Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости
Доведено, що група R∘ тоді і тільки тоді нільпо-тентна, коли вона енгелева і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Зокрема, R∘ нільпотентна, якщо вона слабко нільпотентна або n-енгелева для деякого додатного цілого числа n. Також встановлено, що кільце R строго Лі-нільпоте...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2006
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165432 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости / Р.Ю. Евстафьев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1264–1270. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165432 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Евстафьев, Р.Ю. 2020-02-13T12:44:48Z 2020-02-13T12:44:48Z 2006 Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости / Р.Ю. Евстафьев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1264–1270. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165432 519.1 Доведено, що група R∘ тоді і тільки тоді нільпо-тентна, коли вона енгелева і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Зокрема, R∘ нільпотентна, якщо вона слабко нільпотентна або n-енгелева для деякого додатного цілого числа n. Також встановлено, що кільце R строго Лі-нільпотентне тоді і тільки тоді, коли воно енгелеве і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Let R be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let R∘ be the group of all invertible elements of R under the operation a∘b=a+b+ab. We prove that R∘ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring R modulo its Jacobson radical is commutative. In particular, the group R∘ is nilpotent if it is weakly nilpotent or n-Engel for some positive integer n. We also establish that R is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and R modulo its Jacobson radical is commutative. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости On Artinian rings satisfying the Engel condition Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| spellingShingle |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости Евстафьев, Р.Ю. Статті |
| title_short |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| title_full |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| title_fullStr |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| title_full_unstemmed |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| title_sort |
об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости |
| author |
Евстафьев, Р.Ю. |
| author_facet |
Евстафьев, Р.Ю. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Artinian rings satisfying the Engel condition |
| description |
Доведено, що група R∘ тоді і тільки тоді нільпо-тентна, коли вона енгелева і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне. Зокрема, R∘ нільпотентна, якщо вона слабко нільпотентна або n-енгелева для деякого додатного цілого числа n.
Також встановлено, що кільце R строго Лі-нільпотентне тоді і тільки тоді, коли воно енгелеве і фактор-кільце кільця R по його радикалу Джекобсона комутативне.
Let R be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let R∘ be the group of all invertible elements of R under the operation a∘b=a+b+ab. We prove that R∘ is a nilpotent group if and only if it is an Engel group and the ring R modulo its Jacobson radical is commutative. In particular, the group R∘ is nilpotent if it is weakly nilpotent or n-Engel for some positive integer n. We also establish that R is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and R modulo its Jacobson radical is commutative.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165432 |
| citation_txt |
Об артиновых кольцах, удовлетворяющих условиям энгелевости / Р.Ю. Евстафьев // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 9. — С. 1264–1270. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT evstafʹevrû obartinovyhkolʹcahudovletvorâûŝihusloviâméngelevosti AT evstafʹevrû onartinianringssatisfyingtheengelcondition |
| first_indexed |
2025-11-24T21:50:45Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:50:45Z |
| _version_ |
1850498665894903808 |
| fulltext |
UDK 519.1
R. G. Evstaf\ev (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX,
UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY
Let R be an Artinian ring, not necessarily with a unit element, and let R� be the group of all invertible
elements of R under the operation a b a b ab� = + + . We prove that R� is a nilpotent group if and
only if it is an Engel group and the ring R modulo its Jacobson radical is commutative. In particular,
the group R� is nilpotent if it is weakly nilpotent or n-Engel for some positive integer n. We also
establish that R is a strictly Lie-nilpotent ring if and only if R is an Engel ring and R modulo its
Jacobson radical is commutative.
Nexaj R — artinove kil\ce, neobov’qzkovo z odynyceg, i R�
— hrupa oborotnyx elementiv kil\-
cq R vidnosno operaci] a b a b ab� = + + . Dovedeno, wo hrupa R�
todi i til\ky todi nil\po-
tentna, koly vona enheleva i faktor-kil\ce kil\cq R po joho radykalu DΩekobsona komutatyv-
ne. Zokrema, R�
nil\potentna, qkwo vona slabko nil\potentna abo n-enheleva dlq deqkoho do-
datnoho ciloho çysla n. TakoΩ vstanovleno, wo kil\ce R stroho Li-nil\potentne todi i til\ky
todi, koly vono enheleve i faktor-kil\ce kil\cq R po joho radykalu DΩekobsona komutatyvne.
1.$$Vvedenye. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co, neobqzatel\no s edynycej.
