О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух
Для деякого класу локальних гомєоморФізмів, 6ільш загальних, ніж відображення з обмеженим спотворенням, доведено одну версію теореми про універсальний радіус ін'єктивності. При фіксованому p (n−1<p≤n) встановлено, що для сім'ї всіх локальних гомеоморфізмів, які спотворюють p-модуль сіме...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165442 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух / А.Л. Гольберг, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 2. — С. 174–184. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165442 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гольберг, А.Л. Севостьянов, Е.А. 2020-02-13T13:10:34Z 2020-02-13T13:10:34Z 2015 О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух / А.Л. Гольберг, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 2. — С. 174–184. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165442 517.5 Для деякого класу локальних гомєоморФізмів, 6ільш загальних, ніж відображення з обмеженим спотворенням, доведено одну версію теореми про універсальний радіус ін'єктивності. При фіксованому p (n−1<p≤n) встановлено, що для сім'ї всіх локальних гомеоморфізмів, які спотворюють p-модуль сімей кривих певним чином, знайдеться куля, в якій кожне відображення сім'ї є гомеоморфізмом, як тільки фіксована функція Q, що відповідає за контроль спотворення p-модуля, задовольняє певні обмеження. При цьому одна зі згаданих умов є не лише достатньою, а й необхідною умовою наявності такого радіуса. We consider a class of local homeomorphisms much more general than the mappings with bounded distortion. Under these homeomorphisms, the growth of the p-module (n − 1 < p ≤ n) of the families of curves is controlled by an integral containing an admissible metric and a measurable function Q. It is shown that, under generic conditions imposed on the majorant Q, this class has a positive radius of injectivity (and, hence, a ball in which every mapping is homeomorphic). Moreover, one of the conditions imposed on Q is also necessary for existence of a radius of injectivity. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух On the Radius of Injectivity for Generalized Quasiisometries in the Spaces of Dimension Higher Than Two Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| spellingShingle |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух Гольберг, А.Л. Севостьянов, Е.А. Статті |
| title_short |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| title_full |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| title_fullStr |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| title_full_unstemmed |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| title_sort |
о радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух |
| author |
Гольберг, А.Л. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet |
Гольберг, А.Л. Севостьянов, Е.А. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On the Radius of Injectivity for Generalized Quasiisometries in the Spaces of Dimension Higher Than Two |
| description |
Для деякого класу локальних гомєоморФізмів, 6ільш загальних, ніж відображення з обмеженим спотворенням, доведено одну версію теореми про універсальний радіус ін'єктивності. При фіксованому p (n−1<p≤n) встановлено, що для сім'ї всіх локальних гомеоморфізмів, які спотворюють p-модуль сімей кривих певним чином, знайдеться куля, в якій кожне відображення сім'ї є гомеоморфізмом, як тільки фіксована функція Q, що відповідає за контроль спотворення p-модуля, задовольняє певні обмеження. При цьому одна зі згаданих умов є не лише достатньою, а й необхідною умовою наявності такого радіуса.
We consider a class of local homeomorphisms much more general than the mappings with bounded distortion. Under these
homeomorphisms, the growth of the p-module (n − 1 < p ≤ n) of the families of curves is controlled by an integral
containing an admissible metric and a measurable function Q. It is shown that, under generic conditions imposed on the
majorant Q, this class has a positive radius of injectivity (and, hence, a ball in which every mapping is homeomorphic).
Moreover, one of the conditions imposed on Q is also necessary for existence of a radius of injectivity.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165442 |
| citation_txt |
О радиусе инъективности обобщенных квазиизометрий в пространстве размерности больше двух / А.Л. Гольберг, Е.А. Севостьянов // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 2. — С. 174–184. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT golʹbergal oradiuseinʺektivnostiobobŝennyhkvaziizometriivprostranstverazmernostibolʹšedvuh AT sevostʹânovea oradiuseinʺektivnostiobobŝennyhkvaziizometriivprostranstverazmernostibolʹšedvuh AT golʹbergal ontheradiusofinjectivityforgeneralizedquasiisometriesinthespacesofdimensionhigherthantwo AT sevostʹânovea ontheradiusofinjectivityforgeneralizedquasiisometriesinthespacesofdimensionhigherthantwo |
| first_indexed |
2025-11-24T18:57:44Z |
| last_indexed |
2025-11-24T18:57:44Z |
| _version_ |
1850493140352368640 |
| fulltext |
УДК 517.5
А. Л. Гольберг (Холон. технол. ин-т, Израиль),
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т)
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕ ДВУХ
We consider a class of local homeomorphisms much more general than the mappings with bounded distortion. Under these
homeomorphisms, the growth of the p-module (n − 1 < p ≤ n) of the families of curves is controlled by an integral
containing an admissible metric and a measurable function Q. It is shown that, under generic conditions imposed on the
majorant Q, this class has a positive radius of injectivity (and, hence, a ball in which every mapping is homeomorphic).
