Про граничні вирази лімітант Кояловича
A new theorem about limit expressions for the Koialovich's limitants is formulated and proved. These limit expressions allow us to estimate the solution of an infinite system without use of the successive approximations. Estimations of the solution are made for the problem of bending a thin rec...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1654 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про граничні вирази лімітант Кояловича / В.М. Чехов, А.В. Пан // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 31-36. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1654 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Чехов, В.М. Пан, А.В. 2008-09-01T14:27:50Z 2008-09-01T14:27:50Z 2007 Про граничні вирази лімітант Кояловича / В.М. Чехов, А.В. Пан // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 31-36. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1654 512.9+539.3 A new theorem about limit expressions for the Koialovich's limitants is formulated and proved. These limit expressions allow us to estimate the solution of an infinite system without use of the successive approximations. Estimations of the solution are made for the problem of bending a thin rectangular clamped plate. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Про граничні вирази лімітант Кояловича Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Про граничні вирази лімітант Кояловича |
| spellingShingle |
Про граничні вирази лімітант Кояловича Чехов, В.М. Пан, А.В. Математика |
| title_short |
Про граничні вирази лімітант Кояловича |
| title_full |
Про граничні вирази лімітант Кояловича |
| title_fullStr |
Про граничні вирази лімітант Кояловича |
| title_full_unstemmed |
Про граничні вирази лімітант Кояловича |
| title_sort |
про граничні вирази лімітант кояловича |
| author |
Чехов, В.М. Пан, А.В. |
| author_facet |
Чехов, В.М. Пан, А.В. |
| topic |
Математика |
| topic_facet |
Математика |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
A new theorem about limit expressions for the Koialovich's limitants is formulated and proved. These limit expressions allow us to estimate the solution of an infinite system without use of the successive approximations. Estimations of the solution are made for the problem of bending a thin rectangular clamped plate.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1654 |
| citation_txt |
Про граничні вирази лімітант Кояловича / В.М. Чехов, А.В. Пан // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 31-36. — Бібліогр.: 5 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT čehovvm prograničnívirazilímítantkoâloviča AT panav prograničnívirazilímítantkoâloviča |
| first_indexed |
2025-11-26T11:55:11Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:55:11Z |
| _version_ |
1850622889851617280 |
| fulltext |
8. Рукасов В.И. Наилучшие n-членные приближения в пространствах с несимметричной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 6. – С. 806–816.
9. Степанець О. I., Шидлiч А.Л. Про одну екстремальну задачу для додатних рядiв // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 12. – С. 1677–1683.
10. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. – 1955. – 102,
№ 1. – С. 37–40.
11. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – Москва: Мир,
1974. – 333 с.
12. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – Москва: Наука, 1970. – 303 с.
Надiйшло до редакцiї 31.07.2006Iнститут математики НАН України, Київ
УДК 512.9+539.3
© 2007
В.М. Чехов, А. В. Пан
Про граничнi вирази лiмiтант Кояловича
(Представлено академiком НАН України В. П. Шевченком)
A new theorem about limit expressions for the Koialovich’s limitants is formulated and proved.
These limit expressions allow us to estimate the solution of an infinite system without use of
the successive approximations. Estimations of the solution are made for the problem of bending
a thin rectangular clamped plate.
Метод лiмiтант було створено Б.М. Кояловичем [1] для оцiнок розв’язкiв регулярних не-
скiнченних систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Першим прикладом його застосування
була парна регулярна нескiнченна система, що стосувалася задачi про поперечний згин тон-
кої прямокутної пластинки iз затисненими краями. Огляди розвитку i застосувань методу
лiмiтант наведено в роботах [2, 3].
У даному повiдомленнi сформульовано i доведено теорему про граничнi вирази для лi-
мiтант, якi дозволяють уникнути застосування методу послiдовних наближень щодо оцiнок
розв’язкiв нескiнченної системи. Ефективнiсть граничних виразiв для лiмiтант оцiнено на
прикладi задачi про згин прямокутної пластинки iз затисненими краями.
Розглядається нескiнченна система лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з невiд’ємними вiль-
ними членами (bk > 0) i невiд’ємними (akn > 0) коефiцiєнтами
xk =
∞∑
n=1
aknxn + bk, k = 1, 2, . . . , (1)
що задовольняють умову регулярностi
∞∑
n=1
akn < 1, k = 1, 2, . . . .
