Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій

Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій

Рассмотрена свертка вероятностных мер на пространствах локально конечных конфигураций (подмножеств фазового пространства) и их связь со свертками соответствующих корреляционных мер и корреляционных функционалов, а также свертка гиббсовских мер. Исследована связь инвариантных мер относительно некотор...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Український математичний журнал
Дата:2012
Автор: Фінкельштейн, Д.Л.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Український математичний журнал 2012
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165266
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій / Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 12. — С. 1699-1719. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165266
record_format dspace
spelling Фінкельштейн, Д.Л.
2020-02-12T19:13:05Z
2020-02-12T19:13:05Z
2012
Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій / Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 12. — С. 1699-1719. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165266
517.987.1
517.983.3
Рассмотрена свертка вероятностных мер на пространствах локально конечных конфигураций (подмножеств фазового пространства) и их связь со свертками соответствующих корреляционных мер и корреляционных функционалов, а также свертка гиббсовских мер. Исследована связь инвариантных мер относительно некоторого оператора и свойства соответствующего образа этого оператора на корреляционных функциях.
We consider the convolution of probability measures on spaces of locally finite configurations (subsets of a phase space) and their connection with the convolution of the corresponding correlation measures and functionals. In particular, the convolution of Gibbs measures is studied. We also describe a relationship between invariant measures with respect to some operator and properties of the corresponding image of this operator on correlation functions.
Частково пiдтримано стипендiєю Президента України для молодих учених та грантом Президента України для пiдтримки наукових дослiджень молодих учених.
uk
Український математичний журнал
Український математичний журнал
Статті
Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
On convolutions on configuration spaces. II. spaces of locally finite configurations
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
spellingShingle Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
Фінкельштейн, Д.Л.
Статті
title_short Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
title_full Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
title_fullStr Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
title_full_unstemmed Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій
title_sort про згортки на просторах конфігурацій. іі. простори локально скінченних конфігурацій
author Фінкельштейн, Д.Л.
author_facet Фінкельштейн, Д.Л.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2012
language Ukrainian
container_title Український математичний журнал
publisher Український математичний журнал
format Article
title_alt On convolutions on configuration spaces. II. spaces of locally finite configurations
description Рассмотрена свертка вероятностных мер на пространствах локально конечных конфигураций (подмножеств фазового пространства) и их связь со свертками соответствующих корреляционных мер и корреляционных функционалов, а также свертка гиббсовских мер. Исследована связь инвариантных мер относительно некоторого оператора и свойства соответствующего образа этого оператора на корреляционных функциях. We consider the convolution of probability measures on spaces of locally finite configurations (subsets of a phase space) and their connection with the convolution of the corresponding correlation measures and functionals. In particular, the convolution of Gibbs measures is studied. We also describe a relationship between invariant measures with respect to some operator and properties of the corresponding image of this operator on correlation functions.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165266
citation_txt Про згортки на просторах конфігурацій. ІІ. Простори локально скінченних конфігурацій / Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 12. — С. 1699-1719. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT fínkelʹšteindl prozgortkinaprostorahkonfíguracíiííprostorilokalʹnoskínčennihkonfíguracíi
AT fínkelʹšteindl onconvolutionsonconfigurationspacesiispacesoflocallyfiniteconfigurations
first_indexed 2025-11-26T15:32:07Z
last_indexed 2025-11-26T15:32:07Z
_version_ 1850626699746607104
fulltext УДК 517.987.1; 517.983.3 Д. Л. Фiнкельштейн (Iн-т математики НАН України, Київ) ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ* We consider the convolution of probability measures on spaces of locally finite configurations (subsets of a phase space) as well as their connection with the convolution of the corresponding correlation measures and functionals. In particular, the convolution of Gibbs measures is studied. We also describe a relationship between invariant measures with respect to some operator and properties of the corresponding image of this operator on correlation functions. Рассмотрена свертка вероятностных мер на пространствах локально конечных конфигураций (подмножеств фазово- го пространства) и их связь со свертками соответствующих корреляционных мер и корреляционных функционалов, а также свертка гиббсовских мер. Исследована связь инвариантных мер относительно некоторого оператора и свойства соответствующего образа этого оператора на корреляционных функциях. 1. Вступ. У данiй роботi розглядаються згортки на просторах конфiгурацiй над континуаль- ними просторами. Першу частину [2] цiєї роботи було присвячено згорткам над просторами скiнченних конфiгурацiй. Бiльш детально, нехай X — зв’язний орiєнтовний некомпактний рi- манiв C∞-многовид, O(X) — клас усiх вiдкритих множин з X, B(X) — вiдповiдна борелiвська σ-алгебра. Класи всiх вiдкритих та борелiвських множин з X з компактними замиканнями позначимо Oc(X) та Bc(X) вiдповiдно. Будемо вважати, що на X задано неатомарну мiру Радона m, тобто m(Λ) < ∞, Λ ∈ Bc(X), i m({x}) = 0, x ∈ X. Припустимо також, що iснує послiдовнiсть {Λn}n∈N ⊂ Bc(X) така, що Λn ⊂ Λn+1, n ∈ N, i ⋃ n∈N Λn = X. Простором скiнченних конфiгурацiй над X називається множина Γ0 := ⊔ n∈N0 Γ(n), (1.1) де Γ(n) ' X̃n/Sn, X̃n = { (x1, . . . , xn) ∈ Xn ∣∣ xk 6= xl, якщо k 6= l } , Sn — група перестановок над множиною {1, . . . , n}, символ t означає диз’юнктне об’єднання. Детальнiше цi та подаль- шi означення та позначення див. у [2]. Там же наведено короткий iсторичний