Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами
Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени в полосе задачи для эволюционных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по переменным символам. Доказана разрешимость такой задачи в классе ограниченных непрерывных и четных на ℝ функций. Найдено инте...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165131 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 159–175. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165131 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. 2020-02-12T06:01:00Z 2020-02-12T06:01:00Z 2014 Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 159–175. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165131 Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени в полосе задачи для эволюционных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по переменным символам. Доказана разрешимость такой задачи в классе ограниченных непрерывных и четных на ℝ функций. Найдено интегральное представление решения. We study the properties of the fundamental solution of a nonlocal problem multipoint in time for the evolutionary equations with pseudo-Bessel operators constructed on variable symbols. The solvability of this problem is proved in the class of bounded continuous functions even on ℝ. The integral representation of solutions is established. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами Nonlocal problem multipoint in time for the evolutionary equations with pseudo-Bessel operators with variable symbols Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| spellingShingle |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. Статті |
| title_short |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| title_full |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| title_fullStr |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| title_full_unstemmed |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| title_sort |
нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами |
| author |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. |
| author_facet |
Городецький, В.В. Мартинюк, О.В. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2014 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Nonlocal problem multipoint in time for the evolutionary equations with pseudo-Bessel operators with variable symbols |
| description |
Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени в полосе задачи для эволюционных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по переменным символам. Доказана разрешимость такой задачи в классе ограниченных непрерывных и четных на ℝ функций. Найдено интегральное представление решения.
We study the properties of the fundamental solution of a nonlocal problem multipoint in time for the evolutionary equations with pseudo-Bessel operators constructed on variable symbols. The solvability of this problem is proved in the class of bounded continuous functions even on ℝ. The integral representation of solutions is established.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165131 |
| citation_txt |
Нелокальна багатоточкова за часом задача для еволюційних рівнянь із псевдобесселевими операторами зі змінними символами / В.В. Городецький, О.В. Мартинюк // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 159–175. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT gorodecʹkiivv nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíinihrívnânʹízpsevdobesselevimioperatoramizízmínnimisimvolami AT martinûkov nelokalʹnabagatotočkovazačasomzadačadlâevolûcíinihrívnânʹízpsevdobesselevimioperatoramizízmínnimisimvolami AT gorodecʹkiivv nonlocalproblemmultipointintimefortheevolutionaryequationswithpseudobesseloperatorswithvariablesymbols AT martinûkov nonlocalproblemmultipointintimefortheevolutionaryequationswithpseudobesseloperatorswithvariablesymbols |
| first_indexed |
2025-11-25T22:47:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:47:35Z |
| _version_ |
1850573800501936128 |
| fulltext |
УДК 517.956
В. В. Городецький, О. В. Мартинюк (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА
ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ IЗ ПСЕВДОБЕССЕЛЕВИМИ
ОПЕРАТОРАМИ ЗI ЗМIННИМИ СИМВОЛАМИ
We study the properties of the fundamental solution of a nonlocal problem multipoint in time for the evolutionary equations
with pseudo-Bessel operators constructed on variable symbols. The solvability of this problem in the class of bounded
continuous functions even on R is proved. The integral representation of solutions is established.
Исследованы свойства фундаментального решения нелокальной многоточечной по времени в полосе задачи для
эволюционных уравнений с псевдобесселевыми операторами, построенными по переменным символам. Доказана
разрешимость такой задачи в классе ограниченных непрерывных и четных на R функций. Найдено интегральное
представление решения.
Упродовж останнiх кiлькох десятилiть iнтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних
операторiв (ПДО) та рiвнянь з такими операторами (ПДР). ПДО формально можна зобразити
у виглядi F−1
σ→x
[
a(t, x, σ)Fx→σ
]
, {x, σ} ⊂ Rn, t > 0, де a — функцiя (символ), що задовольняє
певнi умови, F та F−1 — пряме та обернене перетворення Фур’є. До вказаного класу належать
диференцiальнi оператори, оператори дробового диференцiювання та iнтегрування, оператори
згортки тощо. Серед нових роздiлiв цiєї теорiї особливої уваги заслуговує теорiя як лiнiйних,
так i нелiнiйних ПДР з негладкими i однорiдними за змiнною σ символами a(t, x, σ). Як зазначе-
но в [1], випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв.
Наприклад, ПДО з символом |σ|γ , 0 < γ < 2, є твiрним оператором симетричного стiйко-
го процесу. Побудовi розривних марковських процесiв за твiрними iнтегро-диференцiальними
операторами i, зокрема, ПДО присвячено багато праць, в яких використовуються або сто-
хастичнi диференцiальнi рiвняння, або теорiя пiвгруп операторiв. Теорiя ПДО з негладкими
символами тiсно пов’язана також з сучасною теорiєю фракталiв, яка останнiм часом бурхливо
розвивається [2, 3].
Широкий клас ПДО утворюють оператори вигляду F−1
Bν,σ→x
[
a(t, x, σ)FBν,x→σ
]
, породженi
перетвореннями Бесселя FBν , F
−1
Bν
. Якщо символ a є цiлою функцiєю аргументу σ, то ево-
люцiйнi рiвняння iз вказаним оператором мiстять сингулярнi диференцiальнi рiвняння (тобто
рiвняння, серед коефiцiєнтiв яких є такi, що необмеженi в деякiй областi в Rn), зокрема рiв-
няння з оператором Бесселя Bν = d2/dx2 + (2ν + 1)x−1d/dx, ν > −1/2, який мiстить вираз
1/x i формально зображується у виглядi Bν = F−1
Bν
[
− σ2FBν
]
. Якщо a(t, x, σ) = P (t, x, σ),
де P — полiном змiнної σ при фiксованих t, x, що задовольняє певну умову „параболiчнос-
тi”, то таке рiвняння вiдноситься до B-параболiчних рiвнянь, введених М. I. Матiйчуком i
В. В. Крехiвським у 1968 р. Такi рiвняння вироджуються на межi областi й за внутрiшнiми
властивостями близькi до рiвномiрно параболiчних рiвнянь. Еволюцiйнi рiвняння з операто-
ром A = F−1
Bν
[aFBν ], де a = a(σ) — однорiдний, негладкий у точцi 0 символ, що задовольняє
певнi умови, почали дослiджувати В. В. Городецький та О. М. Ленюк [4]. Оператор A далi
називатимемо псевдобесселевим оператором. У [4] встановлено основнi властивостi оператора
A, доведено коректну розв’язнiсть задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з такими операторами
у класi початкових даних, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Для подальшого
c© В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2 159
160 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
розвитку теорiї ПДО має науковий iнтерес дослiдження псевдобесселевих операторiв, побу-
дованих за змiнними символами вигляду a(t, x, σ), однорiдними за змiнною σ i негладкими у
точцi σ = 0.
