Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем
Одержано асимптотично точну оцінку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїчними многочленами у просторі L₁. An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space L₁....
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2010
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165103 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем / О.В. Моторная, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 409–422. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860008512170491904 |
|---|---|
| author | Моторная, О.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. |
| author_facet | Моторная, О.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. |
| citation_txt | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем / О.В. Моторная, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 409–422. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Одержано асимптотично точну оцінку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїчними многочленами у просторі L₁.
An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space L₁.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. П. Моторный (Днепропетр. нац. ун-т),
О. В. Моторная (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
П. К. Нитиема (Ун-т Уагадугу, Буркина-Фасо)
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ В СРЕДНЕМ
An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step-like data by
algebraic polynomials in the space L1.
Одержано асимптотично точну оцiнку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїч-
ними многочленами у просторi L1.
Введение. Пусть Pn — множество всех алгебраических многочленов степени не
выше n− 1 и
E+
n (f)1 = inf
1∫
−1
{P (t)− f(t)}dt : P ∈ Pn, P (t) ≥ f(t), t ∈ [−1; 1]
(
соответственно
E−n (f)1 = inf
1∫
−1
{f(t)− P (t)}dt : P ∈ Pn, P (t) ≤ f(t), t ∈ [−1; 1
— наилучшее сверху (соответственно снизу) приближение ограниченной измери-
мой функции f алгебраическими многочленами. Положим
(x)+ =
x, x > 0,
0, x ≤ 0.
Тогда для любого натурального числа r функция (x− a)r−1
+ называется усеченной
степенью, а в случае r = 1 — ступенькой.
Оценки для наилучших односторонних приближений усеченных степеней (x−
− a)r−1
+ алгебраическими многочленами в пространстве L1 получены в работах
[1 – 3]. В работах [1, 2] были доказаны неравенства
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r+1
nr
− Cr
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
≤ E∓n
(
(x− a)r−1
+
(r − 1)!
)
1
≤
≤
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r−1
nr
+ Cr
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
, (1)
где Br(t) — функции Бернулли,
Br(t) =
∞∑
k=1
cos(kx− πr/2)
kr
,
а величина Cr зависит только от r.
c© В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА, 2010
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3 409
410 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Главные части левой и правой частей неравенств (1) совпадают при a = 0, что
позволило получить асимптотически точную оценку величины E∓n (W r
1 )1,
E∓n (W r
1 )1 =
‖2Br‖C
nr
+O
(
1
nr+1
)
,
в которой величина, определяющая остаточный член, зависит только от r. Класс
W r
p , r = 1, . . . , p ≥ 1, состоит из функций, заданных на отрезке [−1, 1], (r − 1)-я
производная которых абсолютно непрерывна и ‖f (r)‖1 ≤ 1, а
E∓n (W r
1 )1 = sup
f∈W r
p
E±n (f)1.
Если a 6= 0, то главные части неравенств (1) разные. В работе [3] построен метод
приближения усеченных степеней, уточняющий оценку (1). Этот результат заклю-
чается в следующем.
Для любого натурального r и a ∈ (−1, 1) существуют алгебраические поли-
номы P+
n,r,a(x) (соответственно P−n,r,a(x)) степени не выше n, приближающие
усеченную степень сверху (соответственно снизу) такие, что справедливо равен-
ство ∥∥∥∥∥ (x− a)r−1
+
(r − 1)!
− P∓n,r,a(x)
∥∥∥∥∥
1
=
=
supt(∓2Br(t))
(√
1− a2
)r
nr
+O
(
lnn
(√
1− a2
)(r−2)+
nr+1
)
, (2)
где величина, определяющая остаточный член, зависит только от r.
Равенство (2) дает оценку сверху величины
1
(r − 1)!
E∓n
(
(x−a)r−1
+ )
)
1
. Оставал-
ся открытым вопрос об оценке снизу этой величины. Существует предположение,
что оценка снизу величины
1
(r − 1)!
E∓n
(
(x− a)r−1
+ )
)
1
совпадает с оценкой сверху.
В настоящей работе мы покажем, что в случае r = 1 это действительно так.
Приближение функций интерполяционными тригонометрическими поли-
номами полуцелого порядка в пространстве L1. Пусть 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ . . .
