Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок

Побудовано кумулянтні (ceмiiнвapiaнтнi) зображення для розв'язку початкової задачi ланцюжка Рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. У просторі послідовностей ядерних операторiв доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Досліджено питання еквівалентності різних зображень розв&...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний журнал
Дата:	2006
Автори:	Герасименко, В.І., Штик, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2006
Теми:	Статті
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165416
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок / В.І. Герасименко, В.О. Штик // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1175–1191. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165416
record_format	dspace
spelling	Герасименко, В.І. Штик, В.О. 2020-02-13T12:31:41Z 2020-02-13T12:31:41Z 2006 Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок / В.І. Герасименко, В.О. Штик // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1175–1191. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165416 517.9+531.19 Побудовано кумулянтні (ceмiiнвapiaнтнi) зображення для розв'язку початкової задачi ланцюжка Рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. У просторі послідовностей ядерних операторiв доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Досліджено питання еквівалентності різних зображень розв'язку у випадку статистики Максвелла-Больцмана. We construct cumulant (semi-invariant) representations for a solution of the initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles. In the space of sequences of trace-class operators, we prove a theorem on the existence and uniqueness of a solution. We study the equivalence problem for various representations of a solution in the case of the Maxwell-Boltzmann statistics. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок Initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
spellingShingle	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок Герасименко, В.І. Штик, В.О. Статті
title_short	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
title_full	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
title_fullStr	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
title_full_unstemmed	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок
title_sort	початкова задача для ланцюжка рівнянь боголюбова квантових систем частинок
author	Герасименко, В.І. Штик, В.О.
author_facet	Герасименко, В.І. Штик, В.О.
topic	Статті
topic_facet	Статті
publishDate	2006
language	Ukrainian
container_title	Український математичний журнал
publisher	Інститут математики НАН України
format	Article
title_alt	Initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles
description	Побудовано кумулянтні (ceмiiнвapiaнтнi) зображення для розв'язку початкової задачi ланцюжка Рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. У просторі послідовностей ядерних операторiв доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Досліджено питання еквівалентності різних зображень розв'язку у випадку статистики Максвелла-Больцмана. We construct cumulant (semi-invariant) representations for a solution of the initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles. In the space of sequences of trace-class operators, we prove a theorem on the existence and uniqueness of a solution. We study the equivalence problem for various representations of a solution in the case of the Maxwell-Boltzmann statistics.
issn	1027-3190
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165416
citation_txt	Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок / В.І. Герасименко, В.О. Штик // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1175–1191. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT gerasimenkoví počatkovazadačadlâlancûžkarívnânʹbogolûbovakvantovihsistemčastinok AT štikvo počatkovazadačadlâlancûžkarívnânʹbogolûbovakvantovihsistemčastinok AT gerasimenkoví initialvalueproblemforthebogolyubovhierarchyforquantumsystemsofparticles AT štikvo initialvalueproblemforthebogolyubovhierarchyforquantumsystemsofparticles
first_indexed	2025-11-25T22:13:40Z
last_indexed	2025-11-25T22:13:40Z
_version_	1850560972106760192
fulltext	УДК 517.9+531.19 В. I. Герасименко, В. О. Штик (Iн-т математики НАН України, Київ) ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ СИСТЕМ ЧАСТИНОК∗ We construct cumulant (semi-invariant) representations for a solution of the initial-value problem for the Bogolyubov hierarchy for quantum systems of particles. In the space of sequences of trace-class operators, we prove a theorem on the existence and uniqueness of a solution. We study the equivalence problem for various representations of a solution in the case of the Maxwell – Boltzmann statistics. Побудовано кумулянтнi (семiiнварiантнi) зображення для розв’язку початкової задачi ланцюжка рiвнянь Боголюбова квантових систем частинок. У просторi послiдовностей ядерних операторiв доведено теорему iснування та єдиностi розв’язку. Дослiджено питання еквiвалентностi рiзних зображень розв’язку у випадку статистики Максвелла – Больцмана. 