Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B
Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур'є - Якобі і збіжність рядов Фур'є - Якобі у просторах L1,A,B. Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the L1,A,B spaces are investigated....
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165305 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B / О.В. Моторная, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 259–268. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165305 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Моторная, О.В. Моторный, В.П. 2020-02-13T07:46:22Z 2020-02-13T07:46:22Z 2014 Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B / О.В. Моторная, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 259–268. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165305 517.5 Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур'є - Якобі і збіжність рядов Фур'є - Якобі у просторах L1,A,B. Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the L1,A,B spaces are investigated. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B Generalized Lebesgue constants and the convergence of Fourier–Jacobi series in the spaces l1,a,b Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B |
| spellingShingle |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B Моторная, О.В. Моторный, В.П. Статті |
| title_short |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B |
| title_full |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B |
| title_fullStr |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B |
| title_full_unstemmed |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B |
| title_sort |
обобщенные константы лебега и сходимость рядов фурье – якоби в пространствах l1,a,b |
| author |
Моторная, О.В. Моторный, В.П. |
| author_facet |
Моторная, О.В. Моторный, В.П. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Generalized Lebesgue constants and the convergence of Fourier–Jacobi series in the spaces l1,a,b |
| description |
Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур'є - Якобі і збіжність рядов Фур'є - Якобі у просторах L1,A,B.
Generalized Lebesgue constants for the Fourier–Jacobi sums and the convergence of Fourier–Jacobi series in the L1,A,B spaces are investigated.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165305 |
| citation_txt |
Обобщенные константы Лебега и сходимость рядов Фурье – Якоби в пространствах L1,A,B / О.В. Моторная, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 2. — С. 259–268. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT motornaâov obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornyivp obobŝennyekonstantylebegaishodimostʹrâdovfurʹeâkobivprostranstvahl1ab AT motornaâov generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab AT motornyivp generalizedlebesgueconstantsandtheconvergenceoffourierjacobiseriesinthespacesl1ab |
| first_indexed |
2025-11-26T11:55:06Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:55:06Z |
| _version_ |
1850620473311756288 |
| fulltext |
© О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ, 2014
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2 259
УДК 517.5
О. В. Моторная (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
В. П. Моторный (Днепропетр. нац. ун-т)
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ
РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ В ПРОСТРАНСТВАХ L1,A,B
Generalized Lebesgue constants for the Fourier – Jacobi sums and the convergence of Fourier – Jacobi series in the
L1,A,B spaces are investigated.
Досліджуються узагальнені константи Лебега для сум Фур’є – Якобі і збіжність рядов Фур’є – Якобі у просторах
L1,A,B .
Приведем определения и результаты, необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть Pn(!,")(x) — многочлены Якоби, ортогональные на сегменте [!1;1] с весом
p(x) = (1! x)" (1+ x)# , ! > "1 , ! > "1 , и нормированные условием Pn(!,")(1) =
n + !
n
#
$
%%
&
'
((
;
Lp, A, B — пространство измеримых на сегменте [!1;1] функций, интегрируемых с весом
w(x) = (1! x)A (1+ x)B , A , B > !1 ; f p,A,B = fw1/ p
p
= f (x) p w(x)dx
!1
1
"{ }1/ p — норма
функции f (x) в пространстве Lp, A, B .
Частную сумму порядка n ряда Фурье – Якоби функции f !Lp,",# будем обозначать
через Sn(!,")( f ) . Частные суммы Sn(!,")( f ) можно рассматривать как оператор, действую-
щий в некотором подпространстве X пространства Lp,A,B . Норма этого оператора
Sn(!,") X
= sup f X #1 Sn(!,")( f ) X
называется константой Лебега. В работе [1] найдены
необходимые и достаточные условия для того, чтобы нормы Sn(!,") p,A,B
были ограничены,
если p > 1 .