MnoΩestvo vsex πlementov kol\ca R obrazuet poluhruppu Rad
s edynyçn¥m
πlementom 0 otnosytel\no operacyy prysoedynennoho umnoΩenyq a b� =
= a b ab+ + dlq vsex πlementov a y b yz R . Hruppa vsex obratym¥x πlemen-
tov πtoj poluhrupp¥ naz¥vaetsq prysoedynennoj hruppoj kol\ca R y obozna-
çaetsq çerez R� . Esly R ymeet edynycu, to 1 + R�
sovpadaet s mul\typlyka-
tyvnoj hruppoj R∗
kol\ca R y otobraΩenye r r� 1 + dlq r R∈ �
qvlqetsq
yzomorfyzmom R�
na R∗ .
Hruppovoj kommutator πlementov r y s yz R�
budem oboznaçat\ çerez
( , )r s . Dlq πlementov r r Rn1, ,… ∈ �
kommutator ( , , )r rn1 … opredelqetsq po
yndukcyy ( , , )r rn1 … = (( , , ), )r r rn n1 1… − dlq kaΩdoho natural\noho n ≥ 3. Tak-
Ωe opredelym dlq proyzvol\noho natural\noho n kommutator vyda ( , )r sn =
= ( , , , )r s s… , hde s povtorqetsq n raz. Napomnym, çto hruppa G naz¥vaetsq
nyl\potentnoj, esly ( , , )r rn1 0… = dlq vsex r rn1, ,… yz G y nekotoroho n.
Odnymy yz hlavn¥x obobwenyj ponqtyq nyl\potentnosty qvlqgtsq lokal\naq
nyl\potentnost\ y πnhelevost\. Hovorqt, çto hruppa lokal\na nyl\potentna,
esly vse ee koneçnoporoΩdenn¥e podhrupp¥ nyl\potentn¥. V πtoj rabote m¥
takΩe rassmotrym bolee ßyrokyj klass hrupp, v kotor¥x kaΩd¥e dva πlementa
poroΩdagt nyl\potentnug podhruppu. Takye hrupp¥ V.=H.=Vylqcer [1] nazval
slabo nyl\potentn¥my. Hruppa G naz¥vaetsq n-πnhelevoj, esly ( , )r sn = 0
dlq kaΩdoj par¥ πlementov r y s yz G. Esly Ωe poslednee sootnoßenye v¥-
polnqetsq dlq lgb¥x πlementov r y s pry nekotorom n, zavysqwem ot πtyx
πlementov, to hruppa naz¥vaetsq πnhelevoj. Oçevydno, çto kaΩdaq slabo nyl\-
potentnaq hruppa qvlqetsq πnhelevoj.
Yzvestno, çto suwestvugt slabo nyl\potentn¥e hrupp¥, ne qvlqgwyesq lo-
kal\no nyl\potentn¥my (sm. [2]). V to Ωe vremq, po-vydymomu, neyzvestno, sov-
padagt ly klass¥ slabo nyl\potentn¥x y πnhelev¥x hrupp. Otmetym ewe, çto
rqdom avtorov b¥ly najden¥ uslovyq, pry kotor¥x πnheleva hruppa obqzatel\-
no lokal\no nyl\potentna. Odnym yz takyx uslovyj qvlqetsq uslovye myny-
mal\nosty dlq podhrupp (V.=H.=Vylqcer [1]).
Po analohyy s hruppamy moΩno predpoloΩyt\, çto esly kol\co udovletvo-
rqet nekotoromu uslovyg mynymal\nosty (naprymer, uslovyg mynymal\nosty
© R. G. EVSTAF|EV, 2006
1264 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1265
dlq prav¥x ydealov), to yz πnhelevosty prysoedynennoj hrupp¥ budet sledo-
vat\ ee lokal\naq nyl\potentnost\ yly daΩe nyl\potentnost\. Zametym, çto
yz v¥polnenyq v kol\ce uslovyq mynymal\nosty dlq prav¥x ydealov ne sledu-
et, çto prysoedynennaq hruppa udovletvorqet uslovyg mynymal\nosty dlq
podhrupp.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq artynov¥m sprava (neterov¥m sprava),
esly v πtom kol\ce v¥polneno uslovye mynymal\nosty (uslovye maksymal\nos-
ty) dlq prav¥x ydealov. Vezde v rabote pod artynov¥m (neterov¥m) kol\com bu-
dem podrazumevat\ artynovo sprava (neterovo sprava) kol\co. Radykal DΩekob-
sona y centr kol\ca R budem oboznaçat\ çerez J ( R ) y Z ( R ) sootvetstvenno.
Kol\co R s edynycej naz¥vaetsq lokal\n¥m, esly faktor-kol\co R / J ( R ) qv-
lqetsq telom. Otmetym, çto artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj
hruppoj detal\no yssledovalys\ v rabotax [3, 4]. V çastnosty, v poslednej yz
nyx dokazano, çto v artynovom kol\ce R, poroΩdaemom mnoΩestvom Z R( ) + R�,
prysoedynennaq hruppa R�
nyl\potentna tohda y tol\ko tohda, kohda R — prq-
maq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩd¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\-
potentn¥m kol\com, lybo lokal\n¥m kol\com s nyl\potentnoj mul\typly-
katyvnoj hruppoj. Kak sledstvye, b¥lo ustanovleno, çto esly artynovo kol\co
R poroΩdaetsq mnoΩestvom Z R R( ) + � , to prysoedynennaq hruppa R�
nyl\-
potentna v tom y tol\ko v tom sluçae, kohda R nyl\potentno kak kol\co Ly.
