О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости
The paper deals with an evolutionary degenerate system of the p-Laplacian type which is connected to the known Bean's model in type II superconductivity. For this system which describes the distribution of a magnetic field, we have studied the question of compactness of the support of a solutio...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1650 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости / С.П. Дегтярев, Т.А. Саникидзе, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 7-13. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1650 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дегтярев, С.П. Саникидзе, Т.А. Тедеев, А.Ф. 2008-09-01T14:26:31Z 2008-09-01T14:26:31Z 2007 О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости / С.П. Дегтярев, Т.А. Саникидзе, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 7-13. — Библиогр.: 6 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1650 517.9 The paper deals with an evolutionary degenerate system of the p-Laplacian type which is connected to the known Bean's model in type II superconductivity. For this system which describes the distribution of a magnetic field, we have studied the question of compactness of the support of a solution for finite initial data and external forces. We have obtained an estimate for the support of the solution. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости |
| spellingShingle |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости Дегтярев, С.П. Саникидзе, Т.А. Тедеев, А.Ф. Математика |
| title_short |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости |
| title_full |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости |
| title_fullStr |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости |
| title_full_unstemmed |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости |
| title_sort |
о компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели бина в теории сверхпроводимости |
| author |
Дегтярев, С.П. Саникидзе, Т.А. Тедеев, А.Ф. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. Саникидзе, Т.А. Тедеев, А.Ф. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
The paper deals with an evolutionary degenerate system of the p-Laplacian type which is connected to the known Bean's model in type II superconductivity. For this system which describes the distribution of a magnetic field, we have studied the question of compactness of the support of a solution for finite initial data and external forces. We have obtained an estimate for the support of the solution.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1650 |
| citation_txt |
О компактности носителя решения одной эволюционной системы, возникающей из модели Бина в теории сверхпроводимости / С.П. Дегтярев, Т.А. Саникидзе, А.Ф. Тедеев // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 7-13. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp okompaktnostinositelârešeniâodnoiévolûcionnoisistemyvoznikaûŝeiizmodelibinavteoriisverhprovodimosti AT sanikidzeta okompaktnostinositelârešeniâodnoiévolûcionnoisistemyvoznikaûŝeiizmodelibinavteoriisverhprovodimosti AT tedeevaf okompaktnostinositelârešeniâodnoiévolûcionnoisistemyvoznikaûŝeiizmodelibinavteoriisverhprovodimosti |
| first_indexed |
2025-11-26T10:24:27Z |
| last_indexed |
2025-11-26T10:24:27Z |
| _version_ |
1850620469275787264 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2007
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
© 2007
С.П. Дегтярев, Т.А. Саникидзе, А. Ф. Тедеев
О компактности носителя решения одной эволюционной
системы, возникающей из модели Бина в теории
сверхпроводимости
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
The paper deals with an evolutionary degenerate system of the p-Laplacian type which is
connected to the known Bean’s model in type II superconductivity. For this system which descri-
bes the distribution of a magnetic field, we have studied the question of compactness of the
support of a solution for finite initial data and external forces. We have obtained an estimate
for the support of the solution.
В работе мы рассматриваем задачу Коши для следующей вырождающейся квазилинейной
системы уравнений относительно неизвестной вектор-функции H(x, t) = (H1(x, t), H2(x, t),
H3(x, t)) (здесь и ниже все векторные величины, в отличие от скалярных величин, выде-
ляются полужирным шрифтом):
Ht + ∇× [|∇ × H|p−2∇×H] = F(x, t), (x, t) ∈ Q, (1)
∇ ·H = 0, (x, t) ∈ Q, (2)
H(x, 0) = H0(x), x ∈ R
3. (3)
Здесь Q = R
3 × (0,∞), p > 2 — заданная константа, F(x, t) и H0(x) — заданные век-
тор-функции; Ht — производная по времени t. Для вектор-функции A(x) символ ∇ × A
означает rotA, т. е. векторное произведение векторов ∇ ≡ (∂/∂x1, ∂/∂x2, ∂/∂x3) и A(x);
символ ∇ · A — скалярное произведение векторов ∇ и A(x), т. е. ∇ · A = divA; |A| —
абсолютную величину вектора A.
