Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма
Для послідовності незалежних випадкових елементів банахового простору знайдено оцінку зверху моментів супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма через оцінку моментів у законі великих чисел. Наведено приклад застосування їх до закону повторного логарифма в банахових ґратках. For a sequen...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165121 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма / І.К. Мацак, А.М. Плічко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 653–665. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165121 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мацак, І.К. Плічко, А.М. 2020-02-11T20:52:28Z 2020-02-11T20:52:28Z 2006 Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма / І.К. Мацак, А.М. Плічко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 653–665. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165121 519.21 Для послідовності незалежних випадкових елементів банахового простору знайдено оцінку зверху моментів супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма через оцінку моментів у законі великих чисел. Наведено приклад застосування їх до закону повторного логарифма в банахових ґратках. For a sequence of independent random elements in a Banach space, we obtain an upper bound for moments of the supremum of normalized sums in the law of the iterated logarithm by using an estimate for moments in the law of large numbers. An example of their application to the law of the iterated logarithm in Banach lattices is given. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма One moment estimate for the supremum of normalized sums in the law of the iterated logarithm Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| spellingShingle |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма Мацак, І.К. Плічко, А.М. Статті |
| title_short |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| title_full |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| title_fullStr |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| title_full_unstemmed |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| title_sort |
одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма |
| author |
Мацак, І.К. Плічко, А.М. |
| author_facet |
Мацак, І.К. Плічко, А.М. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2006 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
One moment estimate for the supremum of normalized sums in the law of the iterated logarithm |
| description |
Для послідовності незалежних випадкових елементів банахового простору знайдено оцінку зверху моментів супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма через оцінку моментів у законі великих чисел. Наведено приклад застосування їх до закону повторного логарифма в банахових ґратках.
For a sequence of independent random elements in a Banach space, we obtain an upper bound for moments of the supremum of normalized sums in the law of the iterated logarithm by using an estimate for moments in the law of large numbers. An example of their application to the law of the iterated logarithm in Banach lattices is given.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165121 |
| citation_txt |
Одна моментна оцінка для супремуму нормованих сум у законі повторного логарифма / І.К. Мацак, А.М. Плічко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 5. — С. 653–665. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT macakík odnamomentnaocínkadlâsupremumunormovanihsumuzakonípovtornogologarifma AT plíčkoam odnamomentnaocínkadlâsupremumunormovanihsumuzakonípovtornogologarifma AT macakík onemomentestimateforthesupremumofnormalizedsumsinthelawoftheiteratedlogarithm AT plíčkoam onemomentestimateforthesupremumofnormalizedsumsinthelawoftheiteratedlogarithm |
| first_indexed |
2025-11-27T00:46:15Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:46:15Z |
| _version_ |
1850789293670268928 |
| fulltext |
УДК 519.21
I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т технол. та дизайну),
А. М. Плiчко (Кiровоград. пед. ун-т)
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА
ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ
У ЗАКОНI ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
For a sequence of independent random elements in a Banach space, an upper bound is obtained for
the moments of supremum of normed sums in the law of iterated logarithm by using the estimation of
moments in the law of large numbers. An example of their application to the law of iterated logarithm in
Banach lattices is given.
Для послiдовностi незалежних випадкових елементiв банахового простору знайдено оцiнку зверху
моментiв супремуму нормованих сум у законi повторного логарифма через оцiнку моментiв у законi
великих чисел. Наведено приклад застосування їх до закону повторного логарифма в банахових
ґратках.
1. Вступ. Кажуть, що банахiв простiр B має тип 2, якщо iснує така стала
C = C(B), що для будь-якого скiнченного набору елементiв (xi) ⊂ B
E
∥∥∥∑ εixi
∥∥∥2
≤ C
∑
‖xi‖2,
де εi, i ≥ 1, — симетричнi незалежнi випадковi величини (н. в. в.) Бернуллi. Нехай
B — банахiв простiр типу 2, xi ∈ B. У працi [1] встановлено таку оцiнку:
E
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥
χ(n)
2
≤ C sup
n≥1
∑n
i=1
‖xi‖2
n
, (1)
де C = C(B), χ(t) = (2tLL(t))1/2, L(t) = max(1, ln(t)), t > 0 (щоправда, в [1]
нерiвнiсть (1) не записана в явному виглядi, але вона легко випливає з леми 2
вказаної працi).
У працi [2] цю оцiнку було використано при доведеннi порядкового закону
повторного логарифма (ЗПЛ) i дещо пiдсилено для B = R1. А саме, в нiй показано,
що
E
sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
ξi
∣∣∣
χ(n)
q ≤ Cq E
sup
n≥1
∑n
i=1
ξ2i
n
q/2, (2)
де q > 0, а (ξi) — послiдовнiсть н. в. в. в R1 з Eξi = 0.
Слiд зазначити, що задача оцiнювання моментiв величини
sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
ξi
∣∣∣
dn
,
де dn > 0, вiдома досить давно. Її вивчали у зв’язку з дослiдженням законiв
великих чисел та закону повторного логарифма (див. [1, 3 – 6]).