Для многочленов Pn(!,")(x) имеют место [2] равенство
Pn(!,")(x) = (#1)n Pn(",!)(#x) (1)
и оценка
Pn(!,")(x) # Cn$1/2(1$ x + n$2 )$! /2$1/4 , 0 ! x ! 1 . (2)
260 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
Частную сумму Sn(!,")( f ) ряда Фурье – Якоби запишем в виде
Sn(!,")( f ; x) = Kn
(!,")(x, y) f (y)(1# y)! (1+ y)"
#1
1
$ dy ,
где ядро Kn
(!,")(x, y) можно представить в виде
Kn
(!,")(x, y) = hkPk
(!,")(x)
k=0
n
# Pk
(!,")(y) = (3)
= !n
Pn+1
(",#)(x)Pn(",#)(y) $ Pn(",#)(x)Pn+1
(",#)(y)
x $ y
= (4)
=
!n(",#)(Pn+1
(",#)(x)Pn("+1,#)(y)(1$ y) $ Pn+1
(",#)(y)Pn("+1,#)(x)(1$ x))
x $ y
. (5)
Здесь hk = 2!"!# k +O(1) , !n = 2"#"$"1n +O(1) , !n(",#) = O(n) .
Функцией Лебега называется функция Ln(!,")(x) = sup f # $1 Sn
(!,")( f ; x) :
Ln(!,")(x) = Kn
(!,")(x, y) (1# y)! (1+ y)"
#1
1
$ dy .
Асимптотически точные оценки функций Лебега получены в [3, 4].
Пусть !(n, ", #, x) = ( 1$ x + 1 / n)"( 1+ x + 1 / n)# , ! " 0 , ! " 0 . Величины
Dn, p,!,"
#,$,A,B = sup
f /%(n,!,") p,A,B &1
Sn#,$ ( f ) p,A,B
называются обобщенными константами Лебега сумм Фурье – Якоби. Они совпадают с клас-
сическими константами Лебега, если ! = " = 0 . Впервые, в случае p > 1 , обобщенные
константы Лебега для сумм Фурье – Лежандра рассматривались в работах [5, 6], а для сумм
Фурье – Якоби константы Dn, p,!,"
#,$,A,B исследовались в [7 – 11]. Уклонения частных сумм
Фурье – Якоби на некоторых классах функций можно оценивать по следующей схеме. По-
скольку Sn(!,")(Pn; x) = Pn (x) для любого многочлена Pn (x) степени не выше n , то
f ! Sn(",#)( f ) p,A,B
$ f ! Pn (x) p,A,B + Sn(",#)( f ! Pn ) p,A,B
≤
≤ f (x) ! Pn (x) p,A,B + Dn, p,",#
$,%,A,B f ! Pn
&(n, ", #) p,A,B
. (6)
Таким образом, задача сводится к тому, что необходимо выбрать многочлен Pn (x) ,
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 261
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
минимизирующий правую часть. В настоящей работе получена оценка обобщенных констант
Dn, p,!,"
#,$,A,B для p = 1 .
Теорема 1. Имеет место равенство
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
%1&x&1
'(n, !, ", x)p(x)
w(x)
Kn
(#,$)(x, y)
%1
1
( w(y) dy ,
где ! " A , ! " B .
Доказательство. Имеем
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
f /%(n,!,") 1,A,B &1
Sn#,$ ( f ) 1,A,B =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
Sn%,& ( f )w 1
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g ' $1
Sn%,& ( f , y)w(y)g(y)dy
(1
1
) =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g % $1
f (x)Kn
(&,')(x, y) p(x) dx w(y) g(y) dy
(1
1
)
(1
1
) =
= sup
fw /!(n,",#) 1$1
sup
g % $1
g(y)w(y)
p(y)
Kn
(&,')(x, y) p(y) dy p(x) f (x) dx
(1
1
)
(1
1
) .
