Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій
We investigate the best approximations eσ(f) of the integrals of functions of the spaces Lp(A,dμ) by the integrals of rank σ. We find the exact values of the upper bounds of these approximations in the case where the function f is a product of two functions, one of which is fixed and the other one c...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1653 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859849236639645696 |
|---|---|
| author | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. |
| author_facet | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. |
| citation_txt | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | We investigate the best approximations eσ(f) of the integrals of functions of the spaces Lp(A,dμ) by the integrals of rank σ. We find the exact values of the upper bounds of these approximations in the case where the function f is a product of two functions, one of which is fixed and the other one changes in some subset of Lp(A,dμ). We also obtain, in terms of approximations eσ(•), the necessary and sufficient conditions for a function of the space Lp(A,dμ) to belong to the space Ls(A,dμ), 0 < p, s < ∞.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:41:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
© 2007
Член-кореспондент НАН України О. I. Степанець, А. Л. Шидлiч
Екстремальнi задачi для iнтегралiв вiд невiд’ємних
функцiй
We investigate the best approximations eσ(f) of the integrals of functions of the spaces Lp(A, dµ)
by the integrals of rank σ. We find the exact values of the upper bounds of these approximations
in the case where the function f is a product of two functions, one of which is fixed and the
other one changes in some subset of Lp(A, dµ). We also obtain, in terms of approximations
eσ(·), the necessary and sufficient conditions for a function of the space Lp(A, dµ) to belong
to the space Ls(A, dµ), 0 < p, s < ∞.
Нехай (Rm, dµ), m > 1, — m-вимiрний евклiдiв простiр точок t = (t1, . . . , tm), надiлений
σ-адитивною, σ-скiнченною неперервною мiрою dµ, A — µ-вимiрна пiдмножина iз (Rm, dµ),
µ-мiра якої дорiвнює a, де a — скiнченне число, або ж a = ∞: mesµA = |A|µ = a, a ∈ (0,∞];
Y = Y (A, dµ) — множина всiх заданих на A функцiй y = y(t), вимiрних вiдносно мiри dµ.
При заданому p ∈ (0,∞) через Lp(A, dµ) позначимо пiдмножину функцiй з Y (A, dµ),
для яких є скiнченною величина
‖y‖Lp(A,dµ) =
(∫
A
|y(t)|p dµ
)1/p
. (1)
Вiдомо, що функцiонал ‖·‖Lp(A,dµ), який визначається спiввiдношенням (1), при p > 1 задає
норму, а при p ∈ (0, 1) — квазiнорму на Lp(A, dµ).
Нехай, далi, f ∈ L1(A, dµ), σ — деяке додатне число, i Γσ = Γσ(A) — множина всiх
µ-вимiрних пiдмножин γσ з A, µ-мiра яких дорiвнює σ.
У роботi розглядаються величини
eσ(f)
df
= inf
γσ∈Γσ
∣∣∣∣∣
∫
A
f(t) dµ −
∫
γσ
f(t) dµ
∣∣∣∣∣, (2)
якi називаються найкращими наближеннями iнтеграла функцiї f на множинi A за допомо-
гою iнтегралiв рангу σ, у випадку, коли функцiя f є добутком двох невiд’ємних функцiй,
одна з яких фiксована, а iнша варiюється на деякiй пiдмножинi функцiй iз Lp(A, dµ).
Отже, нехай Up(A) — одинична куля простору Lp(A, dµ):
Up(A) = {y ∈ Y (A, dµ) : ‖y‖Lp(A,dµ) 6 1},
U+
p (A) — пiдмножина всiх невiд’ємних функцiй з Up(A) i ϕ(x) — невiд’ємна iстотно обме-
жена на A функцiя, для якої у випадку, коли множина A необмежена, вимагається, щоб
lim
|x|→∞
ϕ(x) = 0. (3)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 25
Для заданого σ > 0 i будь-якої функцiї y ∈ U+
p (A) покладемо
Eσ(y) = Eσ(y, ϕ,A, dµ)
df
= inf
γσ∈Γσ
(∫
A
ϕ(x)y(x) dµ −
∫
γσ
ϕ(x)y(x) dµ
)
. (4)
Величини вигляду (2) та (4) введенi в роботi [1], де, зокрема, було знайдено значення
точних верхнiх меж величин Eσ(y) на класi U+
1 (A). Цi значення дає таке твердження.
