Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation
We show that Li’s criterion equivalent to the Riemann hypothesis, i.e., the statement that the sums kn=Σρ(1−(1−1ρ)n) over zeros of the Riemann xi-function and the derivatives are nonnegative if and only if the Riemann hypothesis is true, can be generalized and the nonnegativity of certain derivative...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Англійська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165313 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation / S.K. Sekatski // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 371–383. — Бібліогр.: 13 назв. — англ. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1862741918336679936 |
|---|---|
| author | Sekatski, S.K. |
| author_facet | Sekatski, S.K. |
| citation_txt | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation / S.K. Sekatski // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 371–383. — Бібліогр.: 13 назв. — англ. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | We show that Li’s criterion equivalent to the Riemann hypothesis, i.e., the statement that the sums kn=Σρ(1−(1−1ρ)n) over zeros of the Riemann xi-function and the derivatives are nonnegative if and only if the Riemann hypothesis is true, can be generalized and the nonnegativity of certain derivatives of the Riemann xi-function estimated at an arbitrary real point a, except a = 1/2, can be used as a criterion equivalent to the Riemann hypothesis. Namely, we demonstrate that the sums kn,a=Σρ(1−(ρ−aρ+a−1)n) for any real a such that a < 1/2 are nonnegative if and only if the Riemann hypothesis is true (correspondingly, the same derivatives with a > 1/2 should be nonpositive). The arithmetic interpretation of the generalized Li’s criterion is given. Similarly to Li’s criterion, the theorem of Bombieri and Lagarias applied to certain multisets of complex numbers is also generalized along the same lines.
Показано, що критерій Лі є еквівалентним гіпотезі Рімана, тобто твердження, що суми kn=Σρ(1−(1−1ρ)n) нулях ріманової хі-функції та похідні, є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана, може бути узагальнене, а невід'ємність деяких похідних ріманової хі-функції, що оцінюються у довільній точці a, крім a=1/2, може бути застосована, як критерій, еквівалентний гіпотезі Рімана. А саме, показано, що суми kn,a=Σρ(1−(ρ−aρ+a−1)n) для будь-яких дійсних a та будь-яких a<1/2 є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана (відповідно такі ж похідні з a>1/2 повинні бути недодатніми). Наведено арифметичну інтерпретацію узагальненого критерію Лі. Подібно до критерію Лі теорема Бомбієрі та Лагаріаса, у застосуванні до деяких мультимножин комплексних чисел, також може бути узагальнена аналогічним чином.
|
| first_indexed | 2025-12-07T20:22:22Z |
| format | Article |
| fulltext | |
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165313 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | English |
| last_indexed | 2025-12-07T20:22:22Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Sekatski, S.K. 2020-02-13T08:05:47Z 2020-02-13T08:05:47Z 2014 Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation / S.K. Sekatski // Український математичний журнал. — 2014. — Т. 66, № 3. — С. 371–383. — Бібліогр.: 13 назв. — англ. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165313 512.5 We show that Li’s criterion equivalent to the Riemann hypothesis, i.e., the statement that the sums kn=Σρ(1−(1−1ρ)n) over zeros of the Riemann xi-function and the derivatives are nonnegative if and only if the Riemann hypothesis is true, can be generalized and the nonnegativity of certain derivatives of the Riemann xi-function estimated at an arbitrary real point a, except a = 1/2, can be used as a criterion equivalent to the Riemann hypothesis. Namely, we demonstrate that the sums kn,a=Σρ(1−(ρ−aρ+a−1)n) for any real a such that a < 1/2 are nonnegative if and only if the Riemann hypothesis is true (correspondingly, the same derivatives with a > 1/2 should be nonpositive). The arithmetic interpretation of the generalized Li’s criterion is given. Similarly to Li’s criterion, the theorem of Bombieri and Lagarias applied to certain multisets of complex numbers is also generalized along the same lines. Показано, що критерій Лі є еквівалентним гіпотезі Рімана, тобто твердження, що суми kn=Σρ(1−(1−1ρ)n) нулях ріманової хі-функції та похідні, є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана, може бути узагальнене, а невід'ємність деяких похідних ріманової хі-функції, що оцінюються у довільній точці a, крім a=1/2, може бути застосована, як критерій, еквівалентний гіпотезі Рімана. А саме, показано, що суми kn,a=Σρ(1−(ρ−aρ+a−1)n) для будь-яких дійсних a та будь-яких a<1/2 є невід'ємними тоді і тільки тоді, коли справедлива гіпотеза Рімана (відповідно такі ж похідні з a>1/2 повинні бути недодатніми). Наведено арифметичну інтерпретацію узагальненого критерію Лі. Подібно до критерію Лі теорема Бомбієрі та Лагаріаса, у застосуванні до деяких мультимножин комплексних чисел, також може бути узагальнена аналогічним чином. en Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation Узагальнена теорема Бомбієрі - Лагаріаса та узагальнений критерій Лі зі своєю арифметичною інтерпретацією Article published earlier |
| spellingShingle | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation Sekatski, S.K. Статті |
| title | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| title_alt | Узагальнена теорема Бомбієрі - Лагаріаса та узагальнений критерій Лі зі своєю арифметичною інтерпретацією |
| title_full | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| title_fullStr | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| title_full_unstemmed | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| title_short | Generalized Bombieri–Lagarias’ theorem and generalized Li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| title_sort | generalized bombieri–lagarias’ theorem and generalized li’s criterion with its arithmetic interpretation |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165313 |
| work_keys_str_mv | AT sekatskisk generalizedbombierilagariastheoremandgeneralizedliscriterionwithitsarithmeticinterpretation AT sekatskisk uzagalʹnenateoremabombíêrílagaríasatauzagalʹneniikriteríilízísvoêûarifmetičnoûínterpretacíêû |