Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой
Вивчаеться будова деяких розв'язних скінченних підгруп у групах iз самонормалізовною підгрупою. The construction of some soluble finite subgroups in groups with self-normalizing subgroup is studied.
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164983 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой / Е.Н. Яковлева // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1716–1721. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-164983 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Яковлева, Е.Н. 2020-02-11T12:03:46Z 2020-02-11T12:03:46Z 2008 Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой / Е.Н. Яковлева // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1716–1721. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164983 512.54 Вивчаеться будова деяких розв'язних скінченних підгруп у групах iз самонормалізовною підгрупою. The construction of some soluble finite subgroups in groups with self-normalizing subgroup is studied. Поддержана грантом РФФИ N05-01-00576. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой Solvable subgroups in groups with self-normalizing subgroup Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| spellingShingle |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой Яковлева, Е.Н. Короткі повідомлення |
| title_short |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| title_full |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| title_fullStr |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| title_full_unstemmed |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| title_sort |
разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой |
| author |
Яковлева, Е.Н. |
| author_facet |
Яковлева, Е.Н. |
| topic |
Короткі повідомлення |
| topic_facet |
Короткі повідомлення |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Solvable subgroups in groups with self-normalizing subgroup |
| description |
Вивчаеться будова деяких розв'язних скінченних підгруп у групах iз самонормалізовною підгрупою.
The construction of some soluble finite subgroups in groups with self-normalizing subgroup is studied.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164983 |
| citation_txt |
Разрешимые подгруппы в группах с самонормализуемой подгруппой / Е.Н. Яковлева // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1716–1721. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT âkovlevaen razrešimyepodgruppyvgruppahssamonormalizuemoipodgruppoi AT âkovlevaen solvablesubgroupsingroupswithselfnormalizingsubgroup |
| first_indexed |
2025-11-25T21:29:29Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:29:29Z |
| _version_ |
1850557882343358464 |
| fulltext |
UDK 512.54
E. N. Qkovleva (Lesosyb. ped. yn-t — fyl. Syb. federal. un-ta, Rossyq)
RAZREÍYMÁE PODHRUPPÁ V HRUPPAX
S SAMONORMALYZUEMOJ PODHRUPPOJ
∗∗∗∗
The construction of some soluble finite subgroups in groups with self-normalizing subgroup is studied.
Vyvça[t\sq budova deqkyx rozv’qznyx skinçennyx pidhrup u hrupax iz samonormalizovnog pid-
hrupog.
Yssledovanyq hrupp s zadann¥my svojstvamy dlq system¥ podhrupp sostavlqgt
odno yz osnovn¥x napravlenyj v obwej teoryy hrupp.
V dannoj rabote yzuçaetsq stroenye razreßym¥x koneçn¥x podhrupp,
soderΩawyx fyksyrovann¥j πlement prostoho neçetnoho porqdka, v hruppax s
samonormalyzuemoj podhruppoj.
Hrupp¥ s samonormalyzuem¥my podhruppamy çasto vstreçagtsq v rabotax
V.6P. Íunkova y eho uçenykov (sm. [1, 2]). Çastn¥m sluçaem takyx hrupp qvlq-
gtsq beskoneçn¥e hrupp¥ Frobenyusa. Poπtomu b¥la postavlena zadaça polu-
çyt\ ynformacyg o stroenyy razreßym¥x podhrupp vyda T al ( ), kotor¥e qv-
lqgtsq osnovn¥m ynstrumentom yzuçenyq hrupp s samonormalyzuem¥my pod-
hruppamy.
Teorema. Pust\ G — hruppa, H — ee podhruppa, ymegwaq koneçnug pery-
odyçeskug çast\, N HG( ) = H, a — πlement prostoho porqdka p ≠ 2 yz H
y normalyzator lgboj netryvyal\noj ( )a -ynvaryantnoj koneçnoj podhrupp¥
yz H soderΩytsq v H.
Tohda lgbaq koneçnaq razreßymaq podhruppa K vyda T al ( ) yz G , so-
derΩawaq a y ne prynadleΩawaq H , ymeet vyd K = L K M b f( ) ( ) ( )( ( ))l l ,
hde L K( ) — nyl\potentn¥j radykal hrupp¥ K , M — sylovskaq 2-podhruppa
yz K.
