Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева
The normal structure of the locally isometry group LIsom ∂T of a spherically homogeneous tree boundary is investigated. It is proved that every closed normal subgroup of this group contains a commutant of LIsom ∂T. The quotient of LIsom ∂T by its commutant is found.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1652 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 20-24. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860126857067757568 |
|---|---|
| author | Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. |
| author_facet | Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. |
| citation_txt | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 20-24. — Библиогр.: 6 назв. — рус. |
| collection | DSpace DC |
| description | The normal structure of the locally isometry group LIsom ∂T of a spherically homogeneous tree boundary is investigated. It is proved that every closed normal subgroup of this group contains a commutant of LIsom ∂T. The quotient of LIsom ∂T by its commutant is found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:41:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
алгоритмiчний характер, неперервно залежать вiд параметрiв та даних задачi й можуть бу-
ти використанi як в теоретичних дослiдженнях, так i в практицi iнженерних розрахункiв.
1. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – Киев: Наук. думка,
1992. – 280 с.
2. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. –
Москва: Наука, 1984. – 368 с.
3. Сергиенко И.В., Скопецкий В. В., Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование про-
цессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
4. Дейнека В. С., Сергиенко И.В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями со-
пряжения. – Киев: Наук. думка, 1998. – 614 с.
5. Ленюк М.П. Температурнi поля в плоских кусково-однорiдних ортотропних областях. – Київ: Iн-т
математики НАН України, 1997. – 188 с.
6. Конет I.М. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в ортотропних сферичних областях. –
Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. – 209 с.
7. Конет I.М., Ленюк М.П. Стацiонарнi та нестацiонарнi температурнi поля в цилiндрично-кругових
областях. – Чернiвцi: Прут, 2001. – 312 с.
8. Конет I.М. Температурнi поля в двоскладових цилiндричних тiлах // Наук. працi Кам’янець-По-
дiльськ. держ. пед. ун-ту: В 2 т. – Кам’янець-Подiльський, 2002. – Т. 2. – С. 18–24.
9. Конет I.М., Ленюк М.П. Температурнi поля в необмежених тришарових цилiндричних областях. –
Львiв, 2003. – 54 с. – (Препр. / НАН України. Iн-т прикладних проблем механiки i математики
iм. Я.С. Пiдстригача; 03.01).
10. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. – Москва: Мир, 1964. – 517 с.
Надiйшло до редакцiї 03.10.2006Кам’янець-Подiльський державний унiверситет
УДК 512.4
© 2007
Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский
Нормальное строение группы локальных изометрий
границы сферически однородного дерева
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Н.А. Перестюком)
The normal structure of the locally isometry group LIsom∂T of a spherically homogeneous tree
boundary is investigated. It is proved that every closed normal subgroup of this group contains
a commutant of LIsom ∂T . The quotient of LIsom∂T by its commutant is found.
Пусть (T, v0) — локально конечное дерево с корнем v0, V (T ) — множество его вершин.
Расстоянием d(u, v) между вершинами u, v ∈ V (T ) называется длина (число звеньев) крат-
чайшего пути, соединяющего u, v. Сферой радиуса n (иначе, n-уровнем) корневого дерева
(T, v0) называется множество Vn(T ) = {v ∈ V (T ) | d(v0, v) = n}. В частности, V0(T ) = {v0}.
Дерево T называется сферически однородным, если валентность каждой его вершины за-
висит лишь от радиуса сферы, содержащей эту вершину. Сферически однородное дерево T
однозначно (с точностью до изоморфизма) характеризуется своим сферическим индексом —
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
последовательностью Θ = Θ(T ) = (a0, a1, . . .) натуральных чисел, в которой a0 — валент-
ность корня v0, а при n > 1 число an + 1 — валентность произвольной вершины дерева T
из Vn(T ). Характеристикой дерева T назовем супернатуральное число Ω(T ) =
∞
∏
i=0
ai.
Каждое сферически однородное дерево сферического индекса Θ = (a0, a1, . . .) изоморф-
но некоторому стандартному дереву TΘ, которое определяется следующим образом. Мно-
жеством вершин V (TΘ) является множество всевозможных последовательностей вида
(i0, i1, . . . , in−1), ik ∈ Xk = {1, 2, . . . , ak}, n > 0,
вместе с пустой последовательностью ∅, которая соответствует случаю n = 0. Верши-
ны u, v ∈ V (TΘ) соединяются ребром в дереве TΘ в том и только в том случае, когда
одна из них является непосредственным продолжением другой, т. е. одна из них имеет вид
(i0, . . . , in−1, in), а другая — (i0, . . . , in−1), ik ∈ Xk (0 6 k 6 n). Дерево TΘ, Θ = (a0, a1, . . .)
