Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве
На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцi...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164977 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.А. Покутный // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 163-174. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860114825927983104 |
|---|---|
| author | Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. Покутный, А.А. |
| author_facet | Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. Покутный, А.А. |
| citation_txt | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.А. Покутный // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 163-174. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцiя дозволяє отримати критерiй розв’язностi та формулу для зображення загального розв’язку лiнiйних нормально розв’язних операторних рiвнянь.
On the basis of generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear bounded normally solvable operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse operator of a linear bounded normally solvable operator whose kernel and image can be complemented in the indicated spaces. The proposed construction enables one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general solutions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:36:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.983
А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, А. А. Покутный (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
On the basis of a generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear, bounded, normally solvable
operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse for a linear, bounded,
normally solvable operator whose kernel and image are complementable in the indicated spaces. This construction allows
one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general
solutions.
На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв
у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого
нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцiя дозволяє отримати
критерiй розв’язностi та формулу для зображення загального розв’язку лiнiйних нормально розв’язних операторних
рiвнянь.
Многочисленные задачи теории функционально-дифференциальных уравнений и краевых за-
дач для них [1, 2] могут быть записаны в виде линейного операторного уравнения Lz = f
с ограниченным оператором. Такая запись позволяет сосредоточиться на общих закономер-
ностях, присущих каждому классу задач. В случае, когда оператор L всюду и однозначно
разрешим, т. е. когда существует ограниченный обратный оператор L−1, такие уравнения хо-
рошо изучены. Если же оператор L не является всюду разрешимым, возникают задачи об
обобщенном обращении операторов в функциональных пространствах [1]. Известно [3, 4], что
при построении обобщенно-обратных операторов к нормально разрешимым классическая кон-
струкция Э. Шмидта применима лишь для фредгольмовых операторов. Поэтому актуальной
является задача о возможности построения ограниченных обобщенно-обратных операторов к
различным классам линейных ограниченных нефредгольмовых операторов в банаховых про-
странствах. Так, в [5] с использованием теоремы Ф. В. Аткинсона [3], которая описывает
класс нетеровых операторов и обобщает известную теорему С. М. Никольского [6], получе-
на конструкция обобщенно-обратного оператора к нетеровому. Однако она не охватывает все
множество обобщенно-обратимых операторов [7]. В работе выделен класс ограниченных опе-
раторов, действующих в бесконечномерных банаховых пространствах, для которых удается
построить конструкцию ограниченного обобщенно-обратного оператора, аналогичную извест-
ной конструкции Э. Шмидта.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
Lz = f (1)
в предположении, что L — линейный ограниченный оператор, действующий из банахова про-
странства B1 в банахово пространство B2, L : B1→ B2.
Пусть ядро N(L) и образ R(L) оператора L дополняемы [8, 9] в банаховых пространствах
B1 и B2 соответственно. Это значит [7, с. 139], что оператор L обобщенно обратим. С каждой
c© А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2 163
164 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
парой взаимно дополняемых пространств связаны ограниченные проекторы [8] PN(L) и PR(L),
которые индуцируют разбиение B1 и B2 в прямые топологические суммы
B1 = N(L)⊕X ,
B2 = Y ⊕R(L),
(2)
PN(L) : B1→ N(L), PR(L) : B2→ R(L). Дополнительные проекторы на подпространства X и Y
соответственно будем обозначать PX = IB1−PN(L) и PY = IB2−PR(L).
Известно [8, c. 73], что если подпространство X1 дополняемо подпространством X2 в бана-
ховом пространстве B, то оно имеет бесконечно много различных дополнений X̃2. С каждой
парой взаимно дополняемых подпространств связан ограниченный проектор PX1 . Норма про-
ектора может служить оценкой „качества” дополнения: чем больше ‖PX1‖, тем „хуже” допол-
нение. Описание ограниченных проекторов P̃X1 в общем виде, порождающих это множество
дополнений, дается в лемме А. Собчика [8, c. 80].
В дальнейшем класс линейных ограниченных обобщенно-обратимых операторов, действу-
ющих из банахова пространства B1 в банахово пространство B2, будем обозначать GI(B1,B2).