V rabote [5] (teorema=6.2) b¥lo pokazano, çto πnheleva prysoedynennaq hrup-
pa R�
artynova kol\ca R nyl\potentna, esly faktor-kol\co R / J ( R ) razlo-
Ωymo v prqmug summu polej, kaΩdoe yz kotor¥x alhebrayçno nad svoym pros-
t¥m podpolem. V nastoqwej rabote πtot rezul\tat obobwaetsq na sluçaj, koh-
da faktor-kol\co artynova kol\ca po eho radykalu DΩekobsona kommutatyvno.
Krome toho, dokaz¥vaetsq, çto yz nekotoroj obobwennoj nyl\potentnosty pry-
soedynennoj hrupp¥ artynova kol\ca faktyçesky sleduet ee nyl\potentnost\.
Teorema$A. Pust\ R — artynovo kol\co y J ( R ) — radykal DΩekobsona
kol\ca R . Prysoedynennaq hruppa R�
tohda y tol\ko tohda nyl\potentna,
kohda ona πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno.
Yz teorem¥=A y lemm¥=2.5 neposredstvenno v¥tekaet sledugwee utverΩde-
nye.
Sledstvye$A. Pust\ R — artynovo kol\co. Esly prysoedynennaq hruppa
R�
slabo nyl\potentna yly n-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho n , to
ona nyl\potentna.
MoΩno predpoloΩyt\, çto uslovye kommutatyvnosty faktor-kol\ca
R / J ( R ) v teoreme=A ne qvlqetsq suwestvenn¥m y, takym obrazom, ymeet mesto
sledugwaq obwaq hypoteza otnosytel\no artynov¥x kolec.
Hypoteza$1.1. Esly prysoedynennaq hruppa artynova kol\ca udovletvorqet
uslovyg πnhelevosty, to ona nyl\potentna.
Vproçem, rassuΩdenyq, yspol\zuem¥e v nastoqwej rabote, pozvolqgt pod-
tverdyt\ πtu hypotezu polnost\g v sluçae poloΩytel\noho otveta na sledug-
wyj vopros.
Vopros$1.1. Budet ly telo s πnhelevoj mul\typlykatyvnoj hruppoj kommu-
tatyvno?
Sredy rabot v πtom napravlenyy otmetym rabotu [6], v kotoroj dokazano, çto
telo so slabo nyl\potentnoj mul\typlykatyvnoj hruppoj kommutatyvno.
KaΩdoe assocyatyvnoe kol\co R moΩet b¥t\ rassmotreno kak kol\co Ly
otnosytel\no operacyy [ , ]a b ab ba= − dlq vsex a b R, ∈ , kotoroe naz¥vaetsq
kol\com Ly, assocyyrovann¥m s R . Zametym, çto po analohyy s hruppamy
moΩno opredelyt\ Ly-nyl\potentn¥e, n-πnhelev¥ y πnhelev¥ kol\ca, esly v
sootvetstvugwem opredelenyy hruppovoj kommutator zamenyt\ Ly-kommutato-
rom. Kol\co R naz¥vaetsq lokal\no Ly-nyl\potentn¥m, esly kaΩdoe koneç-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1266 R. G. EVSTAF|EV
noporoΩdennoe podkol\co v R Ly-nyl\potentno. Qsno, çto v πtom sluçae R
lokal\no nyl\potentno kak kol\co Ly. TakΩe opredelym slabo Ly-nyl\po-
tentn¥e kol\ca, t. e. kol\ca, v kotor¥x kaΩd¥e dva πlementa poroΩdagt Ly-
nyl\potentnoe podkol\co. Zametym, çto sohlasno rezul\tatu Rajly y Uylsona
[7] kaΩdoe koneçnoporoΩdennoe n-πnhelevo kol\co Ly-nyl\potentno y, sle-
dovatel\no, kaΩdoe n-πnhelevo kol\co lokal\no Ly-nyl\potentno.
