О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах
Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках. We present a brief survey of Korneichuk’s works published in 1990–1999.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2000 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2000
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165393 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах / В.Ф. Бабенко, А.А. Лигун, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2000. — Т. 52, № 1. — С. 5-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165393 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабенко, В.Ф. Лигун, А.А. Моторный, В.П. 2020-02-13T11:52:59Z 2020-02-13T11:52:59Z 2000 О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах / В.Ф. Бабенко, А.А. Лигун, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2000. — Т. 52, № 1. — С. 5-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165393 517.5 Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках. We present a brief survey of Korneichuk’s works published in 1990–1999. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах On the results of N. P. Korneichuk obtained in 1990–1999 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| spellingShingle |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах Бабенко, В.Ф. Лигун, А.А. Моторный, В.П. Статті |
| title_short |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| title_full |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| title_fullStr |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| title_full_unstemmed |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| title_sort |
о работах н. п. корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах |
| author |
Бабенко, В.Ф. Лигун, А.А. Моторный, В.П. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Лигун, А.А. Моторный, В.П. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2000 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the results of N. P. Korneichuk obtained in 1990–1999 |
| description |
Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках.
We present a brief survey of Korneichuk’s works published in 1990–1999.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165393 |
| citation_txt |
О работах Н. П. Корнейчука, выполненных в 1990 - 1999 годах / В.Ф. Бабенко, А.А. Лигун, В.П. Моторный // Український математичний журнал. — 2000. — Т. 52, № 1. — С. 5-8. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf orabotahnpkorneičukavypolnennyhv19901999godah AT ligunaa orabotahnpkorneičukavypolnennyhv19901999godah AT motornyivp orabotahnpkorneičukavypolnennyhv19901999godah AT babenkovf ontheresultsofnpkorneichukobtainedin19901999 AT ligunaa ontheresultsofnpkorneichukobtainedin19901999 AT motornyivp ontheresultsofnpkorneichukobtainedin19901999 |
| first_indexed |
2025-11-25T21:08:33Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:08:33Z |
| _version_ |
1850551406604320768 |
| fulltext |
УДК 517.5
В . Ф. Бабенко (Днепропетр, ун-т), А. А. Л и г у н (Днепродзерж. техн. ун-т),
В . П . Моторный (Днепропетр. ун-т)
О РАБОТАХ Н. П. КОРНЕЙЧУКА,
ВЫПОЛНЕННЫХ В 1990-1999 ГОДАХ
We present a short review of N. P. Korneichuk's works published in 1990-1999.
Наведено короткий огляд робіт М. П. Корнейчука, опублікованих в 1990-1999 роках.
Об активной и результативной деятельности Н. П. Корнейчука в области науч-
ных исследований свидетельствует тот факт, что за последние 10 лет им опу-
бликовано 24 работы (не считая тезисов докладов на различных конференциях),
из них 4 монографии и 20 журнальных статей (в том числе 19 без соавторов).
Отмечая широту научных интересов Н. П. Корнейчука, заметим, что глав-
ный вектор его работ за это время все же был направлен в сторону информаци-
онных аспектов в теории приближения. Информационный подход к различным
задачам теории аппроксимации дает возможность значительно полнее исполь-
зовать ее методы и результаты при решении задач оптимального восстановле-
ния математических объектов по неполной информации.
Приведем краткий обзор результатов, объединяя их в группы по направлени-
ям исследований. Обзоры результатов, полученных Н. П. Корнейчуком и его
учениками до 1990 г., можно найти в „Украинском математическом журнале"
(1990 г., том 42, № 1).
1. Оптимальное восстановление функций и операторов. Статья [1] —
это расширенный доклад Н. П. Корнейчука на заседании Киевского математи-
ческого общества. В ней дается краткий исторический обзор исследований по
теории приближения функций, освещаются тенденции ее дальнейшего разви-
тия, формулируются постановки новых задач, связанных с оптимизацией мето-
дов приближения. Ряд сформулированных задач рассматривался затем в по-
следующих его статьях. В работах [6 - 8] рассматриваются задачи оптимально-
го восстановления функции (р(0 по дискретной информации в виде значений
функционалов на самой функции ф(7) или на функции f(t) = Аср(0, где А —
некоторый оператор, в частности оператор дифференцирования или оператор,
задающий краевую задачу. В работе [13] задача восстановления оператора А :
X —» У формулируется, когда X и У — метрические пространства. Конкрет-
ные результаты получены в линейном случае, когда А — интегральный опера-
тор, который задается ядром K(t, и).
