Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена
Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Валле Пуссена на классах 2π-периодических функций Cψβ,s которые задаются последовательностями ψ(k) и...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165111 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена / В.А. Войтович // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 1. — С. 49–62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616206529495040 |
|---|---|
| author | Войтович, В.А. |
| author_facet | Войтович, В.А. |
| citation_txt | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена / В.А. Войтович // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 1. — С. 49–62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Валле Пуссена на классах 2π-периодических функций Cψβ,s которые задаются последовательностями ψ(k) и сдвигом аргумента β,β∈R, при условии, что последовательности ψ(k) удовлетворяют условию Даламбера Dq,q∈(0,1),. Аналогичные оценки получены для классов CψβHω, порождаемых выпуклыми модулями непрерывности ω(t). При условии n−p→∞ и p→∞ указанные оценки превращаются в асимптотические равенства.
We establish two-sided estimates for the exact upper bounds of approximations by the interpolation analogs of the de-la-Vallée-Poussin sums on the classes of 2π -periodic functions C β,s ψ specified by the sequences ψ(k) and shifts of the argument β , β ∈ ℝ, under the condition that the sequences ψ(k) satisfy the d’Alembert D q , q ∈ (0, 1), condition. Similar estimates are obtained for the classes C β ψ H ω generated by convex moduli of continuity ω(t). Under the conditions n − p → ∞ and p → ∞, the indicated estimates turn into asymptotic equalities.
|
| first_indexed | 2025-11-28T20:22:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Войтович (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА
We obtain two-sided estimates for the exact upper bounds of approximations by the interpolation analogs of the de la Vallée
Poussin sums on the classes of 2π-periodic functions Cψβ,s specified by the sequences ψ(k) and shifts of the argument
βk under the condition that the sequences ψ(k) satisfy the d’Alembert Dq , q ∈ (0, 1), condition. Similar estimates are
obtained for the classes CψβHω generated by convex moduli of continuity ω(t). Under the conditions n − p → ∞ and
p→∞, the indicated estimates turn into asymptotic equalities.
Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм
Валле Пуссена на классах 2π-периодических функцийCψβ,s которые задаются последовательностями ψ(k) и сдвигом
аргумента β, β ∈ R, при условии, что последовательности ψ(k) удовлетворяют условию Даламбера Dq , q ∈ (0, 1).
Аналогичные оценки получены для классов CψβHω , порождаемых выпуклыми модулями непрерывности ω(t). При
условии n− p→∞ и p→∞ указанные оценки превращаются в асимптотические равенства.
Позначимо через Ls, 1 6 s < ∞, простiр сумовних на (0, 2π) в s-му степенi 2π-перiодичних
функцiй iз нормою ‖f‖s =
(∫ π
−π
|f(t)|s dt
)1/s
, L∞ — простiр вимiрних i iстотно обмежених
2π-перiодичних функцiй з нормою ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|, C — простiр неперервних 2π-пе-
рiодичних функцiй, в якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C = max
t
|f(t)|.
Розглянемо класи 2π-перiодичних функцiй CψβN, якi введенi О. I. Степанцем [1, c. 137].
Нехай ϕ ∈ L1 i
a0
2
+
∞∑
k=1
(ak cos kx+ bk sin kx)
— її ряд Фур’є. Розглянемо довiльну послiдовнiсть дiйсних чисел ψ(k) i довiльне фiксоване
дiйсне число β, β ∈ R. Якщо ряд
a0
2
+
∞∑
k=1
ψ(k)
(
ak cos
(
kx+
βπ
2
)
+ bk sin
(
kx+
βπ
2
))
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї f , то цю функцiю називають (ψ, β)-iнтегралом функцiї
ϕ i позначають через J ψβ ϕ. Множину (ψ, β)-iнтегралiв усiх функцiй ϕ ∈ N ⊂ L1 позначають
через LψβN.
Покладемо CψβN = LψβN
⋂
C. В данiй роботi роль N вiдiграватимуть множини
U0
s =
ϕ ∈ Ls : ‖ϕ‖s ≤ 1,
2π∫
0
ϕ(t)dt = 0
, 1 ≤ s ≤ ∞,
а також
H0
ω =
ϕ ∈ C : ω(ϕ; t) ≤ ω(t),
2π∫
0
ϕ(t)dt = 0
,
c© В. А. ВОЙТОВИЧ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1 49
50 В. А. ВОЙТОВИЧ
де ω(ϕ; ·) — рiвномiрний модуль неперервностi функцiї ϕ, ω(·) — фiксований опуклий модуль
неперервностi. Для зручностi покладемо Cψβ,s := Cψβ U
0
s i CψβHω := CψβH
0
ω.