Dlq dokazatel\stva teorem¥ predvarytel\no dokaΩem rqd lemm.
Pust\ G — hruppa, H, K — ee podhrupp¥, a — πlement yz H, udovletvo-
rqgwye uslovyqm teorem¥, K = K L K/ ( ), L K( ) — nyl\potentn¥j radykal
hrupp¥ K . Hruppa ymeet koneçnug peryodyçeskug çast\, esly mnoΩestvo vsex
ee πlementov koneçnoho porqdka obrazuet koneçnug podhruppu.
Lemma 1. Pereseçenye L K( ) ∩ H tryvyal\no.
Dokazatel\stvo. Nyl\potentn¥j radykal L K( ) hrupp¥ K ne soderΩyt-
sq v podhruppe H, ynaçe v sylu toho, çto L K( ) — ( )a -ynvaryantnaq podhruppa
yz H, po uslovyg teorem¥ poluçaem K < H, a πto protyvoreçyt tomu, çto pod-
hruppa K ne prynadleΩyt H.
PredpoloΩym, çto D = L K( ) ∩ H ≠ 1. Oçevydno, D — ( )a -ynvaryantnaq
podhruppa y sohlasno dokazannomu v¥ße D ≠ L K( ). Poskol\ku L K( ) —
nyl\potentnaq hruppa, v sylu normalyzatornoho uslovyq v nyl\potentn¥x
hruppax kaΩdaq ee sobstvennaq podhruppa otlyçna ot svoeho normalyzatora.
Tohda, tak kak po uslovyg teorem¥ N DL K( )( ) < H, poluçaem, çto H pereseka-
etsq s L K( ) po podhruppe bol\ßej, çem hruppa D. Pryßly k protyvoreçyg.
Sledovatel\no, L K( ) ∩ H = 1.
Lemma dokazana.
Lemma 2. Hruppa L K a( ) ( )l qvlqetsq hruppoj Frobenyusa.
Dokazatel\stvo. PredpoloΩym, çto v L K( ) suwestvuet needynyçn¥j
∗
PodderΩana hrantom RFFY N05-01-00576.
© E. N. QKOVLEVA, 2008
1716 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
RAZREÍYMÁE PODHRUPPÁ V HRUPPAX … 1717
πlement k C aG∈ ( ) . Tohda k N aG∈ (( )) y po uslovyg teorem¥ N aG(( )) < H.
Otsgda k ∈ H , çto protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, πlement a dejstvuet na
L K( ) rehulqrno.
Lemma dokazana.
Lemma 3. Esly V — ( )a -ynvaryantnaq q -podhruppa yz K y v nej suwest-
vuet netryvyal\n¥j πlement t yz C aK ( ), to q ne delyt porqdok hrupp¥
L K( ) .
Dokazatel\stvo. Voz\mem ( )a -ynvaryantnug q -podhruppu V yz K . Pred-
poloΩym, çto porqdok L K( ) delytsq na q . Oboznaçym Q = V ⋅ U, hde U —
sylovskaq podhruppa yz L K( ) . Hruppa U normal\na v Q . Poskol\ku nor-
mal\naq podhruppa netryvyal\no peresekaetsq s centrom, to N = U ∩ Z Q( ) ≠
≠ 1. Yz toho, çto V y L K( ) qvlqgtsq ( )a -ynvaryantn¥my podhruppamy, leh-
ko vydet\, çto N takΩe qvlqetsq ( )a -ynvaryantnoj podhruppoj.
Po uslovyg lemm¥ v Q suwestvuet netryvyal\n¥j πlement t yz C aK ( ) , y
tak kak N < Z Q( ), to N < N tK (( )) . Sohlasno uslovyg teorem¥ C aK ( ) < H,
sledovatel\no, t ∈ H , y tak kak t — ( )a -ynvaryantnaq podhruppa, po uslovyg
teorem¥ N tK (( )) < H. Sledovatel\no, N < H, a tak kak N < L K( ), to
L K( ) ∩ H ≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, q ne delyt porqdok L K( ) .
Lemma dokazana.
Lemma 4. Esly v nyl\potentnom radykale L K( ) hrupp¥ K sylovskaq
2 -podhruppa S netryvyal\na, to ee centr Z S( ) qvlqetsq cyklyçeskym y
porqdok hrupp¥ L K( ) neçeten.