Po analohyy s teoremoj=A moΩno predpoloΩyt\, çto esly artynovo kol\co
R udovletvorqet uslovyg πnhelevosty y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyv-
no, to R Ly-nyl\potentno. Bolee toho, nyΩe budet pokazano, çto v πtom slu-
çae kol\co R Ly-nyl\potentno v bolee syl\nom sm¥sle, a ymenno: pust\
γ1( )R R= y γ i R+1( ) — ydeal, poroΩdenn¥j mnoΩestvom [ ]( ),γ i R R dlq
kaΩdoho natural\noho i ≥ 1. Hovorqt, çto kol\co R stroho Ly-nyl\potent-
no, esly γ n R( ) = 0 dlq nekotoroho n. Qsno, to esly kol\co stroho Ly-nyl\-
potentno, to ono y Ly-nyl\potentno. Obratnoe utverΩdenye ne vsehda ymeet
mesto. Sootvetstvugwyj prymer b¥l postroen v rabote [8].
Teorema$B. Pust\ R — artynovo kol\co y J ( R ) — radykal DΩekobsona
kol\ca R . Kol\co R stroho Ly-nyl\potentno tohda y tol\ko tohda, kohda
ono πnhelevo y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno.
Yz teorem¥=V y lemm¥=2.5 v¥tekaet sledugwyj rezul\tat.
Sledstvye$B. Pust\ R — artynovo kol\co. Esly kol\co R slabo Ly-
nyl\potentno yly n-πnhelevo dlq nekotoroho natural\noho n , to ono stroho
Ly-nyl\potentno.
Vproçem, kak pokaz¥vaet sledugwee utverΩdenye, dlq artynov¥x kolec po-
nqtyq Ly-nyl\potentnosty y strohoj Ly-nyl\potentnosty πkvyvalentn¥.
Sledstvye$C. Pust\ R — artynovo kol\co. Kol\co R Ly-nyl\potent-
no tohda y tol\ko tohda, kohda R stroho Ly-nyl\potentno.
Kak y v sluçae teorem¥=A, moΩno v¥dvynut\ hypotezu, çto uslovye kommuta-
tyvnosty faktor-kol\ca R / J ( R ) qvlqetsq neobqzatel\n¥m.
Hypoteza$1.2. Esly artynovo kol\co udovletvorqet uslovyg πnhelevosty,
to ono stroho Ly-nyl\potentno.
Otmetym, çto dlq ee dokazatel\stva v polnom obæeme neobxodymo otvetyt\
na sledugwyj vopros.
Vopros$1.2. Budet ly πnhelevo telo kommutatyvno?
NyΩe budet pokazano (sm. lemmu=2.4), çto esly kol\co s edynycej slabo Ly-
nyl\potentno, to mul\typlykatyvnaq hruppa πtoho kol\ca obqzatel\no slabo
nyl\potentna. Teper\, opyraqs\ na rabotu [6], poluçaem, çto kaΩdoe slabo Ly-
nyl\potentnoe telo kommutatyvno.
V rabote [5] b¥la postavlena sledugwaq problema: budet ly artynovo
kol\co s πnhelevoj prysoedynennoj hruppoj Ly-nyl\potentno? Neobxodymo
zametyt\, çto v obwem sluçae πto utverΩdenye neverno. Toçnee, esly artynovo
kol\co R s πnhelevoj prysoedynennoj hruppoj R�
ne poroΩdaetsq mnoΩest-
vom Z R R( ) + � , to ono neobqzatel\no budet Ly-nyl\potentn¥m. V kaçestve
prymera moΩno rassmotret\ kol\co verxnetreuhol\n¥x (2 × 2) -matryc nad
polem yz dvux πlementov. Esly Ωe πto uslovye v¥polnqetsq, to yz teorem¥=A y
rezul\tata, poluçennoho avtorom [4] (sledstvye=B), neposredstvenno v¥tekaet
sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye$D. Pust\ R — artynovo kol\co, poroΩdennoe mnoΩestvom
Z R R( ) + �
. Esly prysoedynennaq hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R )
kommutatyvno, to kol\co R Ly-nyl\potentno.
Otmetym ewe, çto dlq polnoho reßenyq ukazannoj problem¥ neobxodymo
opqt\ Ωe otvetyt\ na vopros=1.1.
Vozvrawaqs\ k voprosu o stroenyy artynov¥x kolec, sformulyruem struk-
turnug teoremu dlq Ly-nyl\potentn¥x kolec.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1267
Teorema$C. Pust\ R — artynovo kol\co. Kol\co R Ly-nyl\potentno
tohda y tol\ko tohda, kohda R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩ-
d¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo Ly-nyl\potent-
n¥m lokal\n¥m kol\com.
Symvol R vsgdu v rabote budet oboznaçat\ assocyatyvnoe kol\co, neobqza-
tel\no s edynycej.
2. Dokazatel\stva teorem. Sohlasno teoreme Hrgnberha [9] kaΩdaq razre-
ßymaq πnheleva hruppa qvlqetsq lokal\no nyl\potentnoj. Opyraqs\ na πtot
fakt y uçyt¥vaq, çto radykal DΩekobsona artynova kol\ca nyl\potenten,
moΩno lehko poluçyt\ sledugwyj rezul\tat. Pust\ R — artynovo kol\co y
J ( R ) — radykal DΩekobsona kol\ca R. Esly prysoedynennaq hruppa R�
πnhe-
leva y faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno, to R�
lokal\no nyl\potentna.
