Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями

Досліджується обмежений закон повторного логарифма для матрично нормованих зважених сум мартингал-різниць в Rd. Розглянуто нормування квадратними коренями з матриць, обернених до коваріаційних матриць цих сум. Даний результат використовується для доведення обмеженого закону повторного логарифма для...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Український математичний журнал
Date:	2006
Main Author:	Коваль, В.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут математики НАН України 2006
Subjects:	Короткі повідомлення
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165146
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями / В.О. Коваль // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 1006–1008. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165146
record_format	dspace
spelling	Коваль, В.О. 2020-02-12T06:26:11Z 2020-02-12T06:26:11Z 2006 Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями / В.О. Коваль // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 1006–1008. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165146 519.21 Досліджується обмежений закон повторного логарифма для матрично нормованих зважених сум мартингал-різниць в Rd. Розглянуто нормування квадратними коренями з матриць, обернених до коваріаційних матриць цих сум. Даний результат використовується для доведення обмеженого закону повторного логарифма для мартингалів з довільними матричними нормуваннями. We investigate a bounded law of the iterated logarithm for matrix-normalized weighted sums of martingale differences in Rd. We consider the normalization of matrices inverse to the covariance matrices of these sums by square roots. This result is used for the proof of the bounded law of the iterated logarithm for martingales with arbitrary matrix normalization. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями Bounded law of the iterated logarithm for multidimensional martingales normalized by matrices Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
spellingShingle	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями Коваль, В.О. Короткі повідомлення
title_short	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
title_full	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
title_fullStr	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
title_full_unstemmed	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
title_sort	обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями
author	Коваль, В.О.
author_facet	Коваль, В.О.
topic	Короткі повідомлення
topic_facet	Короткі повідомлення
publishDate	2006
language	Ukrainian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Bounded law of the iterated logarithm for multidimensional martingales normalized by matrices