Обозначая частное g(y)w(y)
p(y)
через G(y) , получаем
Dn,1,!,"
#,$,A,B = sup
fw /%(n,!,") 1&1
sup
g ' &1
Sn#,$ (G, x) f (x)p(x)dx
(1
1
) =
= sup
Gp /w ! "1
sup
fw /#(n,$,%) 1"1
Sn&,' (G, x)
f (x)w(x)
#(n, $, %, x)
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
dx
(1
1
) =
= sup
Gp /w ! "1
sup
#1"x"1
Sn$,% (G, x)
&(n, ', (, x)p(x)
w(x)
=
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
Sn',( (G, x) =
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
G(y)Kn
(',()
!1
1
) (x, y)p(y)dy =
262 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
sup
Gp /w & "1
G(y)p(y)
w(y)
Kn
(',()
!1
1
) (x, y)w(y)dy =
= sup
!1"x"1
#(n, $, %, x)p(x)
w(x)
Kn
(&,')(x, y)
!1
1
( w(y)dy .
Теорема доказана.
Пусть µ = !" + 2A + 1 / 2 # 0 , ! = "# + 2B + 1 / 2 $ 0 .
Теорема 2. Если ! " µ , ! " # , то
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
Kn
($,%)(x, y)
&1
1
' w(y)dy ( C",# ln n .∗
Доказательство. Благодаря равенству (1) достаточно рассмотреть случай x !(0,1) .
Интеграл Kn
(!,")(x, y) w(y) dy
#1
1
$ представим в виде суммы четырех интегралов:
!1
!1/2
" + + +
x+1/n2
1
"
x!1/n2
x+1/n2
"
!1/2
x!1/n2
"
#
$
%
%
&
'
(
(
Kn
(),*)(x, y) w(y) dy = J1 + J2 + J3 + J4 .
Оценим каждый из них. В силу представления (4), неравенства (x ! y)!1 < 2 и оценки (2) для
x !(0,1) и y !("1, "1 / 2) получаем
Kn
(!,")(x, y) # C(1$ x + 1 / n2 )$! /2$1/4 (1+ y + 1 / n2 )$" /2$1/4 .
Следовательно,
J1 < C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 (1+ y + 1 / n2 )!# /2!1/4 (1+ y)Bdy
!1
!1/2
$ .
Поскольку !" / 2 ! 1 / 4 + B = v / 2 ! 1 / 2 # !1 / 2 , интеграл справа существует и
ограничен. В то же время
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
$ C(1% x + 1 / n2 )&%A(1% x + 1 / n2 )"/2 .
Поэтому
∗ Через C!," , Cr ,! , Cr обозначены величины, зависящие от указанных параметров, а через C , L — абсо-
лютные константы. Эти величины различны в разных формулах.
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 263
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J1 $ C(1% x + 1 / n2 )&%A+"/2 (1% x + 1 / n2 )%& /2%1/4 .
Так как показатель степени положителен
! " A + # / 2 " ! / 2 " 1 / 4 $ ! / 2 " A " ! / 2 + 1 / 4 + A " 1 / 4 = 0 ,
то
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J1 $ C . (7)
Представляя Kn
(!,")(x, y) в виде (5) и используя оценку (2), имеем
J2 ! C(1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 1
x " y
(1" y)"# /2"3/4
"1/2
x"1/n2
$ (1" y)1+Ady +
+ C(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
x ! y
(1! y)!" /2!1/4
!1/2
x!1/n2
# (1! y)Ady ≤
≤ C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 1
x ! y
(1! y)!" /2+1/4+A
!1/2
x!1/n2
# dy +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4 1
x ! y
(1! y)!" /2!1/4+A
!1/2
x!1/n2
# dy .
В силу условия !" / 2 + 1 / 4 + A # 0 интеграл в первом слагаемом не превышает 2 ln n ,
а во втором — 2 ln n , если !" / 2 ! 1 / 4 + A # 0 , и 2 (1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4+A ln n , если
!" / 2 ! 1 / 4 + A < 0 , так как 1! y " 1! x +1 / n2 . Поэтому
J2 ! C(1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 ln n +
+
C
(1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4 ln n, esly ! " / 2 ! 1 / 4 + A # 0,
(1! x + 1 / n2 )!"+A ln n, esly ! " / 2 ! 1 / 4 + A < 0.