Теорема А. Нехай ϕ(x) — невiд’ємна iстотно обмежена на A функцiя, для якої
у випадку, коли множина A необмежена, виконується умова (3). Тодi при будь-якому
σ < a справджується рiвнiсть
Eσ(ϕ, 1)
df
= sup
y∈U+
1
(A)
Eσ(y) = sup
σ<s6a
s− σ
s∫
0
dt
ϕ(t)
, (5)
де ϕ(t) — спадна перестановка функцiї ϕ(x). При цьому точна верхня межа в правiй
частинi (5) досягається при деякому скiнченному значеннi s = s∗.
Будемо розглядати величини Eσ(y) при y ∈ U+
p (A) для всiх p ∈ (0,∞) за умов, якi забез-
печують iснування iнтегралiв у правiй частинi спiввiдношення (4). У випадку, коли p > 1,
необхiдною i достатньою умовою iснування цих iнтегралiв, згiдно з нерiвнiстю Гельдера,
є умова на функцiю ϕ:
‖ϕ‖Lq(A,dµ) <∞,
1
p
+
1
q
= 1. (6)
Якщо ж p ∈ (0, 1), то жодними умовами на функцiю ϕ уже не можна досягнути збiжностi
iнтегралiв у (4). У зв’язку з цим покладаємо
Up(A) = Up(A, dµ) =
{
U+
p (A), p ∈ [1,∞),
U+
p (A)
⋂
L1(A, dµ), p ∈ (0, 1),
i
Eσ(ϕ, p) = sup
y∈Up(A)
Eσ(y), p ∈ (0,∞). (7)
Точнi значення величин Eσ(ϕ, p) дають такi твердження.
Теорема 1. Нехай p ∈ (0, 1] i ϕ(x) — довiльна невiд’ємна iстотно обмежена на A
функцiя, для якої у випадку, коли множина A необмежена, виконується умова (3). Тодi
при будь-якому σ ∈ (0, a) справджується рiвнiсть
Eσ(ϕ, p) = sup
σ<s6a
(s− σ)
( s∫
0
ϕ−p(t) dt
)−1/p
, (8)
де ϕ(t) — спадна перестановка функцiї ϕ(x). При цьому точна верхня межа в правiй
частинi (8) досягається при деякому скiнченному значеннi s = s∗. Точна верхня межа
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
в правiй частинi спiввiдношення (7) реалiзується функцiєю y∗ = y∗(t, ϕ, σ, p) з Up(A), яка
визначається рiвнiстю
y∗(t) =
(
ϕp(t)
∫
E
ϕ−p(x) dµ
)−1/p
, t ∈ E,
0, t ∈ A \ E,
де E — довiльна вимiрна пiдмножина множини {t ∈ A : ϕ(t) > ϕ(s∗ − 0)}, mesµE = s∗,
яка мiстить множину {t ∈ A : ϕ(t) > ϕ(s∗ − 0)}.
Теорема 2. Нехай p ∈ (1,∞) i ϕ(x) — довiльна невiд’ємна iстотно обмежена на A
функцiя, що задовольняє умову (6). Тодi при будь-якому σ ∈ (0, a) справджується рiвнiсть
Eσ = Eσ(ϕ, p) =
(
(s∗ − σ)q
( s∗∫
0
ϕ−p(t) dt
)−q/p
+
a∫
s∗
ϕq(t) dt
)1/q
,
де ϕ(t) — спадна перестановка функцiї ϕ(x), а s∗ — найбiльше на промiжку (σ, a] число,
для якого при всiх s ∈ (σ, s∗) виконується нерiвнiсть
s− σ 6 ϕp(s)
s∫
0
ϕ−p(t) dt.
Таке число s∗ завжди iснує. Точна верхня межа у спiввiдношеннi (7) реалiзується фун-
кцiєю y∗ = y∗(t, α, σ, p) з Up(A), у якої при s∗ = a
y∗(t) =
(
ϕp(t)
∫
A
ϕ−p(x) dµ
)−1/p
, t ∈ A.
а при s∗ < a
y∗(t) =
ϕ−1(t)(s∗ − σ)q/p
(∫
E
ϕ−p(x) dµ
)−q/p
E
−1/p
σ , t ∈ E,
ϕq/p(t)E−1/p
σ , t ∈ A \E,
де E — довiльна вимiрна пiдмножина множини {t ∈ A : ϕ(t) > ϕ(s∗ − 0)}, mesµE = s∗,
яка мiстить множину {t ∈ A : ϕ(t) > ϕ(s∗ − 0)}.