называют деревом слов над алфавитом X0,X1,X2, . . ., |Xk| = ak (k = 0, 1, 2, . . .). Говорят,
что вершина v дерева T лежит под вершиной w, если путь, соединяющий корень дерева
с вершиной v содержит также вершину w. Символом Tv, v ∈ V (T ), будем обозначать пол-
ное поддерево с корневой вершиной v. Оно состоит из всех вершин дерева T , лежащих под
вершиной v и соединяющих их ребер. Концом корневого дерева T называется каждый бес-
конечный путь без повторений, начинающийся в корне дерева. Множество всех концов —
границу дерева T — будем обозначать символом ∂T .
На границе ∂T корневого дерева T естественным образом определяется структура ульт-
раметрического пространства. А именно, фиксируем бесконечную строго убывающую по-
следовательность λ = {λn}
∞
n=1 положительных чисел, сходящуюся к 0. Пусть k(x1, x2) —
длина общего начала концов x1, x2 ∈ ∂T . Положим
ρλ(x1, x2) =
{
λk(x1,x2), если x1 6= x2,
0, если x1 = x2.
(1)
Функция ρλ является ультраметрикой на ∂T , а метрическое пространство ∂T = (∂T , ρλ)
является компактом. Биекция f : V (T ) −→ V (T ) называется автоморфизмом корневого
дерева (T, v0), если vf
0 = v0 и f сохраняет отношение инцидентности вершин. Каждый
автоморфизм корневого дерева T определяет очевидным образом изометрию метрического
пространства V (T ) с естественной метрикой и, наоборот, каждая такая изометрия является
автоморфизмом, т. е. имеет место равенство AutT = Isom T . Понятно также, что каждая
изометрия дерева T индуцирует некоторую изометрию на его границе ∂T . Тем самым,
группа Isom T естественным образом погружается в группу Homeo ∂T всех гомеоморфизмов
границы ∂T , причем образ Isom T при этом погружении совпадает с группой изометрий
Isom ∂T .
В группе Isom T выделяются следующие подгруппы:
1) стабилизатор St(n) n-го уровня, n > 0, который состоит из всевозможных изометрий,
фиксирующих все вершины сферы Vn дерева T ;
2) жесткий стабилизатор rist(v) вершины v ∈ V (T ), являющийся максимальной под-
группой, изометрии которой оставляют неподвижными все вершины, лежащие в дереве T
ниже v.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 21
Группа Isom TΘ дерева слов TΘ, Θ = (a0, a1, . . .) при любом натуральном n раскладыва-
ется в сплетение
Isom TΘ ≃ Syma0
≀Syma1
≀ . . . ≀ Syman−1
≀ Isom TΘ,n, (2)
где TΘ,n — дерево слов над последовательностью алфавитов Xn, Xn+1, . . . , а Sym ai — сим-
метрическая группа над алфавитом Xi (0 6 i 6 n − 1) [5].
Из разложения (2) следует, что на Isom TΘ естественным образом определена структура
проконечной группы, а тем самым выделяется класс ее замкнутых подгрупп.
Отметим, что подгруппа St(n) раскладывается в прямое произведение жестких стабили-
заторов вершин n-го уровня, т. е. имеет место равенство St(n) =
∏
v∈Vn
rist(v). Поэтому если
вершины n-го уровня дерева TΘ занумерованы и Vn(T ) = {v0, v1, . . . , vmn}, то каждый эле-
мент g стабилизатора St(n) представляется в виде кортежа (g1, . . . , gmn), где gi — некоторый
автоморфизм поддерева Tvi
с корнем в вершине vi (1 6 i 6 mn). Поскольку для любых i, j
(1 6 i, j 6 mn) поддеревья Tvi
, Tvj
изоморфны между собой и изоморфны определенному
выше дереву TΘ,n, то автоморфизмы gi (1 6 i 6 mn) в дальнейшем будут отождествляться
с соответствующими автоморфизмами этого дерева.
Произвольная изометрия дерева TΘ однозначно определяется своим портретом — вер-
шинно-помеченным деревом, изоморфным TΘ [1]. При этом при любом n > 0 метками вер-
шин n-го уровня служат подстановки множества Xn+1, которые показывают, как изометрия
переставляет вершины (n + 1)-го уровня дерева TΘ, инцидентные одной и той же вершине
n-го уровня. Пусть g(vk), 1 6 k 6 mn, — метки вершины vk ∈ Vn(TΘ) для автоморфизма g,
Πng =
mn
∏
k=1
g(vk). Следующее утверждение непосредственно следует из результатов [6].
Теорема 1. 1. Коммутант группы Isom TΘ состоит из всевозможных изометрий g
таких, что для любого уровня n подстановка Πng является четной.