У вiдповiдь на деякi зауваження рецензента пiдкреслимо один цiкавий iсторич-
ний аспект у ЗПЛ.
c© I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО, 2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5 653
654 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
Нехай ймовiрнiсний простiр — це вiдрiзок [0, 1] з мiрою Лебега, νn(x) —
n-цифра у двiйковому розкладi числа x,
κn = κn(x) = 2νn(x)− 1.
Тодi майже напевно (м. н.)
lim sup
n→∞
∑n
i=1
κi
χ(n)
= 1, lim inf
n→∞
∑n
i=1
κi
χ(n)
= −1.
У такому виглядi ЗПЛ уперше встановив О. Я. Хiнчин у 1924 р. Це була
вiдповiдь на проблему теорiї чисел, яку ранiше вивчали ряд авторiв (Хаусдорф,
Хардi i Лiттлвуд).
Наступний важливий крок був зроблений А. М. Колмогоровим, який узагальнив
ЗПЛ на широкий клас послiдовностей н. в. в.
Таким чином, 80 рокiв тому ЗПЛ було перенесено з теорiї чисел у теорiї ймо-
вiрностей. Цей факт, як i роль ЗПЛ, недооцiнюється. На думку авторiв, ЗПЛ
Хiнчина — це фундаментальний закон, який має загальноматематичне значення.
У першiй частинi роботи показано, що оцiнки, подiбнi до (1) i (2), мають мiсце
для широкого класу нормуючих констант. У другiй частинi наведено приклад за-
стосування одержаних моментних оцiнок до порядкового ЗПЛ у банахових ґратках.
Нагадаємо вiдповiднi означення.
Пiдмножина A банахової ґратки B називається обмеженою за порядком, якщо
iснують елементи y i z такi, що y ≤ x ≤ z для всiх x ∈ A. Банахова ґратка B
називається σ-повною, якщо для будь-якої обмеженої за порядком послiдовностi
xn ∈ B iснують точнi верхня i нижня межi. У σ-повнiй банаховiй ґратцi для
обмеженої за порядком послiдовностi (xn) iснують верхня i нижня (порядковi)
границi, якi визначаються рiвностями
lim sup
n→∞
xn = inf
m
( sup
n≥m
xn) та lim inf
n→∞
xn = sup
m
( inf
n≥m
xn)
вiдповiдно (див. [7, с. 504]). Кожна сепарабельна σ-повна банахова ґратка iзоморф-
на деякому банаховому iдеальному просторовi (БIП) [8, с. 25]. Цей iзоморфiзм
зберiгає як порядок, так i верхнi (нижнi) межi i дозволяє зводити доведення ба-
гатьох результатiв для абстрактних банахових ґраток до окремого випадку БIП.
Для послiдовностi випадкових елементiв (в. е.) Xi в сепарабельнiй банаховiй ґрат-
цi supi<nXi й infi<nXi будуть борелiвськими в. е. i згiдно з наведеним вище
означенням можна розглядати lim supn→∞Xn та lim infn→∞Xn. Важливим при-
кладом σ-повної ґратки буде q-вгнута банахова ґратка (це випливає, наприклад, з
[8, с. 6]). Нагадаємо її означення. Нехай 1 ≤ q <∞. Банахова ґратка B називається
q-вгнутою, якщо iснує така стала Dq = Dq(B), що для будь-якого скiнченного на-
бору елементiв (xi) ⊂ B виконується нерiвнiсть(∑
‖xi‖q
)1/q
≤ Dq
∥∥∥∥(∑ |xi|q
)1/q∥∥∥∥ .
Далi нам буде потрiбним поняття середнього ψ-вiдхилення в. в., а також його
узагальнення на в. е. у банаховiй ґратцi. Нагадаємо вiдповiдне означення (до-
кладнiше див. [2]). Парна опукла додатна при t 6= 0 неперервна функцiя ψ(t),
визначена на R1, називається N -функцiєю [9, с. 149], якщо limt→0 t
−1ψ(t) = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 655
а limt→∞ t−1ψ(t) = +∞. Для кожної N -функцiї ψ(t) доповнювальна N -функцiя
визначається рiвнiстю
ψ∗(t) = sup
s∈R1
(st− ψ(s)).
Нехай в. е. X набуває значень у сепарабельнiй банаховiй ґратцi B, а ψ(t) —
N -функцiя. Його середнiм ψ-вiдхиленням називається точна верхня межа
SψX = sup(x ∈ Kψ(X)),
де Kψ(X) =
{
E(ηX) : η — в. в., Eψ∗(η) ≤ 1
}
, а EX — iнтеграл Петтiса.
Зокрема, середнє вiдхилення степеня p, 1 < p <∞, в. е. X означимо формулою
SpX = sup(x ∈ Kp(X)), де Kp(X) = {E(ηX) : E|η|q ≤ 1}, 1
p
+
1
q
= 1, а середнє
квадратичне вiдхилення — просто SX.Для в. в. у просторiR1 це поняття збiгається
з класичним поняттям середнього вiдхилення степеня p, а для БIП на вимiрному
просторi (T,Λ, µ) – з поточковим вiдхиленням (E|X(t)|p)1/p, t ∈ T, коли EX = 0.