огляд дослiджень на просторах конфiгурацiй. На просторi Γ0 природним чином вводиться топологiчна та вимiр- на структури, iндукованi вiдповiдними структурами простору X, зокрема можна розглянути борелiвську σ-алгебру B(Γ0). Базовою мiрою на (Γ0,B(Γ0)) є так звана мiра Лебега – Пуассона λz = ∞∑ n=0 zn n! m(n), (1.2) де z > 0 i мiра m(n) на Γ(n) породжується мiрою m⊗n на Xn. Мiра λz належить простору Mlf(Γ0) локально скiнченних мiр на Γ0, тобто λz(B) < ∞ для довiльної вимiрної обмеженої множини B (позначення B ∈ Bb(Γ0)), тобто такої множини, для якої знайдуться Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N такi, що B ⊂ ⊔N n=0 Γ (n) Λ . Покладемо λ := λ1. Для вимiрних функцiй G1, G2 на Γ0 (позначення G1, G2 ∈ L0(Γ0)) в [2] було розглянуто властивостi згорток *Частково пiдтримано стипендiєю Президента України для молодих учених та грантом Президента України для пiдтримки наукових дослiджень молодих учених. c© Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН, 2012 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1699 1700 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН (G1 ∗G2)(η) := ∑ ξ1tξ2=η G1(ξ1)G2(ξ2), (1.3) (G1 ? G2)(η) := ∑ ξ1∪ξ2=η G1(ξ1)G2(ξ2). (1.4) Також було розглянуто згортку мiр на просторi (Γ0,B(Γ0)) , а саме, якщо ρ1, ρ2 — мiри на про- сторi (Γ0,B(Γ0)) , то згорткою цих мiр називається мiра ρ := ρ1 ∗ρ2 на (Γ0,B(Γ0)) така, що для довiльної вимiрної G : Γ0 → R∫ Γ0 G(η)dρ(η) = ∫ Γ0 ∫ Γ0 G(η1 ∪ η2) dρ1(η1) dρ2(η2), (1.5) якщо тiльки права частина є скiнченною. Також у [2] було показано, що якщо iснують похiднi Радона – Нiкодима ki = dρi dλ , i = 1, 2, то для ρ = ρ1 ∗ ρ2 iснує k = dρ dλ = k1 ∗ k2 в сенсi фор- мули (1.3). Наведемо ще один важливий факт: для довiльних H,G1, G2 ∈ L0(Γ0) виконується тотожнiсть ∫ Γ0 H(η)(G1 ∗G2)(η)dλ(η) = ∫ Γ0 ∫ Γ0 H(η ∪ ξ)G1(η)G2(ξ)dλ(ξ)dλ(η), (1.6) якщо принаймнi один з iнтегралiв має сенс (див., наприклад, [14]). Простiр Γ локально скiнченних конфiгурацiй та основнi структури на ньому визначено у другому пунктi даної роботи. У третьому пунктi розглянуто елементи гармонiчного аналiзу на просторах конфiгурацiй, який є необхiдним у подальшому. Зокрема, вiн пов’язаний iз вла- стивостями згортки (1.4). У четвертому пунктi розглянуто простори конфiгурацiй двох рiзних типiв, що дозволило у п’ятому пунктi розглянути згортки ймовiрнiсних мiр на просторах ло- кально скiнченних конфiгурацiй та їхнiй зв’язок iз згаданими вище згортками на просторах скiнченних конфiгурацiй. Також у п’ятому пунктi розглянуто питання про згортку гiббсiвських мiр. Нарештi у шостому пунктi побудовано низку прикладiв, що пов’язанi з операторами ди- ференцiювання вiдносно згортки (1.3), розглянутими в [2]. 2. Простори локально скiнченних конфiгурацiй. Означення 2.1. Простiр конфiгурацiй Γ над X визначено як множину всiх локально скiнченних пiдмножин з X, тобто Γ := { γ ⊂ X ∣∣ |γ ∩ Λ| <∞ для всiх Λ ∈ Bc(X) } . (2.1) З означення 2.1 безпосередньо випливає, що локально скiнченна множина — це не бiльш нiж злiченна пiдмножина з X, що не має скiнченних точок скупчення. Очевидно, що Γ0 є пiд- множиною множини Γ, проте, як простiр, Γ0 вiдiграє самостiйну роль у подальшому аналiзi i розглядається незалежно. Визначимо простiр ΓΛ як такий, що складається з усiх конфiгурацiй γ ∈ Γ, якi повнiстю лежать в Λ ∈ Bc(X). З означення 2.1 випливає, що всi такi конфiгурацiї є скiнченними. Отже, як множина, ΓΛ збiгається з Γ0,Λ (означення див. у [2]). Клас усiх дiйснозначних неперервних функцiй наX з компактним носiєм позначимо C0(X). Для довiльної f ∈ C0(X) визначимо лiнiйну функцiю на Γ рiвнiстю 〈f, γ〉 := ∑ x∈γ f(x). Зазначимо, що сума насправдi береться лише по скiнченнiй множинi точок з γ, якi лежать ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1701 всерединi обмеженого в X носiя функцiї f. Грубою топологiєю O(Γ) на просторi конфiгурацiй Γ називається найслабша топологiя, вiдносно якої всi лiнiйнi функцiї Γ 3 γ 7→ 〈f, γ〉 ∈ R, f ∈ ∈ C0(X), є неперервними. Зазначимо також, що кожну конфiгурацiю γ ∈ Γ можна ототожнити з мiрою γ(·) : B(X)→ R+ на X, яка є лiнiйною комбiнацiєю мiр Дiрака, тобто γ ↔ ∑ x∈γ εx. За означенням 2.1 ця мiра є мiрою Радона на B(X), тобто γ(A) = ∫ A dγ(x) = ∑ x∈γ ∫ A dεx(y) = |γ ∩A| <∞, A ∈ Bc(X). Це дозволяє iзоморфно вкласти простiр конфiгурацiй Γ у простiр мiр Радона M(X) на X. Груба топологiя O(Γ) при цьому буде iндукованою грубою топологiєю на просторi мiрM(X), визначеною, наприклад, у [10] (роздiл 7.3). Покладемо γΛ := γ ∩ Λ для довiльних Λ ∈ Bc(X), γ ∈ Γ. База топологiї O(Γ) задається системою множин { γ ∈ Γ ∣∣ |γΛ| = n, γ∂Λ = ∅ } , де Λ ∈ Bc(X), n ∈ N0 та ∂Λ є межею Λ (див., наприклад, [17]). Ця топологiя є сепарабельною та метризованою [19], причому вiдповiдний метричний простiр буде повним. Зазначимо, що топологiя O(ΓΛ), iндукована топологiєю O(Γ), вiдрiзнятиметься вiд топологiї O(Γ0,Λ). При цьому вiдповiднi борелiвськi σ-алгебри B(ΓΛ) та B(Γ0,Λ) збiгатимуться (детальнiше див., наприклад, [11]). Борелiвську σ-алгебру, вiдповiдну доO(Γ), позначимо B(Γ). Для довiльного Λ ∈ Bc(X) вве- демо вiдображення NΛ : Γ→ N0 таким чином: NΛ(γ) = |γΛ|. Далi, для довiльного Λ ∈ Bc(X) розглянемо вiдображення pΛ : Γ → ΓΛ, що задане формулою pΛ(γ) := γ ∩ Λ. При цьому B(Γ) є мiнiмальною σ-алгеброю, вiдносно якої всi вiдображення NΛ, Λ ∈ Bc(X) є вимiрними (див., наприклад, [3]), тобто B(Γ) = σ ( NΛ ∣∣ Λ ∈ Bc(X) ) . Розглянемо також сiм’ю σ-алгебр BΛ(Γ) := σ(NΛ′ | Λ′ ∈ Bc(X),Λ′ ⊂ Λ) при Λ ∈ Bc(X). Зазначимо, що σ-алгебри BΛ(Γ) та B(ΓΛ) є σ-iзоморфними [11], тобто мiж ними iснує бiєкцiя, що зберiгає операцiї над множи- нами, включаючи злiченнi об’єднання. Нехай µ — ймовiрнiсна мiра на (Γ,B(Γ)) , клас всiх таких мiр позначимо M1(Γ). Нехай Λ ∈ Bc(X). Проекцiєю µΛ мiри µ на вимiрний простiр (ΓΛ,B(ΓΛ)) називається образ мiри µ пiд дiєю вiдображення pΛ, тобто µΛ(A) := µ ( p−1 Λ (A) ) , A ∈ B(ΓΛ). Будемо казати, що ймовiрнiсна мiра µ на (Γ,B(Γ)) має скiнченнi локальнi моменти всiх порядкiв, якщо ∫ Γ |γΛ|n dµ(γ) < +∞ для довiльних Λ ∈ Bc(X) та n ∈ N0. Клас всiх таких мiр позначимоM1 fm(Γ). Прикладом мiри з локальними скiнченними моментами є мiра Пуассона. Її можна визначити таким чином. Нехай Λ ∈ Bc(X), z > 0, λz — мiра Лебега – Пуассона на ΓΛ = Γ0,Λ. З означення (1.2) мiри λz випливає, що λz(ΓΛ) = ezm(Λ). Розглянемо ймовiрнiсну мiру на (ΓΛ,B(ΓΛ)) , задану формулою πΛ z := e−zm(Λ)λz. Для довiльних Λ1,Λ2 ∈ Bc(X), Λ1 ⊂ Λ2, розглянемо вiдображення pΛ2,Λ1 : ΓΛ2 → ΓΛ1 , що задане рiвнiстю pΛ2,Λ1(η) = ηΛ1 , η ∈ Λ2. Легко бачити, що πΛ2 z ( p−1 Λ2,Λ1 (A) ) = πΛ1 z (A), A ∈ B(ΓΛ1), тобто сiм’я мiр { πΛ z ∣∣ Λ ∈ Bc(X) } є узгодженою. Тодi за версiєю теореми Колмогорова (див., наприклад, [22], теорема V.3.2, або [15], теорема 5.12) iснує єдина мiра πz на (Γ,B(Γ)) така, що для довiльного Λ ∈ Bc(X) мiра πΛ z є проекцiєю мiри πz на (ΓΛ,B(ΓΛ)) . Мiра πz називається мiрою Пуассона з iнтенсивнiстю (параметром) z на просторi конфiгурацiй Γ. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1702 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН Важливою властивiстю мiри Пуассона є так звана тотожнiсть Мекке, яку для пуассонiвських процесiв, по сутi, встановив ще Н. Р. Кемпбелл [4,5]. Вона стверджує, що для довiльної B(Γ)× B(X)-вимiрної функцiї h : Γ×X → R∫ Γ ∑ x∈γ h(γ, x) dm(x) dπz(γ) = z ∫ Γ ∫ X h(γ ∪ x, x) dm(x) dπz(γ), (2.2) якщо тiльки хоча б один з iнтегралiв має сенс. У [20] Дж. Мекке показав, що тотожнiсть (2.2) є необхiдною i достатньою умовою того, що πz є пуассонiвською мiрою з iнтенсивнiстю z > 0. Мiру µ ∈M1 fm(Γ) будемо називати локально абсолютно неперервною вiдносно мiри Пуас- сона πz, z > 0, якщо для довiльного Λ ∈ Bc(X) проекцiя µΛ мiри µ на (ΓΛ,B(ΓΛ)) є абсолютно неперервною вiдносно мiри πΛ z . Вочевидь, якщо мiра µ ∈ M1 fm(Γ) є локально абсолютно не- перервною вiдносно мiри Пуассона πz0 для деякого z0 > 0, то вона є локально абсолютно неперервною вiдносно мiри Пуассона πz для довiльного z > 0. Клас таких мiр позначимо M1 fm,π(Γ). Мiри, локально абсолютно неперервнi вiдносно мiри Пуассона, мають властивостi аналогiч- нi до властивостей мiри Лебега – Пуассона, розглянутих у [2], а саме: нехай мiра µ належить M1 fm,π(Γ), тодi для довiльної множини A ∈ B(X) такої, що m(A) = 0, виконується рiвнiсть (див., наприклад, [14]) µ ({γ ∈ Γ | γ ∩A 6= ∅}) = 0. Як наслiдок, для довiльних γ′ ∈ Γ, x ∈ X µ ({γ ∈ Γ | x ∈ γ}) = µ ( {γ ∈ Γ | γ′ ∩ γ 6= ∅} ) = 0. Далi, множина пар { (γ, γ′) ∈ Γ × Γ | γ ∩ γ′ 6= ∅ } має мiру µ ⊗ µ, що дорiвнює 0, а множина пар { (γ, x) ∈ Γ × X | x /∈ γ } має мiру µ ⊗ m, що дорiвнює 0. Нарештi, можна показати, що Γ0 ∈ B(Γ) i µ(Γ0) = 0. Зауваження 2.1. З означення мiри Лебега – Пуассона випливає, що при рiзних iнтенсив- ностях z1 6= z2 мiри λz1 та λz2 на (Γ0,B(Γ0)) є абсолютно неперервними одна вiдносно iншої (тобто еквiвалентними). Проте двi мiри на (Γ,B(Γ)), локально абсолютно неперервнi вiдносно однiєї i тiєї ж мiри Пуассона, взагалi кажучи, не є абсолютно неперервними. Навiть двi мiри Пуассона πz1 та πz2 (якi є локально абсолютно неперервними одна вiдносно iншої) при z1 6= z2 є ортогональними на всьому просторi Γ (див. [1] та узагальнення в [23]). Функцiя F : Γ → R називається цилiндричною, якщо iснує множина Λ ∈ Bc(X), для якої F є BΛ(Γ)-вимiрною функцiєю. Ця властивiсть характеризується рiвнiстю F (γ) = F � ΓΛ (γΛ). Клас цилiндричних функцiй на Γ будемо позначати Fcyl(Γ). 3. Елементи гармонiчного аналiзу. Нагадаємо (детальнiше див., наприклад, [2]), що G ∈ ∈ L0(Γ0) має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке, що G �Γ0\Γ0,Λ = 0. Множину всiх вимiрних функцiй на Γ0, що мають локальний носiй, позначимо L0 ls(Γ0). Аналогiчно, будемо казати, що G ∈ L0(Γ0) має обмежений носiй, якщо iснує B ∈ Bb(Γ0) таке, що G �Γ0\B= 0. Множину всiх обмежених вимiрних функцiй на Γ0, що мають обмежений носiй, позначимо Bbs(Γ0). Розглянемо перетворення K : L0 ls(Γ0)→ Fcyl(Γ), що задане формулою [11,17, 18] ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1703 (KG)(γ) := ∑ ηbγ G(η), γ ∈ Γ, (3.1) де G ∈ L0 ls(Γ0). Тут i у подальшому, якщо γ ∈ Γ є нескiнченною конфiгурацiєю, запис η b γ означатиме, що η ⊂ γ та η ∈ Γ0, тобто η є скiнченною пiдмножиною множини γ. Зазначимо, що пiдсумовування в (3.1) ведеться по скiнченному набору з усiх пiдмножин з γΛ, де Λ — локальний носiй функцiї G ∈ L0 ls(Γ0). Вiдображення K : L0 ls(Γ0) → Fcyl(Γ) є лiнiйним, зберiгає додатнi функцiї та має обернене (див., наприклад, [11], твердження 3.5) (K−1F )(η) := ∑ ξ⊂η (−1)|η\ξ|F (ξ), η ∈ Γ0. (3.2) Там же показано, що для F ∈ Fcyl(Γ) виконується включення K−1F ∈ L0 ls(Γ0). Зазначимо, що права частина формули (3.2) задає коректно визначену вимiрну функцiю на Γ0 для довiльної вимiрної функцiї F, що визначена на Γ, або навiть на якiйсь пiдмножинi з Γ, що мiстить Γ0. Твердження 3.1 ([11], твердження 3.5). Нехай G належить Bbs(Γ0). Тодi KG належить Fcyl(Γ), причому iснують такi C > 0, Λ ∈ Bc(X) таN ∈ N0,що функцiя F = KG задовольняє нерiвностi |F (γ)| ≤ C (1 + |γΛ|)N , γ ∈ Γ. (3.3) Клас цилiндричних функцiй F : Γ → R, для яких виконується нерiвнiсть (3.3), будемо позначати Fpb(Γ). Цi функцiї називатимемо (локально) полiномiально обмеженими на Γ. Як наслiдок, Fpb(Γ) ⊂ L1(Γ, µ) для довiльної µ ∈ M1 fm(Γ). Це показує коректнiсть наступного означення (детальнiше див. [11], зауваження 4.7). Означення 3.1. Нехай µ належитьM1 fm(Γ). Кореляцiйною мiрою, що вiдповiдає мiрi µ, називається мiра ρµ ∈Mlf(Γ0), визначена рiвнiстю ρµ(A) := ∫ Γ (K11A)(γ) dµ(γ), A ∈ Bb(Γ0), (3.4) де 11A : Γ0 → R — функцiя-iндикатор множини A ∈ B(Γ0). Зауважимо, що ρµ({∅}) = 1. Твердження 3.2 ([11], наслiдок 4.6). Нехай µ належитьM1 fm(Γ). Тодi для всiхG ∈ Bbs(Γ0) виконується включення G ∈ L1(Γ0, ρµ), причому∫ Γ0 G(η) dρµ(η) = ∫ Γ (KG)(γ) dµ(γ). (3.5) Зауваження 3.1. Для довiльної невiд’ємної B(Γ0)-вимiрної функцiї G : Γ0 → R+ := := [0; +∞) права частина рiвностi (3.1) визначає B(Γ)-вимiрну функцiю KG : Γ → [0; +∞]. У цьому випадку рiвнiсть (3.5) також виконується (див. [11], наслiдок 4.6). Зауваження 3.2. У статтi [11] (теорема 4.11) показано, що для µ ∈ M1 fm(Γ) та G ∈ ∈ L1(Γ0, ρµ) права частина (3.1) визначає µ-м. с. абсолютно збiжний ряд, причому KG ∈ ∈ L1(Γ, µ) i виконується рiвнiсть (3.5). Твердження 3.3 ([11], твердження 4.14). Нехай µ належить M1 fm,π(Γ). Тодi кореляцiйна мiра ρµ є абсолютно неперервною вiдносно мiри Лебега – Пуассона λ на (Γ0,B(Γ0)) . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1704 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН Нехай µ належитьM1 fm(Γ). Якщо кореляцiйна мiра ρµ є абсолютно неперервною вiдносно мiри Лебега – Пуассона λ на (Γ0,B(Γ0)) , то вiдповiдна похiдна Радона – Нiкодима kµ(η) := := dρµ dλ (η), η ∈ Γ0, називається кореляцiйним функцiоналом мiри µ. З твердження 3.3 випливає, що кореляцiйний функцiонал мiри µ ∈ M1 fm,π(Γ) завжди iснує. Зрозумiло, що kµ(∅) = 1. Функцiї k(n) µ : Xn → R+, якi визначено рiвностями k(n) µ (x1, . . . , xn) := { kµ({x1, . . . , xn}), якщо (x1, . . . , xn) ∈ X̃n, 0 у протилежному випадку, називаються кореляцiйними функцiями мiри µ. Зауважимо, що якщо kµ — кореляцiйний функ- цiонал мiри µ ∈M1 fm(Γ), то рiвнiсть (3.5) набирає вигляду∫ Γ0 G(η)kµ(η) dλ(η) = ∫ Γ (KG)(γ) dµ(γ). (3.6) Кореляцiйнi функцiї iнколи визначаються через рiвнiсть (3.6), а саме: послiдовнiсть вимiрних симетричних невiд’ємних функцiй k (n) µ : Xn → R+, n ∈ N, k(0) µ := 1, називається системою кореляцiйних функцiй, що вiдповiдають мiрi µ ∈ M1 fm(Γ), якщо для довiльного n ∈ N0 та для довiльної вимiрної симетричної невiд’ємної функцiї f (n) : Xn → R+ справджується рiвнiсть∫ Γ ∑ {x1,...,xn}⊂γ f (n)(x1, . . . , xn) dµ(γ) = = 1 n! ∫ Xn f (n)(x1, . . . , xn)k(n) µ (x1, . . . , xn) dm(x1) . . . dm(xn). Отже, для довiльної мiри µ ∈M1 fm,π(Γ) iснує вiдповiдна система кореляцiйних функцiй. Нехай C > 0 та δ ≥ 0. Розглянемо банаховий простiр KC, δ = { k : Γ0 → R ∣∣ |k(η)| ≤ const · C |η|(|η|!)