Останнiм часом значна увага придiляється дослiдженню нелокальних багатоточкових кра-
йових задач для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними (до таких задач вiдносяться
i нелокальнi багатоточковi за часом задачi). Це зумовлено тим, що багато задач практики мо-
делюються крайовими задачами для рiвнянь з частинними похiдними з нелокальними (у тому
числi перiодичними) умовами [5 – 9]. На доцiльнiсть використання нелокальних умов з точки
зору загальної теорiї крайових задач уперше вказав О. О. Дезiн [10], який дослiджував розв’язнi
розширення диференцiальних операторiв, породжених загальною диференцiальною операцiєю
зi сталими коефiцiєнтами. Вiн показав, що для постановки коректної крайової задачi необхiдно
використовувати поряд з локальними i нелокальнi умови. А. Х. Мамян встановив [11], що iсну-
ють такi рiвняння з частинними похiдними в шарi, для яких неможливо сформулювати жодну
коректну локальну задачу; водночас коректнi задачi iснують, якщо залучити нелокальнi умови.
Двоточкову за часом задачу для рiвняння теплопровiдностi та B-параболiчного рiвняння
зi сталими коефiцiєнтами дослiдив М. I. Матiйчук [12, с. 148 – 152]. Двоточкову та m-точкову
(m ≥ 2) за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО, якi будуються за допомогою пере-
творення Бесселя та негладкими однорiдними символами, не залежними вiд t та просторових
змiнних, дослiдили В. В. Городецький, О. М. Ленюк та Д. I. Спiжавка [13, 14] у випадку,
коли функцiя ϕ — права частина багатоточкової за часом задачi — узагальнена функцiя типу
розподiлiв.
Нелокальнi багатоточковi за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь iз псевдобесселевими
операторами, побудованими за змiнними символами a(t, x, σ) (негладкими у точцi σ = 0 i
однорiдними по σ при фiксованих t, x), на теперiшнiй час не вивчалися. Метою цiєї роботи
є побудова та дослiдження властивостей фундаментального розв’язку нелокальної m-точкової
(m ≥ 1) за часом задачi для еволюцiйних рiвнянь iз вказаними операторами; встановлення
розв’язностi такої задачi у випадку, коли функцiя ϕ належить до класу неперервних, парних i
обмежених на R функцiй; вiдшукання iнтегрального зображення розв’язку.
1. Попереднi вiдомостi. Нехай M, ρ : R → [0,+∞) — неперервнi, парнi на R функцiї,
диференцiйовнi й монотонно зростаючi на (0,∞), M(0) = ρ(0) = 0, limx→+∞M(x) =
= limx→+∞ ρ(x) = +∞, причому ρ(x) =
∫ x
0
ω(ξ)dξ для x ≥ 0, де ω — зростаюча й неперервна
на [0,∞) функцiя, ω(0) = 0, limx→+∞ ω(x) = +∞. Функцiя ρ є опуклою на [0,+∞), тобто
а) ∀{x1, x2} ⊂ [0,∞) : ρ(x1) + ρ(x2) ≤ ρ(x1 + x2); б) ∀α ≥ 1 ∀x ∈ [0,+∞) : ρ(αx) ≥ αρ(x);
в) ∀α ∈ (0, 1) ∀x ∈ [0,∞) : ρ(αx) ≤ αρ(x). Зауважимо, що оскiльки похiдна функцiї ρ(x)(
функцiя ω(x)
)
при x → +∞ необмежено зростає, то сама функцiя ρ при x → +∞ зростає
швидше за довiльну лiнiйну функцiю. Припускаємо також, що виконуються наступнi умови:
∀ε > 0 ∃x0 = x0(ε) > 0 ∀x ≥ x0 : ρ(εx) ≥M(x),
ρ(x) ∼
x→+0
xγ , γ ∈ (1,+∞), M(x) ∼
x→+0
xβ, β ∈ (0, 1],
де γ та β — фiксованi параметри.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 161
Символом θM,ρ позначимо сукупнiсть усiх неперервних, парних на R функцiй ϕ : R → R,
нескiнченно диференцiйовних на R \ {0}, для яких
∃a0 > 0 ∀k ∈ Z+ ∃c′k > 0 ∀x ∈ R \ {0} : Mk(x)
∣∣Dk
xϕ(x)
∣∣ ≤ c′k k∑
l=1
ρl(x)e−ρ(a0x), (1)
де Dk
x = dk/dxk (якщо k = 0, то суми немає, якщо k = 1, то l = 1, i т. д.; якщо k = 0, то (1)
справджується для всiх x ∈ R; додатнi сталi c′k, a0 залежать вiд ϕ). Наведемо приклад функцiї
iз простору θM,ρ, побудованого за конкретними функцiями M та ρ. Для цього розглянемо
неперервну, парну на R функцiю α : R → [0,∞), однорiдну порядку γ > 1 i нескiнченно
диференцiйовну на R \ {0}; похiднi цiєї функцiї задовольняють умову
∀k ∈ N ∃bk > 0 ∀x ∈ R \ {0} :
∣∣Dk
xα(x)
∣∣ ≤ bk|x|γ−k; (2)
крiм того,
∃δ > 0 ∀x ∈ R : α(x) ≥ δ|x|γ . (3)
Така функцiя використовується при побудовi псевдодиференцiальних операторiв, для яких вона
є негладким у точцi 0 однорiдним символом, що задовольняє умови „параболiчностi” (2), (3).
Використовуючи формулу Фаа де Бруно диференцiювання складної функцiї, переконуємося в
тому, що справджується нерiвнiсть (див. також [15])
∣∣Dα
xe
−α(x)
∣∣ ≤ ck k∑
l=1
|x|γl−ke−α(x).
Звiдси та з умови (3) випливає нерiвнiсть
Mk(x)
∣∣∣Dk
xe
−α(x)
∣∣∣ ≤ ck k∑
l=1
ρl(x)e−ρ(δ0x),
де M(x) = |x|, ρ(x) = |x|γ , δ0 = δ1/γ . Отже, функцiя exp
{
−α(x)
}
належить до простору
θM,ρ = θ|x|,|x|γ ; така функцiя є важливою при дослiдженнi задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь
iз псевдодиференцiальними операторами iз символом α(x).
Вiдмiтимо основнi властивостi функцiй iз простору θM,ρ, встановленi у [15]: у функцiї
Dk
xϕ,ϕ ∈ θM,ρ, k ∈ N, iснують скiнченнi одностороннi границi limx→±0D
k
xϕ, функцiя D2k
x ϕ,
k ∈ N, у точцi x = 0 має усувний розрив, кожна функцiя ϕ ∈ θM,ρ у точцi 0 задовольняє умову
Дiнi.
Символом θM,ρ,a позначимо сукупнiсть тих функцiй ϕ з простору θM,ρ, якi при фiксованому
a > 0 та довiльному δ ∈ (0, a) задовольняють нерiвностi
Mk(x)
∣∣Dk
xϕ(x)
∣∣ ≤ ckδe−ρ((a−δ)x), x ∈ R \ {0}, k ∈ Z+
(якщо k = 0, то x ∈ R). Введемо в θM,ρ,a структуру злiченно-нормованого простору, поклавши
‖ϕ‖p,a := sup
x∈(0,∞)
{
exp
(
ρ
(
a
p+ 1
p+ 2
x
)) p∑
k=0
M2k(x)
∣∣D2k
x ϕ(x)
∣∣}, ϕ ∈ θM,ρ,a, p ∈ Z+.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
162 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
Об’єднання просторiв θM,ρ,a за iндексами a ∈
{
1,
1
2
,
1
3
, . . .