1. Вступ. Одним iз вiдкритих питань широко обговорюваної останнiм часом проблеми виведення квантових кiнетичних рiвнянь [1 – 11] є побудова динамiки квантових нескiнченночастинкових систем, якi описуються ланцюжком квантових рiвнянь Боголюбова [12, 13]. У роботах [1, 3, 9, 14] розв’язок початкової задачi для таких рiвнянь будується у виглядi ряду теорiї збурень (iтерацiй) у просто- рi послiдовностей ядерних операторiв. Доведено iснування локального за часом розв’язку для потенцiалiв взаємодiї мiж частинками, що є обмеженими функцiя- ми. У роботах [13, 15] побудовано групу еволюцiйних операторiв, яка у просторi ядерних операторiв еквiвалентна ряду iтерацiй квантових рiвнянь Боголюбова, та доведено iснування глобального за часом розв’язку. Зауважимо, що розклад, яким зображується розв’язок ланцюжка рiвнянь Боголюбова, є iнварiантним вiдносно певних перетворень пiд знаком слiду i, отже, виникає можливiсть побудови iнших зображень для розв’язку та задача їх класифiкацiї. У данiй роботi сформульовано критерiй iснування розв’язку для ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова у формi розкладу по групах (кластерах) частинок, еволюцiя яких описується певного типу еволюцiйними операторами (редукованими кумулянтами). В основу критерiю покладено рекурентнi спiввiдношення (редуко- ванi) — кластернi розклади еволюцiйних операторiв систем скiнченного числа час- тинок, якими визначаються розв’язки початкової задачi рiвнянь фон Неймана. Це дає змогу побудувати новi кумулянтнi (семiiнварiантнi) зображення для розв’язку та визначити за яким принципом їх можна класифiкувати. Рiзнi зображення розв’язку ланцюжка рiвнянь Боголюбова для початкових да- них iз простору послiдовностей ядерних операторiв, якими описуються стани сис- тем скiнченного середнього числа частинок, є еквiвалентними у вказаному далi сенсi. Для опису еволюцiї станiв нескiнченночастинкових квантових систем необ- хiдно побудувати розв’язки для початкових даних, наприклад, iз простору послiдов- ностей обмежених операторiв, якому належать рiвноважнi стани [16, 17]. Розклади для розв’язкiв ланцюжка рiвнянь Боголюбова в цьому просторi складаються з ви- разiв, що мають розбiжнi значення слiдiв. Тому виникає проблема надання змiсту вiдповiдним виразам. Побудованi в данiй роботi кумулянтнi зображення дають ∗ Пiдтримано грантами INTAS та Нацiональної академiї наук України для молодих учених (№ 0105U005666). c© В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК, 2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1175 1176 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК можливiсть довести, що доданки з розбiжними значеннями слiдiв у кожному членi розкладу для розв’язку взаємно компенсуються. Опишемо структуру статтi. У другому пунктi розглядається початкова задача для абстрактного ланцюжка еволюцiйних рiвнянь Боголюбова квантових систем частинок у просторi послiдовностей ядерних операторiв та наводяться необхiднi факти про динамiку квантових систем скiнченного числа частинок. У третьому пунктi доведено критерiй iснування розкладу, яким визначається розв’язок, по- будований у [13, 15] у формi групи еволюцiйних операторiв ланцюжка рiвнянь Боголюбова. На основi критерiю в наступному пунктi визначено загальну струк- туру кластерних розкладiв еволюцiйних операторiв квантових систем скiнченно- го числа частинок та побудовано їх розв’язки. У п’ятому пунктi за допомогою цих кластерних розкладiв визначено кумулянтне (семiiнварiантне) зображення для розв’язку початкової задачi ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова та дослiдже- но збiжнiсть побудованого розкладу в просторi послiдовностей ядерних операторiв. Теорему iснування та єдиностi кумулянтного зображення розв’язку доведено в шос- тому пунктi. В останньому сьомому пунктi дослiджено питання еквiвалентностi рiзних зображень розв’язку та побудовано деякi новi зображення. 2. Початкова задача для ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова. Роз- глянемо квантову систему не фiксованого (тобто довiльного, але скiнченного) чис- ла тотожних (безспiнових) частинок масою m = 1 у просторi Rν , ν ≥ 1. Стан такої системи описується нескiнченною послiдовнiстю F = ( I, F1, . . . , Fn, . . . ) n-частинкових операторiв щiльностi Fn-позитивних ермiтових операторiв (I — оди- ничний оператор), визначених на просторi Фока FH = ∞⊕ n=0 H⊗n над гiльбертовим простором H (H0 = C). Вважатимемо, що H = L2(Rν) (координатне зобра- ження). Тодi елемент ψ ∈ FH = ∞⊕ n=0 L2(Rνn) — це послiдовнiсть функцiй ψ = = ( ψ0, ψ1(q1), . . . , ψn(q1, . . . , qn), . . . ) така, що ‖ψ‖2 = \|ψ0\|2 + ∞∑ n=1 ∫ dq1 . . . dqn\|ψn(q1, . . . , qn)\|2 < +∞. Оператор Fn, визначений в n-частинковому гiльбертовому просторi Hn = H⊗n = = L2(Rνn), будемо позначати Fn(1, . . . , n). Для системи тотожних частинок, що описуються статистикою Максвелла – Больцмана, якщо {i1, . . . , in} ∈ {1, . . . , n}, справжується рiвнiсть Fn(1, . . . , n) = Fn(i1, . . . , in). Будемо розглядати стани системи, що належать простору L1 α(FH) = = ∞⊕ n=0 αnL1(Hn) послiдовностей f = ( I, f1, . . . , fn, . . . ) ядерних операторiв fn = = fn(1, . . . , n) ∈ L1(Hn), якi задовольняють зазначену вище умову симетрiї, з нормою ‖f‖L1 α(FH) = ∞∑ n=0 αn‖fn‖L1(Hn) = ∞∑ n=0 αnTr1,...,n\|fn(1, . . . , n)\|, де α > 1 — дiйсне число. Для кожного оператора fn ∈ L1(Hn) iснує така функцiя ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1177 fn(t, q1, . . . , qn; q′1, . . . , q ′ n) ∈ L2(Rνn×Rνn), що на ψn ∈ L2(Rνn) дiя оператора fn визначається формулою [18]( fn(1, . . . , n)ψn ) (q1, . . . , qn) = = ∫ fn(q1, . . . , qn; q′1, . . . , q ′ n)ψn(q′1, . . . , q ′ n)dq′1 . . . dq ′ n. Скрiзь щiльну в L1 α(FH) множину фiнiтних послiдовностей вироджених операторiв iз нескiнченно диференцiйовними ядрами, зосередженими на компактах, будемо позначати L1 α,0. Зауважимо, що простiр L1 α(FH) мiстить послiдовностi операторiв бiльш загальнi, нiж тi, якими визначаються стани систем частинок. Для системи частинок, якi взаємодiють через парний потенцiал взаємодiї Φ, що задовольняє умови Като [19], гамiльтонiан системи H = ∞⊕ n=0 Hn — самоспряжений оператор, визначений в областi D(H) = { ψ ∈ FH ∣∣∣ ∑ n ‖Hnψn‖2 < +∞ } ⊂ ⊂ FH, а на нескiнченно диференцiйовних функцiях з компактними носiями ψn ∈ ∈ L2 0(Rνn) ⊂ L2(Rνn) n-частинковий гамiльтонiан Hn дiє згiдно з формулою (H0 = 0) Hnψn = −~2 2 n∑ i=1 ∆qi ψn + n∑ i<j=1 Φ(qi − qj)ψn. У просторi L1 α(FH) розглянемо початкову задачу для абстрактного ланцюжка рiвнянь Боголюбова квантових систем частинок d dt F (t) = −NF (t) + [ N , a ] F (t), (1) F (t) \|t=0 = F (0). (2) В еволюцiйному рiвняннi (1) введенi такi оператори, що дiють у просторi L1 α(FH): a — аналог оператора знищення (af)n(1, . . . , n) = Trn+1fn+1(1, . . . , n, n+ 1), (3) для якого ‖a‖L1 α ≤ 1; для f ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) визначено оператор фон Неймана (N f)n = Nnfn = − i ~ [ fn,Hn ] ≡ − i ~ ( fnHn −Hnfn ) , (4) де h = 2π~ — стала Планка. Зауважимо, що еволюцiйне рiвняння (1) у термiнах n-частинкових матриць щiльностi Fn(t, q1, . . . , qn; q′1, . . . , q ′ n) — ядер n-частинкових операторiв щiльностi Fn (тобто в координатному зображеннi) — набирає канонiчної форми ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова [12] i~ ∂ ∂t Fn(t; q1, . . . , qn; q′1, . . . , q ′ n) = = −~2 2 n∑ i=1 (∆qi −∆q′i ) + n∑ i<j=1 ( Φ(qi − qj)− Φ(q′i − q′j) )× ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1178 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК ×Fn(t; q1, . . . , qn; q′1, . . . , q ′ n) + + n∑ i=1 ∫ dqn+1 ( Φ(qi − qn+1)− Φ(q′i − qn+1) ) × × Fn+1(t; q1, . . . , qn, qn+1; q′1, . . . , q ′ n, qn+1). Для побудови розв’язку початкової задачi (1), (2) потрiбно визначити еволю- цiйний оператор, за допомогою якого записується розв’язок початкової задачi для рiвняння фон Неймана d dt D(t) = −ND(t), (5) D(t)\|t=0 = D(0), (6) де D(0) = (I,D1(0), . . . , Dn(0), . . .) — послiдовнiсть операторiв щiльностi (вико- ристовується також термiн „статистичнi оператори”, ядра яких вiдомi як матрицi щiльностi [18]). Розв’язок початкової задачi (5), (6) визначається формулою D(t) = U(−t)D(0)U−1(−t), (7) де U(−t) = ∞⊕ n=1 Un(−t) та Un(−t) = e− i ~ tHn , U−1 n (−t) = e i ~ tHn . (8) У просторi L1 α(FH) вiдображення (7): t→ D(t) є сильно неперервною iзомет- ричною групою, яка зберiгає ермiтовiсть та позитивнiсть операторiв [13, 20]. Для D(0) ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) це сильний (класичний) розв’язок [13], а для довiльних початкових даних D(0) ∈ L1 α(FH) — слабкий (узагальнений) розв’язок. Останнє твердження буде доведено в бiльш загальному випадку для розв’язку ланцюжка рiвнянь Боголюбова (теорема 2). Зауважимо, що походження позначень (8) для унiтарних груп e± i ~ tHn пов’язане з принципом вiдповiдностi квантових та класичних систем (для останнiх в аналогiч- них термiнах визначається еволюцiйний оператор рiвняння Лiувiлля для щiльностi функцiї розподiлу ймовiрностi) i є наслiдком iснування двох пiдходiв до опису еволюцiї систем, що ґрунтуються на описi еволюцiї спостережуваних або станiв. 3. Критерiй iснування розв’язку початкової задачi для ланцюжка кван- тових рiвнянь Боголюбова. Розв’язок початкової задачi (1), (2) зображується формальним розкладом [13, 15] Fs(t; 1, . . . , s) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nU1+n(t; 1 ∪ . . . ∪ s, s+ 1, . . . , s+ n)× ×Fs+n(0; 1, . . . , s+ n), s ≥ 1, (9) в якому еволюцiйний оператор U1+n(t): L1(Hs+n) → L1(Hs+n) визначається виразом ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1179 U1+n(t; 1 ∪ . . . ∪ s, s+ 1, . . . , s+ n)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n) = = n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! Us+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)× ×U−1 s+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k), n ≥ 0, де еволюцiйнi оператори Un(−t),U−1 n (−t) визначаються формулою (8), символ 1 ∪ . . . ∪ s вiдображає ту обставину, що в даному випадку множина (1, . . . , s + n) складається з елементiв 1 ∪ . . . ∪ s, s + 1, . . . , s + n або, iншими словами, група (кластер) з s частинок еволюцiонує подiбно до кожної s+ 1, . . . , s+ n частинки. Ряд (9) є збiжним у просторi послiдовностей ядерних операторiв L1 α(FH) i виконується оцiнка ∥∥F (t) ∥∥ L1 α(FH) ≤ e2 ∥∥F (0) ∥∥ L1 α(FH) . Еволюцiйнi оператори U1+n(t), n ≥ 0, якими визначається кожен член розкладу (9) для розв’язку початкової задачi ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова, можна визначити за допомогою рекурентних спiввiдношень, якi є певним розкладом вi- домих еволюцiйних операторiв рiвняння фон Неймана. Має мiсце така теорема. Теорема 1. Для F (0) ∈ L1 α(FH) розв’язок початкової задачi (1), (2) визнача- ється розкладами Fs(t; 1, . . . , s) = = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n ( U1+n(t)Fs+n(0) ) (1, . . . , s, s+ 1, . . . , s+ n), s ≥ 1, (9′) де U1+n(t): L1(Hs+n) → L1(Hs+n),тодi i тiльки тодi, коли еволюцiйнi оператори (редукованi кумулянти) U1+n(t), n ≥ 0, є розв’язками рекурентних спiввiдношень (редукованих кластерних розкладiв) Us+n(−t; 1, . . . , s+ n)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)U−1 s+n(−t, 1, . . . , s+ n) = = n∑ k=0 n! k!