називаються iнтегралами Пуассона заряду µ в зазначених областях. Як
завжди, пiд висловом „голоморфна i n-гармонiчна” будемо розумiти голоморфнiсть
i гармонiчнiсть по кожнiй змiннiй окремо.
Якщо G — область в Ĉn, то через Hol(G) будемо позначати множину всiх
функцiй, голоморфних в G.
Нехай N := {1, 2, . . . , n}, N — множина всiх пiдмножин множини N , α —
елемент (впорядкована пiдмножина) N, #α — потужнiсть множини α i α — допов-
нення множини α до множини N . Крiм того, нехай α ∈ N, z ∈ Ĉn i %1, %2 ∈ C.
Покладемо
(%1zα, %2zα) := (w1, . . . , wn),
де
wj =
%1zj , j ∈ α,
%2zj , j ∈ α.
Якщо x ∈ Rn, y ∈ R, а α ∈ N, то покладаємо
(xα + iy,xα − iy) := (w1, . . . , wn),
де
wj =
xj + iy, j ∈ α,
xj − iy, j ∈ α.
Якщо ж в наборi zα всi компоненти є такими, що zj1 = . . . = zj#α
= ∞, то
такий набiр будемо позначати символом ∞α.
Основнi результати будуть сформульованi в термiнах перетворення f 7→ f%, яке
дiє за правилом
f%(z) =
∑
α∈N
(−1)n−#αf(%zα, %−1zα), z ∈ Tn, % ≥ 0,
якщо f ∈ Hol(Ωn), i
f%(x) = (2i)−n
∑
α∈N
(−1)n−#αf(xα + i%,xα − i%), x ∈ Rn, % > 0, (3)
якщо f ∈ Hol(∆n). Скрiзь далi такi перетворення функцiй, позначених латинськи-
ми лiтерами, будемо позначати вiдповiдними малими готичними лiтерами.
Основнi результати. Насамперед зазначимо, що всi твердження стосовно
функцiй, голоморфних у Ωn, подаються з детальними доведеннями. Пiсля до-
ведення кожного такого твердження, за винятком теорем 7 – 9, формулюється його
аналог для функцiй, голоморфних у ∆n. При цьому доведення даються схема-
тично, оскiльки вони, як правило, повторюють мiркування доведень попереднiх
тверджень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
526 В. В. САВЧУК
Теорема 1. Нехай n ∈ N, f ∈ Hol(Ωn). Функцiю f можна зобразити у виглядi
f = K(dµ), де µ — деякий заряд на Tn тодi i тiльки тодi, коли
f(∞α, zα) = 0 ∀ zα ∈ C#α \ T#α ∀ α ∈ N \∅ (4)
i
sup
0≤%<1
∫
Tn
|f%|dσn < ∞. (5)
Умови (4) i (5) визначають заряд µ однозначно.
Доведення теореми 1. Необхiднiсть. Нехай f = K(dµ). Виконання умов (4) є
очевидним. Для доведення (5) зауважимо, що
P (%z,w) =
n∏
j=1
1− %2
j
|1− %jzjwj |2
=
=
n∏
j=1
(
C(%zj , wj)− C(%−1zj , wj)
)
∀ z,w ∈ Tn, 0 ≤ % < 1.
Звiдси випливає
P (%z,w) =
∑
α∈N
(−1)n−#α
∏
j∈α
C(%zj , wj)
∏
i∈α
C(%−1zi, wi)
=
=
∑
α∈N
(−1)n−#αC
(
(%zα, %−1zα),w
)
∀ z,w ∈ Tn, 0 ≤ % < 1.
Отже, для будь-якого % ∈ [0, 1)
f%(z) =
∑
α∈N
(−1)n−#αf(%zα, %−1zα) =
=
∑
α∈N
(−1)n−#αK(dµ)(%zα, %−1zα) =
=
∫
Tn
(∑
α∈N
(−1)n−#αC
(
(%zα, %−1zα),w
))
dµ(w) =
=
∫
Tn
P (%z,w)dµ(w) = P (dµ)(%z) ∀ z ∈ Tn, (6)
звiдки
|f%(z)| ≤
∫
Tn
P (%z,w)d|µ|(w) ∀ z ∈ Tn, 0 ≤ % < 1, (7)
де |µ| — варiацiя заряду µ, яка вiдiграє тут роль борелiвської мiри.
Iнтегруючи за мiрою Лебега σn по Tn обидвi частини нерiвностi (7) i змiню-
ючи порядок iнтегрування в повторному iнтегралi (це можна зробити за теоремою
Фубiнi (див., наприклад, [14, с. 116]), одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 527∫
Tn
|f%|dσn ≤
∫
Tn
d|µ| = |µ|(Tn) < ∞, 0 ≤ % < 1.
Останнє спiввiдношення доводить необхiднiсть умов теореми.
Достатнiсть. Нехай виконуються умови (4) i (5). Тодi сiм’я функцiй {f%}0≤%<1,
визначених на Tn, є обмеженою в L1(Tn), тобто
‖f%‖L1(Tn)
:=
∫
Tn
∣∣f%∣∣dσn ≤ K < ∞, 0 ≤ % < 1,
а тому сiм’я {µ%}0≤%<1 абсолютно неперервних вiдносно мiри σn зарядiв µ% на Tn
зi щiльностями f%, тобто таких, що µ%(E) =
∫
E
f%dσn, E ∈ B(Tn), є обмеженою
за варiацiєю :
|µ%|(Tn) ≤ ‖f%‖L1(Tn)
≤ K < ∞, 0 ≤ % < 1. (8)
Будемо розглядати заряди µ% як елементи спряженого до C(Tn) простору
C∗(Tn) (це коректно згiдно з теоремою Ф. Рiсса (див., наприклад, [14, с. 112])
про загальний вигляд неперервного лiнiйного функцiонала в C(Tn)).
У такому розумiннi згiдно з умовами (8) сiм’я функцiоналiв {µ%}0≤%<1 нале-
жить кулi радiуса K простору C∗(Tn), i оскiльки ця куля є компактом у слабкiй
топологiї C∗(Tn) (див., наприклад, [14, с. 223], [15], гл. V), то можна вказати
послiдовнiсть {%j}∞j=1, %j → 1−, j → ∞, таку, що послiдовнiсть функцiоналiв
{µ%j}∞j=1 буде слабко збiгатися до деякого функцiонала µ, тобто µ%j → µ, j →∞.