Задача (1)–(3) обычно используется как приближение к известной модели Бина для
сверхпроводимости типа II (см., напр., [1, 2] и имеющуюся там библиогр.). При этом век-
тор H(x, t) имеет смысл напряженности магнитного поля. Не останавливаясь подробно на
точной формулировке модели Бина (отсылаем читателя к работам [1, 2]), отметим, что по
самой своей постановке указанная модель подразумевает решение с компактным носителем.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 7
Поэтому естественно возникает вопрос об установлении компактности носителя решения
задачи (1)–(3) при финитных данных H0(x) и F(x, t).
До настоящего времени вопрос о финитности решения задачи (1)–(3) при финитных дан-
ных исследован не был. Такая финитность была доказана в работе [1] при существенном
ограничении, состоящем в предположении о двумерности задачи. А именно, в предположе-
нии, что неизвестное поле H в задаче (1)–(3) является плоским и зависит только от двух
пространственных переменных x1 и x2, т. е. H = (H1(x1, x2, t),H2(x1, x2, t), 0). Целью данной
работы является доказательство компактности носителя решения H(x, t) в общей трехмер-
ной постановке. При этом мы используем метод, развитый в работах одного из авторов [3–5].
Приведем теперь некоторые вспомогательные утверждения, используемые в дальней-
шем, и сформулируем требования на данные задачи и основной результат.
Мы будем пользоваться следующим легко проверяемым интегральным тождеством:
∫
Ω
A(x) · (∇×B(x)) dx =
∫
Ω
(∇× A(x)) ·B(x) dx, (4)
справедливым для области Ω с достаточно гладкой границей и векторных полей A(x) и B(x)
таких, что A(x), B(x), ∇× A(x), ∇ × B(x) ∈ L2(Ω) и B(x) = 0 при x ∈ ∂Ω (или A(x) = 0
при x ∈ ∂Ω).
Для векторного поля A(x) = (A1(x), A2(x), A3(x)) и скалярной функции a(x), обладаю-
щих соответствующими обобщенными производными, справедливы также формулы
∇× (a(x)A(x)) = a(x)∇× A(x) + (∇a(x)) × A(x), (5)
∇×∇× A(x) = −△A(x) + ∇(∇ ·A(x)), (6)
где ∇a(x) — градиент a(x); △ — оператор Лапласа.
Из соотношения (6) следует важное и используемое ниже неравенство. Пусть A(x) = 0
при x ∈ ∂Ω, ∇ · A(x), ∇ × A(x) ∈ Lp(Ω). Тогда
‖DA(x)‖Lp(Ω) 6 C(‖∇ × A(x)‖Lp(Ω) + ‖∇ ·A(x)‖Lp(Ω)). (7)
Здесь и далее C обозначает все абсолютные константы (зависимость от данных задачи ого-
варивается отдельно), DA(x) — вектор (совокупность) всех производных первого порядка
по пространственным переменным от компонент вектора A(x), т. е. DA = {∂Ai(x)/∂xj :
i, j = 1, 3}. При этом мы говорим, например, что вектор-функция A ∈ Lr(Ω), если каждая
компонента вектор-функции принадлежит указанному пространству, и используем также
обозначения
‖A(x)‖Lp(Ω) =
(
∫
Ω
3
∑
i=1
|Ai(x)|p dx
)1/p
, ‖DA(x)‖Lp(Ω) =
(
∫
Ω
3
∑
i=1
|∇Ai(x)|p dx
)1/p
.
Кроме того, всюду ниже мы обозначаем |DA(x)|p ≡
3
∑
i,j=1
∣
∣
∣
∣
∂Ai(x)
∂xj
∣
∣
∣
∣
p
.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Соотношение (7) следует из общей теории эллиптических краевых задач, примененной
к задаче (ср. [1, 2]):
△A(x) = −∇× (∇× A(x)) + ∇(∇ ·A(x)), x ∈ Ω,
A(x) = 0, x ∈ ∂Ω.
Отметим также, что в силу уравнения последней задачи и известных свойств Ньютонова
потенциала неравенство (7) справедливо также при Ω = R
3.
Далее, для вектор-функции U(x) такой, что U(x) = 0 при x ∈ ∂Ω, U(x) ∈ Lε(Ω),
DU(x) ∈ Lp(Ω) справедливо такое же, как и для скалярных функций, мультипликативное
неравенство Ниренберга–Гальярдо (q > ε > 0):
‖U(x)‖Lq(Ω) 6 C‖DU(x)‖α
Lp(Ω)‖U(x)‖1−α
Lε(Ω), (8)
где показатель α находится из соотношения
1
q
= α
(
1
p
−
1
3
)
+ (1 − α)
1
ε
. (9)
При этом ограничения на q > 0 при заданных p и ε соответствующим образом следуют
из (9), в котором α ∈ (0, 1).