Нехай X — в. е., заданий на ймовiрнiсному просторi (Ω,Σ,P) зi значеннями в
сепарабельнiй банаховiй ґратцi B з EX = 0, (Xi) — послiдовнiсть його незалежних
копiй i (bi) — числова послiдовнiсть. Покладемо Sn =
∑n
i=1
biXi i vn =
∑n
i=1
b2i .
Природним узагальненням ЗПЛ у R1 на банаховi ґратки є спiввiдношення
lim sup
n→∞
Sn
χ(vn)
= SX, lim inf
n→∞
Sn
χ(vn)
= −SX м. н. (3)
Рiвностi (3) називають порядковим ЗПЛ у банаховiй ґратцi B. Випадок bi = 1
розглядався у статтi [2].
Будемо використовувати означення та позначення, якi стосуються банахових
ґраток i в. е. у банахових просторах, з [8 – 10]; при цьому обмежуватимемося
сепарабельними просторами для уникнення ускладнень з питанням про вимiрнiсть
суми та супремуму двох в. е.
2. Оцiнки моментiв супремуму нормованих сум.
Теорема 1. Нехай B — сепарабельний банахiв простiр типу 2, (Xi) — послi-
довнiсть незалежних випадкових елементiв у B з EXi = 0, (dn) — послiдовнiсть
додатних чисел, dn ↑ ∞ при n→∞ i q ≥ 1. Тодi
E
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
Xi
∥∥∥
χ(dn)
q ≤ CE
sup
n≥1
∑n
i=1
‖Xi‖2
dn
q/2 , (4)
де стала C = C(B), можливо, також залежить вiд q та послiдовностi (dn),
але не залежить вiд (Xi).
Сформулюємо одну допомiжну лему про повноту деяких нормованих просторiв,
що необхiдна при доведеннi теореми 1. Доведення леми стандартне, i ми наводимо
його лише для повноти викладу.
Нехай B — довiльний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖, (cn) — фiксована по-
слiдовнiсть додатних чисел, а q ≥ 1. На лiнiйному просторi послiдовностей (xi),
xi ∈ B, введемо норми
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
656 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
‖(xi)‖0 = sup
n≥1
∥∥∥∥∥cn
n∑
i=1
xi
∥∥∥∥∥ ,
‖(xi)‖1 = sup
n≥1
(
cn
n∑
i=1
‖xi‖2
)1/2
i ‖(xi)‖2 =
(
E sup
n≥1
∥∥∥∥∥cn
n∑
i=1
εixi
∥∥∥∥∥
q)1/q (5)
(те, що для величин ‖ · ‖0−‖·‖2 виконуються всi властивостi норми, перевiряється
безпосередньо). Розглянемо нормованi простори Bj = {(xi) : ‖(xi)‖j < ∞},
j = 0, 1, 2.
Лема 1. Простори (Bj , ‖ · ‖j), j = 0, 1, 2, банаховi.
Доведення. Простiр B0. Фахiвцям з банахових просторiв B0, звичайно ж,
нагадує розтягуючу модель. Доведення його повноти проведемо за традицiйною
схемою. Нехай xm = (xm1 , x
m
2 , . . . ) — фундаментальна послiдовнiсть елементiв
B0. З означення норми ‖ · ‖0 видно, що для будь-якого i послiдовнiсть (xmi ) фун-
даментальна в B. Отже, iснує границя limm→∞ xmi = xi. Окрiм того, для x = (xi)
‖x− xm‖0 = sup
n≥1
cn
∥∥∥∥∥
n∑
i=1
(xi − xmi )
∥∥∥∥∥ = sup
n≥1
lim
k→∞
cn
∥∥∥∥∥
n∑
i=1
(xki − xmi )
∥∥∥∥∥ ≤
≤ sup
k≥m
sup
n≥1
cn
∥∥∥∥∥
n∑
i=1
(xki − xmi )
∥∥∥∥∥ = sup
k≥m
‖xk − xm‖0 → 0 при m→∞.
Звiдси випливає також, що ‖x‖0 <∞, а отже, x ∈ B0. Таким чином, простiр B0 є
банаховим.
Простiр B1. Розглянемо послiдовнiсть просторiв B1, B2, . . . ; елемент xn ∈ Bn
має вигляд xn = (xn1 , . . . , x
n
n), x
n
i ∈ B, а норма вводиться формулою ‖xn‖ =
=
(
cn
∑n
i=1
‖xni ‖2
)1/2
. Вiзьмемо простiр l∞(Bn), що складається з (обмежених)
послiдовностей x = (x1, x2, . . . ) з нормою ‖x‖ = supn ‖xn‖. Оскiльки кожен про-
стiрBn банахiв, то й l∞(Bn) є банаховим. ПростiрB1 буде його „дiагоналлю”, тоб-
то складатиметься з послiдовностей x = (x1, x2, . . . ), у яких x1
1 = x2
1 = x3
1 = . . . ,
x2
2 = x3
2 = x4
2 = . . . i т. д. Зрозумiло, що границею послiдовностi „дiагональ-
них” елементiв може бути лише „дiагональний” елемент. Отже, пiдпростiр B1 є
замкненим, а тому повний.