. . . ≤ t2n < 2π. Тогда полином (см. [5]) lk(t) полуцелого порядка 2n − 1/2, удов-
летворяющий условию
lk(tj) =
0, j 6= k,
1, j = k,
l′k(tj) = 0, j, k = 1, 2, . . . , 2n,
имеет вид
lk(t) =
[
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
]2 [
cos
t− tk
2
− 2ω′′(tk)
ω′(tk)
sin
t− tk
2
]
,
где ω(t) =
∏2n
j=1
sin(t − tj)/2, а полином hk(t) полуцелого порядка 2n − 1/2,
удовлетворяющий условию
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 411
h′k(tj) =
0, j 6= k,
1, i = k,
hk(tj) = 0, j, k = 1, 2, . . . , 2n,
— вид
hk(t) = 2
[
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
]2
sin
t− tk
2
.
Тогда
H2n−1/2(t) =
2n∑
k=1
[
yklk(t) + y′khk(t)
]
является полиномом полуцелого порядка 2n − 1/2, удовлетворяющим условиям
Q2n−1(tj) = yj , Q
′
2n−1(tj) = y′j , где yj , j = 1, 2, . . . , n, y′j , j = 1, 2, . . . , n, —
произвольные числа. ПолиномH2n−1/2(t), удовлетворяющий указанным условиям,
единствен (см. [6]).
Полиномы полуцелого порядка удовлетворяют условию
Hn−1/2(t+ 2π) = −Hn−1/2(t). (3)
Поэтому, естественно, интерполировать и приближать полиномами полуцелого по-
рядка следует функции f(t), заданные на всей действительной оси и удовлетворя-
ющие условию (3). Такие функции будем называть антипериодическими, а число
2π — антипериодом.
Пусть cos tk = xk, k = 1, 2, . . . , n, tk ∈ (0;π), где xk — нули многочлена
Лежандра Pn(x), записанные в порядке убывания. Доопределим еще точки tn+k,
k = 1, 2, . . . , n, равенством tn+k = 2π − tn−k+1, k = 1, 2, . . . , n. Нетрудно видеть,
что ω(t) = 2−nPn(cos t) и
ω′′(tk)
ω′(tk)
= −cos tk
sin tk
.
Из равенства (см. [7], (4.1.3)) Pn(−x) = (−1)nPn(x), которому удовлетворяют
многочлены Лежандра, следует, что если cos t0 явлется нулем многочлена Pn(x),
то − cos t0 также есть нуль этого многочлена. Следовательно, для любого k =
= 1, 2, . . . , [(n + 1)/2] ([a]− целая часть числа a) tn−k+1 = π − tk. Это замечание
дает возможность доказать следующие утверждения.
Лемма 1. Для любого k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] имеют место равенства
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tn−k+1) sin tn−k+1 sin(t− tn−k+1)/2
]2
dt =
=
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
]2
dt. (4)
Доказательство. Подставив в левую часть предполагаемого равенства (4) вме-
сто tn−k+1 разность π − tk, будем иметь
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− π + tk)/2
]2
dt,
а затем, заменив в интеграле t− π на −u, получим правую часть равенства (4).
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
412 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Лемма 2. Для любого k = 1, 2, . . . , n имеют место равенства
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos t2n−k+1) sin t2n−k+1 sin(t− t2n−k+1)/2
]2
dt =
=
2π∫
0
[
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
]2
dt. (5)
Доказательство. В силу определения узлов tk для k = n + 1, n + 2, . . . <
< 2n получаем t2n−k+1 = tn+(n−k+1) = 2π − tk. Поэтому
∣∣P ′n(cos t2n−k+1)
∣∣ =
=
∣∣P ′n(cos(2π−tk))
∣∣ =
∣∣P ′n(cos tk)
∣∣, ∣∣ sin t2n−k+1
∣∣ =
∣∣ sin tk∣∣, ∣∣ sin(t−t2n−k+1)/2
∣∣ =
=
∣∣ sin(t − 2π + tk)/2
∣∣, k = 1, 2, . . . , n. Подставляя найденные значения в левую
часть равенства (5), а затем выполняя в интеграле замену переменной t−2π = −u,
получаем правую часть равенства (5).
Лемма доказана.