$
%
&
'&
Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J2 $ C(1% x + 1 / n2 )&%A+"/2 J2 <
< C(1! x + 1 / n2 )" /2!A!1/4+#/2 ln n +
264 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
+
(1! x + 1 / n2 )" /2!A+1/4+#/2 ln n, esly ! " ! 1 / 4 + A $ 0,
(1! x + 1 / n2 )#/2 ln n, esly ! " ! 1 / 4 + A < 0.
%
&
'
('
В силу условий, которым удовлетворяет ! , ! / 2 " A " 1 / 4 + # / 2 $ 0 . Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J2 $ C ln n . (8)
Прежде чем перейти к оценке оставшихся интегралов, заметим, что если 1 ! x ! 1" 2 / n2 ,
то
J3 + J4 ! Kn
(",#)(x, y) w(y)dy
1$3/n2
1
% = J0 .
Оценим интеграл J0 . Для этого воспользуемся представлением (3) для ядра Kn
(!,")(x, y)
и неравенством (2):
Kn
(!,")(x, y) # Cn!+3/2(1$ y + 1 / n2 )$! /2$1/4 ,
J0 ! Cn"+3/2 (1# y + 1 / n2 )#" /2#1/4 (1# y)A
1#3/n2
1
$ dy ≤
≤ Cn!+3/2 1
n2
"
#$
%
&'
(! /2+3/4+A
= Cn2!(2A .
Поскольку для 1 > x > 1! 2 / n2 функция p(x)
w(x)
! Cn2A"2# , то и в этом случае
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J0 $ C!(n, ", #, x) $ C . (9)
Оценим J3 при 0 ! x ! 1" 2 / n2 . Воспользуемся представлением (3) для ядра
Kn
(!,")(x, y) и неравенством (2):
Kn
(!,")(x, y) # Cn(1$ x)$! /2$1/4 (1$ y + 1 / n2 )$! /2$1/4 ,
J3 ! Cn(1" x)"# /2"1/4 (1" y + 1 / n2 )"# /2"1/4 (1" y)A
x"1/n2
x+1/n2
$ dy . (10)
Из условия 0 ! x ! 1" 2 / n2 и неравенств x ! 1 / n2 " y " x + 1 / n2 следуют оценки
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 265
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
(1! y)A "
(1! x + 1 / n2 )A " 2A (1! x)A , esly A # 0,
(1! x ! 1 / n2 )A " 2!A (1! x)A , esly A < 0,
$
%
&
'&
(11)
(1! y + 1 / n2 )!" /2 #
2
!" /2
(1! x)!" /2 , esly " # 0,
(1! x)!" /2 , esly " > 0.
$
%
&
'&
(12)
Аналогично, так как 1! x " 1! y ! 1 / n2 , то
(1! x)!1/4 " (1! y ! 1 / n2 )!1/4 . (13)
Из неравенств (10) – (13) получаем
J3 ! Cn(1" x)"#+A (1" y " 1 / n2 )"1/2
x"1/n2
x+1/n2
$ dy ! C(1" x)"#+A .
Следовательно,
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J3 $ C!(n, ", #, x) $ C . (14)
Оценим J4 для 0 ! x ! 1" 2 / n2 . Для этого снова воспользуемся представлением (5) для
ядра Kn
(!,")(x, y) и неравенством (2):
J4 ! (1" x + 1 / n2 )"# /2"1/4 1
y " x
(1" y)"# /2"3/4
x+1/n2
1
$ (1" y)1+Ady +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
y ! x
(1! y)!" /2!1/4
x+1/n2
1
# (1! y)Ady ≤
≤ (1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 1
y ! x
(1! y)!" /2+1/4+A
x+1/n2
1
# dy +
+ (1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x) 1
y ! x
(1! y)!" /2!1/4+A
x+1/n2
1
# dy . (15)
Поскольку ! " / 2 + A + 1 / 4 # 0 , то интеграл в первом слагаемом не превышает C ln n .