Зазначимо, що умови (3) та (6) гарантують у вiдповiдних випадках той факт, що для
функцiї ϕ(t) ї ї функцiя розподiлу Fϕ(y),
Fϕ(y)
df
= mesµEy, Ey = {t ∈ A : ϕ(t) > y}, y > 0,
набуває при будь-якому y > 0 тiльки скiнченнi значення з промiжку [0, a]. Тому згiдно
з означенням спадної перестановки функцiї (див., напр., [1, 2 (гл. X), 3 (гл. 6)]), величина
ϕ(t) є визначеною при будь-якому t > 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 27
Твердження, якi дають розв’язки аналогiчних задач для числових рядiв, встановлено
в роботах [4–9].
Про один критерiй збiжностi iнтегралiв. Iдея розгляду величин eσ(f) вигляду (2)
бере свiй початок вiд роботи С.Б. Стєчкiна [10], присвяченiй абсолютнiй збiжностi ортого-
нальних рядiв, в якiй знайденi необхiднi i достатнi умови такої збiжностi якраз в термiнах
величин, iнтегральними аналогами яких є величини eσ(f). Важливою частиною цiєї роботи
є такий результат для числових рядiв:
нехай послiдовнiсть c = {ck}∞k=1 така, що
∞∑
k=1
|ck|2 <∞. Тодi для того щоб збiгався ряд
∞∑
k=1
|ck|, необхiдно i достатньо, щоб збiгався ряд
∞∑
k=1
1√
n
en(c),
де en(c) = inf
γn
(
∞∑
k=1
c2k −
∑
k∈γn
c2k
)
, γn — довiльнi набори iз n рiзних натуральних чисел.
Поняття величин eσ(f) дає змогу узагальнити цей результат таким чином. Нехай f —
довiльна функцiя з простору Lp(A, dµ), p ∈ (0,∞), a s — деяке додатне вiдмiнне вiд p число.
Ставиться питання про необхiднi та достатнi умови того, щоб збiгався iнтеграл
∫
A
|f(t)|s dµ, (9)
тобто щоб дана функцiя належала простору Ls(A, dµ)?
У випадку, коли, наприклад, µ — мiра Лебега, mesµA < ∞, а 0 < s 6 p, справедливе
включення Lp(A, dµ) ⊂ Ls(A, dµ), i тому iнтеграл (9) збiгається для довiльної функцiї f ∈
∈ Lp(A, dµ). Однак якщо mesµA = ∞, то аналогiчне включення не є вiрним, i питання про
збiжнiсть iнтеграла залишалося вiдкритим.
Вiдповiдь на це питання дає таке твердження.
Теорема 3. Нехай f — довiльна функцiя з простору Lp(A, dµ), mesµA = ∞. Тодi:
1) якщо 0 < s < p <∞, то для того щоб збiгався iнтеграл (9), необхiдно i достатньо,
щоб збiгався iнтеграл
∞∫
0
(
eσ(|f |p)
σ
)s/p
dσ,
де eσ(|f |p)p — найкраще наближення iнтеграла функцiї |f |p на множинi A за допомогою
iнтегралiв рангу σ;
2) якщо ж 0 < p < s < ∞, то для збiжностi iнтеграла (9) необхiдно i достатньо,
щоб збiгався iнтеграл
∞∫
0
es/pσ
(
ϕp(x)
x
)
dσ,
де eσ(ϕ
p(x)/x)p — найкраще наближення iнтеграла функцiї ϕp(x)/x на промiжку (0,∞) за
допомогою iнтегралiв рангу σ, а ϕ(x) — спадна перестановка функцiї |f(x)| на множинi A.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Наближення функцiями експоненцiального типу. Розглянемо ще одне застосу-
вання отриманих результатiв. Нехай Lp(R
m) — простiр усiх вимiрних на R
m, m > 1, за
Лебегом функцiй f(x) = f(x1, . . . , xm) таких, що
‖f‖Lp(Rm) =
(∫
R
|f(x)|pdx
)1/p
<∞, p > 1.
Для кожної функцiї f ∈ L2(R
m) через f̂(t) позначимо перетворення Фур’є:
f̂(t) = F(f ; t) = (2π)−m/2
∫
Rm
f(x)e−itxdx.
