Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений
Розглядається задача про часткову асимптотичну стійкість по відношенню до неперервного функціонала для класу абстрактних динамічних процесів із багатозначними розв'язками на метричному просторі. Вказаний клас процесів містить скінченно- та нескінченновимірні динамічні системи, диференціальні вк...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Series: | Український математичний журнал |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165107 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений / А.Л. Зуев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 629–637. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165107 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1651072025-02-23T18:03:03Z Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений Partial asymptotic stability of abstract differential equations Зуев, А.Л. Статті Розглядається задача про часткову асимптотичну стійкість по відношенню до неперервного функціонала для класу абстрактних динамічних процесів із багатозначними розв'язками на метричному просторі. Вказаний клас процесів містить скінченно- та нескінченновимірні динамічні системи, диференціальні включення, рівняння із загаюванням. Доведено узагальнення теореми Барбашина-Красовського та принципу інваріантності Лаcалля в умовах існування неперервного функціонала Ляпунова. У випадку існування диференційовного функціонала Ляпунова отримано достатні умови часткової стійкості неперервних напівгруп у банаховому просторі. We consider the problem of partial asymptotic stability with respect to a continuous functional for a class of abstract dynamical processes with multivalued solutions on a metric space. This class of processes includes finite-and infinite-dimensional dynamical systems, differential inclusions, and delay equations. We prove a generalization of the Barbashin-Krasovskii theorem and the LaSalle invariance principle under the conditions of the existence of a continuous Lyapunov functional. In the case of the existence of a differentiable Lyapunov functional, we obtain sufficient conditions for the partial stability of continuous semigroups in a Banach space. Частично поддержана Международным центром теоретической физики им. Абдуса Салама (Триест, Италия) и фондом Александра фон Гумбольта (Германия). 2006 Article Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений / А.Л. Зуев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 629–637. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165107 517.925.51,517.911.5 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Зуев, А.Л. Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений Український математичний журнал |
| description |
Розглядається задача про часткову асимптотичну стійкість по відношенню до неперервного функціонала для класу абстрактних динамічних процесів із багатозначними розв'язками на метричному просторі. Вказаний клас процесів містить скінченно- та нескінченновимірні динамічні системи, диференціальні включення, рівняння із загаюванням. Доведено узагальнення теореми Барбашина-Красовського та принципу інваріантності Лаcалля в умовах існування неперервного функціонала Ляпунова. У випадку існування диференційовного функціонала Ляпунова отримано достатні умови часткової стійкості неперервних напівгруп у банаховому просторі. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. |
| author_facet |
Зуев, А.Л. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165107 |
| citation_txt |
Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных уравнений
/ А.Л. Зуев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 629–637. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT zueval častičnaâasimptotičeskaâustojčivostʹabstraktnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT zueval partialasymptoticstabilityofabstractdifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-24T06:40:22Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:40:22Z |
| _version_ |
1849652855623909376 |
| fulltext |
УДК 517.925.51, 517.911.5
А. Л. Зуев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк;
Техн. ун-т Ильменау, Германия)
ЧАСТИЧНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ∗
We consider the problem of partial asymptotic stability with respect to a continuous functional for a class
of abstract dynamical processes with multivalued solutions on a metric space. This class of processes
includes finite- and infinite-dimensional dynamical systems, differential inclusions, and delay equations.
We prove a generalization of the Barbashin – Krasovskii theorem and the LaSalle inbvariance principle
under the condition of the existence of a continuous Lyapunov functional. In the case of the existence of
a differentiable Lyapunov functional, we obtain sufficient conditions for the partial stability of continuous
semigroups in a Banach space.
Розглядається задача про часткову асимптотичну стiйкiсть по вiдношенню до неперервного функ-
цiонала для класу абстрактних динамiчних процесiв iз багатозначними розв’язками на метричному
просторi. Вказаний клас процесiв мiстить скiнченно- та нескiнченновимiрнi динамiчнi системи,
диференцiальнi включення, рiвняння iз загаюванням. Доведено узагальнення теореми Барбашина –
Красовського та принципу iнварiантностi ЛаСалля в умовах iснування неперервного функцiонала
Ляпунова. У випадку iснування диференцiйовного функцiонала Ляпунова отримано достатнi умови
часткової стiйкостi неперервних напiвгруп у банаховому просторi.
