Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Український математичний журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165322 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій / А.П. Мусієнко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 642–653. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165322 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1653222025-02-05T20:28:36Z Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій Lebesgue-type inequalities for the de la Vallée-poussin sums on sets of entire functions Мусієнко, А.П. Сердюк, А.С. Статті 2013 Article Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій / А.П. Мусієнко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 642–653. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165322 517.51 uk Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Мусієнко, А.П. Сердюк, А.С. Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій Український математичний журнал |
| format |
Article |
| author |
Мусієнко, А.П. Сердюк, А.С. |
| author_facet |
Мусієнко, А.П. Сердюк, А.С. |
| author_sort |
Мусієнко, А.П. |
| title |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій |
| title_short |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій |
| title_full |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій |
| title_fullStr |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій |
| title_full_unstemmed |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій |
| title_sort |
нерівності типу лебега для сум валле пуссена на множинах цілих функцій |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165322 |
| citation_txt |
Нерівності типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах цілих функцій / А.П. Мусієнко, А.С. Сердюк // Український математичний журнал. — 2013. — Т. 65, № 5. — С. 642–653. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Український математичний журнал |
| work_keys_str_mv |
AT musíênkoap nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahcílihfunkcíj AT serdûkas nerívnostítipulebegadlâsumvallepussenanamnožinahcílihfunkcíj AT musíênkoap lebesguetypeinequalitiesforthedelavalleepoussinsumsonsetsofentirefunctions AT serdûkas lebesguetypeinequalitiesforthedelavalleepoussinsumsonsetsofentirefunctions |
| first_indexed |
2025-11-25T07:26:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T07:26:33Z |
| _version_ |
1849746361881198592 |
| fulltext |
УДК 517.51
А. П. Мусiєнко, А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА
НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ
For functions from a sets Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, where ψ(k) > 0 and limk→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= 0, we obtain asymptotically
unimprovable estimates for the norms of deviations (in the uniform metric) of de la Vallée Poussin sums, which are
represented in terms of the best approximations of (ψ, β)-derivatives of functions of this sort by trigonometric polynomials
in the metrics of the spaces Ls. We show that the estimates obtained are unimprovable on some important functional
subsets.
Для функций из множеств Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, где ψ(k) > 0 и limk→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= 0, получены асимптоти-
чески неулучшаемые оценки норм уклонений в равномерной метрике сумм Валле Пуссена, которые выражаются
через значения наилучших приближений (ψ, β)-производных таких функций тригонометрическими многочленами
в метриках пространств Ls. Показана неулучшаемость полученных оценок на некоторых важных функциональных
подмножествах.
Дана стаття є продовженням роботи [1], в якiй для функцiй iз множин Cψβ C та Cψβ Ls, 1 ≤
≤ s ≤ ∞, одержано асимптотично непокращуванi оцiнки вiдхилень у рiвномiрнiй метрицi сум
Валле Пуссена, якi виражаються через значення найкращих наближень (ψ, β)-похiдних таких
функцiй тригонометричними полiномами в метриках просторiв Ls, де послiдовностi ψ(k) > 0
задовольняють умову Даламбера limk→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q, q ∈ (0, 1). Метою даної роботи є
отримання аналогiв нерiвностi Лебега у випадку, коли послiдовностi ψ(k) > 0 такi, що
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= 0. (1)
При цьому будемо використовувати запис ψ ∈ D0.
Через C i Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, позначимо простори 2π-перiодичних функцiй зi стандартними
нормами ‖ · ‖C i ‖ · ‖s.
Нехай, далi, LψβN — клас 2π-перiодичних сумовних функцiй f(f ∈ L1), якi майже для всiх
x ∈ R можуть бути поданi у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ(t)dt, ϕ ∈ N ⊂ L1, ϕ ⊥ 1, (2)
з сумовним ядром Ψβ(t), ряд Фур’є якого має вигляд
Ψβ(t) ∼
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R, k ∈ N.
Наслiдуючи О. I. Степанця [2], функцiю ϕ в рiвностi (2) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f
i позначають через fψβ . Також покладемо Cψβ = Lψβ
⋂
C, CψβN = LψβN
⋂
C. Зрозумiло, що для
функцiй f ∈ CψβN рiвнiсть (2) справджується для всiх x ∈ R. Далi роль N вiдiграватимуть
простори C чи Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, або ж деякi їх пiдмножини.
c© А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК, 2013
642 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 643
Якщо ψ ∈ D0, то множини CψβN складаються з функцiй, регулярних в усiй комплекснiй
площинi, тобто з цiлих функцiй (див., наприклад, [2, c. 139 – 145]).
