Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій
Рассмотрены два типа сверток (∗ и ⋆) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь ∗-свертки со сверткой мер на пространствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирова...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Український математичний журнал
2012
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165407 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій/ Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1547-1567. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860269290844848128 |
|---|---|
| author | Фінкельштейн, Д.Л. |
| author_facet | Фінкельштейн, Д.Л. |
| citation_txt | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій/ Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1547-1567. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Рассмотрены два типа сверток (∗ и ⋆) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь ∗-свертки со сверткой мер на пространствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирования относительно ∗-свертки. Найдены условия, при которых ∗-свертка функций положительно определена относительно ⋆-свертки.
We consider two types of convolutions (* and ★) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase space) and study some of their properties. A relationship between the *-convolution and the convolution of measures on spaces of finite configurations is described. Properties of the operators of multiplication and derivation with respect to the *-convolution are investigated. We also present conditions under which the *-convolution is positive-definite with respect to the ★-convolution.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:05:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.987.1; 517.983.3
Д. Л. Фiнкельштейн (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ.
I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ*
We consider two types of convolutions (∗ and ?) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase
space) and study some of their properties. A relationship between the ∗-convolution and the convolution of measures on
spaces of finite configurations is described. Properties of the operators of multiplication and differentiation with respect
to the ∗-convolution are investigated. We also present conditions under which the ∗-convolution is positive definite with
respect to the ?-convolution.
Рассмотрены два типа сверток (∗ и ?) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств
фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь ∗-свертки со сверткой мер на про-
странствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирования относительно
∗-свертки. Найдены условия, при которых ∗-свертка функций положительно определена относительно ?-свертки.
1. Вступ. Простори конфiгурацiй (дискретних пiдмножин деякого фазового простору) як окре-
мий математичний об’єкт стали предметом дослiджень починаючи з 60-х рокiв минулого сто-
лiття у рiзних областях математики: функцiональному аналiзi, математичнiй фiзицi, теорiї ймо-
вiрностей, топологiї. Скiнченнi та локально скiнченнi пiдмножини фазового простору є зручни-
ми об’єктами для вивчення математичних моделей рiзних систем у застосуваннях: фiзичних,
хiмiчних, бiологiчних, економiчних, соцiальних тощо. Вiдповiдно, елементи цих дискретних
пiдмножин iнтерпретуються як молекули, iндивiди, агенти i т. д. Фазовий простiр, в свою чергу,
може бути дискретною множиною, наприклад ґраткою, чи, бiльш загально, графом, скажiмо,
в евклiдовому просторi. Ґратчастi системи широко вивчались у лiтературi i залишаються об’єк-
том постiйних дослiджень (див., наприклад, монографiї [10, 11, 15 – 17]). Якщо ж фазовий
простiр є континуальною множиною, наприклад евклiдовим простором або, бiльш загально,
топологiчним простором (скажiмо, многовидом), то системи, що описуються вiдповiдним про-
стором конфiгурацiй, називають „неперервними”.
Математичний опис задач статистичної фiзики, в яких фiзична система моделюється за до-
помогою великої або взагалi нескiнченної множини континуального фазового простору, роз-
почався ще в ХIХ ст. в роботах Л. Больцмана та його послiдовникiв (див., наприклад, [6, 7]).
У ХХ ст. ця тематика бурхливо розвивалась, починаючи з фундаментальних праць Дж. В. Гiб-
бса (див. [4]), якi започаткували сучасну теорiю гiббсiвських мiр на просторах конфiгурацiй.
Починаючи з 40-х рокiв ХХ ст. математичнi моделi теорiї неперервних систем у статистичнiй
фiзицi активно дослiджувались М. М. Боголюбовим (див., наприклад, [1]) та його учнями i
послiдовниками. В 60-х роках стала зрозумiлою необхiднiсть строгого математичного опи-
су просторiв локально скiнченних конфiгурацiй та станiв (iмовiрнiсних мiр) на них. Вiд-
повiднi дослiдження було розпочато в роботах Р. Л. Добрушина i, незалежно, О. Ленфорда
та Д. Рюеля (див., наприклад, огляд [5] i наведену в ньому бiблiографiю). Детальне вивчен-
ня аналiзу на просторах конфiгурацiй бере свiй початок, мабуть, у роботi А. М. Вершика,
I. М. Гельфанда та М. I. Граєва [2]. Сучасного вигляду аналiз на просторах конфiгурацiй набув
*Частково пiдтримано стипендiєю Президента України для молодих вчених.
c© Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11 1547
1548 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
у роботах С. Альбеверiо, Ю. Г. Кондратьєва, М. Рьокнера та їхнiх учнiв (див., наприклад,
[8, 9, 14, 18]).
Актуальна на сьогоднi бiблiографiя робiт, що стосуються просторiв конфiгурацiй над кон-
тинуальним фазовим простором, сама по собi, мабуть, може стати повноцiнною науковою
статтею, принаймнi, за обсягом. Ми обмежимося лише перелiком основних областей, в яких
дослiдження мають велику iсторiю i продовжуються в наш час, а саме: вивчення топологiчних,
метричних, вимiрних та алгебраїчних структур на просторах конфiгурацiй; теорiя мiри, зокре-
ма вивчення гiббсiвських, детермiнантних та перманентних мiр, мiр Кокса; диференцiальне
числення та диференцiальна геометрiя, а також гармонiчний аналiз на просторах конфiгурацiй;
динамiчнi системи, детермiнованi та стохастичнi, ергодичнi та iнварiантнi мiри; марковськi
еволюцiї, рiвноважнi та нерiвноважнi стохастичнi динамiки, зокрема дифузiйнi, народження-
загибелi, стрибкiв; гамiльтонова динамiка; рiзноманiтнi перешкалювання цих динамiк, гiдро-
динамiчнi та кiнетичнi рiвняння тощо.
Дослiдження у цiй статтi присвячено рiзним згорткам на просторах конфiгурацiй (як мiж
функцiями, так i мiж мiрами), що розглядались у лiтературi. Цi питання, з одного боку, є важ-
ливими для побудови розвиненого аналiзу на просторах конфiгурацiй, а з iншого — вiдповiднi
згортки активно використовуються при подальших дослiдженнях, зокрема при вивченнi сто-
хастичних динамiк на цих просторах. Внаслiдок достатньо великого обсягу матерiалу статтю
розбито на двi частини. Першу частину присвячено згорткам на просторах скiнченних конфiгу-
рацiй, тобто пiдмножин континуального фазового простору, що мiстять довiльну, але скiнченну
кiлькiсть точок. Зазначимо, що навiть простори скiнченних конфiгурацiй є об’єктом дослi-
дження нескiнченновимiрного аналiзу. Крiм того, простори локально скiнченних конфiгурацiй
не є простим узагальненням просторiв скiнченних конфiгурацiй. Бiльш точно їх взаємозв’язок
описує аналогiя з спiввiдношенням гiльбертових просторiв та простору l2 квадратично сумов-
них послiдовностей, який можна розглянути як вiдповiдний простiр коефiцiєнтiв Фур’є. Цей
пiдхiд до гармонiчного аналiзу на просторах локально скiнченних конфiгурацiй уперше було
використано у [12] i застосовано у багатьох публiкацiях останнiх рокiв.
Опишемо коротко будову першої частини цiєї роботи. У другому пунктi наведено основнi
структури на просторах скiнченних конфiгурацiй, якi будуть використовуватися в обох час-
тинах роботи, а також розглянуто деякi їхнi властивостi. У третьому пунктi розглянуто так
зване ∗-числення Рюеля, введене за допомогою згортки Рюеля [19], яка досить часто вико-
ристовується в дослiдженнях. Проте деякi аналiтичнi питання про згортку Рюеля залишались
невивченими. Четвертий пункт присвячено оператору множення вiдносно згортки Рюеля в де-
яких функцiональних просторах. В останньому пунктi розглянуто низку наступних питань:
побудова згортки мiр на просторах скiнченних конфiгурацiй, зв’язок згортки мiр iз згорт-
кою Рюеля функцiй, властивостi твiрного функцiонала (так званого функцiонала Боголюбова
(детальнiше див., наприклад, [13])), властивостi оператора диференцiювання вiдносно
згортки Рюеля, зв’язок згортки Рюеля iз згорткою, введеною Ю. Г. Кондратьєвим та Т. Ку-
ною [12].
2. Простори скiнченних конфiгурацiй. Нехай X — зв’язний орiєнтовний некомпактний
рiманiв C∞-многовид,O(X) — клас усiх вiдкритих множин зX, B(X) — вiдповiдна борелiвська
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1549
σ-алгебра. Класи всiх вiдкритих та борелiвських множин з X з компактними замиканнями
позначимо Oc(X) та Bc(X) вiдповiдно. Будемо вважати, що на X задано неатомарну мiру
Радона m, тобто m(Λ) < ∞, Λ ∈ Bc(X) i m({x}) = 0, x ∈ X. Припустимо також, що iснує
послiдовнiсть {Λn}n∈N ⊂ Bc(X) така, що Λn ⊂ Λn+1, n ∈ N i
⋃
n∈N
Λn = X.