Очевидно, что оператор из GI(B1,B2) является нормально разрешимым.
Ставится задача о нахождении условий существования и построении ограниченного обоб-
щенно-обратного оператора L− к оператору L ∈ GI(B1,B2), установлении критерия разреши-
мости и представлении решений уравнения (1).
Вспомогательный результат. Поставленная задача будет рассматриваться в предположе-
нии, что выполнено одно из следующих условий:
1. Подпространство N(L) линейно изоморфно дополняемому в Y подпространству Y1,
N(L) ∼= Y1 ⊂ Y.
Это значит, что существуют линейный ограниченный обратимый оператор J1 : N(L)→ Y1
такой, что J1N(L) = Y1, J−1
1 Y1 = N(L), и ограниченный проектор PY1 : B2→ B2, разбивающий
подпространство Y в прямую сумму замкнутых подпространств
Y = Y1⊕Y2, (3)
где Y1 = PY1B2, Y2 = PY2B2, PY2 = (PY −PY1) — ограниченный проектор. В этом случае
справедливы следующие разложения для тождественных операторов:
IB1 = PN(L)+PX ,
IB2 = PY1 +PY2 +PR(L)
(4)
пространств B1 и B2 соответственно.
2. Подпространство Y линейно изоморфно дополняемому в N(L) подпространству N1(L),
Y ∼= N1(L) ⊂ N(L).
В этом случае существуют линейный ограниченный обратимый оператор J2 : N1(L)→ Y
такой, что J2N1(L)=Y, J−1
2 Y =N1(L), и ограниченный проектор PN1(L) : B1→B1, разбивающий
подпространство N(L) в прямую сумму замкнутых подпространств
N(L) = N1(L)⊕N2(L),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 165
где N1(L) =PN1(L)B1, N2(L) =PN2(L)B1, PN2(L) =PN(L)−PN1(L) — ограниченный проектор.
В этом случае имеем два разложения
IB1 = PN1(L)+PN2(L)+PX ,
IB2 = PY +PR(L).
3. Подпространство N(L) линейно изоморфно подпространству Y, N(L)∼= Y.
В этом случае существует линейный ограниченный обратимый оператор J3 : N(L) → Y
такой, что J3N(L) = Y, J−1
3 Y = N(L).
Продолжим нулем операторы J1 и J3 на подпространстве X , а J2 на подпространстве X ⊕
⊕N2(L) и обозначим расширения операторов Ji, i = 1,2,3, на пространство B1 через PY1 : B1→
→ Y1 ⊆ Y. Аналогично продолжим нулем оператор J−1
1 на подпространстве Y2⊕R(L), а опера-
торы J−1
2 , J−1
3 на подпространстве R(L) и обозначим через PN1(L) : B2→ N1(L)⊆ N(L) расши-
рения операторов J−1
i , i = 1,2,3, на пространство B2. В случае 3 Y1 ≡Y, N1(L)≡N(L) и поэтому
PY1 ≡PY , PN1(L) ≡PN(L).
Лемма 1. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено одно из условий 1 или 2. Тогда
оператор L = L+PY1 имеет ограниченный односторонне обратный
L−1
l,r =
{
(L+PY1)
−1
l − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(L+PY )
−1
r − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y.
Общий вид односторонне обратных операторов L−1
l0,r0
задается формулой
L−1
l0,r0
=
{
L−1
l (IB2−P̃Y2) − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(IB1−P̃N2(L))L
−1
r − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y,
где P̃N2(L) : B1→ N2(L) и P̃Y2 : B2→ Y2− произвольные ограниченные проекторы.
Доказательство. Пусть, например, N(L) изоморфно подпространству Y1 ⊂Y. Покажем, что
оператор L+PY1 имеет ограниченный левый обратный. Для этого необходимо и достаточно
показать, что [7, c. 61]:
i) N(L) = N(L+PY1) = {0};
ii) R(L+PY1) дополняемо в B2.
Покажем это.
i) Пусть существует элемент z0 ∈ B1, z0 6= 0, такой, что
(L+PY1)z0 = Lz0 +PY1z0 = 0. (5)
Из (5) следует, что
Lz0 ∈ R(L), PY1z0 ∈ Y1.