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 31
Метод лiмiтант i його обгрунтування запропоновано Б.М. Кояловичем [1] у випадку
парної нескiнченної системи. Щодо системи у формi (1) обгрунтування методу лiмiтант
можна пов’язати з допомiжною системою
Xk =
∞∑
n=1
aknXn + ρk, k = 1, 2, . . . , (2)
де ρk = 1 −
∞∑
n=1
akn, i лемою П.С. Бондаренка [4]:
Лема 1. Якщо система (1) з невiд’ємними коефiцiєнтами має мажорантну систему
у виглядi (2) i вiдношення вiльних членiв цих систем знаходиться в межах
h 6
bk
ρk
6 H, k = 1, 2, . . . , (3)
то головний розв’язок x∗
k системи (1) знаходиться в межах
X∗
kh 6 x∗
k 6 X∗
kH, k = 1, 2, . . . . (4)
Тут X∗
k — головний розв’язок системи (2). Система (2) має очевидний розв’язок Xk =
= 1, що у випадку єдиностi обмеженого розв’язку системи (2) збiгається з головним її
розв’язком. Вважаючи, що умови єдиностi [4, 5] обмеженого розв’язку для регулярних
нескiнченних систем (1), (2) виконано, маємо змогу пiдставити X∗
k = 1 у нерiвностi (4)
h 6 x∗
k 6 H, k = 1, 2, . . . . (5)
Вiдзначимо, що права нерiвнiсть у нерiвностях (3) є достатньою умовою iснування [5]
головного розв’язку x∗
k системи (1).
Метод лiмiтант полягає [1] в обчисленнi нижнiх i верхнiх оцiнок для головного розв’язку
системи (1). З цiєю метою фiксується номер p, i система (1) подiляється на двi частини
(скiнченну та нескiнченну):
xk −
p∑
n=1
aknxn = bk +
∞∑
n=p+1
aknxn, k = 1, p, (6)
xk =
∞∑
n=p+1
aknxn + bk +
p∑
n=1
aknxn, k = p + 1, p + 2, . . . . (7)
Розв’язки систем (6), (7) оцiнюються по черзi методом послiдовних наближень. Спо-
чатку на основi нерiвностей (3), (5) маємо два наближених розв’язки x̌k = h та x̂k = H.
Пiдставивши їх по черзi у вiльнi члени системи (6), можемо знайти два розв’язки, якi уточ-
нюють нерiвностi (5) щодо x1, x2, . . . , xp. З iншого боку, останнi два розв’язки визначають
вiльнi члени двох нескiнченних систем (7). З цих систем можемо по черзi уточнити нерiв-
ностi (5) щодо xp+1, xp+2, . . . згiдно з лемою 1, в якiй систему (2) потрiбно замiнити на
вiдповiдну системi (7) допомiжну систему
Yk =
∞∑
n=p+1
aknYn + ρk +
p∑
n=1
akn, k = p + 1, p + 2, . . . , (8)
яка має очевидний головний розв’язок Y ∗
k = 1.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
Вiдношення вiльних членiв систем (7) i (8):
V p
k =
bk +
p∑
n=1
aknxn
ρk +
p∑
n=1
akn
, k = p + 1, p + 2, . . . , (9)
названi [1] лiмiтантами. Згiдно з лемою 1 точнi нижнi й верхнi межi лiмiтант
hp
6 V p
k 6 Hp, k = p + 1, p + 2, . . . , (10)
збiгаються з нижнiми i верхнiми оцiнками для членiв нескiнченної послiдовностi xp+1,
xp+2, . . .
hp
6 x∗
k 6 Hp, k = p + 1, p + 2, . . . . (11)
Уточненi нерiвностями (11) послiдовностi xp+1, xp+2, . . . пiдставляються у вiльнi члени
систем (6), розпочинаючи нове наближення. Збiжнiсть методу лiмiтант доведено [1] у випад-
ку парної регулярної системи з невiд’ємними коефiцiєнтами i вiльними членами, якщо вона
має єдиний обмежений розв’язок. За тих самих умов доведення збiжностi методу лiмiтант
елементарно поширюється i на регулярнi системи у формi (1).