У термiнах зарядiв, знову ж таки на пiдставi теореми Ф. Рiсса, останнє означає, що
lim
j→∞
∫
Tn
gf%j
dσn =
∫
Tn
gdµ ∀ g ∈ C(Tn).
Зокрема, для кожного z ∈ Ωn, згiдно з умовою (4), маємо рiвностi∫
Tn
C(z,w)dµ(w) = lim
j→∞
∫
Tn
C(z,w)f%j
(w)dσn(w) =
= lim
j→∞
∫
Tn
C(z,w)
∑
α∈N
(−1)n−#αf(%jwα, %−1
j wα)dσn(w) =
= lim
j→∞
∑
α∈N
(−1)n−#α
∫
Tn
f(%jwα, %−1
j wα)C(z,w)dσn(w) =
= lim
j→∞
f(%jz) = f(z). (9)
Якщо µ1 i µ2 — два заряди на Tn такi, що f = K(dµ1) = K(dµ2), то згiдно з (6)
0 = P (dλ), λ = µ1 − µ2. Звiдси (див., наприклад, [16], виноска на с. 22) випливає,
що λ ≡ 0.
Теорему доведено.
Теорема 2. Нехай n ∈ N, f ∈ Hol(∆n). Функцiю f можна зобразити у
виглядi f = K(dµ), де µ — деякий заряд на Rn такий, що |µ|(Rn) < ∞, тодi i
тiльки тодi, коли
∀ δ > 0 ∀ α ∈ N \∅ : lim
zα→∞α
| Im zα|≥δ
f(zα, zα) = 0 (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
528 В. В. САВЧУК
i
sup
0<y<∞
∫
Rn
|fy| dmn < ∞. (11)
Пiд границею в (10) розумiємо границю (за Прингсгеймом), коли кожна ко-
ордината точки z ∈ Ĉn, iндекс якої належить множинi α, прямує до нескiн-
ченно вiддаленої точки в Ĉ вздовж будь-якої кривої, що лежить поза смугою
{z ∈ Ĉ : | Im z| < δ}.
Доведення теореми 2. Необхiднiсть умов (10) доводиться у вiдомий спосiб
[17] (див. також [13, с. 190]). Маємо
|f(z)| ≤
∫
Rn
|C(z,w)|d|µ|(w) ∀z ∈ ∆n. (12)
Нехай ε > 0. Виберемо вектор q ∈ Rn
+, q = (q1, . . . , qn), так, щоб∫
Rn\Bq
d|µ| < ε,
де Bq =
∏n
j=1
(−qj , qj).
Тодi для кожного α ∈ N \∅, продовжуючи оцiнку (12), отримуємо
|f(z)| ≤
∫
Bq
|C(z,w)|d|µ|(w) +
ε
Im z1 . . . Im zn
=
=
∏
j∈α
1
Im zj
O
∏
j∈α
1
|zj |
+
ε
δ#α
(zα →∞α, | Im zα| > δ),
звiдки i випливає (10).
Далi, рiвнiсть
fy(x) =
∫
Rn
P(x + iy,w)dµ(w) ∀ x ∈ Rn, y > 0, (13)
доводиться дослiвним повторенням мiркувань iз доведення нерiвностi (7) iз фор-
мальною замiною Tn на Rn, C(%z,w) на C(x + iy,w) i P (%z,w) на P(x + iy,w)
вiдповiдно.
Зрозумiло, що з (13) випливає |fy(x)| ≤ P(d|µ|)(x + iy). Отже, iнтегруючи по
Rn обидвi частини цiєї нерiвностi i змiнюючи порядок iнтегрування в повторному
iнтегралi, переконуємось у необхiдностi умови (11).
Достатнiсть. Згiдно з (11) сiм’я {fy}0<y<∞ є обмеженою в L1(Rn), тобто
‖fy‖L1(Rn)
:=
∫
Rn
|fy|dmn ≤ K < ∞ ∀ y > 0.
Якщо розумiти заряди µy(E) =
∫
E
fydmn на Rn як функцiонали в C0(Rn)
(див., наприклад, [14], теорема 3.4), то останнє означає, що сiм’я функцiоналiв
{µy}0<y<∞ належить кулi радiуса K, i оскiльки ця куля є компактом у слабкiй
топологiї, то iснують дискретна множина значень y i заряд µ на Rn такi, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 529
lim
j→∞
∫
Rn
gdµyj =
∫
Rn
gdµ ∀ g ∈ C0(Rn) (yj → 0, j →∞).
Далi, за g слiд взяти функцiю g(·) = C(z, ·) i скористатися формулою Кошi, яку
доцiльно подати у такому виглядi.
Лема 1. Нехай n ∈ N i функцiя f ∈ Hol(Hn
). Якщо f задовольняє умову (10),
то ∫
Rn
f(w)C(z,w)dmn(w) =
(2πi)nf(z), z ∈ Hn,
0, z ∈ Ĉn \Hn
,
(14)
i внаслiдок цього
f(z) = (π)−n
∫
Rn
f(w)P(z,w)dmn(w) ∀ z ∈ Hn. (15)
Зауваження 1. Формули (14) i (15) мають мiсце i при iнших обмеженнях на
функцiю f (вони з’являться в доведеннi теореми 6). А саме, n-кратним застосу-
ванням леми 2.3 з роботи [17] можна показати таке.
Нехай n ∈ N, 1 ≤ p < ∞. Якщо функцiя f ∈ Hol(Hn) має граничнi значення на
Rn, якi утворюють функцiю f∗(x) := limy→0 f(x + iy), причому |f∗|p ∈ L1(Rn),
то виконуються (14) i (15).
Доведення леми 1 проводиться n-кратним застосуванням до функцiї
w 7→
(f(w)− f(z))C(z,w), z ∈ Hn,
f(w)C(z,w), z ∈ Ĉn \Hn
,
„одновимiрної” формули Кошi для необмежених областей (див., наприклад, [18],
теорема 2.4).
Якщо має мiсце (14), то, поклавши h := (2πi)−nK(fdmn), отримаємо∑
α∈N
(−1)n−#αh(zα, zα) = f(z) ∀ z ∈ Hn,
з одного боку, а з iншого, згiдно з (13),∑
α∈N
(−1)n−#αh(zα, zα) = π−nP(fdmn)(z) ∀ z ∈ Hn.
Отже, з (14) випливає (15).
Лему i теорему доведено.
У наступному твердженнi вказано умови, за яких голоморфну в Ωn функцiю
можна зобразити iнтегралом типу Кошi – Стiльтьєса борелiвської мiри на Tn.