Moreover, one of the conditions imposed on Q is also necessary for existence of a radius of injectivity.
Для деякого класу локальних гомеоморфiзмiв, бiльш загальних, нiж вiдображення з обмеженим спотворенням,
доведено одну версiю теореми про унiверсальний радiус iн’єктивностi. При фiксованому p ∈ (n−1, n] встановлено,
що для сiм’ї всiх локальних гомеоморфiзмiв, якi спотворюють p-модуль сiмей кривих певним чином, знайдеться
куля, в якiй кожне вiдображення сiм’ї є гомеоморфiзмом, як тiльки фiксована функцiя Q, що вiдповiдає за контроль
спотворення p-модуля, задовольняє певнi обмеження. При цьому одна зi згаданих умов є не лише достатньою, а й
необхiдною умовою наявностi такого радiуса.
1. Введение. В данной работе изучается некоторый класс отображений, более общих, чем
квазиконформные, которые удовлетворяют определенным условиям модульно-емкостного ха-
рактера (см., например, [1, 2]). Основные определения и обозначения, встречающиеся в статье,
см., например, в [3].
Одной из классических гипотез в теории отображений является утверждение М. А. Лаврен-
тьева о глобальной инъективности пространственных локальных квазиконформных гомеомор-
физмов всего пространства. Это важнейшее свойство, характерное для размерностей n ≥ 3, бы-
ло в дальнейшем доказано в работе [4]. Для класса квазирегулярных отображений (отображений
с ограниченным искажением по Решетняку) существование обратимости таких отображений в
шаре радиуса, зависящего от коэффициента квазиконформности и размерности пространства,
доказано в работе [5] (см. также [6]). В дальнейших работах рассматриваются более широкие
классы отображений, как квазимероморфные или квазиконформные в некотором интегральном
среднем, в которых существование радиуса инъективности доказывается или опровергается
(см. [7 – 11]). В работах [12, 13] изучаются поведение радиуса инъективности и его примене-
ние к классическим вопросам геометрической теории функций, в частности локальной слабой
конформности пространственных отображений.
В последнее время с большим интересом изучаются отображения, характеристика квази-
конформности которых построена не на аналитическом описании, а на естественном ослаб-
лении известной геометрической природы квазиконформных отображений. В данной работе
мы продолжаем изучение свойств локальных гомеоморфизмов, при которых модуль образа се-
мейств кривых порядка p, n − 1 < p ≤ n, мажорируется некоторым интегралом, содержащим
произвольную допустимую метрику и измеримую функцию. Идея доказательства основного
результата настоящей статьи восходит к [10]. Как оказалось, наличие универсального радиу-
са инъективности отображений имеет место не только в случае, когда конформный модуль
семейств кривых при отображении искажается ограниченное число раз, но и в некотором зна-
чительно более общем случае. Именно, указанный результат остается справедливым в случае,
c© А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2015
174 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . 175
когда модуль семейств кривых имеет произвольный порядок p ∈ (n−1, n], а вместо правой час-
ти известного условия квазиинвариантности p-модуля Mp(f(Γ)) ≤ KMp(Γ) отображение f :
D → Rn удовлетворяет в некоторой фиксированной точке x0 ∈ D более общему соотношению
вида
Mp
(
f
(
Γ(S1, S2, A)
))
≤
∫
A
Q(x)ηp
(
|x− x0|
)
dm(x), (1)
гдеA = A(x0, r1, r2) = {x ∈ Rn : r1 < |x−x0| < r2|}, Si = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x−x0| = ri},
i = 1, 2, 0 < r1 < r2 < r0 := dist(x0, ∂D), η : (r1, r2) → [0,∞] — произвольная измеримая
функция, удовлетворяющая условию
r2∫
r1
η(r)dr ≥ 1. (2)
При этом функция Q в окрестности точки x0 должна „не очень сильно расти”, что в указан-
ном выше утверждении предполагает наличие дополнительных ограничений аналитического
характера. Отображение f : D → Rn, удовлетворяющее условиям вида (1), (2), будем называть
кольцевым (p,Q)-отображением в точке x0 (в частности, если f — локальный гомеоморфизм,
то будем говорить, что f — локальный кольцевой (p,Q)-гомеоморфизм в точке x0, см. [3, 14]).
Отметим, что условие Mp(f(Γ)) ≤ KMp(Γ), получающееся из (1) при Q(x) ≡ K, характе-
ризует квазиконформность при p = n и квазиизометрию при p 6= n (см. [15 – 17]), так что
отображения, удовлетворяющие неравенству (1) при неограниченных Q, можно было бы также
назвать обобщенными квазиизометриями в указанном смысле.
Пусть
qx0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x) dHn−1,
где Hn−1 — нормированная (n − 1)-мерная мера Хаусдорфа. Справедливы следующие утвер-
ждения.
Теорема 1. Пусть p ∈ (n − 1, n], f : Bn → Rn, n ≥ 3, — локальный кольцевой (p,Q)-
гомеоморфизм в точке x0 = 0, такой, что Q ∈ L1
loc(Bn). Если
1∫
0
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (t)
=∞, (3)
то отображение f инъективно в некотором шаре B (0, δ(n,Q, p)) , где δ — положительное
число, зависящее только от n, p и функции Q. Обратно, для каждого δ > 0 и функции
Q ∈ L1
loc(Bn) такой, что Q(x) ≥ 1 почти всюду и
1∫
0
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (t)
<∞, (4)
найдется локальный кольцевой (p,Q)-гомеоморфизм f = fQ : Bn → Rn в точке x0 = 0, не
являющийся инъективным в шаре B(0, δ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
176 А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Следствие 1. Теорема 1 остается справедливой, если вместо условия (3) при любом p ∈
∈ (n− 1, n] потребовать выполнения условия
1∫
0
dt
tq
1
n−1
0 (t)
=∞, (5)
а вместо (4) — условия
1∫
0
dt
t
n−1
p−1 q
1
n−1
0 (t)
<∞. (6)
2. Основная лемма. Следующая лемма несет в себе главную смысловую нагрузку, относя-
щуюся к основным результатам настоящей работы.
Лемма 1. Пусть p ∈ (n − 1, n]. Предположим, что n ≥ 3, Q : Bn → [0,∞] — измеримая
по Лебегу функция и f : Bn → Rn — локальный кольцевой (p,Q)-гомеоморфизм в точке x0 = 0.
Предположим, что найдутся измеримая по Лебегу функция ψ : (0, 1) → [0,∞] и постоянная
C = C(n, p,Q, ψ) такие, что
0 < I(r1, r2) :=
r2∫
r1
ψ(t) dt <∞ ∀ r1, r2 ∈ (0, 1) (7)
и при некотором α > 0 ∫
r1<|x|<r2
Q(x)ψp(|x|) dm(x) ≤ CIp−α(r1, r2). (8)
Если
I(0, 1) :=
1∫
0
ψ(t)dt =∞, (9)
то отображение f инъективно в некотором шаре B
(
0, δ(n, p,Q, ψ)
)
, где δ — положительное
число, зависящее только от n, p и функций Q и ψ.
Доказательство. Шаг 1. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что
f(0) = 0. Пусть r0 = sup{r ∈ R : r > 0, U(0, r) ⊂ Bn}, где U(0, r) обозначает компоненту
связности множества f −1(B(0, r)), содержащую точку 0. Очевидно, что r0 > 0. Зафиксируем
число r < r0 и положим U = U(0, r),
l ∗ = l ∗(0, f, r) = inf
{
|z| : z ∈ ∂U
}
,
L ∗ = L ∗(0, f, r) = sup
{
|z| : z ∈ ∂U
}
.
По лемма 3.1 гл. III [6] f отображает множество U на B(0, r) гомеоморфно. Следовательно, f
инъективно в шаре B(0, l ∗) и, значит, достаточно найти нижнюю границу для величины l ∗.
Шаг 2. Заметим, что L ∗ → 1 при r → r0. Действительно, пусть L ∗ 6→ 1 при r → r0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . 177
2.1. Заметим, что U(0, r1) ⊂ U(0, r2) при 0 < r1 < r2 < r0. Действительно, если бы
нашелся элемент x ∈ U(0, r1) \ U(0, r2), то, поскольку f(U(0, ri)) = B(0, ri), i = 1, 2, мы бы
имели f(x) = y ∈ B(0, r1) и f(z) = y ∈ B(0, r1), z ∈ U(0, r2), z 6= x. Однако это противоречит
лемме 3.3 гл. III [6], так как по этой лемме f должно гомеоморфно отображать объединение
множеств U(0, r1) ∪ U(0, r2).
2.2. Из пункта 2.1 следует, что функция L ∗ возрастает по r и, следовательно, существует
предел величины L ∗ при r → r0. Тогда L ∗ → ε0 при r → r0, где ε0 ∈ (0, 1). В таком случае
все множества U(0, r), 0 < r < r0, лежат в фиксированном шаре B(0, ε0).