При кожному фiксованому q ∈ (0, 1) через Dq позначимо множину всiх послiдовностей
ψ(k) > 0, k ∈ N, для яких виконується умова
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q.
Далi будемо розглядати класи CψβN при ψ(k) ∈ Dq, q ∈ (0, 1). У цьому випадку (див.,
наприклад, [1, c. 351]) множини CψβN складаються з 2π-перiодичних функцiй f , що допуска-
ють регулярне продовження у фiксовану смугу |Imz| ≤ ln
1
q
комплексної площини, тобто з
аналiтичних функцiй. Функцiї з класiв CψβN, N ⊂ L1, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, можуть бути
зображенi у виглядi згортки з твiрним ядром
f(x) = J ψβ ϕ(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x+ t)Ψβ(t)dt, ϕ ∈ N,
де
Ψβ(t) =
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R.
Прикладами ядер Ψβ(t), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умову Dq, є ядро Неймана
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt+
βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R,
та полiгармонiчнi ядра Пуассона
Pq,β(m, t) =
∞∑
k=1
ψq,m(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
, β ∈ R, (1)
де
ψq,m(k) = qk
1 +
m−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
l=0
(k + 2l)
, m ∈ N, q ∈ (0, 1).
Зауважимо, що у випадку m = 1 ядра вигляду (1) є вiдомими ядрами Пуассона
Pq,β(t) = Pq,β(1, t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt+
βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (2)
Класи CψβN, що породжуються ядрами (2), є класами iнтегралiв Пуассона i позначаються че-
рез CqβN.
Нехай f належить C. Через S̃n−1(f ;x) будемо позначати тригонометричний полiном по-
рядку n − 1, який iнтерполює функцiю f у точках x
(n−1)
k =
2kπ
2n− 1
, k ∈ Z, тобто такий,
що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 51
S̃n−1(f ;x
(n−1)
k ) = f(x
(n−1)
k ), k ∈ Z.
Як вiдомо, iнтерполяцiйний тригонометричний полiном S̃n−1(f ;x) можна записати у виглядi
(див., наприклад, [2, c. 13, 14])
S̃n−1(f ;x) =
a
(n−1)
0
2
+
n−1∑
k=1
(a
(n−1)
k cos kx+ b
(n−1)
k sin kx),
де
a
(n−1)
k =
2
2n− 1
2n−2∑
j=0
f(x
(n−1)
j ) cos kx
(n−1)
j , k = 0, 1, . . . , n− 1, (3)
b
(n−1)
k =
2
2n− 1
2n−2∑
j=0
f(x
(n−1)
j ) sin kx
(n−1)
j , k = 1, 2, . . . , n− 1, (4)
— коефiцiєнти Фур’є – Лагранжа функцiї f, по системi вузлiв x(n−1)k .
Розглянемо полiноми
Ṽn,p(f ;x) =
a
(n−1)
0
2
λ
(n)
0 +
n−1∑
k=1
λ
(n)
k (a
(n−1)
k cos kx+ b
(n−1)
k sin kx),
де
λ
(n)
k =
1, 0 6 k 6 n− p,
1− k − n+ p
p
, n− p+ 1 6 k 6 n,
p ∈ N, 1 ≤ p ≤ n, а a(n−1)k i b(n−1)k визначенi за допомогою (3) та (4) вiдповiдно. Цi полiно-
ми називають (див., наприклад, [3, c. 65]) iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена з
параметрами n та p. При p = 1 полiноми Ṽn,p(f ;x) є iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами S̃n−1(f ;x).
У загальному випадку полiноми Ṽn,p(f ;x) записуються у виглядi
Ṽn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
S̃
(n−1)
k (f ;x),
де
S̃
(n−1)
k (f ;x) =
a
(n−1)
0
2
+
k∑
j=1
(a
(n−1)
j cos jx+ b
(n−1)
j sin jx)
— частинна сума порядку k тригонометричного iнтерполяцiйного полiнома S̃n−1(f ;x). Зазна-
чимо, що звичайнi суми Валле Пуссена Vn,p(f ;x) з параметрами n та p виражаються через
частиннi суми ряду Фур’є Sk(f ;x) порядку k за допомогою рiвностей
Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f ;x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
52 В. А. ВОЙТОВИЧ
Метою даної роботи є вiдшукання двостороннiх оцiнок величин
E
(
Cψβ,s; Ṽn,p;x
)
= sup
f∈Cψβ,s
∣∣∣f(x)− Ṽn,p(f ;x)
∣∣∣ (5)
та
E
(
CψβHω; Ṽn,p;x
)
= sup
f∈CψβHω
∣∣∣f(x)− Ṽn,p(f ;x)
∣∣∣ (6)
при досить великих n, якщо ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1). Отриманi результати показують порядок спа-
дання величин (5) та (6) при n− p→∞.