Dokazatel\stvo. Pust\ S ≠ 1 — sylovskaq 2 -podhruppa yz L K( ) . Pred-
poloΩym, çto porqdok hrupp¥ L K( ) çeten. Esly ( )a dejstvuet rehulqrno na
S , to po lemme62 ( )a dejstvuet na polnom proobraze S hrupp¥ S toΩe rehu-
lqrno. Sledovatel\no, sohlasno teoreme Xyhmana – Tompsona [3, 4] S — nyl\-
potentnaq hruppa. Poskol\ku S — normal\naq podhruppa v K , to S � K .
Takym obrazom, S — nyl\potentnaq normal\naq podhruppa v K , stroho
soderΩawaq L K( ) . Poluçyly protyvoreçye s tem, çto L K( ) — nyl\potent-
n¥j radykal hrupp¥ K. Znaçyt, ( )a centralyzuet nekotor¥j needynyçn¥j
πlement v S .
Vernemsq k poln¥m proobrazam. V podhruppe S najdetsq ynvolgcyq i ,
kotoraq centralyzuet πlement a . Tohda i centralyzuet netryvyal\n¥j πle-
ment m yz sylovskoj 2 -podhrupp¥ v L K( ) [5]. Poskol\ku a C ik∈ ( ) y po us-
lovyg teorem¥ normalyzator lgboj netryvyal\noj ( )a -ynvaryantnoj koneç-
noj podhrupp¥ yz H soderΩytsq v H , to C ik ( ) < H . Vsledstvye toho, çto
m C ik∈ ( ), poluçaem L K( ) ∩ H ≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, porq-
dok L K( ) neçeten.
DokaΩem, çto centr Z S( ) sylovskoj 2 -podhrupp¥ S yz L K( ) qvlqetsq
cyklyçeskym. PredpoloΩym, çto πto ne tak. Oboznaçym çerez R nyΩnyj
sloj centra Z S( ) . On, oçevydno, ( )a -ynvaryanten. Esly ( )a dejstvuet na R
rehulqrno, to vozvrawaemsq k polnomu proobrazu R hrupp¥ R . On soderΩyt
L K( ). Poskol\ku po lemme62 ( )a dejstvuet na L K( ) rehulqrno, to sohlasno
teoreme Xyhmana – Tompsona [3, 4] R — nyl\potentnaq hruppa. Dalee, tak kak
R — xarakterystyçeskaq podhruppa v nyl\potentnom radykale L K( ) hrupp¥
K , to R � K . Tohda R qvlqetsq nyl\potentnoj normal\noj podhruppoj yz
K, stroho soderΩawej podhruppu L K( ). Poluçyly protyvoreçye s tem, çto
L K( ) – nyl\potentn¥j radykal hrupp¥ K . Sledovatel\no, ( )a centralyzuet
netryvyal\n¥j πlement t v R . Tohda po teoreme Maßke suwestvuet ( )a -ynva-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1718 E. N. QKOVLEVA
ryantnoe dopolnenye V k hruppe ( t ) = T takoe, çto R = V T× .
Pust\ podhruppa V ne qvlqetsq cyklyçeskoj. Kak y v sluçae hrupp¥ R ,
poluçym V V T= ×1 1, hde T1 — cyklyçeskaq podhruppa yz C aK ( ) . Takym ob-
razom, R V T T= × ×1 1 y T T C aK1 × < ( ). Otsgda s uçetom toho, çto porqdok
L K( ) neçeten, perexodq k proobrazam, moΩno najty ( )a -ynvaryantnug πle-
mentarnug abelevu 2-podhruppu A yz C aK ( ) y, znaçyt, yz H . Tohda sohlasno
teoreme Bernsajda [6] nekotoraq ynvolgcyq yz hrupp¥ A proobraza hrupp¥
T T1 × centralyzuet netryvyal\n¥j πlement v L K( ) . Poluçaem L K( ) ∩ H ≠
≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Sledovatel\no, V — cyklyçeskaq hruppa.
Poskol\ku V — ( )a -ynvaryantnaq hruppa porqdka62, to V C aK< ( ) y
V T× — πlementarnaq abeleva 2-hruppa yz C aK ( ) . RassuΩdaq, kak y v sluçae
podhrupp¥ T T1 × , snova poluçaem protyvoreçye. Sledovatel\no, nyΩnyj
sloj R qvlqetsq cyklyçeskym, a znaçyt, centr Z S( ) takΩe cyklyçeskyj.