Теорема 3. Нехай n ∈ N, f ∈ Hol(Ωn). Функцiю f можна зобразити у
виглядi f = K(dµ), де µ — борелiвська мiра на Tn тодi i тiльки тодi, коли
виконується умова (4) i
f%(z) ≥ 0 ∀ % ∈ [0, 1) ∀ z ∈ Tn. (16)
Зауваження 2. Нехай n ∈ N, функцiя f ∈ Hol(Ωn) i задовольняє (4). Тодi:
1) якщо f%(z) = 0 ∀% ∈ [0, 1) ∀z ∈ Tn, то f ≡ 0 i, отже, f = K(dµ), де µ ≡ 0;
2) якщо виконується (16) i lim
%→1−
f%(z) = 0 майже скрiзь (вiдносно мiри Лебега
σn) на Tn, то f = K(dµ), де µ — невiд’ємна мiра, сингулярна вiдносно σn.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
530 В. В. САВЧУК
Доведення теореми 3. Необхiднiсть. Нехай f = K(dµ), де µ — борелiвська
мiра на Tn. Тодi, очевидно, виконується (4) i згiдно з (6)
f%(z) =
∫
Tn
P (%z,w)dµ(w) ∀ z ∈ Tn, 0 ≤ % < 1. (17)
Оскiльки P (%z,w) > 0 для будь-яких z,w ∈ Tn, % ∈ [0, 1), то величини в обох
частинах рiвностi (17) є або додатними, або ж, якщо µ ≡ 0, рiвними нулю.
Достатнiсть. Нехай виконуються умови (4) i (16). Тодi сiм’я функцiй
{f%}0≤%<1, визначених на Tn, є невiд’ємною i тому, внаслiдок голоморфностi функ-
цiї f i умови (4), обмеженою в L1(Tn):
‖f%‖L1(Tn)
=
∫
Tn
f%dσn = f(0) < +∞, 0 ≤ % < 1,
де 0 :=
(
0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
n
)
.
Далi, повторюючи дослiвно доведення достатностi умов теореми 1, з сiм’ї
{µ%}0≤%<1 абсолютно неперервних вiдносно мiри σn борелiвських мiр µ%, µ%(E) =
=
∫
E
f%dσn, на Tn можна вибрати пiдпослiдовнiсть {µ%j
}∞j=1, яка буде слабко збi-
гатися при % → 1− до деякої борелiвської мiри µ i (див. (9))∫
Tn
C(z,w)dµ(w) = lim
j→∞
∫
Tn
C(z,w)f%j
(w)dσn(w) = f(z) ∀ z ∈ Ωn.
Зокрема, якщо в (16) має мiсце рiвнiсть, то µ% ≡ 0 i, отже,∫
Tn
P (z,w)dµ(w) = 0 ∀ z ∈ Dn, (18)
тобто µ ≡ 0.
Теорему доведено.
Теорема 4. Нехай n ∈ N, f ∈ Hol(∆n). Функцiю f можна зобразити у
виглядi f = K(dµ), де µ — борелiвська мiра на Rn така, шо |µ|(Rn) < ∞, тодi i
тiльки тодi, коли виконуються умови (10), (11) i
fy(x) ≥ 0 ∀ x ∈ Rn ∀ y > 0. (19)
Зауваження 3. Нехай n ∈ N, f ∈ Hol(∆n) i f задовольняє (10). Якщо:
1) fy(x) = 0 ∀x ∈ Rn ∀y > 0, то f ≡ 0 i, отже, f = K(dµ), де µ ≡ 0;
2) якщо виконується (19) i lim
y→0+
fy(x) = 0 майже скрiзь (вiдносно мiри Лебега
mn) на Rn, то f = K(dµ), де µ — невiд’ємна мiра на Rn, сингулярна вiдносно mn.
Доведення теореми 4. Необхiднiсть умови (10) випливає з теореми 2. Далi,
згiдно з (13)
fy(x) =
∫
Rn
P(x + iy,w)dµ(w) ∀ x ∈ Rn ∀ y > 0.
Мiра i пiдiнтегральна функцiя є невiд’ємними, тому fy(x) > 0, або ж fy ≡ 0,
якщо µ ≡ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 531
З iншого боку, згiдно з теоремою 2∫
Rn
fydmn =
∫
Rn
|fy|dmn < ∞ ∀ y > 0.
Достатнiсть. Сiм’я функцiй {fy}0<y<∞ є невiд’ємною i обмеженою в L1(Rn).
Тому заряди µy(E) =
∫
E
fydmn на Rn є борелiвськими мiрами. Вибравши збiжну
(в слабкiй топологiї) пiдпослiдовнiсть мiр µy, одержимо f = K(dµ) = lim
j→∞
K(dµyj
).
Теорему доведено.
Якщо ж тепер розглянути тiльки абсолютно неперервнi вiдносно мiри Лебега
заряди на Tn, то, як вiдомо (див., наприклад, [16, с. 49]), голоморфну в Dn функцiю
f можна зобразити iнтегралом типу Пуассона – Стiльтьєса такого заряду на Tn тодi
i тiльки тодi, коли f ∈ H1(Dn), тобто коли
sup
0≤%<1
∫
Tn
|f(%z)|dσn(z) < ∞.
При цьому f = K(dµ) = P (dµ), де dµ = f∗dσn i L1(Tn) 3 f∗(z) := lim
%→1
f(%z),
z ∈ Tn.
Використавши цей факт i теорему 1, наведемо достатню умову, за якої заряд на
Tn є абсолютно неперервним вiдносно мiри Лебега.
Теорема 5. Нехай n ∈ N i µ — заряд на Tn. Якщо
max
α∈N
sup
0≤%<1
∫
Tn
|K(dµ)(%zα, %−1zα)|dσn(z) < ∞,
то заряд µ є абсолютно неперервним вiдносно мiри Лебега σn.
Наслiдок 1. Нехай n ∈ N i µ — заряд на Tn такий, що µ̂(k) = 0 для всiх
k 6∈ Zn
+ := {m ∈ Zn : mj ≥ 0, j = 1, n }. Тодi заряд µ є абсолютно неперервним
вiдносно мiри Лебега σn.
Справдi, згiдно з (6) i (7)∫
Tn
|K(dµ)(%z)|dσn(z) =
∫
Tn
∣∣∣∣∣∑
α∈N
(−1)n−#αK(dµ)(%zα, %−1zα)
∣∣∣∣∣ dσn(z) =
=
∫
Tn
|P (dµ)(%z)|dσn(z) ≤ |µ|(Tn) < ∞ ∀ % ∈ [0, 1).