Дослiдження апроксимативних характеристик сум Ṽn,p(f ;x) для перiодичних функцiй по-
чинається з роботи С. Н. Бернштейна [4], в якiй було встановлено нерiвнiсть∣∣∣f(x)− Ṽn,p(f ;x)
∣∣∣ ≤ (1 +
√
2n− p
p
)
En−p(f),
де En−p(f) — найкраще наближення функцiї f полiномами порядку n−p−1. У подальшому ци-
ми питаннями займалися С. М. Нiкольський [5], Й. М. Ганзбург [6]. С. М. Нiкольський вста-
новив, що має мiсце асимптотична рiвнiсть
E
(
W r
∞; S̃n−1;x
)
=
8
π2
Kr
lnn
nr
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣+O(1)n−r,
де W r
∞ — множина неперервних перiодичних функцiй f(·), якi мають абсолютно неперервнi
похiднi до (r − 1)-го, r ∈ N, порядку включно i такi, що майже скрiзь ‖f (r)(x)‖∞ 6 1. Дана
оцiнка є рiвномiрною вiдносно n та x, а Kr — константи Фавара, якi означаються рiвнiстю
Kr =
∞∑
ν=0
(−1)ν(r−1)
(2ν + 1)r+1
. (7)
Й. М. Ганзбург встановив, що при n→∞ i 1 ≤ p ≤ nθ, θ < 1, справджується асимптотична
рiвнiсть
E(W r
∞; Ṽn,p;x) =
2Kr
π
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣ 1
nr
ln
n
p
+O(1)n−r,
де Kr — константи Фавара (7), а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно n та x.
Перейдемо до формулювання оцiнок величини (5). Для цього введемо наступнi позначення:
Kq,p(u) = 2−1/u
∥∥∥∥∥
√
1− 2qp cos pt+ q2p
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
u
, q ∈ (0, 1), p ∈ N, 1 ≤ u ≤ ∞, (8)
εm = εm(ψ) = sup
k≥m
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣ , (9)
M (k)(n, p) = M (k)(ψ, s, n, p) =
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)
(
1 + (−1)k(q + εn−p+1)
p−1
)
×
×
(
1 + (−1)k max
{
1√
n− p+ 1
,
√
εn−p+1
})
, 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1, k = 1, 2.
(10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 53
Теорема 1. Нехай ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, 1 ≤ s ≤ ∞, n, p ∈ N, 2 ≤ p ≤ n,
limn→∞ n−p =∞. Тодi для довiльних x ∈ R та для всiх n, починаючи з деякого n0 = n0(ψ, p),
справджується двостороння оцiнка
M (1)(n, p)
ψ(n− p+ 1)
p
≤ E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≤M (2)(n, p)
ψ(n− p+ 1)
p
, (11)
де M (k)(n, p), k = 1, 2, означено рiвностями (10).
Зауваження 1. Оскiльки
lim
n−p→∞
M (k)(n, p) =
‖ cos t‖s′
π1+
1
s′
Kq,p(s
′)(1 + (−1)kqp−1), k = 1, 2, (12)
то спiввiдношення (11) дозволяє оцiнити порядок спадання величини E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) при
n− p→∞. Крiм того, як видно з (12),
lim
n−p→∞
p→∞
M (k)(n, p) =
‖ cos t‖s′
π1+
1
s′
Kq,p(s
′), k = 1, 2,
i, отже, при n− p→∞ i p→∞
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ∼=
‖ cos t‖s′
π1+
1
s′
Kq,p(s
′)
ψ(n− p+ 1)
p
. (13)
Асимптотична формула (13) випливає з асимптотичної рiвностi (13) роботи [13].
Доведення. Нехай CψβN, N ⊂ L1. З огляду на формулу (47) iз роботи [8] для довiльних
x ∈ R має мiсце рiвнiсть
ρ̃n,p(f ;x) = f(x)− Ṽn,p(f ;x) = ρn,p(f ;x)−
− 1
πp
π∫
−π
ϕ(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=1
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
)
dt, (14)
де ρn,p(f ;x) = f(x) − Vn,p(f ;x). Використовуючи зображення (2.2.11) iз роботи [7, с. 79],
величину ρn,p(f ;x) можна зобразити у виглядi
ρn,p(f ;x) =
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
dt, (15)
де δn−p(τ) = ϕ(τ)− tn−p(τ), tn−p(τ) — довiльний тригонометричний полiном порядку n− p.