Введение. Задача стабилизации нелинейных бесконечномерных динамических
систем занимает важное место в современной теории управления [1, 2]. Такие ди-
намические системы возникают, в частности, при математическом моделировании
процессов с запаздываниями, движения роботов-манипуляторов с гибкими звенья-
ми, спутников с упругими антеннами и панелями солнечных батарей. Необходи-
мость решения проблем стабилизации и отслеживания программных траекторий
этих систем стимулирует развитие методов теории устойчивости в бесконечномер-
ных пространствах. Известно, что для ряда важных классов механических систем
асимптотическая стабилизация невозможна, и естественно возникает постановка
задачи об устойчивости по части переменных [3], которая изучена в основном для
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих свойство един-
ственности решений задачи Коши. С другой стороны, использование негладких
и даже разрывных законов управления расширяет класс стабилизируемых систем,
одновременно приводя к потере единственности решений (см. [4]). В связи с этим
возникает необходимость исследования асимптотических свойств пучков траекто-
рий в абстрактной постановке.
Целью данной статьи является развитие метода функционалов типа Ляпунова
для описания частичной асимптотической устойчивости абстрактных динамиче-
ских процессов.
1. Частичная асимптотическая устойчивость многозначных динамических
процессов. Пусть X — метрическое пространство, снабженное расстоянием ρ :
X × X → R+, где R+ = [0,+∞). Обозначим через κ множество всех функций
x : R+ → X, а через 2κ множество всех подмножеств κ.
Определение 1. Отображение π : X → 2κ называется многозначной D-
системой на X, если:
∗Частично поддержана Международным центром теоретической физики им. Абдуса Салама
(Триест, Италия) и фондом Александра фон Гумбольта (Германия).
c© А. Л. ЗУЕВ, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 629
630 А. Л. ЗУЕВ
A1) π(x0) 6= ∅ для всех x0 ∈ X;
A2) любой элемент x(·) ∈ π(x0) характеризуется свойством x(0) = x0;
A3) для любых x0 ∈ X, s ∈ R+, x(·) ∈ π(x0), z(·) ∈ π(x(s)) выполнены условия
u(·) ∈ π(x(s)) и v(·) ∈ π(x0), где u(t) = x(t+ s),
v(t) =
x(t), t ≤ s,
z(t− s), t > s;
A4) для любых x0 ∈ X, ε > 0, T > 0 существует такое δ(x0, ε, T ) > 0, что
из ρ(x̃0, x0) < δ, x̃(·) ∈ π(x̃0) следует
inf
x(·)∈π(x0)
(
sup
t∈[0,T ]
ρ(x̃(t), x(t))
)
< ε;
A5) для каждых x0 ∈ X, T > 0 и последовательности {xn(·)}∞n=1 ⊂ π(x0)
найдется x(·) ∈ π(x0) такое, что
lim inf
n→∞
(
sup
t∈[0,T ]
ρ(xn(t), x(t))
)
= 0.
Элементы x(t) множества π(x0) будем называть решениями задачи Коши для
π с начальным условием x(0) = x0.
Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений введен-
ное выше отображение π(x0) будет состоять из всех решений задачи Коши, опре-
деленных на R+. Предположения A1 и A2 постулируют существование решений,
предположение A3 означает, что положительный сдвиг траектории является трае-
кторией (групповое свойство). Условия A4 и A5 обеспечивают регулярность реше-
ний без предположения об их единственности.
Определение 2. Пусть x(·) ∈ π(x0). Элемент q ∈ X называется ω-предель-
ной точкой для x, если найдется такая последовательность tn → +∞, что
x(tn) → q при n → ∞. Множество всех таких предельных точек будем обо-
значать через Ω(x) и называть ω-предельным множеством для x.
Определение 3. Множество F ⊂ X называется полуинвариантным для π,
если для каждого x0 ∈ F имеется по крайней мере одно решение x(·) ∈ π(x0),
характеризующееся свойством x(t) ∈ F при всех t ∈ R+.
Определение 4. Будем говорить, что x(·) ∈ π(x0) является предкомпактным,
если
⋃
t≥0{x(t)} содержится в некотором (секвенциально) компактном подмно-
жестве X.
