Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле

Показано, що аналітичні розв'язки достатньо загальних нелінійних диференціально-функціональних рівнянь при деяких додаткових припущеннях зображуються рядами Діріхле єдиної структури на всій дійсній осі R, а іноді на всій комплексній площині C. Досліджується залежність цих розв'язків від ко...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2006
Main Author:	Муровцев, А.Н.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут математики НАН України 2006
Series:	Український математичний журнал
Subjects:	Короткі повідомлення
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165425
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле / А.Н. Муровцев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1276–1284. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165425
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1654252025-02-23T18:20:37Z Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле Global analyticity of solutions of nonlinear functional differential equations representable by Dirichlet series Муровцев, А.Н. Короткі повідомлення Показано, що аналітичні розв'язки достатньо загальних нелінійних диференціально-функціональних рівнянь при деяких додаткових припущеннях зображуються рядами Діріхле єдиної структури на всій дійсній осі R, а іноді на всій комплексній площині C. Досліджується залежність цих розв'язків від коефіцієнтів при базових експонентах розкладу в ряд Діріхле. Отримано достатні умови зображення розв'язків основної початкової задачі рядами експонент. We show that, under certain additional assumptions, analytic solutions of sufficiently general nonlinear functional differential equations are representable by Dirichlet series of unique structure on the entire real axis R and, in some cases, on the entire complex plane C. We investigate the dependence of these solutions on the coefficients of the basic exponents of the expansion into a Dirichlet series. We obtain sufficient conditions for the representability of solutions of the main initial-value problem by series of exponents. 2006 Article Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле / А.Н. Муровцев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1276–1284. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165425 517.91 ru Український математичний журнал application/pdf Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Короткі повідомлення Короткі повідомлення
spellingShingle	Короткі повідомлення Короткі повідомлення Муровцев, А.Н. Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле Український математичний журнал
description	Показано, що аналітичні розв'язки достатньо загальних нелінійних диференціально-функціональних рівнянь при деяких додаткових припущеннях зображуються рядами Діріхле єдиної структури на всій дійсній осі R, а іноді на всій комплексній площині C. Досліджується залежність цих розв'язків від коефіцієнтів при базових експонентах розкладу в ряд Діріхле. Отримано достатні умови зображення розв'язків основної початкової задачі рядами експонент.
format	Article
author	Муровцев, А.Н.
author_facet	Муровцев, А.Н.
author_sort	Муровцев, А.Н.
title	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле
title_short	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле
title_full	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле
title_fullStr	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле
title_full_unstemmed	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле
title_sort	глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами дирихле
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2006
topic_facet	Короткі повідомлення
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165425
citation_txt	Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле / А.Н. Муровцев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1276–1284. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Український математичний журнал
work_keys_str_mv	AT murovcevan globalʹnaâanalitičnostʹrešenijnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijpredstavimyhrâdamidirihle AT murovcevan globalanalyticityofsolutionsofnonlinearfunctionaldifferentialequationsrepresentablebydirichletseries
first_indexed	2025-11-24T09:21:29Z
last_indexed	2025-11-24T09:21:29Z
_version_	1849662992516382720
fulltext	UDK 517.91 A. N. Murovcev (Moskov. avtodor. yn-t (Texn. un-t), Rossyq) HLOBAL\|NAQ ANALYTYÇNOST\| REÍENYJ NELYNEJNÁX DYFFERENCYAL\|NO- FUNKCYONAL\|NÁX URAVNENYJ, PREDSTAVYMÁX RQDAMY DYRYXLE We show that, under some additional assumptions, analytical equations of sufficiently general nonlinear functional-differential equations are representable by the Dirichlet series with the uniform structure on the whole real axis R and, occasionally, on the whole complex plane C . We investigate the dependence of these solutions on coefficients of basic exponents of the Dirichlet-series expansion. We obtain sufficient conditions for solutions of the basic initial problem to be representable by exponent series. Pokazano, wo analityçni rozv’qzky dostatn\o zahal\nyx nelinijnyx dyferencial\no-funkcio- nal\nyx rivnqn\ pry deqkyx dodatkovyx prypuwennqx zobraΩugt\sq rqdamy Dirixle [dyno] struktury na vsij dijsnij osi R , a inodi na vsij kompleksnij plowyni C . DoslidΩu[t\sq zaleΩnist\ cyx rozv’qzkiv vid koefici[ntiv pry bazovyx eksponentax rozkladu v rqd Dirix- le.22Otrymano dostatni umovy zobraΩennq rozv’qzkiv osnovno] poçatkovo] zadaçi rqdamy ekspo- nent. 1. Nastoqwaq rabota prodolΩaet cykl rabot [1 – 6]. V nej pokazano, çto ana- lytyçeskye reßenyq dovol\no obwyx nelynejn¥x dyfferencyal\no-funkcyo- nal\n¥x uravnenyj (DFU) pry nekotor¥x dopolnytel\n¥x predpoloΩenyqx predstavlqgtsq absolgtno sxodqwymysq rqdamy Dyryxle edynoj struktur¥ na vsej dejstvytel\noj osy R , a ynohda vo vsej kompleksnoj ploskosty C . Ys- sleduetsq zavysymost\ analytyçeskyx reßenyj ot koπffycyentov pry bazov¥x πksponentax razloΩenyq v rqd Dyryxle. Pokazano, çto reßenyq osnovnoj na- çal\noj zadaçy pry nekotor¥x predpoloΩenyqx otnosytel\no naçal\n¥x funkcyj predstavlqgtsq absolgtno sxodqwymsq rqdom πksponent. 2. Rassmotrym nelynejnoe avtonomnoe DFU vyda ′y t( ) = F y t[ , ]( )( )− +∆ ∆1 2 ξ , (1) hde y t( ) : R R→ , F[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ — nelynejn¥j funkcyonal, otobraΩagwyj kaΩdug kompleksnoznaçnug funkcyg ϕ ξ( ) , ξ ∈ −[ ]∆ ∆1 2, , yz prostranstva ohranyçenn¥x funkcyj M −[ ]∆ ∆1 2, v C (prostranstvo ohranyçenn¥x funkcyj M −[ ]∆ ∆1 2, s normoj ϕ ϕ ξξM = − ≤ ≤sup ( )∆ ∆1 2 rassmatryvaetsq v [7]). Predpolahaetsq takΩe, çto funkcyonal F[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ perevodyt kaΩdug dejstvytel\nug funkcyg ϕ ξ( ) , ξ ∈ −[ ]∆ ∆1 2, , yz M −[ ]∆ ∆1 2, v R . Pust\ y ( t ) = A — odno yz stacyonarn¥x reßenyj uravnenyq (1). Ne umen\- ßaq obwnost\ rassuΩdenyj, moΩno