description	Досліджується обмежений закон повторного логарифма для матрично нормованих зважених сум мартингал-різниць в Rd. Розглянуто нормування квадратними коренями з матриць, обернених до коваріаційних матриць цих сум. Даний результат використовується для доведення обмеженого закону повторного логарифма для мартингалів з довільними матричними нормуваннями. We investigate a bounded law of the iterated logarithm for matrix-normalized weighted sums of martingale differences in Rd. We consider the normalization of matrices inverse to the covariance matrices of these sums by square roots. This result is used for the proof of the bounded law of the iterated logarithm for martingales with arbitrary matrix normalization.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165146
citation_txt	Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями / В.О. Коваль // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 7. — С. 1006–1008. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kovalʹvo obmeženiizakonpovtornogologarifmadlâbagatovimírnihmartingalívnormovanihmatricâmi AT kovalʹvo boundedlawoftheiteratedlogarithmformultidimensionalmartingalesnormalizedbymatrices
first_indexed	2025-11-25T02:02:28Z
last_indexed	2025-11-25T02:02:28Z
_version_	1850504326836912128
fulltext	K�O�R�O�T�K�I��P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q UDK 519.21 V.�O.�Koval\ (Ûytomyr. texnol. un-t) OBMEÛENYJ ZAKON POVTORNOHO LOHARYFMA DLQ BAHATOVYMIRNYX MARTYNHALIV, NORMOVANYX MATRYCQMY We investigate a bounded law of the iterated logarithm for matrix-normalized weighted sums of martingale differences in R d. We consider the normalization by the square roots of matrices inverse to covariance matrices of these sums. We use this result to prove the bounded law of the iterated logarithm for martingales with arbitrary matrix normalization. DoslidΩu[t\sq obmeΩenyj zakon povtornoho loharyfma dlq matryçno normovanyx zvaΩenyx sum martynhal-riznyc\ v R d . Rozhlqnuto normuvannq kvadratnymy korenqmy z matryc\, ober- nenyx do kovariacijnyx matryc\ cyx sum. Danyj rezul\tat vykorystovu[t\sq dlq dovedennq obmeΩenoho zakonu povtornoho loharyfma dlq martynhaliv z dovil\nymy matryçnymy normu- vannqmy. Zakon povtornoho loharyfma (ZPL) dlq matryçno normovanyx sum nezaleΩnyx vypadkovyx vektoriv vstanovleno v roboti [1]. Dlq zvaΩenyx sum bahatovy- mirnyx martynhal-riznyc\ ZPL u dewo inßij formi, niΩ v [1], dovedeno v [2]. Tut nakladalys\ Ωorstki obmeΩennq na vahovi koefici[nty. V3danij roboti doslidΩu[t\sq obmeΩenyj ZPL dlq zvaΩenyx sum bahatovymirnyx martynhal- riznyc\, normovanyx matrycqmy. Pry c\omu vykorystovu[t\sq pidxid, zapropo- novanyj v [1]. Nexaj Rd — evklidiv prostir vektor-stovpciv i ( Zn , n ≥ 1 ) — martynhal-riz- nycq v Rd vidnosno fil\traci] ( Fn , n ≥ 1 ) . Poklademo Sn = D Zi i i n = ∑ 1 , Bn = D Di i T i n = ∑ 1 , n ≥ 1, de ( Di , i ≥ 1 ) — poslidovnist\ nevypadkovyx matryc\ rozmiru d × d ; T — znak transponuvannq. ZauvaΩymo, wo koly E Z Zn n T( ) = I , n ≥ 1, de I — odynyçna matrycq, to Bn — kovariacijna matrycq vektora Sn . Budemo prypuskaty, wo pry deqkomu n0 ≥ 1 matrycq Bn0 [ nevyrodΩenog. Todi pry vsix n ≥ n0 vyzna- çeno oberneni matryci Bn −1. Poznaçymo çerez Bn −1 2/ kvadratnyj korin\ z Bn −1. Dlq3 evklidovo] normy vektora abo matryci vykorystovu[mo poznaçennq \|\| ⋅ \|\| , a dlq vyznaçnyka matryci A — \| A \| . Poklademo tn = ln ln / + +( )Bn 