Важным свойством в качественной теории дифференциальных уравнений яв-
ляется инвариантность предельных множеств. Следующая лемма распространяет
этот результат на класс многозначных D-систем на метрическом пространстве.
Лемма 1. Пусть π — многозначная D-система и x(·) ∈ π(x0). Если x пред-
компактно, то предельное множество Ω(x) непусто и полуинвариантно.
Доказательство. Из предкомпактности x следует, что для любой последо-
вательности tn → +∞ соответствующая последовательность {x(tn)}∞n=1 имеет
предельную точку, значит, Ω(x) 6= ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ЧАСТИЧНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ... 631
Покажем, что для любых T > 0 и x∗0 ∈ Ω(x) существует функция ξ(·) ∈ π(x∗0),
удовлетворяющая условию ξ(t) ∈ Ω(x) при всех t ∈ [0, T ]. Поскольку x∗0 ∈ Ω(x),
найдется такая последовательность tn → +∞, что x(tn) → x∗0 при n → ∞.
Построим последовательность {φn(·)}∞n=1 ⊂ κ: φn(t) = x(tn + t), t ∈ R+.
Тогда φn(·) ∈ π(x(tn)) в силу предположения A3. Пусть {φn(k)(·)}∞k=1 — под-
последовательность последовательности {φn(·)}∞n=1, удовлетворяющая условию
ρ(φn(k)(0), x∗0) < δk, где числа δk = δ(x∗0, 1/k, T ) > 0 выбраны так же, как в усло-
вии A4. Согласно условию A4, существует последовательность {ψk(·)}∞k=1 ⊂ π(x∗0)
такая, что
sup
t∈[0,T ]
ρ(φn(k)(t), ψk(t)) <
1
k
, k = 1, 2, . . . . (1)
Тогда из условия A5 следует существование такого ξ(·) ∈ π(x∗0) и последователь-
ности {ψk(m)(·)}∞m=1, что
lim
m→∞
(
sup
t∈[0,T ]
ρ(ψk(m), ξ(t))
)
= 0.
Отсюда с использованием (1) получаем
lim
m→∞
(
sup
t∈[0,T ]
ρ(φn(k(m)), ξ(t))
)
= 0.
Поскольку каждое решение φn(·) является сдвигом x(·), каждое значение ξ(t),
0 ≤ t ≤ T, принадлежит Ω(x).
Для завершения доказательства применим описанное выше построение для
каждой из точек x∗i = ξi−1(T ), где ξ0(·) = ξ(·). В результате получим систему
функций ξi(·) ∈ π(ξi−1(T )), имеющую свойство ξi(t) ∈ Ω(x) при всех t ∈ [0, T ],
i = 1, 2, . . . .
Тогда из условия A3 следует, что функции x∗(t) = ξ[t/T ]({t/T}T ) лежат во
множестве π(x∗0), где [t/T ] и {t/T} обозначают соответственно целую и дробную
части t/T. Кроме того, x∗(t) ∈ Ω(x) для всех t ∈ R+.
Лемма доказана.
Предельное множество решений динамической системы можно охарактеризо-
вать в терминах функции Ляпунова с помощью принципа инвариантности ЛаСал-
ля, который справедлив для широкого класса абстрактных систем на пространствах
Фреше [5, 6]. Докажем аналогичное утверждение для многозначных D-систем в
смысле определения 1.
Лемма 2. Пусть π — многозначная D-система, x(·) ∈ π(x0). Предположим,
что имеется непрерывный функционал V : X → R, характеризующийся свой-
ством
ξ0 ∈ X, ξ(·) ∈ π(ξ0) ⇒ V (ξ(t)) не возрастает по t ∈ R+.
Тогда если x(·) предкомпактно, то
Ω(x) ⊂ {p ∈ X|V (ξ(t)) = c, ξ(·) ∈ π(p), t ∈ R+} (2)
при некоторой константе c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
632 А. Л. ЗУЕВ
Доказательство. Из предкомпактности
⋃
t≥0{x(t)} и непрерывности V сле-
дует, что Ω(x) 6= ∅ и V (x(t)) ограничена на R+. Поскольку V (x(t)) не возрастает,
существует предел
lim
t→+∞
V (x(t)) = c 6= −∞.