В одной из последних работ [23] сформулированы информационные аспекты
в теории аппроксимации и рассмотрены конкретные задачи восстановления ка-
ждого из грех элементов х є X, ye У и А : X —> У, связанных равенством
Ах = у, по информации о двух остальных.
2. Адаптивный подход в задачах восстановления. В постановочной ста-
тье [23] подчеркивается, что информационный подход позволяет рассматривать
задачи, не являющиеся характерными для традиционной проблематики, в част-
ности, это касается адаптивных методов восстановления.
При неадаптивном подходе весь набор MN = { щ , ... , f i^ } функционалов,
задающих информацию об элементе л* из рассматриваемого класса F , задается
с самого начала и не зависит от х. При адаптивном подходе кодирующие функ-
ционалы j i j , \±2,... выбираются последовательно, с учетом значений на вос-
станавливаемом элементе х уже выбранных функционалов, т. е. в этом случае
информационный оператор задается в виде некоторого алгоритма для выбора
функционала на каждом шаге и приспособлен к элементу х е F .
© В. Ф. БАБЕНКО, А. А. ЛИГУН, В. П. МОТОРНЫЙ, 2000
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 2000, т. 52, № 1 5
6 В. Ф. БАБЕНКО, А. А. ЛИГУН, В. П. МОТОРНЫЙ
Известно, что при восстановлении выпуклых центрально-симметричных
множеств в нормированных пространствах адаптивный подход не лучше неада-
птивного. Для несимметричных множеств ситуация иная.
В работах [10, 11, 14] рассмотрена задача адаптивног о восстановления функ-
ции / є Н™[а, Ь] по ее значениям в некоторых точках. При некоторых ограни-
чениях на модуль непрерывности со(0 и в случае, когда функция f ( t ) строго
монотонна на отрезке [а, Ь], получено асимптотически точное выражение для
минимального числа N(E) шагов, позволяющих восстановить f ( t ) в равномер-
ной метрике с точностью < є . Если со (О Ф K t , то N ( e ) по порядку меньше,
чем в неадаптивном случае. При доказательстве этого утверждения использу-
ются элементы теории игр.
В [15] введены в метрическом пространстве понятия адаптивных поперечни-
ков и найден точный результат для одного класса функций, не являющегося
центрально-симметричным.
3. Сложность аппроксимационных задач. Понятие сложности математи-
ческой задачи введено А. Г. Витушкиным и А. Н. Колмогоровым, а позже и в
ином, более широком смысле — Дж. Траубом, Г. Васильковским и X. Вожьня-
ковским. В работах [19, 20] Н. П. Корнейчук, исходя из введенного А. Н. Кол-
могоровым понятия сложности є-задания функции, предпринимает попытку
изложить подход к исследованию вопросов сложности, тесно связанный с ин-
формационным поперечником, использующим информацию в виде вектора
MN(x) = [І2(*), ••• 5 ! % ( * ) } значений функционалов.
В [19] рассмотрена задача о сложности є-задания в метрическом простран-
стве ( X , р). Если F — фиксированное подмножество пространства X, то
сложность є-задания элемента х є F определяется как минимальный объем
дополнительной информации, необходимой для эффективного построения для
каждого х є F элемента ухє X такого, что р < є. Тип дополнительной
информации определяется выбором информационного оператора.
В работе [20], в частности, рассматривается задача сложности є-задания
значения А х непрерывного оператора А на элементе х по значению информа-
ционного оператора на элементе х .
Рассмотрены конкретные примеры.
4. Информативность функционалов. В работе [12] Н. П. Корнейчук вво-
дит понятие информативности функционала ц относительно множества в
метрическом пространстве (X, р) как величину уменьшения области неопреде-
ленности элемента х є 5V/ за счет информации |і(х). Доказано, что в случае
X = С [ а , Ь ] и ЫС = КН\ для любого линейного функционала |1 на про-
странстве С [ а , Ь ] существует функционал ц/ вида = х (т) , т є [ a , b ] , с
не меньшей информативностью. В [15] приведен аналогичный факт для набора
функционалов.