Замечания. 1. Пусть Lk(t) =
Pn(cos t)
2P ′n(cos tk) sin tk sin(t− tk)/2
. Согласно лем-
мам 1, 2, оценивая интегралы от функций L2
k(t) по отрезку [0; 2π], достаточно рас-
смотреть k = 1, 2, . . . , [(n + 1)/2]. Очевидно, что последним замечанием
можно пользоваться и при оценке интегралов по отрезку [0; 2π] от функций
L2
k(t)
sin(t− tk)/2
sin tk
и L2
k(t) sin
t− tk
2
.
2. Будем обозначать абсолютные константы через C,C1, . . . , а величины, за-
висящие от параметра r, через Cr, хотя их значения в разных местах могут быть
различными.
В дальнейшем нам будут необходимы некоторые свойства полиномов Лежанд-
ра и нулей этих полиномов. Будем считать, что полиномы Pn(t) нормированы
условием Pn(1) = 1 и числа tk ∈ (0;π), k = 1, 2, . . . , n, такие, что cos tk = xk, где
xk — нули многочлена Лежандра Pn(x), записанные в порядке убывания.
1. Имеет место неравенство (см. [7], теорема 7.32.2)
|Pn(x)| ≤ Cn−1/2
(√
1− x+ 1/n
)−1/2
, 0 ≤ x ≤ 1, (6)
где C — абсолютная константа. В частности, если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ (0;π/2], то
Pn(t) ≤ C
n1/2
√
sin tj + 1/n
. (7)
2. Для нулей tk, k = 1, 2, . . . , n, полинома Pn(t) имеет место равенство (см. [7],
(8.9.1))
tk =
1
n
(
πk +O(1)
)
, (8)
где O(1) равномерно ограничена для всех n и k = 1, 2, . . . , n.
3. Для k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] выполняется неравенство (см. [7], (8.9.2))
1
P ′n(cos tk) sin tk
≤ Cnk−1/2, (9)
где C — абсолютная константа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 413
4. Для k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] имеет место неравенство∣∣Lk(t)
∣∣ ≤ C, t ∈ (tk−1; tk+1). (10)
5. Нули многочлена Лежандра удовлетворяют условию (см. [7], (6.3.3), (6.3.8),
(6.3.10))
3π
2(2n+ 1)
< t1 < t2 − t1 < . . . < t[n/2]+1 − t[n/2] <
2π
2n+ 1
. (11)
Теорема 1. Для любого k = 1, 2, . . . , [(n+ 1)/2] выполняются неравенства
2π∫
0
L2
k(t)dt ≤ C1
n
,
2π∫
0
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C2
n
,
2π∫
0
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C3 ln(n+ 1)
n2
,
где C1, C2, C3 — абсолютные константы.
Доказательство. Оценим сначала интеграл от функции L2
k(t) по отрезку
[−π/2;π/2] :
π/2∫
−π/2
L2
k(t)dt =
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
tj+1∫
tj
L2
k(t)dt. (12)
В силу неравенства (10)
∫ tk+1
tk−1
L2
k(t)dt ≤ C/n, где C — абсолютная константа.
Тогда
π/2∫
−π/2
L2
k(t)dt ≤
≤ Ck
n
−1∑
j=−[n/2]−1
−1
j(k − j)2
+
k−1∑
j=1
1
j(k − j)2
+
[n/2]∑
j=k+1
1
j(k − j)2
+ 1/n
≤ C
n
.
(13)
Переходя к оценке интеграла от функции L2
k(t) по отрезку [π/2; 3π/2], заметим, что
|Pn(cos t)| = |Pn(cos(π−t))|, и если t ∈ [π/2; 3π/2], то π−t ∈ [−π/2;π/2].Поэтому
в силу (6) – (8) |Pn(cos t)| = |Pn(cos(π − t))| ≤ Cn−1/2(| sin(π − t)| + 1/n)−1/2, а
если t ∈ (tj ; tj+1), то |Pn(cos t)| ≤ Cn−1/2(|n− j|/n+ 1/n)−1/2. Поэтому
π∫
π/2
L2
k(t)dt ≤ Ck
n
n∑
j=[n/2]
1
(n− j + 1)(j − k)2
≤ C
n
. (14)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то (t − tk) ∈ (π/4; 3π/4). Следовательно, sin(t −
− tk) ≥ 1/
√
2. Тогда в силу неравенства (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
414 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
3π/2∫
π
L2
k(t)dt ≤ Ck
n2
3π/2∫
π
P 2
n(cos t)dt ≤ Ck
n3
π/2∫
0
(sin t+ 1/n)−1dt ≤ C
n
. (15)
Из неравенств (13) – (15) следует оценка интеграла от функции L2
k(t). Чтобы оце-
нить интеграл от функции L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
, заметим, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂
⊂ [−π/2;π/2], то
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
≤ C
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
.