З (14) та (15), враховуючи ортогональнiсть функцiї
Φn,p,ψ,β,x(t) =
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=1
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
)
будь-якому тригонометричному полiному порядку n− p змiнної t, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
54 В. А. ВОЙТОВИЧ
ρ̃n,p(f ;x) =
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
dt−
− 1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=1
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
)
dt. (16)
Далi запишемо (16) у виглядi
ρ̃n,p(f ;x) =
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n−1∑
m=n−p
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+
βπ
2
)
dt−
− 1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
n+p−2∑
m=n−1
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
dt+Rn,p(x), (17)
де
Rn,p(x) =
1
πp
π∫
−π
δn−p(t+ x)
3n−2∑
m=3n−p−1
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
−
−
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=2
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
) dt.
Використовуючи той факт, що f = J ψβ ϕ для довiльних ϕ ∈ N ⊂ L1, з огляду на (15) та (17)
можемо записати рiвнiсть
ρ̃n,p(J ψβ ϕ;x) = ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x) +Rn,p(x), (18)
де γ := β +
(2n− 1)2x
π
.
Нехай f належить Cψβ,s. Оцiнимо швидкiсть спадання до нуля величини |Rn,p(x)|. Позначи-
мо через t∗n−p полiном найкращого наближення порядку n − p функцiї ϕ у просторi Ls, тобто
такий, що
‖ϕ(t)− t∗n−p(t)‖s = En−p+1(ϕ)s = inf
tn−p∈T2(n−p)−1
‖ϕ(t)− tn−p(t)‖s.
Враховуючи нерiвнiсть Гельдера (див., наприклад, [3, c. 391])
π∫
−π
g(t)K(t)dt ≤ ‖g‖s‖K‖s′ , g ∈ Ls, K ∈ Ls′ , 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1,
та вибираючи в δn−p(τ) = f(τ)−tn−p(τ) в якостi tn−p(τ) полiном t∗n−p(τ), для довiльних x ∈ R
отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 55
|Rn,p(x)| ≤ 1
π
En−p+1(ϕ)s
∥∥∥∥∥1
p
3n−2∑
m=3n−p−1
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
−
−1
p
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=2
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
)∥∥∥∥∥
s′
≤
≤ 1
π
En−p+1(ϕ)s
(∥∥∥∥∥1
p
3n−2∑
m=3n−p−1
∞∑
k=3n−p
ψ(k)
∥∥∥∥∥
s′
+
+
∥∥∥∥∥1
p
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=2
ν(2n−1)+n−1∑
k=ν(2n−1)−n+1
ψ(k)
∥∥∥∥∥
s′
)
=
=
21/s
′
π1/s
En−p+1(ϕ)s
( ∞∑
k=3n−p
ψ(k) +
∞∑
k=3n−1
ψ(k)
)
≤ 4En−p+1(ϕ)s
∞∑
k=3n−p
ψ(k). (19)
З леми 1 роботи [9] випливає, що якщо ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), то виконується нерiвнiсть
∞∑
k=m
ψ(k) ≤ ψ(m)
(
1
1− q
+
εm
(1− q)(1− q − εm)
)
, (20)
де εm — величина, означена формулою (9), i для неї виконується умова εm < 1 − q. Тому,
використовуючи спiввiдношення (19) та (20), маємо
|Rn,p(x)| ≤ 4En−p+1(ϕ)sψ(3n− p)
(
1
1− q
+
ε3n−p
(1− q)2
)
. (21)
Послiдовнiсть εm монотонно не зростає i прямує до нуля при m → ∞. Тому при достатньо
великих n, починаючи з деякого n1 = n1(ψ; p),
ε3n−p ≤ εn−p+1 <
1− q
2
. (22)
Оскiльки En−p+1(ϕ)s ≤ 1 при ‖ϕ‖s ≤ 1, то з (21) та (22) при всiх n > n1 отримуємо
|Rn,p(x)| ≤ 6
ψ(3n− p)
1− q
. (23)
Отже, з (18) та (23) випливає, що для всiх n > n1 виконуються нерiвностi
|ρ̃n,p(J ψβ ϕ;x)| ≤ |ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)|+ 6
ψ(3n− p)
1− q
, (24)
|ρ̃n,p(J ψβ ϕ;x)| ≥ |ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)| − 6
ψ(3n− p)
1− q
. (25)
Теорема 2 з роботи [10] стверджує, що коли ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, 1 ≤ s ≤ ∞, α ∈ R, m,
p ∈ N i 2 ≤ p ≤ m, то має мiсце асимптотична при m− p→∞ рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
56 В. А. ВОЙТОВИЧ
E(Cψα,s;Vm,p) = sup
ϕ∈U0
s
|ρm,p(J ψα ϕ;x)| = ψ(m− p+ 1)
p
(
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+O(1)
(
1
(m− p+ 1)(1− q)3
+
εm−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}))
, (26)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв. Зазначимо,
що рiвностi (26) у випадку, коли ψ(k) = qk, тобто для класiв iнтегралiв Пуассона, встановлено
в роботi [11].