δ для λ-м.в. η ∈ Γ0 } (3.7) з нормою ‖k‖C, δ := ess supη∈Γ0 |k(η)| C |η|(|η|!)δ . Очевидно, при C ′ ≥ C, δ′ ≥ δ має мiсце включення KC, δ ⊂ KC′, δ′ . При δ = 0 будемо нехтувати цим iндексом, тобто KC := KC,0. Наступнi двi властивостi легко перевiрити безпосередньо з означення (3.7). Нехай C > 0, δ ≥ 0, k ∈ KC, δ. Тодi Bbs(Γ0) ⊂ L1(Γ0, |k| dλ). Якщо, додатково, δ ∈ [0; 1), то eλ(f) ∈ ∈ L1(Γ0, |k| dλ) для довiльної функцiї f ∈ L1(X, dm). Як наслiдок, дiстанемо, що якщо µ належитьM1 fm(Γ), а kµ — кореляцiйна функцiя мiри µ, причому kµ ∈ KC, δ, C > 0, δ ∈ [0; 1), то для довiльної f ∈ L1(X, dm) (Keλ(f)) (γ) = ∏ x∈γ (1 + f(x)) для µ-м. в. γ ∈ Γ. (3.8) Зокрема, нескiнченний добуток у правiй частинi (3.8) є абсолютно збiжним для µ-м. в. γ ∈ Γ. Зауважимо, що якщо f належить C0(X) ⊂ L1(X, dm), то рiвнiсть (3.8) виконується для всiх γ ∈ Γ. Наступне твердження встановлює зв’язок мiж кореляцiйними функцiями мiри та її проекцiя- ми. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1705 Твердження 3.4 ([11], твердження 4.14, 4.16). Нехай µ належить M1 fm,π(Γ). Тодi для до- вiльного Λ ∈ Bc(X), z > 0 kµ(η) = ∫ ΓΛ dµΛ dπΛ z (η ∪ γ) dπΛ z (γ) для λ-м. в. η ∈ ΓΛ. (3.9) Якщо, додатково, ∫ ΓΛ 2|η|kµ(η) dλ(η) <∞ для всiх Λ ∈ Bc(X), то dµΛ dπΛ z (γ) = ∫ ΓΛ (−1)|η|kµ(γ ∪ η) dλ(η) для πΛ z -м. в. γ ∈ ΓΛ. (3.10) Обернену задачу про можливiсть вiдновлення мiри µ ∈ M1 fm(Γ) за даною системою си- метричних вимiрних функцiй k(n), для яких k(n) = k (n) µ , можна розв’язати за допомогою наступних результатiв А. Ленарда. Означення 3.2. Функцiя k : Γ0 → R називається позитивно означеною в сенсi Ленарда, якщо для довiльної G ∈ Bbs(Γ0) такої, що (KG)(γ) ≥ 0 для всiх γ ∈ Γ, виконується нерiвнiсть∫ Γ0 G(η)k(η) dλ(η) ≥ 0. Зауважимо, що якщо kµ — кореляцiйний функцiонал мiри µ ∈ M1 fm(Γ), то з рiвностi (3.6) безпосередньо випливає, що kµ є позитивно означеною в сенсi Ленарда. Твердження 3.5. Нехай k : Γ0 → R є вимiрною. 1 ([18], теорема 4.1). Припустимо, що функцiя k є позитивно означеною в сенсi Ленарда та виконано умову нормування k(∅) = 1. Тодi iснує принаймнi одна мiра µ ∈ M1 fm(Γ) така, що k є кореляцiйним функцiоналом мiри µ. 2 ([16], теорема 2). Для довiльного n ∈ N, Λ ∈ Bc(X) покладемо sΛ n := 1 n! ∫ Λn k(n)(x1, . . . , xn) dm(x1) . . . dm(xn). (3.11) Тодi якщо ∑ n∈N ( sΛ n+m )−1/n =∞ для всiх m ∈ N, Λ ∈ Bc(X), то iснує не бiльше однiєї мiри µ ∈M1 fm(Γ) такої, що k є кореляцiйним функцiоналом мiри µ. Зауважимо, що у роботах [16, 18] А. Ленард дослiджував бiльш широкий простiр, нiж простiр Γ (так званий простiр кратних конфiгурацiй). Адаптацiю теореми 4.1 iз [18] для випадку простору Γ було проведено в [14] (теорема 4.4.1). Теорема 2 з [16] справджується для бiльш вузького простору Γ очевидним чином. Наслiдок 3.1. Нехай функцiя k : Γ0 → R є позитивно означеною в сенсi Ленарда та вико- нано умову нормування k(∅) = 1. Нехай iснує C > 0 таке, що k ∈ KC,2. Тодi iснує єдина мiра µ ∈M1 fm(Γ) така, що k є кореляцiйним функцiоналом мiри µ. Доведення. Оскiльки k належить KC,2, то для всiх n ∈ N з (3.11) маємо sΛ n ≤ ≤ const · (Cm(Λ))n n!. Отже, для всiх l ∈ N∑ n∈N ( sΛ n+l )−1/n ≥ const · ∑ n∈N (Cm(Λ))− n+l n ((n+ l)!)−1/n ≥ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1706 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН ≥ const · (Cm(Λ))−(1+l) ∑ n∈N (n!)−1/n =∞, що доводить наслiдок. Наступне твердження показує, що K-перетворення є комбiнаторним перетворенням Фур’є вiдносно ?-згортки. Твердження 3.6 ([11], твердження 3.11). Нехай G1, G2 належать L0 ls(Γ0). Тодi (K(G1 ? G2)) (γ) = (KG1)(γ) · (KG2)(γ), γ ∈ Γ. (3.12) Зауваження 3.3. Нехай µ належитьM1 fm(Γ), kµ — кореляцiйний функцiонал мiри µ. В [11] (лемма 4.12) показано, що рiвнiсть (3.12) виконується для µ-м. в. γ ∈ Γ, якщо тiльки виконано одну з наступних умов: 1) G1, G2 ≥ 0; 2) |G1| ? |G2| ∈ L1(Γ0, kµ dλ); 3) G1, G2 ∈ L1(Γ0, kµ dλ). Наступний наслiдок безпосередньо випливає iз твердження iз 3.6 iз [11] (твердження 3.5) та того факту, що клас функцiй Fcyl(Γ) є замкненим вiдносно множення. Наслiдок 3.2. Нехай F1, F2 належать Fcyl(Γ). Тодi( K−1(F1 · F2) ) (η) = ( (K−1F1) ? (K−1F2) ) (η), η ∈ Γ0. (3.13) Зауваження 3.4. Рiвнiсть (3.13) справджується для довiльних функцiй F1, F2, визначених на деякiй пiдмножинi простору конфiгурацiй Γ, що мiстить множину скiнченних конфiгура- цiй Γ0. Зауваження 3.5. Нехай G належить Bbs(Γ0). З твердження 3.6 випливає, що K(G?G) = = |KG|2 ≥ 0. Отже, якщо функцiя k є позитивно означеною в сенсi Ленарда, то вона є позитивно означеною в сенсi ?-згортки (означення див. у [2]). У статтi [11] показано, що якщо для функцiї k ∈ KC, δ, C > 0, δ ∈ [0; 1), виконано k(∅) = 1 i k є позитивно означеною в сенсi ?-згортки, то iснує єдина мiра µ ∈M1 fm(Γ), для якої k є її кореляцiйним функцiоналом. 4. Простори конфiгурацiй рiзних типiв. Цей пункт присвячено просторам конфiгурацiй двох рiзних типiв, якi ми позначимо + та −. Введемо наступнi позначення. Розглянемо двi копiї простору Γ: Γ+ := Γ i Γ− := Γ та покладемо Γ2 := Γ+ × Γ−. Нехай O(Γ2) — продакт- топологiя на Γ2. Вiдповiдну борелiвську σ-алгебру позначимо B(Γ2). Клас усiх iмовiрнiсних мiр на ( Γ2,B(Γ2) ) позначимоM1(Γ2). Аналогiчно розглянемо для Y ∈ B(X), n ∈ N Γ +,(n) 0,Y := Γ −,(n) 0,Y := Γ (n) 0,Y , Γ+ 0,Y := Γ−0,Y := Γ0,Y , Γ2 0,Y := Γ+ 0,Y × Γ−0,Y та визначимо вiдповiднi продакт-топологiю O(Γ2 0,Y ) та борелiвську σ-алгебру B(Γ2 0,Y ). Як i ранiше, при Y = X будемо нехтувати символом Y в iндексi, а при Y ∈ Bc(X) вiдкидатимемо 0 в iндексi, зокрема, Γ2 0 := Γ2 0,X , Γ2 Λ := Γ2 0,Λ. Очевидно, що B(Γ2) = σ ( B+ ×B− ∣∣ B± ∈ B(Γ±) ) , B(Γ2 0,Y ) = σ ( B+ ×B− ∣∣ B± ∈ B(Γ±0,Y ) ) , Y ∈ B(X). Визначимо деякi поняття, аналогiчнi до розглянутих вище на просторах конфiгурацiй одного типу. Для довiльних Λ± ∈ Bc(X) розглянемо вiдображення pΛ+,Λ− : Γ2 → Γ+ Λ+×Γ− Λ− , визначене рiвнiстю pΛ+,Λ−(γ+, γ−) := ( γ+ Λ+ , γ − Λ− ) , γ± ∈ Γ±. Проекцiєю мiри µ ∈ M1(Γ2) на простiр( Γ+ Λ+ × Γ− Λ− ,B(Γ+ Λ+ × Γ− Λ−) ) називається мiра µΛ+,Λ− , що визначена рiвнiстю µΛ+,Λ−(A) := := µ ( p−1 Λ+,Λ−(A) ) , A ∈ B(Γ+ Λ+ × Γ− Λ−). Мiра µ ∈ M1(Γ2) називається локально абсолютно ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1707 неперервною вiдносно мiри πz ⊗ πz, z > 0, якщо для довiльних Λ± ∈ Bc(X) проекцiя µΛ+,Λ− мiри µ є абсолютно неперервною до мiри πΛ+ z ⊗πΛ− z на просторi ( Γ+ Λ+ × Γ− Λ− ,B(Γ+ Λ+ × Γ− Λ−) ) . У випадку, коли Λ+ = Λ− = Λ ∈ Bc(X), будемо писати pΛ, µ Λ,Γ2 Λ замiсть pΛ,Λ, µ Λ,Λ,Γ+ Λ × Γ−Λ вiдповiдно, якщо тiльки це не призведе до непорозумiння. Наступнi твердження узагальнюють властивостi мiр зM1 fm,π(Γ). Вони були доведенi автором у [6]. Твердження 4.1. Нехай мiра µ ∈ M1(Γ2) є локально абсолютно неперервною вiдносно мiри πz ⊗ πz, z > 0. Нехай A ∈ B(X), m(A) = 0. Тодi µ ({ (γ+, γ−) ∈ Γ2 ∣∣ γ+ ∩ γ− = ∅ }) = 1, µ ({ (γ+, γ−) ∈ Γ2 ∣∣ γ− ∩A 6= ∅ }) = 0, (µ⊗m) ({ (γ+, γ−, x) ∈ Γ2 ×X ∣∣ x ∈ γ+ }) = 0. Нехай µ належитьM1(Γ2). Маргiнальними розподiлами мiри µ будемо називати ймовiрнiс- нi мiри µ± на (Γ±,B(Γ±)) вiдповiдно, що визначенi спiввiдношеннями µ±(A±) := ∫ A± ∫ Γ∓ dµ(γ+, γ−), A± ∈ B(Γ±). (4.1) Нехай Λ ∈ Bc(X), µΛ — проекцiя мiри µ ∈ M1(Γ2) на Γ2 Λ. Маргiнальнi розподiли мiри µΛ — це ймовiрнiснi мiри (µΛ)± на ( Γ±Λ ,B(Γ±Λ) ) , визначенi аналогiчно до (4.1). З iншого боку, можемо розглянути проекцiї (µ±)Λ мiр µ± на простiр ( Γ±Λ ,B(Γ±Λ) ) вiдповiдно до (4.1). У [6] було показано, що для довiльного Λ ∈ Bc(X) (µ±)Λ = (µΛ)±. (4.2) Визначимо ще деякi поняття, аналогiчнi до розглянутих вище на просторах конфiгурацiй одного типу. Функцiя G : Γ2 0 → R має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке, що G �Γ2 0\(Γ + Λ×Γ−Λ )= 0. Клас усiх вимiрних функцiй на Γ2 0 iз локальним носiєм позначимо L0 ls(Γ 2 0). Множина B ∈ B(Γ2 0) називається обмеженою, якщо iснують Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N такi, що B ⊂ (⊔N n=0 Γ +,(n) Λ ) × (⊔N n=0 Γ −,(n) Λ ) . Клас усiх обмежених множин у B(Γ2 0) позначимо Bb(Γ2 0).ФункцiяG : Γ2 0 → R має обмежений носiй, якщо iснуєB ∈ Bb(Γ2 0) така, щоG � Γ2 0\B̃ = 0. Клас усiх обмежених функцiй з обмежених носiєм позначимо Bbs(Γ 2 0). Мiра ρ на ( Γ2 0,B(Γ2 0) ) називається локально скiнченною, якщо ρ(B) < ∞ для всiх B ∈ Bb(Γ2 0). Клас усiх таких мiр позначимо Mlf(Γ 2 0). Мiра µ ∈ M1(Γ2) має скiнченнi локальнi моменти всiх порядкiв, якщо∫ Γ2 |γ+ Λ | n|γ−Λ | n dµ(γ+, γ−) < ∞ для всiх Λ ∈ Bc(X) та n ∈ N0. Клас усiх iмовiрнiсних мiр на Γ2 iз локальними скiнченними моментами всiх порядкiв будемо позначати M1 fm(Γ2). Клас вимiрних функцiй на Γ2, цилiндричних за обома змiнними, будемо позначати Fcyl(Γ 2). Розглянемо перетворення K: L0 ls(Γ 2 0)→ Fcyl(Γ 2), що задане формулою (KG)(γ+, γ−) := ∑ η+bγ+ η−bγ− G(η+, η−), (γ+, γ−) ∈ Γ. (4.3) Розглянемо одиничнi оператори (тотожнi вiдображення) I± на функцiях на Γ± (а отже, i на Γ±0 ). Визначимо наступнi оператори на функцiях на Γ2 0: K+ := K ⊗ I−, K− := I+ ⊗K. Тодi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1708 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН формулу (4.3) запишемо у виглядi K = K+K− = K−K+. (4.4) З (4.4) випливає, що вiдображення K: L0 ls(Γ 2 0)→ Fcyl(Γ 2) є лiнiйним, зберiгає додатнi функцiї та має обернене (K−1F )(η+, η−) = (K+)−1(K−)−1 = (K−)−1(K+)−1 = = ∑ ξ+⊂η+ ξ−⊂η− (−1)|η +\ξ+|+|η−\ξ−|F (ξ+, ξ−), (η+, η−) ∈ Γ2 0. (4.5) Означення 4.1. Нехай µ належить M1 fm(Γ2). Кореляцiйною мiрою, що вiдповiдає мiрi µ, називається мiра ρµ ∈Mlf(Γ 2 0), визначена рiвнiстю ρµ(A) := ∫ Γ2 (K11A)(γ+, γ−) dµ(γ+, γ−), A ∈ Bb(Γ2 0), (4.6) де 11A : Γ2 0 → R — функцiя-iндикатор множини A ∈ B(Γ2 0). Зрозумiло, що ρµ({∅}, {∅}) = 1. Доведення наступних двох тверджень повнiстю аналогiчнi доведенням вiдповiдних твер- джень для простору Γ. Твердження 4.2. Нехай µ належить M1 fm(Γ2). Тодi для всiх G ∈ Bbs(Γ 2 0) виконується G ∈ L1(Γ2 0, ρµ), причому∫ Γ2 0 G(η+, η−) dρµ(η+, η−) = ∫ Γ2 (KG)(γ+, γ−) dµ(γ+, γ−). (4.7) Якщо кореляцiйна мiра ρµ мiри µ ∈M1 fm(Γ2) має похiдну Радона – Нiкодима вiдносно мiри λ2 := λ⊗λ на ( Γ2 0,B(Γ2 0) ) , то цю похiдну будемо називати кореляцiйним функцiоналом kµ мiри µ, тобто kµ(η+, η−) := dρµ dλ2 (η+, η−), (η+, η−) ∈ Γ2 0. Розглянемо множину M1 fm,π(Γ2) усiх таких мiр з M1 fm(Γ2), якi є локально абсолютно не- перервними вiдносно мiри πz ⊗ πz , z > 0. Твердження 4.3. Нехай мiра µ належитьM1 fm,π(Γ2). Тодi iснує кореляцiйний функцiонал kµ, причому kµ(∅,∅) = 1 i kµ(η+, η−) = ∫ Γ+ Λ ∫ Γ−Λ dµΛ dλ2 (η+ ∪ ξ+, η− ∪ ξ−)dλ(ξ+)dλ(ξ−) (4.8) для довiльного Λ ∈ Bc(X) i для λ2-м. в. (η+, η−) ∈ Γ2 Λ. Твердження 4.4. Нехай мiра µ належить M1 fm,π(Γ2). Тодi маргiнальнi мiри µ± нале- жать класуM1 fm,π(Γ). Бiльше того, якщо kµ, k±µ — кореляцiйнi функцiонали мiр µ, µ± вiдпо- вiдно, то для λ-м. в. η± ∈ Γ± kµ(η+,∅) = k+ µ (η+), kµ(∅, η−) = k−µ (η−). (4.9) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1709 Доведення. Для довiльного Λ ∈ Bc(X) i довiльної вимiрної функцiї F : Γ+ Λ → R+ з (4.2) для всiх z > 0 маємо∫ Γ+ Λ F (γ+) d(µ+)Λ(γ+) = ∫ Γ+ Λ F (γ+) d(µΛ)+(γ+) = ∫ Γ+ Λ F (γ+) ∫ Γ−Λ dµΛ(γ+, γ−) = = ∫ Γ+ Λ F (γ+) ∫ Γ−Λ dµΛ d(πΛ z ⊗ πΛ z ) (γ+, γ−) d(πΛ z ⊗ πΛ z )(γ+, γ−) = = ∫ Γ+ Λ F (γ+) ( ∫ Γ−Λ dµΛ d(πΛ z ⊗ πΛ z ) (γ+, γ−) dπΛ z (γ−) ) dπΛ z (γ+). Отже, мiра µ+ є локально абсолютно неперервною вiдносно мiри Пуассона πz, z > 0, причому для πΛ z -м. в. γ+ ∈ Γ+ Λ d(µ+)Λ dπΛ z (γ+) = ∫ Γ−Λ dµΛ d(πΛ z ⊗ πΛ z ) (γ+, γ−) dπΛ z (γ−). (4.10) Очевидна рiвнiсть для всiх Λ ∈ Bc(X), n ∈ N∫ Γ+ ∣∣γ+ ∩ Λ ∣∣n dµ+(γ+) = ∫ Γ2 ∣∣γ+ ∩ Λ ∣∣n∣∣γ− ∩ Λ ∣∣0 dµ(γ+, γ−) <∞ доводить, що µ+ належитьM1 fm(Γ). Тодi з (3.9) випливає, що для λz-м. в. η+ ∈ Γ+ Λ i для всiх Λ ∈ Bc(X) k+ µ (η+) = ∫ Γ+ Λ d(µ+)Λ dλΛ z (η+ ∪ ξ+)dλz(ξ +). (4.11) Поклавши в (4.8) η− = ∅, з (4.10) та (4.11) дiстанемо kµ(η+,∅) = ∫ Γ+ Λ ( ∫ Γ−Λ dµΛ dλ2 z (η+ ∪ ξ+, ξ−)dλz(ξ −) ) dλz(ξ +) = = ∫ Γ+ Λ d(µΛ)+ dλz (η+ ∪ ξ+)dλz(ξ +) = k+ µ (η+). (4.12) Для k−µ доведення аналогiчне. Твердження 4.4 доведено. Зауваження 4.1. З твердження 4.2 випливає, що якщо kµ — кореляцiйний функцiонал деякої мiри µ ∈M1 fm(Γ2), то kµ є позитивно означеним в сенсi Ленарда. Нагадаємо про наступну згортку мiж вимiрними функцiями G1 та G2 на Γ2 0 (див. [2]): (G1 ?©G2)(η+, η−) := ∑ ξ+ 1 tξ + 2 tξ + 3 =η+ ξ−1 tξ − 2 tξ − 3 =η− G1(ξ+ 1 ∪ ξ + 2 , ξ − 1 ∪ ξ − 2 )G2(ξ+ 2 ∪ ξ + 3 , ξ − 2 ∪ ξ − 3 ). (4.13) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1710 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН З твердження 3.6 та рiвностей (4.4), (4.13) безпосередньо випливає, що для довiльних G1, G2 ∈ L0 ls(Γ 2 0) (K(G1 ?©G2)) (γ+, γ−) = (KG1)(γ+, γ−)(KG2)(γ+, γ−), (γ+, γ−) ∈ Γ2. (4.14) Зауваження 4.2. Оскiльки внаслiдок (4.14) K(G ?© G) = |KG|2 ≥ 0, то з позитивної означеностi в сенсi Ленарда випливає позитивна означенiсть в сенсi ?©-згортки (означення див. у [2]). 