Поэтому
π/2∫
−π/2
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
1
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
≤ C2
n
. (16)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π/2;π], то
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
≤ C
(j − k)(|j − n|+ 1)
,
π∫
π/2
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n
n∑
j=[n/2]+1
1
(j − k)(|j − n|+ 1)
≤ C2
n
. (17)
Снова учитывая то, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то sin(t − tk) ≥ 1/
√
2,
получаем
3π/2∫
π
L2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤ C
n3/2
π/2∫
0
(sin t+ 1/n)−1dt ≤ C
n
. (18)
Из неравенств (16) – (18) следует оценка интеграла от функцииL2
k(t)
| sin(t− tk)/2|
sin tk
.
Чтобы оценить интеграл
2π∫
0
L2
k(t)| sin(t− tk)/2|dt,
заметим, что если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [−π;π/2], то
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ ≤ Ck
n(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
.
Поэтому
π/2∫
−π/2
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n2
[n/2]∑
j=−[n/2]−1
1
(|j|+ 1)(|j − k|+ 1)
≤ C ln(n+ 1)
n2
.
(19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 415
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π/2;π], то
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ ≤ Ck
n(|n− j|+ 1)(j − k)
.
Следовательно,
π∫
π/2
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n2
n∑
j=[n/2]
1
(|n− j|+ 1)(j − k)
≤ C ln(n+ 1)
n2
. (20)
Если t ∈ (tj ; tj+1) ⊂ [π; 3π/2], то sin(t− tk) ≥ 1/
√
2 и
3π/2∫
π
L2
k(t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ Ck
n3
π/2∫
0
(
sin t+
1
n
)−1
dt ≤ C ln(n+ 1)
n2
. (21)
Из неравенств (19) – (21) следует оценка интеграла от функции L2
k(t)| sin(t−tk)/2|.
Теорема доказана.
Следствие 1. Утверждение теоремы 1 означает, что существуют абсолют-
ные константы C1 и C2 такие, что
2π∫
0
|lk(t)|dt ≤ C1
n
, (22)
2π∫
0
|hk(t)|dt ≤ C1 ln(n+ 1)
n2
. (23)
Пусть числа yj , j = 1, 2, . . . , 2n, и y′j , j = 1, 2, . . . , 2n, являются значениями
в точках tj антипериодической функции f(t) и ее производной f ′(t). Далее будем
предполагать, что производная f ′(t) есть функция ограниченной вариации. Если в
точке tj производная f ′ имеет разрыв, то будем полагать, что y′j = f ′(tj + 0) либо
y′j = f ′(tj − 0). Пусть
An(f ; t) =
2n∑
k=1
f(xj)lk(t), Bn(f ; t) =
2n∑
k=1
f ′(xk + 0)hk(t).
Лемма 3. Для любой антипериодической функции, имеющей производную
ограниченной вариации, имеет место неравенство
‖An(f)‖1 ≤ C
(
‖f‖1 +
‖f ′‖1
n
)
, (24)
‖Bn(f)‖1 ≤
C ln(n+ 1)
n+ 1
(
‖f ′‖1 +
V 2π
0 (f ′)
n
)
. (25)
Доказательство. Для данной антипериодической функции f определим кусоч-
но-постоянную антипериодическую функцию, задав ее на полуинтервале [t1; t2n+1),
где t2n+1 = t1 + 2π, равенством fn(t) = f(tj), если t ∈ [tj ; tj+1), j = 1, 2, . . . , 2n.
Очевидно, что An(f ; t) = An(fn; t), Bn(f ; t) = Bn(fn; t) и для всех t ∈ [0;π/n)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
416 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
‖An(f)‖1 = ‖An(fn)‖1 =
∥∥∥∥∥
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))lk(x)
∥∥∥∥∥
1
.
Аналогично
‖Bn(f)‖1 = ‖Bn(fn)‖1 =
∥∥∥∥∥
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))hk(x)
∥∥∥∥∥
1
,
где αk(t) = (tk+1 − tk)nt/π, t ∈ [0;π/n).