Простiр B2. Для ймовiрнiсного простору (Ω,Σ,P) розглянемо простiр Lq(B0)
вектор-функцiй X(ω) = (X1(ω), X2(ω), . . . ) з Ω в B0 з нормою ‖X‖q =
=
(∫
Ω
‖X(ω)‖q0dP
)1/q
. Вiн банахiв, оскiльки, як було показано вище, B0 є ба-
наховим (див., наприклад, [11, c. 92]). Простiр B2 буде пiдпростором просто-
ру Lq(B0), складеним з вектор-функцiй X(ω) = (ε1(ω)x1, ε2(ω)x2, . . . ), у яких
всi компоненти незалежнi. Його замкненiсть перевiряється так. Очевидно, що
граничним елементом для послiдовностi Xm = (εixmi ) в нормi ‖ · ‖q може бути
лише елемент вигляду X = (εixi). Якщо ‖Xm−X‖q → 0, то εmi → εi за ймовiрнi-
стю для кожного i. Тепер, якщо εmi , i ≥ 1, незалежнi для кожного m, то й граничнi
в. в. εi, i ≥ 1, теж незалежнi. Таким чином, пiдпростiр B2 є замкненим, а тому
повний.
Основою теореми 1 є наступне узагальнення леми Пiз’є.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 657
Лема 2. Нехай B — банахiв простiр типу 2, (dn) — послiдовнiсть додатних
чисел, dn ↑ ∞ при n→∞ i q ≥ 1. Тодi для будь-якої послiдовностi (xi) ⊂ B
E
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥
χ(dn)
q ≤ C
sup
n≥1
∑n
i=1
‖xi‖2
dn
q/2 ,
де стала C = C(B) така ж, як i в теоремi 1.
Доведення. На лiнiйному просторi послiдовностей (xi), xi ∈ B, введемо норми
(5), тiльки замiсть cn у першому випадку фiгуруватиме
1
dn
, а в другому —
1
χ(dn)
.
Отримаємо (повнi, за лемою 1) простори B1 i B2.
Покажемо, що з умови
‖(xi)‖1 <∞ (6)
випливає
‖(xi)‖2 <∞. (7)
Припустимо спочатку, що
∑∞
i=1
‖xi‖2 = ∞, i скористаємося нерiвнiстю
lim sup
n→∞
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥
χ
(∑n
i=1
‖xi‖2
) ≤ C(B) м. н. (8)
Для B = R1 цю нерiвнiсть було встановлено у роботi [12] з C(B) = 1. Уза-
гальнення на банаховi простори типу 2 можна знайти в [13] (наслiдок 1); точнiше,
в [13] доведено нерiвнiсть
lim sup
n→∞
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥
χ
(
E
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥2
) ≤
√
e.
Для отримання звiдси нерiвностi (8) потрiбно скористатися типом 2 простору B.
З нерiвностей (8) та (6) маємо
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
εixi
∥∥∥
χ(dn)
<∞ м. н. (9)
Тому [10, с. 159] нерiвнiсть (7) еквiвалентна умовi
sup
n≥1
(
‖xn‖
χ (dn)
)q
<∞.
Звiдси робимо висновок: iмплiкацiя (6) ⇒ (7) буде справедливою, якщо виконуєть-
ся остання нерiвнiсть. А її дiстаємо iз таких оцiнок:
sup
n≥1
(
‖xn‖
χ (dn)
)q
≤ sup
n≥1
(
‖xn‖2
dn
)q/2
≤ ‖(xi)‖q1 <∞. (10)
У випадку, коли
∑∞
i=1
‖xi‖2 < ∞, ряд
∑∞
n=1
εixi збiгається за нормою B
м. н. Звичайно, тодi виконуватиметься нерiвнiсть (9), оскiльки за даними умовами
χ (dn) →∞. А далi слiд повторити ланцюжок нерiвностей (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
658 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
Координатнi функцiонали, точнiше функцiонали вигляду (0, . . . , 0, fi, 0, . . . ),
fi ∈ B∗, неперервнi в обох нормах ‖ · ‖1, ‖ · ‖2. Тому iснує вiдокремлена ло-
кально опукла топологiя, слабкiша за обидвi цi норми. Залишилося скористатися
лемою 3.3 з [14, с. 24], згiдно з якою природне вкладення B1 → B2 буде обме-
женим.
Доведення теореми 1. Для симетричних в. е. (Xi) нерiвнiсть (4) випливає
з леми 2 та теореми Фубiнi. Загальний випадок зводиться до симетричного за
допомогою стандартної процедури симетризацiї: беремо X(s)
i = Xi −X ′
i, де (X ′
i)
— незалежна копiя (Xi). Тодi
E
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
Xi
∥∥∥
χ(dn)
q ≤ E
sup
n≥1
∥∥∥∑n
i=1
X
(s)
i
∥∥∥
χ(dn)
q ≤
≤ CE
(
sup
n≥1
1
dn
n∑
i=1
‖(Xi −X ′
i)‖2
)q/2
≤ C1E
(
sup
n≥1
1
dn
n∑
i=1
‖Xi‖2
)q/2
,
де C1 = C1(q, (dn)) (використано вiдому нерiвнiсть для в. е. Y з EY = 0 :
E‖Y ‖q ≤ E‖Y − Y ′‖q,
де Y ′ — незалежна копiя Y [11, с. 222]).