Подпространства R(L) и Y взаимно дополняют друг друга, Y1⊂Y, следовательно, R(L)
⋂
Y1 =
= {0}. Таким образом, они имеют только один общий элемент — нулевой, Lz0 = 0 и PY1z0 = 0,
т. е. z0 ∈N(L) и z0 ∈N(PY1)⊂ X одновременно. Подпространства N(L) и X взаимно дополняют
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
166 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
друг друга. Следовательно, N(L)
⋂
X = {0}. Отсюда следует, что z0 = 0. Полученное противо-
речие доказывает, что N(L+PY1) = {0}.
ii) Дополняемость R(L+PY1) следует из ограниченности проектора PY2 и соотношения (3).
Таким образом, оператор L+PY1 имеет левый обратный.
Известно [7], что левые обратные операторы в общем виде записываются следующим об-
разом: L−1
l0 = L−1
l PR(L), где PR(L) — некоторый проектор со свойством R(PR(L)) = R(L). Как
следует из (4), таким свойством обладает проектор IB2 − P̃Y2 , т. е. R(IB2 − P̃Y2) = R(L), где
P̃Y2 : B2 → Y2 — ограниченный проектор, построенный в общем виде. Отсюда следует, что
общее представление левых обратных операторов таково:
L−1
l0 = L−1
l (IB2−PỸ2
).
В случае, когда Y изоморфно подпространству N1(L)⊂N(L), имеем Y1≡Y и PY1 ≡PY . Для
существования ограниченного правого обратного оператора к оператору L+PY необходимо и
достаточно показать, что [7, c. 62]:
i) R(L) = R(L+PY ) = B2;
ii) N(L+PY ) дополняемо в B1.
Для этого случая доказательство аналогично проведенному выше.
Замечание 1. Если оператор L∈GI(B1,B2) нетеров (ind L= dimker L−dimker L∗ 6= 0<∞),
то лемма 1 переходит в лемму 2.4 из [5, c. 47; 2].
Замечание 2. В отличие от конечномерного случая, когда ядро и коядро оператора L ко-
нечномерны, для ограниченности односторонне обратного оператора L−1
l0,r0
в бесконечномерном
случае требования дополняемости нуль-пространства N(L) и образа R(L) оказывается недоста-
точно, так как ядро и образ оператора L могут оказаться недополняемыми. Поэтому дополняе-
мость подпространств Y1, N1(L) в Y и N(L), соответственно, является существенным условием
и выполняется в банаховых пространствах далеко не всегда (в отличие от гильбертовых, име-
ющих ортогональное дополнение к любому подпространству).
В качестве иллюстрации приведем следующий пример.
Пример 1. Рассмотрим оператор Pnz = (z1,z2, . . . ,zn,0,0, . . .), где z = (z1,z2, . . . ,zn, zn+1, . . .),
действующий на конечномерное подпространство бесконечномерного банахового простран-
ства, Pn : lp→ lq, где p < q, p,q∈ [1;+∞], p 6= 2. Линейность и ограниченность такого оператора
очевидна. Ядро N(Pn) оператора Pn состоит из всех векторов пространства lp, у которых первые
n координат равны нулю. Очевидно, что бесконечномерное подпространство N(Pn) дополняемо
в пространстве lp. Его дополнением служит изоморфное Rn подпространство, состоящее из
элементов, у которых все координаты, начиная с (n+1)-й, равны нулю. Известно [8], что бес-
конечномерное подпространство X пространства lp дополняемо тогда и только тогда, когда оно
изоморфно lp. Отсюда, в частности, следует, что lp не дополняемо в lq. Множество значений
оператора Pn, очевидно, изоморфно Rn, и, следовательно, дополняемо в lq. Его дополнением
является подпространство, изоморфное lq. На основании изложенного выше можно сделать
вывод о том, что оператор Pn индуцирует следующие разбиения подпространств lp и lq :
lp = N(Pn)⊕X ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 167
lq = Y ⊕R(Pn),
где подпространство N(Pn) изоморфно lp, а подпространство Y изоморфно lq. Таким образом,
подпространство N(Pn) изоморфно недополняемому в Y подпространству Y1.