Легко бачити, що мають мiсце спiввiдношення
sup
ϕ∈U0
s
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)| − sup
ϕ∈U0
s
|ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)| ≤
≤ sup
ϕ∈U0
s
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)| ≤
≤ sup
ϕ∈U0
s
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)|+ sup
ϕ∈U0
s
|ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)|. (27)
Знайдемо спочатку оцiнку зверху величини E(Cψβ,s; Ṽn,p;x). Переходячи в обох частинах
(24) до точних верхнiх меж по класах U0
s з урахуванням (26) та (27), отримуємо
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≤ ψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)+
+K
ψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
(
1
(n− p+ 1)(1− q)3
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})
. (28)
Тут i далi K є абсолютною сталою, рiзною в рiзних спiввiдношеннях.
Неважко переконатися, що величина
1
n− p+ 1
+ εn−p+1 (29)
є нескiнченно малою бiльш високого порядку мализни вiдносно
gn−p+1(ψ) = max
{
1√
n− p+ 1
,
√
εn−p+1
}
(30)
при n− p→∞. Тому iснує n′3 = n′3(ψ; p) ≥ n2 таке, що для всiх n ≥ n′3 з (28) випливає оцiнка
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≤
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
1 +
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1 + gn−p+1(ψ)
)‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′), (31)
де величини Kq,p(s
′) та gm(ψ) означено формулами (8) та (30) вiдповiдно.
Оцiнимо величину E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) знизу. Переходячи в обох частинах (25) до точних верхнiх
меж по класах U0
s з урахуванням (26) та (27), отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 57
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≥ ψ(n− p+ 1)− ψ(n)
p
‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′)−
−Kψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
(
1
(n− p+ 1)(1− q)3
+
εn−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
})
. (32)
Оскiльки величина (29) є нескiнченно малою вiдносно (30) при n − p → ∞, то iснує
n′′3 = n′′3(ψ; p) ≥ n2 таке, що для всiх n ≥ n′′3 з (32) випливає
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≥
≥ ψ(n− p+ 1)
p
(
1− ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1− gn−p+1(ψ)
)‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′), (33)
де величини Kq,p(s
′) та gm(ψ) означено формулами (8) та (30) вiдповiдно.
З (31) та (33) випливає, що iснує номер n3 = n3(ψ; p) = max{n′3, n′′3} такий, що для всiх
n ≥ n3 справджується двостороння оцiнка
ψ(n− p+ 1)
p
(
1− ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1− gn−p+1(ψ)
)‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′) ≤
≤ E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≤
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
1 +
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1 + gn−p+1(ψ)
)‖ cos t‖s′
π1+1/s′
Kq,p(s
′), (34)
де величини Kq,p(s
′) та gm(ψ) означено формулами (8) та (30) вiдповiдно.
Насамкiнець оцiнимо величину
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
. Для всiх n, починаючи з деякого n1, має
мiсце оцiнка
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
=
n−1∏
k=n−p+1
ψ(k + 1)
ψ(k)
≤
n−1∏
k=n−p+1
(q + εk) ≤
n−1∏
k=n−p+1
(q + εn−p+1) =
= (q + εn−p+1)
p−1. (35)
Таким чином, використовуючи (34), (35) та позначення (10), отримуємо, що для всiх x ∈ R
та всiх n > n0(ψ; p) ≥ n3 має мiсце (11).
Теорему доведено.