Для довiльних Y ∈ B(X) та n ∈ N0 := N ∪ {0} простором усiх n-точкових конфiгурацiй
над множиною Y будемо називати множину
Γ
(n)
Y :=
{
η ⊂ Y
∣∣ |η| = n
}
, n ∈ N; Γ
(0)
Y := {∅}.
Тут i далi символ | · | позначає кiлькiсть точок у дискретнiй множинi. Для довiльної Λ ∈ Bc(X),
Λ ⊂ Y покладемо ηΛ := η ∩ Λ i розглянемо вiдображення NΛ : Γ
(n)
0,Y → N0, задане формулою
NΛ(η) := |ηΛ|. Для n ∈ N покладемо
Ỹ n =
{
(x1, . . . , xn) ∈ Y n
∣∣ xk 6= xl, якщо k 6= l
}
.
Розглянемо також вiдображення symY,n : Ỹ n → Γ
(n)
Y , symY,n ((x1, . . . , xn)) := {x1, . . . , xn}.
Воно дає змогу ототожнити простiр n-точкових конфiгурацiй Γ
(n)
Y з симетризацiєю множини
Ỹ n, тобто з множиною Ỹ n/Sn, де Sn — група перестановок над множиною {1, . . . , n}. Це
дозволяє визначити у просторi Γ
(n)
Y сiм’ю вiдкритих множин O
(
Γ
(n)
0,Y
)
:= sym−1
Y,n
(
O(Ỹ n)
)
.
Базу топологiї складатиме система множин
U1×̂ . . . ×̂Un :=
{
η ∈ Γ
(n)
0,Y
∣∣ NU1(η) = 1, . . . , NUn(η) = 1
}
,
де U1, . . . , Un ∈ Oc(X), U1, . . . , Un ⊂ Y та Ui ∩ Uj = ∅ при i 6= j. Побудована за O
(
Γ
(n)
0,Y
)
борелiвська σ-алгебра B
(
Γ
(n)
Y
)
збiгатиметься з σ-алгеброю, породженою сiм’єю вiдображень
NΛ, Λ ∈ Bc(X), Λ ⊂ Y (див., наприклад, [8]).
Простором скiнченних конфiгурацiй над множиною Y ∈ B(X) називається диз’юнктне
об’єднання
Γ0,Y :=
⊔
n∈N0
Γ
(n)
Y . (2.1)
Структура диз’юнктного об’єднання дозволяє визначити на Γ0,Y топологiю O(Γ0,Y ). Вiдпо-
вiдну борелiвську σ-алгебру будемо позначати B(Γ0,Y ). У випадку Y = X будемо нехтувати
нижнiм iндексом, тобто Γ(n) := Γ
(n)
X , Γ0 := Γ0,X .
Множину B ∈ B(Γ0) називатимемо обмеженою, якщо iснують такi Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N,
що B ⊂
⊔N
n=0
Γ
(n)
Λ . Клас усiх обмежених множин з B(Γ0) будемо позначати Bb(Γ0). Мiру ρ
на (Γ0,B(Γ0)) будемо називати локально скiнченною, якщо ρ(B) <∞ для довiльної множини
B ∈ Bb(Γ0). Клас усiх локально скiнченних мiр на (Γ0,B(Γ0)) позначимоMlf(Γ0). Важливим
прикладом локально скiнченної мiри на Γ0 є мiра Лебега – Пуассона, яку ми зараз визначимо.
Мiра m(n) на B(Γ(n)) визначається як образ продакт-мiри m⊗n на (̃X)n пiд дiєю вiдображення
symX,n. Це означення є коректним, оскiльки m⊗n
(
(X)n \ (̃X)n
)
= 0. При n = 0 покладемо
m(0)({∅}) := 1. Нехай число z > 0 задано. Мiра Лебега – Пуассона λz на (Γ0,B(Γ0)) визнача-
ється вiдповiдно до розкладу (2.1) таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1550 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
λz :=
∞∑
n=0
zn
n!
m(n). (2.2)
Для довiльного Λ ∈ Bc(X) звуження мiри λz на Γ0,Λ будемо також позначати λz. Невiд’ємне
число z називається iнтенсивнiстю мiри λz або її параметром активностi. При z = 1 будемо
нехтувати iндексом, тобто λ := λ1. У [14] показано, що для довiльної множини A ∈ B(X)
такої, що m(A) = 0, виконується рiвнiсть
λ ({η ∈ Γ0,Y | η ∩A 6= ∅}) = 0, Y ∈ B(X).
Зокрема, можна покласти Y = X. Маємо очевидний наслiдок: для довiльних ξ ∈ Γ0, x ∈ X
λ ({η ∈ Γ0 | x ∈ η}) = λ ({η ∈ Γ0 | ξ ∩ η 6= ∅}) = 0. (2.3)
Розглянемо деякi класи дiйснозначних функцiй на Γ0. Пiд вимiрною функцiєю на Γ0 завжди
будемо розумiти B(Γ0)/B(R)-вимiрну функцiю. Клас усiх вимiрних функцiй на Γ0 позначимо
L0(Γ0). Вiдповiдно до розкладу (2.1) кожна функцiя G ∈ L0(Γ0) задається системою своїх
звужень G(n) := G �Γ(n) . Для симетричної функцiї G(n) ◦ sym−1
X,n : (̃X)n → R будемо викори-
стовувати те саме позначення G(n), крiм випадкiв, коли це призведе до непорозумiння. Будемо
казати, що G ∈ L0(Γ0) має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке, що G �Γ0\Γ0,Λ
= 0.
Множину всiх вимiрних функцiй на Γ0, що мають локальний носiй, позначимо L0
ls(Γ0). Ана-
логiчно, будемо казати, що G ∈ L0(Γ0) має обмежений носiй, якщо iснує B ∈ Bb(Γ0) таке, що
G �Γ0\B= 0. Множину всiх обмежених вимiрних функцiй на Γ0, що мають обмежений носiй,
позначимо Bbs(Γ0).
Для довiльної B(X)-вимiрної функцiї f : X → R визначимо експоненту Лебега – Пуассона,
як функцiю на Γ0, задану таким чином:
eλ(f, η) :=
∏
x∈η
f(x), η ∈ Γ0 \ {∅}, eλ(f,∅) := 1. (2.4)
3. ∗-Числення. Введемо наступну згортку мiж функцiями G1, G2 ∈ L0(Γ0) на Γ0 (див.,
наприклад, [19]):
(G1 ∗G2)(η) :=
∑
ξ⊂η
G1(ξ)G2(η \ ξ). (3.1)
Наприклад, для довiльних вимiрних f, g : X → R
eλ(f) ∗ eλ(g) = eλ(f + g), (3.2)
що безпосередньо випливає з (2.4) та (3.1).
Твердження 3.1 (див., наприклад, [14]). Для довiльних H, G1, G2 ∈ L0(Γ0) справджу-
ється тотожнiсть∫
Γ0
H(η)(G1 ∗G2)(η)dλ(η) =
∫
Γ0
∫
Γ0
H(η ∪ ξ)G1(η)G2(ξ)dλ(ξ)dλ(η), (3.3)
якщо принаймнi один з iнтегралiв має сенс.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1551
Нехай C > 0 та δ ≥ 0. Розглянемо банаховий простiр
KC, δ =
{
k : Γ0 → R
∣∣∣ |k(η)| ≤ const · C |η|(|η|!)δ для λ-м. в. η ∈ Γ0
}
з нормою ‖k‖C, δ := ess supη∈Γ0
|k(η)|
C |η|(|η|!)δ
. Очевидно, при C ′ ≥ C, δ′ ≥ δ має мiсце включення
KC, δ ⊂ KC′, δ′ . При δ = 0 будемо нехтувати цим iндексом, тобто KC := KC,0.