Лемма 2. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено условие 3. Тогда оператор
L = L+PY имеет ограниченный обратный
L−1
= (L+PY )
−1
.
Доказательство. Поскольку N(L) изоморфно Y, по лемме 1 существуют ограниченный
левый и правый обратный операторы к оператору L. Отсюда следует, что существует ограни-
ченный обратный оператор L−1
.
Замечание 3. Если оператор L ∈ GI(B,B) действует из банахова пространства B в себя и
N(L) изоморфно Y, то он называется приводимо-обратимым и доказанная лемма переходит в
теорему 1.6 из [11, с. 28].
Замечание 4. Если оператор L∈GI(B1,B2) фредгольмов (indL = 0), то лемма 2 переходит
в известную лемму Е. Шмидта [4, с. 340].
Основной результат.
Теорема 1. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено одно из условий 1 или 2. Тогда
оператор
L− =
{
(L+PY1)
−1
l −PN(L) − левый, если N(L)∼= Y1 ⊂ Y,
(L+PY )
−1
r −PN1(L) − правый, если N(L)⊃ N1(L)∼= Y,
(6)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
Общий вид обобщенно-обратных операторов L−0 к оператору L дается формулой
L−0 = (IB1−P̃N(L))L
−(IB2−P̃Y ),
где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y — произвольные бесконечномерные ограниченные проек-
торы.
Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо и достаточно проверить, что L−
удовлетворяет равенству [7, c. 140]
L = LL−L. (7)
Пусть, для определенности, N(L) изоморфно подпространству Y1 ⊂ Y. Тогда существует
левый обратный оператор L−1
l0 . Предварительно покажем, что
LL−1
l0 = IB2−PY . (8)
Действительно, поскольку PY PY1 = PY1 и PY (Lz) = 0, так как Lz ∈ R(L), подействовав
справа оператором L+PY1 на обе части равенства (8), получим тождество, доказывающее это
соотношение:
L = L(IB1−PN2(L)) = LL−1
l0 L≡ (IB2−PY )(L+PY1) = L+PY1−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
168 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
−PY L−PY PY1 = L+PY1−PY1 = L.
Далее покажем, что
LL− = IB2−PY . (9)
Так как LPN1(L) = 0, используя равенство (8) и представление (6), получаем
LL− = L(L−1
l0 −PN1(L)) = LL−1
l0 −LPN1(L) = IB2−PY .
С учетом (9) проверим выполнение соотношения (7). Имеем
LL−L = (IB1−PY )L = L−PY L = L,
так как PY L = 0. Ограниченность оператора L− следует из ограниченности оператора L−1
l0,r0
и
оператора PN1(L).
Из теоремы 5.2 [7, c. 140] следует, что обобщенно-обратные операторы L−0 в общем виде
записываются так: L−0 = P1L−P2, где произвольные ограниченные проекторы P1 и P2 удо-
влетворяют свойствам (IB1−P1)B1 = N(L), P2B2 = R(L). В качестве таких проекторов можно
взять проекторы IB1−P̃N(L) и IB2−P̃Y , где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→Y — произвольные
ограниченные бесконечномерные проекторы, построенные в общем виде.
В случае, когда Y изоморфно подпространству N1(L)⊂ N(L), теорема доказывается анало-
гично.
Замечание 5. Если оператор L ∈ GI(B1,B2) имеет конечномерные ядро и коядро, т. е.
является нетеровым, то конструкция (6) переходит в конструкцию (2.14) из [5, c. 53; 2].
В связи с множественностью дополнений, о которой шла речь в начале работы, обобщенно-
обратный оператор L− определяется неоднозначно. С каждой парой ограниченных проекторов
PN(L) и PY связан свой обобщенно-обратный оператор.