2. Замкнутая нормальная подгруппа группы Isom TΘ, содержащаяся в St(n), но не при-
надлежащая St(n + 1), содержит коммутант St(n)′, который раскладывается в прямое
произведение
St(k)′ =
∏
v∈Vk
rist(v)′. (3)
3. Элемент (g1, . . . , gmn) содержится в St(n)
⋂
Isom TΘ
′ тогда и только тогда, когда
произведение g1g2 . . . gmn содержится в Isom TΘ,n
′.
Для каждой вершины v ∈ V (TΘ) граница ∂T v поддерева Tv естественным образом отож-
дествляется с диском в ультраметрическом пространстве ∂TΘ, который состоит из всех пу-
тей ∂TΘ, проходящих через вершину v. Будем обозначать этот диск тем же символом ∂T v.
Пусть S(∂TΘ, n) — подгруппа группы Homeo ∂TΘ, состоящая из тех гомеоморфизмов, ко-
торые лишь переставляют диски ∂T v, v ∈ Vn(TΘ), т. е. не изменяют координаты ik путей
(i0, i1, . . .) ∈ ∂TΘ при k > n. Понятно, что S(∂TΘ, n) изоморфна симметрической группе
Sym(Vn(TΘ)), причем S(∂TΘ, n) 6 S(∂TΘ, k) при n 6 k. Подгруппу S(∂TΘ) < Homeo ∂T
определим как объединение возрастающей цепи подгрупп S(∂TΘ, n), n ∈ N. Выделим в ней
также подгруппу A(∂TΘ), являющуюся объединением возрастающей цепи знакоперемен-
ных групп A(∂TΘ, n) 6 S(∂T , n), n ∈ N.
Напомним, что биекция α метрического пространства (X1, d1) в метрическое прост-
ранство (X2, d2) называется локальной изометрией, если для произвольной точки x ∈ X1
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
существует окрестность Ux этой точки такая, что ограничение α на Ux является изометрией,
т. е. для любых x1, x2 ∈ Ux имеет место равенство d(xα
1 , xα
2 ) = d(x1, x2). Локальную изомет-
рию α назовем однородной, если существует δ > 0 такое, что равенство d(xα
1 , xα
2 ) = d(x1, x2)
выполнено для всех точек x1, x2, для которых d1(x1, x2) < δ. В случае компактного прост-
ранства каждая его локальная изометрия на себя будет однородной. Множество всех ло-
кальных изометрий пространства (X, d) на себя образует группу относительно суперпози-
ции, которую мы будем обозначать символом LIsom(X, d).
Метрическое пространство (X, d) назовем слабо однородным, если группа локальных
изометрий LIsom(X, d) действует на нем транзитивно.
Утверждение 1. Для каждого слабо однородного компактного ультраметрического
пространства (X, ρ) существуют сферически однородное дерево TΘ и сходящаяся к нулю
числовая последовательность λΘ такие, что (X, ρ) локально изометрично пространству
концов ∂TΘ с метрикой, определяемой последовательностью λΘ.
Доказательство см. [3].
Относительно строения группы локальных изометрий сферически однородного корне-
вого дерева отметим следующие факты.
Теорема 2. 1. Для любой допустимой последовательности Θ группа LIsom ∂TΘ рас-
кладывается в произведение своих подгрупп Isom ∂TΘ и S(∂TΘ):
LIsom ∂TΘ = Isom ∂TΘS(∂TΘ). (4)
2. Если группа LIsom(∂T , λ) действует транзитивно на ∂T , то она является совер-
шенной, т. е. имеет тривиальный центр и все ее автоморфизмы внутренние. В частнос-
ти, каждая нормальная подгруппа этой группы является характеристической в ней.
Следующее утверждение описывает коммутант группы LIsom∂TΘ.
Теорема 3. Для произвольной допустимой последовательности Θ коммутант группы
локальных изометрий LIsom∂TΘ корневого дерева TΘ определяется равенством
LIsom ∂TΘ
′ = Isom ∂TΘ
′A(∂TΘ).
Основным утверждением, дающим характеризацию нормального строения группы ло-
кальных изометрий корневого дерева как проконечной группы, является следующая тео-
рема.
Теорема 4. Каждый неединичный замкнутый нормальный делитель группы LIsom∂TΘ
содержит ее коммутант.