Твердження 3.2. Нехай C1, C2 > 0, δ1, δ2 ≥ 0 i функцiї ki ∈ KCi, δi , i = 1, 2. Тодi
функцiя k := k1 ∗ k2 належить простору KC, δ, де C = C1 + C2, δ = max{δ1, δ2}. Крiм того,
виконується нерiвнiсть типу Юнга
‖k1 ∗ k2‖C, δ ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.4)
Якщо δ ≥ 1, C1 6= C2, то функцiя k1 ∗ k2 належить бiльш вузькому простору KC̄, δ, де
C̄ = max{C1, C2}, до того ж виконується нерiвнiсть
‖k1 ∗ k2‖C̄, δ ≤
C̄∣∣C1 − C2
∣∣‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.5)
Якщо δ ≥ 1, C1 = C2, то функцiя k1 ∗ k2 належить простору KC′, δ для довiльного C ′ > C1,
причому
‖k1 ∗ k2‖C′, δ ≤
C ′
eC1 ln
C ′
C1
‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 . (3.6)
Якщо k1 ∈ KC1,δ1 , C1 > 1, δ1 ≥ 1 i k2 ∈ L∞(Γ0) := L∞(Γ0, dλ), то k1 ∗ k2 ∈ KC1,δ1 , до
того ж
‖k1 ∗ k2‖C1, δ1 ≤
C1
C1 − 1
‖k1‖C1, δ1‖k2‖L∞(Γ0). (3.7)
Якщо k1, k2 ∈ L∞(Γ0), то k1 ∗ k2 ∈ KC,0 для всiх C ≥ 2 i k1 ∗ k2 ∈ KC,δ для всiх δ > 0, C > 0,
зокрема,
‖k1 ∗ k2‖C,0 ≤ ‖k1‖L∞(Γ0)‖k2‖L∞(Γ0), C ≥ 2. (3.8)
Доведення. Для λ-м. в. η ∈ Γ0 маємо
C−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ C−|η|(|η|!)−δ
∑
ξ⊂η
|k1(ξ)||k2(η \ ξ)| =
= C−|η|(|η|!)−δ
∑
ξ⊂η
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1 |k1(ξ)|
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1
|k2(ξ)|
C
|η\ξ|
2 (|η \ ξ|!)δ2
C
|η\ξ|
2 (|η \ ξ|!)δ2 ≤
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1 (k!)δ1
(|η|!)δ
C
|η|−k
2 ((|η| − k)!)δ2 ≤
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
(
|η|!
k!(|η| − k)!
)1−δ
Ck1C
|η|−k
2 ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1552 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1C
|η|−k
2 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2 , (3.9)
що доводить перше твердження.
У випадку, якщо δ ≥ 1, з (3.9) маємо
C̄−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C
−|η|
|η|∑
k=0
Ck1C
|η|−k
2 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2C̄
−|η|C
|η|+1
1 − C |η|+1
2
C1 − C2
.
Нехай, для визначеностi, C̄ = max{C1, C2} = C1. Тодi
ess sup
η∈Γ0
C−|η|
C
|η|+1
1 − C |η|+1
2
C1 − C2
= ess sup
η∈Γ0
C1 −
(
C2
C1
)|η|
C2
C1 − C2
=
C1
C1 − C2
,
що доводить друге твердження.
Якщо ж C1 = C2, то
(C ′)−|η|(|η|!)−δ|k(η)| ≤ ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2(C ′)−|η|
|η|∑
k=0
C
|η|
1 =
= ‖k1‖C1, δ1‖k2‖C2, δ2
(
C1
C ′
)|η|
|(η|+ 1),
i результат випливає з властивостi елементарної функцiї
max
x≥1
(x+ 1)ax = − 1
ae ln a
, a ∈ (0; 1).
Нехай тепер k2 ∈ L∞(Γ0). Тодi
C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
∑
ξ⊂η
|k1(ξ)||k2(η \ ξ)| ≤ ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
∑
ξ⊂η
C
|ξ|
1 (|ξ|!)δ1 =
= ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1 (|η|!)−δ1
|η|∑
k=0
|η|!
k!(|η| − k)!
Ck1 (k!)δ1 ≤
≤ ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1C
−|η|
1
|η|∑
k=0
Ck1 = ‖k2‖L∞(Γ0)‖k1‖C1, δ1
C1 − C−|η|1
C1 − 1
,
i при C1 > 1 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1553
ess sup
η∈Γ0
C1 − C−|η|1
C1 − 1
=
C1
C1 − 1
,
що доводить (3.7).
Останнє твердження випливає з рiвностей
∑
ξ⊂η
1 = 2|η| i ess supη∈Γ0
(
2
C
)|η|
= 1 при
C ≥ 2.
Твердження 3.2 доведено.
Наслiдок 3.1. Нехай k ∈ KC,δ, C > 0, δ ≥ 0. Тодi при δ ∈ [0; 1) k∗n ∈ KnC,δ, n ∈ N, i
‖k∗n‖nC,δ ≤ ‖k‖nC,δ. Якщо δ ≥ 1, то для довiльного C ′ > C k∗n ∈ KC′,δ, n ≥ 2, до того ж
‖k∗n‖C′,δ ≤
(
C ′
C ′ − C
)n−2 C ′
eC ln
C ′
C
‖k‖nC,δ, n ≥ 2.
Якщо ж k ∈ L∞(Γ0), то k∗n ∈ KC,0 для всiх C ≥ 2, n ∈ N, причому
‖k∗n‖C,0 ≤
(
C
C − 1
)n−2
‖k‖nL∞(Γ0), n ≥ 2.
Подальшi результати цього пункту є, в певному сенсi, „фольклорними”. Вони або наводяться
в лiтературi без доведень, як у [19], або випливають з не повнiстю обґрунтованих загальних
конструкцiй, як у [20 – 22]. Тому, для зручностi читача, всi цi результати наведено з повними
доведеннями.
Для довiльного c ∈ R розглянемо множину Ic вимiрних функцiй на Γ0 таких, що u(∅) = c.
Зауважимо, що оскiльки (u1 ∗u2)(∅) = u1(∅)u2(∅), то множина I0 є iдеалом в алгебрi L0(Γ0)
з добутком ∗. Одиницею цiєї алгебри є функцiя
u∗0(η) := 1∗(η) := 0|η|.
Для довiльної u ∈ L0(Γ0) i n ∈ N маємо
u∗n(η) = (u ∗ . . . ∗ u︸ ︷︷ ︸
n
)(η) =
∑
η1t...tηn=η
u(η1) . . . u(ηn), η ∈ Γ0,
звiдки для u ∈ I0 отримуємо
u∗n(η) = 0, n > |η|.
Отже, для довiльної гладкої функцiї f : R→ R, яка розкладається в ряд у деякiй областi D ⊂ R:
f(t) =
∞∑
n=0
ant
n, t ∈ D,
можна визначити для довiльної u ∈ I0 такої, що u(Γ0) ⊂ D, наступну функцiю на Γ0:
(f∗u)(η) :=
∞∑
n=0
anu
∗n(η), η ∈ Γ0. (3.10)
Дiйсно, для всiх η ∈ Γ0 права частина (3.10) є скiнченною. Зазначимо, що (f∗u)(∅) = a0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1554 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Зокрема, для f(t) = et можна розглянути для всiх u ∈ I0
exp∗ u(η) :=
∞∑
n=0
1
n!
u∗n(η) = 1∗(η) +
∑
⊔
i ηi=η
∏
i
u(ηi), (3.11)
де пiдсумовування проводиться по всiх розбиттях конфiгурацiї η на непорожнi пiдмножини.
Зрозумiло, що k := exp∗ u ∈ I1. Будемо казати, що функцiя u є кумулянтом функцiї k.
Для довiльної k ∈ I1 можна розглянути функцiю k̄ = k − 1∗ ∈ I0. Тодi якщо функцiя f :
R→ R допускає розклад
f(1 + t) =
∞∑
n=0
ant
n, t ∈ D ⊂ R,
то ми можемо визначити
(f∗k)(η) :=
∞∑
n=0
ank̄
∗n(η), η ∈ Γ0.
Знову зауважимо, що для кожного η ∈ Γ0 ряд перетворюється на скiнченну суму.
Наведемо два приклади таких функцiй.
Твердження 3.3. Нехай k ∈ I1, тодi iснує функцiя
k∗−1(η) :=
∞∑
n=0
(−1)nk̄∗n(η), η ∈ Γ0, (3.12)
така, що k∗−1 ∈ I1 i
k ∗ k∗−1 = 1∗.
Доведення. Включення k∗−1 ∈ I1 випливає безпосередньо з (3.12). Далi,
(
k ∗ k∗−1
)
(η) =
∑
ξtζ=η
k (ξ) k∗−1 (ζ) =
∑
ξtζ=η
k (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) =
=
∑
ξtζ=η
1∗ (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) +
∑
ξtζ=η
k̄ (ξ)
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (ζ) =
=
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗n (η) +
∞∑
n=0
(−1)n
∑
ξtζ=η
k̄ (ξ) k̄∗n (ζ) =
= k∗−1 (η) +
∞∑
n=0
(−1)n k̄∗ (n+1) (η) =
= k∗−1 (η) +
∞∑
n=1
(−1)n−1 k̄∗n (η) = k∗−1 (η)−
∞∑
n=1
(−1)n k̄∗n (η) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1555
= k∗−1 (η)−
( ∞∑
m=0
(−1)m k̄∗m (η)− 1∗ (η)
)
= 1∗ (η) ,
що доводить твердження 3.3.