Замечание 6. Если PN(L) : B1→ N(L) и PY : B2→ Y — ограниченные проекторы и L− —
некоторый связанный с ними обобщенно-обратный оператор к оператору L, такой, что LL− =
= IB2 −PY , L−L = IB1 −PN(L), то любой другой обобщенно-обратный к L оператор L̃− (свя-
занный с проекторами P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y ) имеет вид
L̃− = (IB1 +PN(L)−P̃N(L))L
−(IB2 +PY −P̃Y ),
где R(P̃N(L)) = R(PN(L)) = N(L), R(P̃Y ) = R(PY ) = R(L), IB1 , IB2 — тождественные операторы
в пространствах B1,B2 соответственно [12, c. 827].
Для случая, когда N(L) изоморфно Y, имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть L принадлежит GI(B1,B2) и выполнено условие 3. Тогда оператор
L− = (L+PY )
−1−PN(L) = L−1−PN(L) (10)
является ограниченным обобщенно-обратным к оператору L.
Общий вид обобщенно-обратных операторов L−0 к оператору L дается формулой
L−0 = (IB1−P̃N(L))L
−(IB2−P̃Y ),
где P̃N(L) : B1→ N(L) и P̃Y : B2→ Y — произвольные ограниченные бесконечномерные проек-
торы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 169
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
Замечание 7. Если оператор L ∈ GI(B1,B2) имеет конечномерные ядро и коядро и
dimN(L) = dimN(L∗), т. е. он является фредгольмовым, то конструкция (10) переходит в кон-
струкцию из [4, c. 340].
Далее получим условия разрешимости и представление общего решения операторного урав-
нения (1).
Из (3) следует, что общее решение операторного уравнения (1) с линейным ограниченным
обобщенно-обратимым оператором L представляет собой прямую сумму
z = z̃+ z̄
общего решения z̃ соответствующего (1) однородного уравнения Lz = 0 и частного решения
z̄ = L− f неоднородного уравнения (1).
Поскольку оператор L принадлежит GI(B1,B2), линейное операторное уравнение (1) явля-
ется нормально разрешимым, и для его разрешимости [10] необходимо и достаточно, чтобы
элемент y∈B2 принадлежал образу R(L) оператора L. Поскольку R(L) = N (PY ), из (2) следует,
что y ∈ B2 будет принадлежать образу R(L) оператора L тогда и только тогда, когда
PY f = 0. (11)
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть L принадлежит GI(B1,B2). Операторное уравнение (1) разрешимо
для тех и только тех y ∈ B2, для которых выполняется условие (11), и при этом оно имеет
семейство решений
z = PN(L)ẑ+L− f , (12)
где PN(L)ẑ — общее решение соответствующего (1) однородного уравнения Lz = 0, ẑ — произ-
вольный элемент банахового пространства B1, L− f — частное решение операторного урав-
нения (1), L− — ограниченный обобщенно-обратный оператор к оператору L.
Доказательство. Подставив решение (12) в исходное уравнение (1), с учетом соотношений
(9) и (11) получим
Lz = LPN(L)ẑ+LL− f = LL− f = (IB2−PY ) f =
= IB2 f −PY f = IB2 f = f ,
так как LPN(L) = 0, а PY f = 0 по условию теоремы.
Теорема доказана.
Об аналитическом представлении проекторов. Проекторы, используемые в данной ста-
тье, могут быть представлены аналитически, если банаховы пространства B1 и B2 имеют
топологические базисы. Для определенности предположим, что пространство B1 имеет базис
Шаудера. Тогда подпространство N(L) также имеет базис Шаудера.
Напомним, что последовательность { fn,n∈N} векторов банахового пространства называет-
ся базисом Шаудера или топологическим базисом этого пространства, если каждый его вектор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
170 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
z однозначно раскладывается в ряд z = ∑
∞
n=1 λn fn, сходящийся по норме. Такое пространство
обязательно сепарабельное.
Проектор PN(L) может быть представлен с помощью биортогональной системы функцио-
налов к элементам базиса, которая существует в силу минимальности базисной системы [15].
Пусть последовательность { fi}, i ∈ N, является базисом N(L), а γi ∈ (B1)
∗ — соответствующая
ей биортогональная система линейных непрерывных функционалов γi( f j) = δi j, i, j ∈ N. Тогда
PN(L)z = lim
n→∞
PN(n)(L)z,
где PN(n)(L) — монотонная последовательность проекторов на подпространства N(n)(L)⊂ N(L),
PN(n)(L)z = ∑
n
i=1 γi(z) fi, n = 1,2,3, . . . .