Dlq kaΩdoho podmnoΩestva S kol\ca R budem oboznaçat\ çerez C SR( )
centralyzator S v R, t. e. C SR( ) =
r R rs sr s S∈ = ∈{ }dlq kaΩdoho . Dlq
addytyvn¥x podhrupp V y W kol\ca R oboznaçym çerez V W,[ ] addytyvnug
podhruppu v R, poroΩdennug vsemy Ly-kommutatoramy [ , ]v w dlq v ∈V y
w W∈ .
Lemma$2.1. Pust\ R — artynovo kol\co, v kotorom faktor-kol\co
R / J ( R ) kommutatyvno, y M — mynymal\n¥j ydeal v R. Esly prysoedynennaq
hruppa R�
πnheleva, to ona centralyzuet M, y esly R πnhelevo, to M
soderΩytsq v centre kol\ca R.
Dokazatel\stvo. Pust\ hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\co R / J ( R )
kommutatyvno. Poskol\ku M ∩ J ( R ) qvlqetsq ydealom kol\ca R , vsledstvye
mynymal\nosty M ymeem lybo M ∩ J ( R ) = 0, lybo M ⊆ J ( R ) . PredpoloΩym
snaçala, çto M ∩ J ( R ) = 0. Poskol\ku faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno,
to [ M, R ] ⊆ J ( R ) . Krome toho, [ M, R ] ⊆ M y, sledovatel\no, [ M, R ] = 0 , t. e.
M soderΩytsq v centre kol\ca R .
Pust\ teper\ M ⊆ J ( R ) . DokaΩem, çto v πtom sluçae M soderΩytsq v
centre hrupp¥ R� . PredpoloΩym protyvnoe y pust\ m y a — πlement¥ soot-
vetstvenno yz M y R�
takye, çto ma am≠ . Poskol\ku radykal DΩekobsona
J ( R ) nyl\potenten, to M J ( R ) = 0. Dejstvytel\no, vsledstvye mynymal\nosty
M ymeem lybo M J ( R ) = M, lybo M J ( R ) = 0. Esly M J ( R ) = M, to
M = M J ( R ) = M J ( R )
2 = … = M J ( R )
k = 0,
tak kak J ( R )
k = 0 dlq nekotoroho çysla k . Poluçyly protyvoreçye, poskol\-
ku ydeal M nenulevoj. Sledovatel\no, M J ( R ) = 0.
Dalee, dlq kaΩdoho t yz R centralyzator C tM( ) πlementa t v M qvlqet-
sq ydealom v R . V samom dele, pust\ r R∈ y s M∈ . Yz kommutatyvnosty fak-
tor-kol\ca R / J ( R ) v¥tekaet, çto tr – rt ∈ J ( R ) y, sledovatel\no, ( tr – rt ) s =
= 0. Bolee toho, r s t rst rts rs t t rs tr rt s rs t[ , ] ( ) ( ) ( ) [ , ]= − = − + − = y analohyçno
[ , ] [ , ]s t r sr t= . Takym obrazom, x s t y xsy t[ , ] [ , ]= dlq lgb¥x πlementov x y y yz
R , t. e. C tM( ) — ydeal. Vsledstvye mynymal\nosty M poluçym C aM( ) = 0 .
Poskol\ku hruppa R�
πnheleva, suwestvuet naymen\ßee natural\noe çyslo
n so svojstvom ( , )m an+ =1 0 . No tohda ( , ) ( )m a C an M∈ y, znaçyt, C aM( ) ≠ 0.
Poluçyly protyvoreçye.
Pust\ teper\ R πnhelevo. PredpoloΩym, çto M soderΩytsq ne v centre.
Tohda najdutsq πlement¥ m M∈ y r R∈ takye, çto mr rm≠ . Kak y v¥ße,
ymeem C rM( ) = 0. Poskol\ku R πnhelevo, suwestvuet naymen\ßee natural\-
noe çyslo n so svojstvom [ , ]m rn+ =1 0. No tohda [ , ] ( )m r C rn M∈ y, sledova-
tel\no, C rM( ) ≠ 0. Poluçyly protyvoreçye.
Lemma dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1268 R. G. EVSTAF|EV
Dlq dal\nejßeho yzloΩenyq nam ponadobqtsq sledugwye try lemm¥.
Lemma$2.2. Pust\ R — kol\co vsex ( n × n ) -matryc nad telom D dlq n ≥
≥ 1. Esly mul\typlykatyvnaq hruppa R∗
m -πnheleva dlq nekotoroho natu-
ral\noho m yly slabo nyl\potentna, to n = 1 y D kommutatyvno.