(n− k)! ( U1+k(t)Fs+n(0) ) (1, . . . , s+ n), n ≥ 0, (10) де ( U1+k(t)Fs+n(0) ) (1, . . . , s + n) ≡ U1+k(t; 1 ∪ . . . ∪ s, s + 1, . . . , s + k)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n). Доведення. Необхiднiсть. Нехай розклад (9′) є розв’язком початкової задачi (1), (2). Виведемо рекурентнi спiввiдношення (10), з яких визначаються еволюцiйнi оператори U1+n(t), n ≥ 0. Розв’язки початкової задачi (1), (2) виразимо [13] через розв’язки початкової задачi для рiвнянь фон Неймана (5), (6) Fs(t; 1, . . . , s) = ( eaD(0) )−1 0 ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nDs+n(t; 1, . . . , s+ n), (11) де згiдно з означенням (3) маємо ( eaD(0) ) 0 = 1+ ∑∞ n=1 1 n! Tr1,...,nDn(0; 1, . . . , n) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1180 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК — нормуючий множник (статистична сума). Оскiльки для розв’язку (7) початкової задачi (5), (6) справджується оцiнка ‖D(t)‖L1 α(FH) ≤ ‖D(0)‖L1 α(FH), то ряди в формулi (11) є збiжними, наприклад ∣∣(eaD(0) ) 0 ∣∣ ≤ ∥∥D(0) ∥∥ L1 α(FH) i, отже, для D(0) ∈ L1 α(FH) праву частину виразу (11) визначено. Формулою (11) визначається зв’язок операторiв, що задовольнять вiдповiдно ланцюжок рiвнянь Боголюбова (1) та рiвняння фон Неймана (5). У лiтературi (див., наприклад, [13]) формула (11) вiдома як визначення s-частинкових статистичних операторiв у ви- падку великого канонiчного ансамблю (статистика Максвелла – Больцмана). Пiсля пiдстановки розв’язкiв (7) рiвнянь фон Неймана (5) у рiвнiсть (11) отримуємо Fs(t; 1, . . . , s) = ( eaD(0) )−1 0 ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nUs+n(−t; 1, . . . , s+ n)× ×Ds+n(0; 1, . . . , s+ n)U−1 s+n(−t; 1, . . . , s+ n). (12) Згiдно iз зображенням (12) при t = 0 для розкладу (9′) маємо Fs(t; 1, . . . , s) = = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nU1+n(t; 1 ∪ . . . ∪ s, s+ 1, . . . , s+ n)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n) = = ( eaD(0) )−1 0 ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n n∑ k=0 n! k!(n− k)! U1+k(t; 1 ∪ . . . ∪ s, s+ 1, . . . , s+ k)Ds+n(0; 1, . . . , s+ n). Порiвнюючи почленно останнiй вираз для s-частинкового оператора щiльностi з виразом (12), отримуємо шуканi рекурентнi спiввiдношення (10). Достатнiсть. Врахувавши розв’язки рекурентних спiввiдношень (10)( U1+n(t)Fs+n(0) ) (1, . . . , s+ n) = = n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! Us+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)× ×U−1 s+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k), n ≥ 0, перетворимо вираз для розкладу (9′) таким чином: Fs(t; 1, . . . , s) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! × ×Us+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k)Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)× ×U−1 s+n−k(−t; 1, . . . , s+ n− k) = = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nUs+n(−t; 1, . . . , s+ n)× ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1181 × ( ∞∑ k=0 (−1)k k! Trs+1,...,s+kFs+n+k(0; 1, . . . , s+ n+ k) ) × ×U−1 s+n(−t; 1, . . . , s+ n). Вираз у правiй частинi останньої рiвностi помножимо i подiлимо на статистичну суму ( eaD(0) ) 0 . Тодi згiдно iз зображенням (12) при t = 0 отримаємо вираз (11) Fs(t; 1, . . . , s) = ( eaD(0) )−1 0 ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nUs+n(−t; 1, . . . , s+ n)× × (( eaD(0) ) 0 ∞∑ k=0 (−1)k k! Trs+1,...,s+kFs+n+k(0; 1, . . . , s+ n+ k) ) × ×U−1 s+n(−t; 1, . . . , s+ n) = = ( eaD(0) )−1 0 ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nDs+n(t; 1, . . . , s+ n), який є розв’язком початкової задачi (1), (2). Теорему доведено. 4. Кластернi розклади еволюцiйних операторiв рiвняння фон Неймана. Сформулюємо метод побудови розв’язку ланцюжка рiвнянь Боголюбова на основi кластерних розкладiв еволюцiйного оператора (7) рiвняння фон Неймана. Для цього введемо означення кластерного розкладу в загальному випадку та визначимо кумулянти (семiiнварiанти) еволюцiйних операторiв рiвнянь фон Неймана (5). Нехай Y = (1, . . . , s), X = (1, . . . , s + n) та {Y,X \ Y } = (1 ∪ . . . ∪ s, s+1, . . . , s+n). Кумулянт An(t), n ≥ 1, n-го порядку еволюцiйних операторiв рiв- нянь фон Неймана (5) визначається як розв’язок таких рекурентних спiввiдношень (кластерних розкладiв еволюцiйних операторiв (7)): U\|X\|(−t;Y,X\Y )F\|X\|(0;Y,X\Y )U−1 \|X\|(−t;Y,X\Y ) = = ∑ P: {Y,X\Y }= ⋃ i Xi ( A\|X1\|(t;X1) . . . ( A\|X\|P\|\|(t;X\|P\|)F\|X\|(0;X) ) . . . ) ︸︷︷︸ \|P\| , (13) \|X\Y \| ≥ 0, де ∑ P — сума за всiма можливими розбиттями Р множини {Y,X \ Y } = (1 ∪ . . . . . .