У випадку, коли послiдовнiсть ψ(k) має вигляд
ψ(k) = e−αk
r
, α > 0, r > 0, k ∈ N, (3)
множини LψβN i CψβN будемо позначати через Lα,rβ N i Cα,rβ N вiдповiдно. Множини Cα,rβ N
складаються з узагальнених iнтегралiв Пуассона (див., наприклад, [3, c. 926]), тобто з функцiй
вигляду
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Pα,r,β(t) dt, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, a0 ∈ R, (4)
де Pα,r,β(t) =
∑∞
k=1
e−αk
r
cos
(
kt− βπ
2
)
— узагальненi ядра Пуассона з параметрами α > 0,
r > 0, β ∈ R. Якщо функцiї f i ϕ пов’язанi рiвнiстю (4), то функцiю ϕ в цiй рiвностi будемо
позначати через fα,rβ .
При r = 1 ядра Pα,r,β(t) є звичайними ядрами Пуассона, тобто функцiями вигляду
Pα,1,β(t) =
∑∞
k=1
e−αk cos
(
kt− βπ
2
)
. Неважко переконатись, що послiдовнiсть ψ(k) вигля-
ду (3) задовольняє умову D0 при r > 1.
Одиничну кулю в Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, позначимо через Us i покладемо Cψβ,s = Cψβ Us, L
ψ
β,s =
= LψβUs.
Нехай Em(f)Ls — найкраще наближення функцiї f ∈ L1 у метрицi простору Ls, 1 ≤ s ≤ ∞,
тригонометричними полiномами tm−1 порядку m− 1, тобто Em(f)Ls = inftm−1
∥∥f − tm−1∥∥Ls .
Тригонометричнi полiноми вигляду
Vn,p(f) = Vn,p(f ;x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f ;x),
де Sk(f) = Sk(f ;x) — частиннi суми Фур’є порядку k функцiї f, а p = p(n), p ≤ n, — певний
натуральний параметр, називають сумами Валле Пуссена функцiї f. При p = 1 полiноми
Vn,p(f) є звичайними частинними сумами Фур’є Sn−1(f) порядку n−1, якщо ж p = n, то суми
Vn,p(f) перетворюються у вiдомi суми Фейєра σn−1(f) порядку n−1 : σn−1(f) = σn−1(f ;x) =
=
1
n
∑n−1
k=0
Sk(f ;x).
Апроксимацiйнi властивостi сум Vn,p(f ;x) на класах (ψ, β)-диференцiйовних функцiй до-
слiджувались у роботах [1, 4 – 11]. Також з результатами у даному напрямку можна ознайоми-
тись у монографiях [2, 12, 13].
У данiй роботi для функцiй f з множин Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞, ψ ∈ D0 i β ∈ R встановлено
асимптотично непокращуванi нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена, тобто нерiвностi,
в яких норми вiдхилень
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
, де ρn,p(f ;x) = f(x) − Vn,p(f ;x), визначаються через
найкращi наближення (ψ, β)-похiдних таких функцiй у метриках просторiв Ls, 1 ≤ s ≤ ∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
644 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
Теорема 1. Нехай ψ ∈ D0, β ∈ R. Тодi для довiльної f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s <∞, n, p ∈ N,
p ≤ n, виконується нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
‖ cos t‖s′
πp
ψ(n− p+ 1) +O(1)
∞∑
k=n−p+2
ψ(k)τn,p(k)
En−p+1
(
fψβ
)
Ls
. (5)
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s < ∞, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у мно-
жинi Cψβ Ls, 1 ≤ s < ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така, що En−p+1(F
ψ
β )
Ls
=
= En−p+1(f
ψ
β )
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть
∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
‖ cos t‖s′
πp
ψ(n− p+ 1) +O(1)
∞∑
k=n−p+2
ψ(k)τn,p(k)
En−p+1
(
Fψβ
)
Ls
, (6)
де s′ =
s
s− 1
. У (5) i (6) коефiцiєнти τn,p(k) означаються рiвнiстю
τn,p(k) =
1− n− k
p
, n− p+ 1 ≤ k ≤ n− 1,
1, k ≥ n,
(7)
а O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення. Нехай f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s ≤ ∞. Тодi в кожнiй точцi x ∈ R (див., наприклад, [5,
c. 810]) має мiсце iнтегральне зображення
ρn,p(f ;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (x− t)Ψ1,n,p(t)dt =