Для того щоб вивчити властивостi другої функцiї, розглянемо для довiльного x ∈ X вимiрне
вiдображення
(DxG)(η) := G(η ∪ x), G ∈ L0(Γ0). (3.13)
Як легко бачити, це вiдображення задовольняє „ланцюгове правило”:
Dx(G1 ∗G2) = (DxG1) ∗G2 +G1 ∗ (DxG2), x ∈ X, (3.14)
для довiльних G1, G2 ∈ L0(Γ0). Зазначимо, що Dx1∗ = 0. Отже, з (3.11) випливає, що
Dx exp∗ u = Dxu ∗ exp∗ u, u ∈ I0. (3.15)
Твердження 3.4. Нехай k ∈ I1, тодi iснує функцiя
(ln∗ k)(η) :=
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
k̄∗n(η), η ∈ Γ0,
така, що ln∗ k ∈ I0, до того ж
ln∗ exp∗ u = u, u ∈ I0, exp∗ ln∗ k = k, k ∈ I1.
Доведення. Включення ln∗ k ∈ I0 є очевидним. Далi, з (3.14) i (3.12) отримуємо, що для
всiх η ∈ Γ0, x ∈ X \ η
Dx ln∗ k(η) = Dxk ∗ k∗−1,
де враховано, що Dxk̄ = Dxk. Таким чином, використовуючи (3.15), дiстаємо
Dx ln∗ exp∗ u = Dx exp∗ u ∗ (exp∗ u)∗−1 = Dxu ∗ exp∗ u ∗ (exp∗ u)∗−1 = Dxu.
Але якщо для u1, u2 ∈ I0
Dxu1(η) = u1(η ∪ x) = Dxu2(η) = u2(η ∪ x), η ∈ Γ0, x ∈ X \ η,
то u1 = u2. Отже, ln∗ exp∗ u = u.
Навпаки, нехай k ∈ I1. Покладемо exp∗ ln∗ k = k0, тодi k0 ∈ I1 i з попереднiх мiркувань
маємо
ln∗ k0 = ln∗ exp∗ ln∗ k = ln∗ k. (3.16)
Доведемо, що з цього випливає рiвнiсть k = k0. Насамперед зауважимо, що для довiльних
k1, k2 ∈ I1 виконується k1 ∗ k2 ∈ I1 i
(k1 ∗ k2)∗−1 = (k1)∗−1 ∗ (k1)∗−1,
оскiльки (k1)∗−1 ∗ (k1)∗−1 ∗ k1 ∗ k2 = 1∗ ∗ 1∗ = 1∗. Далi, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1556 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Dx ln∗(k1 ∗ k2) = (k1 ∗ k2)∗−1 ∗ Dx(k1 ∗ k2) =
= k∗−1
1 ∗ k∗−1
2 ∗ Dxk1 ∗ k2 + k∗−1
1 ∗ k∗−1
2 ∗ k1 ∗ Dxk2 =
= k∗−1
1 ∗ Dxk1 + k∗−1
2 ∗ Dxk2 = Dx ln∗ k1 +Dx ln∗ k2.
Таким чином, ln∗(k1 ∗ k2) = ln∗ k1 + ln∗ k2. Отже,
0 = ln∗ 1∗ = ln∗(k2 ∗ k∗−1
2 ) = ln∗ k2 + ln∗ k∗−1
2 , ln∗ k∗−1
2 = − ln∗ k2,
звiдки випливає, що ln∗(k1 ∗ k∗−1
2 ) = ln∗ k1 − ln∗ k2, i в результатi з (3.16) дiстаємо
ln∗(k ∗ k∗−1
0 ) = 0. (3.17)
Але ж для довiльного k3 ∈ I1 з умови ln∗ k3 = 0 випливає, що
0 = Dx ln∗ k3 = k∗−1
3 ∗ Dxk3,
звiдки 0 = Dxk3(η) = k3(η ∪ x), k3 = 1∗. Тодi з (3.17) отримуємо k ∗ k∗−1
0 = 1∗, k0 = k, що
доводить твердження 3.4.
4. Оператор множення вiдносно ∗-згортки. Нехай a ∈ KCa,δa для деяких Ca > 0, δa ≥ 0.
Тодi, за твердженням 3.2, для довiльного C > Ca, δ ≥ δa можна розглянути вiдображення
A : KC−Ca,δ → KC,δ, що задане рiвнiстю
(Ak)(η) = (a ∗ k)(η), η ∈ Γ0. (4.1)
Твердження 4.1. Оператор A з областю визначення KC−Ca,δ допускає замикання у ба-
наховому просторi KC,δ.
Зауваження 4.1. Як легко бачити, оператор A не є щiльно заданим у KC,δ.
Доведення. Нехай {kn}n∈N ⊂ KC−Ca,δ i ‖kn‖C,δ → 0, n → ∞. Припустимо, що iснує
b ∈ KC,δ таке, що ‖a∗kn−b‖C,δ → 0. Тодi за твердженням 3.2 i нерiвнiстю мiж нормами в KC,δ
i KC+Ca,δ ⊃ KC,δ 3 b маємо
‖b‖C+Ca,δ ≤ ‖a ∗ kn‖C+Ca,δ + ‖a ∗ kn − b‖C+Ca,δ ≤
≤ ‖a‖Ca,δa‖kn‖C,δ + ‖a ∗ kn − b‖C,δ → 0, n→∞.
Звiдси b = 0 в KC+Ca,δ, звiдки b(η) = 0 для λ-м. в. η ∈ Γ0, а отже, b = 0 i в KC,δ.
Твердження 4.1 доведено.
Зазначимо, що якщо a ∈ L∞(Γ0), то, як випливає з твердження 3.2, оператор (4.1) визначе-
ний на всьому просторi KC,δ для довiльного C > 1, δ ≥ 1, а отже, вiн є обмеженим на цьому
просторi.
Розглянемо еволюцiйне рiвняння
∂
∂t
kt = Akt, k
∣∣
t=0
= k0. (4.2)
Очевидно, що формальним розв’язком цього рiвняння буде функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1557
kt =
∞∑
n=0
tn
n!
a∗n ∗ k0 = exp∗(ta) ∗ k0. (4.3)
Якщо a ∈ I0, то exp∗(ta) визначено поточково (див. (3.11)) i (4.3) задає поточковий розв’язок
рiвняння (4.2).
Якщо a ∈ L∞(Γ0), то за наслiдком 3.1 a∗n ∈ KC,0 для довiльного C ≥ 2, до того ж
‖ exp∗(ta)‖C,0 ≤ 1 + t‖a‖L∞(Γ0) +
∑
n=2
tn
n!
(
C
C − 1
)n−2
‖a‖nL∞(Γ0) < exp
(
Ct
C − 1
‖a‖L∞(Γ0)
)
,
тобто exp∗(ta) ∈ KC,0, C ≥ 2. Тодi розв’язнiсть рiвняння (4.2) у просторах KC,δ, δ ≥ 0,
безпосередньо випливає з твердження 3.2.
Якщо ж ми розглядаємо розв’язок рiвняння (4.2) в бiльш широких просторах, коли δ ≥ 1,
то можна допустити, що a ∈ KCa,δa , δa ≥ 1. Тодi за наслiдком 3.1 a∗n ∈ KC,δa для довiльного
C > Ca i ряд у (4.3) збiгається в KC,δa . Далi, знов-таки, за твердженням 3.2 маємо, що якщо,
наприклад, k0 ∈ KC0,δa , C0 < C, то kt ∈ KC,δa .
Розглянемо банахiв простiр LC,δ := L1
(
Γ0, C
|η|(|η|!)δ dλ(η)
)
, C > 0, δ ≥ 0, з нормою
‖G‖LC,δ :=
∫
Γ0
|G(η)|C |η|(|η|!)δ dλ(η) =
∞∑
n=0
Cn
(n!)1−δ
∫
Xn
|G(n)(x1, . . . , xn)|dm(x1) . . . dm(xn).
Зрозумiло, що Bbs(Γ0) ⊂ LC,δ при всiх C > 0, δ ≥ 0, причому вкладення є щiльним, а також
eλ(f) ∈ LC,δ при всiх C > 0, δ ∈ [0; 1), f ∈ L1(X, dm).
Простiр KC,δ є реалiзацiєю топологiчно дуального простору до LC,δ, тобто можна говорити
про дуальнiсть мiж цими просторами, задану спаренням
〈〈G, k〉〉 :=
∫
Γ0
G(η)k(η)dλ(η), G ∈ LC,δ, k ∈ KC,δ.