Аналогично могут быть найдены и другие проекторы в случае существования базиса Ша-
удера (являющегося одновременно и минимальной системой) в соответствующих простран-
ствах.
Отметим, что любое сепарабельное гильбертово пространство имеет базис Шаудера, како-
вым является каждая тотальная ортонормированная система векторов (в то время как среди
сепарабельных банаховых пространств встречаются не имеющие топологического базиса).
В случае, когда пространства B1 и B2 гильбертовы и ядро обладает минимальной ортого-
нальной системой { fα ,α ∈ A}, проектор на нуль-пространство L имеет вид
PN(L)z = ∑
α∈A
( f ∗α ,z) fα ,
где f ∗α : ( f ∗α , fβ ) = δαβ , A — множество произвольной мощности [13, c. 239].
Если гильбертово пространство сепарабельно, то условие минимальности системы векторов
{ fi, i ∈ N} эквивалентно следующему [14]: для любого j величина
δ
2
j = lim
n→∞
Γ ( f j, f j+1, . . . , fn)
Γ ( f j+1, f j+2, . . . , fn)
> 0,
где Γ (g1,g2, . . . ,gn) — определитель Грама системы векторов {gi}n
i=1.
В этом случае проектор на нуль-пространство N(L) можно найти следующим образом:
PN(L)z = lim
n→∞
PN(n)(L)z,
где
PN(n)(L)z =
n
∑
i, j=1
α
(−1)
i j ( f j,z) fi, n = 1,2,3, . . . ,
α
(−1)
i j — элементы матрицы, обратной к матрице Грама Γ ( f1, f2, . . . , fn). Существование предела
и то, что так определяемый оператор будет проектором, следует из теоремы 7 [15, c. 230] в силу
монотонности последовательности проекторов PN(n)(L)z. В случае, когда N(L) — конечномерное
подпространство, конструкция проектора переходит в известную для n-нормальных операто-
ров [16].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 171
Пример 2. Найдем условия разрешимости и общий вид решений операторного уравнения
(Lz)(t) = z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds = f (t), (13)
в котором оператор-функции
M(t) = diag{et ,et , . . . ,et ,et , . . .},
N(s) = diag{s,0,s,0, . . . ,s,0, . . .}
действуют из банахова пространства C([0,1],c) в себя с нормами |||M|||C([0,1],c)= supt∈[0,1]‖M(t)‖c,
|||N|||C([0,1],c) = supt∈[0,1]‖N(t)‖c, вектор-функция f (t) действует из отрезка [0,1] в банахово про-
странство c всех сходящихся числовых последовательностей: f (t)∈C([0,1],c) := { f (·) : [0,1]→
→ c}.
Из определения оператор-функций M(t) и N(t) следует, что
|||M|||C([0,1],c) = sup
t∈[0,1],i, j∈N
|mi j(t)|= sup
t∈[0,1]
|et | ≤ e,
|||N|||C([0,1],c) = sup
t∈[0,1],i, j∈N
|ni j(t)|= sup
t∈[0,1]
|t| ≤ 1.
Тогда
‖L‖C([0,1],c) = sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖Lz‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
=
= sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖z(t)+M(t)
∫ 1
0 N(s)z(s)ds‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖z(t)‖C([0,1],c)+‖M(t)‖C([0,1],c)
∫ 1
0 ‖N(s)‖C([0,1],c)‖z(s)‖C([0,1],c)ds
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
(1+ e)‖z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤ 1+ e.
Таким образом, оператор L является линейным ограниченным оператором, действующим
из банахового пространства непрерывных на промежутке [0,1] функций C([0,1],c) в себя.
Бесконечномерные подпространства N(L) и Y изоморфны как подпространства сепарабельного
банахового пространства C([0,1],c) [10, c. 55 ].
Используя изложенную выше теорию, построим обобщенно-обратный оператор L− к опе-
ратору L.