Додатковий аналiз зв’язку мiж сусiднiми наближеннями дозволяє побудувати граничнi
вирази для лiмiтант, якi, в свою чергу, надають найкращi при фiксованому p нижнi й верхнi
оцiнки для невiдомих без методу послiдовних наближень. Доведемо таку теорему:
Теорема 1. Якщо вiдносно регулярної нескiнченної системи (1) з невiд’ємними ко-
ефiцiєнтами i невiд’ємними вiльними членами виконується умова iснування головного
розв’язку (права нерiвнiсть в (3)) i умови єдиностi обмеженого розв’язку, то iснує гра-
ничний вираз для лiмiтант
V ∗p
k =
bk +
p∑
n=1
aknx̆n
ρk +
p∑
n=1
akn(1 − x̃n)
, k = p + 1, p + 2, . . . , (12)
де x̆n — розв’язок системи (1) методом простої редукцiї:
x̆k −
p∑
n=1
aknx̆n = bk, k = 1, p; (13)
x̃n — розв’язок системи методу редукцiї, але зi спецiальними вiльними членами:
x̃k −
p∑
n=1
aknx̃n = b̃k, k = 1, p, b̃k =
∞∑
n=p+1
akn. (14)
Точнi нижнi i верхнi межi граничних виразiв для лiмiтант
h∗p
6 V ∗p
k 6 H∗p, k = p + 1, p + 2, . . . (15)
дозволяють оцiнити головний розв’язок системи (1) нерiвностями
x̆k + h∗px̃k 6 x∗
k 6 x̆k + H∗px̃k, k = 1, p; h∗p
6 x∗
k 6 H∗p, k > p + 1. (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 33
Доведення. Оцiнки (10) для лiмiтант, знайденi в наближеннi з номером m, позначимо
додатковим верхнiм iндексом m. Тодi оцiнки (11) для невiдомих набувають вигляду
hmp
6 x∗
k 6 Hmp, k = p + 1, p + 2, . . . . (17)
Пiдставляючи оцiнки (17) у праву частину скiнченної системи (6), приходимо до двох систем
щодо нижнiх i верхнiх оцiнок для перших p невiдомих:
x̌k −
p∑
n=1
aknx̌n = bk + b̃kh
mp, x̂k −
p∑
n=1
aknx̂n = bk + b̃kH
mp, k = 1, p.
Вiльними членами тут є лiнiйнi комбiнацiї вiльних членiв систем (13), (14). Отже, i роз-
в’язками цих лiнiйних систем є лiнiйнi комбiнацiї вiдповiдних розв’язкiв:
x̌k = x̆k + hmpx̃k, x̂k = x̆k + Hmpx̃k.
При цьому на пiдставi теорем порiвняння [5] знаходимо оцiнки для перших p невiдомих:
x̆k + hmpx̃k 6 x∗
k 6 x̆k + Hmpx̃k, k = 1, p. (18)
Пiдставляючи оцiнки (18) у вирази (9) для лiмiтант, одержуємо залежностi “нижнiх”
V̌ mp
k i “верхнiх” V̂ mp
k лiмiтант вiд номера наближення m:
V̌ mp
k =
bk +
p∑
n=1
akn(x̆n + hmpx̃n)
ρk +
p∑
n=1
akn
, V̂ mp
k =
bk +
p∑
n=1
akn(x̆n + Hmpx̃n)
ρk +
p∑
n=1
akn
, k > p + 1.
Згiдно з (10) у наближеннi m + 1 нижня границя hm+1p не перевищує V̌ mp
k , а верхня
границя Hm+1p не менша нiж V̂ mp
k
. Отже, маємо нерiвностi мiж границями у довiльних
сусiднiх наближеннях (k = p + 1, p + 2, . . .):
hm+1p
6
bk +
p∑
n=1
akn(x̆n + hmpx̃n)
ρk +
p∑
n=1
akn
,
bk +
p∑
n=1
akn(x̆n + Hmpx̃n)
ρk +
p∑
n=1
akn
6 Hm+1p.
Виконуючи тут граничний перехiд m → ∞, приходимо до лiнiйних нерiвностей щодо
граничних меж h∗p, H∗p
h∗p
6
bk +
p∑
n=1
aknx̆n + h∗p
p∑
n=1
aknx̃n
ρk +
p∑
n=1
akn
,
bk +
p∑
n=1
aknx̆n + H∗p
p∑
n=1
aknx̃n
ρk +
p∑
n=1
akn
6 H∗p.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
З огляду на невiд’ємнiсть усiх елементiв у цих лiнiйних нерiвностях знаходимо їх розв’язки:
h∗p
6
bk +
p∑
n=1
aknx̆n
ρk +
p∑
n=1
akn(1 − x̃n)
,
bk +
p∑
n=1
aknx̆n
ρk +
p∑
n=1
akn(1 − x̃n)
6 H∗p, k > p + 1. (19)
Нерiвностi (19) свiдчать про те, що граничнi межi лiмiтант Б. М. Кояловича виявляють-
ся нижньою i верхньою межами граничного виразу (12) для лiмiтант. Виконуючи граничний
перехiд m → ∞ у нерiвностях (17) i (18), приходимо до оцiнок (16) розв’язку нескiнченної
системи (1). Доведення закiнчено.