Lemma dokazana.
Lemma 5. Esly v nyl\potentnom radykale L K( ) hrupp¥ K sylovskaq
2 -podhruppa S netryvyal\na, to vse sylovskye q -podhrupp¥, q ≠ 2, yz K
cyklyçeskye.
Dokazatel\stvo. Pust\ Q — ( )a -ynvaryantnaq q -podhruppa yz K , hde q
neçetno. Sohlasno lemme63 porqdok L K( ) ne delytsq na q . Rassmotrym hrup-
pu D = L K Q a( ) ( )l l , hde Q — q -podhruppa, qvlqgwaqsq ( )a -ynvaryantn¥m
proobrazom hrupp¥ Q . Poskol\ku ( )a dejstvuet na L K( ) rehulqrno y
C L KD( )( ) < L K( ) , po lemme6Podufalova [7] Q a× ( ) . Esly Q — necyklyçes-
kaq hruppa, to v nej suwestvuet πlementarnaq abeleva q -podhruppa A porqdka
q2
. Ona centralyzuetsq πlementom a . Tohda po teoreme Bernsajda [6] needy-
nyçn¥j πlement k ∈ A centralyzuet netryvyal\n¥j πlement v L K( ) . S uçetom
toho, çto A C aK< ( ) y C a HK ( ) < , a C aK∈ ( ) , poluçaem L K( ) ∩ H ≠ 1, çto
protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, Q — cyklyçeskaq hruppa.
Lemma dokazana.
Lemma 6. Esly v nyl\potentnom radykale L K( ) sylovskaq 2 -podhruppa
tryvyal\na, to vse sylovskye q -podhrupp¥ yz L K( ) cyklyçeskye.
Dokazatel\stvo. Pust\ Q — sylovskaq q -podhruppa yz L K( ) y q ≠ 2,
p . Tohda C aK ( ) ∩ Q ≠ 1. Dejstvytel\no, esly πto ne tak, to ( )a dejstvuet
na Q rehulqrno. Tohda ( )a dejstvuet rehulqrno na polnom proobraze Q,
tak kak a dejstvuet rehulqrno na L K( ) y po lemme63 porqdok L K( ) ne de-
lytsq na q . Po teoreme Tompsona Q — nyl\potentnaq hruppa. Poskol\ku
Q � K , to Q � K . Poluçyly protyvoreçye s tem, çto L K( ) — nyl\po-
tentn¥j radykal hrupp¥ K . Znaçyt, C aK ( ) ∩ Q ≠ 1.
Teper\ voz\mem proobraz Q hrupp¥ Q y rassmotrym hruppu L K Q a( ) ( )l l .
Poskol\ku ( )a dejstvuet na L K( ) rehulqrno y porqdok L K( ) ne delytsq na
q , to po lemme Podufalova Q a× ( ) . Esly Q — necyklyçeskaq, to, tak kak
q ≠ 2, v nej suwestvuet πlementarnaq abeleva q -podhruppa D porqdka q2
[8].
Kak dokazano v¥ße, πlement a centralyzuet D. Po teoreme Bernsajda [6]
needynyçn¥j πlement d ∈ D centralyzuet netryvyal\n¥j πlement v L K( ) , no
a poπlementno perestanovoçen s D. Sledovatel\no, L K( ) ∩ H ≠ 1. Pryßly
k protyvoreçyg s lemmoj61. Znaçyt, Q — cyklyçeskaq hruppa.
Rassmotrym sluçaj, kohda q = p . Voz\mem proobraz Q hrupp¥ Q y ras-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
RAZREÍYMÁE PODHRUPPÁ V HRUPPAX … 1719
smotrym hruppu L K Q( ) l . Esly Q necyklyçeskaq, to v nej najdetsq πlemen-
tarnaq abeleva p -podhruppa A porqdka p2
. Po teoreme Bernsajda needynyç-
n¥j πlement k ∈ A centralyzuet netryvyal\n¥j πlement v L K( ) . Poskol\ku
A C aK< ( ) y C a HK ( ) < , a C aK∈ ( ) , to L K( ) ∩ H ≠ 1, çto protyvoreçyt
lemme61. Znaçyt, Q — cyklyçeskaq hruppa.