2.3. Заметим, что B(0, r0) ⊂ f(B(0, ε0)). Действительно, пусть y ∈ B(0, r0), тогда также
y ∈ B(0, r1) при некотором r1 ∈ (0, r0). Отсюда следует, что найдется x ∈ U(0, r1) такой, что
f(x) = y, следовательно, y ∈ f(B(0, ε0)), т. е. B(0, r0) ⊂ f(B(0, ε0)).
2.4. Заметим, что B(0, r0) ⊂ f(B(0, ε0)) и, вследствие локальной гомеоморфности отоб-
ражения f, при произвольном ε1 ∈ (ε0, 1) множество f(B(0, ε1)) содержит некоторую окрест-
ность множества B(0, r0). Значит, компонента связности U(0, r0) лежит внутри замкнутого
шара B(0, ε0), что противоречит определению величины r0. Противоречие, полученное выше,
означает, что L ∗ → 1 при r → r0, что и требовалось установить.
Шаг 3. Выберем x и y ∈ ∂U так, что |x| = L ∗ и |y| = l ∗. По определению множества
U имеем f(x), f(y) ∈ S(0, r). По лемме 3.1 [10] найдется точка p0 ∈ B(0, r) такая, что для
каждого t ∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
элемент f(x) ∈ B(p0, t) и либо 0 ∈ B(p0, t) и f(y) 6∈ B(p0, t), либо
0 6∈ B(p0, t) и f(y) ∈ B(p0, t). Зафиксируем какое-нибудь такое t. Заметим, что 0 и f(y)
принадлежат f(B(0, l ∗)) и, следовательно, f(B(0, l ∗)) ∩B(p0, t) 6= ∅ 6= f(B(0, l ∗)) \B(p0, t).
Поскольку множество f(B(0, l ∗)) связно, найдется точка zt ∈ S(p0, t) ∩ f(B(0, l ∗)) (см. [18],
теорема 1, разд. I, § 46, гл. 5).
Пусть z ∗t — единственная точка множества f −1(zt)∩B(0, l ∗), Ct(ϕ) ⊂ S(p0, t) — сфериче-
ская шапочка с центром в точке zt и раствором угла ϕ, определенная равенством
Ct(ϕ) =
{
y ∈ Rn : |y − p0| = t, (zt − p0, y − p0) > t 2 cosϕ
}
.
Обозначим символом ϕt точную верхнюю грань тех углов ϕ, для которых компонента связности
множества f −1(Ct(ϕ)), содержащая точку z ∗t , отображается гомеоморфно на множество Ct(ϕ).
Обозначим Ct = Ct(ϕt) и через C ∗t компоненту связности множества f −1(Ct), содержащую
точку z ∗t .
Шаг 4. Покажем, что множества C ∗t и S(0, L ∗) имеют общую точку. Предположим про-
тивное.
4.1. Поскольку множество C ∗t связно и C ∗t ∩ B(0, L ∗) 6= ∅, отсюда следует, что C ∗t ⊂
⊂ B(0, L ∗) (см. [18], теорема 1, разд. I, § 46, гл. 5). Заметим, что в таком случае множество
C ∗t является компактным подмножеством U. По лемме 3.1 гл. III [6] отображение f переводит
C ∗t на Ct гомеоморфно (что не является верным при n = 2, так как множество Ct(π) не
является относительно локально связным в этом случае). По лемме 3.2 гл. III [6] отображение
f инъективно в некоторой окрестности множества C ∗t . Следовательно, ϕt = π, Ct = S(p0, t)
и C ∗t топологически эквивалентно (n − 1)-мерной сфере в Rn. Заметим, что ограниченная
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
178 А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
компонента связности D множества Rn \C ∗t содержится в B(0, L ∗). Тогда f(D) — компактное
подмножество f(Bn) и, поскольку f — открытое отображение, ∂f(D) ⊂ f(∂D).
4.2. Покажем, что f(D) ⊂ B(p0, t). Предположим противное, тогда найдется y ∈ f(D) \
B(p0, t). В таком случае
(
f(Bn) \B(p0, t)
)
∩ f(D) 6= ∅. Поскольку f(D) — компактная под-
область f(Bn), имеем
(
f(Bn) \B(p0, t)
)
\ f(D) 6= ∅. Так как f(Bn) \ B(p0, t) связно, отсюда
следует, что найдется z ∈ ∂f(D) ∩
(
f(Bn) \B(p0, t)
)
(см. [18], теорема 1, разд. I, § 46, гл. 5),
что противоречит включению ∂f(D) ⊂ B(p0, t). Таким образом, включение f(D) ⊂ B(p0, t)
установлено.