Согласно непрерывности V получаем V (x∗) = c для всех x∗ ∈ Ω(x). Это означает,
что Ω(x) — подмножество
{
p ∈ X
∣∣V (p) = c
}
. Отсюда в силу полуинвариантности
Ω(x) (лемма 1) заключаем, что для любого p ∈ Ω(x) существует ξ(·) ∈ π(p),
имеющее свойство ξ(t) ∈ Ω(x). Отсюда следует, что V (ξ(t)) = c при всех t ∈ R+.
Лемма доказана.
Применим доказанный выше принцип инвариантности для анализа частичной
асимптотической устойчивости абстрактных систем. Будем называть элемент x0 ∈
∈ X особой точкой системы π, если функция x(t) ≡ x0 принадлежит π(x0).
Определение 5. Пусть π — многозначная D-система на X и y : X → R+.
Особая точка x0 системы π называется асимптотически устойчивой по отно-
шению к y, если:
i) для прозвольного заданного ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что из
неравенства ρ(x̃0, x0) < δ следует y(x̃(t)) < ε при всех x̃(·) ∈ π(x̃0), t ∈ R+;
ii) существует такое ∆ > 0, что из ρ(x̃0, x0) < ∆ вытекает
lim
t→∞
y(x̃(t)) = 0. (3)
Для формулировки условий частичной устойчивости введем класс функций
Хана K, состоящий из всех непрерывных строго возрастающих функций α : R+ →
→ R+, имеющих свойство α(0) = 0.
Теорема 1. Пусть π — многозначнаяD-система на метрическом пространс-
тве X и x0 — ее особая точка. Предположим, что имеются непрерывные функ-
ционалы y, V : X → R+, удовлетворяющие следующим условиям:
C1) существуют функции α1(·), α2(·) ∈ K, имеющие свойство
α1(y(x)) ≤ V (x) ≤ α2(ρ(x0, x)) ∀x ∈ X; (4)
C2) для любых x̃0 ∈ X, x̃(·) ∈ π(x̃0) функция V (x̃(t)) не возрастает на R+;
C3) найдется такое ∆ > 0, что из неравенства ρ(x̃0, x0) < ∆, x̃(·) ∈ π(x̃0),
следует предкомпактность x̃(·);
C4) множество
M1 =
{
p ∈ X
∣∣ V (x̃(t)) ≡ const, x̃(·) ∈ π(p)
}
(5)
содержится в
Ker y = {p ∈ X| y(p) = 0}.
Тогда особая точка x0 асимптотически устойчива по отношению к y.
Доказательство. Докажем сначала свойство i) из определения 5, распростра-
няя теорему В. В. Румянцева [3] (теорема 5.1). Затем воспользуемся леммой 2 для
доказательства свойства ii).
Из условия C2 следует, что V (x̃(t)) ≤ V (x̃0) для всех x̃0 ∈ X, x̃(·) ∈ π(x̃0),
t ∈ R+. Отсюда с учетом (4) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ЧАСТИЧНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ... 633
y(x̃(t)) ≤ α1
−1 (α2(ρ(x̃0, x0))) , (6)
где функция α1
−1(τ) определена и строго возрастает при достаточно малых τ > 0,
поскольку α(·) ∈ K. Следовательно, функция
γ(δ) = α1
−1 (α2(δ))
непрерывна, неотрицательна и строго возрастает на некотором полуинтервале [0, δ∗),
0 < δ∗ ≤ +∞. Это означает, что для произвольного ε > 0 найдется такое
δ ∈ (0, δ∗), что γ(δ) ≤ ε. Отсюда заключаем, что при ρ(x̃0, x0) < ε из условия (6)
следует
y(x̃(t)) ≤ γ(ρ(x̃0, x0))
при всех x̃(·) ∈ π(x̃0), t ∈ R+.
Для завершения доказательства достаточно показать существование предела (3).