∪ s, s+1, . . . , s+n) на \|Р\| непорожнiх пiдмножин Xi ∈ {Y,X \Y }, що взаємно не перетинаються. Наприклад, Us(−t;Y )Fs(0;Y )U−1 s (−t;Y ) = A1(t;Y )Fs(0;Y ), Us+1(−t;Y, s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1)U−1 s+1(−t;Y, s+ 1) = = A2(t;Y, s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1)+ + A1(t;Y ) ( A1(t; s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1) ) , Us+2(−t;Y, s+ 1, s+ 2)Fs+2(0)U−1 s+2(−t;Y, s+ 1, s+ 2) = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1182 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК = A3(t;Y, s+ 1, s+ 2)Fs+1(0) + A2(t;Y, s+ 1) ( A1(t; s+ 2)Fs+2(0) ) + + A1(t;Y ) ( A2(t; s+ 1, s+ 2)Fs+2(0) ) + A2(t;Y, s+ 2) ( A1(t; s+ 1)Fs+2(0) ) + +A1(t;Y ) ( A1(t; s+ 1) ( A1(t; s+ 2)Fs+2(0) )) . Розв’язуючи попереднi спiввiдношення, отримуємо приклади кумулянтiв вiдповiд- ного порядку еволюцiйних операторiв (7) рiвнянь фон Неймана (5): A1(t;Y )Fs(0;Y ) = Us(−t;Y )Fs(0;Y )U−1 s (−t;Y ), A2(t;Y, s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1) = = Us+1(−t, Y, s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1)U−1 s+1(−t;Y, s+ 1)− − Us(−t;Y )U1(−t; s+ 1)Fs+1(0;Y, s+ 1)U−1 s (−t;Y )U−1 1 (−t; s+ 1), A3(t;Y, s+ 1, s+ 2)Fs+2(0) = = Us+2(−t;Y, s+ 1, s+ 2)Fs+2(0)U−1 s+2(−t;Y, s+ 1, s+ 2)− − Us+2(−t;Y, s+ 1)U1(−t; s+ 2)Fs+2(0)U−1 s+1(−t;Y, s+ 1)U−1 1 (−t; s+ 2), − Us(−t;Y )U2(−t; s+ 1, s+ 2)Fs+2(0)U−1 s (−t;Y )U−1 2 (−t; s+ 1, s+ 2), − Us+1(−t;Y, s+ 2)U1(−t; s+ 1)Fs+2(0)U−1 s+1(−t;Y, s+ 2)U−1 1 (−t; s+ 1), + 2!Us(−t;Y )U1(−t; s+ 1)U1(−t; s+ 2)Fs+2(0)× × U−1 s (−t;Y )U−1 1 (−t; s+ 1)U−1 1 (−t; s+ 2). У загальному випадку справедливою є така лема. Лема 1. Розв’язки рекурентних спiввiдношень (кластерного розкладу) (13) визначаються розкладами A1+n(t;Y,X \ Y )F\|X\|(0;X) = = ∑ P: {Y,X\Y }=∪iXi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t;Xi)F\|X\|(0;X)× × \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t;Xj), \|X\Y \| ≥ 0, (14) де еволюцiйнi оператори U±1 \|Xi\|(−t) визначаються формулою (8), ∑ P — сума за всiма можливими розбиттями P множини {Y,X\Y } на \|P\| непорожнiх пiдмножин Xi ∈ {Y,X \ Y }, якi взаємно не перетинаються. Доведення леми аналогiчне випадку класичних систем, розглянутому в робо- тi [21]. Зауважимо, що для кумулянтiв має мiсце також зображення, вiдмiнне вiд (14). Справдi, якщо перегрупувати послiдовнiсть дiї операторiв так, щоб розклад (14) мiстив явно оператори, якi дiють на змiннi з кластеру Y = 1∪ . . .∪s, то отримаємо A1+n(t;Y,X \ Y )F\|X\|(0;X) = ∑ Z⊂X\Y U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)× ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1183 × ( ∑ Р: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|Р\| \|Р\|! \|Р\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t;Xi)F\|X\|(0;X) \|Р\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t;Xj) ) × ×U−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z), (15) де ∑ Z⊂X\Y — сума за всiма можливими пiдмножинами Z множини X\Y. 5. Кумулянтне зображення розв’язку початкової задачi для ланцюжка квантових рiвнянь Боголюбова. В теоремi 1 рекурентнi спiвввiдношення (10) було покладено в основу побудови розв’язку початкової задачi (1), (2) у формi розкладу (9′). Якщо замiсть редукованих кластерних розкладiв (10) використати загальнi кластернi розклади (13) для еволюцiйних операторiв (7) рiвнянь фон Не- ймана, то отримаємо iнше зображення для розв’язку ланцюжка рiвнянь Боголюбова квантових систем (1), (2), а саме Fs(t, Y ) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+nA1+n(t;Y,X \ Y )Fs+n(0;X), s ≥ 1, (16) де вираз A1+n(t, Y,X \ Y )Fs+n(0, X) визначається формулою (14). Розклад (16), (14) (або (16), (15)) будемо називати кумулянтним зображенням розв’язку. Очевидно, для виразу (16) виконується початкова умова (2), оскiльки U±1 \|Xi\|(0) = = I, та при n ≥ 1 справджується рiвнiсть A1+n(0;Y,X \ Y ) = ∑ Р: (Y,X\Y )= ⋃ i Xi (−1)\|Р\|−1(\|Р\| − 1)!I = = n+1∑ k=1 (−1)k−1s(n+ 1, k)(k − 1)!I = 0, де s(n+ 1, k) — числа Стiрлiнга другого роду. У просторi ядерних операторiв L1(Hs+n) кумулянти (14) оцiнюються таким чином. Лема 2. Якщо Fs+n(0) ∈ L1(Hs+n), то справедливою є оцiнка∥∥∥A1+n(t)Fs+n(0) ∥∥∥ L1(Hs+n) ≤ n!en+2 ∥∥Fs+n(0) ∥∥ L1(Hs+n) . (17) Доведення. Внаслiдок тотожностi TrAB = TrBA, справедливої для обмеже- ного A та ядерного B операторiв, маємо ‖A1+n(t)Fs+n(0)‖L1(Hs+n) = = Tr1,...,s+n ∣∣∣∣∣ ∑ Р: {Y,X\Y }=∪iXi (−1)\|Р\|−1(\|Р\| − 1)!× × \|Р\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t,Xi)F\|X\|(0, X) \|Р\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t,Xj) ∣∣∣∣∣ ≤ ≤ ∑ Р: {Y,X\Y }=∪iXi (\|Р\| − 1)!‖Fs+n(0)‖L1(Hs+n) = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1184 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК = n+1∑ k=1 s(n+ 1, k)(k − 1)!‖Fs+n(0)‖L1(Hs+n) ≤ ≤ n!en+2‖Fs+n(0)‖L1(Hs+n). Оскiльки s(n+ 1, k) = 1 k! ∑ r1,...,rk≥1 r1+...+rk=n+1 (n+ 1)! r1! . . . rk! , то виконуються нерiвностi n+1∑ k=1 s(n+ 1, k)(k − 1)! = = n+1∑ k=1 1 k ∑ r1,...,rk≥1 r1+...+rk=n+1 (n+ 1)! r1! . . . rk! ≤ n+1∑ k=1 kn ≤ n! n+1∑ k=1 ek ≤ n!en+2, що i доводить лему. Внаслiдок оцiнки (17) для послiдовностi операторiв F (t) = ( I, F1(t), . . . . . . , Fn(t), . . . ) , якi визначаються розкладами (16), за умови α > e маємо нерiв- нiсть ‖F (t)‖L1 α(FH) ≤ cα‖F (0)‖L1 α(FH), (18) де cα = e2(1 − e α )−1 — стала. Тобто ряд (16), яким зображується розв’язок, є збiжним за нормою простору L1 α(FH) за умови, що α > e. Зауважимо, що параметр α можна iнтерпретувати як величину, обернену до середнього числа частинок системи в одиницi об’єму в початковий момент. 6. Теорема iснування розв’язку. Згiдно з оцiнкою (18) має мiсце така теорема. Теорема 2. Якщо F (0) ∈ L1 α(FH), то за умови α > e для t ∈ R1 iснує єдиний розв’язок задачi Кошi (1), (2) який зображується формулою Fs(t, Y ) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ P: {Y,X\Y }= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)!