=
ψ(n− p+ 1)
πp
π∫
−π
fψβ (x− t) cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
dt+
1
π
π∫
−π
fψβ (x− t)Ψ2,n,p(t)dt, (8)
де Ψj,n,p(t) означається рiвнiстю
Ψj,n,p(t) =
∞∑
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, j ∈ N. (9)
Функцiї cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
та Ψ2,n,p(t) ортогональнi до будь-якого тригонометрично-
го полiнома tn−p порядку не вищого за n− p, тому згiдно з (8)
ρn,p(f ;x) =
ψ(n− p+ 1)
πp
π∫
−π
δn,p(x− t) cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
dt+
+
1
π
π∫
−π
δn,p(x− t)Ψ2,n,p(t)dt, (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 645
де
δn,p(·) = fψβ (·)− tn−p(·). (11)
Вибравши в (10) у ролi tn−p(·) полiном t∗n−p(·) найкращого наближення у просторi Ls
функцiї fψβ (·) та використавши формулу (5.29) iз роботи [14] i означення (7), рiвномiрнi норми
кожного з iнтегралiв рiвностi (10) оцiнимо таким чином:∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
δn,p(x− t) cos(n− p+ 1)t dt
∥∥∥∥∥∥
C
≤ ‖δn,p‖s‖ cos t‖s′ ≤ ‖ cos t‖s′En−p+1
(
fψβ
)
Ls
, (12)
∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
δn,p(x− t)Ψ2,n,p(t)dt
∥∥∥∥∥∥
C
≤
≤ 1
π
‖δn,p‖s‖Ψ2,n,p‖s′ ≤
21/s
′
π1/s
∞∑
k=n−p+2
ψ(k)τn,p(k)En−p+1
(
fψβ
)
Ls
. (13)
Об’єднуючи (12) i (13), отримуємо (5).
Доведемо другу частину теореми. З iнтегрального зображення (8) i ортогональностi функцiї
Ψ2,n,p(t) до будь-якого тригонометричного полiнома tn−p випливає, що для довiльної функцiї
f ∈ Cψβ Ls, 1 ≤ s <∞, ψ ∈ D0, β ∈ R, виконується рiвнiсть
∣∣ρn,p(f ;x)
∣∣ =
ψ(n− p+ 1)
πp
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
fψβ (x− t) cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣+
+ O(1)
∞∑
k=n−p+2
ψ(k)τn,p(k)En−p+1
(
fψβ
)
Ls
. (14)
Враховуючи (14), щоб переконатись у справедливостi (6), досить показати, що якою б не була
функцiя ϕ ∈ Ls, 1 ≤ s < ∞, знайдеться функцiя Φ(·) = Φ(ϕ; ·), для якої при всiх n, p ∈ N,
p ≤ n,
En−p+1(Φ)Ls = En−p+1(ϕ)Ls (15)
i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t) cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ = ‖ cos t‖s′En−p+1(ϕ)Ls . (16)
В якостi Φ(·) розглянемо функцiю
Φ(t) =
= ‖ cos t‖1−s′s′
∣∣∣∣cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∣∣∣∣s′−1 sign cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
En−p+1(ϕ)Ls . (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
646 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
Для неї
∥∥Φ(t)
∥∥
s
= ‖ cos t‖1−s′s′
π∫
−π
∣∣∣∣cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∣∣∣∣(s′−1)s dt
1/sEn−p+1(ϕ)Ls =
= ‖ cos t‖1−s′s′
∥∥∥∥ cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∥∥∥∥s′−1
s′
En−p+1(ϕ)Ls = En−p+1(ϕ)Ls . (18)
Крiм того, оскiльки для довiльного тригонометричного полiнома tn−p
π∫
−π
tn−p(τ)
∣∣Φ(τ)
∣∣s−1signΦ(τ)dτ =
=
(
‖ cos t‖1−s′s′ En−p+1(ϕ)Ls
)s−1 π∫
−π
tn−p(τ) cos
(
(n− p+ 1)τ +
βπ
2
)
dτ = 0,
то на пiдставi теореми 1.4.5 iз роботи [14, c. 28] можемо зробити висновок, що полiном t∗n−p ≡ 0
є полiномом найкращого наближення функцiї Φ(t) у метрицi простору Ls, 1 ≤ s <∞. Отже, з
урахуванням (18)
En−p+1(Φ)Ls = ‖Φ‖s = En−p+1(ϕ)Ls . (19)
Згiдно з (17) ∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t) cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−s′s′ En−p+1(ϕ)Ls
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
∣∣ cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∣∣∣∣∣∣
s′−1
×
×sign cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−s′s′ En−p+1(ϕ)Ls
π∫
−π
∣∣∣∣cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∣∣∣∣s′ dt =
= ‖ cos t‖s′En−p+1(ϕ)Ls .