}
збiгається з простором θM,ρ.
Нехай ν — фiксоване число з множини {3/2, 5/2, 7/2, . . .}. На функцiях з простору θM,ρ
визначено перетворення Бесселя FBν :
FBν [ϕ](ξ) =
∞∫
0
ϕ(x)jν(xξ)x2ν+1dx, ϕ ∈ θM,ρ,
де jν — нормована функцiя Бесселя. Нехай FBν [θM,ρ] := Φν
β,γ , β, γ — фiксованi параметри
(див. початок п. 1). Елементами простору Φν
β,γ є нескiнченно диференцiйовнi на R функцiї, якi
задовольняють нерiвностi [16]∣∣Dm
ξ FBν [ϕ](ξ)
∣∣ ≤ αm(1 + |ξ|
)−(ω0+m)
, m ∈ Z+, ξ ∈ R, ϕ ∈ θM,ρ,
ω0 = p̃0 +
[
[γ]/β
]
, p̃0 = 1 + p0, p0 = 2ν + 1, [·] — цiла частина числа.
Φν
β,γ перетворюється в злiченно-нормований простiр iз введенням системи норм за форму-
лами
‖ϕ‖p := sup
ξ∈[0,∞)
{
p∑
k=0
Λ(ξ)ω̃0+2k
∣∣D2k
ξ ϕ(ξ)
∣∣}, ϕ ∈ Φν
β,γ , p ∈ Z+,
де Λ(ξ) := 1 + ξ, ξ ∈ [0,∞), ω̃0 = ω0 − ε, 0 < ε < 1 — фiксований параметр. Перетворення
Бесселя неперервно вiдображає θM,ρ на Φν
β,γ [16]; на функцiях з простору Φν
β,γ визначено
обернене перетворення Бесселя F−1
Bν
:
F−1
Bν
[ψ](x) = cν
∞∫
0
ψ(σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, ψ ∈ Φν
β,γ , cν = (22νΓ2
(
ν + 1)
)−1
.
У просторi Φν
β,γ визначено неперервний оператор узагальненого зсуву аргументу T ξx , який
вiдповiдає оператору Бесселя [17]:
T ξxϕ(x) = bν
π∫
0
ϕ
(√
x2 + ξ2 − 2xξ cosω
)
sin2ν ωdω, ϕ ∈ Φν
β,γ ,
де bν = Γ(ν + 1)/
(
Γ(1/2)Γ(ν + 1/2)
)
, Γ(·) — гамма-функцiя. Операцiя узагальненого зсуву
аргументу ϕ → T ξxϕ диференцiйовна (навiть нескiнченно диференцiйовна) у просторi Φν
β,γ в
тому розумiннi, що граничнi спiввiдношення
(
T ξ+∆ξ
x ϕ(x)−T ξxϕ(x)
)
/∆ξ → ∂T ξxϕ/∂ξ, ∆ξ → 0,
справджуються у просторi Φν
β,γ .
Дотримуючись [18], згортку двох функцiй iз простору Φν
β,γ визначимо формулою
(ϕ ∗ ψ)(x) =
∞∫
0
T ξxϕ(x)ψ(ξ)ξ2ν+1dξ, {ϕ,ψ} ⊂ Φν
β,γ .
Символом (Φν
β,γ)′ позначимо простiр усiх лiнiйних неперервних функцiоналiв над вiдпо-
вiдним простором основних функцiй зi слабкою збiжнiстю, а його елементи називатимемо
узагальненими функцiями.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 163
Оскiльки у просторi Φν
β,γ визначено операцiю узагальненого зсуву аргументу, то згортку
узагальненої функцiї f ∈ (Φν
β,γ)′ з основною функцiєю задамо формулою
(f ∗ ϕ)(x) =
〈
fξ, T
ξ
xϕ(x)
〉
≡
〈
fξ, T
x
ξ ϕ(ξ)
〉
, ϕ ∈ Φν
β,γ
(тут iндекс ξ у fξ означає, що функцiонал f дiє на T ξxϕ(x) як на функцiю аргументу ξ).
У просторi узагальнених функцiй (Φν
β,γ)′ можна також ввести операцiю (Φν
β,γ)′ 3 f →
→ T ξxf ∈ (Φν
β,γ)′ так: 〈T ξxf, ϕ〉 := 〈f, T ξxϕ〉 ∀ϕ ∈ Φν
β,γ . Iз властивостi неперервностi операцiї
T ξx в основному просторi Φν
β,γ випливає неперервнiсть вказаної операцiї у просторi (Φν
β,γ)′.
Аналогiчно 〈T xξ f, ϕ〉 := 〈f, T xξ ϕ〉. Оскiльки T xξ ϕ(ξ) = T ξxϕ(x), то звiдси отримуємо T ξxf = T xξ f
∀f ∈ (Φν
β,γ)′, при цьому 〈T ξxf, ϕ〉 = f ∗ ϕ.
2. Основнi результати. Розглянемо функцiю a(t, x, σ), задану на [0, T ] × R × R, парну
за змiнними x, σ, яка задовольняє умови: 1) функцiя a(t, x, σ) є однорiдною порядку γ за
аргументом σ рiвномiрно вiдносно t, x, тобто
a(t, x, λσ) = λγa(t, x, σ) ∀(t, x) ∈ [0, T ]× R ≡ ΠT ;
2) a(t, x, σ) — неперервна функцiя аргументу t на вiдрiзку [0, T ] (при фiксованих x, σ) i
a(t, x, σ) — неперервна, обмежена на R функцiя аргументу x (при фiксованих t, σ); 3) iснують
сталi c0, b0 > 0 такi, що справджуються нерiвностi
b0ρ(σ) ≤ a(t, x, σ) ≤
c0
(
1 + ρ(σ)
)(
1 + |x|
)ω0
, ω0 = 2ν + 2 +
[
[γ]/β
]
, (t, x) ∈ ΠT ;
4) при фiксованих t, x функцiя a(t, x, σ), як функцiя σ, нескiнченно диференцiйовна по σ при
σ 6= 0, при цьому
∀k ∈ N ∃ck > 0: Mk(σ)
∣∣Dk
σa(t, x, σ)
∣∣ ≤ ck ρ(σ)(
1 + |x|
)ω0
, (t, x) ∈ ΠT , σ ∈ R \ {0}.
Iз властивостей функцiї a випливає, що a(t, x, σ), як функцiя σ (при фiксованих (t, x) ∈ ΠT ),
є мультиплiкатором у просторi θM,ρ.
Розглянемо оператор At, заданий на Φν
β,γ , залежний вiд параметра t ∈ [0, T ], який визна-
чається спiввiдношенням
(Atϕ)(x) := FBν,σ→x
[
a(t, x, σ)F−1
Bν,x→σ
[ϕ](σ)
]
(x), ϕ ∈ Φν
β,γ .