Нехай оператор A′ у просторi LC,δ задано виразом
(A′G)(η) :=
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a(ξ) dλ(ξ), G ∈ D(A′),
де D(A′) складається з усiх G ∈ LC,δ таких, що A′G ∈ LC,δ. Зрозумiло, що так заданий
оператор з максимальною областю визначення є замкненим. Оскiльки за тотожнiстю (3.3)∫
Γ0
|A′G(η)|C |η|(|η|!)δ dλ(η) ≤
∫
Γ0
∣∣G(η)
∣∣(|a| ∗ C |·|(| · |!)δ)(η) dλ(η),
то з твердження 3.2 випливає, що для довiльного a ∈ KCa,δa , Ca > 0, δa ≥ 0, має мiсце
включення Bbs(Γ0) ⊂ D(A′) при C > 0, δ ≥ 0. Отже, A′ є щiльно заданим. Бiльш того, при
δa ≤ δ виконується включення LC+Ca,δ ⊂ D(A′). Нарештi, якщо max {1, δa} ≤ δ, Ca < C,
то D(A′) = LC,δ, тобто оператор A′ є обмеженим в LC,δ.
З (3.3) маємо, що для довiльного G ∈ D(A′) ⊂ LC,δ, C > 0, δ ≥ 0, i довiльного k ∈ KC,δ
такого, що Ak ∈ KC,δ, випливає
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1558 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
〈〈A′G, k〉〉 = 〈〈G,Ak〉〉.
Оператор A′ будемо називати переддуальним до A.
Твердження 4.2. Нехай a ∈ KCa,δa , Ca > 0, δa ≥ 0, C > Ca, δ ≥ max {δa, 1}. Тодi iснує
z0 > 0 таке, що для всiх z > z0 резольвента оператора A′ у просторi LC,δ має вигляд
(
Rz(A
′)G
)
(η) :=
(
(z11−A′)−1G
)
(η) =
∞∑
n=0
1
zn+1
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a∗n(ξ) dλ(ξ). (4.4)
Доведення. Покажемо, що права частина (4.4) є рядом Неймана. Дiйсно, (z11 − A′)−1 =
= z−1
∑∞
n=0
(A′)n
zn
i, з урахуванням (3.3), (A′)nG(η) =
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)a∗n(ξ) dλ(ξ). Оскiльки A′
є обмеженим оператором в LC,δ, твердження 4.2. доведено.
Зауваження 4.2. Нехай a ∈ I0. Тодi для довiльного z ∈ R i довiльного k ∈ L0(Γ0) iснує
(z11−A)−1k =
1
z
(
1∗ − a
z
)∗−1
∗ k =
∞∑
n=0
1
zn+1
a∗n ∗ k,
причому ряд є визначеним поточково.
Розглянемо три простих, але важливих приклади оператора A, в яких a ∈ L∞(Γ0). Нехай
a(η) = 1, η ∈ Γ0. Тодi Ak = K0k, де
(K0k)(η) =
∑
ξ⊂η
k(ξ), η ∈ Γ0
(сенс позначення K0 буде зрозумiлий з другої частини роботи). Переддуальним до K0 буде так
званий оператор Майєра
(DG)(η) := (K ′0G)(η) =
∫
Γ0
G(η ∪ ξ) dλ(ξ), η ∈ Γ0.
Оскiльки 1 = eλ(1), то з рiвностi (3.2) випливає, що в цьому випадку a∗n(η) = n|η|, η ∈ Γ0,
тобто формальний розв’язок еволюцiйного рiвняння (4.2) має вигляд
kt =
∞∑
n=0
n|·|tn
n!
∗ k0,
причому ряд є, очевидно, збiжним поточково.
У другому прикладi a(η) = −1, η ∈ Γ0, що визначає обернений оператор
(K−1
0 k)(η) =
∑
ξ⊂η
(−1)|η\ξ|k(ξ), η ∈ Γ0,
оскiльки (1 ∗ (−1)) (η) =
∑
ξ⊂η
(−1)|η\ξ| = 0|η| = 1∗(η). Переддуальним у цьому випадку буде
оператор
(D−1G)(η) := ((K−1
0 )′G)(η) =
∫
Γ0
(−1)|ξ|G(η ∪ ξ) dλ(ξ), η ∈ Γ0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1559
розв’язок рiвняння (4.2) записується аналогiчно, з урахуванням того, що (−1)∗n(η) = (−1)nn|η|,
η ∈ Γ0.
I, нарештi, нехай σ : X → R — вимiрна функцiя i
a(η) =
σ(x), η = {x},
0, |η| 6= 1,
η ∈ Γ0. Тодi
(Ak)(η) =
∑
x∈η
σ(x)k(η \ x), η ∈ Γ0.
З означення згортки випливає (iндукцiєю по n), що a∗n(η) = n!11Γ(n)(η)
∏
x∈η
σ(x), η ∈ Γ0,
n ∈ N. Звiдси
exp∗(ta)(η) =
∞∑
n=0
11Γ(n)(η)tn
∏
x∈η
σ(x) = eλ(tσ, η), η ∈ Γ0.
Отже, поточковим розв’язком еволюцiйного рiвняння
∂
∂t
kt(η) =
∑
x∈η
σ(x)kt(η \ x), k
∣∣
t=0
= k0, η ∈ Γ0, (4.5)
є функцiя kt = eλ(tσ) ∗ k0. Зазначимо, що якщо k0 = eλ(C) ∈ KC,0, C > 0, то з (3.2) маємо
kt(η) = eλ(C + tσ, η), η ∈ Γ0. Отже, якщо, наприклад, σ ∈ L∞(X, dm), q = ‖σ‖L∞(X),
то kt ∈ KC+tq,0, t ≥ 0, тобто для будь-якого C ′ > C розв’язок (4.5) належить простору KC′,0
тiльки на скiнченному промiжку часу. Проте, як легко бачити, для довiльних C ′ > 0, δ > 0,
t ≥ 0 має мiсце включення kt ∈ KC′,δ. Аналогiчно можна показати, що якщо k0 ∈ KC,δ, C > 0,
δ > 0, то kt ∈ KC,δ+ε для довiльного ε > 0 i для всiх t ≥ 0.
Зауваження 4.3. Нехай δ ∈ [0; 1). В останньому прикладi вдається показати еволюцiю
KC,δ 3 k0 7→ kt ∈ KC,δ+ε для довiльного ε > 0, лише враховуючи явне зображення для
exp∗(ta). Якщо ж намагатись отримати для загального a оцiнку на exp∗(ta) через ряд, то ми
зiткнемося з необхiднiстю розглядати ε ≥ 1. Рiч у тiм, що якщо ми захочемо вкласти a∗n ∈
∈ KCn,δ у простiр KC,δ+ε, де ε не залежить вiд n, то норма a∗n в KC,δ+ε буде зростати по n
в залежностi вiд ε. На жаль, поки що вiдома лише оцiнка зверху виразом ‖a‖nC,δ exp
{
εn1/ε
}
,
звiдки випливає достатнiсть умови ε ≥ 1 для збiжностi ряду
∑∞
n=0
tn
n!
a∗n в KC,δ+ε. Точна
асимптотика оператора вкладення по n та ε наразi невiдома.
Зауваження 4.4. Нехай D(Γ0) — деякий лiнiйний топологiчний простiр вимiрних функцiй
на Γ0, який є неперервно вкладеним у LC,δ для деяких C > 0, δ ≥ 0. Оскiльки для довiльного
k ∈ KC,δ вiдображенняG 7→
∫
Γ0
Gk dλ задає лiнiйний неперервний функцiонал на LC,δ, то воно
буде задавати лiнiйний неперервний функцiонал i на D(Γ0). Отже, k можна розглядати як регу-
лярну узагальнену функцiю на D(Γ0). Рiвнiсть (3.3) тодi можна розумiти як спосiб визначення
згортки регулярних узагальнених функцiй (пор., наприклад, з [3, с. 135]). Внаслiдок асоцiатив-
ностi ∗-згортки оператор A має наступну властивiсть: A(k1 ∗ k2) = (Ak1) ∗ k2 = k1 ∗ (Ak2). Цю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1560 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
ж властивiсть має довiльний оператор диференцiювання на узагальнених функцiях над (Rd)n,
(див., наприклад, [3, с. 137]). Проте оператор A не задовольняє „ланцюгове правило” в алгеб-
рi функцiй з L0(Γ0) з множенням, заданим ∗-згорткою. Оператори, що є диференцiюванням
вiдносно ∗-згортки, розглянуто нижче.