Lemma dokazana.
Lemma 7. Porqdok hrupp¥ L K( ) = L K L K( / )( ) vzaymno prost s porqdkom
hrupp¥ L K( ) .
Dokazatel\stvo. Pust\ q — delytel\ porqdkov hrupp L K( ) y L K( ) . V
nyl\potentnom radykale L K( ) voz\mem maksymal\nug q -podhruppu Q ,
kotoraq normal\na v K . Perejdem k proobrazam y rassmotrym hruppu
( )( ) ( )L K Q a⋅ l , hde v kaçestve proobraza hrupp¥ Q yspol\zovana ( )a -ynvary-
antnaq q -podhruppa Q, soderΩawaq sylovskug q -podhruppu yz L K( ) . Esly
b¥ ( )a dejstvovala na Q rehulqrno, to po teoreme Xyhmana – Tompsona
L K Q( )⋅ b¥la b¥ nyl\potentnoj hruppoj. Poskol\ku L K Q( )⋅ normal\na, po-
luçaem protyvoreçye s tem, çto L K( ) — nyl\potentn¥j radykal. Znaçyt, ( )a
centralyzuet nekotor¥j netryvyal\n¥j πlement b ∈ Q y, sledovatel\no,
C b HK ( ) < . Po predpoloΩenyg L = L K( ) ∩ Q ≠ 1. Tak kak L � Q , po
svojstvam koneçn¥x prymarn¥x podhrupp suwestvuet netryvyal\n¥j πlement l
takoj, çto l Z Q L∈ ( ) ∩ , znaçyt, l C b HK∈ <( ) . Sledovatel\no, L K( ) ∩ H ≠
≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, q ne delyt porqdok L K( ) .
Lemma dokazana.
Lemma 8. Esly v nyl\potentnom radykale L K( ) sylovskaq 2 -podhruppa
tryvyal\na, to vse sylovskye q -podhrupp¥ yz K cyklyçeskye y ( ) ( )a L K∈ .
Dokazatel\stvo. Pust\ Q — sylovskaq q -podhruppa yz K . Predpolo-
Ωym, çto Q ne qvlqetsq cyklyçeskoj.
Pust\ hruppa ( )a neperestanovoçna s sylovskoj p ′ -podhruppoj Sa yz
L K( ) . Rassmotrym hruppu S aa l ( ). Ona qvlqetsq hruppoj Frobenyusa, tak
kak Sa — cyklyçeskaq hruppa. Vozvrawaqs\ k proobrazam, poluçaem, çto hrup-
pa S aa l ( ) — hruppa Frobenyusa, tak kak ( )a dejstvuet rehulqrno na L K( ) ,
a po lemme667 porqdok hrupp¥ Sa vzaymno prost s porqdkom hrupp¥ L K( ) .
Hruppa Sa nyl\potentna y normal\na, çto protyvoreçyt opredelenyg nyl\po-
tentnoho radykala L K( ) . Esly v L K( ) est\ p -podhruppa P y ona ne cykly-
çeskaq, to v nej soderΩytsq πlementarnaq abeleva p -podhruppa porqdka p2
,
soderΩawaq πlement a . Prymenqq teoremu Bernsajda [6], poluçaem L K( ) ∩
∩ H ≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Takym obrazom, ( )a perestanovoçna so
vsemy sylovskymy podhruppamy yz L K( ) , t. e. ( ) ( )a L K∈ .
Netryvyal\n¥j πlement k ∈ Q centralyzuet ( )a . Dejstvytel\no, uçyt¥-
vaq stroenye hrupp¥ K = T al ( ), sohlasno lemme6Frattyny [5], hruppu Q
moΩno vzqt\ ( )a -ynvaryantnoj. Esly Q — 2 ′-hruppa, to ee proobraz — sy-
lovskaq prymarnaq 2 ′-podhruppa Q — necyklyçeskaq, y v nej najdetsq πle-
mentarnaq abeleva q -podhruppa A porqdka p2
, v kotoroj po teoreme Bernsaj-
da najdetsq netryvyal\n¥j πlement, kotor¥j centralyzuet ( )a . Pust\ Q —
2-hruppa. Yz stroenyq hrupp¥ a Ql sleduet, çto esly lgboj πlement yz Q
dejstvuet rehulqrno na ( )a , to Q vklad¥vaetsq v hruppu avtomorfyzmov
cyklyçeskoj hrupp¥. Pryßly k protyvoreçyg.