Наслiдок 1 є аналогом теореми братiв Рiссiв, про яку згадано у вступi до даної
роботи. Рiзнi „багатовимiрнi” аналоги цiєї теореми можна знайти в [16], [5] (гл. 4,
п. 17), [19 – 21]. Зокрема, наслiдок 1 можна отримати з результатiв робiт [19, 20].
Доведення теореми 5. Розглянемо набiр функцiй gα, α ∈ N, визначених вiд-
повiдно в областях Dn
α,
Dn
α := {z ∈ Ĉn : |zj | < 1, j ∈ α ∧ |zi| > 1, i ∈ α}, (20)
як звуження iнтеграла типу Кошi – Стiльтьєса заряду µ на областi Dn
α, тобто gα =
= K(dµ)|Dn
α
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
532 В. В. САВЧУК
Згiдно з умовами теореми gα ∈ H1(Dn
α), α ∈ N, а тому gα можна зобразити
у виглядi gα(z) = K(dµα)(z) = P (dµα)(z), де µα(E) =
∫
E
g∗αdσn, E ∈ B(Tn), i
L1(Tn) 3 g∗α(z) = lim
%→1
g∗α(%zα, %−1zα), z ∈ Tn.
Отже,
∑
α∈N
(−1)n−#αgα(%zα, %−1zα) = P
(∑
α∈N
(−1)n−#αµα
)
(%z) ∀ z ∈ Tn.
З iншого боку,∑
α∈N
(−1)n−#αgα(%zα, %−1zα) =
∑
α∈N
(−1)n−#αK(dµ)(%zα, %−1zα) =
= (згiдно з (6)) = P (dµ)(%z) ∀ z ∈ Tn.
Вiднявши цi двi рiвностi, одержимо (див. пояснення до рiвностi (18))
µ−
∑
α∈N
(−1)n−#αµα ≡ 0,
звiдки
µ(E) =
∫
E
(∑
α∈N
(−1)n−#αg∗α
)
dσn, E ∈ B(Tn).
Теорему доведено.
Теорема 6. Нехай n ∈ N i µ — заряд на Rn. Якщо
max
α∈N
sup
0<y<∞
∫
Rn
|K(dµ)(xα + iy,xα − iy)|dmn(x) < ∞,
то заряд µ є абсолютно неперервним вiдносно мiри Лебега mn i |µ|(Rn) < ∞.
Наслiдок 2. Нехай m ∈ N i µ — заряд на Rn такий, що |µ|(Rn) < ∞ i
µ̂(x) = 0 для всiх x 6∈ Rn
+ := {y ∈ Rn : yj ≥ 0, j = 1, n }. Тодi заряд µ є
абсолютно неперервним вiдносно мiри Лебега mn.
Доведення теореми 6. Нехай
Hn
α := {z ∈ Ĉn : Im zj > 0, j ∈ α ∧ Im zj < 0, j ∈ α}
i gα = K(dµ)|Hn
α
. Функцiї gα, α ∈ N, належать простору H1(Hn
α), тобто вони є
голоморфними в Hn
α i
sup
0<y<∞
∫
Rn
|gα(xα + iy,xα − iy)|dmn(x) < ∞.
Отже, iснують граничнi значення g∗α, причому g∗α ∈ L1(Rn). За лемою 1 gα =
= K(dµα) = P(dµα), де µα(E) =
∫
E
g∗αdmn, E ∈ B(Rn).
Далi доведення проводиться дослiвним повторенням мiркувань iз доведення
теореми 5.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 533
Зауважимо, що область Ωn можна подати у виглядi
Ωn =
⋃
α∈N
Dn
α,
де Dn
α визначається в (20), i з огляду на це поставимо питання про те, якими є
необхiднi i достатнi умови для того, щоб голоморфну функцiю, визначену тiльки
в однiй з областей Dn
α, α ∈ N, можна було зобразити iнтегралом типу Кошi –
Стiльтьєса.
Базуючись на мiркуваннях, подiбних до мiркувань при доведеннi теореми 1,
такий критерiй можна отримати в наступному виглядi.
Позначимо
k = (k1, . . . , kn), zk := zk1
1 . . . zkn
n , |k| := max
1≤j≤m
|kj |
i
Zn
α := {k ∈ Zn : kj ≥ 0, j ∈ α, ki < 0, i ∈ α}.
Теорема 7. Нехай n ∈ N, β ∈ N, f ∈ Hol(Dn
β). Функцiю f можна зобразити
у виглядi f = K(dµ)
∣∣
Dn
β
, де µ — деякий заряд на Tn, тодi i тiльки тодi, коли
знайдеться послiдовнiсть функцiй {Tm}∞m=0 вигляду
Tm(z) =
∑
α∈N\β
∑
k∈Zn
α:
|k|≤N
ck,αzk, z 6∈ Dn
β ,
0, z ∈ Dn
β ,
N = N(m), (21)
така, що
lim
m→∞
∫
Tn
∣∣∣f(%mz
β
, %−1
m z
β
) + Tm(z)
∣∣∣dσn(z) < ∞, (22)
де 0 < %m < 1 i lim
m→∞
%m = 1.
Це твердження є поширенням на багатовимiрний випадок теореми 2 з робо-
ти [12].
Доведення теореми 7. Необхiднiсть. Для спрощення викладок будемо вважати,
що β = N i, отже, Dn
β = Dn. Нехай f = K(dµ)
∣∣
Dn
, тодi за теоремою 1 для будь-якої
послiдовностi {%m}∞m=0, %m → 1−, m →∞,∫
Tn
∣∣∣∣f(%mz) +
∑
α∈N\N
gα(%mzα, %−1
m zα)
∣∣∣∣dσn(z) ≤ K < ∞ ∀ m ∈ N, (23)
де
g
α
(z) :=
(−1)n−#αK(dµ)(z), z ∈ Dn
α,
0, z ∈ Ωn \ Dn
α.
Зрозумiло, що функцiї g
α
є голоморфними в областi Dn
α. Тому g
α
можна зобра-
зити в цiй областi у виглядi суми степеневого ряду
gα(z) =
∑
k∈Zn
α
ĝα(k)zk, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
534 В. В. САВЧУК
збiжного абсолютно i рiвномiрно на кожнiй компактнiй пiдмножинi областi Dn
α, де
ĝα(k) — коефiцiєнти Тейлора функцiї gα , якi визначаються за вiдомим правилом.