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Нехай сепарабельна банахова ґратка B буде p-вгнутою при
деякому 1 ≤ p <∞, (Xi) — послiдовнiсть незалежних випадкових елементiв у B з
EXi = 0, (dn) — послiдовнiсть додатних чисел, dn ↑ ∞ при n→∞ i q ≥ 1. Тодi
E
∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
Xi
∣∣∣
χ(dn)
∥∥∥∥∥∥
q
≤ C E
∥∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
∑n
i=1
|Xi|2
dn
1/2
∥∥∥∥∥∥∥
q
, (11)
де C = C(q,B, (dn)).
Доведення. Розглянемо лише випадок Xi = εixi, де εi, i ≥ 1, — симетричнi
незалежнi в. в. Бернуллi, а xi ∈ B. Перехiд звiдси до загального випадку повторює
перехiд вiд леми 2 до теореми 1.
Нехай спочатку B — p-вгнутий БIП i p ≤ q. Тодi B буде i q-вгнутим [8, с. 49].
Далi скористаємося нерiвнiстю
(E‖Y ‖q)1/q ≤ Dq‖(E|Y |q)1/q‖, (12)
де Y — в. е. зi значеннями в q-вгнутому БIП [15].
З (12) та леми 2 в R1 одержуємоE
∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
εixi
∣∣∣
χ(dn)
∥∥∥∥∥∥
q1/q
≤ Dq
∥∥∥∥∥∥∥
E sup
n≥1
∣∣∣∣∣∣
∑n
i=1
εixi
χ(dn)
∣∣∣∣∣∣
q1/q
∥∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ C(q,B)
∥∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
∑n
i=1
|xi|2
dn
1/2
∥∥∥∥∥∥∥ ,
тобто для цього випадку оцiнку (11) встановлено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 659
Випадок p > q безпосередньо випливає з нерiвностi (E‖Y ‖q)1/q ≤ (E‖Y ‖p)1/p
i попереднiх оцiнок, доведених для p. Перехiд до абстрактних q-вгнутих банахо-
вих ґраток здiйснюється за допомогою згадуваного iзоморфiзму мiж банаховими
ґратками та БIП [8, с. 25].
Наслiдок доведено.
Зауваження 1. 1. Нерiвностi (1), (2) та (4) нагадують класичну нерiвнiсть
Хiнчина. Щоправда, на вiдмiну вiд останньої протилежна нерiвнiсть в (1), (2), (4)
у загальному випадку не виконується, яку б константу C ми не взяли. Справдi,
покладемо в нерiвностi (1) для дiйсної прямої :
xi = χ(22n) при i = 22n i xi = 0 при i 6= 22n.
Тодi елементарними обчисленнями отримуємо
E
sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
εixi
∣∣∣
χ(n)
2
≤
sup
n≥1
∑n
i=1
χ(22i)
χ(22n)
2
≤ 4,
sup
n≥1
∑n
1
x2
i
n
= ∞.
2. Для дiйсної прямої, коли q > 2, dn = n, Xi = ξi — незалежнi копiї в. в. ξ i
Eξ = 0, з результатiв [6] маємо
Sq|ξ| ≤
E
sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
ξi
∣∣∣
χ(n)
q1/q
≤ CSq|ξ|,
Sq|ξ| ≤
E
sup
n≥1
∑n
i=1
ξi
2
n
q/2
1/q
≤ CSq|ξ| .
Таким чином, для даного випадку оцiнка (4) в певному розумiннi буде точною.
3. Якщо в умовах п. 2 покласти q = 2, то при ψ̂(t) =
|t|2 ln(1 + |t|2)
LL(1 + t2)
Sψ̂|ξ| ≤ C1
E
sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
ξi
∣∣∣
χ(n)
2
1/2
≤ C2Sψ̂|ξ|,
а при ψ(t) = |t| ln(1 + |t|)
Sψ(ξ2) ≤ C1E sup
n≥1
∑n
i=1
ξi
2
n
≤ C2Sψ(ξ2)
(див. [6]), тобто у цьому випадку (4) — досить груба оцiнка зверху.
4. У зв’язку з п. 1 виникає питання: чи не можна посилити нерiвнiсть (4),
замiнивши у правiй частинi dn на dnf(n), де f(n) → ∞ при n → ∞? Наступний
приклад показує, що це не так у просторi R1. Зафiксуємо натуральне m, вiзьмемо
q = 1, dn = n i покладемо ξi = εiai, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
660 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
ai =
0 при i ≤ m,
1 при i > m.
Тодi для квадрата правої частини (4) маємо оцiнку зверху
sup
n≥1
∑n
i=1
a2
i
nf(n)
= sup
n≥m
n−m
nf(n)
≤ 1
f(m)
. (13)
Запишемо вiдповiдну оцiнку знизу для лiвої частини:
E sup
n≥1
∣∣∣∑n
i=1
εiai
∣∣∣
χ(n)
= E sup
n>m
∣∣∣∑n
i=m+1
εiai
∣∣∣
χ(n)
≥
≥ E sup
n>2m
∣∣∣∑n
i=m+1
εiai
∣∣∣
χ(n−m)
χ(n−m)
χ(n)
≥ 1
2
− δ (14)
при деякому δ > 0. Остання нерiвнiсть виконується, оскiльки при достатньо вели-
кому m i n > 2m
χ(n−m)
χ(n)
≥ 1
2
− δ,
а згiдно з ЗПЛ для k = n−m
lim sup
k→∞
∣∣∣∣∑k
i=1
εi
∣∣∣∣
χ(k)
= 1.