Используя неравенство (22), получаем
∥∥An(f)
∥∥
1
=
n
π
π/n∫
0
2π∫
0
∣∣∣∣∣
2n∑
k=1
fn(tk + αk(t))lk(x)
∣∣∣∣∣ dxdt ≤
≤ n
π
π/n∫
0
2n∑
k=1
2π∫
0
∣∣lk(x)
∣∣dx∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt ≤
≤ C
2n∑
k=1
π/n∫
0
∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt. (26)
В каждом интеграле выполним замену переменной интегрирования u = tk +αk(t)
и воспользуемся неравенствами (11). Тогда
2n∑
k=1
π/n∫
0
∣∣fn(tk + αk(t))
∣∣dt =
2n∑
k=1
π
n(tk+1 − tk)
tk+1∫
tk
|fn(u)|du ≤
≤ C1
2n∑
k=1
tk+1∫
tk
∣∣fn(u)
∣∣du = C1‖fn‖1. (27)
Из определения функции fn следует
‖fn‖1 ≤ ‖fn − f‖1 + ‖f‖1 ≤ ‖f‖1 +
π
n
V 2π
0 f. (28)
Из неравенств (26) – (28) следует (24). Аналогично, используя неравенства (23) и
(11), доказываем неравенство (25).
Лемма доказана.
Замечание 3. Лемма 3 будет справедливой, если в определении операторов
Bn(f) вместо чисел f ′(tj + 0) использовать f ′(tj − 0).
Для любой функции f, имеющей производную ограниченной вариации, поло-
жим
H2n−1/2(f ; t) = An(f ; t) +Bn(f ; t).
Пусть W rKV (r — натуральное число) — множество антипериодических функ-
ций, (r − 1)-я производная которых абсолютно непрерывна, а V 2π
0 (f (r) ≤ K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 417
Теорема 2. Для любой функции f ∈W rKV выполняется неравенство∥∥f −H2n−1/2(f)
∥∥
1
≤ CrK
ln(n+ 1)
nr+1
,
где величина Cr зависит только от r.
Доказательство. Поскольку для любого полинома Q2n−1/2 полуцелого по-
рядка 2n− 1/2 имеет место равенство
H2n−1/2(Q2n−1/2) = Q2n−1/2,
то, взяв в качестве Q2n−1/2 полином наилучшего приближения функции f и
использовав теорему А. Л. Гаркави [8] об одновременном приближении функции
и ее производных и лемму 3, получим∥∥f −H2n−1/2(f)
∥∥
1
≤ ‖f −Q2n−1/2‖1 +
∥∥H2n−1/2(f −Q2n−1/2)
∥∥
1
≤
≤ C1‖f −Q2n−1/2‖1 +
C2 ln(n+ 1)
n
‖f ′ −Q′2n−1/2‖1+
+
C3 ln(n+ 1)
n2
V 2π
0 (f ′ −Q′2n−1/2) ≤
≤ CrK
ln(n+ 1)
nr+1
.
Теорема доказана.
Оценка снизу односторонних приближений ступеньки алгебраическими
многочленами в среднем. Будем рассматривать приближения снизу (односто-
ронние приближения сверху рассматриваются аналогично). Пусть t1, t2, . . . , t2n
— узлы интерполирования, определяемые нулями полинома Лежандра: cos tk =
= xk, k = 1, 2, . . . , n, где xk — нули многочлена Лежандра Pn(x), записанные
в порядке убывания. Для k = 1, 2, . . . , n точки tn+k = 2π − tn−k+1. Посколь-
ку
∑2n
k=1
tk = 2πn, тригонометрический полином L2n(t) порядка 2n с коэффи-
циентом при cos 2nt, равным нулю, удовлетворяющим условиям L2n(tk) = yk,
L′2n(tk) = y′k, k = 1, 2, . . . , 2n, где yk и y′k, k = 1, 2, . . . , 2n, — заданные числа,
имеет вид (см. [5, с. 79, 80])
L2n(t) =
2n∑
k=1
ykck(t) +
2n∑
k=1
y′kdk(t).
Здесь
ck = l2k(t)(1− ω′′(tk)
ω′(tk)
sin(t− tk), dk = l2k(t) sin(t− tk),
lk(t)
ω(t)
2ω′(tk) sin(t− tk)/2
, ω(t) =
2n∏
j=1
sin(t− tj)
2
.