За Tm вiзьмемо функцiї вигляду
Tm(z) =
∑
α∈N\N
S�
N (g
α
)(%mzα, %−1
m zα), m = 0,∞, (25)
де N = N(m) — натуральне число, певними чином залежне вiд n i
S�
N (g
α
)(z) :=
∑
k∈Zn
α:
|k|≤N
ĝ
α
(k)zk
— квадратнi частиннi суми порядку N ряду (24).
Зрозумiло, що функцiї Tm мають вигляд (21). Тодi згiдно з (23) для довiльного
m ∈ N ∫
Tn
∣∣∣∣f(%mz) + Tm(z)
∣∣∣∣dσn(z) ≤
≤
∫
Tn
∣∣∣∣f(%mz) +
∑
α∈N\N
g
α
(%mzα, %−1
m zα)
∣∣∣∣dσn(z)+
+
∫
Tn
∣∣∣∣ ∑
α∈N\N
g
α
(%mzα, %−1
m zα)− Tm(z)
∣∣∣∣dσn(z) ≤
≤
∫
Tn
∣∣∣∣ ∑
α∈N\N
gα(%mzα, %−1
m zα)− Tm(z)
∣∣∣∣dσn(z) + K =
=
∫
Tn
∣∣∣∣ ∑
α∈N\N
(
g
α
(%mzα, %−1
m zα)− S�
N (g
α
)(%mzα, %−1zα)
)∣∣∣∣dσn(z) + K ≤
≤
∑
α∈N\N
∫
Tn
∣∣∣∣gα
(%mzα, %−1
m zα)− S�
N (g
α
)(%mzα, %−1zα)
∣∣∣∣dσn(z) + K. (26)
Виберемо довiльне число ε > 0 i покажемо, що для будь-якого %m ∈ (0, 1)
можна пiдiбрати таке число N = N(m), що∫
Tn
∣∣∣∣gα
(%mzα, %−1
m zα)− S�
N (g
α
)(%mzα, %−1zα)
∣∣∣∣dσn(z) ≤ ε ∀ α ∈ N \ N .
Для цього зафiксуємо α ∈ N \ N i окремо розглянемо звуження функцiї g
α
на
область Dn
α. Нашою найближчою метою є знаходження ефективної формули для
вiдхилення gα − S�
N (gα) в Dn
α.
Нехай γ ∈ N \∅. Розглянемо оператори Sγ,N , Rγ,N , визначенi на Hol(Dn
α), якi
дiють за правилами
Sγ,N (gα)(z) :=
∑
k∈Zn
α:
|kj |≤N, j∈γ
ĝ
α
(k)zk,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 535
R
γ,N
(gα)(z) :=
∑
k∈Zn
α:
|kj |≥N+1, j∈γ
ĝ
α
(k)zk, z ∈ Dn
α, N ∈ N. (27)
Легко бачити, що
S�
N :=
n∏
j=1
S{j},N =
n∏
j=1
(I −R{j},N ) =
= I −
∑
γ∈N\∅
(−1)#γIn−#γ
∏
j∈γ
R{j},N = I −
∑
γ∈N\∅
(−1)#γRγ,N , (28)
де I — тотожний оператор, а пiд добутком розумiємо операторний добуток.
Подiявши тепер на функцiю gα оператором S�
N , на основi рiвностi (28) одер-
жимо
g
α
− S�
N (g
α
) =
∑
γ∈N\∅
(−1)#γ+1R
γ,N
(gα). (29)
Далi, подамо функцiю Rγ,N (gα) для кожного γ ∈ N \∅ в iнтегральному виглядi, а
саме, у виглядi iнтеграла типу Кошi – Стiльтьєса. Для цього позначимо
Pγ,α,N (z) :=
∏
j∈γ∩α
z−N−1
j
∏
i∈γ\α
zN+1
i .
Тодi
Rγ,N (gα)(z) = (−1)#αP−1
γ,α,N (z)K(Pγ,α,Ndµ)(z) ∀ z ∈ Dn
α. (30)
У цьому легко переконатися з огляду на (27) i те, що для будь-яких z ∈ Dn
α i
w ∈ Tn
Pγ,α,N (w)C(z,w) = (−1)#α
∏
j∈γ∩α
w−N−1
j
∏
i∈γ\α
wN+1
i
∑
k∈Zn
α
(zw)k =
= (−1)#α
∏
j∈γ∩α
(
w−N−1
j
∞∑
ν=0
zν
j wν
j
) ∏
i∈γ\α
(
wN+1
i
∞∑
ν=1
z−ν
i wν
i
)
×
×
∏
k∈N\(γ∪α)
( ∞∑
ν=0
z−ν
k wν
k
) ∏
l∈α\γ
( ∞∑
ν=0
zν
l wν
l
)
.
Зазначимо, що поява множника (−1)#α обумовлена числом змiнних zj , для яких
|zj | > 1.
Пiдставляючи (30) в (29), одержуємо зручну формулу
g
α
(z)− S�
N (g
α
)(z) =
=
∑
γ∈N\∅
(−1)#γ−#α+n+1P−1
γ,α,N (z)K(Pγ,α,Ndµ)(z) ∀ z ∈ Dn
α.
На основi цiєї формули з урахуванням того, що |Pγ,α,N (w)| = 1 для всiх w ∈ Tn,
маємо оцiнку∣∣∣gα
(z)− S�
N (g
α
)(z)
∣∣∣ ≤ ∑
γ∈N\∅
∣∣∣P−1
γ,α,N (z)K(Pγ,α,Ndµ)(z)
∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
536 В. В. САВЧУК
≤
∫
Tn
|C(z,w)|d|µ|(w)
∑
γ∈N\∅
|P−1
γ,α,N (z)| ≤
≤ |µ|(Tn) max
w∈Tn
|C(z,w)|
∑
γ∈N\∅
|P−1
γ,α,N (z)| ≤
≤ |µ|(Tn)
n∏
j=1
|1− |zj ||−1
∑
γ∈N\∅
∏
j∈γ∩α
|zj |N+1
∏
i∈γ\α
|zi|−N−1
, (31)
яка виконується для всiх z ∈ Dn
α. Звiдси випливає така оцiнка:∫
Tn
∣∣∣∣gα(%mzα, %−1
m zα)− S�
N (gα)(%mzα, %−1
m zα)
∣∣∣∣dσn(z) ≤
≤ |µ|(Tn)(1− %m)−n
∑
γ∈N\∅ %
#γ·(N+1)
m ≤ 2n|µ|(Tn) %N+1
m
(1−%m)n . (32)
Тепер для довiльного фiксованого ε > 0 i довiльної фiксованої послiдовностi
{%m}∞m=0,
1
2
< %m < 1, lim
m→∞
%m = 1, можна пiдiбрати послiдовнiсть чисел N =
= N(m) так, щоб
2n|µ|(Tn)
%N+1
m
(1− %m)n
≤ ε ∀ m ∈ N. (33)
Отже, послiдовнiсть функцiй Tm, вибраних за правилом (25), на пiдставi спiв-
вiдношень (26), (32) i (33) є такою, що задовольняє спiввiдношення (22).