Sledovatel\no, po lemme63 q ne delyt porqdok L K( ) .
Teper\ voz\mem proobraz Q hrupp¥ Q y rassmotrym hruppu L K Q( ) l l
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
1720 E. N. QKOVLEVA
l ( )a . Poskol\ku po lemme62 ( )a dejstvuet na L K( ) rehulqrno y s uçetom
stroenyq hrupp¥ K takΩe rehulqrno dejstvuet na Q, po lemme Podufalova
Q a× ( ). Esly Q — necyklyçeskaq, to s uçetom toho, çto q ≠ 2, v nej suwest-
vuet πlementarnaq abeleva q -podhruppa D porqdka q2
. Ona centralyzuet
πlement a . Po teoreme Bernsajda 1 ≠ ∈d D centralyzuet netryvyal\n¥j πle-
ment v L K( ) , no πlement a perestanovoçen s D . Sledovatel\no, L K( ) ∩
∩ H ≠ 1, çto protyvoreçyt lemme61. Znaçyt, Q — cyklyçeskaq hruppa.
Lemma dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ S — sylovskaq 2-podhruppa yz L K( ),
M — sylovskaq 2-podhruppa yz K .
VozmoΩn¥ try sluçaq:
1) M L K∩ ( ) = 1, t. e. S = 1;
2) M < L K( ), t. e. M = S ;
3) M ne qvlqetsq podhruppoj L K( ), no M L K∩ ( ) ≠ 1.
DokaΩem teoremu dlq πtyx sluçaev.
Pust\ S = 1 . Po lemme668 sylovskye q -podhrupp¥ yz K qvlqgtsq cyk-
lyçeskymy. Sohlasno teoreme [8] hruppa K metacyklyçeskaq. Perexodq k
proobrazam, poluçaem K = L K b f( ) ( ) ( )l l , pryçem po lemme668 a b∈( ).
Esly sylovskaq 2-podhruppa M yz K soderΩytsq v L K( ), t. e. sovpada-
et s S , to po lemme665 vse sylovskye q -podhrupp¥, q ≠ 2, yz K cyklyçes-
kye. Poskol\ku faktor-hruppa K S/ — 2 ′-hruppa, ona qvlqetsq metacyk-
lyçeskoj. Teper\ perexodym k proobrazam. V kaçestve proobraza hrupp¥ M
v hruppe K voz\mem sylovskug 2-podhruppu M. Poluçaem K =
= L K M b f( ) ( ) ( )( )l l⋅( ) , hde ( ) ( )b fl — 2-hruppa. Po lemme664 centr Z M( )
sylovskoj 2-podhrupp¥66 M yz nyl\potentnoho radykala L K( ) cyklyçeskyj.
Vsledstvye toho, çto sohlasno lemme664 porqdok L K( ) neçeten, proobraz
centra Z M( ) v podhruppe M takΩe budet centrom v M y prytom cyklyçes-
kym.
Rassmotrym sluçaj, kohda podhruppa S ≠ 1 , no M ne qvlqetsq podhruppoj
L K( ) . Rassmotrym faktor-hruppu K S/ . Nyl\potentn¥j radykal L K S( / ) —
cyklyçeskaq hruppa neçetnoho porqdka. PredpoloΩym, çto πto ne tak. Pust\ v
L K S( / ) est\ 2-πlement¥, tohda v K est\ sylovskaq 2-podhruppa Q S> .
Tohda Q L K⋅ ( ) — nyl\potentnaq normal\naq podhruppa. Protyvoreçye s mak-
symal\nost\g L K( ) . Cyklyçnost\ sylovskyx podhrupp yz nyl\potentnoho ra-
dykala L K S( / ) ustanavlyvaetsq tak Ωe, kak v lemme668. Tohda nyl\potent-
n¥j radykal L K S( / ) razlahaetsq v prqmoe proyzvedenye sylovskyx podhrupp
neçetnoho porqdka y L K S( / ) — cyklyçeskaq hruppa. Poskol\ku L K S( / ) —
nyl\potentn¥j radykal hrupp¥ K S/ , to C L K SK L/ ( ( / )) < L K S( / ). Faktor-
hruppa K L K S/ ( ( / )) vklad¥vaetsq v podhruppu hrupp¥ avtomorfyzmov hrup-
p¥ L K S( / ). A tak kak hruppa avtomorfyzmov cyklyçeskoj hrupp¥ takΩe
cyklyçeskaq, to y faktor-hruppa K L K S/ ( ( / )) qvlqetsq cyklyçeskoj. Pere-
xodq k proobrazam, poluçaem K = L K M b f( ) ( ) ( )( ( ))l l⋅ .