predpoloΩyt\, çto A = 0, tak kak zamena neyzvestnoj funkcyy y t A u t( ) ( )= + pryvodyt uravnenye (1) k uravnenyg otnosytel\no neyzvestnoj funkcyy u t( ) so stacyonarn¥m reßenyem u t( ) = 0. Budem predpolahat\, çto funkcyonal F[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ ymeet proyzvodn¥e Fre- ße proyzvol\noho porqdka v toçke ϕ = 0, F n [ , ] ( ) ( )−∆ ∆1 2 0 , n ∈ N . (Polylynejn¥e funkcyonal¥ y proyzvodn¥e Freße operatorov pervoho y bolee v¥sokyx po- rqdkov v beskoneçnomern¥x prostranstvax rassmotren¥ v [7, 8]). Norma poly- lynejnoho funkcyonala F h hn n[ , ] ( ) ( )( , , )− …∆ ∆1 2 0 1 , h Mi( ) [ , ]ξ ∈ −∆ ∆1 2 , i = 1, … , n , opredelqetsq po formule F n n M[ , ] ( ) , ( )−∆ ∆1 2 0 = sup ( )( , , )[ , ] ( ) h n n i m F h h = − … 1 11 2 0∆ ∆ . © A. N. MUROVCEV, 2006 1276 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 HLOBAL\|NAQ ANALYTYÇNOST\| REÍENYJ NELYNEJNÁX … 1277 V sluçae n = 1 normu lynejnoho funkcyonala budem zapys¥vat\ v vyde F M[ , ] ( ) ( )−∆ ∆1 2 1 0 . Predpolahaetsq, çto suwestvuet çyslo K > 0, pry kotorom v¥polnqetsq neravenstvo F Kn n M[ , ] ( ) , ( )− ≤∆ ∆1 2 0 . V πtom sluçae nesloΩno po- kazat\, çto dlq lgboj funkcyy ϕ ∈ −[ ]M ∆ ∆1 2, funkcyonal F[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ predstavlqetsq v vyde absolgtno sxodqwehosq rqda Tejlora F[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ = F k F k k [ , ] ( ) [ , ] ( )( )( ) ! ( )( , , )− − = ∞ + …∑∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 2 1 2 0 1 0ϕ ϕ ϕ . (2) Oçevydno, çto radyus absolgtnoj sxodymosty rqda R = ∞ . Takym obrazom, uravnenye (1) svodytsq k uravnenyg ′y t( ) = L y t G y t[ , ] [ , ]( ) ( )( ) ( )− −+ + +∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 2 ξ ξ , (3) hde L F[ , ] [ , ] ( )( ) ( )( )− −=∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 2 1 0ϕ ϕ , G[ , ]( )−∆ ∆1 2 ϕ sovpadaet so vtor¥m çlenom v (2). Budem predpolahat\, çto suwestvuet nekotoroe çyslo δ ≥ 0 , δ ≤ +∆ ∆1 2, pry kotorom G G[ , ] [ , ]− − +=∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 2δ . ∏to ravenstvo oznaçaet, çto dlq lgb¥x funkcyj ϕ ϕ1 2 1 2, [ , ]∈ −M ∆ ∆ , udovletvorqgwyx uslovyg ϕ ξ ϕ ξ1 2( ) ( )= pry ξ δ∈ − +[ , ]∆ ∆1 2 , G G[ , ] [ , ]( ) ( )− −=∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 21 2ϕ ϕ . V dal\nejßem v osnovnom budem rassmatryvat\ funkcyonal¥ L[ , ]−∆ ∆1 2 , G[ , ]− +∆ ∆1 2δ na prostranstvax C[ , ]−∆ ∆1 2 , C[ , ]− +∆ ∆1 2δ sootvetstvenno. 3. Budem yskat\ reßenye uravnenyq (3) v vyde y ( t ) = f k( , , )η η1 … , (4) ηi = e i tλ , i = 1, … , k . Predpolahaetsq, çto f k( , , )η η1 … — analytyçeskaq funkcyq k peremenn¥x v nekotoroj okrestnosty toçky η η1 0= … = =k , udovletvorqgwaq uslovyg f ( , , )0 0 0… = . Tohda uravnenye (3) pryvodytsq k vydu λ η ∂ ∂η ηl l l k l f = ∑ 1 ( ) � = L f e ek k [ , ]( ( )), ,− …∆ ∆1 2 1 1η ηλ ξ λ ξ + + G f e ek k [ , ]( ( )), ,− + …∆ ∆1 2 1 1δ λ ξ λ ξη η . (5) Razlahaq f k( , , )η η1 … v uravnenyy (5) v rqd Tejlora v okrestnosty toçky η η1 0= … = =k : f k( , , )η η1 … = f fi i i k i i i k i i i k k k η η η = … +…+ > ∑ ∑+ … 1 1 1 1 1 1 , , , (6) a takΩe analytyçeskyj funkcyonal G[ , ]− +∆ ∆1 2δ v rqd Tejlora y pryravnyvaq koπffycyent¥ pry odynakov¥x monomax η η1 1i k ik… , poluçaem cepoçku uravne- nyj λ λ ξ i iL e fi−[ ]−[ , ]( )∆ ∆1 2 = 0, i = 1, … , k , (7) λ λ ξl l l k l l l k i ii L i f k = − = …∑ ∑       −                          1 1 1 2 1[ , ] , ,exp∆ ∆ = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1278 A. N. MUROVCEV = 1 2 ss i ii k != +…+ ∑ n n i l k n n n n s l ls l k s ks f f G 1 11 1 1 1 2 1 0 +…+ = = … … … − +∑ … , , , , , , , [ , ] ( ) ( )∆ ∆δ × × exp , ,expλ ξ λ ξl l l k l ls l k n n1 1 1= = ∑ ∑             …                   . (8) Yz (7) sleduet, çto netryvyal\noe analytyçeskoe reßenye uravnenyq (5) moΩet suwestvovat\ pry znaçenyqx λi , qvlqgwyxsq kornqmy xarakterystyçeskoho uravnenyq H ( λ ) = λ λξ− −L e[ , ]( )∆ ∆1 2 = 0. (9) Teorema1. Pust\ λi, i = 1, … , k, — korny xarakterystyçeskoho uravne- nyq (9) y Reλi < 0, nykakye çysla ω λ λ= + … +i ik k1 1 , i ik1, ,… ∈N , i ik1 1+ … + > , ne qvlqgtsq kornqmy uravnenyq (9) y suwestvuet çyslo L > 0, pry kotorom v¥polnqetsq neravenstvo e H − Re ( ) ω ω ∆1 < L . (10) Tohda dlq lgb¥x çysel f fk1, ,… ∈C suwestvuet edynstvennoe analytyçes- koe reßenye f k( , , )η η1 … uravnenyq (5) vo vsej oblasty C k , udovletvorqg- wee uslovyqm f ( , , )0 0 0… = , ∂ ∂η1 10 0f f( , , )… = , … , ∂ ∂ηk kf f( , , )0 0… = . Dokazatel\stvo. Yz cepoçky ravenstv (8) sleduet neravenstvo fi ik1, ,… ≤ exp Re( )( ) ( ) λ λ δ λ λ 1 1 1 1 1 i i H i i k k k k + … + − +( ) + … + ∆ × × K s f f s i i n n i l k n n n n k l ls l k s ks 1 2 1 1 1 11 1 1! , , , , , , , = +…+ +…+ = = … … …∑ ∑ …( ). (11) Ne umen\ßaq obwnost\ rassuΩdenyj, budem predpolahat\, çto Reλ1 = = sup Re, ,i k i= …1 λ . Tohda exp Re( )λ λ δ1 1i ik k+ … +( ) ≤ d i ik( )1 +…+ , (12) hde d = e−Reλ δ1 < 1. Yz (11) y (12) sleduet, çto analytyçeskoe reßenye f k( , , )η η1 … uravnenyq (5) maΩoryruetsq reßenyqmy z k( , , )η η1 … uravnenyq z k( , , )η η1 … = = LK z d d d d f fk k k kzexp , , , ,( ) ( )η η η η η η1 1 1 11…( ) − − …[ ] + + … + , (13) hde z( , , )0 0 0… = y ∂ ∂ηi iz f( , , )0 0… = , i = 1, … , k . ∏to oznaçaet, çto koπf- fycyent¥ razloΩenyq funkcyy z k( , , )η η1 … v rqd Tejlora zi ik1 0, ,… ≥ y dlq lgb¥x çysel i ik1, ,… ∈N i ik1 1+ … + ≥ , f zi i i ik k1 1, , , ,… …≤ . Krome toho, reße- ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 HLOBAL\|NAQ ANALYTYÇNOST\| REÍENYJ NELYNEJNÁX … 1279 nyq uravnenyj (5) y (13) odnovremenno maΩoryrugtsq reßenyqmy w k( , , )η η1 … uravnenyq w k( , , )η η1 … = LK w w f fk k k k2 1 2 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) η η η η η η… − … + + … + . (14) Uravnenye (14) ymeet edynstvennoe analytyçeskoe reßenye w k( , , )η η1 … v ne- kotoroj oblasty maxi i rη < , udovletvorqgwee tem Ωe uslovyqm w( , , )0 0 0… = , ∂ ∂ηi iw f( , , )0 0… = . Sledovatel\no, uravnenye (13) takΩe yme- et edynstvennoe analytyçeskoe reßenye z k( , , )η η1 … v toj Ωe oblasty maxi i rη < , udovletvorqgwee tem Ωe uslovyqm z( , , )0 0 0… = , ∂ ∂ηi z( , , )0 0… = = fi . Yz uravnenyq (13) sleduet, çto z k( , , )η η1 … analytyçesky prodolΩaet- sq v oblast\ maxi i rdη < −1, zatem v oblast\ maxi i rdη < −2 y t. d. Poskol\ku d k− → ∞ pry k → ∞ , z k( , , )η η1 … analytyçesky prodolΩaetsq na vse prostranstvo C k . Sledovatel\no, reßenye f k( , , )η η1 … uravnenyq (5) qv- lqetsq analytyçeskoj funkcyej v prostranstve C k . Teorema dokazana. 