Достатнiсть. Покладемо
um(z) := f(%mz)− Tm(z).
Оскiльки згiдно з (22) послiдовнiсть функцiй {um}∞m=1 є обмеженою в L1(Tn),
то послiдовнiсть зарядiв {µm}∞m=1, µm(E) =
∫
E
umdσn, на Tn є обмеженою за
варiацiєю, а тому можна вказати таку пiдпослiдовнiсть {µmk
}∞k=1, а отже i пiдпо-
слiдовнiсть {umk
}∞k=1, що µmk
слабко збiгається до деякого заряду µ, тобто
lim
k→∞
∫
Tn
g(w)umk
(w)dσn(w) =
∫
Tn
g(w)dµ(w)
для будь-якої функцiї g ∈ C(Tn).
Зокрема, згiдно з (21)∫
Tn
C(z,w)dµ(w) = lim
k→∞
∫
Tn
C(z,w)umk
(w)dσn(w) =
= lim
k→∞
f(%nk
z) = f(z) ∀ z ∈ Dn.
Теорему доведено.
Зауважимо, що при доведеннi необхiдностi умов теореми 3, а саме, спiввiд-
ношення (31), доведено одне твердження, яке є цiкавим у задачах наближення
iнтегралiв типу Кошi – Стiльтьєса в багатовимiрному випадку прямокутними ча-
стинними сумами кратних рядiв Тейлора. Для формулювання цього твердження
введемо такi позначення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 537
Нехай m — мультиiндекс, m = (m1, . . . ,mn), N0 := N∪{0}, Nn
0 := N0 × . . . N0︸ ︷︷ ︸
n
(згiдно з попереднiми позначеннями Nn
0 = Zn
N ) i
S�
m(f)(z) =
0, min
1≤j≤n
mj = −1,
m1∑
k1=0
. . .
mn∑
kn=0
f̂(k1, . . . , kn)zk1
1 . . . zkn
n , m ∈ Nn
0 .
Нехай, далi, r = (r1, . . . , rn), rj > 0, j = 1, n, i Tn
r := {w ∈ Cn : |w1| =
= r1, . . . , |wn| = rn}. Через C(Tn
r ) позначимо простiр неперервних на Tn
r функцiй
з нормою
‖f‖
C(Tn
r )
:= max
w∈Tn
r
|f(w)|.
Теорема 8. Нехай n ∈ N, r = (r1, . . . , rn) i rj ∈ [0, 1), j = 1, n. Тодi
sup
f=K(dµ),
|µ|(Tn)≤1
‖f − S�
m(f)‖
C(Tn
r )
=
n∏
j=1
(1− rj)−1, min
1≤j≤n
mj = −1,
Θ(r, n)
∑
γ∈N\∅
∏
j∈γ
r
mj+1
j , m ∈ Nn
0 ,
(34)
де Θ(r, n) — константа, залежна тiльки вiд параметрiв r та n так, що
n∏
j=1
(1 + rj)−1 ≤ Θ(r, n) ≤
n∏
j=1
(1− rj)−1.
Доведення теореми 8. Оцiнка зверху величини, що знаходиться в лiвiй частинi
(34), в першому випадку випливає iз спiввiдношення
|f(z)| = |K(dµ)(z)| ≤
∫
Tn
|C(z,w)|d|µ|(w) ≤ |µ|(Tn) max
w∈Tn
|C(z,w)| ∀ z ∈ Dn.
У другому випадку верхня оцiнка доводиться так, як спiввiдношення (31), iз фор-
мальною замiною zN+1
j на z
mj+1
j .
Для оцiнки знизу розглянемо функцiю
f∗(z) := C(z,1) =
n∏
j=1
(1− zj)−1, 1 :=
(
1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸
n
)
,
яка зображується iнтегралом типу Кошi – Стiльтьєса K(dδn), в якому δn =δ×. . .×δ︸ ︷︷ ︸
n
— добуток одновимiрних дельта-мiр Дiрака на T, зосереджених в точцi w = 1.
У першому випадку спiввiдношень (34) оцiнка знизу є очевидною. У другому
випадку згiдно з (29)
f∗(z)− S�
m(f∗)(z) =
n∏
j=1
(1− zj)−1
∑
γ∈N\∅
(−1)#γ+1
∏
j∈γ
z
mj+1
j ∀ z ∈ Dn.
Отже, для даного мультиiндексу m, вибравши точку ζ = (ζ1, . . . , ζn) ∈ Dn так,
щоб ζ
mj+1
j = −r
mj+1
j , одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
538 В. В. САВЧУК
‖f∗ − S�
m(f∗)‖C(Tn
r )
≥
n∏
j=1
|1− ζj |−1
∣∣∣∣∣∣
∑
γ∈N\∅
(−1)#γ+1
∏
j∈γ
ζ
mj+1
j
∣∣∣∣∣∣ ≥
≥
n∏
j=1
(1 + rj)−1
∑
γ∈N\∅
∏
j∈γ
r
mj+1
j .
Теорему доведено.
У контекстi теореми 7 наведемо деякi достатнi умови для можливостi зобра-
ження голоморфних функцiй, визначених тiльки в однiй з областей Dn
α, α ∈ N,
iнтегралами типу Кошi – Стiльтьєса.
Позначимо через {χj}n
j=1 набiр функцiй χj : Cn × Cn → Cn, якi дiють за
правилом
χj(w, z) = (w1, . . . , wj−1, zj , wj+1, . . . , wn).