Dokazatel\stvo. Dostatoçno zametyt\, çto mul\typlykatyvnaq hruppa
kol\ca ( n × n ) -matryc nad telom D tol\ko tohda m-πnheleva dlq nekotoroho
natural\noho m yly slabo nyl\potentna, kohda n = 1. UtverΩdenyq lemm¥
v¥tekagt yz [10] (lemma=4.1) y [6] (zameçanye).
Lemma dokazana.
Lemma$2.3. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co. Esly R udovletvorqet
uslovyg n-πnhelevosty dlq nekotoroho natural\noho n, to prysoedynennaq
hruppa R�
m-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho m.
Dokazatel\stvo. Sm. [11] (teorema=3.2).
Lemma$2.4. Pust\ R — assocyatyvnoe kol\co. Esly R slabo Ly-nyl\po-
tentno, to prysoedynennaq hruppa R�
slabo nyl\potentna.
Dokazatel\stvo. V samom dele, pust\ r y s — proyzvol\n¥e πlement¥ yz
R� . Oboznaçym çerez S podkol\co v R , poroΩdennoe πtymy πlementamy. Po-
skol\ku R slabo Ly-nyl\potentno, to S Ly-nyl\potentno. Esly S ne soder-
Ωyt edynycu, to oboznaçym çerez � kol\co, poluçennoe prysoedynenyem for-
mal\noj edynyc¥ k kol\cu S, y � = S — v protyvnom sluçae. Kak pokazaly
N.=Hupta y F. Levyn [8], esly assocyatyvnoe kol\co s edynycej Ly-nyl\potent-
no, to eho mul\typlykatyvnaq hruppa nyl\potentna. Oçevydno, kol\co � Ly-
nyl\potentno y poπtomu hruppa �∗
y, znaçyt, hruppa ��
nyl\potentn¥. Krome
toho, hruppa, poroΩdennaq πlementamy r y s, qvlqetsq podhruppoj v �
�
y,
sledovatel\no, nyl\potentna. Takym obrazom, kaΩdaq podhruppa v R�
, poroΩ-
dennaq dvumq πlementamy, nyl\potentna, t. e. hruppa R�
slabo nyl\potentna.
Lemma dokazana.
Teper\ pokaΩem, çto esly prysoedynennaq hruppa R�
artynova kol\ca R
(yly samo kol\co R ) udovletvorqet nekotor¥m obobwenyqm nyl\potentnosty
(Ly-nyl\potentnosty), to faktor-kol\co R / J ( R ) obqzatel\no kommutatyvno.
Lemma$2.5. Pust\ R — artynovo kol\co. Tohda v kaΩdom yz sledugwyx
çet¥rex sluçaev faktor-kol\co R / J ( R ) kommutatyvno, y, sledovatel\no,
razloΩymo v prqmug summu polej:
1) prysoedynennaq hruppa R�
n-πnheleva dlq nekotoroho natural\noho n ;
2) prysoedynennaq hruppa R�
slabo nyl\potentna;
3) kol\co R n-πnhelevo dlq nekotoroho natural\noho n ;
4) kol\co R slabo Ly-nyl\potentno.
Dokazatel\stvo. 1. Yz teorem¥ Vedderberna – Artyna sleduet, çto
R / J ( R ) ≅ S1 � … � Sk , hde Si , i = 1, … , k, — polnoe matryçnoe kol\co nad
telom. Oçevydno, çto prysoedynennaq hruppa faktor-kol\ca R / J ( R ) yzo-
morfna faktor-hruppe hrupp¥ R�
po normal\noj podhruppe J R( )� . Poπtomu
faktor-hruppa R J R� �/ ( ) yzomorfna prqmomu proyzvedenyg hrupp Si
� . Po-
skol\ku hruppa R�
n-πnheleva, hruppa Si
�
y, znaçyt, hruppa Si
∗
n -πnhelev¥
dlq kaΩdoho i . Teper\ zametym, çto v sylu lemm¥=2.2 kaΩdaq prostaq kompo-
nenta Si qvlqetsq polem.
2. RassuΩdaq, kak v p.=1, y prymenqq lemmu=2.2, poluçaem trebuemoe utverΩ-
denye.
3. UtverΩdenye neposredstvenno sleduet yz lemm¥=2.3 y p. 1.
4. UtverΩdenye sleduet yz lemm¥=2.4 y p. 2.
Napomnym, çto annulqtorom kol\ca R naz¥vaetsq mnoΩestvo vsex πlemen-
tov a R∈ , dlq kotor¥x aR = Ra = 0. Sledugwee utverΩdenye qvlqetsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
OB ARTYNOVÁX KOL|CAX, UDOVLETVORQGWYX USLOVYQM ∏NHELEVOSTY 1269
sledstvyem yzvestn¥x rezul\tatov o kvazycyklyçeskyx podhruppax addytyvnoj
hrupp¥ artynova kol\ca (sm., naprymer, [12] (lemma=122.5, teorema=123.3)).