Разом оцiнки (13), (14) дають негативну вiдповiдь на поставлене питання.
5. Було б цiкаво оцiнити сталуC в нерiвностi (4). Простi мiркування показують,
що її можна брати залежною лише вiд константи типу 2 простору B i вiд q та (dn).
3. Порядковий закон повторного логарифма для зважених сум незалежних
однаково розподiлених випадкових величин. Спочатку наведемо двi допомiжнi
леми. Перша стосується одного важливого класу функцiй. Кажуть, що функцiя
ψ(x) задовольняє умову (ID) (див. [16]), якщо:
вона строго зростає на [0,∞) i
sup
t>0
ψ (t+ 1)
ψ (t)
<∞ ;
ψ−1(t) при t ≥ 1 абсолютно неперервна, а для її похiдної γ(t)
γ (st) ≤ Csθγ (t)
при t ≥ 0, s ≥ 1 i деяких скiнченних θ i C > 0.
Наприклад, функцiї tα та eαt, α > 0, задовольняють умову (ID) при θ =
1− α
α
i θ = 0 вiдповiдно (якщо функцiя ψ(t) опукла, то можна взяти θ = 0; див. [16]).
Лема 3 [16]. Нехай (ξi) — послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених
випадкових величин з нульовим математичним сподiванням i P (n, ε) :=
:= P
{∣∣∣∑n
i=1
ξi
∣∣∣ > nε
}
. Якщо для послiдовностi (nk)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 661
lim
k→∞
nk
ψ (λk)
= 1 при деякому λ > 0,
а функцiя ψ(t) задовольняє умову (ID), то еквiвалентними є спiввiдношення:
1) ∀ε > 0
∑
k
P (nk, ε) <∞,
2) Eh (ξi) <∞, де h (t) =
∫ t
0
sγ (s)ds.
Нехай vn =
∑n
i=1
b2i , послiдовнiсть (bn) задовольняє умову
b2n ↑,
vn
b2n
↑ при n→∞, (15)
а iндекси mn ↑ ∞ вибрано так, що при деяких 1 < q < Q
q ≤
vmn+1
vmn
≤ Q (16)
(такi iндекси за умови (15) завжди iснують, див. [17, с. 330]).
Наступна лема є певним уточненням результату Гапошкiна [18] на зваженi суми
однаково розподiлених н. в. в.
Лема 4. Для послiдовностi (ξn) незалежних копiй випадкової величини ξ з
Eξ = a, послiдовностi (bn), яка задовольняє умову (15), mn, визначених згiдно з
(16), i mn = mn −mn−1 є еквiвалентними такi спiввiдношення:
i)
∑
n
P
{∣∣∣∣ 1
mn
∑mn
i=1
ξi − a
∣∣∣∣ > ε
}
<∞ ∀ε > 0;
ii)
1
mn
∑mn
i=mn−1+1
ξi → a м. н.;
iii)
1
vn
∑n
i=1
b2i ξi → a м. н.
Доведення. Еквiвалентнiсть спiввiдношень i) та ii) добре вiдома [17, с. 330].
Доведемо еквiвалентнiсть ii) ⇔ iii) (нам, власне, буде потрiбна iмплiкацiя
ii) ⇒ iii)). З результатiв [18] в наших припущеннях маємо: при n→∞
1
mn
mn∑
i=mn−1+1
ξi − αn → 0 м. н. (17)
при деяких невипадкових αn тодi й тiльки тодi, коли при деяких невипадкових βn
1
vn
n∑
i=1
b2i ξi − βn → 0 м. н. (18)
Нехай виконується спiввiдношення ii). Тодi виконується (17), а отже, й (18) з
деякими βn. Якщо βn 9 a, то iснує пiдпослiдовнiсть βnk
→ a + δ, δ 6= 0 (δ може
дорiвнювати й ∞).
Нагадаємо, що послiдовнiсть в. в. (ζn) називається одностайно абсолютно
iнтегровною, якщо ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀n : P(A) < δ ⇒
∫
A
|ζn(ω)|dP < ε. Легко
перевiрити, що послiдовнiсть
1
vnk
∑nk
i=1
b2i ξi одностайно абсолютно iнтегровна,
тому за теоремою Вiталi [19, с. 144]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
662 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
a = E
(
1
vnk
nk∑
i=1
b2i ξi
)
→ a+ δ,
а це неможливо. Отже спiввiдношення iii) виконується.
Доведення iмплiкацiї iii) ⇒ ii) практично без змiн повторює попереднi мiрку-
вання.
Лему доведено.
Тепер можна перейти до формулювання теореми про порядковий ЗПЛ.
Нехай X — в. е. у банаховiй ґратцi B. Будемо припускати, що iснують в. в.