Отметим, что константы C в соотношениях (7) и (8) не зависят от размеров области Ω.
Для (8) это хорошо известно, а для (7) это легко проверяется путем сведения соотноше-
ния (7) к области какого-либо стандартного размера путем замены независимых перемен-
ных x = ky (легко убедиться, что неравенство (7) не зависит от такой замены).
Сформулируем теперь требования к данным задачи (1)–(3). Пусть H0(x) — измери-
мая финитная вектор-функция, обладающая обобщенными производными первого порядка
по x, и такая, что
∇ ·H0(x) = 0, |∇ × H0(x)| ∈ Lp(R
3),
|∇ × [|∇ × H0|
p−2∇× H0]| ∈ L2(R
3).
Пусть, далее, F(x, t) — финитная при каждом t > 0 измеримая вектор-функция, обла-
дающая фигурирующими ниже обобщенными производными, и такая, что
∇ · F(x, t) = 0, Ft(x, t), ∇× Ft(x, t) ∈ Lp(QT ) ∀T > 0,
QT = R
3 × (0, T ), F(x, t) ∈ L2(Q).
Обозначим
f(t) = sup
06τ6t
inf
r>0
{r > 0: F(x, τ) ≡ 0, H0(x) ≡ 0, |x| > r}.
Из этого определения следует, что F(x, τ) ≡ 0 при |x| > f(t), τ ∈ [0, t]; H0(x) = 0, |x| > f(t),
т. е. f(t) — размер точной границы носителей функций H0(x) и F(x, t).
Под слабым решением задачи (1)–(3) будем понимать вектор-функцию H(x, t) ∈ L2(0, T ;
W 1
p (R3)) ∀T > 0 такую, что ∇ · H(x, t) = 0 почти всюду в Q и выполнено интегральное
тождество
T
∫
0
∫
R3
[−HΦt + |∇ × H|p−2(∇× H) · (∇× Φ)] dxdt =
∫
R3
H0(x) ·Φ(x, 0) dx (10)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 9
для любой финитной по x вектор-функции Φ(x, t) ∈ W 1
2 (0, T ;W 1
p (R3)) такой, что ∇·Φ(x, t) =
= 0 почти всюду и Φ(x, T ) ≡ 0 в R
3.
Следующая теорема утверждает существование и свойства слабого решения задачи (1)–
(3) и следует из результатов работ [1, 2] (см., в частности, теорему 2.2 в [1]).
Теорема 1. При сделанных выше предположениях о данных задачи (1)–(3) эта задача
имеет единственное слабое решение, причем Ht(x, t) (а следовательно, и ∇×(|∇×H|p−2∇×
× H)) принадлежат L2(QT ) ∀T > 0 и справедливы оценки
sup
0<τ<T
∫
R3
|H|2(x, τ) dx +
T
∫
0
∫
R3
|∇ × H|p dxdτ 6 C
(
∫
R3
|H0|
2(x) dx +
∞
∫
0
∫
R3
|F|2dxdτ
)
,
T
∫
0
∫
R3
|Ht|
2dxdτ + sup
0<τ<T
∫
R3
|∇ × H|p(x, τ) dx 6 C(H0,F).
Из этой теоремы следует, что при сделанных предположениях уравнение (1) выполнено
не только в слабом смысле, но и почти всюду, т. е. слабое решение является, по существу,
сильным решением.
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 2. Пусть выполнены сформулированные выше условия на данные H0(x)
и F(x, t). Тогда решение H(x, t) задачи (1)–(3) финитно при каждом t > 0, причем но-
ситель функции H(·, t) обладает свойством
supp(H(·, t)) ⊂ {x ∈ R
3 : |x| < max{4f(t), C(H0,F)t2/k}}, (11)
где k = 3(p − 2) + 2p.
Доказательство. Как отмечено выше, из теоремы 1 следует, что уравнение (1) выпол-
няется почти всюду в поточечном смысле. Ниже для получения некоторых интегральных
оценок мы будем умножать уравнение (1) на некоторые пробные функции с последую-
щим интегрированием по частям. Все эти операции легко оправдываются использованием
стекловских усреднений с последующим предельным переходом в окончательных соотно-
шениях.