При этом коэффициент b2n при sin 2nt равен
1
24n
2n∑
k=1
1
ω′2(tk)
[
ω′′(tk)
ω′(tk)
yk − y′k
]
, где
ω′′(tk)
ω′(tk)
= −cos tk
sin tk
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
418 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Построим полином L−2n−1(B1(tk − ∗); t) порядка 2n − 1, интерполирующий
ядро Бернулли B1(tk − t) и его производную в точках tj , j 6= k. В точке tk
положим L−2n−1(B1(tk − ∗); t) равным −π/2, а y′k выберем так, чтобы коэффици-
ент b2n был равен нулю. Очевидно, что в некоторой окрестности слева от точки
tk будет иметь место неравенство L−2n−1(B1(tk − ∗); t) < B1(tk − t). Посколь-
ку степень интерполяционного полинома не превышает 2n − 1, указанное нера-
венство будет выполняться всюду, за исключением точек tj . Аналогично опре-
делим полином L−2n−1(B1(tk + ∗); t) порядка 2n − 1, интерполирующий функ-
цию B1(tk + t) и ее производную в точках tj , j 6= k. В точке tk положим
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) равным −π/2, а y′k выберем так, чтобы коэффициент b2n был
равен нулю. Имеет место неравенство L−2n−1(B1(tk + ∗); t) ≤ B1(tk + t). Так как
ηk(t) := (cos tk− cos t)0+ =
1
π
(B1(t+ tk) +B1(tk− t)) +
tk
π
, четный тригонометри-
ческий полином T2n−1(t) = L−2n−1(B1(tk −∗); t) +L−2n−1(B1(tk + ∗); t) +
tk
π
будет
интерполировать функцию ηk(t) в точках tj . Поскольку T2n−1(t) можно предста-
вить в виде T2n−1(t) = P2n−1,k(cos t), где P2n−1,k(x) — алгебраический многочлен
степени не выше 2n−1, алгебраический многочлен P2n−1,k(x) интерполирует сту-
пеньку (xk−x)0+ и ее производную в точках xj , j 6= k, а в точке xk P2n−1,k(xk) = 0.
При этом P2n−1,k(x) ≤ (xk − x)0+ для всех x ∈ [−1; 1].
Лемма 4. Многочлен P2n−1,k(x) является многочленом наилучшего односто-
роннего приближения снизу ступеньки (xk − x)0+ в пространстве L1.
Доказательство. Рассмотрим функционал Φg(f), определяемый функцией
1−
∑n
k=1
pkδ(x− xk) следующим образом:
Φg(f) =
1∫
−1
f(x)dx−
n∑
k=1
pkf(xk),
где числа pk определяют квадратурную формулу
∫ 1
−1
f(x)dx ≈
∑n
k=1
pkf(xk) наи-
высшей алгебраической точности (2n− 1) — квадратурную формулу Гаусса. Тогда
для любого многочлена Q2n−1(x) степени не выше 2n− 1 такого, что Q2n−1(x) ≤
≤ (xk − x)0+, в силу того, что функционал Φg(f) равен нулю на любом алгебраи-
ческом многочлене степени не выше 2n− 1, получаем
1∫
−1
[
(xk − x)0+ − P2n−1,k(x)
]
dx = Φg
(
(xk − x)0+ − P−2n−1,k(x)
)
=
= Φg((xk − x)0+ −Q2n−1(x) +Q2n−1(x)− P2n−1,k(x)) =
= Φg((xk − x)0+ −Q2n−1(x)) =
=
1∫
−1
[
(xk − x)0+ −Q2n−1(x)
]
dx−
n∑
i=1
pi((xk − xi)0+ −Q2n−1(xi)) ≤
≤
1∫
−1
[
(xk − x)0+ −Q2n−1(x)
]
dx. (29)
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 419
Лемма 5. Для любого k выполняются неравенства
2π∫
0
B1(tk − t)− L−2n(B1(tk − ∗); t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2
, (30)
2π∫
0
B1(tk + t)− L−2n(B1(tk + ∗); t)
∣∣∣∣sin t+ tk
2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2
. (31)
Доказательство. Полином L−2n−1(B1(tk−∗); t) sin
t− tk
2
полуцелого порядка
2n − 1
2
дважды интерполирует функцию B1(tk − t) sin
t− tk
2
в узлах tk, k =
= 1, 2, . . . , 2n. При этом
d
dt
(L−2n−1(B1(tk − ∗); t) sin
t− tk
2
∣∣∣∣
t
= tk = B1(−0). Так
как функция B1(tk − t) sin
t− tk
2
принадлежит классу W 1KV, в силу теоремы 2
имеет место неравенство (30). Аналогично доказывается соотношение (31).