Пусть число ∆ выбрано, как в условии C3, и ρ(x̃0, x0) < ∆. Тогда в силу леммы 2
при любом x̃(·) ∈ x̃0 множество Ω(x̃) 6= ∅ содержится в (5). Из условия C4 следует
Ω(x̃) ⊂ Ker y. (7)
Для доказательства (3) предположим противное: пусть при некоторых ε > 0,
tn → +∞, n→∞, имеет место неравенство
y(x̃(tn)) > ε, n = 1, 2, . . . . (8)
Поскольку x̃(·) предкомпактно, найдется подпоследовательность {tn(k)}∞k=1, име-
ющая свойство x̃(tn(k)) → x∗ ∈ Ω(x̃) при k →∞. Тогда в силу (7) y(x∗) = 0 . Из
непрерывности y следует
|y(x̃(tn(k)))− y(x∗)| = y(x̃(tn(k))) → 0, k →∞.
Полученное соотношение противоречит (8). Таким образом, если ρ(x̃0, x0) < ∆,
то
lim
t→+∞
y(x̃(t)) = 0
при всех x̃(·) ∈ π(x̃0).
Теорема доказана.
Замечание 1. Для автономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений теорема 1 устанавливает достаточные условия асимптотической устой-
чивости по части переменных в смысле А. М. Ляпунова и В. В. Румянцева. Дей-
ствительно, пусть f : Rn → Rn — непрерывная функция и f(0) = 0. Вектор x ∈ Rn
можно представить в виде x = (y1, . . . , ym, z1, . . . , zk), где y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm,
z = (z1, . . . , zk) ∈ Rk, m+ k = n. Решение x0(t) ≡ 0 системы
ẋ = f(x) (9)
асимптотически устойчиво по переменным (y1, . . . , ym) [3], если для любого ε > 0
существует такое δ > 0, что каждое решение x(t) системы (9) с начальными усло-
виями ‖x(0)‖ < δ определено на R+, ‖y(t)‖ < ε при всех t ≥ 0 и ‖y(t)‖ → 0 при
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
634 А. Л. ЗУЕВ
t→ +∞. Здесь ‖ · ‖ обозначает евклидову норму. Если выполнено предположение
о продолжимости решений, то отображение x0 7→ π(x0) является многозначной D-
системой на Rn, где π(x0) содержит все решения задачи Коши для (9) с x(0) = x0,
t ∈ R+. В самом деле, предположения A1 – A3 очевидным образом выполнены для
автономной системы (9). Свойства A4 и A5 следуют из теоремы 2.4 [7, c. 15] для
непрерывной функции f. Следовательно, асимптотическая устойчивость тривиаль-
ного решения системы (9) по переменным (y1, . . . , ym) эквивалентна устойчивости
в смысле определения 5 по отношению к функционалу
ȳ(x) =
√
y12 + . . .+ ym
2.
Если имеется дифференцируемая функция Ляпунова V и система (9) характеризу-
ется свойством единственности решений, то теорема 1 сводится к теореме Ризи-
то – Румянцева [3] (теоремы 19.1, 19.2). В этом случае предположение о предком-
пактности C3 следует из устойчивости по переменным (y1, . . . , ym) и ограничен-
ности по (z1, . . . , zk), что может быть охарактеризовано с помощью теоремы 39.1
в [3]. При m = n утверждение теоремы 1 эквивалентно теореме Барбашина –
Красовского [8].
2. Устойчивость нелинейных полугрупп. В предыдущем пункте доказан об-
щий результат о частичной асимптотической устойчивости без предположений об
единственности решений задачи Коши и дифференцируемости функционала Ляпу-
нова. С точки зрения возможных приложений этого результата особого внимания
заслуживает случай динамических систем, описываемых абстрактными дифферен-
циальными уравнениями.
Введем необходимые обозначения и определения. Пусть E — банахово про-
странство с нормой ‖ · ‖ и X — замкнутое подмножество E, содержащее неко-
торый шар BR =
{
x ∈ E
∣∣ ‖x‖ ≤ R
}
радиуса R > 0. Тогда X — метрическое
пространство относительно расстояния ρ(a, b) = ‖a − b‖. Пусть F — замкнутый
плотно-определенный (нелинейный) оператор из D(F ) ⊂ X в E. Для начальных
условий x0 ∈ X рассмотрим абстрактную задачу Коши [1] (гл. 5.2), [9] (гл. 4):
dx(t)
dt
= Fx(t), t ∈ R+, x(0) = x0. (10)
Будем предполагать, что оператор F генерирует непрерывную полугруппу нелиней-
ных операторов на X.