Пусть t > 0 фиксировано, B1 ⋐ B2 — два открытых множества с достаточно гладкой
границей, причем B2
⋂
(suppH0
⋃
suppF(·, τ)) = ∅, 0 < τ 6 t, и пусть ζ(x) — гладкая
срезающая функция множества B2, ζ(x) = 1 на B1, ζ(x) = 0 вне B2. Пусть еще s > 0.
Умножим систему (1) скалярно на вектор-функцию H(x, τ)ζs(x) и проинтегрируем по
Qt = R
3 × (0, t). В результате, пользуясь (4) и (5), получим
1
2
∫
B2
H
2(x, t)ζs(x) dx +
t
∫
0
∫
B2
|∇ × H|p(x, τ)ζs(x) dxdτ =
= −s
t
∫
0
∫
B2
|∇ × H|p−2(∇× H) · (∇ζ × H)ζs−1(x) dxdτ ≡ I. (12)
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Оценим интеграл I в правой части последнего неравенства по неравенству Юнга с ε, учи-
тывая, что |∇ζ × H| 6 C|∇ζ| |H|:
|I| 6 ε
t
∫
0
∫
B2
|∇ × H|pζsdxdτ + Cε
t
∫
0
∫
B2
|H|pζs−p|∇ζ|p dxdτ. (13)
Выбирая ε достаточно малым, из предыдущего неравенства, ввиду произвольности t > 0,
получаем
sup
0<τ<t
∫
B2
H
2(x, τ)ζsdx +
t
∫
0
∫
B2
|∇ × H|pζsdxdτ 6 C
t
∫
0
∫
B2
|H|pζs−p|∇ζ|p dxdτ. (14)
Далее, так как в силу (2) ∇ · H = 0, то
∇ · ζs
H(x, t) = ζs∇ ·H + sζs−1∇ζ ·H = sζs−1∇ζ · H.
Следовательно,
∫
B2
|∇ · ζs
H|pdx 6 C
∫
B2
|H|pζps−p(x)|∇ζ|p dx. (15)
Заметим теперь, что
∇× (ζs
H) = ζs∇× H + sζs−1∇ζ × H,
и поэтому
|∇ × (ζs
H)|p = C(ζps|∇ × H|p + |H|pζps−p|∇ζ|p). (16)
Ввиду того, что p > 2, ζps
6 ζs, ζps−p
6 ζs−p, ζ2s
6 ζs, из соотношений (16), (15) и (14)
получаем
sup
0<τ<t
∫
B2
(ζs
H(x, τ))2dx +
t
∫
0
∫
B2
|∇ × ζs
H|p dxdτ +
t
∫
0
∫
B2
|∇ · ζs
H|p dxdτ 6
6 C
t
∫
0
∫
B2
|H|pζs−p|∇ζ|p dxdτ.
Применяя теперь неравенство (7) к функции A = ζs
H(x, t), из последнего неравенства
имеем
sup
0<τ<t
∫
B2
(ζs
H(x, τ))2dx +
t
∫
0
∫
B2
|Dζs
H|p dxdτ 6 C
t
∫
0
∫
B2
|H|pζs−p|∇ζ|p dxdτ. (17)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 11
Пусть по-прежнему t > 0 фиксировано. Зафиксируем число R > 8f(t). Для n = 0, 1, 2, . . .
рассмотрим монотонно убывающую последовательность Rn = R(1 + 2−n−1) и монотонно
возрастающую последовательность rn = R(1 − 2−n−1)/2. Обозначим для n = 0, 1, 2, . . .
Cn = {x ∈ R
3 : rn < |x| < Rn}.
Легко видеть, что {Cn} представляет собой последовательность сжимающихся кольцеоб-
разных областей.
Пусть, далее, {ζn(x)} — последовательность гладких срезающих функций таких, что
ζn(x) = 1, x ∈ Cn+1; ζn(x) = 0, x ∈ R
3 \ Cn; |∇ζn(x)| 6
C2n
R
. (18)
Отметим, что в силу выбора параметра R носители функций ζn(x) не пересекаются с но-
сителями функций H0(x) и F(x, t).
Применим теперь неравенство (17) к областям B1 = Cn+1, B2 = Cn (n > 1) и ζ(x) =
= ζn(x). Ввиду (18) это дает
sup
0<τ<t
∫
Cn
(ζs
nH(x, τ))2dx +
t
∫
0
∫
Cn
|Dζs
nH|p dxdτ 6 C
2np
Rp
t
∫
0
∫
Cn
|H|p dxdτ.