Розглянемо тепер оцiнки величини (6). Для формулювання результату введемо такi позна-
чення:
em =
π/2∫
0
ω
(
2t
m
)
sin tdt, (36)
M (k)(n, p) = M (k)(n, p, ψ) =
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)
(
1 + (−1)k(q + εn−p+1)
p−1
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
58 В. А. ВОЙТОВИЧ
×
1 + (−1)k max
1√
(n− p+ 1)ω
(
1
n−p+1
) ,√εn−p+1
, k = 3, 4, (37)
де K(ρ) =
∫ π/2
0
dt√
1− ρ2 sin2 t
— повний елiптичний iнтеграл першого роду.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, n, p ∈ N, 2 ≤ p ≤ n, limn→∞ n − p = ∞ i
ω(t) — опуклий догори модуль неперервностi, що задовольняє умову limt→0
ω(t)
t
=∞. Тодi для
довiльних x ∈ R та всiх n, починаючи з деякого n′0 = n′0(ψ, p), справджується двостороння
оцiнка
M (3)(n, p)
ψ(n− p+ 1)
p
en−p+1≤E(CψβHω; Ṽn,p;x)≤M (4)(n, p)
ψ(n− p+ 1)
p
en−p+1, (38)
де величини en−p+1 та M (k)(n, p) означено формулами (36) та (37) вiдповiдно.
Зауваження 2. Оскiльки
lim
n−p→∞
M (k)(n, p) =
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)(1 + (−1)kqp−1), k = 3, 4, (39)
то спiввiдношення (38) дозволяє оцiнити порядок спадання величини E(CψβHω; Ṽn,p;x) при
n− p→∞. Крiм того, як видно з (39),
lim
n−p→∞
p→∞
M (k)(n, p) =
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp), k = 3, 4,
i, отже, при n− p→∞ i p→∞
E(CψβHω; Ṽn,p;x) ∼=
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)
ψ(n− p+ 1)
p
. (40)
Асимптотична формула (40) випливає з асимптотичної рiвностi (14) роботи [13].
Доведення. Для довiльних f ∈ CψβHω має мiсце зображення (18). Знайдемо оцiнку величини
|Rn,p(x)| за умови, що ϕ ∈ H0
ω. Позначимо через t∗∗n−p полiном найкращого наближення порядку
n− p функцiї ϕ у просторi C, тобто такий, що
‖ϕ(t)− t∗∗n−p(t)‖C = En−p+1(ϕ)C = inf
tn−p∈T2(n−p)−1
‖ϕ(t)− tn−p(t)‖C .
Вибираючи в δn−p(τ) = f(τ) − tn−p(τ) в якостi tn−p(τ) полiном t∗∗n−p(τ), отримуємо, що
для довiльних x ∈ R
|Rn,p(x)|≤ 1
π
En−p+1(ϕ)C
∣∣∣∣∣
π∫
−π
(
1
p
3n−2∑
m=3n−p−1
∞∑
k=m+1
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)x+
βπ
2
)
−
−1
p
n−1∑
m=n−p
∞∑
ν=2
ν(2n−1)+m∑
k=ν(2n−1)−m
ψ(k) cos
(
kt+ (2n− 1)νx+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 59
≤ 4En−p+1(ϕ)C
∞∑
k=3n−p
ψ(k). (41)
Як показано в [3, c. 261], для будь-якої неперервної функцiї ϕ, модуль неперервностi якої є
опуклим, має мiсце нерiвнiсть Джексона
Em (ϕ) <
1
2
ω
(
ϕ;
π
m+ 1
)
, m ∈ N. (42)
Використовуючи той факт, що ϕ належить H0
ω, з (20), (22), (41) та (42) при всiх n > n1
отримуємо оцiнку
|Rn,p(x)| ≤ 12ω
(
1
n− p+ 1
)
ψ(3n− p)
1− q
. (43)
Для f ∈ CψβHω з формул (18) та (43) випливає, що для всiх n > n1 виконуються нерiвностi
|ρ̃n,p(J ψβ ϕ;x)| ≤ |ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)|+
+12ω
(
1
n− p+ 1
)
ψ(3n− p)
1− q
, (44)
|ρ̃n,p(J ψβ ϕ;x)| ≥ |ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)|−
−12ω
(
1
n− p+ 1
)
ψ(3n− p)
1− q
. (45)
З теореми 3 роботи [10] маємо, що коли ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), α ∈ R, n, p ∈ N, 2 ≤ p ≤ n
i ω(t) — опуклий догори модуль неперервностi, що задовольняє умову limt→0
ω(t)
t
= ∞, то
справджується асимптотична при m− p→∞ рiвнiсть
E(CψαHω;Vm,p) =
ψ(m− p+ 1)
p
(
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)em−p+1+
+O(1)
(
ω(π)
(m− p+ 1)(1− q)3
+
εm−p+1
(1− q)2
min
{
p,
1
1− q
}
ω
(
1
m− p+ 1
)))
, (46)
де K(ρ) =
∫ π/2
0
dt√
1− ρ2 sin2 t
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, εn−p+1 та en−p+1
— величини, означенi формулами (9) та (36) вiдповiдно, а O(1) — величина, рiвномiрно обме-
жена вiдносно всiх розглядуваних параметрiв. У випадку класiв iнтегралiв Пуассона, тобто у
випадку ψ(k) = qk, рiвностi (46) отримано в роботi [12].