τ ∈ L2(Ω) та елемент u ∈ B+, для яких
|X| ≤ τu м. н. (19)
Згiдно з [2], ця умова достатня для iснування середнього квадратичного вiдхи-
лення SX.
На послiдовнiсть (bn) накладемо такi обмеження:
b2n = o
(
vn
LL (vn)
)
(20)
i
lim
n→∞
m̄n
ψ (n)
= 1 (21)
для деякої функцiї ψ(x),що задовольняє умову (ID) (див. лему 3), де послiдовнiсть
(m̄n) визначена у лемi 4.
Теорема 2. Нехай сепарабельна банахова ґратка B буде q-вгнутою при де-
якому q <∞, симетричний випадковий елементX вB задовольняє умову (19) iXn,
n ≥ 1, — його незалежнi копiї. Крiм цього, нехай послiдовнiсть (bn) задовольняє
умови (15), (20), (21) i
Eh
(
τ2
)
<∞ (22)
для функцiї
h (t) =
t∫
0
s
(
ψ−1(s)
)′
ds.
Тодi виконується ЗПЛ (3).
Зауваження 2. Умову (22) в загальному випадку не можна послабити. Дiйсно,
в R1 для bi = 1, vn = n, m̄n+1 = mn = 2n, ψ(t) = 2t маємо h(t) =
t
ln 2
, i
нерiвнiсть (22) означає, що Eτ2 <∞. Таким чином, ми отримали теорему Хартма-
на – Вiнтнера [17, с. 381]. Добре вiдомо, що для цього класичного випадку умова
Eτ2 <∞ буде i необхiдною.
Доведення теореми 2. З’ясуємо лише першу рiвнiсть у ЗПЛ (3) (друга до-
водиться аналогiчно). Враховуючи вже згадуваний порядковий iзоморфiзм мiж
банаховими ґратками та БIП [8, с. 25], обмежимося випадком коли B — БIП
на вимiрному просторi (T,Λ, µ). Бiльш того, можемо вважати µ(T ) = 1. Тодi
X = (X(t), t ∈ T ) ∈ B м. н., а SX = (σ(t), t ∈ T ) ∈ B. Покладемо для m ≥ 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 663
Um =
(
Um(t) = sup
n≥m
Sn(t)
χ(vn)
, t ∈ T
)
.
Досить показати, що
‖U1‖ <∞ м. н. (23)
i
µ{t ∈ T : lim
m→∞
Um(t) = σ(t)} = 1 м. н. (24)
Спiввiдношення (23), (24) забезпечують виконання загальних умов порядкової
збiжностi у БIП [9, c. 368].
Спочатку доведемо нерiвнiсть (23). В. е. X симетричний, тому його можна
зобразити у виглядi X = εX̂, де ε i X̂ незалежнi, X̂ — копiя X, ε — симетрична
в. в. Бернуллi. Спiввiдношення (23) буде виконуватись, коли ми покажемо, що
EX̂ ‖U1‖q <∞ м. н., (25)
де через EX̂(η) позначено математичне сподiвання в. в. η при фiксованiй послi-
довностi (X̂i). Доведемо нерiвнiсть (25). При цьому скористаємося наслiдком 1 i
врахуємо (19):
(‖U1(t)‖q)
1/q ≤ CEX̂
∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
(
1
vn
n∑
i=1
b2i X̂
2
i (t)
)1/2∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ C
∥∥∥∥∥∥sup
n≥1
(
1
vn
n∑
i=1
b2i X̂
2
i (t)
)1/2∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ C sup
n≥1
(
1
vn
n∑
i=1
b2i τ
2
i
)1/2
‖u‖ м. н., (26)
де τi — незалежнi копiї в. в. τ з умови (19).
За умовами (21), (22) та лемою 3
∑
n
P
{∣∣∣∣∣ 1
mn
mn∑
i=1
τ2
i −Eτ2
∣∣∣∣∣ > ε
}
<∞ ∀ε > 0,
а згiдно з лемою 4 ця нерiвнiсть еквiвалентна спiввiдношенню
1
vn
n∑
i=1
b2i τ
2
i → Eτ2 м. н.
Звiдси
sup
n≥1
1
vn
n∑
i=1
b2i τ
2
i <∞ м. н.
Ця нерiвнiсть разом з оцiнкою (26) дають нерiвнiсть (25).
Покажемо, що умова (24) також виконується. Для цього доведемо, що майже
скрiзь на T виконується ЗПЛ в R1 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
664 I. K. MАЦАК, А. М. ПЛIЧКО
lim sup
n→∞
Sn(t)
χ (vn)
= σ(t) м. н. (27)
Тодi з (27) та теореми Фубiнi безпосередньо дiстаємо умову (24).
Зафiксуємо t ∈ T. Оскiльки b2n зростає, a в. в. Xn(t) однаково розподiленi, то
b2nX
2
n (t) 9 0,
отже,
∞∑
i=1
b2iX
2
i (t) = ∞ м. н.
i аналогiчно до (8) маємо (див. також [12])
lim sup
n→∞
|Sn (t)|
χ
(∑n
i=1
b2iX
2
i (t)
) ≤ 1 м. н. (28)
За нерiвнiстю (19) майже скрiзь на T |Xi(t)| ≤ τiu(t) м. н. Тому для в. в. Xi(t)
виконується умова (22). Тодi, як i для τi, з лем 3, 4 при n→∞ одержуємо
1
vn
n∑
i=1
b2iX
2
i (t) → σ2(t) м. н.