Тогда произведение первого слагаемого на !(n, ", #, x)p(x)
w(x)
меньше
266 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
C(1! x + 1 / n2 )!" /2!1/4 (1! x)"!A(1! x + 1 / n2 )!" /2+1/4+A ln n # C ln n . (16)
Интеграл во втором слагаемом представим в виде
I =
(1! y)!" /2!1/4+A
y ! x
x+1/n2
1
# dy = +
(1+x)/2
1
#
x+1/n2
(1+x)/2
#
$
%
&&
'
(
))
(1! y)!" /2!1/4+A
y ! x
dy = I1 + I2 .
Если ! " / 2 ! 1 / 4 + A # 0 , то в силу неравенства 1! y < 1! x интеграл I1 не превышает
I1 ! (1" x)"# /2"1/4+A dy
y " x
x+1/n2
(1+x)/2
$ ! C(1" x)"# /2"1/4+A ln n . (17)
В случае ! " / 2 ! 1 / 4 + A < 0 , используя неравенство 1! y > (1! x) / 2 , получаем
аналогичную оценку для I1 . Інтеграл I2 оценим, воспользовавшись неравенством
y ! x > (1! x) / 2 :
I2 ! 2(1" x)"1 (1" y)"# /2"1/4+Ady
(1+x)/2
1
$ ! C(1" x)"# /2"1/4+A . (18)
Из (17), (18) получаем
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4 (1! x)I ≤
≤ C(1! x)"!A(1! x + 1 / n2 )!" /2!3/4+#/2 (1! x)!" /2+3/4+A ln n $ C ln n . (19)
Соотношения (15), (16), (18) влекут оценку
!(n, ", #, x)p(x)
w(x)
J4 $ C ln n . (20)
Из неравенств (7), (8), (14), (20) следует утверждение теоремы 2.
Пусть H1
r+! — класс функций, заданных на отрезке [!1, 1] , r -я производная которых
интегрируема и удовлетворяет условию
f (r)(x + h) ! f (r)(x) dx " Lh#
!1
1!h
$ , 1 ! h > 0 , 0 < ! " 1 , L > 0 .
Теорема 3 [12]. Для любой функции f !H1
r+" существует последовательность
алгебраических многочленов Pn (x) степени не выше n ! 2 таких, что
ОБОБЩЕННЫЕ КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА И СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ – ЯКОБИ … 267
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
f (x) ! Pn (x)
1! x2 + 1 / n( )r+"
1
#
Cr ln n
nr+"
. (21)
Eсли при этом под знаком нормы заменить r + ! на меньшее число, то в правой части
неравенства (21) ln n можно опустить.
Теорема 4 [13]. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда многочлены Pn (x)
можно выбрать так, что в знаменателе дроби, содержащейся в левой части неравенства
(21), слагаемое 1 / n можно опустить.
Теорема 5. Пусть ! = " , A = B , ! = " # $% + 2A + 1 / 2 и f !H1
r+" , где r + ! " #2A
при A < 0 . Тогда имеют место неравенства
f ! Sn(",") 1,A,A #
Cr,$
ln n
nr+$
, r + $ > % ! 2A,
Cr
ln2 n
nr+$
, r + $ = % ! 2A,
Cr,$ ln2 n
n2(r+$ )!%+2A
, % / 2 ! A < r + $ < % ! 2A.
&
'
(
(
(
(
)
(
(
(
(
Доказательство. Оценим f ! Sn(",") 1,A,A , использовав теоремы 3, 4.