× × \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t,Xi)Fs+n(0, X) \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t,Xj). (19) Для початкових даних F (0) ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) це сильний розв’язок, а для довiльних початкових даних iз простору L1 α(FH) — слабкий. Доведення. Для доведення iснування класичного (сильного) розв’язку вико- ристаємо той факт, що вираз (19) для t ∈ R1 визначає однопараметричну групу вiдображень t → eaA(t)F (0) = F (t) простору L1 α(FH) в себе. Позначення eaA(t) для цiєї групи в термiнах оператора (3) використано з метою пiдкреслити струк- туру розкладу (19), так що послiдовнiсть eaA(t)F (0) покомпонентно збiгається з розкладом (16). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1185 Згiдно з оцiнкою (18), за умови α > e група eaA(t) визначена у просторi L1 α(FH) та є обмеженою групою операторiв класу C0. Властивiсть сильної неперервностi за параметром t ∈ R1 групи eaA(t) є наслiдком [20] сильної неперервностi групи (7). Справдi, оcкiльки при \|X \ Y \| ≥ 1 має мiсце тотожнiсть∑ P: {Y,X\Y }=∪iXi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)! = 0, то справджується рiвнiсть ∥∥eaA(t)f − f ∥∥ L1 α(FH) = ∞∑ s=0 αsTr1,...,s\|(eaA(t)f)s − fs\| = = ∞∑ s=0 αsTr1,...,s ∣∣∣∣Us(−t)fsU−1 s (−t)− fs+ + ∞∑ n=1 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ P: {Y,X\Y }= ⋃ i Xi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)!× × ( \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t,Xi)fs+n \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t,Xj)− fs+n )∣∣∣∣. Розглянемо цей вираз на скрiзь щiльнiй множинi L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) фiнiтних по- слiдовностей вироджених операторiв iз нескiнченно диференцiйовними ядрами, зосередженими на компактах. Для f ∈ L1 α,0 ряди складаються зi скiнченного чис- ла доданкiв, i можна почленно перейти до границi пiд знаком слiду. Наслiдком властивостi неперервностi унiтарних груп (8) є рiвнiсть [20] lim t→0 ‖Un(−t)fnU−1 n (−t)− fn‖L1(Hn) = 0. Далi, оскiльки для множин Xi ⊂ {Y,X \ Y }, якi не перетинаються, виконується також рiвнiсть lim t→0 ‖ \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t,Xi)fs+n \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t,Xj)− fs+n‖L1(Hs+n) = 0, для f ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) остаточно маємо lim t→0 ‖eaA(t)f − f‖L1 α(FH) = 0. Побудуємо генератор групи eaA(t) для кожної ψ ∈ D(H) ⊂ FH: lim t→0 1 t (eaA(t)f − f)sψs = = lim t→0 1 t ((Us(−t)fsU−1 s (−t)− fs) + Trs+1A1+1(t)fs+1 +Rs(t))ψs, (20) де Rs(t) — залишок ряду, Rs(t) ≡ ∑∞ n=2 1 n! Trs+1,...,s+nA1+n(t)fs+n. Для f ∈ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1186 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) обчислимо границю кожного доданка з правої частини рiвно- стi (20). Якщо потенцiал взаємодiї задовольняє умови Като [19], то для першого доданка маємо [13] lim t→0 1 t ‖(Us(−t)fsU−1 s (−t)− fs)− (−N s)fs‖L1(Hs) = 0. (21) Аналогiчно, для другого доданка знаходимо lim t→0 1 t (Trs+1A1+1(t)fs+1)ψs = = lim t→0 1 t ( Trs+1 ( (Us+1(−t)fs+1U−1 s+1(−t)− fs+1)− −(Us(−t)U1(−t, s+ 1)fs+1U−1 s (−t)U−1 1 (−t, s+ 1)− fs+1) )) ψs = = (Trs+1(−Ns+1fs+1)− Trs+1(−Ns −N1(s+ 1))fs+1)ψs = ([ N , a ] f ) s ψs, де враховано тотожнiсть Trs+1N1(s+1)fs+1 ≡ 0 та використано позначення Ns = = Ns(1, . . . , s) для комутатора (4). Остаточно для f ∈ L1 α,0 маємо lim t→0 1 t ‖Trs+1A1+1(t)fs+1 − ([ N , a ] f ) s ‖L1(Hs) = 0. (22) Доведемо, що для парного потенцiалу взаємодiї залишок Rs(t) з формули (20) дорiвнює нулю. Враховуючи (15), для ψ ∈ D(H) ⊂ FH отримуємо рiвностi Rs(t) ≡ ∞∑ n=2 1 n! Trs+1,...,s+nA1+n(t)fs+n = = ∞∑ n=2 1 n! Trs+1,...,s+n ( ∑ Z⊂X\Y U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z) ( ∑ P: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|P\| \|P\|!× × ( \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t;Xi)fs+n \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t;Xj) ) − fs+n ) U−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)+ + ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\|(U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)fs+nU−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)− fs+n )) , де використано тотожностi∑ P: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|P\| \|P\|! = (−1)\|X\(Y ∪Z)\| та за умови \|X \ Y \| ≥ 2 ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\| = 0. Для f ∈ L1 α,0 залишок Rs(t) ряду (20) мiстить скiнченне число доданкiв i, отже, в попередньому виразi можна перейти до границi ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1187 lim t→0 1 t Rs(t)ψs = = ∞∑ n=2 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\|(−N \|Y ∪Z\|(Y ∪ Z))fs+nψs, де враховано тотожнiсть Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y (−N \|Xi\|(Xi))fs+n ≡ 0 для Xi ⊂ ⊂ X\(Y ∪Z). В останньому виразi n-й член ряду згiдно з означенням (3) та власти- вiстю симетрiї статистики Максвелла – Больцмана перетворюється таким чином: Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\|(−N \|Y ∪Z\|)fs+n = = n∑ k=0 (−1)k s+n∑ i1<...