Lemma$2.6. Esly R — artynovo kol\co y N — eho annulqtor, to faktor-
kol\co R / N neterovo.
Çerez γ n R( )� oboznaçym n-j çlen nyΩneho central\noho rqda hrupp¥ R�
.
Dokazatel\stvo teorem¥$A. Pust\ hruppa R�
πnheleva y faktor-kol\-
co R / J ( R ) kommutatyvno. Sohlasno lemme=2.6 v faktor-kol\ce R = R / N v¥-
polnqetsq uslovye maksymal\nosty dlq prav¥x ydealov.
Esly R = 0, to R N= y, znaçyt, R�
— abeleva hruppa. PredpoloΩym,
çto R ≠ 0. Poskol\ku R artynovo y neterovo odnovremenno, to v kol\ce R
suwestvuet kompozycyonn¥j rqd (sm., naprymer, [13], teorema=6.1.2)
R L L J R L L Nk k= … … =+0 1 1� � � � � �( ) ,
v kotorom Ln+1 — ydeal, maksymal\n¥j v Ln , n = 0, … , k . Faktoryzuq po
Ln+1, poluçaem, çto L Ln n/ +1 — mynymal\n¥j ydeal faktor-kol\ca R Ln/ +1.
Teper\ pokaΩem, çto hruppa ( / )R Ln+1
�
πnheleva. Dejstvytel\no, esly yde-
al Ln+1 soderΩyt J ( R ) , to R L R J R L J Rn n/ ( / ) ( / )( ) ( )+ +≅1 1 . Poskol\ku
faktor-kol\co R J R/ ( ) kommutatyvno, to hruppa ( / )R Ln+1
�
abeleva. Esly Ωe
Ln+1 leΩyt v J ( R ) , to, oçevydno, ymeem ( / ) /R L R Ln n+ +≅1 1
� � �
y, znaçyt,
hruppa ( / )R Ln+1
�
πnheleva.
Sohlasno lemme=2.1 kaΩd¥j πlement yz L Ln n/ +1 perestanovoçen s kaΩd¥m
πlementom yz ( / )R Ln+1
�
y, znaçyt, dlq kaΩdoho r Ln∈ �
y dlq kaΩdoho s R∈ �
ymeem ( , )r s Ln∈ +1
� . Teper\ lehko vydet\, çto γ γ2 1 1( ) ( ), ,R L R Ln n
� �⊆ … ⊆+
dlq kaΩdoho n . No tohda γ k R+ =3 0( )� y, sledovatel\no, hruppa R�
nyl\po-
tentna.
Teorema dokazana.
Dokazatel\stvo sledstvyq A. Poskol\ku n-πnhelev¥ y slabo nyl\po-
tentn¥e hrupp¥ qvlqgtsq πnhelev¥my, utverΩdenye sleduet yz teorem¥=A y
lemm¥=2.5.
Dokazatel\stvo teorem¥$B. Pust\ kol\co R πnhelevo y faktor-kol\co
R / J ( R ) kommutatyvno. Esly R sovpadaet s N, to kol\co R kommutatyvno. V
protyvnom sluçae v kol\ce R moΩno postroyt\ kompozycyonn¥j rqd
R L L L L Nk k= … =+0 1 1� � � � ,
v kotorom Ln+1 — ydeal, maksymal\n¥j v Ln , n = 0, … , k . Krome toho, fak-
tor L Ln n/ +1 qvlqetsq mynymal\n¥m ydealom faktor-kol\ca R Ln/ +1.
Sohlasno lemme=2.1 ydeal L Ln n/ +1 soderΩytsq v centre kol\ca R Ln/ +1 y
poπtomu L R Ln n,[ ] ⊆ +1 dlq kaΩdoho n . Poskol\ku R R L,[ ] ⊆ 1, to γ 2( )R ⊆
⊆ L1. Analohyçno poluçaem, çto γ γ3
2
2
1( ) , , ( )R L R Lm
m⊆ … ⊆+
+ dlq kaΩdoho
natural\noho m . No tohda γ k R+ =3 0( ) y, znaçyt, kol\co R stroho Ly-nyl\-
potentno.
Teorema dokazana.
Dokazatel\stvo sledstvyq B. Poskol\ku n-πnhelev¥ y slabo Ly-nyl\po-
tentn¥e kol\ca qvlqgtsq πnhelev¥my, utverΩdenye sleduet yz teorem¥=B y
lemm¥=2.5.