З останнiх спiввiдношень випливає (16).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ D0, β ∈ R. Тодi для довiльної f ∈ Cψβ L∞, n, p ∈ N, p ≤ n,
виконується нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 647∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ 1
p
4
π
ψ(n− p+ 1) +O(1)
(
ψ2(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
+ p
∞∑
k=n−p+3
ψ(k)τn,p(k)
)En−p+1
(
fψβ
)
L∞
. (20)
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cψβ L∞ i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, знайдеться функцiя
F (x) = F (f ;n; p;x) ∈ Cψβ C така, щоEn−p+1
(
Fψβ
)
C
= En−p+1
(
fψβ
)
L∞
, i для неї при n−p→∞
справджується рiвнiсть ∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
=
1
p
4
π
ψ(n− p+ 1) +O(1)
(
ψ2(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
+ p
∞∑
k=n−p+3
ψ(k)τn,p(k)
)En−p+1(F
ψ
β )C . (21)
У (20) i (21) коефiцiєнти τn,p(k) означаються рiвнiстю (7), а O(1) — величини, рiвномiрно
обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Доведення. Нехай f ∈ Cψβ L∞, ψ ∈ D0. Виходячи з (8) та враховуючи ортогональнiсть
функцiї Ψ1,n,p(t) до будь-якого полiнома tn−p порядку не вищого за n− p, можемо записати
ρn,p(f ;x) =
1
π
π∫
−π
δn,p(x− t)Ψ1,n,p(t)dt =
=
1
πp
π∫
−π
δn,p(x− t)
ψ(n− p+ 1) cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
+
+ 2ψ(n− p+ 2) cos
(
(n− p+ 2)t− βπ
2
)
+ p
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
) dt, (22)
де τn,p(k) i δn,p(·) визначаються рiвностями (7) i (11) вiдповiдно.
Вибравши в (22) у ролi tn−p полiном t∗n−p найкращого наближення у просторi L∞ функцiї
fψβ i застосувавши нерiвнiсть∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
K(t− u)ϕ(u)du
∥∥∥∥∥∥
C
≤ ‖K‖s′‖ϕ‖s, ϕ ∈ Ls, K ∈ Ls′ , 1 ≤ s ≤ ∞, 1
s
+
1
s′
= 1,
(23)
при s =∞, отримаємо оцiнку ∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ 1
πp
∥∥∥∥∥∥ψ(n− p+ 1) cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
+ 2ψ(n− p+ 2) cos
(
(n− p+ 2)t− βπ
2
)∥∥∥∥∥∥
1
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
648 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
+p
∥∥∥∥∥∥
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)∥∥∥∥∥∥
1
En−p+1
(
fψβ
)
L∞
≤
≤ 1
πp
∥∥∥∥∥ψ(n− p+ 1) cos(n− p+ 1)t+ 2ψ(n− p+ 2) cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2(n− p+ 1)
)∥∥∥∥∥
1
+
+O(1)p
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k)
En−p+1
(
fψβ
)
L∞
. (24)
Як випливає з роботи С. О. Теляковського [15, c. 512, 513],∥∥∥∥ψ(n− p+ 1) cos(n− p+ 1)t+ 2ψ(n− p+ 2) cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2(n− p+ 1)
)∥∥∥∥
1
+
+O(1) p
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k) ≤ 4ψ(n− p+ 1)+
+O(1)
ψ2(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
+ p
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k)
. (25)
Спiввiдношення (24) i (25) доводять нерiвнiсть (20).