Легко бачити, що має мiсце двостороння оцiнка
sup
ϕ∈Hω
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)| − sup
ϕ∈Hω
|ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)| ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
60 В. А. ВОЙТОВИЧ
≤ sup
ϕ∈Hω
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)− ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)| ≤
≤ sup
ϕ∈Hω
|ρn,p(J ψβ ϕ;x)|+ sup
ϕ∈Hω
|ρn+p−1,p(J ψγ ϕ;x)|. (47)
Встановимо спочатку оцiнку зверху величини E(CψβHω; Ṽn,p;x). Переходячи в обох части-
нах (44) до точних верхнiх меж по класах Hω з урахуванням (46) та (47), отримуємо
E(CψβHω; Ṽn,p;x) ≤ ψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1+
+K
ψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
(
ω(π)
(n− p+ 1)(1− q)3
+
+ min
{
p,
1
1− q
}
εn−p+1
(1− q)2
ω
(
1
n− p+ 1
))
. (48)
Неважко переконатися, що величина
1
n− p+ 1
+ εn−p+1ω
(
1
n− p+ 1
)
(49)
є нескiнченно малою бiльш високого порядку мализни вiдносно
g′m(ψ) = max
{
1√
mω(1/m)
,
√
εm
}
(50)
при n− p→∞. Тому iснує n′4 = n′4(ψ; p) ≥ n1 таке, що для всiх n ≥ n′4 з (48) випливає оцiнка
E(CψβHω; Ṽn,p;x) ≤
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
1 +
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1 + g′n−p+1(ψ)
) 4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1, (51)
де величини em та g′m(ψ) означено формулами (36) та (50) вiдповiдно, а
K(ρ) =
π/2∫
0
dt√
1− ρ2 sin2 t
— повний елiптичний iнтеграл першого роду.
Оцiнимо величину E(CψβHω; Ṽn,p;x) знизу. Переходячи в обох частинах (45) до точних
верхнiх меж по класах Hω з урахуванням (46) та (47), одержуємо
E(CψβHω; Ṽn,p;x) ≥ ψ(n− p+ 1)− ψ(n)
p
4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1−
−Kψ(n− p+ 1) + ψ(n)
p
(
ω(π)
(n− p+ 1)(1− q)3
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
ОЦIНКИ НАБЛИЖЕНЬ КЛАСIВ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ АНАЛОГАМИ СУМ . . . 61
+ min
{
p,
1
1− q
}
εn−p+1
(1− q)2
ω
(
1
n− p+ 1
))
.
Оскiльки величина (49) є нескiнченно малою вiдносно (50), iснує n′′4 = n′′4(ψ; p) ≥ n1 таке,
що для всiх n ≥ n′′4 з (32) випливає оцiнка
E(Cψβ,s; Ṽn,p;x) ≥
≥ ψ(n− p+ 1)
p
(
1− ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1− g′n−p+1(ψ)
) 4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1, (52)
де величину g′m(ψ) означено формулою (50), а K(ρ) =
∫ π/2
0
dt√
1− ρ2 sin2 t
— повний елiптич-
ний iнтеграл першого роду.
З (51) та (52) випливає, що iснує n4 = n4(ψ;n) = max{n′4, n′′4} таке, що для всiх n ≥ n4
має мiсце двостороння оцiнка
ψ(n− p+ 1)
p
(
1− ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1− g′n−p+1(ψ)
) 4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1 ≤
≤ E(CψβHω; Ṽn,p;x) ≤
≤ ψ(n− p+ 1)
p
(
1 +
ψ(n)
ψ(n− p+ 1)
)(
1 + g′n−p+1(ψ)
) 4
π2
1− q2p
1− q2
K(qp)en−p+1. (53)
Таким чином, спiвставляючи формули (37) та (53), отримуємо, що для всiх x ∈ R та всiх
n > n′0(ψ; p) ≥ n4 має мiсце (38).
Теорему доведено.
Прикладом функцiй ω(t), що задовольняють умови теореми 2, є функцiя ω(t) = tα, 0 < α <
< 1. В цьому випадку класи Hω є вiдомими класами Гельдера Hα. Для таких класiв має мiсце
твердження.