Далi будемо використовувати позначення At = A. Iз властивостей функцiї a(t, x, σ) випливає,
щоAϕ ∈ K при кожному t ∈ [0, T ], деK — нормований простiр, який складається з неперервних
парних на R функцiй ψ, що задовольняють нерiвнiсть
∣∣ψ(x)
∣∣ ≤ c
(
1 + |x|
)−ω0 , c = c(ψ) > 0, з
нормою ‖ψ‖ = supx∈R
{
Λ(x)ω0
∣∣ψ(x)
∣∣}, Λ(x) := 1 + |x|, x ∈ R. Оскiльки перетворення Бесселя
(пряме та обернене) є неперервним оператором, то A : Φν
β,γ → K — лiнiйний i неперервний опе-
ратор. Оператор A далi називатимемо псевдобесселевим оператором, побудованим за змiнним
символом a(t, x, σ).
У смузi Π′T =
{
(t, x) : 0 ≤ τ < t ≤ T, x ∈ R
}
розглянемо задачу про вiдшукання розв’язку
еволюцiйного рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
164 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
∂u(t, x)
∂t
+Au(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π′T , (4)
який задовольняє наступнi умови: u(t, x) = u1(t, x) + u2(t, x),
µ lim
t→τ+0
u1(t, x)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
u1(t, x) = ϕ(x), (5)
lim
t→τ+0
u2(t, x) = 0 (6)
у кожнiй точцi x ∈ R для довiльної фiксованої функцiї ϕ ∈ Φν
β,γ , де m ∈ N, {µ, µ1, . . . , µm} ⊂
⊂ (0,+∞), {t1, . . . , tm} ⊂ (τ, T ] — фiксованi числа, причому µ >
∑m
k=1
µk, 0 ≤ τ < t1 <
< t2 < . . . < tm ≤ T. Далi (4) – (6) називатимемо нелокальною за часомm-точковою (багатоточ-
ковою) задачею для рiвняння (4).
Пiд розв’язком m-точкової задачi (4) – (6) розумiтимемо функцiю u(t, ·) ∈ C1((τ, T ],Φν
β,γ),
яка задовольняє рiвняння (4) та умови (5), (6) у кожнiй точцi x ∈ R.
Пiд фундаментальним розв’язком задачi (4) – (6) розумiтимемо функцiю Z(t, x; τ, ξ) =
= V (t, x; τ, ξ) +W (t, x; τ, ξ), (t, x) ∈ Π′T , ξ ∈ R, яка має такi властивостi:
1) LZ(t, x; τ, ξ) = 0, L ≡ L(t, x;A,Dt) := ∂/∂t + A, тобто Z, як функцiя t, x (при фiксо-
ваних τ, ξ), є розв’язком рiвняння (4);
2) µ limt→τ+0
∫ ∞
0
V (t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ−
∑m
k=1
µk limt→tk
∫ ∞
0
V (t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ =
= ϕ(x), limt→+0
∫ ∞
0
W (t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = 0 у кожнiй точцi x ∈ R для довiльної функ-
цiї ϕ ∈ Φν
β,γ .
Для побудови функцiїZ у вказаному виглядi використаємо метод Левi (метод параметрикса).
Для цього символ a(t, x, σ) зафiксуємо у точцi (t, x) = (χ, ξ), χ ∈ [0, T ], ξ ∈ R, вважаючи
a(t, x, σ) = a(χ, ξ, σ) для (t, x) ∈ ΠT , i розглянемоm-точкову задачу для еволюцiйного рiвняння
зi сталим символом a(χ, ξ, σ) :
L(χ, ξ;A,Dt)v(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π′T , (7)
µ lim
t→τ+0
v(t, x)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
v(t, x) = ϕ(x), ϕ ∈ Φν
β,γ , (8)
0 ≤ τ < t1 < t2 < . . . < tm ≤ T.
Розв’язок v ∈ C1
(
(τ, T ],Φν
β,γ
)
задачi (7), (8) шукаємо за допомогою перетворення Бесселя
у виглядi
v(t, x) = FBν
[
ṽ(t, σ)
]
(x), (t, x) ∈ Π′T .
Для функцiї ṽ : Π′T → R отримуємо задачу з параметром σ :
dṽ(t, σ)
dt
+ a(χ, ξ, σ)ṽ(t, σ) = 0, (t, σ) ∈ Π′T , (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 165
µ lim
t→τ+0
ṽ(t, σ)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
ṽ(t, σ) = ϕ̃(σ), (10)
де ϕ̃(σ) = F−1
Bν
[ϕ](σ). Загальний розв’язок рiвняння (9) має вигляд
ṽ(t, σ) = c exp
{
− (t− τ)a(χ, ξ, σ)
}
, (t, σ) ∈ Π′T ,
де c визначається з умови (10). Пiдставивши (10) в (9), знайдемо
c = ϕ̃(σ)
(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
− (tk − τ)a(χ, ξ, σ)
})−1
, σ ∈ R,
ṽ(t, σ) = ϕ̃(σ)Q(t− τ, χ; ξ, σ), Q(t− τ, χ; ξ, σ) = exp
{
− (t− τ)a(χ, ξ, σ)
}
×
×
(
µ−
m∑
k=1
µk exp
{
− (tk − τ)a(χ, ξ, σ)
})−1
≡ Q1(t− τ, χ; ξ, σ) ·Q2(τ, χ; ξ, σ).
Отже, розв’язок задачi (7), (8) має вигляд
v(t, x) =
∞∫
0
ṽ(t, σ)jν(σx)σ2ν+1dσ, (t, x) ∈ Π′T .
Введемо позначення G(t− τ, x;χ, ξ) := cνFBν,σ→x
[
Q(t− τ, χ; ξ, σ)
]
. Тодi
v(t, x) =
∞∫
0
Q(t− τ, χ; ξ, σ)
cν ∞∫
0
ϕ(ω)jν(σω)ω2ν+1dω
jν(σx)σ2ν+1dσ.
Оскiльки jν(σω)jν(σx) = Tωx jν(σx) [17], то, врахувавши властивостi оператора Tωx (див. [17]),
прийдемо до спiввiдношень
v(t, x) =
∞∫
0
∞∫
0
Q(t− τ, χ, ξ, σ)Tωx jν(σx)σ2ν+1dσ
ϕ(ω)ω2ν+1dω =
=
∞∫
0
Tωx G(t− τ, x;χ, ξ)ϕ(ω)ω2ν+1dω = G(t− τ, x;χ, ξ) ∗ ϕ(x).
Зазначимо, що правильнiсть наведених тут формул (тобто коректнiсть проведених пере-
творень та збiжнiсть вiдповiдних iнтегралiв) випливає з властивостей функцiї G, якi наведемо
нижче.
Оскiльки
1
µ
m∑
k=1
µk exp
{
− (tk − τ)a(χ, ξ, σ)
}
≤ 1
µ
m∑
k=1
µk < 1,
то, використавши полiномiальну формулу, знайдемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
166 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
Q2(τ, χ, ξ, σ) =
1
µ
∞∑
r=0
µ−r
(
m∑
k=1
µke
−(tk−τ)a(χ,ξ,σ)
)r
=
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)
( ∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
(
µ1e
−(t1−τ)a(χ,ξ,σ)
)r1
. . .