Доведемо другу частину теореми 2. З iнтегрального зображення (22) i ортогональностi функ-
цiї
∑∞
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
до будь-якого тригонометричного полiнома tn−p по-
рядку не вищого за n − p випливає, що для довiльної функцiї f з множини Cψβ L∞, ψ ∈ D0,
β ∈ R, виконується рiвнiсть
∣∣ρn,p(f ;x)
∣∣ =
ψ(n− p+ 1)
πp
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
fψβ (x− t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t− βπ
2
)
+
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t− βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣+
+ O(1)
∞∑
k=n−p+3
τn,p(k)ψ(k)En−p+1
(
fψβ
)
L∞
. (26)
Для доведення (21), з урахуванням (26), досить встановити, що для довiльної функцiї ϕ ∈
∈ L0
∞ =
{
ϕ ∈ L∞ : ϕ⊥1
}
iснує функцiя Φ(·) = Φ(ϕ; ·) ∈ C, для якої при всiх n, p ∈ N,
p ≤ n,
En−p+1(Φ)C = En−p+1(ϕ)L∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 649
i, крiм того, при n− p→∞ має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
4 +O(1)
(
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
)2
En−p+1(ϕ)L∞ . (27)
Покладемо
ϕ0(t) = sign cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
En−p+1(ϕ)L∞
i через ϕδ(t) позначимо 2π-перiодичну функцiю, яка збiгається з ϕ0(t) скрiзь, за винятком
δ-околiв
(
0 < δ <
π
2(n− p+ 1)
)
точок tk =
(2k + 1− β)π
2(n− p+ 1)
, k ∈ Z, де вона лiнiйна i її графiк
сполучає точки
(
tk − δ, ϕ0(tk − δ)
)
i
(
tk + δ, ϕ0(tk + δ)
)
. Функцiя ϕδ(t) неперервна i в точках
τk =
(2k − β)π
2(n− p+ 1)
, k = 1, 2, . . . , 2(n − p + 1), перiоду
(
− βπ
2(n− p+ 1)
, 2π − βπ
2(n− p+ 1)
]
досягає по модулю максимального значення, яке дорiвнює En−p+1(ϕ)L∞ , почергово змiнюючи
знак. Тому її полiном найкращого рiвномiрного наближення порядку не вищого за n−p, згiдно
з критерiєм Чебишова, є полiномом, що тотожно дорiвнює нулю i, отже,
En−p+1(ϕδ)C = ‖ϕδ‖C = En−p+1(ϕ)L∞ . (28)
Враховуючи (23) i (28), одержуємо∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
π∫
−π
∣∣∣∣cos(n− p+ 1)t+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t− βπ
2(n− p+ 1)
)∣∣∣∣ dtEn−p+1(ϕ)L∞ .
(29)
Iз нерiвностi (19) роботи [15, c. 513] випливає оцiнка
π∫
−π
∣∣∣∣cos(n− p+ 1)t+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t− βπ
2(n− p+ 1)
)∣∣∣∣ dt ≤
≤ 4 +O(1)
(
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
)2
. (30)
З iншого боку,∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
650 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣+
+ O(1)rn,p(δ), (31)
де
rn,p(δ) =
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
(
ϕδ(t)− ϕ0(t)
)(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+
+2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣ . (32)
Оскiльки ψ належить D0, то для досить великих значень n − p справджується нерiвнiсть
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
< 1 i, отже,
rn,p(δ) < 3
π∫
−π
∣∣ϕδ(t)− ϕ0(t)
∣∣dt ≤ 6(n− p+ 1)δEn−p+1(ϕ)L∞ . (33)
Вибравши δ настiльки малим, щоб виконувалась умова
0 < δ <
1
n− p+ 1
(
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
)2
, (34)
з (33) одержимо оцiнку
rn,p(δ) = O(1)
(
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
)2
En−p+1(ϕ)L∞ . (35)
Оскiльки
∫ π
−π
ϕ0(t) cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
)
dt = 0, то
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t)
(
cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
+ 2
ψ(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
cos
(
(n− p+ 2)t+
βπ
2
))
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t) cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
π∫
−π
∣∣∣∣cos
(
(n− p+ 1)t+
βπ
2
)∣∣∣∣ dtEn−p+1(ϕ)L∞ = 4En−p+1(ϕ)L∞ . (36)
Iз формул (29) – (31), (35) i (36) випливає, що для функцiї Φ(t) = ϕδ(t), у якiй параметр δ
задовольняє умову (34), при n− p+ 1→∞ має мiсце рiвнiсть (27), а отже, i (21).