5. Додатковi конструкцiї. 5.1. Згортка мiр на Γ0. У подальшому нам будуть потрiбнi
простори конфiгурацiй двох рiзних типiв, якi ми позначимо «+» та «−». А саме, для довiльних
Y ± ∈ B(X), n± ∈ N розглянемо Γ
±,(n±)
0,Y ± := Γ
(n±)
0,Y ± , Γ±
0,Y ± := Γ0,Y ± , Γ±0 := Γ0 та покладе-
мо Γ
2,(n+,n−)
0,Y +,Y − := Γ
+,(n+)
0,Y + × Γ
−,(n−)
0,Y − , Γ2
0,Y +,Y − := Γ+
0,Y + × Γ−
0,Y − , Γ2
0 := Γ+
0 × Γ−0 . У випадку,
коли Y + = Y − = Y ∈ B(X), n+ = n− = n ∈ N, будемо писати Γ
2,(n)
0,Y = Γ
+,(n)
0,Y × Γ
−,(n)
0,Y ,
Γ2
0,Y = Γ+
0,Y × Γ−0,Y . На всiх цих просторах можна ввести продакт-топологiю, i цi топологiї
будуть узгодженi з розкладами типу Γ2
0,Y =
⊔
n+,n−∈N0
Γ
+,(n+)
0,Y × Γ
−,(n−)
0,Y . Очевидно, що вiд-
повiднi борелiвськi σ-алгебри будуть мiнiмальними σ-алгебрами, що породженi декартовими
добутками борелiвських множин iз просторiв конфiгурацiй одного типу. Як i ранiше, якщо
Y = Λ ∈ Bc(X), будемо нехтувати 0 у нижньому iндексi.
Визначимо тепер ще деякi поняття, аналогiчнi до розглянутих вище на просторах конфi-
гурацiй одного типу. Функцiя G : Γ2
0 → R має локальний носiй, якщо iснує Λ ∈ Bc(X) таке,
що G �Γ2
0\(Γ
+
Λ×Γ−Λ )= 0. Клас усiх вимiрних функцiй на Γ2
0 iз локальним носiєм позначимо
L0
ls(Γ
2
0). Множина B ∈ B(Γ2
0) називається обмеженою, якщо iснують Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N
такi, що B ⊂
(⊔N
n=0
Γ
+,(n)
Λ
)
×
(⊔N
n=0
Γ
−,(n)
Λ
)
. Клас усiх обмежених множин в B(Γ2
0) по-
значимо Bb(Γ2
0). Функцiя G : Γ2
0 → R має обмежений носiй, якщо iснує B ∈ Bb(Γ2
0) така, що
G �
Γ2
0\B̃
= 0. Клас усiх обмежених функцiй з обмеженим носiєм позначимо Bbs(Γ
2
0). Мiра ρ на(
Γ2
0,B(Γ2
0)
)
називається локально скiнченною, якщо ρ(B) <∞ для всiх B ∈ Bb(Γ2
0). Клас усiх
таких мiр позначимоMlf(Γ
2
0).
Для вимiрної функцiї G : Γ0 → R розглянемо вимiрну функцiю G̃ : Γ2
0 → R, визначену
рiвнiстю
G̃(η+, η−) = G(η+ ∪ η−), (η+, η−) ∈ Γ2
0. (5.1)
Для ρi ∈ Mlf(Γ0), i = 1, 2, розглянемо мiру ρ̂ на
(
Γ2
0,B(Γ2
0)
)
, визначену рiвнiстю
dρ̂(η+, η−) = dρ1(η+) dρ2(η−), тобто ρ̂ = ρ1 ⊗ ρ2. Очевидно, що ρ̂ ∈Mlf(Γ
2
0).
Означення 5.1. Нехай ρi, i = 1, 2, — мiри на просторi (Γ0,B(Γ0)) . Згорткою цих мiр
називається мiра ρ на (Γ0,B(Γ0)) така, що для довiльної вимiрної G : Γ0 → R, для якої
G̃ ∈ L1(Γ2
0, dρ̂), виконується рiвнiсть∫
Γ0
G(η)dρ(η) =
∫
Γ2
0
G̃(η+, η−) dρ̂(η+, η−) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−). (5.2)
Позначення: ρ = ρ1 ∗ ρ2.
Твердження 5.1. Нехай ρ1,2 ∈Mlf(Γ0), ρ = ρ1 ∗ ρ2. Тодi ρ ∈Mlf(Γ0).
Доведення. Нехай B ∈ Bb(Γ0), тобто iснують Λ ∈ Bc(X) та N ∈ N такi, що B ⊂ AN :=
:=
⋃N
n=0
Γ
(n)
Λ . Тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1561
ρ(B) =
∫
Γ
11B(η) dρ(η) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11B(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) ≤
≤
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11AN (η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) ≤
≤
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
11AN (η+)11AN (η−) dρ1(η+) dρ2(η−) = ρ1(AN )ρ2(AN ) <∞.
Твердження 5.1 доведено.
Позначення ∗ для згортки мiр збiгається з позначенням для ∗-згортки функцiй, заданим
у (3.1). Це вмотивовано наступним твердженням.
Твердження 5.2. Нехай ρi ∈ Mlf(Γ0), i = 1, 2, та iснують похiднi Радона – Нiкодима
вiдносно мiри Лебега – Пуассона: ki =
dρi
dλ
, i = 1, 2. Тодi згортка мiр ρ = ρ1 ∗ ρ2 також має
похiдну Радона – Нiкодима вiдносно мiри Лебега – Пуассона k =
dρ
dλ
i при цьому k = k1 ∗ k2.
Доведення. Нехай G ∈ Bbs(Γ0). Тодi, враховуючи умову, з (5.2) отримуємо∫
Γ0
G(η) dρ(η) =
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−) dρ1(η+) dρ2(η−) =
=
∫
Γ+
0
∫
Γ−0
G(η+ ∪ η−)k1(η+)k2(η−) dλ(η+) =
∫
Γ0
G(η)(k1 ∗ k2)(η) dλ(η),
де ми використали (3.3).
Твердження 5.2 доведенo.
5.2. Твiрний функцiонал. Твiрнi функцiонали, або функцiонали Боголюбова, було введено
в [1] (бiльш сучаснi результати див., наприклад, у [13]). Властивостi твiрних функцiоналiв тiсно
пов’язанi з властивостями ймовiрнiсних мiр на просторах локально скiнченних конфiгурацiй.
Тому в першiй частинi роботи обмежимося вивченням лише деяких окремих властивостей
таких функцiоналiв у термiнологiї просторiв скiнченних конфiгурацiй.
Нехай k ∈ KC,δ, C > 0, δ ∈ [0; 1). Тодi функцiонал (пор. з [13], формула (9))
Bk(f) :=
∫
Γ0
eλ(f, η)k(η) dλ(η), f ∈ L1 := L1, (X, dm),
є коректно визначеним, оскiльки∣∣Bk(f)
∣∣ ≤ ∞∑
n=0
1
(n!)1−δ (C‖f‖L1)n <∞.
З (3.3) та твердження 3.2 маємо, що якщо ki ∈ KCi,δi , Ci > 0, δi ∈ [0; 1), i = 1, 2, то k1 ∗ k2 ∈
∈ KC,δ, де C = C1 + C2, δ = max {δ1, δ2} i
Bk1∗k2(f) = Bk1(f)Bk2(f), f ∈ L1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1562 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Зауваження 5.1. Цю процедуру можна узагальнити на випадок мiр на Γ0. А саме, нехай
ρ ∈Mlf(Γ0) така, що eλ(f) ∈ L1(Γ0, dρ) для всiх f ∈ L1. Тодi можна визначити функцiонал
B̃ρ(f) :=
∫
Γ0
eλ(f, η) dρ(η), f ∈ L1.
З (5.2) отримуємо, що B̃ρ1∗ρ2(f) = B̃ρ1(f)B̃ρ2(f), f ∈ L1. Зрозумiло, що якщо iснує k =
dρ
dλ
≥
≥ 0, то Bk = B̃ρ.
Твердження 5.3. Нехай u ∈ I0 та iснують C,C ′ > 0, δ, δ′ ∈ [0; 1) такi, що u ∈ KC,δ,
exp∗ |u| ∈ KC′,δ′ . Тодi Bk(f) > 0 для k = exp∗ u i для довiльного f ∈ L1.
Доведення. Оскiльки u ∈ KC,δ, то |Bu(f)| ≤ B|u|(|f |) <∞. Тодi внаслiдок (3.3) дiстанемо∫
Γ0
eλ(|f |)|u|∗n dλ =
(
B|u|(|f |)
)n
<∞.
Отже, ∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ(f)u∗n dλ
∣∣∣∣∣ ≤ exp
(
B|u|(|f |)
)
<∞. (5.3)
Покладемо gN :=
∑N
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ(f)u∗n dλ ∈ R. З (5.3) маємо, що limN→∞ gN iснує i є скiн-
ченним. Далi, послiдовнiстьUN :=
∑N
n=0
1
n!
eλ(f)u∗n має iнтегровну мажоранту eλ(|f |) exp∗ |u|
у просторi L1(Γ0, dλ), оскiльки exp∗ |u| ∈ KC′,δ′ . Отже, за теоремою Лебега про мажоровану
збiжнiсть
Bk(f) =
∫
Γ0
eλ (f, η) k (η) dλ (η) =
∫
Γ0
eλ (f, η)
∞∑
n=0
1
n!
u∗ndλ (η) =
=
∞∑
n=0
1
n!