(
µme
−(tm−τ)a(χ,ξ,σ)
)rm)
=
=
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . . µrmm e−((t1−τ)r1+...+(tm−τ)rm)a(χ,ξ,σ).
Звiдси випливають спiввiдношення
G(t− τ, x;χ, ξ) = cν
∞∫
0
∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!
r1! . . . rm!
µr11 . . . µrmm ×
×e−((t1−τ)r1+...+(tm−τ)rm+t−τ)a(χ,ξ,σ)jν(σx)σ2ν+1dσ =
=
∞∑
r=0
1
µr+1
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
G̃
(
(t1 − τ)r1 + (tm − τ)rm + t− τ, x;χ, ξ
)
,
де
G̃
(
(t1 − τ)r1 + . . .+ (tm − τ)rm + t− τ, x;χ, ξ
)
=
= cν
∞∫
0
e−((t1−τ)r1+...+(tm−τ)rm+t−τ)a(χ,ξ,σ)jν(σx)σ2ν+1dσ.
Тут G̃(t− τ, x;χ, ξ) — фундаментальний розв’язок задачi Кошi для рiвняння (7). Iз результатiв,
одержаних у [19], випливає, що: 1) G̃ є неперервно диференцiйовною функцiєю аргументу
t ∈ (τ, T ], нескiнченно диференцiйовною функцiєю аргументу x, причому G̃, як функцiя аргу-
менту x, є елементом простору Φν
β,γ при кожному t > τ ; 2) G̃, як абстрактна функцiя параметра
t ∈ (τ, T ] iз значеннями у просторi Φν
β,γ , диференцiйовна по t, тобто граничне спiввiдношення
1
∆t
[
G̃(t+ ∆t− τ, x;χ, ξ)− G̃(t− τ, x;χ, ξ)
]
→ ∂
∂t
G̃(t− τ, x;χ, ξ), ∆t→ 0,
виконується в розумiннi збiжностi у просторi Φν
β,γ ; 3) для функцiї G̃ та її похiдних справд-
жуються оцiнки ∣∣Dq
xG̃(t− τ + λ, x;χ, ξ)
∣∣ ≤ αq(t− τ + λ)
[
[γ]/β
]
/γ×
×
(
(t− τ + λ)1/γ + |x|
)−(ω0+q)
, q ∈ Z+, (11)
ω0 = 2ν + 2 +
[
[γ]/β
]
, λ := (t1 − τ)r1 + . . .+ (tm − τ)rm, αq = βq
(
1 + |ξ|
)−ω0 , стала βq > 0 не
залежить вiд t, τ, ξ, λ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 167
Для функцiї G̃ правильною є оцiнка, яку будемо використовувати в подальших дослiджен-
нях: ∣∣G̃(t− τ + λ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c(t− τ)1−αλ̃p
(
(t− τ)s + |x|
)−ω0
(
1 + |ξ|
)−ω0 , (12)
де c — деяка стала, α = s
(
pγ −
[
[γ]/β
])
, s ∈
(
0,
(
pγ −
[
[γ]/β
])−1
)
⊂ (0, 1), s — фiксований
параметр, p = ν + 3/2 +
[
[γ]/β
]
,
λ̃ =
λ, якщо r1 + . . .+ rm = r ≥ 1,
1, якщо r1 + . . .+ rm = 0.
Для доведення (12) в iнтегралi, який зображує функцiю G̃, виконаємо замiну змiнної iн-
тегрування σ = (t − τ)−sz, де s — вказаний параметр. Урахувавши властивiсть однорiдностi
функцiї a щодо аргументу σ, знайдемо
G̃(t− τ + λ, x; τ, ξ) = (t− τ)−s(2ν+2)
∞∫
0
e−(t−τ)1−sγa(τ,ξ,z)×
×e−λ(t−τ)−sγa(τ,ξ,z)jν(yz)z2ν+1dz, y = (t− τ)−sx.
Далi оцiнювання функцiї G̃ проводимо за допомогою методики, розвиненої у працi [20]. В
результатi прийдемо до нерiвностi (12). Зазначимо, що в (12) маємо 0 < 1−α < 1 при вказаному
обмеженнi на параметр s. Далi вважатимемо, що параметр s в (12) задовольняє умову s < 1/ω,
де ω =
(
ν + 5/2 +
[
[γ]/β
])
γ. Нескладно перевiрити, що при вказаному обмеженнi нерiвнiсть
0 < 1− α < 1 також виконується.
Iз нерiвностi (12) та вигляду функцiї G випливає, що∣∣G(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c ∞∑
r=0
µ−(r+1)
∑
r1+...+rm=r
r!µr11 . . . µrmm
r1! . . . rm!
(r + 1)p(t− τ)1−α×
×
(
(t− τ)s + |x|
)−ω0
(
1 + |ξ|
)−ω0 ≤ c̃(t− τ)1−α((t− τ)s + |x|
)−ω0
(
1 + |ξ|
)−ω0 , (13)
де
c̃ =
c
µ
T p
∞∑
r=0
µ̃r(r + 1)p < +∞, µ̃ =
m∑
k=1
µk/µ < 1.
Iз оцiнок (11) та вигляду функцiї G випливає також, що: 1) при кожному t ∈ (τ, T ] функцiя
G, як функцiя аргументу x, є елементом простору Φν
β,γ ; 2) функцiя G, як абстрактна функцiя
параметра t ∈ (τ, T ] iз значеннями у просторi Φν
β,γ , диференцiйовна по t.
Лема 1. У просторi (Φν
β,γ)′ правильним є граничне спiввiдношення
µ lim
t→τ+0
G(t− τ, x; τ, ξ)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
G(t− τ, x; τ, ξ) = δ(x), ξ ∈ R (14)
(тут δ — дельта-функцiя Дiрака).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
168 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
Доведення. Оскiльки G(t − τ, ·; τ, ξ) ∈ Φν
β,γ при кожному t > τ, то Q(t − τ, τ ; ξ, ·) =
= F−1
Bν
[
G(t− τ, ·; τ, ξ)
]
∈ θM,ρ при кожному t > τ. Скориставшись властивiстю неперервностi
перетворення Бесселя (прямого та оберненого) та функцiї G, як абстрактної функцiї парамет-
ра t iз значеннями у просторi Φν
β,γ , спiввiдношення (14) замiнимо еквiвалентним граничним
спiввiдношенням
µ lim
t→τ+0
F−1
Bν
[
G(t− τ, ·; τ, ξ)
]
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
F−1
Bν
[
G(t− τ, ·; τ, ξ)
]
= F−1
Bν
[δ] (15)
у просторi θ′M,ρ, топологiчно спряженому до θM,ρ. Врахувавши зображення функцiї G, спiввiд-
ношення (15) запишемо у виглядi
µ lim
t→τ+0
Q(t− τ, τ ; ξ, ·)−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
Q(t− τ, τ ; ξ, ·) = 1. (16)
Для доведення (16) вiзьмемо довiльну функцiю ψ ∈ θM,ρ i, використавши теорему про
граничний перехiд пiд знаком iнтеграла Лебега, знайдемо
µ lim
t→τ+0
〈
Q(t− τ, τ ; ξ, ·), ψ
〉
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈
Q(t− τ, τ ; ξ, ·), ψ
〉
=
= µ lim
t→τ+0
∞∫
0
Q(t− τ, τ ; ξ, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ −
m∑
k=1
µk lim
t→tk
∞∫
0
Q(t− τ, τ ; ξ, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ =
=
∞∫
0
(
µQ2(τ, τ ; ξ, σ)−
m∑
k=1
µkQ1(tk − τ, τ ; ξ, σ)Q2(τ, τ ; ξ, σ)
)
ψ(σ)σ2ν+1dσ =
=
∞∫
0
(
µ−
m∑
k=1
µkQ1(tk − τ, τ ; ξ, σ)
)
Q2(τ, τ ; ξ, σ)ψ(σ)σ2ν+1dσ =
=
∞∫
0
ψ(σ)σ2ν+1dσ = 〈1, ψ〉.
