Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций

• Published in: Український математичний журнал
• Date: 2008
• Main Authors: Степанец, А.И., Сердюк, А.С., Шидлич, А.Л.
• Format: Article
• Language: Russian
• Published: Інститут математики НАН України 2008
• Subjects: Статті
• Online Access: https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/164988
• Journal Title: Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
• Cite this: Классификация бесконечно дифференцируемых периодических функций / А.И. Степанец, А.С. Сердюк, А.Л. Шидлич // Український математичний журнал. — 2008. — Т. 60, № 12. — С. 1686–1708. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Вивчається множина D∞ нескінченно диференційовних періодичних функцій у термінах узагальнених ψ¯-похідних, що визначаються парою ψ¯=(ψ₁,ψ₂) послідовностей ψ₁ i ψ₂. Зокрема, показано, що кожна функція f, яка належить множині D∞, має хоча б одну похідну, параметри якої ψ₁ i ψ₂ спадають до нуля швидше за будь-яку степеневу функцію, і водночас для будь-якої функції f∈D∞, відмінної від тригонометричного полінома, знайдеться пара ψ, параметри ψ₁ i ψ₂ якої мають таку саму швидкість спадання i для якої ψ¯-похідна вже не існує. Встановлено також нові критерії належності 2π-періодичних дійснозначних на дійсній осі функцій множинам аналітичних на осі та цілих функцій. The set D∞ of infinitely differentiable periodic functions is studied in terms of generalized ψ¯-derivatives defined by a pair ψ¯=(ψ₁,ψ₂) of sequences ψ₁ and ψ₂. In particular, we establish that every function f from the set D∞ has at least one derivative whose parameters ψ₁ and ψ₂ decrease faster than any power function. At the same time, for an arbitrary function f ∈ D∞ different from a trigonometric polynomial, there exists a pair ψ whose parameters ψ₁ and ψ₂ have the same rate of decrease and for which the ψ¯-derivative no longer exists. We also obtain new criteria for 2π-periodic functions real-valued on the real axis to belong to the set of functions analytic on the axis and to the set of entire functions.