5. Згортки мiр. 5.1. Основнi властивостi. У цьому пунктi будемо використовувати наступнi позначення. Нехай F : Γ → R — вимiрна функцiя. Розглянемо вимiрну функцiю F̃ : Γ2 → R, визначену рiвнiстю F̃ (γ+, γ−) = F (γ+ ∪ γ−), (γ+, γ−) ∈ Γ2. Нехай µi належить M1 fm(Γ), i = 1, 2. Розглянемо мiру µ̂ на ( Γ2,B(Γ2) ) , визначену рiвнiстю dµ̂(γ+, γ−) = dµ1(γ+) dµ2(γ−), тобто µ̂ = µ1 ⊗ µ2. Очевидно, що µ̂ належитьM1 fm(Γ2). Означення 5.1. Нехай µi належать M1(Γ), i = 1, 2. Мiра µ ∈ M1(Γ) називається згорткою мiр µ1 та µ2, якщо для довiльної вимiрної функцiї F : Γ → R такої, що F̃ ∈ ∈ L1(Γ2, dµ̂), виконується рiвнiсть∫ Γ F (γ)dµ(γ) = ∫ Γ2 F̃ (γ+, γ−)dµ̂(γ+, γ−) = ∫ Γ+ ∫ Γ− F (γ+ ∪ γ−) dµ1(γ+) dµ2(γ−). (5.1) Позначення: µ = µ1 ∗ µ2. Твердження 5.1. Нехай µi належатьM1 fm(Γ), i = 1, 2, та µ = µ1 ∗µ2. Тодi µ належить M1 fm(Γ). Якщо µi належатьM1 fm,π(Γ), i = 1, 2, то µ належитьM1 fm,π(Γ). Доведення. Для довiльного Λ ∈ Bc(X), n ∈ N маємо∫ Γ |γΛ|n dµ(γ) = ∫ Γ+ ∫ Γ− ( |γ+ Λ |+ |γ − Λ | )n dµ1(γ+) dµ2(γ−) = = n∑ k=0 ( n k )∫ Γ |γΛ|k dµ1(γ) ∫ Γ |γΛ|n−k dµ2(γ) <∞, що доводить перше твердження. Далi, для довiльної BΛ(Γ)-вимiрної функцiї F отримуємо∫ ΓΛ F (γ) dµΛ(γ) = ∫ Γ F (γ) dµ(γ) = ∫ Γ+ ∫ Γ− F (γ+ ∪ γ−) dµ1(γ+) dµ2(γ−) = = ∫ Γ+ Λ ∫ Γ−Λ F (γ+ ∪ γ−) dµΛ 1 (γ+) dµΛ 2 (γ−) = = ∫ Γ+ Λ ∫ Γ−Λ F (γ+ ∪ γ−) dµΛ 1 dλ (γ+) dµΛ 2 dλ (γ−) dλ(γ+) dλ(γ−) = = ∫ ΓΛ F (γ) ( dµΛ 1 dλ ∗ dµ Λ 2 dλ ) (γ) dλ(γ), ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1711 де використано (1.6). Це доводить друге твердження. Наступне твердження встановлює зв’язок мiж згортками на просторах мiр над Γ та Γ0. Твердження 5.2. Нехай µi належатьM1 fm,π(Γ), ρi — вiдповiднi кореляцiйнi мiри, i = 1, 2. Тодi ρ = ρ1 ∗ ρ2 є кореляцiйною мiрою для мiри µ = µ1 ∗ µ2. Доведення. Нехай G належить Bbs(Γ0), тодi G̃ ∈ Bbs(Γ 2 0) ⊂ L1 ( Γ2 0, dρ̂ ) . Нехай F = KG. Тодi для довiльних (γ+, γ−) ∈ Γ̃2 (тобто γ+ ∩ γ− = ∅) дiстанемо F̃ (γ+, γ−) = F (γ+ ∪ γ−) = ∑ ηbγ+∪γ− G(η) = = ∑ η+bγ+ ∑ η−bγ− G(η+ ∪ η−) = ∑ η+bγ+ ∑ η−bγ− G̃(η+, η−) = ( KG̃ ) (γ+, γ−). (5.2) Доведемо, що ρ̂ = ρ1⊗ρ2 ∈Mlf(Γ 2 0) — кореляцiйна мiра для мiри µ̂ = µ1⊗µ2 ∈M1 fm(Γ2). Для цього перевiримо справедливiсть (4.6) з µ = µ̂, ρµ = ρ̂. Для довiльного A = A+×A− ∈ Bb(Γ2 0), де A± ∈ Bb(Γ0), маємо∫ Γ2 (K11A)(γ+, γ−) dµ̂(γ+, γ−) = ∫ Γ2 ∑ η+bγ+ ∑ η−bγ− 11A(η+, η−) dµ1(γ+) dµ2(γ−) = = ∫ Γ+ ∑ η+bγ+ 11A+(η+) dµ1(γ+) ∫ Γ− ∑ η−bγ− 11A−(η−) dµ2(γ−) = ρ1(A+)ρ2(A−) = ρ̂(A). Отже, за рiвнiстю (4.6) мiра ρ̂ дiйсно збiгається з кореляцiйною мiрою для µ̂ на всiх множинах вигляду A = A+ × A− ∈ Bb(Γ2 0) з A± ∈ Bb(Γ0). Як наслiдок, цi мiри збiгаються мiж собою на всьому класi множин Bb(Γ2 0). Оскiльки µi ∈ M1 fm,π(Γ), i = 1, 2, то мiра µ̂ є локально абсолютно неперервною вiдносно мiри πz ⊗ πz, z > 0. Отже, за твердженням 4.1 µ̂(Γ̃2) = 1. Таким чином,∫ Γ0 G(η)dρ(η) = ∫ Γ+ 0 ∫ Γ−0 G̃(η+, η−) dρ̂(η+, η−) = ∫ Γ+ ∫ Γ− ( KG̃ ) (γ+, γ−) dµ̂(γ+, γ−) = = ∫∫ Γ̃2 ( KG̃ ) (γ+, γ−) dµ̂(γ+, γ−) = ∫∫ Γ̃2 F̃ (γ+, γ−) dµ̂(γ+, γ−) = = ∫ Γ+ ∫ Γ− F̃ (γ+, γ−) dµ1(γ+) dµ2(γ−) = ∫ Γ F (γ) dµ(γ), що доводить твердження. Теорема 5.1. Нехай функцiї ki : Γ0 → R, i = 1, 2, є вимiрними. Тодi функцiя k(η) = = (k1 ∗k2)(η) є позитивно означеною в сенсi Ленарда на Γ0, якщо тiльки функцiя k̂(η+, η−) := := k1(η+)k2(η−) є позитивно означеною в сенсi Ленарда на Γ2 0. Доведення. З рiвностi (5.2) випливає, що якщо G ∈ Bbs(Γ0) i KG ≥ 0, то KG̃ ≥ 0. А оскiльки внаслiдок (1.6) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1712 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН∫ Γ0 G(η)(k1 ∗ k2)(η)dλ(η) = ∫ Γ2 0 G̃(η+, η−)k̂(η+, η−)dλ(η+)dλ(η−), то з позитивної означеностi функцiї k̂ в сенсi Ленарда на Γ2 0 випливає позитивна означенiсть функцiї k в сенсi Ленарда на Γ0. Теорему 5.1 доведено. 5.2. Згортка гiббсiвських мiр. Нехай L0 +(Γ×X) позначає клас усiх вимiрних невiд’ємних функцiй f : Γ×X → R+. Зафiксуємо деяку функцiю r ∈ L0 +(Γ×X). Мiру µ ∈M1 fm(Γ) будемо називати гiббсiвською мiрою, що вiдповiдає щiльностi вiдносної енергiї (або iнтенсивностi Папангелоу) r, якщо для довiльної h ∈ L0 +(Γ × X) виконується тотожнiсть Георгi – Нгуєна – Цессiна (див. [21]): ∫ Γ ∑ x∈γ h(γ, x)dµ(γ) = ∫ Γ ∫ X h(γ ∪ x, x)r(γ, x)dxdµ(γ). (5.3) Позначимо клас таких мiр M1 fm(Γ; r). Властивостi таких мiр та деяку бiблiографiю див., на- приклад, у [7]. Зауважимо, зокрема, що з необхiднiстю з (5.3) випливає, що r(γ ∪ y, x)r(γ, y) = r(γ ∪ x, y)r(γ, x) (5.4) для µ× dx× dy-м.в. (γ, x, y) ∈ Γ×X ×X. Твердження 5.3. Нехай {r1, r2, r} ⊂ L0 +(Γ ×X). Розглянемо мiри µi ∈ M1 fm(Γ; ri), i = = 1, 2, µ ∈ M1 fm(Γ, r). Тодi якщо µ = µ1 ∗ µ2, то з необхiднiстю для µ1 × µ2 × dx-м. в. (γ+, γ−, x) ∈ Γ× Γ×X виконується рiвнiсть r ( γ+ ∪ γ−, x ) = r1 ( γ+, x ) + r2 ( γ−, x ) . (5.5) Доведення. Для довiльної h ∈ L0 +(Γ×X) з (5.1) маємо∫ Γ ∑ x∈γ h (γ, x) dµ (γ) = = ∫ Γ+ ∫ Γ− ∑ x∈γ+∪γ− h ( γ+ ∪ γ−, x ) dµ1 ( γ+ ) dµ2 ( γ− ) = = ∫ Γ+ ∫ Γ− ∫ X h ( γ+ ∪ x ∪ γ−, x ) r1 ( γ+, x ) dxdµ1 ( γ+ ) dµ2 ( γ− ) + + ∫ Γ+ ∫ Γ− ∫ X h ( γ+ ∪ γ− ∪ x, x ) r2 ( γ−, x ) dxdµ1 ( γ+ ) dµ2 ( γ− ) = = ∫ Γ+ ∫ Γ− ∫ X h ( γ+ ∪ x ∪ γ−, x ) ( r1 ( γ+, x ) + r2 ( γ−, x )) dxdµ1 ( γ+ ) dµ2 ( γ− ) . З iншого боку, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1713∫ Γ ∑ x∈γ h (γ, x) dµ (γ) = ∫ Γ ∫ X h (γ ∪ x, x) r (γ, x) dxdµ (γ) = = ∫ Γ+ ∫ Γ− ∫ X h ( γ+ ∪ x ∪ γ−, x ) r ( γ+ ∪ γ−, x ) dxdµ1 ( γ+ ) dµ2 ( γ− ) , де знову використано (5.1). Порiвнюючи отриманi вирази, дiстаємо (5.5). Твердження 5.3 доведено. Зауваження 5.1. З (5.5) видно, що якщо µi є мiрами Гiббса, заданими потенцiалами Φi : Γ0 → R, i = 1, 2, тобто ri(γ, x) = exp { − ∑ ηbγ Φi(η ∪ x) } , i = 1, 2, то µ = µ1 ∗ µ2 не може бути задана в такий спосiб. Наслiдок 5.1. Нехай умови (5.5) виконано. Тодi з µ = µ1 ∗ µ2 випливає, що для µ1 × µ2 × × dx× dy-м. в. (γ+, γ−, x, y) ∈ Γ× Γ×X ×X виконується рiвнiсть r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, x ) [ r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+, y ) r2 ( γ−, x )] × × [ r1 ( γ+ ∪ x, y ) r2 ( γ−, y ) − r2 ( γ− ∪ x, y ) r1 ( γ+, y )] = 0. (5.6) Доведення. З (5.4) випливає (див. також [7]), що вираз r ( γ+ ∪ γ− ∪ y, x ) r ( γ+ ∪ γ−, y ) = ( r1 ( γ+, x ) + r2 ( γ− ∪ y, x )) ( r1 ( γ+, y ) + r2 ( γ−, y )) = = r1 ( γ+, x ) r1 ( γ+, y ) + r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) + +r2 ( γ− ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) + r2 ( γ− ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) є симетричною функцiєю змiнних x та y для µ1×µ2-м.