4. Pust\ C1 ∞ — lynejnoe prostranstvo beskoneçnomern¥x vektorov � η = = η η1, , ,… …{ }k , ηi ∈C , i ∈N , sup i i ∈ < ∞ N η . V πtom prostranstve vvodytsq norma po formule � η 1 = sup i i ∈N η . Budem takΩe rassmatryvat\ lynejnoe prostranstvo C2 ∞ beskoneçnomern¥x vektorov � η η η η= … …{ }1 2, , , ,k , ηi ∈C , i ∈N , udovletvorqgwyx uslovyg fii= ∞∑ < ∞ 1 . Norma v πtom prostranstve opredelqetsq po formule � η 2 = fi i = ∞ ∑ 1 . Vvedem ponqtye analytyçeskoj funkcyy beskoneçnoho çysla peremenn¥x. Opredelenye1. Funkcyq f ( ) � η qvlqetsq analytyçeskoj v toçke � � η = 0 f ( ) ( ) � � � η η∈ =( )O 0 , esly suwestvuet çyslo r > 0, pry kotorom dlq lgboho � η ∈ ∞ C1 , � η 1 < r , ymeet mesto predstavlenye v vyde absolgtno sxodqwehosq rqda f ( ) � η = f f fi i i k i i i i i i k i k k k k( ) , , ,0 1 2 1 1 1 1 1 1+ + … = ∞ = ∞ +…+ > ≥ …∑ ∑ ∑η η η . (15) PoloΩyv η η ηk k k l+ + += = … = = … =1 2 0 , nesloΩno pokazat\, çto fi ik1, ,… = 1 0 1 1 1 1i i d d d f k i i i k i k k! ! ( ) … … +…+ η η � . Opredelenye2. Funkcyq f ( ) � η qvlqetsq analytyçeskoj v otkr¥toj ob- lasty D, prynadleΩawej C1 ∞ f D( ) ( ) � η ∈( )O , esly ona analytyçna v kaΩdoj toçke � η ∈D. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1280 A. N. MUROVCEV Prymerno tak Ωe opredelqgtsq analytyçeskye funkcyy v prostranst- ve2 C2 ∞ . Budem yskat\ reßenye uravnenyq (3) v vyde y ( t ) = f ( ) � η , � η = η η1, , ,… …{ }k , (16) ηi = e i tλ , i ∈N . Predpolahaetsq, çto f ( ) ( ) � � � η η∈ =O 0 y f ( ) � 0 0= . Posle podstanovky funk- cyy y ( t ) v vyde (16) v uravnenye (3) poluçym uravnenye λ η ∂ ∂η ηl l l l f = ∞ ∑ 1 ( ) � = = L f e e G f e ek k k k [ , ] [ , ]( ( )) ( ( )), , , , , ,− − +… … + … …∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 1 2 1 1 1η η η ηλ ξ λ ξ δ λ ξ λ ξ . (17) Podstavlqq razloΩenye funkcyy f ( ) � η v rqd Tejlora v (17), razlahaq funk- cyonal G[ , ]− +∆ ∆1 2δ v rqd Tejlora y pryravnyvaq koπffycyent¥ pry odynako- v¥x çlenax η η1 1i k ik… v obeyx çastqx (17), poluçaem uravnenyq (7) y cepoçku uravnenyj typa (8). Yz uravnenyq (7), kak y ranee, sleduet, çto neobxodym¥m uslovyem suwestvovanyq netryvyal\noho reßenyq qvlqetsq v¥polnenye uslovyj H i( )λ = 0 . Nas ynteresugt dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq reßenyq vo vsem pro- stranstve C1 ∞. Teorema2. Pust\ λi i, ∈{ }N — sçetnoe mnoΩestvo kornej xarakterys- tyçeskoho uravnenyq (9), udovletvorqgwyx uslovyg Reλi < 0; dlq lgboho k ≥ 1 nykakoe çyslo ω λ λ= + … +i ik k1 1 , h d e i ik1, ,… — cel¥e neotryca- tel\n¥e çysla y i ik1 1+ … + > , ne qvlqetsq kornem toho Ωe uravnenyq (9) y suwestvuet çyslo L > 0, pry kotorom e H − Re ( ) ω ω ∆1 < L . (18) Tohda dlq lgboho beskoneçnomernoho vektora � f f f fi= … …{ } ∈ ∞ 1 2 2, , , , C s u - westvuet edynstvennoe analytyçeskoe reßenye f ( ) � η uravnenyq (17) vo vsem prostranstve C1 ∞, predstavymoe v C1 ∞ absolgtno sxodqwymsq stepenn¥m rqdom edynoj struktur¥ y udovletvorqgwee uslovyqm f ( ) � 0 0= , ∂ ∂ηi if f( ) � 0 = , i ∈N . Dokazatel\stvo poçty polnost\g analohyçno dokazatel\stvu teorem¥21. Vmesto maΩoryrugweho uravnenyq (13) v dannom sluçae yspol\zuetsq uravne- nye z( ) � η = LK z d d fz i i iexp ( ) ( ) � � η η η− −( )[ ] + = ∞ ∑1 1 , (19) a vmesto maΩoryrugweho uravnenyq (14) — uravnenye w( ) � η = LK w w f i i i2 1 2 1 ( ) ( ) � �η η η − + = ∞ ∑ . (20) NesloΩno pokazat\, çto reßenyq uravnenyj (19), (20) moΩno predstavyt\ v vyde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 HLOBAL\|NAQ ANALYTYÇNOST\| REÍENYJ NELYNEJNÁX … 1281 z z u( ) ˜( ) � η = , w w u( ) ˜ ( ) � η = , u fi ii = = ∞∑ η 1 . Funkcyy ˜( )z u , ˜ ( )w u udovletvorq- gt uravnenyqm ˜( )z u = LK z du z du uexp ˜( ) ˜( )− −( )[ ] +1 , (21) ˜ ( )w u = LK w u w u u 2 1 2˜ ( ) ˜ ( )− + (22) sootvetstvenno, a takΩe uslovyqm ˜( )z 0 0= , ˜ ( )w 0 0= , ∂ ∂u z̃( )0 