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 651
Оскiльки для сум
∑∞
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k), якi фiгурують в теоремах 1 та 2, мають мiсце
рiвностi
∞∑
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k) =
n−1∑
k=n−p+j
k − n+ p
p
ψ(k) +
∞∑
k=n
ψ(k), p > j, j ∈ N,
∞∑
k=n−p+j
ψ(k), p ≤ j, j ∈ N,
(37)
то, як неважко переконатися, для них справджується наступна оцiнка зверху:
∞∑
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k) 6 min
∞∑
k=n−p+j
ψ(k),
1
p
∞∑
k=n−p+j
(k − n+ p)ψ(k)
, j ∈ N.
Отже, у спiввiдношеннях (5) i (6) та спiввiдношеннях (20) i (21) величини
O(1)
∑∞
k=n−p+j
τn,p(k)ψ(k) можна замiнити на O(1) min
{∑∞
k=n−p+j
ψ(k),
1
p
∑∞
k=n−p+j
(k −
− n+ p)ψ(k)
}
, j = 2, 3.
Нерiвностi (5) i (20) залишаються асимптотично непокращуваними не тiльки на всiх мно-
жинах Cψβ Ls, 1 ≤ s < ∞, та Cψβ L∞ при ψ ∈ D0, але i на таких важливих їх пiдмножинах,
як класи Cψβ,s i Cψβ,∞. Це випливає iз наступних мiркувань. Розглянемо точнi верхнi межi в
обох частинах нерiвностi (5) по класу Cψβ,s, 1 ≤ s < ∞, i точнi верхнi межi в обох частинах
нерiвностi (20) по класу Cψβ,∞. В результатi одержимо нерiвностi
E(Cψβ,s;Vn,p)C ≤
‖ cos t‖s′
πp
ψ(n− p+ 1) +O(1)
∞∑
k=n−p+2
ψ(k)τn,p(k)
, 1 ≤ s <∞, (38)
E(Cψβ,∞;Vn,p)C ≤
1
p
4
π
ψ(n− p+ 1) +O(1)
(
ψ2(n− p+ 2)
ψ(n− p+ 1)
+ p
∞∑
k=n−p+3
ψ(k)τn,p(k)
).
(39)
Зiставляючи два останнi спiввiдношення вiдповiдно з рiвностями (24) i (7) iз роботи [7, c. 337,
341], приходимо до висновку, що у спiввiдношеннях (38) i (39) можна поставити знак рiвностi.
У випадку, коли ψ(k) = e−αk
r
, α > 0, r > 1 (тобто, коли Cψβ Ls = Cα,rβ Ls), як показано
в [7, c. 348], для довiльних α > 0, r > 1, j ∈ N має мiсце оцiнка
p
∞∑
k=n−p+j
ψ(k)τn,p(k) =
=
∞∑
k=n−p+j
e−αk
r
τn,p(k) = O(1)jσ(p)−1
(
1 +
1
αr(n−p+j)r−1
)σ(p)
e−α(n−p+j)
r
, (40)
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
652 А. П. МУСIЄНКО, А. С. СЕРДЮК
σ(p)
df
=
1, якщо p ≤ j,
2, якщо p > j,
(41)
а коефiцiєнти τn,p(k) означаються формулою (7). Отже, на пiдставi (40) iз теорем 1 та 2 одер-
жуємо наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай α > 0, r > 1, β ∈ R, p, n ∈ N, p ≤ n, i 1 ≤ s <∞. Тодi для довiльної
f ∈ Cα,rβ Ls виконується нерiвнiсть ∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤
≤ e−α(n−p+1)r
p
‖ cos t‖s′
π
+O(1)
(
1 +
1
αr(n− p+ 2)r−1
)σ(p)
eα(n−p+1)r
eα(n−p+2)r
En−p+1(f
α,r
β )Ls ,
(42)
де σ(p) означається формулою (41), s′ = s/(s− 1).