Теорема 9. Нехай n ∈ N, β ∈ N, f ∈ Hol(Dn
β). Функцiю f можна зобразити
у виглядi f = K(dµ), де µ — деякий заряд на Tn, якщо знайдеться функцiя g,
визначена в областi Ωn, така, що:
1) g(∞α, zα) = 0 ∀ zα ∈ C#α \ T#α ∀ α ∈ N \∅ i g|Dn
β
= 0;
2) функцiя g є голоморфною принаймнi за однiєю змiнною;
3) для деякого iндексу j ∈ γ, де γ — множина iндексiв тих змiнних, за якими
функцiя g є голоморфною, g(χj(w, z)) = 0 ∀ w ∈ Ωn ∀ z ∈ Dn
β ;
4) sup
0≤%<1
∫
Tn
∣∣∣∣f(%z
β
, %−1z
β
) +
∑
α∈N\β
(−1)#β−#αg(%zα, %−1zα)
∣∣∣∣dσn(z) < ∞.
Умови, наведенi у цьому твердженнi, на думку автора, є дещо простiшими з
точки зору перевiрки їх виконання, нiж умови, наведенi в теоремi 7. Йдеться,
насамперед, про умови 2 i 3, оскiльки умови 1 та 4 послабити не можна — згiдно з
теоремою 1 вони є необхiдними. Зауважимо також, що у випадку, коли функцiя g
є голоморфною за всiма змiнними, умова 3 є несуттєвою i нею можна знехтувати.
Доведення теореми 9. Для спрощення викладок будемо вважати, що β = N i,
отже, Dn
β = Dn. Нехай g — функцiя, яка задовольняє всi умови теореми. Покладемо
u%(z) := f(%z) +
∑
α∈N\N
(−1)n−#αg(%zα, %−1zα).
Оскiльки згiдно з умовою 4 сiм’я {u%}0≤%<1 є обмеженою в L1(Tn), то сiм’я
абсолютно неперервних на Tn зарядiв {µ%}0≤%<1, µ%(E) =
∫
E
u%dσn, є обмеженою
за варiацiєю, а тому (див. доведення достатностi теореми 1) можна вказати таку
послiдовнiсть {%j}∞j=1, %j → 1−, j →∞, що µ%j
при j →∞ буде слабко збiгатися
до деякого заряду µ, тобто
lim
j→∞
∫
Tn
hu%j dσn =
∫
Tn
hdµ
для будь-якої функцiї h ∈ C(Tn).
Зокрема, ∫
Tn
C(z,w)dµ(w) = lim
j→∞
∫
Tn
C(z,w)u%j
(w)dσn(w) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 539
= lim
j→∞
(∫
Tn
C(z,w)f(%jw)dσn(w) +
+
∑
α∈N\N
(−1)n−#α
∫
Tn
C(z,w)g(%jwα, %−1
j wα)dσn(w)
)
=
= lim
j→∞
f(%jz) = f(z) ∀ z ∈ Dn. (35)
Справдi, оскiльки
C(z,w) =
∑
k∈Nn
0
zkw
k ∀ z ∈ Dn ∀ w ∈ Tn,
то ∫
Tn
C(z,w)g(%wα, %−1wα)dσn(w) =
=
∑
k∈Nn
0
zk
∫
Tn
wkg(%wα, %−1wα)dσn(w). (36)
Далi, припускаючи, що функцiя g є голоморфною за j-ю змiнною, згiдно з
умовою 3 для даного α ∈ N \ N будемо мати рiвнiсть
g(%wα, %−1wα) =
0, α 3 j,
∞∑
k=1
ak(α, %,w′)%kw−k
j , α 63 j,
∀ w ∈ Tn,
в якiй w′ = (w1, . . . , wj−1, wj+1, . . . , wn), ak(α, %,w′) — коефiцiєнти, залежнi вiд
α, % i w′.
На основi цiєї рiвностi∫
Tn
wkg(%wα, %−1wα)dσn(w) =
=
∫
Tn
wk
( ∞∑
l=1
al(α, %,w′)%lw−l
j
)
dσn(w) =
=
∞∑
l=1
%l
∫
Tn
al(α, %,w′)wkw−l
j dσn(w) = 0 ∀ k ∈ Nn
0 ∀ α ∈ N \ N .
Пiдставляючи знайдене значення iнтеграла в (36), одержуємо рiвнiсть (35).
Теорему доведено.
Деякi застосування. У зв’язку з теоремою 3 наведемо умови, за яких функцiю,
голоморфну в Ωn або в ∆n, можна зобразити iнтегралом типу Кошi – Стiльтьєса
борелiвської мiри класу RP (Ωn) або RP (∆n) вiдповiдно. Цей клас мiр вiдiграє
важливу роль у комплексному аналiзi i, зокрема, в теорiї голоморфних функцiй
багатьох змiнних (див., наприклад, [11, 16]).
Означення 1. Нехай n ∈ N, X = Tn ∨ Rn, Y := Zn
+ ∪ (−Zn
+) ∨ Rn
+ ∪ (−Rn
+).
Борелiвська мiра µ на X належить класовi RP (X), якщо |µ|(X) < ∞ i µ̂(x) = 0
для всiх x 6∈ Y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
540 В. В. САВЧУК
Теорема D. Нехай n ∈ N i f ∈ Hol(Dn). Наступнi твердження є рiвносиль-
ними:
1) f = K(dµ)− f(0), де µ — борелiвська мiра класу RP (Tn);
2) Re f ≥ 0.
Доведення цього твердження можна провести, зокрема, за схемою доведення
теореми 3, однак ця методика в даному випадку виявляється недосконалою —
доведення видається надто громiздким. Мабуть, найкращий варiант доведення
теореми D, напрочуд простого та елегантного, належить авторам роботи [7].
Наша методика виявляється дiєвiшою в застосуваннях до функцiй, голоморфних
в ∆n. А саме, при доведеннi наступного твердження, яке не є цiлковитим аналогом
теореми D, оскiльки виявляє залежнiсть характеризацiї множини iнтегралiв типу
Кошi – Стiльтьєса мiр класу RP (Rn) вiд вимiру n.
Теорема 10. Нехай n ∈ N i f ∈ Hol(Hn). Наступнi твердження є рiвносиль-
ними:
1) f = K(dµ), де µ — борелiвська мiра класу RP (Rn);
2) Re((−i)nf) ≥ 0 i виконується (10).
Доведення теореми 10. 1) ⇒ 2). Очевидно, якщо f(z) = K(dµ)(z), то f(z) =
= K(dµ)(z).
Крiм цього, для будь-якого α ∈ N \ (∅ ∪N )
K(dµ)(z) = 0 ∀ z ∈ Hn
α,
де
Hn
α := {z ∈ Cn : Im zj > 0, j ∈ α ∧ Im zj < 0, j ∈ α}.