<in−k=s+1 (−N s+n−k(Y, i1, . . . , in−k))fs+n = = n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! (an−k(−N )akf)s = ([ . . . [ N , a ] , . . . , a︸︷︷︸ n ] f ) s . У випадку парного потенцiалу взаємодiї справджується рiвнiсть [ [N , a], a ] f = 0 i, отже, Rs(t) ≡ 0. Згiдно з формулами (21) та (22) для сильно неперервної обмеженої групи eaA(t) при F (0) ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) виконуються рiвностi d dt eaA(t)F (0) = (−N + [ N , a ] )eaA(t)F (0) = eaA(t)(−N + [ N , a ] )F (0), (23) тобто для F (0) ∈ L1 α,0 ⊂ L1 α(FH) формула (19) визначає класичний розв’язок початкової задачi (1), (2). Покажемо, що в загальному випадку F (0) ∈ L1 α(FH) формула (19) задає слаб- кий (узагальнений) розв’язок. Для цього розглянемо функцiонал ( g, F (t) ) = ∞∑ s=0 1 s! Tr1,...,s gs(1, . . . , s)Fs(t, 1, . . . , s), (24) де g ≡ (0, g1, . . . , gs, . . .) ∈ L0(FH) — фiнiтнi послiдовностi вироджених обме- жених операторiв з нескiнченно диференцiйовними ядрами, якi зосередженi на компактах, а послiдовнiсть F (t) = eaA(t)F (0) ∈ L1 α(FH) покомпонентно визна- чається формулою (19). Оскiльки g — фiнiтна послiдовнiсть обмежених, а F (t) — послiдовнiсть ядерних операторiв, то функцiонал ( g, F (t) ) iснує. Перетворимо функцiонал (24) таким чином:( g, F (t) ) = ( g, eaA(t)F (0) ) = ( ea+ A+(t)g, F (0) ) , (25) де (a+g))n(1, . . . , n) = ∑n k=1 gn−1(1, . . . , k ∨, . . . , n), символом ea+ A+(t) позначено групу, спряжену до групи eaA(t), яка визначається розкладом ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1188 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК (ea+ A+(t)g)s(Y ) = s∑ n=0 s∑ 1=j1<...<js−n ∑ P: {Y \X,X}=∪iXi (−1)\|P\|−1(\|P\| − 1)!× × \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(t,Xi)g\|Y \X\|(Y \X) \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(t,Xj), де Y ≡ (1, . . . , s) i ∑ P: {Y \X,X}=∪iXi — сума за всiма можливими розбиттями P множини {Y \X,X} = (j1 ∪ . . .∪ js−n, 1, . . . , j1 ∨, . . . , js−n ∨ , . . . , s) на \|P\| непорожнiх пiдмножин Xi ∈ {Y \X,X}, що взаємно не перетинаються. Оператор (ea+ A+(t)g)s(1, . . . , s) диференцiйовний по t для ψ ∈ D(H) ⊂ FH: lim t→0 1 t ( ea+ A+(t)g − g ) s ψs = (( N + [ N , a+ ]) g ) s ψs, де N + [ N , a+ ] — iнфiнiтезимальний генератор групи ea+ A+(t),([ N , a+ ] g ) n (1, . . . , n) = = − i ~ n∑ 1=i6=j ( gn−1(1, . . . , j ∨, . . . , n)Φ(i, j)− Φ(i, j)gn−1(1, . . . , j ∨, . . . , n) ) . Зауважимо, що iнфiнiтезимальний генератор N + [ N , a+ ] є двоїстим (дуальним) до генератора ( −N + [N , a] ) групи eaA(t). Оскiльки оператор ( N + [N , a+]ea+ A+(t)g ) s є обмеженим, а оператор ( (N + +[N , a+])ea+ A+(t)g ) s Fs(0) — ядерним, то функцiонал ( (N + [N , a+])ea+ A+(t)g, F (0) ) iснує. Послiдовнiсть 1 t (ea+ A+(t)g − g) − ( N + [N , a+] ) g збiгається при t → 0 до нуля в сенсi слабкої ∗-топологiї простору послiдовностей обмежених операторiв L(FH) [20], тобто для всiх F (0) ∈ L1 α(FH) виконується рiвнiсть lim t→0 ((1 t (ea+ A+(t)g − g)− (N + [ N , a+ ] )g ) , F (0) ) = 0. Отже, в результатi диференцiювання по t рiвностi (25) у вказаному сенсi остаточно отримаємо d dt ( g, F (t) ) = d dt ( ea+ A+(t)g, F (0) ) = = ( ea+ A+(t)(N + [ N , a+ ] )g, F (0) ) = ( (N + [ N , a+ ] )g, F (t) ) . (26) Рiвностi (26) означають, що для довiльних початкових даних F (0) ∈ L1 α(FH) фор- мулою (19) визначається слабкий (узагальнений) розв’язок задачi Кошi для лан- цюжка квантових рiвнянь Боголюбова (1), (2). 7. Класифiкацiя зображень розв’язку початкової задачi для ланцюжка рiв- нянь Боголюбова квантових систем. На основi формули (19) можна побудувати зображення (9) для розв’язку початкової задачi (1), (2). Справдi, перегрупуємо до- данки у виразi (19) так, щоб явно видiлити оператори, якi дiють на змiнну кластера Y, тобто скористаємося розкладом (15): ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1189 Fs(t, Y ) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)× × ( ∑ P: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|P\| \|P\|! \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t;Xi)F\|X\|(0;X) \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t;Xj) ) × ×U−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z). (27) Якщо Xi ⊂ X\Y, то, оскiльки F\|X\|(0) — ядерний оператор та U±1 \|Xi\|(−t;Xi) — унiтарнi оператори (8), справджується рiвнiсть Trs+1,...,s+n \|P\|∏ i=1 U\|Xi\|(−t;Xi)F\|X\|(0;X) \|P\|∏ j=1 U−1 \|Xj \|(−t;Xj) = = Trs+1,...,s+nF\|X\|(0;X). Враховуючи, що ∑ P: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|P\| \|P\|! = (−1)\|X\(Y ∪Z)\|, розклад (27) записуємо у виглядi Fs(t, Y ) = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\|× ×U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)F\|X\|(0;X)U−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z). (28) Внаслiдок властивостi симетрiї системи частинок, яка описується статистикою Максвелла – Больцмана, виконуються рiвностi Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y (−1)\|X\(Y ∪Z)\|× ×U\|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z)F\|X\|(0;X)U−1 \|Y ∪Z\|(−t;Y ∪ Z) = = Trs+1,...,s+n n∑ k=0 (−1)k s+n∑ i1<...<in−k=s+1 U\|Y \|+n−k(−t;Y, i1, . . . , in−k)× ×Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)U−1 \|Y \|+n−k(−t;Y, i1, . . . , in−k) = = Trs+1,...,s+n n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! U\|Y \|+n−k(−t;Y, s+ 1, . . . , s+ n− k)× ×Fs+n(0; 1, . . . , s+ n)U−1 \|Y \|+n−k(−t;Y, s+ 1, . . . , s+ n− k) i, отже, отримуємо зображення (9). У термiнах операторiв (3) та (8) розклад (9) набирає вигляду F (t) = ∞∑ n=0 1 n! n∑ k=0 (−1)k n! k!