в. (γ+, γ−) i м. в. x, y. Тодi, враховуючи симетричнiсть виразу r2 (γ− ∪ y, x) r2 (γ−, y) , отримуємо r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) + r2 ( γ− ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) = = r1 ( γ+, y ) r2 ( γ−, x ) + r2 ( γ− ∪ x, y ) r1 ( γ+, x ) , звiдки r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+, y ) r2 ( γ−, x ) = = r2 ( γ− ∪ x, y ) r1 ( γ+, x ) − r2 ( γ− ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) . (5.7) З iншого боку, r ( γ+ ∪ γ− ∪ y, x ) r ( γ+ ∪ γ−, y ) = ( r1 ( γ+ ∪ y, x ) + r2 ( γ−, x )) ( r1 ( γ+, y ) + r2 ( γ−, y )) = = r1 ( γ+ ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) + r1 ( γ+ ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) + +r2 ( γ−, x ) r1 ( γ+, y ) + r2 ( γ−, x ) r2 ( γ−, y ) . Далi, аналогiчно до попереднього, r2 ( γ−, x ) r1 ( γ+, y ) + r1 ( γ+ ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1714 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН = r2 ( γ−, y ) r1 ( γ+, x ) + r1 ( γ+ ∪ x, y ) r2 ( γ−, x ) i, отже, r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+, y ) r2 ( γ−, x ) = = r1 ( γ+ ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+ ∪ x, y ) r2 ( γ−, x ) . (5.8) Порiвнюючи правi частини (5.7) i (5.8), маємо r1 ( γ+ ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+ ∪ x, y ) r2 ( γ−, x ) = = r2 ( γ− ∪ x, y ) r1 ( γ+, x ) − r2 ( γ− ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) . (5.9) Домножимо тепер обидвi частини рiвностi (5.9) на r1 (γ+, y) r1 (γ+, x) r2 (γ−, x) r2 (γ−, y): r1 ( γ+, y ) r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, x ) r2 ( γ−, y ) r1 ( γ+ ∪ y, x ) r2 ( γ−, y ) − −r1 ( γ+, y ) r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, x ) r2 ( γ−, y ) r1 ( γ+ ∪ x, y ) r2 ( γ−, x ) = = r1 ( γ+, y ) r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, x ) r2 ( γ−, y ) r2 ( γ− ∪ x, y ) r1 ( γ+, x ) − −r1 ( γ+, y ) r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, x ) r2 ( γ−, y ) r2 ( γ− ∪ y, x ) r1 ( γ+, y ) . Отже, r1 ( γ+ ∪ x, y ) r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) r2 ( γ−, x ) [ r1 ( γ+, x ) r2 ( γ−, y ) − r1 ( γ+, y ) r2 ( γ−, x )] = = r2 ( γ− ∪ x, y ) r2 ( γ−, x ) r1 ( γ+, y ) r1 ( γ+, x ) [ r2 ( γ−, y ) r1 ( γ+, x ) − r2 ( γ−, x ) r1 ( γ+, y )] , звiдки випливає (5.6). Наслiдок доведено. Рiвнiсть (5.6) „пiдказує”, в якому класi функцiй варто шукати щiльностi вiдносних енергiй ri(γ, x). Можна, наприклад, розглядати такi щiльностi, що ri(γ, x) = ri(γ) для µi × dx-м. в. (γ, x) ∈ Γ × X. Тодi вираз у перших дужках в (5.6) буде дорiвнювати 0. Iнший можливий варiант: ri(γ ∪ y, x) = ri(γ, x) для µi × dx× dy-м. в. (γ, x, y) ∈ Γ×X ×X. Тодi дорiвнювати 0 буде вираз у других дужках в (5.6). Приклад 5.1. Обом цим випадкам вiдповiдає, наприклад, так звана мiшана мiра Пуассона. А саме, нехай p : (0; +∞)→ (0; +∞), причому ∫ ∞ 0 p(z)dz = 1 i p є неперервною на (0; +∞). Розглянемо мiру ν ∈ M1(Γ), задану рiвнiстю ν(A) = ∫ ∞ 0 πz(A)p(z)dz, A ∈ B(Γ). Вона є сумiшшю мiр Пуассона з рiзними iнтенсивностями. З (2.2) випливає, що∫ Γ ∑ x∈γ h(γ, x)dν(γ) = ∞∫ 0 ∫ Γ ∑ x∈γ h(γ, x)dπz(γ)p(z)dz = = ∞∫ 0 z ∫ Γ ∫ X h(γ ∪ x, x)dm(x)dπz(γ)p(z)dz = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1715 = ∫ Γ ∫ X h(γ ∪ x, x)q(γ, x)dm(x)dν(γ), де q(γ, x) = z для πz-м. в. γ ∈ Γ, для м. в. z ∈ (0; +∞) i для всiх x ∈ X. Бiльш детально, як зазначено в зауваженнi 2.1, πz1⊥πz2 при z1 6= z2. З iншого боку, як показано, наприклад, у [9], lim Λ↑X |γ ∩ Λ| m(Λ) = z для πz-м. в. γ ∈ Γ, z > 0. (5.10) Отже, якщо Az є множиною конфiгурацiй, для яких виконано (5.10), то πz1(Az2) = δz1,z2 (символ Кронекера). Як наслiдок, ν(A) = 1, де A = ⋃ z>0 Az. Отже, q(γ, x) = lim Λ↑X |γ ∩ Λ| m(Λ) для ν-м. в. γ ∈ Γ i для всiх x ∈ X. (5.11) Зауважимо, що q не залежить вiд p, тобто функцiя q не визначає мiру ν однозначно. Зрозумiло, що q(γ, x) = q(γ ∪ η, x) для всiх η ∈ Γ0, γ ∩ η = ∅. Аналогiчно виконується рiвнiсть q(γ1 ∪ ∪ γ2, x) = q(γ1, x) + q(γ2, x), якщо тiльки γ1 ∩ γ2 = ∅. Таким чином, якщо µ, µ1, µ2 будуть мiшаними мiрами Пуассона, визначеними функцiями p, p1, p2 вiдповiдно, то рiвнiсть (5.5) буде виконуватись, оскiльки r1 = r2 = r = q. Щоб показати, що згортка мiшаних мiр Пуассона буде також мiрою цього типу, нагадаємо (див., наприклад, [3]), що мiра Пуассона однозначно визначається своїми значеннями на множинах C(Λ, n) = { γ ∈ Γ ∣∣ |γ ∩ Λ| = n } , Λ ∈ Bc(X), n ∈ N0, причому πz(C(Λ, n)) = (zm(Λ))n n! e−zm(Λ). Отже, за означенням згортки мiр, якщо µ = µ1 ∗ µ2, то∫ Γ 11C(Λ,n) (γ) dµ (γ) = ∫ Γ ∫ Γ 11C(Λ,n) (γ1 ∪ γ2) dµ1 (γ1) dµ2 (γ2) = = ∫ Γ ∫ Γ 11|γ1∩Λ|+|γ2∩Λ|=ndµ1 (γ1) dµ2 (γ2) = ∫ Γ ∫ Γ n∑ k=0 11|γ1∩Λ|=k11|γ2∩Λ|=n−kdµ1 (γ1) dµ2 (γ2) = = n∑ k=0 ∫ Γ 11|γ1∩Λ|=kdµ1 (γ1) ∫ Γ 11|γ2∩Λ|=n−kdµ2 (γ2) = = n∑ k=0 1 k! 1 (n− k)! ∞∫ 0 (zm (Λ))k e−zm(Λ)p1 (z) dz ∞∫ 0 (zm (Λ))n−k e−zm(Λ)p2 (z) dz = = (m (Λ))n n! n∑ k=0 n! k! (n− k)! ∞∫ 0 ∞∫ 0 zk1z n−k 2 e−(z1+z2)m(Λ)p1 (z1) dz1p2 (z2) dz2 = = (m (Λ))n n! ∞∫ 0 ∞∫ 0 (z1 + z2)n e−(z1+z2)m(Λ)p1 (z1) p2 (z2) dz1dz2 = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1716 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН = ∞∫ 0 e−zm(Λ) (zm(Λ))n n! ∞∫ 0 p1 (z1) p2 (z − z1) dz1dz. Отже, µ є мiшаною мiрою Пуассона, визначеною функцiєю p(z) = ∫ ∞ 0 p1 (z1) p2 (z − z1) dz1, тобто p = p1 ∗ p2 в сенсi звичайної згортки на прямiй. Таким чином, згортка двох мiшаних мiр Пуассона є мiшаною мiрою Пуассона, цi мiри є мiрами Гiббса в сенсi (5.3), а щiльностi вiдносних енергiй для них визначенi формулою (5.11). 6. Iнварiантнi мiри та приклади операторiв диференцiювання вiдносно ∗-згортки функцiй на Γ0. Нагадаємо, що мiра µ ∈ M1 fm(Γ) називається iнварiантною для оператора L, заданого на деякому класi функцiй на Γ, якщо для довiльної такої функцiї F виконується рiвнiсть ∫ Γ (LF )(γ)dµ(γ) = 0. (6.1) Якщо припустити, що iнтеграл у лiвiй частинi (6.1) є скiнченним для довiльного F ∈ Fcyl(Γ) i при цьому |LF (η)| < ∞ принаймнi для всiх η ∈ Γ0, то для довiльного G ∈ Bbs(Γ0) F = KG ∈ Fcyl(Γ) i вираз K−1LF, заданий аналогiчно до (3.2), буде визначеним поточко- во (детальнiше див. пункт 3). Як наслiдок, можна розглянути оператор L̂G := K−1LKG, G ∈ Bbs(Γ0). Тодi, якщо виконано (6.1) i iснує кореляцiйний функцiонал kµ мiри µ, з (3.6) маємо 〈〈L̂G, kµ〉〉 = ∫ Γ0 (L̂G)(η)kµ(η) dλ(η) = 0 для всiх G ∈ Bbs(Γ0) (див. також пункт 4 [1]). Як наслiдок, рiвняння для спряженого оператора L̂∗k = 0 (6.2) можна розумiти в слабкому сенсi або ж, наприклад, у банаховому просторi KC,δ (детальнiше див. також у [8]). З iншого боку, рiвняння (6.1) не визначає мiру однозначно. Дiйсно, нехай µi, i = 1, 2, — двi мiри, iнварiантнi вiдносно оператора L (зокрема, може бути, що µ1 = µ2), i k1,2 — вiдповiднi кореляцiйнi функцiї. Згiдно з твердженням 5.2 i [2] (твердження 5.2) функцiя k = k1∗k2 буде кореляцiйною функцiєю мiри µ := µ1∗µ2. Припустимо додатково, що оператор L̂∗ є оператором диференцiювання вiдносно згортки (1.3) (див. пiдпункт 5.3 з [2]). Тодi L̂∗k = (L̂∗k1) ∗ k2 + k1 ∗ (L̂∗k2) = 0, тобто µ = µ1 ∗ µ2 також буде iнварiантною мiрою для оператора L. Зокрема, в цьому випадку µ∗n буде iнварiантною мiрою для оператора L для всiх n ∈ N. Приклад 6.1. У статтi [12] показано, що в моделi контактiв (уведенiй у [13]) з генератором (LCMF )(γ) = ∑ x∈γ [F (γ \ x)− F (γ)] + ∑ y∈γ ∫ Rd a(x− y) [F (γ ∪ x)− F (γ)] dx, (6.3) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1717 0 ≤ a ∈ L1(Rd), a(−x) = a(x), x ∈ Rd, iснує сiм’я iнварiантних мiр µinv, параметризованих їхнiми першими кореляцiйними функцiями k (1) inv = c, c > 0. Таким чином, для ci > 0, i = = 1, 2, iснують двi