Справдi, оскiльки для будь-якого α ∈ N \ (∅ ∪N )
C(z,w) = (−1)n−#α in
∫
Rn
α
ei(z,t)e−i(w,t)dmn(t) ∀ z ∈ Hn
α ∀ w ∈ Rn,
де
Rn
α := {x ∈ Rn : xj > 0, j ∈ α ∧ xj < 0, j ∈ α},
то для будь-якого α ∈ N \ (∅ ∪N )
K(dµ)(z) = (−1)n−#α in
∫
Rn
α
ei(z,t)d̂µ(t)dmn(t) = 0 ∀ z ∈ Hn
α. (37)
Отже, згiдно з (13) i (37)
2−n+1 Re ((−i)nf(z)) = (2i)−n
(
f(z) + (−1)nf(z)
)
=
= (2i)−n (K(dµ)(z) + (−1)nK(dµ)(z)) =
= (2i)−n
(∑
α∈N
(−1)n−#αK(dµ)(zα, zα)
)
= P(dµ)(z) ≥ 0 ∀ z ∈ Hn.
Виконання умови (10) є зрозумiлим (див. доведення теореми 2).
2) ⇒ 1). Розглянемо функцiю g, визначену в ∆n за правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
ЗОБРАЖЕННЯ ГОЛОМОРФНИХ ФУНКЦIЙ БАГАТЬОХ ЗМIННИХ IНТЕГРАЛАМИ ... 541
g(z) :=
f(z), z ∈ Hn,
f(z), z ∈ Hn
∅,
0, z ∈ Hn
α, α ∈ N \ (∅ ∪N ).
Зрозумiло, що функцiя g є голоморфною в ∆n i задовольняє умову (10). Далi
(див. позначення (3)),
gy(x) = (2i)−n (g(x + iy) + (−1)ng(x− iy)) =
= (2i)−n
(
f(x + iy) + (−1)nf(x + iy)
)
=
= 2−n+1 Re ((−i)nf(x + iy)) ≥ 0 ∀ x ∈ Rn ∀ y > 0.
Отже, за теоремою 4 g = K(dµ) в ∆n, де µ — деяка борелiвська мiра на Rn,
така, що |µ|(Rn) < ∞.
Переконаємось у тому, що µ ∈ RP (Rn). Справдi, 0 = g(z) = K(dµ)(z) для всiх
z ∈ Hn
α, α ∈ N \ (∅ ∪N ), тому згiдно з (37) i означенням функцiї g для таких z
0 =
∫
Rn
α
ei(z,t)d̂µ(t)dmn(t) =
∫
Rn
α
ei(x,t)e−(y,t)d̂µ(t)dmn(t),
де x = (Re z1, . . . ,Re zn), y = (Im z1, . . . , Im zn).
Iнтегруючи останню рiвнiсть по мiрi µ на Rn i змiнюючи порядок iнтегрування
в повторному iнтегралi, отримуємо
0 =
∫
Rn
0 · dµ =
∫
Rn
∫
Rn
α
ei(x,t)e−(y,t)d̂µ(t)dmn(t)
dµ(x) =
=
∫
Rn
α
e−(y,t)d̂µ(t)
∫
Rn
ei(x,t)dµ(x)
dmn(t) =
=
∫
Rn
α
e−(y,t)|d̂µ(t)|2dmn(t) ∀ y ∈ Rn
α ∀ α ∈ N \ (∅ ∪N ),
звiдки випливає, що µ̂(t) = 0 для всiх t ∈
⋃
α∈N\(∅∪N )
Rn
α, тобто µ ∈ RP (Rn).
Теорему доведено.
1. Shohat J. A., Tamarkin J. D. The problem of moments // Amer. Math. Soc. Math. Surv. – New York,
1943. – Vol. 2. – 140 p.
2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. –
М.: Наука, 1966. – 544 с.
3. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – М.:
Наука, 1973. – 552 с.
4. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
– 623 с.
5. Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. – Новосибирск: Наука, 1990. –
248 с.
6. Levin B. Ya. Lectures on entire functions // Transl. Math. Monogr. – Providence, Rhode Island:
AMS, 1996. – 150. – 248 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
542 В. В. САВЧУК
7. Koranyi A., Pukansky J. Holomorphic functions with positive real part in polycylinder // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1963. – 108. – P. 449 – 456.
8. Владимиров В. С., Дрожжинов Ю. В. Голоморфные функции в поликруге с неотрицательной
мнимой частью // Мат. заметки. – 1974. – 15, № 1. – С. 55 – 61.
9. Айзенберг Л. А., Даутов Ш. А. Голоморфные функции многих комплексных переменных с
неотрицательной действительной частью. Следы голоморфных и плюригармонических функ-
ций на границе Шилова // Мат. сб. – 1976. – 99, № 3. – С. 342 – 355.
10. Косбергенов С., Кытманов А. М. Обобщение формул Шварца и Рисса – Херглотца в областях
Рейнхарда // Изв. вузов. Математика. – 1984. – № 10. – С. 60 – 63.
11. Владимиров В. С., Сергеев А. Г. Комплексный анализ в трубе будущего // Итоги науки и тех-
ники. Совр. пробл. математики (фундам. направления) / ВИНИТИ. – 1985. – 8. – С. 191 – 266.
12. Тумаркин Г. Ц. Об интегралах типа Коши – Стилтьеса // Успехи мат. наук. – 1956. – 11, № 4. –
С. 163 – 166.
13. Duren P. Theory of Hp spaces. – New York: Acad. Press, 1970. – 258 p.
14. Хейман У., Кенеди П. Субгармонические функции. – М.: Мир, 1980. – 304 с.
15. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. –
520 с.
16. Рудин. У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 с.
17. Hille E., Tamarkin J. D. On absolute integrability of Fourier transforms // Fund. math. – 1935. – 25.
– P. 329 – 352.
18. Евграфов М. А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1991. – 448 c.
19. Знаменская Л. Н. Обобщение теоремы Ф. и М. Риссов и формулы Карлемана // Сиб. мат.
журн. – 1988. – 29, № 4. – С. 75 – 79.
20. Знаменская Л. Н. Многомерные аналоги теоремы Ф. и М. Риссов и формулы Карлемана //
Изв. вузов. Математика. – 1989. – № 7. – С. 67 – 69.
21. Рогинская М. М. Два многомерных аналога теоремы Ф. и М. Риссов // Зап. науч. сем. Петербург.
отд-ния Мат. ин-та РАН. – 1998. – 255. – С. 16 – 176.
Одержано 21.03.2005
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 4
|