Iз останнього спiввiдношення з урахуванням (28) маємо
lim sup
n→∞
|Sn(t)|
χ (vn)
≤ σ(t) м. н. (29)
Далi, позначивши через I(A) в. в., що дорiвнює 1 при ω ∈ A i 0 у протилежному
випадку, використаємо рiвнiсть
∀ε > 0: lim
n→∞
1
vn
n∑
i=1
b2iE
(
X2
i (t)I
{
b2iX
2
i (t) > ε
vi
LL (vi)
})
= 0,
яка є наслiдком умови (20) та однакової розподiленостi в. в. Xi(t). Вiдомо [20], що
з цiєї рiвностi випливає оцiнка знизу в ЗПЛ:
lim sup
n→∞
|Sn(t)|
χ (vn)
≥ σ(t) м. н.
Останнє спiввiдношення i (29) означають, що рiвнiсть (27), а разом з нею i ЗПЛ
(3) справджуються.
Теорему доведено.
З теореми 2 та вiдомих результатiв про закон великих чисел i ЗПЛ в R1 одер-
жуємо ряд наслiдкiв, в яких даються простi достатнi умови для виконання ЗПЛ
(3). Слiд звернути увагу на те, що в частинах i) й ii) вимога симетричностi в. е. X
замiнюється умовою EX = 0.
Наслiдок 2. Нехай сепарабельна банахова ґратка B q-вгнута при деякому
q < ∞, для випадкового елемента X у B виконується нерiвнiсть (19), а (Xn) —
послiдовнiсть незалежних копiй X. Якщо:
i) або EX = 0 i послiдовнiсть (bn) задовольняє умови
b2n ↑, b2n = O
(vn
n
)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
ОДНА МОМЕНТНА ОЦIНКА ДЛЯ СУПРЕМУМУ НОРМОВАНИХ СУМ У ЗАКОНI ... 665
ii) або EX = 0, послiдовнiсть (bn) задовольняє умову (15) i для деякого p > 1
b2n = O
(
vn (ln vn)
1
1−p
)
, Eτ2p <∞,
iii) або в. е. X симетричний, послiдовнiсть (bn) задовольняє умови (15), (20)
i для деякого λ > 0
E exp(λτ2) <∞,
то виконується порядковий ЗПЛ (3).
1. Pisier G. Sur la loi du logarithme itéré dans les espaces de Banach // Lect. Notes Math. – 1976. –
526. – P. 203 – 210.
2. Мацак И. К. О законе повторного логарифма в банаховых решетках // Теория вероятностей и
ее применения. – 1999. – 44, вып. 4. – С. 865 – 874.
3. Burkholder D. L. Succesive conditional expectations of an integrable function // Ann. Math. Statist.
– 1962. – 33, № 3. – P. 887 – 893.
4. Choi Bong Dac, Sung Soo Hak. On moment conditions for the supremum of normed sum // Stochast.
Process. and Appl. – 1987. – 26, № 1. – P. 99 – 106.
5. Siegmund D. On moments of the maximum of normed partial sums // Ann. Math. Statist. – 1969. –
40. – P. 527 – 531.
6. Мацак I. К. Оцiнки моментiв супремума нормованих сум незалежних випадкових величин //
Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2002. – № 67. – С. 104 – 116.
7. Иосида K. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 624 с.
8. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1979. – Vol. 2. –
243 p.
9. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 744 с.
10. Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. – Berlin etc.: Springer, 1991. – 480 p.
11. Вахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых
пространствах. – М.: Наука, 1985. – 368 с.
12. Weiss M. On the law of the iterated logarithm // J. Math. and Mech. – 1959. – 8. – P. 121 – 132.
13. Мацак И. К., Пличко А. Н. Неравенство Хинчина и асимптотическое поведение сумм
∑
εnxn
в банаховых решетках // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 5. – С. 639 – 644.
14. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука,
1978. – 400 с.
15. Мацак I. К., Плiчко А. М. Про максимуми незалежних випадкових елементiв у функцiйнiй
банаховiй ґратцi // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 1999. – № 61. – С. 105 – 116.
16. Asmussen S., Kurtz D. Necessary and sufficient conditions for complete convergence in the law of
large numbers // Ann. Probab. – 1980. – 8, № 1. – P. 176 – 182.
17. Петров B. B. Суммы независимых случайных величин. – М.: Наука, 1972. – 416 с.
18. Гапошкин В. Ф. О суммировании последовательностей независимых случайных величин //
Теория вероятностей и ее применения. – 1988. – 33, № 1. – С. 68 – 82.
19. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
20. Мартикайнен А. И. Об одностороннем законе повторного логарифма // Теория вероятностей
и ее применения. – 1979. – 30, вып. 4. – С. 694 – 705.
Одержано 17.04.2004,
пiсля доопрацювання — 13.12.2004
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 5
|