Звiдси отримуємо, що спiввiдношення (16) виконується у просторi θ′M,ρ, а отже, правильним є
спiввiдношення (14).
Лему доведено.
Оскiльки G(t − τ, ·; τ, ξ) є регулярною узагальненою функцiєю з простору (Φν
β,γ)′, то
(див. п. 1) 〈
T ξxG,ϕ
〉
= G ∗ ϕ, ϕ ∈ Φν
β,γ .
Внаслiдок леми 1 для довiльної функцiї ϕ ∈ Φν
β,γ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 169
µ lim
t→τ+0
〈
T ξxG,ϕ
〉
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈
T ξxG,ϕ
〉
=
= µ lim
t→τ+0
〈
G,T ξxϕ
〉
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
〈
G,T ξxϕ
〉
=
=
〈
δ, T ξxϕ
〉
=
〈
T ξxδ, ϕ
〉
= δ(x) ∗ ϕ(x) ≡
〈
δξ, T
ξ
xϕ(x)
〉
= T 0
xϕ(x) = ϕ(x).
З iншого боку,
〈
T ξxG,ϕ
〉
=
∞∫
0
T ξxG(t− τ, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ, ϕ ∈ Φν
β,γ .
Отже, врахувавши останнi спiввiдношення, прийдемо до наступного твердження.
Лема 2. Для довiльної функцiї ϕ ∈ Φν
β,γ
µ lim
t→τ+0
∞∫
0
T ξxG(t− τ, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ−
−
m∑
k=1
µk lim
t→tk
∞∫
0
T ξxG(t− τ, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = ϕ(x) (17)
у кожнiй точцi x ∈ R.
Зазначимо, що спiввiдношення (17) справджується i для довiльної обмеженої, неперервної,
парної на R функцiї.
Нехай
J(τ, t, x) :=
t∫
τ
dµ
∞∫
0
T ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ,
де ϕ(t, x) — функцiя, задана на [0, T ]×R, неперервна по t, неперервна, парна i обмежена на R
функцiя змiнної x.
Лема 3. Правильними є формули
∂J(τ, t, x)
∂t
=
t∫
τ
dy
∞∫
0
∂
∂t
T ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ + ϕ(t, x), (18)
AJ(τ, t, x) =
t∫
τ
dy
∞∫
0
AT ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ. (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
170 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
Для того щоб уникнути громiздких викладок, наведемо схему доведення спiввiдношень
(18), (19).
Розглянемо сiм’ю функцiй
{
Jh(τ, t, x), 0 < h < t− τ
}
, де
Jh(τ, t, x) =
t−h∫
τ
dy
∞∫
0
T ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ ≡
t−h∫
τ
g(t, y, x)dx,
g(t, y, x) =
∞∫
0
T ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ.
Застосувавши правило Лейбнiца диференцiювання iнтегралiв, залежних вiд параметра, зна-
йдемо
∂Jh(τ, t, x)
∂t
=
t−h∫
τ
∂
∂t
g(t, y, x)dy + g(t, t− h, x) =
=
t−h∫
τ
dy
∞∫
0
∂
∂t
G(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ +
∞∫
0
T ξxG(h, x; t− h, ξ)ϕ(t− h, ξ)ξ2ν+1dξ.
Далi доводимо, що {Jh, 0 < h < t − τ} збiгається при h → 0 до функцiї J(τ, t, x), а{
∂Jh
∂t
, 0 < h < t− τ
}
— при h → 0 рiвномiрно вiдносно t до правої частини (18). При цьому
використовуються нерiвностi∣∣T ξxG(t− y, x; y, ξ)
∣∣ ≤ c(t− y)1−α((t− y)s + |x− ξ|
)−ω0 , (20)∣∣∣∣ ∂∂tT ξxG(t− y, x; y, ξ)
∣∣∣∣ ≤ d(t− y)1−α1
(
(t− y)s + |x− ξ|
)−ω0 , (21)
де {α, s} ⊂ (0, 1) (α, s — параметри з нерiвностi (12)), α1 = α + sγ, внаслiдок обмеження
s < 1/ω справджується нерiвнiсть 0 < 1 − α1 < 1. Вказанi нерiвностi випливають з оцiн-
ки (13) та властивостей оператора узагальненого зсуву аргументу. За вiдповiдною теоремою
з математичного аналiзу одержимо, що функцiя J(τ, t, x) є диференцiйовною по t, при цьому
справджується рiвнiсть (18).
Для обґрунтування (19) введемо позначення ωh(τ, t, σ) := F−1
Bν,x→σ
[
Jh(τ, t, x)
]
, ω̃(τ, t, σ) :=
:= F−1
Bν,x→σ
[
J(τ, t, x)
]
. Доведемо, що ωh та ω̃, як функцiї σ, належать до простору θ0
M,ρ,a,
який є поповненням простору θM,ρ,a за нормою ‖ · ‖0,a. Iз властивостей функцiї a(t, x, σ)
випливає, що ця функцiя, як функцiя σ (при фiксованих t, x), є мультиплiкатором у просторi
θ0
M,ρ,a. Розглянемо оператор A : θ0
M,ρ,a → θ0
M,ρ,a, який визначається спiввiдношенням Aψ =
= a(t, x, σ)ψ(σ) ∀ψ ∈ θ0
M,ρ,a. Цей оператор є лiнiйним i неперервним як мультиплiкатор, що
дiє з простору θ0
M,ρ,a у простiр θ0
M,ρ,a. Iз властивостi неперервностi оператора A випливає
граничне спiввiдношення Aωh → Aω̃ при h→ 0 у просторi θ0
M,ρ,a. З властивостi неперервностi
перетворення Бесселя (прямого та оберненого) маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 171
FBν [Aωh] = AJh−→
h→0
FBν [Aω̃] = AJ.
З iншого боку,
AJh(τ, t, x) =
t−h∫
τ
dy
∞∫
0
AT ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ.