Эти результаты открывают, на наш взгляд, целое направление исследова-
ний, связанное с построением наилучших информационных операторов в раз-
личных задачах оптимального восстановления.
5. Классические задачи аппроксимации. Еще в начале 60-х годов
Н. П. Корнейчуком был получен следующий замечательный результат: для
любого выпуклого вверх модуля непрерывности (О(О
(здесь и далее E(f,tА£)р — наилучшее приближение функции / множеством
і в метрике пространства Lp и ^п-х — множество всех тригонометрических
полиномов порядка не выше п - 1).
а)
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 2000, т. 52, №- 1
О РАБОТАХ Н. П. КОРНЕЙЧУКА, ВЬШОЛНЕННЫХ В 1990-1999 ГОДАХ 7
При доказательстве этого результата Н. П. Корнейчук, по-видимому, впер-
вые применил метод промежуточного приближения для точного решения экс-
тремальных задач теории аппроксимации. Сначала им были получены оценки
приближения класса # ш классом К Н 1 при всех К > 0 , что вместе с неравен-
ством
Z E M K H 1 ) ^ sup E(g,&2n-i)oo
geKH 1
и результатом Фавара, дающим точное значение второго слагаемого в правой
части, и позволило получить соотношение (1).
В связи с развитием метода промежуточного приближения задача прибли-
жения класса классом приобрела в дальнейшем самостоятельное значение и ис-
следовалась многими авторами. Некоторые из полученных в этом направлении
результатов подытожены в [22].
Соотношение (1) дает оценку сверху колмогоровских поперечников классов
Н® в пространстве С (как было показано впоследствии, эта оценка является
точной), однако описанный метод получения соотношения (1) является суще-
ственно нелинейным. В дальнейшем П. П. Корнейчук показал, что с помощью
линейного метода приближения соотношение (1) (при со (О Ф K t ) получить
нельзя; это вызвало интерес к задача^ наилучшего линейного приближения,
вычисления линейных поперечников XN и XN (см., например, [3] (гл. 8))
классов IIе0. Точные значения этих линейных поперечников даже для классов
# а [ 0 Д ] , а є ( О Д ) , в метрике С до сих пор неизвестны. Существовала гипо-
теза, что поперечники XN реализуют функционалы
М Я = N f ( t ) d t , k = 0,... , N - 1 ,
среднего значения. В работе [18] Н. П. Корнейчук построил функционалы, ко-
торые относительно класса На, а є ( О Д ) , имеют большую информативность,
чем функционалы среднего значения, что опровергает упомянутую гипотезу.
В [21] рассмотрена задача наилучшего приближения в метриках С и Lp за-
данной на JV-мерном кубе непрерывной функции / ступенчатыми функциями.
Получены точные оценки погрешности через модуль непрерывности как самой
функции / , так и ее специальной перестановки.
Наконец, в статье [24] Н. П. Корнейчук предлагает новый подход к решению
задачи о наилучшем приближении классов периодических функций п пере-
менных, которые задаются ограничениями на модуль непрерывности некоторых
частных производных. Этот подход базируется на теореме двойственности и на
представлении функций п переменных в виде счетной суммы простых функ-
ций, а также существенно использует новое, введенное в [24] , определение мо-
дуля непрерывности, соответствующего суммируемой функции п переменных.
6. Экстремальные свойства сплайнов. Пусть £2 я, г — множество всех
2л;~периодических полиномиальных сплайнов порядка г , минимального де-
фекта, с узлами в точках кк/п, k s Z , s2n)r(f,t) — сплайн из S2tl)r, интерпо-
лирующий функцию / в нулях эйлерова совершенного сплайна
Известно, что для классов WZ+1 2тс -периодических функций справедливы
соотношения
' S U P E(f,S2ПіГ)р = sup \ \ f - S 2 ( f ) \ \ = \\(?П}Г+1\\р, 1<P <oo,
feWL+1 feW'+1
При p = .00 этот результат был получен В. М. Тихомировым, а при 1 < р <
< оо — А. А. Женсыкбаевым. Впоследствии Н. П. Корнейчук доказал, что
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 2000, т. 52, №- 1
8 В. Ф. БАБЕНКО, А. А. ЛИГУН, В, П. МОТОРНЫЙ
sup S2nr-i)p = sup I] f - s2nirU)\\P = II Фл,r lip, 1 < оо.