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cα,rβ Ls, α > 0, r > 1, 1 ≤ s < ∞, i довiльних n,
p ∈ N, p ≤ n, у множинi Cα,rβ Ls, 1 ≤ s < ∞, знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) така,
що En−p+1
(
Fα,rβ
)
Ls
= En−p+1
(
fα,rβ
)
Ls
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть
‖ρn,p(F ;x)‖C =
=
e−α(n−p+1)r
p
‖ cos t‖s′
π
+O(1)
(
1 +
1
αr(n− p+ 2)r−1
)σ(p)
eα(n−p+1)r
eα(n−p+2)r
En−p+1
(
Fα,rβ
)
Ls
.
(43)
У (42) i (43) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 2. Нехай α > 0, r > 1, β ∈ R, p, n ∈ N, p ≤ n. Тодi для довiльної f ∈ Cα,rβ L∞
виконується нерiвнiсть
∥∥ρn,p(f ;x)
∥∥
C
≤ e−α(n−p+1)r
p
(
4
π
+O(1)
(
e2α(n−p+1)r
e2α(n−p+2)r
+
+
(
1 +
1
αr(n− p+ 3)r−1
)σ(p) eα(n−p+1)r
eα(n−p+3)r
))
En−p+1(f
α,r
β )L∞ , (44)
де σ(p) означається формулою (41).
При цьому для будь-якої функцiї f ∈ Cα,rβ L∞, α > 0, r > 1, i довiльних n, p ∈ N, p ≤ n, у
множинiCα,rβ L∞ знайдеться функцiя F (x) = F (f ;n; p;x) ∈ Cα,rβ C така, щоEn−p+1
(
Fα,rβ
)
C
=
= En−p+1
(
fα,rβ
)
L∞
, i для неї при n− p→∞ виконується рiвнiсть
∥∥ρn,p(F ;x)
∥∥
C
=
e−α(n−p+1)r
p
(
4
π
+O(1)
(
e2α(n−p+1)r
e2α(n−p+2)r
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
НЕРIВНОСТI ТИПУ ЛЕБЕГА ДЛЯ СУМ ВАЛЛЕ ПУССЕНА НА МНОЖИНАХ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ 653
+
(
1 +
1
αr(n− p+ 3)r−1
)σ(p) eα(n−p+1)r
eα(n−p+3)r
))
En−p+1(F
α,r
β )C . (45)
У (44) i (45) O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
1. Мусiєнко А. П., Сердюк А. С. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена на множинах аналiтичних
функцiй // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 4. – C. 522 – 537.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
ч. I. – 427 c.
3. Фалалеев Л. П. О приближении функций обобщенными операторами Абеля – Пуассона // Сиб. мат. журн. –
2001. – 42, № 4. – C. 926 – 936.
4. Рукасов В. I., Чайченко С. О. Наближення аналiтичних перiодичних функцiй сумами Валле Пуссена // Укр.
мат. журн. – 2002. – 54, № 12. – C. 1653 – 1668.
5. Рукасов В. И. Приближение суммами Валле Пуссена классов аналитических функций // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 6. – C. 806 – 816.
6. Сердюк А. С. Наближення iнтегралiв Пуассона сумами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 1. –
C. 97 – 107.
7. Сердюк А. С., Овсiй Є. Ю. Наближення на класах цiлих функцiй сумами Валле Пуссена // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 5, № 1. – C. 334 – 351.
8. Сердюк А. С. Приближение интегралов Пуассона суммами Валле Пуссена в равномерной и интегральных
метриках // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 12. – C. 1672 – 1686.
9. Сердюк А. С., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближеннi iнтегралiв
Пуассона // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – C. 298 – 316.
10. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu. Uniform approximation of Poisson integrals of functions from the class Hω by de la Vallée
Poussin sums // Anal. math. – 2012. – 38, № 4. – P. 305 – 325.
11. Serdyuk A. S., Ovsii Ie.Yu., Musienko A. P. Approximation of classes of analytic functions by de la Vallée Poussin
sums in uniform metric // Rend. mat. – 2012. – 32. – P. 1 – 15.
12. Степанец А. И., Рукасов В. И., Чайченко С. О. Приближения суммами Валле Пуссена // Працi Iн-ту математики
НАН України. – 2007. – 68. – 386 c.
13. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40,
ч. II. – 424 c.
14. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 422 c.
15. Теляковский С. А. О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 4. – C. 510 – 518.
Одержано 15.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|