iнварiантнi мiри µ1,2 для оператора (6.3). Розглянемо мiру µ = µ1 ∗ µ2. З попереднього випливає, що її перша кореляцiйна функцiя дорiвнює c1 + c2 i для доведення її iнварiантностi достатньо показати, що оператор L∗CM є диференцiюванням вiдносно згортки (1.3). Нижче ми покажемо це у значно бiльш загальнiй ситуацiї. Розглянемо два оператори (L−F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ Γ0 d (x, ω) [F (γ \ x ∪ ω)− F (γ)] dλ (ω) , (L+F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ Γ0 b (x, ω) [F (γ ∪ ω)− F (γ)] dλ (ω) (тут i в подальшому будемо писати x замiсть {x}). Функцiї b та d є вимiрними та невiд’ємними на X × Γ0, причому ∫ ΓΛ (b(x, ω) + d(x, ω)) dλ(ω) <∞. Тодi |LF (η)| <∞, η ∈ Γ0. Позначимо, для зручностi,( L (n) − F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ Xn d (x, {y1, . . . , yn}) [F (γ \ x ∪ {y1, . . . , yn})− F (γ)] dy1 . . . dyn, ( L (n) + F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ Xn d (x, {y1, . . . , yn}) [F (γ ∪ {y1, . . . , yn})− F (γ)] dy1 . . . dyn, тобто L± = ∑∞ n=0 1 n! L (n) ± . Наприклад,( L (0) − F ) (γ) = ∑ x∈γ d (x,∅) [F (γ \ x)− F (γ)] , ( L (1) − F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ X d (x, y) [F (γ \ x ∪ y)− F (γ)] dy, ( L (0) + F ) (γ) = 0, ( L (1) + F ) (γ) = ∑ x∈γ ∫ X d (x, y) [F (γ ∪ y)− F (γ)] dy. Зокрема, якщо d(x,∅) = 1, d(x, y) = a(x− y), то LCM = L (0) − + L (1) + . Обчислимо L̂±. Маємо (KG) (γ \ x ∪ ω)− (KG) (γ) = ∑ ηbγ\x ∑ ∅6=ζ⊂ω G (η ∪ ζ)− ∑ ηbγ\x G (η ∪ x) = = K  ∑ ∅6=ζ⊂ω G (· ∪ ζ)−G (· ∪ x)  (γ \ x) , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 1718 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН тодi (L̂−G)(η) = ( K−1 (L−KG) ) (η) = = ∑ x∈η ∫ Γ0 d (x, ω)  ∑ ∅6=ζ⊂ω G (η \ x ∪ ζ)−G (η)  dλ (ω) = = − ∑ x∈η d (x)G (η)− ∑ x∈η d (x)G (η \ x) + ∑ x∈η ∫ Γ0 d (x, ω) ∑ ζ⊂ω G (η \ x ∪ ζ) dλ (ω) = = −D (η)G (η)− ∑ x∈η d (x)G (η \ x) + ∑ x∈η ∫ Γ0 ∫ Γ0 d (x, ω ∪ ξ) dλ (ω) G (η \ x ∪ ζ) = dλ (ξ) = = −D (η)G (η)− ∑ x∈η d (x)G (η \ x) + ∑ x∈η ∫ Γ0 d1 (x, ξ)G (η \ x ∪ ζ) dλ (ξ) , де d (x) = ∫ Γ0 d (x, ω) dλ (ω) , D (η) = ∑ x∈η d (x) , d1 (x, ξ) = ∫ Γ0 d (x, ω ∪ ξ) dλ (ω) . Аналогiчно, враховуючи рiвнiсть (KG) (γ ∪ ω)− (KG) (γ) = ∑ ηbγ ∑ ∅6=ζ⊂ω G (η ∪ ζ) = K  ∑ ∅6=ζ⊂ω G (· ∪ ζ)  (γ) , отримуємо (L̂+G)(η) = ( K−1 (L+KG) ) (η) = = ∑ x∈η ∫ Γ0 b (x, ω) ∑ ∅6=ζ⊂ω G (η \ x ∪ ζ) dλ (ω) + ∑ x∈η ∫ Γ0 b (x, ω) ∑ ∅6=ζ⊂ω G (η ∪ ζ) dλ (ω) = = ∑ x∈η ∫ Γ0 b (x1, ζ)G (η \ x ∪ ζ) dλ (ζ) + ∑ x∈η ∫ Γ0 b1 (x, ζ)G (η ∪ ζ) dλ (ζ)− − ∑ x∈η G (η \ x) b (x)−B (η)G (η) , де b (x) = ∫ Γ0 b (x, ω) dλ (ω) , B (η) = ∑ x∈η b (x) , b1 (x, ξ) = ∫ Γ0 b (x, ω ∪ ξ) dλ (ω) . Як легко бачити, обидва отриманi вирази задовольняють рiвностi (L̂±G)(η ∪ ξ) = ( (L̂±G)(· ∪ ξ) ) (η) + ( (L̂±G)(· ∪ η) ) (ξ), (6.4) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12 ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. II. ПРОСТОРИ ЛОКАЛЬНО СКIНЧЕННИХ . . . 1719 а отже, згiдно з твердженням 5.4 з [2], вiдповiднi оператори L̂∗± будуть операторами диферен- цiювання вiдносно згортки (1.3). Автор висловлює щиру вдячнiсть д-ру фiз.-мат. наук проф. Ю. Г. Кондратьєву за кориснi обговорення та цiннi поради. 1. Скороход А. В. О дифференцируемости мер, соответствующих случайным процессам. I. Процессы с незави- симыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. – 1957. – 2. – С. 417 – 443. 2. Фiнкельштейн Д. Л. Про згортки на просторах конфiгурацiй. I. Простори скiнченних конфiгурацiй // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 11. – С. 1547 – 1567. 3. Albeverio S., Kondratiev Y., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct. Anal. – 1998. – 154, № 2. – P. 444 – 500. 4. Campbell N. R. The study of discontinuous problem // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1909. – 15. – P. 117 – 136. 5. Campbell N. R. Discontinuities in light emission // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1910. – 15. – P. 310 – 328. 6. Finkelshtein D. Measures on two-component configuration spaces // Condensed Matter Phys. – 2009. – 12, № 1. – P. 5 – 18. 7. Finkelshtein D., Kondratiev Y. Measures on configuration spaces defined by relative energies // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, № 2. – P. 126 – 155. 8. Finkelshtein D., Kondratiev Y., Kutoviy O. Semigroup approach to non-equilibrium birth-and-death stochastic dynamics in continuum // J. Funct. Anal. – 2012. – 262, № 3. – P. 1274 – 1308. 9. Finkelshtein D., Us G. On exponential model of Poisson spaces // Meth. Funct. Anal. and Top. – 1998. – 4, № 4. – P. 5 – 21. 10. Folland G. B. Real analysis. – Second ed. – New York: John Wiley & Sons Inc., 1999. 11. Kondratiev Y., Kuna T. Harmonic analysis on configuration space. I. General theory // Infinite Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. – 2002. – 5, № 2. – P. 201 – 233. 12. Kondratiev Y., Kutoviy O., Pirogov S. Correlation functions and invariant measures in continuous contact model // Infinite Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. – 2008. – 11, № 2. – P. 231 – 258. 13. Kondratiev Y., Skorokhod A. On contact processes in continuum // Infinite Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. – 2006. – 9, № 2. – P. 187 – 198. 14. Kuna T. Studies in configuration space analysis and applications: Dissertation // Bonn. math. Schr. – 1999. – 324. 15. Kuna T., Kondratiev Y., da Silva J. L. Marked Gibbs measures via cluster expansion // Meth. Funct. Anal. and Top. – 1998. – 4, № 4. – P. 50 – 81. 16. Lenard A. Correlation functions and the uniqueness of the state in classical statistical mechanics // Communs Math. Phys. – 1973. – 30. – P. 35 – 44. 17. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. I // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1975. – 59, № 3. – P. 219 – 239. 18. Lenard A. States of classical statistical mechanical systems of infinitely many particles. II. Characterization of correlation measures // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1975. – 59, № 3. – P. 241 – 256. 19. Matthes K., Kerstan J., Mecke J. Infinitely divisible point processes. – Chichester etc.: John Wiley & Sons, 1978. 20. Mecke J. Eine charakteristische Eigenschaft der doppelt stochastischen Poissonschen Prozesse // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. – 1968. – 11. – S. 74 – 81. 21. Nguyen X.-X., Zessin H. Integral and differential characterizations of the Gibbs process // Math. Nachr. – 1979. – 88. – S. 105 – 115. 22. Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces // Probab. and Math. Statistics. – 1967. – № 3. 23. Takahashi Y. Absolute continuity of Poisson random fields // Publ. Res. Inst. Math. Sci. – 1990. – 26, № 4. – P. 629 – 647. Одержано 09.04.12 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 12

Схожі ресурси