1 2, n ≥ 1, de ln+ x = ln max { x , e } , x ≥ 0. Teorema 1. Prypustymo, wo E Zn p < ∞ , n ≥ 1, pry deqkomu p > 2 i vyko- nugt\sq nastupni umovy: sup n n nZ ≥ −( ) 1 2 1E F < ∞ m.n.; (1) Bn → ∞ , n → ∞ ; (2) pry deqkomu τ > p – 2 E B D Zn i i p i n − = ∑ 1 2 1 / = O t Bn n τ ln( )( )−1 , n → ∞ . (3) © V.3O.3KOVAL\|, 2006 1006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 OBMEÛENYJ ZAKON POVTORNOHO LOHARYFMA DLQ BAHATOVYMIRNYX … 1007 Todi limsup / n n n nt B S →∞ − −1 1 2 < ∞ m.n. (4) Dovedennq. Z umovy (2) ta teoremy 3.6.3 [3] vyplyva[, wo poslidovnist\ (\| Bn \|, n ≥ 1) monotonno zrosta[ do neskinçennosti. Tomu zhidno z lemog33.3 [4] znajdet\sq stroho zrostagça poslidovnist\ natural\nyx çysel ( nj , j ≥ 1 ) taka,3wo 2 8 1 1B B Bn n nj j j ≤ ≤ + + , j ≥ 1. (5) Budemo prypuskaty (ne obmeΩugçy zahal\nosti), wo n1 ≥ n0 . Zhidno z lemog Borelq – Kantelli dlq dovedennq (4) potribno pokazaty, wo P max / n n n n n n j j j t B S M < ≤ − − = ∞ + >   ∑ 1 1 1 2 1 < ∞ , (6) de M — deqka skinçenna majΩe napevno vypadkova velyçyna. Vraxovugçy pravu nerivnist\ v (5), dista[mo tn j +1 ∼ tn j+1 , j → ∞ . Tomu znajdet\sq j1 ≥ 1 take, wo pry vsix j ≥ j1 tn j +1 > 1 2 1 /( ) + tn j . (7) Pry vsix m ≤ n ma[ misce nerivnist\ [1] (lema 1) B Bm n − −1 2 1 2/ / ≤ d B Bn m\| \| \| \|( )/ /1 2 . Vraxovugçy danu nerivnist\, pravu nerivnist\ v (5) ta (7), otrymu[mo P max / n n n n n n j j t B S M < ≤ − − + >   1 1 1 2 ≤ ≤ P max max/ / / n n n n n n n n n n n j j j j j j j B B B S M t < ≤ − < ≤ − + + + + + >    1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ≤ ≤ P d B S M t n n n n n n j j j j 2 2 1 2 1 1 1 1 2max // < ≤ − + + + > ( )    ≤ ≤ P max / / 1 1 2 1 1 1 4 ≤ ≤ − + + + > ( )   n n n n n j j j B S M d t , j ≥ j1 . (8) Nexaj An — bud\-qkyj rqdok matryci Bn −1 2/ , n ≥ n0 . Dlq dovil\noho fiksova- noho N ≥ n0 ta i = 1, 2, … , N poklademo Ui = AN Di Zi , Yi = U I U t U I U ti i N i i N i≤ ( )( ) − ≤ ( )( )[ ]−1 2 1 2 1/ /E F , de I ( ⋅ ) — indykator vypadkovo] podi]. Rozhlqnemo odnovymirnyj martynhal Y n Ni i n = ∑ ≤ ≤    1 1, vidnosno fil\traci] ( Fn , 1 ≤ n ≤ N ) . Oskil\ky ce martynhal z nul\ovym serednim ta \| Yi \| ≤ 1 / tN , i = = 1, 2, … , N , to, vykorystovugçy vidpovidnu nerivnist\ Kolmohorova (dyv., na- pryklad, [5, s. 209]), dlq bud\-qkoho α > 0 ta λ > 0 takoho, wo λ ≤ tN , ma[mo P Emax 1 1 2 1 12 1 ≤ ≤ = − = ∑ ∑> +    ( ) +   n N i i n N i i i N Y t Yλ λ αF ≤ 2e–αλ. (9) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 1008 V.3O.3KOVAL\| Zhidno z umovog (1) vypadkovi velyçyny E Zi i 2 1F −( ), i ≥ 1, obmeΩeni skin- çennog majΩe napevno vypadkovog velyçynog L . Todi E Yi i i N 2 1 1 F − = ( )∑ ≤ E A D ZN i i i i N ( )[ ]− = ∑ 2 1 1 F ≤ A D ZN i i i i N 2 2 1 1 E F − = ( )∑ ≤ ≤ L B DN i i N − = ∑ 1 2 2 1 / = L B D D BN i i T N i N tr − − = ∑    1 2 1 2 1 / / = L d , de tr ( ⋅ ) — slid matryci. Vraxovugçy danu nerivnist\, a takoΩ pokladagçy v (9) λ = tN , α = 2tN i poznaçagçy M ′ = L d + 2, otrymu[mo P max 1 1≤ ≤ = ∑ > ′   n N i i n NY M t ≤ 2 2 2exp −( )tN . (10) Poklademo Yi = Ui – Yi , i = 1, 2, … , N . Vraxovugçy, wo E Ui iF −( )1 = 0 majΩe