Определение 6 [10] (гл. 1), [11] (гл. 2.8). Непрерывной полугруппой нелиней-
ных операторов на X называется однопараметрическое семейство отображений
{S(t) | t ∈ R+} из X в X, имеющее свойства:
i) S(0)x = x для всех x ∈ X;
ii) S(t+ s)x = S(t)S(s)x для всех t, s ≥ 0, x ∈ X;
iii) отображение (t, x) 7→ S(t)x непрерывно в R+ ×X.
Полугруппа {S(t)} называется ω-квазисжимающей [12] (гл. 4), если
‖S(t)x1 − S(t)x2‖ ≤ eωt‖x1 − x2‖ ∀t ≥ 0, x1, x2 ∈ X.
Поскольку F — инфинитезимальный генератор непрерывной полугруппы {S(t)},
задача Коши (10) корректна, и ее обобщенные решения запишутся в виде
x(t) = S(t)x0, t ∈ R+, x0 ∈ X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ЧАСТИЧНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ... 635
Таким образом, каждому x0 можно поставить в соответствие одноэлементное мно-
жество π(x0) = {S(·)x0}. Легко проверить, что определенное таким образом ото-
бражение π : X → 2κ является многозначной D-системой в смысле определения 1.
(Предположение A5 удовлетворяется в силу единственности решений, а предполо-
жение A4 следует из непрерывности отображения (t, x) 7→ S(t)x.)
Пусть V : E → R — дифференцируемый по Фреше функционал. Тогда
V (S(t)x0) дифференцируема на каждом классическом решении задачи (10). Про-
изводную по времени от V в силу (10) можно записать так:
V̇ (x(t)) = [∇V (x(t)), Fx(t)], (11)
где [·, ·] : E∗×E → R обозначает двойственное спаривание E∗ и E, т. е. [∇V (x), ξ]
— значение линейного функционала ∇V (x) ∈ E∗ в точке ξ ∈ E.
Следствием теоремы 1 является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть F — инфинитезимальный генератор непрерывной полу-
группы {S(t)} нелинейных операторов на X, F (0) = 0, и y : X → R+ — непрерыв-
ный функционал. Предположим, что существует дифференцируемый по Фреше
функционал V : E → R, удовлетворяющий следующим условиям:
i) для некоторых функций α1(·), α2(·) ∈ K выполнено неравенство
α1(y(x)) ≤ V (x) ≤ α2(‖x‖), x ∈ X;
ii) V̇ (x) ≤ 0 при всех x ∈ D(F );
iii) существует такое ∆ > 0, что при любом ‖x0‖ < ∆ соответствующее
множество ⋃
t≥0
{S(t)x0}
предкомпактно в X;
iv) Ker y = {x ∈ X | y(x) = 0} инвариантно для (10), т. е. если y(S(τ)x0) = 0,
τ ≥ 0, то y(S(t)x0) = 0 для всех t ∈ R+;
v) множество
M = {x ∈ D(F ) | V̇ (x) = 0} \Ker y
не содержит целых полутраекторий системы (10), определенных для t ∈ R+.
Тогда особая точка x0 = 0 системы (10) асимптотически устойчива по отно-
шению к y.
Доказательство. Отображение x0 ∈ X 7→ π(x0) = {S(·)x0} задает многознач-
ную D-систему на X, которая имеет особую точку x = 0 в силу предположения
F (0) = 0. Легко видеть, что из предположений i), iii) вытекают условия C1, C3
теоремы 1.
Докажем теперь, что условие ii) обеспечивает невозрастание V (x(t)) на любом
обобщенном решении (10) при x0 ∈ X, t ∈ R+. Если x0 ∈ D(F ), то x(t) = S(t)x0
является классическим решением и V̇ (x(t)), определяемая формулой (11), сущест-
вует при всех t ≥ 0. Тогда неравенство V̇ (x(t)) ≤ 0 обеспечивает невозрастание
V (x(t)) на классических решениях при t ∈ R+. Для произвольных x0 ∈ X \D(F ),
T > 0 обобщенное решение S(t)x0, 0 ≤ t ≤ T, аппроксимируется классическими
решениями по норме в L∞ ([0, T ];E) в силу предположения A4. Отсюда, поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
636 А. Л. ЗУЕВ
значения V не возрастают на классических решениях и функционал V непрерывен,
получаем, что V (S(t)x0) не возрастает на R+ при каждом x0 ∈ X.