Лемма доказана.
Следствие 2. Пусть tk ∈ (0, π). Тогда имеют место неравенства
0∫
−π
(
B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≤ C lnn
n2 sin tk
, (32)
π∫
0
(
B1(tk + t)− L−2n−1(B1(tk + ∗); t)
)
dt ≤ C lnn
n2 sin tk
. (33)
Доказательство. Действительно, используя теорему 2 и неравенство 2
∣∣ sin(t−
− tk)/2
∣∣ ≥ sin tk, выполняющееся для всех t из отрезка, по которому вычисляется
интеграл, получаем
0∫
−π
(
Br(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≤
≤ 2
0∫
−π
(
Br(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
) | sin(t− tk)/2|
sin tk
dt ≤
≤ 2
sin tk
2π∫
0
B1(tk − t)− L−2n(B1(tk − ∗); t)
∣∣∣∣sin t− tk2
∣∣∣∣ dt ≤ C lnn
n2 sin tk
.
Аналогично доказывается неравенство (33). В этом случае необходимо восполь-
зоваться неравенством 2| sin(t + tk)/2| ≥ sin tk, выполняющимся для всех t из
отрезка, по которому вычисляется интеграл в (33), и теоремой 2.
Теорема 3. Для любого tk ∈ (0, π) имеет место неравенство
E−2n−1
(
(cos tk − ∗)0+
)
1
≥ 2 suptB1(t) sin tk
n
− C ln(n+ 1)
n2
. (34)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
420 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
Доказательство. Имеем
E−2n−1
(
(cos tk − ∗)0+
)
1
=
1∫
−1
(
(cos tk − x)0+ − P2n−1,k(x)
)
dx =
=
π∫
0
[
(cos tk − cos t)0+ − P2n−1,k(cos t)
]
sin tdt =
=
1
π
∫ π
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
− (L−2n−1(B1(tk + ∗); t)+
+L−2n−1
(
B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt.
Легко проверить равенство
1
π
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin t =
=
sin tk
π
(
−B1(t+ tk) +B1(tk − t)+
+L−2n−1(B1(tk + ∗); t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
−
− 1
π
(sin t− sin tk)
(
L−2n−1(B1(tk − ∗); t)−B1(tk − t)
)
+
+
1
π
(sin t+ sin tk)
(
B1(t+ tk)− L−2n−1(B1(tk + ∗); t)
)
. (35)
Используя равенство (35) и оценки (30), (31), получаем
1
π
π∫
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt ≥
≥ sin tk
π
π∫
0
(
−B1(t+ tk) +B1(tk − t)+
+L−2n−1(B1(tk + ∗); t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt− C lnn
n2
=
=
sin tk
π
π∫
−π
(B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t))dt −
−
0∫
−π
(B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t))dt +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
ОБ ОДНОСТОРОННЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ СТУПЕНЬКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 421
+
π∫
0
(−B1(t+ tk) + L−2n−1(B1(tk + ∗); t))dt
− C lnn
n2
.
Поскольку
π∫
−π
(
B1(tk − t)− L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
dt ≥ E−n (B1)1,
применяя к интегралам, содержащимся в круглых скобках, следствие 2, имеем
1
π
π∫
0
(
B1(t+ tk) +B1(tk − t)
)
−
−
(
L−2n−1(B1(tk + ∗); t) + L−2n−1(B1(tk − ∗); t)
)
sin tdt ≥
≥ sin tk
π
E−n (B1)1 −
C ln(n+ 1)
n2
. (36)
Из оценок (35), (36) следует (34).
Теорема доказана.
Чтобы доказать теорему 3 для любого числа a ∈ (−1; 1), следует использо-
вать утверждение, справедливое (см. [9]) для обычных наилучших приближений
усеченных степеней.
Лемма 6. Пусть xk = cos tk, k = 1, 2, . . . , n, — нули многочлена Лежандра.
Тогда имеют место неравенства
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
> E−n
(
(xk0 − x)r−1
+
)
1
(
1− π
n+ 1
)
, (37)
если a ∈ (xk+1;xk), k = 1, 2, . . . , n, где k0 = k + 1, если a < 0, и k0 = k, если
a ≥ 0.