Используя определение последовательности ζn(x), последнее неравенство записываем в виде
sup
0<τ<t
∫
Cn
(ζs
nH(x, τ))2dx +
t
∫
0
∫
Cn
|Dζs
nH|p dxdτ 6 C
2np
Rp
t
∫
0
∫
Cn−1
|ζs
n−1H|p dxdτ. (19)
Следовательно, вводя обозначение Vn(x, t) ≡ ζs
n(x)H(x, t), имеем
sup
0<τ<t
∫
Cn
V
2
n(x, τ) dx +
t
∫
0
∫
Cn
|DVn(x, τ)|p dxdτ 6 C
2np
Rp
t
∫
0
∫
Cn−1
|Vn−1|
p dxdτ. (20)
Применим теперь к интегралу по Cn−1 по dx в правой части соотношения (20) нера-
венство (8) с q = p, ε = 2. Получим
∫
Cn−1
|Vn−1|
p dx 6 C
(
∫
Cn−1
|DVn−1|
p dx
)α(
∫
Cn−1
V
2
n−1dx
)p(1−α)/2
, (21)
где α определяется из соответствующего соотношения (9):
α =
3(p − 2)
3(p − 2) + 2p
=
3(p − 2)
k
, k = 3(p − 2) + 2p.
Интегрируя неравенство (21) по времени, вынося sup
0<τ<t
∫
Cn−1
V
2
n−1(x, τ) dx и применяя нера-
венство Гельдера, получаем для интеграла в правой части (20)
t
∫
0
∫
Cn−1
|Vn−1|
p dxdτ 6 Ct1−α
( t
∫
0
∫
Cn−1
|DVn−1|
p dxdτ
)α(
sup
0<τ<t
∫
Cn−1
V
2
n−1(x, τ) dx
)p(1−α)/2
. (22)
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Обозначим
Yn ≡ sup
0<τ<t
∫
Cn
V
2
n(x, τ) dx +
t
∫
0
∫
Cn
|DVn(x, τ)|p dxdτ.
Тогда неравенства (20) и (22) дают для n > 1
Yn 6 C
2npt1−α
Rp
Y
α+p(1−α)/2
n−1 = C
2npt2p/k
Rp
Y
1+p(p−2)/k
n−1 .
Из итеративной леммы 5.6 из [6] следует, что Yn → 0 при n → ∞, если достаточно мала
величина:
C
t2p/k
Rp
Y
p(p−2)/k
0 6 γ0. (23)
С другой стороны, в силу теоремы 1 и оценки (7) для всего пространства R
3 для Y0 спра-
ведлива оценка
Y0 6 sup
0<τ<t
∫
R3
H
2(x, τ) dx +
t
∫
0
∫
R3
|DH|p dxdτ 6 C(H0,F).
Таким образом, если при фиксированном t > 0 число R в (23) выбрано достаточно большим,
R > R(t) ≡ max{8f(t), C(H0,F)t2/k},
то неравенство (23) выполнено и, следовательно, Yn → 0 при n → ∞. Последнее же в силу
определения величин Yn и функций Vn(x, t) означает, что H(x, t) ≡ 0 в шаровом слое
{x ∈ R
3 : R/2 6 |x| 6 R} при любом R > R(t). Тем самым теорема 2 доказана, так как
установлены финитность решения и соотношение (11).
1. Hong-Ming Yin. On a p-Laplacian type of evolution system and applications to the Bean model in the
type-II superconductivity theory // Quart. Appl. Math. – 2001. – 59, No 1. – P. 47–66.
2. Hong-Ming Yin, Ben Q. Li, Jun Zou. A degenerate evolution system modeling Bean’s critical-state type-II
superconductors // Discrete and Continuous Dynamical Systems. – 2002. – 8, No 3. – P. 781–794.
3. Тедеев А.Ф. Условия существования и несуществования в целом по времени компактного носителя
решений задачи Коши для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Сиб. мат.
журн. – 2004. – 45, № 1. – С. 189–200.
4. Andreucci D., Tedeev A.F. Finite speed of propagation for the thin-film equation and other higher-order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3. – P. 233–264.
5. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv.
Different. Equat. – 2005. – 10, No 1. – P. 89–120.
6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
Поступило в редакцию 04.09.2006Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 13
|