1= , ∂ ∂u w̃( )0 1= . Reßenye uravnenyq (19) maΩoryruetsq reßenyem uravnenyq (20), a reßenye uravnenyq (21) — reßenyem uravnenyq (22). Sledovatel\no, reßenye z( ) � η = = z̃ fi ii η= ∞∑( )1 uravnenyq (19) suwestvuet v nekotoroj oblasty � η 1 ≤ r . Ne- sloΩno pokazat\, çto vse koπffycyent¥ razloΩenyq funkcyy ˜( )z u v rqd Tej- lora poloΩytel\n¥. Prymenqq, kak y ranee, metod posledovatel\noho prodol- Ωenyq, funkcyg ˜( )z u moΩno analytyçesky prodolΩyt\ vo vsg kompleksnug ploskost\ C. Takym obrazom, funkcyq z( ) � η = z̃ fi ii η= ∞∑( )1 qvlqetsq abso- lgtno sxodqwymsq rqdom vyda (15) vo vsem prostranstve C1 ∞ . Reßenye f ( ) � η uravnenyq (17) maΩoryruetsq funkcyej z( ) � η . Sledovatel\no, f ( ) � η predstav- lqetsq absolgtno sxodqwymsq rqdom vo vsem prostranstve C1 ∞ . Teorema dokazana. Yspol\zuq teoremu22, moΩno ustanovyt\ rqd prost¥x svojstv analytyçesko- ho uravnenyq (17). Prymenqq metod matematyçeskoj yndukcyy, moΩno pokazat\, çto reßenye f f( , ) � � η , � f ∈ ∞ C2 , � η ∈ ∞ C1 , uravnenyq (17) predstavymo v vyde ˜({ })f fi iη , hde ˜( )f u � — analytyçeskaq funkcyq v C1 ∞ . Metodom matematyçes- koj yndukcyy takΩe moΩno pokazat\, çto esly λi, λ j — dva kompleksno-so- prqΩenn¥x kornq xarakterystyçeskoho uravnenyq (9), to, v¥byraq fi y fj v vektore � f ∈ ∞ C2 kompleksno-soprqΩenn¥my çyslamy, a esly λi — dejstvy- tel\n¥j koren\ uravnenyq (9), v¥byraq v � f ∈ ∞ C2 dejstvytel\noe çyslo fi , moΩno poluçyt\ dejstvytel\noe reßenye uravnenyq (3), predstavymoe v vyde y ( t ) = ˜({ })f f ei tiλ . Pust\ zadan¥ vektor¥ � f f fi= … …{ } ∈ ∞ 1 2, , , C , � f f fk k= … … …{ }1 0 0, , , , , , . Pry k → ∞ � � f fk → po norme prostranstva C2 ∞ . Yssleduem povedenye reße- nyq f f( , ) � � η uravnenyq (17), udovletvorqgweho uslovyqm f f( , ) � � 0 0= , ∂ ∂η1 10f f f( , ) � � = , … , ∂ ∂ηi if f f( , ) � � 0 = , … v zavysymosty ot beskoneçnomernoho vektora � f . Teorema3. Dlq lgboho r > 0 reßenye f fk( , ) � � η uravnenyq (17) ravno- merno stremytsq pry k → ∞ k f f( , ) � � η v oblasty � η 1 ≤ r . Dokazatel\stvo. Yspol\zuq funkcyy z f( , ) � � η y w f( , ) � � η , vvedenn¥e pry dokazatel\stve teorem¥22, moΩno pokazat\, çto funkcyq f f f fk( , ) ( , ) � � � � η η− v ne- kotoroj okrestnosty toçky � � η = 0 maΩoryruetsq funkcyej z f z fk( , ) ( , ) � � � � η η− , kotoraq v svog oçered\ maΩoryruetsq funkcyej w f w fk( , ) ( , ) � � � � η η− , hde ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1282 A. N. MUROVCEV w f( , ) � η = 1 1 4 1 2 2 1 2 1 1 2 1 +( ) − +( ) − + + = ∞ = ∞ = ∞∑ ∑ ∑f f LK f LK i ii i ii i ii η η η( ) ( ) . NesloΩno takΩe pokazat\, çto pry dostatoçno malom r analytyçeskoe reße- nye w f( , ) � � η suwestvuet v oblasty � η 1 < r y, krome toho, v¥polnqetsq nera- venstvo w f w fk( , ) ( , ) � � � � η η− ≤ 1 2 1 2( ) ( ) + = ∞ ∑LK D r fi i i k η , hde D ( r ) — nekotoroe poloΩytel\noe çyslo, zavysqwee ot r. Sledovatel\no, pry k → ∞ w f w fk( , ) ( , ) � � � � η η− → 0 ravnomerno v oblasty � η 1 ≤ r , y tohda f f f fk( , ) ( , ) � � � � η η− → 0 ravnomerno v toj Ωe oblasty. Ysxodq yz uravnenyq (19) nesloΩno pokazat\, çto pry k → ∞ z f z fk( , ) ( , ) � � � � η η→ ravnomerno v oblasty � η 1 1≤ −rd , zatem v oblasty � η 1 2≤ −rd y t. d. Sledovatel\no, pry k → ∞ f f f fk( , ) ( , ) � � � � η η→ ravnomerno v lgboj ohranyçennoj podoblasty prostranst- va22 C1 ∞ . Teorema dokazana. Poskol\ku reßenye f f( , ) � � η uravnenyq (17) dlq lgboho � η ∈ ∞ C1 qvlqetsq analytyçeskoj funkcyej po � f ∈ ∞ C2 v toçke � � f = 0 s radyusom sxodymosty R = ∞, πto reßenye maΩoryruetsq absolgtno sxodqwymsq rqdom s tem Ωe ra- dyusom sxodymosty. Yspol\zuq svojstvo nezavysymosty absolgtno sxodqweho- sq rqda ot perestanovok çlenov rqda yly obæedynenyq yx v proyzvol\n¥e hrup- p¥, moΩno pokazat\, çto f f( , ) � � η — analytyçeskaq funkcyq po � f ∈ ∞ C2 v lg- boj toçke C2 ∞ . 