Доказательство. Пусть a < 0, z = 1 + a − xk+1 и Qn(x) — алгебраичес-
кий многочлен наилучшего приближения снизу усеченной степени (a − x)r−1
+ в
пространстве L1. Тогда
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
=
1∫
−1
[
(a− x)r−1
+ −Qn(x)
]
dx =
=
z∫
−z
[(
a− u
z
)r−1
+
−Qn
(u
z
)] du
z
=
1
zr
z∫
−z
[
(az − u)r−1
+ − zr−1Qn
(u
z
)]
du.
Полагая u = x+ s, где s = za− xk+1, и используя неравенства z − s > 1 и s > 0,
получаем
E−n
(
(a− x)r−1
+
)
1
=
1
zr
z−s∫
−z−s
[
(az − x− s)r−1
+ − zr−1Qn
(
x+ s
z
)]
dx ≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
422 В. П. МОТОРНЫЙ, О. В. МОТОРНАЯ, П. К. НИТИЕМА
≥ 1
zr
1∫
−1
[
(xk+1 − x)r−1
+ − zr−1Qn
(
x+ s
z
)]
dx ≥
≥ 1
zr
E−n
(
(xk+1 − x)r−1
+
)
1
. (38)
Поскольку 1− (a− xk+1) > 1− (xk − xk+1) и в силу (11) xk − xk+1 < tk+1− tk <
<
2π
2n+ 1
, то
1
zr
> 1− (a− xk+1) > 1− π
n+ 1
. (39)
Из (38) и (39) следует (37) для a < 0. Случай a ≥ 0 рассматривается аналогично.
Лемма доказана.
1. Motornyi V. P., Pas’ko A. N. On the best one-sided approximation of some classes of differentiable
functions in L1 // East. J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 159 – 169.
2. Моторный В. П., Пасько А. Н. Наилучшие одностороннее приближение усеченных степеней и
оценки погрешности квадратурных формул на некоторых классах функций // Вестн. Днепропетр.
нац. ун-та. Математика. – 2003. – № 8. – С. 74 – 80.
3. Моторный В. П., Моторная О. В. Об одностороннем приближении усеченных степеней алгебраи-
ческими многочленами в среднем // Тр. Мат. ин-та РАН. – 2005. – 248. – С. 185 – 193.
4. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. – М.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.
5. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. – Минск: Вышэйш. шк., 1968. – 318 с.
6. Турецкий А. Х. Теория интерполирования в задачах. – Минск: Вышэйш. шк., 1977. – 256 с.
7. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Физматгиз, 1962.– 500 с.
8. Гаркави А. Л. О совместном приближении периодической функции и ее производных тригоно-
метрическими полиномами // Изв. АН СССР Сер. мат. – 1960. – 24. – С. 103 – 128.
9. Motornyi V. P., Nitiema P. C. On the best L1-approximation by polynomials of functions which are
fractional integrals of summa functions // East. J. Approxim. – 1994. – 2, № 4. – P. 409 – 425.
Получено 19.10.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2010, т. 62, № 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165103 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:49Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Моторная, О.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. 2020-02-11T18:03:12Z 2020-02-11T18:03:12Z 2010 Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем / О.В. Моторная, В.П. Моторный, П.К. Нитиема // Український математичний журнал. — 2010. — Т. 62, № 3. — С. 409–422. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165103 517.5 Одержано асимптотично точну оцінку найкращого одностороннього наближення сходинки алгебраїчними многочленами у просторі L₁. An asymptotically sharp estimate is obtained for the best one-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the space L₁. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean Article published earlier |
| spellingShingle | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем Моторная, О.В. Моторный, В.П. Нитиема, П.К. Статті |
| title | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_alt | One-sided approximation of a step by algebraic polynomials in the mean |
| title_full | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_fullStr | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_full_unstemmed | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_short | Об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| title_sort | об одностороннем приближении ступеньки алгебраическими многочленами в среднем |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165103 |
| work_keys_str_mv | AT motornaâov obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornyivp obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT nitiemapk obodnostoronnempribliženiistupenʹkialgebraičeskimimnogočlenamivsrednem AT motornaâov onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT motornyivp onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean AT nitiemapk onesidedapproximationofastepbyalgebraicpolynomialsinthemean |