Наслiдок. Нехай ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, n, p ∈ N, 2 ≤ p ≤ n, limn→∞ n − p = ∞
i 0 < α < 1. Тодi для довiльних x ∈ R та всiх n, починаючи з деякого n′0 = n′0(ψ, p),
справджується двостороння оцiнка
M (3)(n, p)2α
π/2∫
0
tα sin tdt
ψ(n− p+ 1)
p(n− p+ 1)α
≤ E(CψβH
α; Ṽn,p;x) ≤
≤M (4)(n, p)2α
π/2∫
0
tα sin tdt
ψ(n− p+ 1)
p(n− p+ 1)α
,
де величини M (k)(n, p) означено рiвностями (37).
1. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iнституту математики НАН України. – 2002. –
40, ч. 1. – 427 c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
62 В. А. ВОЙТОВИЧ
2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
3. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
4. Бернштейн С. Н. О тригонометрическом интерполировании по способу наименьших квадратов // Докл. АН
СССР. – 1934. – 4. – С. 1 – 8.
5. Никольский С. М. Асимптотическая оценка остатка при приближении интерполяционными тригонометриче-
скими полиномами // Докл. АН СССР. – 1941. – 31, № 3. – С. 215 – 218.
6. Ганзбург И. М. Распространение одной асимптотической формулы А. Ф. Тимана на классы функций с заданным
модулем непрерывности // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1963. – 27. – С. 487 – 528.
7. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле Пуссена // Працi Iн-ту математики
НАН України. – 2007. – 68. – C. 386.
8. Сердюк А. С., Войтович В. А. Наближення класiв цiлих функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. –
7, № 1. – С. 274 – 297.
9. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналити-
ческих функций // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 3. – C. 375 – 395.
10. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu., Musienko A. P. Approximation of classes of analytic functions by de la Vallée Poussion
sums in uniform metric // Rend. mat. – 2012. – 32. – P. 1 – 15.
11. Сердюк А. С. Приближение интегралов Пуассона суммами Валле Пуссена в равномерной и интегральных
метриках // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 12. – C. 1672 – 1686.
12. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu. Uniform approximation of Poisson integrals of functions from classes Hω by de la Vallée
Poussion sums // Anal. mat. – 2012. – 38. – P. 305 – 325.
13. Войтович В. А., Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена // Доп. НАН України. – 2012. – № 12. – С. 13 – 18.
Одержано 19.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T20:22:06Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Войтович, В.А. 2020-02-11T18:28:50Z 2020-02-11T18:28:50Z 2014 Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена / В.А. Войтович // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 1. — С. 49–62. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165111 517.5 Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Получены двусторонние оценки для точных верхних граней приближений интерполяционными аналогами сумм Валле Пуссена на классах 2π-периодических функций Cψβ,s которые задаются последовательностями ψ(k) и сдвигом аргумента β,β∈R, при условии, что последовательности ψ(k) удовлетворяют условию Даламбера Dq,q∈(0,1),. Аналогичные оценки получены для классов CψβHω, порождаемых выпуклыми модулями непрерывности ω(t). При условии n−p→∞ и p→∞ указанные оценки превращаются в асимптотические равенства. We establish two-sided estimates for the exact upper bounds of approximations by the interpolation analogs of the de-la-Vallée-Poussin sums on the classes of 2π -periodic functions C β,s ψ specified by the sequences ψ(k) and shifts of the argument β , β ∈ ℝ, under the condition that the sequences ψ(k) satisfy the d’Alembert D q , q ∈ (0, 1), condition. Similar estimates are obtained for the classes C β ψ H ω generated by convex moduli of continuity ω(t). Under the conditions n − p → ∞ and p → ∞, the indicated estimates turn into asymptotic equalities. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена Estimates for the approximations of the classes of analytic functions by interpolation analogs of the De-La-Vallée–Poussin sums Article published earlier |
| spellingShingle | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена Войтович, В.А. Статті |
| title | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена |
| title_alt | Estimates for the approximations of the classes of analytic functions by interpolation analogs of the De-La-Vallée–Poussin sums |
| title_full | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена |
| title_fullStr | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена |
| title_full_unstemmed | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена |
| title_short | Оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена |
| title_sort | оцiнки наближень класiв аналiтичних функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум валле пуссена |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165111 |
| work_keys_str_mv | AT voitovičva ocinkinabliženʹklasivanalitičnihfunkciiinterpolâciinimianalogamisumvallepussena AT voitovičva estimatesfortheapproximationsoftheclassesofanalyticfunctionsbyinterpolationanalogsofthedelavalleepoussinsums |