5. Budem predpolahat\, çto uravnenye (3) qvlqetsq uravnenyem zapazd¥vag- weho typa, t. e. ∆1 = ∆ > 0, ∆2 = 0. V πtom naybolee prostom sluçae yssledu- em zadaçu predstavlenyq reßenyj osnovnoj naçal\noj zadaçy absolgtno sxodqwymysq rqdamy πksponent vyda (16). Dannaq zadaça svodytsq k zadaçe naxoΩdenyq vektora � f f f fk= … …{ } ∈ ∞ 1 2 2, , , , C bazov¥x koπffycyentov, pry kotorom reßenye, predstavymoe v vyde rqda Dyryxle, sovpadaet s reßenyem osnovnoj naçal\noj zadaçy. Pust\ zadana naçal\naq funkcyq ϕ ξ( ) [ , ]∈ −C ∆ 0 , kotoraq opredelqet reßenye y ( t, ϕ ) uravnenyq (3). Korny { }λi xarakterystyçeskoho uravnenyq (9) obrazugt sçetnoe mnoΩestvo çysel yz C, krome toho, Reλi < 0. Budem pred- polahat\, çto mnoΩestvo { ( ) }, [ , ]ϕ ξ ξλ ξ i e i= ∈ − ∆ 0 predstavlqet soboj sçet- nug systemu lynejno nezavysym¥x funkcyj, kotoraq qvlqetsq polnoj v prost- ranstve C[ , ]− ∆ 0 . ∏to oznaçaet, çto lgbaq funkcyq ϕ ξ( ) [ , ]∈ −C ∆ 0 pred- stavlqetsq v vyde ravnomerno sxodqwehosq rqda ϕ ( ξ ) = c e c e c en n 1 2 1 2λ ξ λ ξ λ ξ+ + … + + … . (23) Kak ukazano v [9], takoe predstavlenye realyzuetsq ne vsehda, odnako v bol\- ßynstve sluçaev predstavlenye (23) ymeet mesto. Vvedem v lynejnom normyrovannom prostranstve C[ , ]− ∆ 0 bylynejn¥j funkcyonal po formule 〈 〉f , ϕ = h L h u u du( ) ( ) ( )[ , ] ( )0 0 0 0 ϕ ξ ϕ ξ + −      − ∫∆ . (24) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 HLOBAL\|NAQ ANALYTYÇNOST\| REÍENYJ NELYNEJNÁX … 1283 NesloΩno pokazat\, çto esly i j≠ , to e ei jλ ξ λ ξ , = 0, a esly i j= , to e e Hi i i λ λ ξ λ, ( )= ′ . Sledovatel\no, funkcyy { }, [ , ]e jλ ξ ξ ∈ − ∆ 0 poparno orto- honal\n¥ otnosytel\no bylynejnoho funkcyonala (24). Yz razloΩenyq (23) sleduet, çto cn = e e e n n n λ ξ λ ξ λ ξ ϕ ξ, , ( ) . Rassmotrym podklass funkcyj B[ , ] [ , ]− ⊂ −∆ ∆0 0C , predstavym¥x abso- lgtno sxodqwymsq rqdom (23), koπffycyent¥ razloΩenyq kotor¥x udovlet- vorqgt uslovyg c c cn1 2+ + … + + … < ∞. NesloΩno pokazat\, çto lynej- noe prostranstvo B[ , ]− ∆ 0 qvlqetsq banaxov¥m otnosytel\no norm¥ ϕ a i i c= = ∞ ∑ 1 . Teorema4. Pust\ v¥polnqgtsq uslovyq, vvedenn¥e v pp. 2 y 5, a takΩe uslovyq teorem¥22. Tohda suwestvuet dostatoçno maloe çyslo ε > 0 t a - koe, çto esly ϕ ∈ −B[ , ]∆ 0 y ϕ εc < , to reßenye y ( t, ϕ ) naçal\noj zada- çy na yntervale − ≤ < ∞∆ t predstavlqetsq absolgtno sxodqwymsq rqdom Dyryxle vyda (16). Dokazatel\stvo. Budem rassmatryvat\ reßenye y ( ξ ) uravnenyq (3), pred- stavlennoe v vyde (16), na naçal\nom otrezke [ , ]− ∆ 0 . Na πtom otrezke ono dolΩno sovpadat\ s naçal\noj funkcyej ϕ ξ( ) [ , ]∈ −B ∆ 0 . Yspol\zuq bylynej- nug formu (24), poluçaem e yiλ ξ ξ, ( ) = ci , i ∈ N . (25) Systemu uravnenyj (25) moΩno pryvesty k vydu c f g f f fi i i i− − … …( , , , , )1 2 = 0, i ∈ N , (26) hde fi— koπffycyent¥ pry bazov¥x πksponentax e iλ ξ razloΩenyq (16). Pust\ ϕ ξ εϕ ξ( ) ( )˜ ˜= , f fi i= ˜ ˜ε , ˜ ( )ε ϕ ξ= c. Tohda c ci i= ˜ ˜ε y uravnenye (26) pryvodytsq k vydu ˜ ˜ ˜ ˜ (˜, ˜ , ˜ , , ˜ , )c f g f f fi i i i− − … …ε ε 1 2 = 0, i ∈ N . (27) Funkcyy g̃i qvlqgtsq neprer¥vn¥my po ε̃ y ˜ , ˜ , , ˜ ,f f fi1 2 2… …{ } ∈ ∞ C . Pry ε̃ = 0 ymeetsq reßenye ˜ ˜f ci i= , i ∈N , y proyzvodnaq Freße po ˜ � f operatora, stoqweho v levoj çasty (16), v toçke ε̃ = 0 , ˜ ˜ � � f c= sovpadaet s toΩdestvenn¥m operatorom. Sledovatel\no, v sylu teorem¥ o neqvno zadann¥x funkcyqx v ne- kotoroj oblasty ε̃ ε< suwestvuet reßenye fi(˜ )ε , i ∈N , uravnenyq (27), udovletvorqgwee uslovyg ˜ ( ) ˜f ci i0 = , i ∈N . Teorema dokazana. 