З властивостi єдиностi границi випливає спiввiдношення (19).
Врахувавши (18), (19), знайдемо, що при вказаних обмеженнях на функцiю ϕ правильною
є формула
LJ(τ, t, x) =
t∫
τ
dy
∞∫
0
LT ξxG(t− y, x; y, ξ)ϕ(y, ξ)ξ2ν+1dξ + ϕ(t, x). (22)
Перейдемо до побудови фундаментального розв’язку багатоточкової задачi для рiвняння (4);
цей розв’язок шукаємо у виглядi суми Z(t, x; τ, ξ) = T ξxG(t− τ, x; τ, ξ) +W (t, x; τ, ξ), де
W (t, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dy
∞∫
0
T ξxG(t− y, x; y, η)Φ(y, η; τ, ξ)η2ν+1dη, (23)
G — функцiя, визначена ранiше. Функцiю Φ(t, x; τ, ξ) пiдберемо так, щоб Z, як функцiя t, x,
задовольняла рiвняння (4). Застосувавши до Z оператор L та врахувавши при цьому форму-
лу (21), переконаємося, що це буде тодi й лише тодi, коли
Φ(t, x; τ, ξ) = K(t− τ, x; τ, ξ) +
t∫
τ
dy
∞∫
0
K(t− y, x; y, η)Φ(y, η; τ, ξ)η2ν+1dη, (24)
де K(t− τ, x; τ, ξ) = −LT ξxG(t− τ, x; τ, ξ). Ряд
Φ(t, x; τ, ξ) =
∞∑
m=1
Km(t− τ, x; τ, ξ), K1 = K, (25)
Km(t− τ, x; τ, ξ) =
t∫
τ
dy
∞∫
0
K(t− y, x; y, η)Km−1(y − τ, η; τ, ξ)η2ν+1dη,
є формальним розв’язком iнтегрального рiвняння (24). Ряд (25) дослiдимо на абсолютну та
рiвномiрну збiжнiсть при 0 < δ0 ≤ t − τ ≤ T. Для обґрунтування збiжностi цього ряду
проведемо оцiнювання повторних ядер Km. Для |K1| = |LT ξxG| справджується нерiвнiсть∣∣K1(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c̃0(t− τ)1−α1
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−ω0 ,
яка випливає з вигляду оператора L та (21). Для оцiнки повторних ядер Km, m ≥ 2, введемо
позначення
d0(t, x; τ, ξ) ≡ d0 := (t− τ)s + |x− ξ|, d1(t, x; y, η) ≡ d1 := (t− y)s + |x− η|,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
172 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
d2(y, η; τ, ξ) ≡ d2 := (y − τ)s + |η − ξ|, Π :=
{
(y, η) : τ ≤ y ≤ t, η ∈ R
}
,
J =
∫
Π
(t− y)a(y − τ)c(d1d2)−(2ν+2+b)η2ν+1dydη, 2ν + 1 = 2n+ 2,
де b > 0, a+ 1 > sb, c+ 1 > sb. Тодi, як випливає з результатiв, одержаних в [21], для iнтеграла
J правильною є оцiнка
J ≤ cd−(2ν+2+b)
0 (t− τ)a−sb+c+1B(1 + a− sb, 1 + c− sb), (26)
де B(·, ·) — бета-функцiя.
Оцiнимо ядро
K2(t− τ, x; τ, ξ) =
1
2
t∫
τ
dy
+∞∫
−∞
K(t− y, x; y, η)K1(y − τ, η; τ, ξ)η2ν+1dη,
врахувавши при цьому нерiвнiсть (26):
∣∣K2(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ 1
2
t∫
τ
dy
+∞∫
−∞
∣∣K(t− y, x; y, η)
∣∣ ∣∣K1(y − τ, η; τ, ξ)
∣∣η2ν+1dη ≤
≤ c̃2
0
2
t∫
τ
dy
+∞∫
−∞
(t− y)1−α1(y − τ)1−α1η2ν+1(
(t− y)s + |x− η|
)2ν+2+b(
(y − τ)s + |η − ξ|
)2ν+2+b
dη =
= c′0
t∫
τ
+∞∫
−∞
(t− y)1−α1(y − τ)1−α1
(d1d2)2ν+2+b
η2ν+1dydη, b =
[
[γ]/β
]
, c′0 =
c̃0
2
.
Застосувавши оцiнку (26) при вказаному b, a = c = 1− α1, знайдемо∣∣K2(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c′02
B(l, l)(t− τ)2(1−α1)−sb+1
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−(2ν+2+b)
=
= c′0
2
(t− τ)1−α1(t− τ)lB(l, l)
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−(2ν+2+b)
, l = 2− α1 − sb.
Зазначимо, що при вказаних обмеженнях на параметри α1, s справджуються нерiвностi
a+ 1 > sb, c+ 1 > sb, при виконаннi яких можна застосувати оцiнку (26). Справдi, доведемо,
що a > sb (тодi й a+ 1 > sb, де a = 1− α1). Отже,
a− sb = 1− α1 − sb = 1− α− sγ − sb = 1− s
((
ν + 32 +
[
[γ]/β
])
γ −
[
[γ]/β
])
−
−sγ − sb = 1− s
((
ν + 3/2 +
[
[γ]/β
])
γ −
[
[γ]/β
]
+ γ +
[
[γ]/β
])
=
= 1− s
(
ν + 5/2 +
[
[γ]/β
])
γ ≡ 1− sω > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 173
Далi, за допомогою методу математичної iндукцiї, застосовуючи нерiвнiсть (26), встанов-
люємо, що для повторного ядра Km справджується нерiвнiсть∣∣Km(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ c′0m(t− τ)1−α1(t− τ)l(m−1)×
×B(l, l)B(l, 2l) . . . B
(
l, (m− 1)l
)(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−(2ν+2+b)
. (27)
Врахувавши, що B(z, ω) = Γ(z)Γ(ω)/Γ(z + ω), нерiвнiсть (27) запишемо у виглядi∣∣Km(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ Nm(t− τ)1−α1(t− τ)l(m−1) Γm(l)
Γ(ml)
×
×
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−(2ν+2+b)
, N = c′0T̃
−(1−α1), T̃ = max{1, T}.
Таким чином, для ряду
∑∞
m=1
Km правильною є оцiнка∣∣∣∣∣
∞∑
m=1
Km(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
m=1
∣∣Km(t− τ, x; τ, ξ)
∣∣ ≤
≤ (t− τ)1−α1
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−ω0
∞∑
m=1
b̃m
Γm(l)
Γ(ml)
, b̃ = NT̃ l.
Зазначимо, що збiжнiсть ряду
∑∞
m=1
b̃mΓm(l)/Γ(ml) випливає з формули Стiрлiнга.
Отже, ряд
∑∞
m=1
Km(t− τ, x; τ, ξ) збiгається абсолютно i рiвномiрно при 0 < δ0 ≤ t− τ ≤
≤ T, а його сума — функцiя Φ(t, x; τ, ξ) — при t > τ є неперервною функцiєю аргументiв x, ξ i
для неї справджується нерiвнiсть∣∣Φ(t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ q0(t− τ)1−α1
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−ω0 , q0 > 0. (28)
Ця оцiнка забезпечує збiжнiсть iнтегралiв в (23) та (24). Звiдси випливає, що Φ є розв’язком
рiвняння (24).