Идея доказательства. Сначала проверяется, что каждый неединичный нормальный
делитель группы LIsom∂TΘ содержит подгруппу A(∂TΘ). Далее, согласно п. 2 теоремы 1,
каждая нормальная подгруппа содержит коммутант стабилизатора некоторого уровня, ко-
торый имеет вид (3). Следующий шаг — показать, что на самом деле рассматриваемая
подгруппа содержит коммутант стабилизатора первого уровня. А поскольку она содержит
A(∂TΘ), то достаточно убедиться в том, что подгруппа St(1)
⋂
(Isom ∂TΘ)′ также содержится
в этом нормальном делителе. Последнее проверяется прямыми вычислениями.
Из теоремы сразу же получаем
Следствие 1. Каждая собственная факторгруппа группы LIsom∂TΘ абелева.
С помощью теоремы 4 и утверждения 1 можно доказать
Теорема 5. Каждая неединичная замкнутая нормальная подгруппа группы локаль-
ных изометрий слабо однородного компактного ультраметрического пространства (X, ρ)
содержит коммутант этой группы.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 23
Далее символом
∏
будем обозначать прямое, а символом
∏
— декартово произведение
некоторого семейства групп. Если семейство групп конечное, то эти конструкции совпадают.
Следующая теорема описывает строение факторгруппы LIsom∂TΘ по ее коммутанту.
Теорема 6. 1. Пусть Θ — такая допустимая последовательность натуральных чисел,
что 2∞ | Ω(Θ). Тогда
LIsom∂TΘ/(LIsom∂TΘ)′ ≃
(
∏
i∈N
C2
)
/
(
∏
i∈N
C2
)
.
2. Если 2∞ ∤ Ω(Θ), то
LIsom∂TΘ/(LIsom ∂TΘ)′ ≃
(
∏
i∈N
C2
)
/N,
где N является подгруппой индекса 2 в прямом произведении
∏
i∈N
C2, состоящей из бес-
конечных наборов, имеющих четное число неединичных координат.
Факторгруппы
∏
i∈N
C2/
∏
i∈N
C2 и
∏
i∈N
C2/N наследуют проконечную топологию из группы
LIsom∂TΘ. Поэтому они естественным образом могут рассматриваться как метрические
группы. Из теоремы 6 получаем
Следствие 2. Решетка замкнутых нормальных делителей группы LIsom ∂TΘ при
2∞|Ω(Θ) изоморфна решетке замкнутых подгрупп группы
∏
i∈N
C2/
∏
i∈N
C2, а при 2∞ ∤ Ω(Θ) —
решетке замкнутых подгрупп группы
∏
i∈N
C2/N .
1. Григорчук Р.И., Некрашевич В. В., Сущанский В.И. Автоматы, динамические системы и группы //
Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 2000. – 231. – С. 134–214.
2. Kroshko N.V., Sushchansky V. I. Direct limits of symmetric and altering groups with strictly diagonal
embeddings // Arch. Math. – 1998. – 71. – P. 173–182.
3. Lavrenyuk Ya. On automorphisms of local isometry groups of compact ultrametric spaces // Int. J. Algebra
and Computation. – 2005. – 15 (5–6). – P. 1013–1024.
4. Lavrenyuk Ya.V., Sushchansky V. I. Automorphisms of homogeneous symmetric groups and hierarchomor-
phisms of rooted trees // Algebra and Discrete Mathematics. – 2003. – No 4. – P. 33–49.
5. Сущанский В.И. Универсальные относительно вложений проконечные группы счетного веса // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 175. – С. 113–120.
6. Сущанский В.И. Нормальное строение групп изометрий полуконечных бэровских метрик. Бесконеч-
ные группы и примыкающие алгебраические структуры / Ин-т математики АН Украины. – Киев,
1993. – С. 269–289.
Поступило в редакцию 13.09.2006Киевский национальный университет
им. Тараса Шевченко
Силезский технический университет, Польша
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1652 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:41:55Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. 2008-09-01T14:27:24Z 2008-09-01T14:27:24Z 2007 Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева / Я.В. Лавренюк, В.И. Сущанский // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 20-24. — Библиогр.: 6 назв. — рус. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1652 512.4 The normal structure of the locally isometry group LIsom ∂T of a spherically homogeneous tree boundary is investigated. It is proved that every closed normal subgroup of this group contains a commutant of LIsom ∂T. The quotient of LIsom ∂T by its commutant is found. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева Article published earlier |
| spellingShingle | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева Лавренюк, Я.В. Сущанский, В.И. Математика |
| title | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_full | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_fullStr | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_full_unstemmed | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_short | Нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| title_sort | нормальное строение группы локальных изометрий границы сферически однородного дерева |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1652 |
| work_keys_str_mv | AT lavrenûkâv normalʹnoestroeniegruppylokalʹnyhizometriigranicysferičeskiodnorodnogodereva AT suŝanskiivi normalʹnoestroeniegruppylokalʹnyhizometriigranicysferičeskiodnorodnogodereva |