6. Budem yssledovat\ reßenyq uravnenyq (5) bez predpoloΩenyq G[ , ]−∆ ∆1 2 = = G[ , ]− +∆ ∆1 2δ . V πtom sluçae moΩno vvesty mal¥j parametr τ y uravnenye (5) zamenyt\ yzmenenn¥m uravnenyem, blyzkym k (5): ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9 1284 A. N. MUROVCEV λ η ∂ ∂η ηl l l k l f = ∑ 1 ( ) � = = L f e e G f e ek k k k [ , ] [ , ]( ( )) ( ( ) ( )), , , ,− −… + …∆ ∆ ∆ ∆1 2 1 1 2 1 1 1η η χ ξ η ηλ ξ λ ξ τ λ ξ λ ξ , (28) hde χ ξτ( ) = 1 pry − + ≤ ≤∆ ∆1 2τ ξ , χ ξτ( ) = 0 pry − ≤ ≤ +∆ ∆1 1ξ τ . Pust\ λ λ1, ,… k — korny xarakterystyçeskoho uravnenyq (9), udovletvorq- gwye uslovyg Reλi < 0, y v¥polnqgtsq uslovyq teorem¥21. Tohda dlq lg- boho τ > 0 suwestvuet edynstvennoe analytyçeskoe reßenye f kτ η η( , , )1 … uravnenyq (28) v oblasty C k , udovletvorqgwee uslovyqm fτ( , , )0 0 0… = , ∂ ∂η τ i if f( , , )0 0… = , i = 1, … , k . Esly v nekotoroj ohranyçennoj svqznoj oblasty Ω ⊂ C k , soderΩawej nekotorug okrestnost\ toçky η η1 0= … = =k , f kτ η η( , , )1 … stremytsq ravnomerno k f k( , , )η η1 … pry τ → 0, to f k( , , )η η1 … — analytyçeskoe re- ßenye uravnenyq (28) pry τ = 0 v oblasty Ω , udovletvorqgwee tem Ωe uslovyqm f ( , , )0 0 0… = , ∂ ∂ηi if f( , , )0 0… = , i = 1, … , k . Preymuwestvo tako- ho podxoda sostoyt v tom, çto oblast\ Ω moΩet okazat\sq neskol\ko ßyre, çem malaq okrestnost\ toçky η η1 0= … = =k , v kotoroj udaetsq dokazat\ suwestvovanye analytyçeskoho reßenyq uravnenyq (28) pry τ = 0 metodom ma- Ωoryrugwyx uravnenyj [1 – 6]. 1. Murovcev A. N. Analytyçeskye reßenyq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s otklonqgwymsq arhumentom. – M., 1985. – Dep. v VYNYTY, 4669-85Dep. 2. Murovcev A. N. Analytyçeskye reßenyq dyfferencyal\n¥x uravnenyj s otklonqgwymsq arhumentom. – M., 1988. – Dep. v VYNYTY, 9142-V88. 3. Murovcev A. N. Analytyçeskye reßenyq system¥ nelynejn¥x avtonomn¥x dyfferency- al\n¥x uravnenyj s otklonqgwymysq arhumentamy // Dyfferenc. uravnenyq. – 1989. – 25, # 10. – S. 1817 – 1819. 4. Murovcev A. N. Analytyçeskye reßenyq system¥ dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 1990. – 42, # 8. – S. 1068 – 1077. 5. Murovcev A. N. Reßenyq neavtonomnoho nelynejnoho dyfferencyal\no-funkcyonal\noho uravnenyq, predstavym¥e rqdamy πksponent // Dyfferenc. uravnenyq. – 1996. – 32, # 7. – S.2992 – 994. 6. Murovcev A. N. Ravnomernaq approksymacyq reßenyj naçal\noj zadaçy dyfferency- al\no-funkcyonal\n¥x uravnenyj rqdamy Dyryxle // Tam Ωe. – 2001. – 37, # 3. – S.2425 – 428. 7. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. – M.: Nauka, 1972. – 4962s. 8. Trenohyn V. A. Funkcyonal\n¥j analyz. – M.: Nauka, 1989. – 4962s. 9. Xejl D. Teoryq funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x uravnenyj. – M.: Myr, 1984. – 4222s. Poluçeno 02.04.2002, posle dorabotky — 21.01.2005 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9

Глобальная аналитичность решений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений, представимых рядами Дирихле

Institution

Similar Items