Teorema dokazana.
V zaklgçenye pryvedem yzvestn¥e rezul\tat¥, yspol\zovann¥e v dannoj
stat\e.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
RAZREÍYMÁE PODHRUPPÁ V HRUPPAX … 1721
Teorema Xyhmana – Tompsona [3, 4]. Lgbaq koneçnaq hruppa, obladagwaq
rehulqrn¥m avtomorfyzmom prostoho porqdka p , nyl\potentna y dlyna ee
verxneho central\noho rqda ohranyçena çyslom, zavysqwym tol\ko ot p .
Lemma Podufalova [7]. Pust\ koneçnaq hruppa G = Q xl( ) , hde Q —
normal\naq q -podhruppa, x — πlement porqdka p , q y p — razlyçn¥e
prost¥e çysla. Esly hruppa G dejstvuet toçno na needynyçnoj koneçnoj
{ , }p q -hruppe tak, çto πlement x dejstvuet rehulqrno, to lybo G — nyl\-
potentnaq hruppa, lybo q = 2.
Lemma Frattyny [5]. Pust\ A — normal\naq podhruppa koneçnoj hrupp¥
G, P — ee sylovskaq p -podhruppa. Tohda G = A N PG⋅ ( ).
Teorema [8]. Esly sylovskye podhrupp¥ koneçnoj hrupp¥ G porqdka g vse
cyklyçn¥, to G — metacyklyçeskaq hruppa, poroΩdennaq dvumq πlementamy
a y b s opredelqgwymy otnoßenyqmy
am = 1, bn = 1, b ab−1 = ar , mn = g, [( ), ]r mn− 1 = 1, rn ≡ 1 (mod )m .
Obratno, hruppa, zadannaq πtymy opredelqgwymy otnoßenyqmy, obladaet
tol\ko cyklyçeskymy sylovskymy podhruppamy.
Teorema Bernsajda [6]. Pust\ G — koneçnaq funkcyq vyda G = B Ll ,
hde B — netryvyal\naq p -hruppa, L — πlementarnaq abeleva q -hruppa po-
rqdka q2
y p ≠ q. Tohda dlq nekotoroho πlementa a porqdka q pereseçe-
nye C a BG( ) ∩ ≠ 1.
1. Sozutov A. Y. O suwestvovanyy v hruppe f-lokal\n¥x podhrupp // Alhebra y lohyka. –
1997. – 36, # 5. – S.6573 – 598.
2. Sozutov A. Y., Íunkov V. P. Ob odnom obobwenyy teorem¥ Frobenyusa na beskoneçn¥e
hrupp¥ // Mat. sb. – 1976. – 100, # 4. – S.6495 – 506.
3. Higman G. Groups and rings having automorphisms without nontrivial fixed points // J. London
Math. Soc. – 1957. – 32. – P. 321 – 334.
4. Thompson J. G. Finite groups with fixed point free automorphisms of prime order // Proc. Nat.
Acad. Sci. USA. – 1959. – 45. – P. 578 – 581.
5. Karhapolov M. Y., Merzlqkov G. Y. Osnov¥ teoryy hrupp. – 3-e yzd. – M.: Nauka, 1982. –
2406s.
6. Çernykov S. N. Hrupp¥ s zadann¥my svojstvamy system¥ podhrupp. – M.: Nauka, 1980. –
3846s.
7. Podufalov N. D. Koneçn¥e prost¥e hrupp¥ bez πlementov porqdkov66666y6610 // Alhebra y
lohyka. – 1975. – 14, # 1. – S.679 – 85.
8. Xoll M. Teoryq hrupp. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. – 468 s.
Poluçeno 19.07.07,
posle dorabotky — 28.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 12
|