Через Ω2 = Ω2(L2(R
m)) позначимо множину всiх вимiрних на R
m функцiй ω, для яких
добуток ω(t)f̂(t) знаходиться в просторi L2(R
m) для довiльної f ∈ L2(R
m). Зрозумiло, що
до множини Ω2 належать усi функцiї, iстотно обмеженi на R
m. Зокрема, до Ω2 належать
iстотно обмеженi функцiї λσ = λσ(t), носiями яких є обмеженi множини γσ такi, що mesγσ =
= σ, σ > 0 (γσ ∈ Γσ). Тому для таких функцiй λ та довiльної функцiї f ∈ L2(R
m) можна
розглядати функцiї Uγσ
(f ;λ), для яких
Ûγσ
(f ;λ; t) = F(Uγσ
(f ;λ)); t) =
{
λ(t)f̂(t), t ∈ γσ;
0, t ∈ γσ.
Саме функцiї Uγσ
(f ;λ) вибираються в ролi наближаючих агрегатiв для функцiй з просторiв
L2(R
m). Якщо при цьому λ(t) ≡ 1 на γσ, тобто якщо λ(t) збiгається iз характеристичною
функцiєю χγσ
(t) множини γσ, то покладають Uγσ
(f ;χγσ
) = Uγσ
(f).
Вiдомо (див., напр., [11, гл. I]), що на просторi L2(R
m) оператор F є унiтарним. Тому
‖f‖L2(Rm) =
( ∫
Rm
|f̂(t)|2dt
)1/2
= ‖f̂‖L2(Rm).
У цьому випадку функцiї Uγσ
(f ;λ) мають вигляд
Uγσ
(f ;λ;x) = (2π)−m/2
∫
Rm
λσ(t)f̂(t)eitxdt = (2π)−m/2
∫
Rm
λ̆σ(t)f̂(z)eitxdt, (10)
де
λ̆σ(v) = F−1(λσ;v) = (2π)−m/2
∫
Rm
λσ(t)e
ivtdt.
Обгрунтування рiвностi (10) випливає з вiдомої теорiї Планшереля. Також вiдомо, що в та-
кому разi функцiї Uγσ
(f ;λ;x) є цiлими функцiями експоненцiального типу (див., напр., [12,
гл. V]).
Об’єктами наближень у даному випадку є класи ψ-iнтегралiв усiх функцiй з L2(R
m), якi
належать одиничнiй кулi простору Lq(R
m). Поняття ψ-iнтеграла вводиться таким чином [1].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 29
Нехай ψ = ψ(t) — деяка функцiя з множини Ω2 i f ∈ L2(R
m). Тодi ψ-iнтегралом f назива-
ється функцiя fψ = J f з L2(R
m), для якої f̂ψ(t) = F(fψ; t) = ψ(t)f̂(t). Множину ψ-iнте-
гралiв усiх функцiй з L2(R
m), якi належать одиничнiй кулi Uq(R
m) = {ϕ : ‖ϕ‖Lq(Rm) 6 1}
простору Lq(R
m), q > 1, позначимо через ψUq,2.
Будемо розглядати такi характеристики, яким у перiодичному випадку вiдповiдають
величини, пов’язанi з найкращим σ-членним наближенням:
eσ(f)2 = inf
γσ∈Γσ
Eγσ
(f)2 = inf
γσ∈Γσ
inf
λ∈Ω2
‖f − Uγσ
(f ;λ;x)‖L2(Rm),
i
eσ(ψUq,2)2 = sup
f∈ψUq,2
eσ(f)2. (11)
У прийнятих позначеннях справедливе таке твердження.
Теорема 4. Нехай q ∈ [1, 2] i ψ(x) — довiльна невiд’ємна iстотно обмежена на R
m,
m > 1, функцiя, для якої lim
|t|→∞
|ψ(t)| = 0. Тодi при будь-якому σ > 0 справджується
рiвнiсть
eσ(ψUq,2)2 = sup
s>σ
(s− σ)
( s∫
0
ψ−q(t) dt
)−1/q
, (12)
де ψ(t) — спадна перестановка функцiї ψ(x). При цьому точна верхня межа в правiй
частинi (12) досягається при деякому скiнченному значеннi s = s∗. Точна верхня межа
в правiй частинi спiввiдношення (11) реалiзується функцiєю f∗ = f∗(t) з ψUq,2, для якої
f̂∗(t) =
(∫
E
ψ−q(x)dx
)−1/q
, t ∈ E,
0, t ∈ R
m \ E,
де E — довiльна вимiрна пiдмножина множини {t ∈ R
m : ψ(t) > ψ(s∗ − 0)}, mesE = s∗,
яка мiстить множину {t ∈ R
m : ψ(t) > ψ(s∗ − 0)}.