Пусть Pn (x) — последовательность алгебраических многочленов, для которых имеет
место неравенство (20). Тогда, используя (6), получаем
f ! Sn(",") 1,A,A # f ! Pn 1,A,A + Dn,1,$,$
",",A,A f ! Pn
%(n,$,$) 1,A,A
. (22)
Если A ! 0 , то в силу (21)
f ! Pn 1,A,A " f ! Pn 1 "
Cr
nr+#
.
Благодаря условию r + ! " #2A при A < 0 и теореме 4 имеем
f ! Pn 1,A,A "
f ! Pn
(1! x2 )A 1
"
Cr,# / nr+# , r + # > !2A,
Cr ln n / nr+# , r + # = !2A.
$
%
&
'&
(23)
Оценим сначала второе слагаемое в (22) для A ! 0 . В силу теорем 1 – 3
268 О. В. МОТОРНАЯ, В. П. МОТОРНЫЙ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2014, т. 66, № 2
Dn,1,!,!
",",A,A f # Pn
$(n,!,!) 1,A,A
% C!,! ln n
( f (x) # Pn (x)) (1# x2 )A
1# x2 +1 / n( )!
1
≤
≤ C!,! ln n
f (x) " Pn (x)
1" x2 + 1 / n( )!"2A
1
#
Cr,$
ln n
nr+$
, r + $ > ! " 2A,
Cr
ln2 n
nr+$
, r + $ = ! " 2A,
Cr,$ ln2 n
n2(r+$ )"!+2A
, ! / 2 " A < r + $ < ! " 2A.
%
&
'
'
'
'
(
'
'
'
'
(24)
Случай A < 0 аналогичен, только вместо теоремы 3 необходимо применить теорему 4. Из
неравенств (22) – (24) следует теорема 5.
1. Muckehoupt B. Mean convergence of Jacobi series // Proc. Amer. Math. Soc. – 1969. – 23, № 2. – Р. 306 –310.
2. Сеге Г. Ортогональные ряды. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 500 с.
3. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функции Лебега сумм Фурье – Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат. –
1968. – 1, № 1. – С. 11 – 23.
4. Бадков В. М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье – Якоби // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 6. –
С. 1264 – 1283.
5. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Докл. АН СССР. – 1972. –
204, № 4. – С. 788 –790.
6. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1973. – 37, № 1. – С. 135 – 147.
7. Гончаров С. В., Моторный В. П. Оценки обобщенных констант Лебега частных сумм Фурье – Якоби // Вісн.
Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2007. – Вип. 12. – С. 70 – 83.
8. Гончаров С. В., Моторный В. П. О сходимости рядов Фурье – Якоби в среднем // Вісн. Дніпропетр. нац. ун-ту.
Математика. – 2008. – Вип. 13. – С. 49 – 55.
9. Моторная О. В., Моторный В. П. Свойства обобщенных констант Лебега частных сумм Фурье – Якоби //
Вiсн. Дніпропетр. нац. ун-ту. Математика. – 2009. – Вип. 14. – С. 91 – 98.
10. Моторный В. П., Гончаров С. В., Нитиема П. К. О сходимости в среднем рядов Фурье – Якоби // Доп. НАН
України. − 2010. – № 3. – С. 35 – 40.
11. Моторный В. П., Гончаров С. В., Нитиема П. К. О сходимости в среднем рядов Фурье – Якоби // Укр. мат.
журн. − 2010. − 62, № 6. − С. 814 – 828.
12. Моторный В. П. Приближение функций алгебраическими многочленами в метрике Lp // Изв. АН СССР.
Сер. мат. – 1971. – 35, № 4. – С. 874 – 899.
13. Ходак Л. Б. Сходимость рядов Фурье по многочленам Якоби в среднем // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1982. –
№ 8. – С. 28 – 31.
Получено 03.06.13
|