napevno, ma[mo Yi = U I U t U I U ti i N i i N i> ( )( ) − > ( )( )[ ]−1 2 1 2 1/ /E F . Oskil\ky poslidovnist\ Y n Ni i n = ∑ ≤ ≤    1 1, utvorg[ martynhal z nul\ovym se- rednim, to, vykorystovugçy nerivnist\ Kolmohorova ta vykonugçy neskladni ocinky, dista[mo P P Emax max 1 1 1 1 2 2 1≤ ≤ = ≤ ≤ = − = ∑ ∑ ∑> ′    ≤ >    ≤ n N i i n N n N i i n N N i i N Y M t Y t t Y ≤ ≤ t U I U t t t UN i i N i N N N p i p i N − = − − = > ( )( )[ ] ≤ ( )∑ ∑2 2 1 2 2 1 1 2 2E E/ = = 2 22 4 1 2 4 1 2 1 p N p N i i p i N p N p N i i p i N t A D Z t B D Z− − = − − − = ∑ ∑≤E E / = : g ( N ) . (11) Z nerivnostej (10) ta (11) vyplyva[ P Pmax max 1 1 1 2 2 ≤ ≤ ≤ ≤ = > ′    = > ′   ∑n N N n N n N i i n NA S M t U M t ≤ ≤ P Pmax max 1 1 1 1≤ ≤ = ≤ ≤ = ∑ ∑> ′    + > ′   n N i i n N n N i i n NY M t Y M t ≤ ≤ 2 2 2exp −( )tN + g ( N ) . (12) Poklademo M = 8d M ′ i poznaçymo çerez A A An n n d( ) ( ) ( ), , ,1 2 … vidpovidni rqdky matryci Bn −1 2/ . Todi na pidstavi (12) otryma[mo P max / / 1 1 2 4 ≤ ≤ − ≥ ( )   n N N n NB S M d t ≤ ≤ P = max ( ) 11 2 ≤ ≤ > ′   ∑ n N N k n N k d A S M t ≤ 2 2 2d tNexp −( ) + d g ( N ) . Na osnovi dano] nerivnosti ta nerivnosti (8) robymo vysnovok, wo ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 7 P max / n n n n n n j j t B S M − < ≤ − − >    1 1 1 2 ≤ 2 2 2d tnj exp −( ) + d g ( nj ) . (13) Vykorystovugçy livu nerivnist\ v (6), pry vsix j ≥ 1 dista[mo B Bn n d j d j ≥ ( ) ⋅\| \| 1 2 2 1 / / / . (14) Zvidsy vyplyva[, wo exp −( ) = ∞ ∑ 2 2 1 tn j j < ∞ . (15) Vykorystovugçy (3), ma[mo g n t B D Zj j p n p n i i p i n j j j j ( ) = = ∞ − − − == ∞ ∑ ∑∑ 1 2 4 1 2 11 2 E / ≤ ≤ C t Bp n p n j j j 2 2 4 1 − − − = ∞ ( )∑ τ ln < ∞ (16) na pidstavi nerivnosti (14) ta umovy p – τ < 2 ( C — skinçenna stala z umovy (3)). Zi spivvidnoßen\ (13), (15) ta (16) vyplyva[ (6). Teoremu 1 dovedeno. Nexaj ( An , n ≥ 1 ) — dovil\na poslidovnist\ matryc\ rozmiru k × d ( An ≠ 0, n ≥ 1 ) . Poznaçymo çerez \|\| ⋅ \|\|2 spektral\nu normu matryci. Teorema 2. Qkwo vykonugt\sq umovy (1) – (3), to limsup / n n n n n n T n A S A B A t→∞ 2 1 2 < ∞ m.n. Dovedennq vyplyva[ z teoremy 1 z uraxuvannqm nerivnosti A S A B B Sn n n n n n≤ −1 2 2 1 2/ / ta totoΩnosti A B A B An n n n n T1 2 2 2 1 2/ / = . ZauvaΩymo, wo koly E Z Zn n T( ) = I , n ≥ 1, to A B An n n T — kovariacijna matry- cq vektora A Sn n. 1. Koval V. A new law of the iterated logarithm in R d with application to matrix-normalized sums of random vectors // J. Theor. Probab. – 2002. – 15, #31. – P. 249 – 257. 2. Lai T. L. Some almost sure convergence properties of weighted sums of martingale difference sequences // Almost Everywhere Convergence, II. – Boston: Acad. Press, 1991. – P. 179 – 190. 3. Lankaster%P. Teoryq matryc: Per. s anhl. – M.: Nauka, 1978. – 2803s. 4. Wittmann R. A general law of iterated logarithm // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1985. – 68, #34. – S. 521 – 543. 5. Duflo M. Random iterative models. – Berlin: Springer, 1997. – 385 p. OderΩano 13.01.2005

Обмежений закон повторного логарифма для багатовимірних мартингалів, нормованих матрицями

Institution

Similar Items