Для оператора L проекторы PN(L) и PYL имеют вид
(PN(L)z)(t) = X(t)
1∫
0
Γ (s)z(s)ds, (PYL f )(t) =Ψ
1∫
0
Φ(s) f (s)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
172 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
а операторы PYL и PN(L) — соответственно вид
(PYLz)(t) =Ψ
1∫
0
Γ (s)z(s)ds, (PN(L) f )(t) = X(t)
1∫
0
Φ(s) f (s)ds,
где
X(t) = diag
{
X(4×2)(t),X(4×2)(t), . . .
}
, Γ (t) = diag
{
Γ(2×4)(t),Γ(2×4)(t), . . .
}
,
X(4×2)(t) =
(
et 0 0 0
0 0 et 0
)T
, Γ(2×4)(t) =
(
t 0 0 0
0 0 t 0
)
,
Φ(t) = diag
{
Φ(2×4)(t),Φ(2×4)(t), . . .
}
, Ψ = diag
{
Ψ(4×2)(t),Ψ(4×2)(t), . . .
}
,
Φ(2×4)(t) =
(
t 0 0 0
0 0 t 0
)
, Ψ(4×2)(t) =
(
2 0 0 0
0 0 2 0
)T
,
1∫
0
Γ (s)X(s)ds = E∞,
1∫
0
Φ(s)Ψds = E∞,
E∞ — бесконечная единичная матрица.
Из ограниченности оператор-функций X(t) и Γ (t) следует ограниченность проектора PN(L) :
‖PN(L)‖C([0,1],c) = sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖PN(L)z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
=
= sup
z∈C([0,1],c),z6=0
‖X(t)
∫ 1
0 Γ (s)z(s)ds‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z 6=0
‖X(t)‖C([0,1],c)
∫ 1
0 ‖Γ (s)‖C([0,1],c)‖z(s)‖C([0,1],c)ds
‖z‖C([0,1],c)
≤
≤ sup
z∈C([0,1],c),z6=0
e
‖z‖C([0,1],c)
‖z‖C([0,1],c)
≤ e.
Аналогично убеждаемся в ограниченности проектора PY , операторов PYL и PN(L). Вслед-
ствие ограниченности проекторов PN(L) и PY нуль-пространство N(L) и подпространство Y
дополняемы в пространстве C([0,1],c). Следовательно, оператор L является обобщенно обра-
тимым. Бесконечномерные подпространства N(L) и Y изоморфны как подпространства сепа-
рабельного банахового пространства C([0,1],c) [10, c. 55].
По лемме 2 оператор
((L+PYL)z)(t) = z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds+Ψ
1∫
0
Γ (s)z(s)ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 173
= z(t)+M(t)
1∫
0
N(s)z(s)ds,
где
M(t) = diag
{
M(2×3)(t),M(2×3)(t), . . .
}
,
N(s) = diag
{
N(3×2)(s),N(3×2)(s), . . .
}
,
M(2×3)(t) =
(
et 0 −2
0 et 0
)
, N(3×2)(s) =
(
s 0 s
0 0 0
)T
,
имеет ограниченный обратный.
Оператор, обратный к оператору L = L+PYL , имеет вид
((L+PYL)
−1 f )(t) = f (t)+M(t)S−1
1∫
0
N(s) f (s)ds,
где S−1 = diag
{
S−1
(3×3),S
−1
(3×3), . . .
}
— оператор, обратный к оператору S = E∞−D,
S−1
(3×3) =
2 0 −1
0 1 0
−1 0 0
, D =
1∫
0
N(s)M(s)ds.
Тогда, использовав теорему 2, получим обобщенно-обратный оператор L− к оператору L :
(L− f )(t) = ((L+PYL)
−1−PN(L) f )(t) = f (t)+M(t)S−1
1∫
0
N(s) f (s)ds−
−X(t)
1∫
0
Φ(s) f (s)ds = f (t)+M1(t)
1∫
0
N1(s) f (s)ds,
где
M1(t) = diag
{
M(2×4)(t),M(2×4)(t), . . .
}
,
N1(s) = diag
{
N(4×2)(s),N(4×2)(s) . . .
}
;
M(2×4)(t) =
(
2(et −1) 0 −et −et
0 et 0 0
)
, N(4×2)(s) =
(
s 0 s s
0 0 0 0
)T
.