/ Є Є 1
Доказательство оказалось очень сложным и было опубликовано только для г =
= 2, 3 . В работах [4, 5] приведено новое доказательство этого (а также более
сильного) факта при всех г є N.
В монографиях [9,17] дано систематическое изложение классических и но-
вых результатов, связанных с исследованием экстремальных свойств алгебраи-
ческих и тригонометрических полиномов, сплайнов минимального дефекта (и
их обобщений), совершенных сплайнов и моносплайнов. Доказательства мно-
гих из приведенных в этих монографиях результатов получены с помощью ме-
тодов сравнения перестановок и ^-перестановок, разработанных Н. П. Корней-
чуком и его учениками.
В работе [22] приведены точные оценки типа Бернштейна для величин
2%
sup J f ( t ) g ( t ) d t ,
/ є Я " О
где g(t) — производная тригонометрического полинома или полиномиального
сплайна с равноотстоящими узлами.
Работы Н. П. Корнейчука, опубликованные в 1990 - 1 9 9 9 годах
1. Теория приближения и проблемы оптимизации // Укр. мат. журн. - 1990. - 4 2 , № 5. —
С 579-595.
2. Sobre nuovas resultados referentes a las problemas extremales de la teoria cuadratura.
Complemento I I Formulas de cuadratura / S. Nikolski. - M.: Mir, 1990. - P. 146-292.
3. Exact constants in approximation theory. Ser. Encyclopedia Math, and Appl. — Cambridge Univ.
Press, 1991. - 3 8 . - 4 5 2 p. .
4. О получении точных оценок для производной погрешности сплайн-интерполирования //
Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 2. - С. 206-210.
5. О поведении производных погрешности сплайн-интерполирования // Там же. - № 1. -
С. 67 - 7 2 .
6. О некоторых задачах кодирования и восстановления функций // Там же. - № 4. -
С. 514-524.
7. Optimal coding of functions I I Optimal recovery. - New York: Nova Sci. Publ., 1992. - P. 59 -98 .
8. Encording and recovery of operator values // J, Complexity. - 1992. - 8. - P. 79—91.
9. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. - Киев: Наук, думка, 1992. - 304 с.
(совместно с В. Ф. Бабенко и А. А. Лигуном).
10. О пассивных и активных алгоритмах восстановления функций // Укр. мат. журн. - 1993, -
45, № 2 . - С . 257-264. .
11. Оптимизация адаптивных алгоритмов восстановления монотонных функций класса Я ® //
Там же. - № 12. - С, 1627-1634. ч
12. Информативность функционалов // Там же. - 1994. - 46, № 9. - С. 1156-1163.
13. Об оптимальном восстановлении значений операторов //Там же. - № 10. - С. 1375-1381.
14. Optimization of active algorithms for recovery of monotonic functions from Holder class // J.
Complexity. - 1994. - 1 0 . - P. 265-269.
15. О сравнении информативности функционалов // Допов. HAH України. Мат. аналіз. — 1995.
- № 2 . - С . 15-16.
16. Информационные поперечники // Укр. мат. журн. - 1995. - 47, № 11. - С. 1506-1518.
17. Extremal properties of polynomials and splines. - New York: Nova Sci. PubL, 1996. - 433 p.
(совместно с А. А. Лигуном и В. Ф. Бабенко).
18. О линейньис поперечниках классов Я ш // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, № 9. - С. 1255-1264.
19. Сложность аппроксимационных задач // Там же. — № 12. — С. 1683—1694.
20. On complexity of approximation problems // E. J. Approxim. -1997 . - 3, № 3. - P. 251-273.
21. Перестановки и кусочно-полиномиальное приближение непрерывных функций п пере-
менных // Укр. мат. журн. - 1998. - 50, № 7. - С. 907-918.
22. Неравенства для верхних граней функционалов и некоторые их применения в теории ап-
проксимации // Допов. НАН України. Математика. - 1999. - № 1. - С. 2 4 - 2 9 (совместно с
В. Ф. Бабенко, С. А. Пичуговым и В. А. Кофановым).
23. Информационные аспекты в теории приближения и восстановление операторов // Укр. мат.
журн. - 1999. - 51, № 3. - С. 314-327.
24. О наилучшем приближении функций п переменных//Там же. - № 10. — С. 1352-1359.
Получено 27.09.99
ISSN 0041-6053. Укр. мат. журн., 2000, т. 52, №- 1
|