Врахувавши нерiвностi (20), (28) та (26), оцiнимо функцiю W. Отже,
∣∣W (t, x; τ, ξ)
∣∣ ≤ 1
2
t∫
τ
dy
+∞∫
−∞
∣∣T ξxG(t− y, x; y, η)
∣∣ ∣∣Φ(y, η; τ, ξ)
∣∣η2ν+1dη ≤
≤ q1
t∫
τ
(t− y)1−α1(y − τ)1−α1η2ν+1dη(
(t− y)s + |x− η|
)ω0
(
(y − τ)s + |η − ξ|
)ω0
≤
≤ q2(t− τ)λ̃
(
(t− τ)s + |x− ξ|
)−ω0 , (29)
де λ̃ = 3 − 2α1 − sb. Враховуючи обмеження на параметр s, безпосередньо переконуємося в
тому, що λ̃ > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
174 В. В. ГОРОДЕЦЬКИЙ, О. В. МАРТИНЮК
Iз оцiнки (29) випливає, що для довiльної обмеженої, неперервної, парної на R функцiї ϕ у
фiксованiй точцi x ∈ R справджуються нерiвностi∣∣∣∣∣∣
∞∫
0
W (t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1
2
+∞∫
−∞
∣∣W (t, x; τ, ξ)
∣∣ ∣∣ϕ(ξ)
∣∣ξ2ν+1dξ ≤
≤ q3(t− τ)λ̃
+∞∫
−∞
dξ(
(t− τ)s + |x− ξ|
)1+[[γ]/β]
= q3(t− τ)λ̃−s[[γ]/β]×
×
+∞∫
−∞
dz(
1 + |z|
)1+[[γ]/β]
= q′3(t− τ)p, p = λ̃− s[[γ]/β] > 0, (30)
де 2ν + 1 — парне натуральне число,
q′3 = q3
+∞∫
−∞
dz(
1 + |z|
)1+[[γ]/β]
, q3 = q3(x) > 0.
З нерiвностi (30) у кожнiй точцi x ∈ R випливає граничне спiввiдношення
lim
t→τ+0
∞∫
0
W (t, x; τ, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = 0.
На пiдставi отриманих результатiв можна стверджувати, що функцiя
Z(t, x; τ, ξ) = V (t, x; τ, ξ) +W (t, x; τ, ξ), V (t, x; τ, ξ) = T ξxG(t− τ, x; τ, ξ),
є фундаментальним розв’язком нелокальної за часом m-точкової задачi для рiвняння (4).
Пiд символом X розумiтимемо нормований простiр, який складається з неперервних, обме-
жених, парних на R функцiй з нормою ‖ϕ‖ = supx∈R
∣∣ϕ(x)
∣∣.
Правильним є наступне основне твердження.
Теорема 1. m-Точкова задача (4) – (6) з функцiєю ϕ ∈ X та параметрами τ = 0 i µ >
> µ1 + . . .+ µm є розв’язною, розв’язок має вигляд
u(t, x) =
∞∫
0
V (t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ +
∞∫
0
W (t, x; 0, ξ)ϕ(ξ)ξ2ν+1dξ = u1(t, x) + u2(t, x),
(t, x) ∈ (0, T ]× R,
при цьому u(t, ·) ∈ C1
(
(0, T ], X
)
.
1. Кочубей А. Н. Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы и марков-
ские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1988. – 52, № 5. – С. 909 – 934.
2. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
НЕЛОКАЛЬНА БАГАТОТОЧКОВА ЗА ЧАСОМ ЗАДАЧА ДЛЯ ЕВОЛЮЦIЙНИХ . . . 175
3. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук. думка,
1992. – 205 с.
4. Городецький В. В., Ленюк О. М. Еволюцiйнi рiвняння з псевдобесселевими операторами // Доп. НАН України. –
2007. – № 8. – С. 11 – 15.
5. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и
его приложении к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 1. –
С. 72 – 81.
6. Белавин И. А., Капица С. П., Курдюмов С. П. Математическая модель глобальных демографических процессов
с учетом пространственного распределения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1998. – 38, № 6. –
С. 885 – 902.
7. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
8. Майков А. Р., Поезд А. Д., Якунин С. А. Экономический метод вычисления нестационарных нелокальных по
времени условий излучения для волновых систем // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1990. – 30,
№ 8. – С. 1267 – 1271.
9. Алексеева С. М., Юрчук Н. И. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для урав-
нения теплопроводности с интегральным краевым условием // Дифференц. уравнения. – 1998. – 34, № 4. –
С. 495 – 502.
10. Дезин А. А. Операторы с первой производной по „времени” и нелокальные граничные условия // Изв. АН
СССР. Сер. мат. – 1967. – 31, № 1. – С. 61 – 86.
11. Мамян А. Х. Общие граничные задачи в слое // Докл. АН СССР. – 1982. – 267, № 2. – С. 292 – 296.
12. Матiйчук М. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с.
13. Городецький В. В., Ленюк О. М. Двоточкова задача для одного класу еволюцiйних рiвнянь // Мат. студ. –
2007. – 28, № 2. – С. 175 – 182.
14. Городецький В. В., Спiжавка Д. I. Багатоточкова задача для еволюцiйних рiвнянь з псевдобесселевими опера-
торами // Доп. НАН України. – 2009. – № 12. – С. 7 – 12.
15. Мартинюк О. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь у злiченно-нормованих просторах нескiн-
ченно диференцiйовних функцiй. I // Математичне та комп’ютерне моделювання. Сер. фiз.-мат. науки: Зб. наук.
праць. – 2011. – Вип. 5. – С. 179 – 192.
16. Мартинюк О. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь у злiченно-нормованих просторах нескiн-
ченно диференцiйовних функцiй. II // Математичне та комп’ютерне моделювання. Сер. фiз.-мат. науки: Зб. наук.
праць. – 2012. – Вип. 6. – С. 162 – 176.
17. Левитан Б. И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук. – 1951. – 6,
вып. 2. – С. 102 – 143.
18. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциаль-
ным оператором Бесселя // Мат. сб. – 1955. – 36, № 2. – С. 299 – 310.
19. Мартинюк О. В., Городецький В. В. Задача Кошi для сингулярних еволюцiйних рiвнянь з необмеженими за
часом коефiцiєнтами // Доп. НАН України. – 2012. – № 2. – С. 19 – 23.
20. Ленюк О. М. Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з псевдобесселевими операторами // Наук. вiсн. Чернiв.
ун-ту: Зб. наук. праць. Математика. – 2007. – Вип. 349. – С. 55 – 65.
21. Дринь Я. М. Фундаментальное решение задачи Коши для одного класса параболических псевдодифферен-
циальных уравнений // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1997. – № 3. – С. 198 – 203.
Одержано 07.07.12,
пiсля доопрацювання — 11.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
|