Оператор L обобщенно обратим и, следовательно, нормально разрешим. Тогда по теореме
3 при выполнении условия
(PYL f )(t) =Ψ
1∫
0
Φ(s) f (s)ds = 0 (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
174 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ, А. А. ПОКУТНЫЙ
уравнение (13) имеет решение. Условие (14) выполняется, если компоненты вектор-функции
f (t) = col( f1(t), f2(t), f3(t), . . .) удовлетворяют соотношениям
1∫
0
s f2k−1(s)ds = 0, k = 1,2,3, . . . . (15)
При выполнении условий (15) операторное уравнение (13) имеет семейство решений
z(t) = (PN(L)ẑ)(t)+(L− f )(t) = X(t)
1∫
0
Γ (s)ẑ(s)ds+ f (t)+M1(t)
1∫
0
N1(s) f (s)ds,
где ẑ(t) — произвольный элемент банахова пространства C([0,1],c).
1. Ben-Israel A., Greville T. N. E. Generalized Inverses. – Second ed. – New York: Springer, 2003.
2. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. – Utrecht;
Boston: VSP, 2004. – 317 p.
3. Аткинсон Ф. В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах // Мат. сб.
Нов. сер. – 1951. – 28, № 1. – C. 3 – 14.
4. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. – М.: Наука, 1969. – 527 с.
5. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи.
– Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 320 с.
6. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Изв. АН СССР. – 1943.
– 7, № 3. – C. 147 – 163.
7. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. –
Кишинев: Штиинца, 1973. – 426 с.
8. Кадец М. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // Успехи мат. наук. –
1973. – 28, вып. 6. – С. 77 – 94.
9. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.
– М.: Наука, 1970. – 534 с.
10. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
11. Королюк В. С., Турбин А. Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. – Киев: Наук.
думка, 1978. – 218 с.
12. Nashed M. Z., Votruba G. F. A unified approach to generalized inverses of linear operators. I. Algebraic, topological
and projectional properties // Bull. Amer. Math. Soc. – 1974. – 80, № 5. – P. 825 – 830.
13. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Киев: Наук. думка, 1990. – 600 с.
14. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Харьков: Вища
шк., 1977. – Т. 1. – 315 с.
15. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 750 с.
16. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных
операторов // Успехи мат. наук. – 1957. – 12, № 2. – C. 43 – 115.
Получено 25.12.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164977 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:36:12Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. Покутный, А.А. 2020-02-11T11:55:11Z 2020-02-11T11:55:11Z 2013 Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев, А.А. Покутный // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 2. — С. 163-174. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164977 517.983 На основi узагальнення вiдомої леми Е. Шмiдта на випадок лiнiйних обмежених нормально розв’язних операторiв у банахових просторах запропоновано конструкцiю узагальнено-оберненого оператора до лiнiйного обмеженого нормально розв’язного, ядро та образ якого доповнювальнi в цих просторах. Ця конструкцiя дозволяє отримати критерiй розв’язностi та формулу для зображення загального розв’язку лiнiйних нормально розв’язних операторних рiвнянь. On the basis of generalization of the well-known Schmidt lemma to the case of linear bounded normally solvable operators in Banach spaces, we propose a procedure for the construction of a generalized inverse operator of a linear bounded normally solvable operator whose kernel and image can be complemented in the indicated spaces. The proposed construction enables one to obtain a solvability criterion for linear normally solvable operator equations and a formula for finding their general solutions. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве Normally solvable operator equations in a Banach space Article published earlier |
| spellingShingle | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. Покутный, А.А. Статті |
| title | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_alt | Normally solvable operator equations in a Banach space |
| title_full | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_fullStr | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_full_unstemmed | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_short | Нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| title_sort | нормально разрешимые операторные уравнения в банаховом пространстве |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164977 |
| work_keys_str_mv | AT boičukaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT žuravlevvf normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT pokutnyiaa normalʹnorazrešimyeoperatornyeuravneniâvbanahovomprostranstve AT boičukaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT žuravlevvf normallysolvableoperatorequationsinabanachspace AT pokutnyiaa normallysolvableoperatorequationsinabanachspace |