Частинним випадком нескiнченної системи (1) є парна нескiнченна система
xk =
∞∑
n=1
aknyn + bk, yk =
∞∑
n=1
αknxn + βk, k = 1, 2, . . . . (20)
Поширення теореми 1 на систему (20) приводить до двох граничних виразiв лiмiтант:
V ∗p
k =
bk +
∞∑
n=1
akny̆n
ρk +
p∑
n=1
akn(1 − ỹn)
, W ∗p
k =
βk +
∞∑
n=1
αknx̆n
rk +
p∑
n=1
αkn(1 − x̃n)
, k = p + 1, p + 2, . . . ,
де ρk = 1 −
p∑
n=1
akn; rk = 1 −
p∑
n=1
αkn; x̆n, y̆n — розв’язок системи (20) методом простої
редукцiї; x̃n, ỹn — розв’язок системи (20) методом редукцiї, але iз спецiальними вiльними
членами b̃k =
∞∑
n=p+1
akn, β̃k =
∞∑
n=p+1
αkn.
Точнi нижнi i верхнi межi щодо граничних виразiв лiмiтант
h∗p = inf
k>p+1
{V ∗p
k
,W ∗p
k
}, H∗p = sup
k>p+1
{V ∗p
k
,W ∗p
k
}
оцiнюють головний розв’язок системи (20) такими нерiвностями:
x̆k + h∗px̃k 6 x∗
k 6 x̆k + H∗px̃k, y̆k + h∗pỹk 6 y∗k 6 y̆k + H∗pỹk, k = 1, p;
h∗p
6 x∗
k 6 H∗p, h∗p
6 y∗k 6 H∗p, k = p + 1, p + 2, . . . .
(21)
Застосуємо нерiвностi (21) до оцiнок впливу параметра p на похибки розв’язку регуляр-
ної парної нескiнченної системи (k = 1, 2, . . .):
xk =
32k3
(
cth 2kπ +
2kπ
sh2 2kπ
)
π
∞∑
n=1
yn
(n2 + 4k2)2
,
yk =
4k3
cth
π
2
k +
πk
2 sh2(π/2)k
(
2
π
∞∑
n=1
xn
(4n2 + k2)2
+
3
k4π4
)
,
(22)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 35
Таблиця 1
p 9 50 200 400 900
100 ×H∗p 7,3047 7,2468 7,24554 7,24544 7,24534
100× h∗p 7,2141 7,2413 7,24499 7,24522 7,24531
ln(p/5) 0,6 2,3 3,7 4,4 5,2
яка виникла [1, 3] у задачi про поперечний згин затисненої вздовж границi тонкої прямо-
кутної пластинки з вiдношенням бокiв 1 : 2. У роботi [1] систему (22) розв’язано методом
лiмiтант (p = 9). Найбiльшою виявилася похибка в оцiнках нескiнченної частини розв’яз-
ку. Обчисленi за формулами (21) оцiнки h∗p, H∗p нескiнченної частини розв’язку наведенi
в табл. 1. Як видно з табл. 1, збiльшення параметра p призводить до збiгу цифр у верхнiх
i нижнiх оцiнках. Таким чином, можна досягти достатньої точностi розв’язку. Кiлькiсть
цифр, що збiглися, дорiвнює приблизно ln(p/5).
1. Коялович Б.М. Исследования о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв.
Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. – 1930. – № 3. – С. 41–167.
2. Гринченко В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. – Киев:
Наук. думка, 1978. – 264 с.
3. Meleshko V.V. Bending of an elastic rectangular clamped plate: exact versus “engineering” solutions //
J. Elasticity. – 1997. – 48, No 1. – P. 1–50.
4. Бондаренко П.С. К вопросу об единственности для бесконечных систем линейных уравнений // Мат.
сборник. – 1951. – 29, № 2. – С. 403–418.
5. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – 4-е изд. – Москва; Ле-
нинград: Гостехиздат, 1952. – 695 с.
Надiйшло до редакцiї 09.07.2006Таврiйський нацiональний унiверситет
iм. В. I. Вернадського, Сiмферополь
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|