(n− k)! an−k ( U(−t) ( akF (0) ) U−1(−t) ) . (29) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 1190 В. I. ГЕРАСИМЕНКО, В. О. ШТИК Зображення (29) для розв’язку вперше отримано в [13, 15] iншими методами у формi групи еволюцiйних операторiв ланцюжка рiвнянь Боголюбова F (t) = ea ( U(−t) ( e−aF (0) ) U−1(−t) ) . Таким чином, ми встановили в якому сенсi зображення (9) та (19) є еквiвалентними у просторi L1 α(FH). Зауважимо, що з огляду на операторну рiвнiсть d dτ ( U(−t+ τ)a ( U(−τ)F (0)U−1(−τ) ) U−1(−t+ τ) ) = = U(−t+ τ) ([ N , a ] U(−τ)F (0)U−1(−τ) ) U−1(−t+ τ) розклад (29) можна подати у формi ряду iтерацiй ланцюжка рiвнянь (1) F (t) = ∞∑ n=0 t∫ 0 dt1 . . . tn−1∫ 0 dtn U(−t+ t1) ([ N , a ] . . . ([ N , a ] U(−tn−1 + tn)× × ([ N , a ] U(−tn)F (0)U−1(−tn) ) U−1(−tn−1 + tn) ) . . . ) U−1(−t+ t1). (30) Зображення (30) використовується в роботах [1 – 11, 14] для доведення iснуван- ня розв’язку ланцюжка рiвнянь Боголюбова квантових систем (1), (2) у просторi послiдовностей ядерних операторiв (α = 1). За допомогою кластерних розкладiв (13) еволюцiйних операторiв рiвнянь фон Неймана можна побудувати й iншi зображення для розв’язку ланцюжка рiвнянь Бо- голюбова, тобто рекурентнi спiввiдношення (13) лежать в основi класифiкацiї мож- ливих зображень для розв’язку початкової задачi (1), (2). Наприклад, розв’язуючи рекурентнi спiввiдношення (13) вiдносно кумулянтiв першого та другого порядку, маємо A1+n(t;Y,X \ Y )F\|X\|(0;X) = = ∑ Z⊂X\Y, Z 6=∅ A2(t;Y,Z) ∑ P: (X\(Y ∪Z))=∪iXi (−1)\|P\| \|P\|!× × ( A1(t;X1) . . . ( A1(t;X\|P\|)F\|X\|(0;X) ) . . . ) ︸︷︷︸ \|P\| . (31) Пiдсумовуючи вiдповiднi члени з виразу (31) у розкладi (16) подiбно до випадку зображення (28), отримуємо зображення розкладу початкової задачi (1), (2) через кумулянти другого порядку: Fs(t, Y ) = = ∞∑ n=0 1 n! Trs+1,...,s+n ∑ Z⊂X\Y, Z 6=∅ (−1)\|X\(Y ∪Z)\|A2(t;Y, Z)Fs+n(0;X). (32) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9 ПОЧАТКОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАНЦЮЖКА РIВНЯНЬ БОГОЛЮБОВА КВАНТОВИХ ... 1191 Для F (0) ∈ L1 α(FH) ряд (32) є збiжним за нормою простору L1 α(FH) i справджу- ється оцiнка ‖F (t)‖L1 α(FH) ≤ 2e2‖F (0)‖L1 α(FH). Твердження про те, що у просторi L1 α(FH) формула (32) визначає розв’язок лан- цюжка рiвнянь Боголюбова (1), (2) квантових систем, фактично є наслiдком еквiва- лентностi рiзних зображень та теореми 2 про iснування розв’язку в кумулянтному виглядi (19). 1. Benedetto D., Castella F., Esposito R., Pulvirenti M. Some consideration on the derivation of the nonlinear quantum Boltzmann equation // J. Statist. Phys. – 2004. – 116, № 1/4. – P. 381 – 410. 2. Benedetto D., Castella F., Esposito R., Pulvirenti M. A short review on the derivation of the nonlinear quantum Boltzmann equations // Lect. Notes. Workshop „Math. Meth. in Quant. Mech.”. – Bressanove (Italy), 2005. 3. Bardos C., Golse F., Mauser N. J. Weak coupling limit of the N -particle Schrödinger equation // Math. Anal. and Appl. – 2000. – 2, № 7. – P. 275 – 293. 4. Bardos C., Golse F., Gottlieb A., Mauser N. Mean field dynamics of fermions and the time-dependent Hartree – Fock equation // J. math. pures et appl. – 2003. – 82. – P. 665 – 683. 5. Golse F. The mean-field limit for the dynamics of large particle systems // J. equat. aux deriv. part. – 2003. – № 9. – 47 p. 6. Castella F. From the von Neumann equation to the quantum Boltzmann equation in a deterministic framework // J. Statist. Phys. – 2001. – 104, № 1/2. – P. 387 – 447. 7. Erdös L. Derivation of macroscopic kinetic equations from microscopic quantum mechanics // Lect. Notes. School Math. Georgiatech. – 2001. – 58 p. 8. Erdös L., Yau H.-T. Derivation of the nonlinear Schrödinger equation from a many body Coulomb system // Adv. Theor. and Math. Phys. – 2001. – 5. – P. 1169 – 1205. 9. Erdös L., Salmhofer M., Yau H.-T. On the quantum Boltzmann equation // J. Statist. Phys. – 2004. – 116, № 116. – P. 367 – 380. 10. Arnold A. Self-consistence relaxation-time models in quantum mechanics // Communs Part. Different. Equat. – 1996. – 21, № 3. – P. 473 – 506. 11. Spohn H. Quantum kinetic equations // On Three Levels: Micro-Meso and Macro Approaches in Physics / Eds M. Fannes, C. Maes, A. Verbeure. Nato ASI Ser. B: Physics. – 1994. – 324. – P. 1 – 10. 12. Боголюбов Н. Н. Лекцiї з квантової статистики. Питання статистичної механiки квантових систем. – Київ: Рад. шк., 1949. – 227 с. 13. Petrina D. Ya. Mathematical foundations of quantum statistical mechanics. Continuous systems. – Amsterdam: Kluwer, 1995. – 624 p. 14. Петрина Д. Я. О решениях кинетических уравнений Боголюбова. Квантовая статистика // Теорет. и мат. физика. – 1972. – 13, № 3. – С. 391 – 405. 15. Петрина Д. Я., Видыбида А. К. Задача Коши для кинетических уравнений Боголюбова // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 86. – С. 370 – 378. 16. Ginibre J. Some applications of functional integrations in statistical machanics // Statist. Mech. and Quant. Field Theory / Eds С. de Witt, R. Stord. – New York: Gordon and Breach, 1971. – P. 329 – 427. 17. Ruelle D. Statistical mechanics. Rigorous results. – New York: Benjamin, 1969. – 314 p. 18. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. – 392 с. 19. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – New York: Springer, 1966. – 740 p. 20. Dautray R., Lions J. L. Evolution problems // Math. Anal. and Numer. Methods Sci. and Technol. – Berlin: Springer, 2000. – Vol. 5. – 742 p. 21. Герасименко В. I., Рябуха Т. В. Кумулянтне зображення розв’язкiв ланцюжкiв рiвнянь Бого- любова // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 10. – С. 1313 – 1328. Одержано 28.04.2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2006, т. 58, № 9

Початкова задача для ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок

Репозитарії

Схожі ресурси