Для завершения доказательства покажем, что условие C4 выполняется при дан-
ных предположениях. Если в формуле (5) p ∈ M1, то
d
dt
V (S(t)p) = 0 при всех
t ∈ R+. Следовательно,
M1 ⊂M0 = {x ∈ D(F ) | V̇ (x) = 0}.
(В определении M0 взято замыкание множества, поскольку формула (11) задает V̇
только на D(F ).) Полуинвариантность M1 означает, что
M1 ⊂
{
x ∈M0
∣∣S(t)x ∈M0, t ∈ R+
}
. (12)
Предположим, что правая часть формулы (12) содержит некоторый элемент x. Тогда
из условия iv) следует либо S(t)x ∈ Ker y, либо S(t)x /∈ Ker y при всех t ∈ R+. Но
последний из приведенных случаев невозможен из-за условия v). Таким образом,
любой элемент x ∈M1 принадлежит также и Ker y, что доказывает свойство C4.
Теорема доказана.
Очевидно, в частном случае y(x) = ‖x‖ теорема 2 дает достаточные условия
сильной асимптотической устойчивости особой точки x = 0.
Замечание 2. Если оператор F линеен, то определение 6 эквивалентно опре-
делению C0-полугруппы линейных ограниченных операторов, и предположения
теоремы 2 относительно непрерывности {S(t)} могут быть проверены с помощью
теорем Хилле – Иосиды и Люмера – Филлипса [9] (гл. 1). В нелинейном случае
можно воспользоваться связью между ω-аккретивными генераторами F и квази-
сжимающими полугруппами [12]. Для класса монотонных операторов F условие
предкомпактности траекторий iii) может быть проверено с помощью результата
статьи [13]. Для управляемых систем, допускающих функционал Ляпунова со зна-
копостоянной нижней границей производных, теорема 2 может быть применена
при анализе устойчивости с использованием законов управления, предложенных в
работе [14].
Предложенная в статье многозначная теория использована для характеризации
частичной асимптотической устойчивости задачи (10) в предположении единствен-
ности ее решений. Несомненный интерес представляет исследование более широ-
кого класса объектов — эволюционных включений, рассмотренных в работах [12,
15]. Этот круг задач будет изучен в дальнейшем.
1. Fattorini H. O. Infinite dimensional optimization and control theory. – Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1999. – 798 p.
2. Luo Z.-H., Guo B.-Z., Morgul O. Stability and stabilization of infinite dimensional systems with
applications. – London: Springer, 1999. – 403 p.
3. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части
переменных. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
4. Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Sontag E. D., Subbotin A. I. Asymptotic controllability implies feedback
stabilizaton // IEEE Trans. Automat. Contr. – 1997. – 42. – P. 1394 – 1407.
5. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными пара-
метрами. – М.: Наука, 1990. – 320 с.
6. LaSalle J. P. Stability theory and invariance principles // Dynam. Systems: Int. Symp. Dynam.
Systems (Providence, 1974) / Eds L. Cesari, J. K. Hale, J. P. LaSalle. – New York: Acad. Press,
1976. – Vol. 1. – P. 211 – 222.
7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ЧАСТИЧНАЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ... 637
8. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. –
1952. – 86, № 3. – С. 453 – 456.
9. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New
York: Springer, 1983. – 279 p.
10. Ladyzhenskaya O. Attractors for semigroups and evolution equations. – Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1991.
11. Lakshmikantham V., Leela S. Nonlinear differential equations in abstract spaces. – Oxford: Pergamon
Press, 1981.
12. Barbu V. Analysis and control of nonlinear infinite dimensional systems. – San Diego, CA: Acad.
Press, 1992. – 476 p.
13. Dafermos C. M., Slemrod M. Asymptotic behavior of nonlinear contraction semi-groups // J. Funct.
Anal. – 1973. – 13. – P. 97 – 106.
14. Зуев А. Л. Стабилизация неавтономных систем по части переменных с помощью управляемых
функций Ляпунова // Проблемы управления и информатики. – 2000. – № 4. – С. 25 – 34.
15. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. – Новосибирск:
Наука, 1986. – 296 с.
Получено 29.06.2004
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
|