∫
Γ0
eλ (f, η)u∗n (η) dλ (η) = exp
∫
Γ0
eλ (f, η)u (η) dλ (η)
> 0,
що доводить твердження 5.3.
Зауваження 5.2. Для довiльного k ∈ I1 iснує u ∈ I0 таке, що k = exp∗ u. Таким чином,Bk
завжди буде додатним функцiоналом, якщо тiльки виконуються потрiбнi оцiнки на зростання
|u| та exp∗ |u|.
5.3. Оператор диференцiювання вiдносно ∗-згортки. Як вже зазначалось, оператор Dx,
заданий у (3.13), задовольняє „ланцюгове правило” вiдносно ∗-згортки (див. (3.14)). Наведемо
ще один приклад такого оператора. Нехай (Nk)(η) = |η|k(η), k ∈ L0(Γ0), η ∈ Γ0, тодi
(N(k1 ∗ k2)) (η) = |η|
∑
ξ⊂η
k1(ξ)k2(η \ ξ) =
∑
ξ⊂η
|ξ|k1(ξ)k2(η \ ξ) +
∑
ξ⊂η
k1(ξ)|η \ ξ|k2(η \ ξ) =
= ((Nk1) ∗ k2) (η) + (k1 ∗ (Nk2)) (η)
для всiх k1, k2 ∈ L0(Γ0), η ∈ Γ0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1563
Означення 5.2. Оператор B на L0(Γ0) будемо називати оператором диференцiювання,
якщо B1∗ = 0 та
(B(k1 ∗ k2)) (η) = ((Bk1) ∗ k2) (η) + (k1 ∗ (Bk2)) (η) (5.4)
для λ-м. в. η ∈ Γ0.
Зауважимо, що поки що всi оператори розумiємо визначеними поточково, безвiдносно
до якихось банахових просторiв.
Отже, оператори Dx та N є операторами диференцiювання (рiвностi Dx1∗ = N1∗ = 0
випливають з означень цих операторiв). Низку iнших прикладiв операторiв диференцiювання
ми розглянемо у другiй частинi роботи.
За iндукцiєю маємо Bu∗n = n(Bu)∗u∗(n−1), n ∈ N, u ∈ L0(Γ0). Тодi для довiльного u ∈ I0
виконується (поточкова) рiвнiсть, аналогiчна до (3.15):
B exp∗ u = B
(
1∗ +
∞∑
n=1
1
n!
u∗n
)
=
∞∑
n=1
1
n!
n(Bu) ∗ u∗(n−1) = (Bu) ∗ exp∗ u. (5.5)
Рiвнiсть (5.5) має важливий наслiдок. Нехай B є оператором диференцiювання i розглядається
еволюцiйне рiвняння
∂
∂t
kt = Bkt, k
∣∣
t=0
= k0.
Припустимо, що kt(∅) = 1, t ≥ 0, тобто kt ∈ I1. Тодi за твердженням 3.4 для довiльного t ≥ 0
iснує ut ∈ I0 таке, що kt = exp∗ ut. Звiдси, враховуючи (5.5), отримуємо
∂
∂t
kt = B exp∗ ut = (But) ∗ kt, (5.6)
але, з iншого боку, безпосередньо з (3.11) випливає, що аналогiчно до (5.5)
∂
∂t
kt =
∂
∂t
exp∗ ut =
∂
∂t
ut ∗ exp∗ ut =
∂
∂t
ut ∗ kt. (5.7)
Оскiльки за припущенням kt ∈ I1, то за твердженням 3.3, iснує k∗−1
t ∈ I1. Тодi, прирiвнявши
правi частини (5.6) i (5.7) i домноживши (в сенсi ∗-згортки) їх на k∗−1
t , дiстанемо
∂
∂t
ut = But.
Таким чином, рiвняння для кумулянтiв ut збiгається з рiвнянням для функцiй kt.
Твердження 5.4. Нехай (B,D(B)) є оператором в KC,δ, C > 0, δ ≥ 0, з максимальною
областю визначення. Нехай (B′, D(B′)) є замкненим щiльно заданим оператором у LC,δ таким,
що 〈〈B′G, k〉〉 = 〈〈G,Bk〉〉 для довiльних G ∈ D(B′), k ∈ D(B). Припустимо також, що
G(· ∪ η) ∈ D(B′) для λ-м. в. η ∈ Γ0 i для всiх G ∈ D(B′), причому для λ-м. в. η, ξ ∈ Γ0
виконується рiвнiсть
(B′G)(η ∪ ξ) =
(
(B′G)(· ∪ ξ)
)
(η) +
(
(B′G)(· ∪ η)
)
(ξ). (5.8)
Тодi для довiльних k1, k2 ∈ D(B) таких, що k1 ∗ k2 ∈ D(B), k1 ∗ (Ak2), (Ak1) ∗ k2 ∈ KC,δ,
виконується рiвнiсть (5.4).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1564 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Доведення. Для довiльних G, k1, k2 з умови, внаслiдок (3.3) та (5.8), отримуємо∫
Γ0
G(η) (B(k1 ∗ k2)) (η)dλ(η) =
∫
Γ0
(B′G)(η)(k1 ∗ k2)(η)dλ(η) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
(B′G)(η ∪ ξ)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
(
B′G(· ∪ ξ)
)
(η)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ)
+
∫
Γ0
∫
Γ0
(
B′G(· ∪ η)
)
(ξ)k1(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)(Bk1)(η)k2(ξ)dλ(η)dλ(ξ)+
+
∫
Γ0
∫
Γ0
G(η ∪ ξ)k1(η)(Bk2)(ξ)dλ(η)dλ(ξ) =
=
∫
Γ0
G(η) ((Bk1) ∗ k2) (η)dλ(η) +
∫
Γ0
G(η) (k1 ∗ (Bk2)) (η)dλ(η),
що доводить твердження.
5.4. ?-Згортка функцiй на Γ0. Наступну згортку мiж функцiями на Γ0 було введено в [12].
Означення 5.3. Для вимiрних функцiй G1 та G2 на Γ0 покладемо
(G1 ? G2)(η) :=
∑
ξ1tξ2tξ3=η
G1(ξ1 ∪ ξ2)G2(ξ2 ∪ ξ3), η ∈ Γ0, (5.9)
де символ t означає диз’юнктне об’єднання множин.
Зауваження 5.3. Функцiя G1 ? G2, визначена через (5.9), також є вимiрною. Бiльш того,
класи функцiї L0
ls(Γ0) та Bbs(Γ0) є замкненими вiдносно операцiї ? (див. [12], зауваження 3.10,
3.12).
Зауваження 5.4. Рiвнiсть (5.9) можна записати у виглядi
(G1 ? G2)(η) :=
∑
ξ1∪ξ2=η
G1(ξ1)G2(ξ2). (5.10)
В свою чергу, згортку (3.1) можна зареписати у виглядi, аналогiчному до (5.10):
(G1 ∗G2)(η) =
∑
ξ1tξ2=η
G1(ξ1)G2(ξ2). (5.11)
Порiвнюючи правi частини (5.11) та (5.11), легко бачити, що сума в означеннi ∗-згортки є скла-
довою частиною суми в означеннi ?-згортки.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1565
Будемо казати, що функцiя k ∈ L0(Γ0) є додатно означеною в сенсi ?-згортки, якщо∫
Γ0
(G ? G)(η)k(η) dλ(η) ≥ 0 (5.12)
для всiх B ∈ Bbs(Γ0). З’ясуємо, чи є множина додатно означених у сенсi ?-згортки функцiй
замкненою вiдносно ∗-згортки.
Введемо спочатку наступну згортку мiж вимiрними функцiями G1 та G2 на Γ2
0:
(G1 ?©G2)(η+, η−) :=
∑
ξ+
1 tξ
+
2 tξ
+
3 =η+
ξ−1 tξ
−
2 tξ
−
3 =η−
G1(ξ+
1 ∪ ξ
+
2 , ξ
−
1 ∪ ξ
−
2 )G2(ξ+
2 ∪ ξ
+
3 , ξ
−
2 ∪ ξ
−
3 ). (5.13)
Вимiрна функцiя k : Γ2
0 → R називається додатно означеною в сенсi ?©-згортки, якщо для
довiльної G ∈ Bbs(Γ
2
0) ∫
Γ2
0
(G ?©G)(η+, η−)k(η+, η−)dλ(η+)dλ(η−) ≥ 0. (5.14)
Твердження 5.5. Нехай функцiї ki : Γ0 → R, i = 1, 2, є вимiрними. Тодi функцiя k(η) =
= (k1 ∗ k2)(η) є додатно означеною в сенсi Ленарда ?-згортки на Γ0, якщо лише функцiя
k̂(η+, η−) := k1(η+)k2(η−) є додатно означеною в сенсi ?©-згортки на Γ2
0.