Зазначимо, що у випадку, коли q = 2, точнi значення величин eσ(ψUq,2)2 знайдено в [1].
1. Степанец А.И. Экстремальные задачи теории приближений в линейных пространствах // Укр. мат.
журн. – 2003. – 55, № 10. – С. 1378–1410.
2. Харди Г. Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1948. – 456 с.
3. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближений. – Москва: Наука, 1970. – 320 с.
4. Степанец А.И. Аппроксимационные характеристики пространств S
p
ϕ в разных метриках // Укр.
мат. журн. – 2001. – 53, № 8. – С. 1121–1146.
5. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч. Ч. 2 // Працi Iн-ту математики НАН України. –
Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – T. 40. – С. 333–368.
6. Степанець О. I., Шидлiч А.Л. Найкращi n-членнi наближення Λ-методами в просторах S
p
ϕ // Укр.
мат. журн. – 2003. – 55, № 8. – С. 1107–1126.
7. Шидлiч А.Л. Найкращi n-членнi наближення Λ-методами в просторах S
p
ϕ // Екстремальнi задачi
теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. – Київ: Iн-т математики
НАН України, 2003. – Т. 46. – С. 283–306.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
8. Рукасов В.И. Наилучшие n-членные приближения в пространствах с несимметричной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 806–816.
9. Степанець О. I., Шидлiч А.Л. Про одну екстремальну задачу для додатних рядiв // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 12. – С. 1677–1683.
10. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – С. 37–40.
11. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – Москва: Мир,
1974. – 333 с.
12. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – Москва: Наука, 1970. – 303 с.
Надiйшло до редакцiї 31.07.2006Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 512.9+539.3
© 2007
В.М. Чехов, А. В. Пан
Про граничнi вирази лiмiтант Кояловича
(Представлено академiком НАН України В. П. Шевченком)
A new theorem about limit expressions for the Koialovich’s limitants is formulated and proved.
These limit expressions allow us to estimate the solution of an infinite system without use of
the successive approximations. Estimations of the solution are made for the problem of bending
a thin rectangular clamped plate.
Метод лiмiтант було створено Б.М. Кояловичем [1] для оцiнок розв’язкiв регулярних не-
скiнченних систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Першим прикладом його застосування
була парна регулярна нескiнченна система, що стосувалася задачi про поперечний згин тон-
кої прямокутної пластинки iз затисненими краями. Огляди розвитку i застосувань методу
лiмiтант наведено в роботах [2, 3].
У даному повiдомленнi сформульовано i доведено теорему про граничнi вирази для лi-
мiтант, якi дозволяють уникнути застосування методу послiдовних наближень щодо оцiнок
розв’язкiв нескiнченної системи. Ефективнiсть граничних виразiв для лiмiтант оцiнено на
прикладi задачi про згин прямокутної пластинки iз затисненими краями.
Розглядається нескiнченна система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з невiд’ємними вiль-
ними членами (bk > 0) i невiд’ємними (akn > 0) коефiцiєнтами
xk =
∞∑
n=1
aknxn + bk, k = 1, 2, . . . , (1)
що задовольняють умову регулярностi
∞∑
n=1
akn < 1, k = 1, 2, . . . .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:41:20Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. 2008-09-01T14:27:37Z 2008-09-01T14:27:37Z 2007 Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій / О.І. Степанець, А.Л. Шидліч // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 25-31. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1653 517.5 We investigate the best approximations eσ(f) of the integrals of functions of the spaces Lp(A,dμ) by the integrals of rank σ. We find the exact values of the upper bounds of these approximations in the case where the function f is a product of two functions, one of which is fixed and the other one changes in some subset of Lp(A,dμ). We also obtain, in terms of approximations eσ(•), the necessary and sufficient conditions for a function of the space Lp(A,dμ) to belong to the space Ls(A,dμ), 0 < p, s < ∞. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій Article published earlier |
| spellingShingle | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій Степанець, О.І. Шидліч, А.Л. Математика |
| title | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| title_full | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| title_fullStr | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| title_full_unstemmed | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| title_short | Екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| title_sort | екстремальні задачі для інтегралів від невід'ємних функцій |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1653 |
| work_keys_str_mv | AT stepanecʹoí ekstremalʹnízadačídlâíntegralívvídnevídêmnihfunkcíi AT šidlíčal ekstremalʹnízadačídlâíntegralívvídnevídêmnihfunkcíi |