Napomnym, çto kol\co naz¥vaetsq prqmo nerazloΩym¥m, esly πto kol\co
nel\zq predstavyt\ v vyde prqmoj summ¥ dvux nenulev¥x ydealov. Ydempoten-
t¥ 0 y 1 naz¥vagtsq tryvyal\n¥my.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
1270 R. G. EVSTAF|EV
Lemma$2.7. Esly kol\co R prqmo nerazloΩymo, to v centre kol\ca R le-
Ωat tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥.
Dokazatel\stvo. Zametym, çto esly e — central\n¥j ydempotent, to
kol\co R razlahaetsq v prqmug summu ydealov R eR V= � , hde V = {r er−
r R∈ }. Poskol\ku R prqmo nerazloΩymo, to lybo eR = 0, lybo V = 0. V per-
vom sluçae zaklgçaem, çto e = 0. Esly Ωe V = 0, to dlq kaΩdoho r R∈
ymeem r = re = er y, znaçyt, e — edynyca kol\ca R .
Lemma dokazana.
Sledugwyj rezul\tat soderΩytsq v [14] (lemma=1.2).
Lemma$2.8. Esly kol\co R Ly-nyl\potentno, to kaΩd¥j ydempotent
kol\ca R qvlqetsq central\n¥m.
Dokazatel\stvo teorem¥ C. PredpoloΩym, çto kol\co R Ly-nyl\po-
tentno. Poskol\ku kol\co R artynovo, ono qvlqetsq prqmoj summoj koneçno-
ho çysla prqmo nerazloΩym¥x kolec
R = R Rn1 � �… . (2.1)
Dalee, tak kak kaΩdoe kol\co Ri Ly-nyl\potentno, to v sylu lemm=2.7 y 2.8 ono
soderΩyt tol\ko tryvyal\n¥e ydempotent¥ y poπtomu qvlqetsq lybo nyl\-
potentn¥m, lybo lokal\n¥m kol\com. Vsledstvye toho çto prqmaq summa
nyl\potentn¥x kolec qvlqetsq opqt\ nyl\potentn¥m kol\com, poluçaem ut-
verΩdenye teorem¥.
Obratno, pust\ kol\co R — prqmaq summa koneçnoho çysla ydealov, kaΩ-
d¥j yz kotor¥x qvlqetsq lybo nyl\potentn¥m kol\com, lybo Ly-nyl\potent-
n¥m lokal\n¥m kol\com y ymeet razloΩenye (2.1). Qsno, çto v πtom sluçae
kol\co R Ly-nyl\potentno.
Teorema dokazana.
1. Vylqcer V. H. K teoryy lokal\no nyl\potentn¥x hrupp // Uspexy mat. nauk. – 1958. – 13,
# 2. – S. 163 – 168.
2. Holod E. S. Nekotor¥e problem¥ bernsajdovskoho typa // Materyal¥ MeΩdunar. mat.
konhr. – 1966. – S. 284 – 289.
3. Groza G. Artinian rings having a nilpotent group of units // J. Algebra. – 1989. – 121, # 2. –
P. 253 – 262.
4. Evstaf\ev R. G. Artynov¥ kol\ca s nyl\potentnoj prysoedynennoj hruppoj // Ukr. mat.
Ωurn. – 2006. – 58, # 3. – S. 417 – 426.
5. Ishchuk Yu. On associated groups of rings // London Math. Soc. Lect. Note Ser. – 2003. – 304. –
P. 284 – 293.
6. Xuzurbazar M. Y. Mul\typlykatyvnaq hruppa tela // Dokl. AN SSSR. – 1960. – 131, # 6. –
S. 1268 – 1271.
7. Riley D. M., Wilson M. C. Associative rings satisfying the Engel condition // Proc. Amer. Math.
Soc. – 1999. – 127, # 4. – P. 973 – 976.
8. Gupta N., Levin F. On the Lie ideals of a ring // J. Algebra. – 1983. – 81, # 1. – P. 225 – 231.
9. Gruenberg K. W. Two theorems on Engel groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1953. – 49. –
P. 377 – 380.
10. Amberg B., Sysak Ya. Semilocal rings with n-Engel multiplicative group // Arch. Math. – 2004. –
83. – P. 416 – 421.
11. Amberg B., Sysak Ya. Radical rings with Engel conditions // J. Algebra. – 2000. – 231. –
P. 364 – 373.
12. Fuks L. Beskoneçn¥e abelev¥ hrupp¥: V 2 t. – M.: Myr, 1977. – T. 2. – 416 s.
13. Kaß F. Moduly y kol\ca. – M.: Myr, 1981. – 368 s.
14. Bjork J. Conditions which imply that subrings of artinian rings are artinian // J. reine Math. – 1971.
– 247. – P. 123 – 138.
Poluçeno 17.08.2005,
posle dorabotky — 21.04.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 9
|