Доведення. Нехай Gi ∈ Bbs(Γ0) i функцiї G̃i ∈ Bbs(Γ
2
0), i = 1, 2, визначенi аналогiчно
до (5.1). Тодi для (η+, η−) ∈ Γ2
0 таких, що η+ ∩ η− = ∅, маємо
(G1 ? G2)(η+ ∪ η−) =
∑
ξ1tξ2tξ3=η+∪η−
G1(ξ1 ∪ ξ2)G2(ξ2 ∪ ξ3) =
=
∑
η+
1 tη
+
2 tη
+
3 =η+
∑
η−1 tη
−
2 tη
−
3 =η−
G1(η+
1 ∪ η
+
2 ∪ η
−
1 ∪ η
−
2 )G2(η+
2 ∪ η
+
3 ∪ η
−
2 ∪ η
−
3 ) =
= (G̃1 ?© G̃2)(η+, η−). (5.15)
Покажемо тепер, що для довiльного z > 0
(λz ⊗ λz)
({
(η+, η−) ∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
= 0. (5.16)
Дiйсно, для довiльного η+ ∈ Γ+
0 покладемо Aη+ :=
{
η− ∈ Γ−0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
}
. Звiдси отриму-
ємо оцiнку
λz(Aη+) ≤
∑
x∈η+
λz
({
η− ∈ Γ−0
∣∣ x ∈ η−}) = 0, (5.17)
де використано (2.3). Далi, оскiльки
(λz ⊗ λz)
({
(η+, η−) ∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
=
∫
Γ+
0
λz
(
Aη+
)
dλz(η
+),
то (5.16) випливає з (5.17).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
1566 Д. Л. ФIНКЕЛЬШТЕЙН
Тодi для довiльної G ∈ Bbs(Γ0) та G̃ ∈ Bbs(Γ
2
0), визначеної в (5.1), внаслiдок (3.3) маємо∫
Γ0
(G ? G)(η)k(η)dλ(η) =
∫
Γ0
(G ? G)(η)(k1 ∗ k2)(η)dλ(η) =
=
∫
Γ2
0
(G ? G)(η+ ∪ η−)k1(η+)k2(η−)dλ(η+)dλ(η−) =
=
∫
Γ2
0
(G̃ ?© G̃)(η+, η−)k1(η+)k2(η−)dλ(η+)dλ(η−), (5.18)
де використано (5.15) та (5.16).
З рiвностi (5.18) безпосередньо випливає, що з додатної означеностi функцiї k̂ = k1 ⊗ k2
в сенсi ?©-згортки випливає додатна означенiсть функцiї k = k1 ∗ k2 в сенсi ?-згортки.
Твердження 5.5 доведено.
Зауваження 5.5. Замiнивши в (5.12) мiру k dλ на довiльну ρ ∈ Mlf(Γ0), можна ввести
поняття мiри на Γ0, що є додатно визначеною вiдносно ?-згортки. Тодi твердження 5.5 природ-
ним чином можна переформулювати для мiр ρ1, ρ2, якщо вiдомо, що (ρ1 ⊗ ρ2)
({
(η+, η−) ∈
∈ Γ2
0
∣∣ η+ ∩ η− 6= ∅
})
= 0.
Автор висловлює щиру вдячнiсть д-ру фiз.-мат. наук проф. Ю. Г. Кондратьєву за кориснi
обговорення та цiннi поради.
1. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. – М.; Л.: Гостехиздат, 1946.
2. Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представления группы диффеоморфизмов // Успехи мат. наук. –
1975. – 30, № 6(186). – С. 3 – 50.
3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Физматгиз, 1959.
4. Гиббс Д. В. Основные принципы статистической механики // Регулярная и хаотическая динамика. – 2002.
5. Добрушин Р., Синай Я., Сухов Ю. Динамические системы статистической механики // Динамические системы-
2. Итоги науки и техники Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. – М.: ВИНИТИ, 1985. – С. 235–284.
6. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана / Под ред. Д. Л. Либовица, Е. У. Монтролла. – М.: Мир, 1986.
7. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – М.: Мир, 1978.
8. Albeverio S., Kondratiev Y., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct. Anal. – 1998. –
154, № 2. – P. 444 – 500.
9. Albeverio S., Kondratiev Y., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces: the Gibbsian case // J. Funct.
Anal. – 1998. – 157, № 1. – P. 242 – 291.
10. De Masi A., Presutti E. Mathematical methods for hydrodynamic limits // Lect. Notes Math. – Berlin: Springer, 1991.
– 1501. – x + 196 p.
11. Kipnis C., Landim C. Scaling limits of interacting particle systems // Grundlehren Math. Wiss. [Fund. Principles
Math. Sci.]. – Berlin: Springer, 1999. – 320. – xvi + 442 p.
12. Kondratiev Y., Kuna T. Harmonic analysis on configuration space. I. General theory // Infinite Dimension. Anal.,
Quantum Probab. and Relat. Top. – 2002. – 5, № 2. – P. 201 – 233.
13. Kondratiev Y., Kuna T., Oliveira M. J. Holomorphic Bogoliubov functionals for interacting particle systems in
continuum // J. Funct. Anal. – 2006. – 238, № 2. – P. 375 – 404.
14. Kuna T. Studies in configuration space analysis and applications: Dissertation. – Bonn, 1999. – ii + 187 p.
15. Liggett T. M. Interacting particle systems // Grundlehren Math. Wiss. [Fund. Principles Math. Sci.]. – New York:
Springer, 1985. – 276. – xv + 488 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
ПРО ЗГОРТКИ НА ПРОСТОРАХ КОНФIГУРАЦIЙ. I. ПРОСТОРИ СКIНЧЕННИХ КОНФIГУРАЦIЙ 1567
16. Liggett T. M. Stochastic interacting systems: contact, voter and exclusion processes // Grundlehren Math. Wiss. [Fund.
Principles Math. Sci.]. – Berlin: Springer, 1999. – 324. – xii + 332 p.
17. Presutti E. Scaling limits in statistical mechanics and microstructures in continuum mechanics // Theor. and Math.
Phys. – Berlin: Springer, 2009. – xvi + 467 p.
18. Röckner M. Stochastic analysis on configuration spaces: basic ideas and recent results // New Directions in Dirichlet
Forms. – Providence, RI : Amer. Math. Soc., 1998. – 8. – P. 157 – 231.
19. Ruelle D. Cluster property of the correlation functions of classical gases // Rev. Modern Phys. – 1964. – 36. –
P. 580 – 584.
20. Shen C. Y. A functional calculus approach to the Ursell – Mayer functions // J. Math. Phys. – 1972. – 13. – P. 754 – 759.
21. Shen C. Y. On a certain class of transformations in statistical mechanics // J. Math. Phys. – 1973. – 14. – P. 1202 – 1204.
22. Shen C. Y., Carter D. S. Representations of states of infinite systems in statistical mechanics // J. Math. Phys. – 1971. –
12. – P. 1263 – 1269.
Одержано 09.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165407 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:05:02Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Український математичний журнал |
| record_format | dspace |
| spelling | Фінкельштейн, Д.Л. 2020-02-13T12:22:14Z 2020-02-13T12:22:14Z 2012 Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій/ Д.Л. Фінкельштейн // Український математичний журнал. — 2012. — Т. 64, № 11. — С. 1547-1567. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165407 517.987.1 517.983.3 Рассмотрены два типа сверток (∗ и ⋆) функций на пространствах конечных конфигураций (конечных подмножеств фазового пространства), исследованы некоторые их свойства. Показана связь ∗-свертки со сверткой мер на пространствах конечных конфигураций. Изучены свойства операторов умножения и дифференцирования относительно ∗-свертки. Найдены условия, при которых ∗-свертка функций положительно определена относительно ⋆-свертки. We consider two types of convolutions (* and ★) of functions on spaces of finite configurations (finite subsets of a phase space) and study some of their properties. A relationship between the *-convolution and the convolution of measures on spaces of finite configurations is described. Properties of the operators of multiplication and derivation with respect to the *-convolution are investigated. We also present conditions under which the *-convolution is positive-definite with respect to the ★-convolution. uk Український математичний журнал Український математичний журнал Статті Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations Article published earlier |
| spellingShingle | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій Фінкельштейн, Д.Л. Статті |
| title | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_alt | On convolutions on configuration spaces. I. Spaces of finite configurations |
| title_full | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_fullStr | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_full_unstemmed | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_short | Про згортки на просторах конфігурацій. І. Простори скінченних конфігурацій |
| title_sort | про згортки на просторах конфігурацій. і. простори скінченних конфігурацій |
| topic | Статті |
| topic_facet | Статті |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165407 |
| work_keys_str_mv | AT fínkelʹšteindl prozgortkinaprostorahkonfíguracíiíprostoriskínčennihkonfíguracíi AT fínkelʹšteindl onconvolutionsonconfigurationspacesispacesoffiniteconfigurations |