4.3. Заметим, что B(p0, t) ⊂ f(D). Действительно, пусть найдется a ∈ B(p0, t) \ f(D).
Поскольку множество B(p0, t) связно и B(p0, t) ∩ f(D) 6= ∅, отсюда следует, что ∂f(D) ∩
∩ B(p0, t) 6= ∅ (см. [18], теорема 1 разд. I, § 46, гл. 5). Последнее противоречит включению
∂f(D) ⊂ S(p0, t).
4.4. Таким образом, из включений f(D) ⊂ B(p0, t) и B(p0, t) ⊂ f(D), установленных
выше в пунктах 4.2 и 4.3, следует, что f(D) = B(p0, t). По определению область D является
компонентой связности множества f −1(B(p0, t)). В силу леммы 3.1 гл. III [6] отображение f
переводит D на B(p0, t) гомеоморфно.
4.5. Поскольку z ∗t ∈ C ∗t ∩ U, имеем D ∩ U 6= ∅. Так как f гомеоморфно отображает U на
B(0, r), отображение f инъективно в U ∪ D по лемме 3.3 гл. III [6]. Последнее невозможно,
поскольку из равенства f(D) = B(p0, t) и того, что f(x) ∈ B(p0, t), следует существование
точки x1 6= x, x1 ∈ D, такой, что f(x1) = f(x). Следовательно, множества C ∗t и S(0, L ∗)
имеют непустое пересечение, что и требовалось показать.
Шаг 5. Пусть k ∗t ∈ C ∗t ∩S(0, L ∗) и kt = f(k ∗t ). Обозначим через Γ ′t семейство всех кривых,
соединяющих точки kt и zt в Ct. Пусть Γ ′ — объединение семейств кривых Γ ′t , t ∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
.
Обозначим через ft сужение отображения f на множество C ∗t . Тогда ft гомеоморфно отобра-
жает C ∗t на Ct. Обозначим
Γ =
⋃
t∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
{
f −1t ◦ γ : γ ∈ Γ ′t
}
.
Заметим, что при каждом t ∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
z ∗t ∈ B(0, l ∗) и kt ∈ S(0, L ∗). Тогда по определению
кольцевого Q-отображения в точке 0 для каждой измеримой по Лебегу функции η : (l ∗, L ∗)→
→ [0,∞] такой, что
L ∗∫
l ∗
η(r)dr ≥ 1, (10)
выполняется неравенство
Mp
(
f
(
Γ
(
S(0, l ∗), S(0, L ∗), A(0, l ∗, L ∗)
)))
≤
∫
A(0,l ∗,L ∗)
Q(x)η p
(
|x|
)
dm(x). (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . 179
Пусть η(t) = ψ(t)/I(l ∗, L ∗), где ψ — функция из условия леммы. Заметим, что выбранная таким
образом функция η удовлетворяет соотношению (10). Тогда из условий (8) и (11) следует, что
Mp(Γ
′) ≤Mp
(
f
(
Γ
(
S(0, l ∗), S(0, L ∗), A(0, l ∗, L ∗)
)))
≤
≤
∫
A(0, l ∗, L ∗)
Q(x)η p
(
|x|
)
dm(x) ≤ C/I α(l ∗, L ∗). (12)
Шаг 6. Пусть p = n. По теореме 10.2 [19]∫
S(p0,t)
ρn(x)dS ≥ C ′n
t
(13)
для каждой функции ρ ∈ adm Γ ′t и некоторой положительной постоянной C ′n. Интегрирование
неравенства (13) по всем указанным выше значениям t ∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
и применение теоре-
мы Фубини (см. [20], теорема 8.1, гл. III) приводит к неравенству
M(Γ ′) ≥ Cn, (14)
где постоянная Cn зависит только от n. Из (12) и (14) следует, что
Cn ≤ C/I α(l ∗, L ∗) ≤ C/I α(l ∗(0, f, r0), L
∗(0, f, r)), (15)
так как I(ε1, ε2) > I(ε3, ε2) при ε3 > ε1. Переходя к пределу в (15) при r → r0, получаем
Cn ≤ C/I α(l ∗(0, f, r0), 1). (16)
Заметим, что из (16) следует неравенство I(ε, 1) <∞ при каждом ε ∈ (0, 1).Пусть l ∗(0, f, r0)→
→ 0. Тогда из (9) следует, что правая часть соотношения (16) стремится к нулю, что противоре-
чит (16). Следовательно, l ∗(0, f, r0) ≥ δ для всех рассматриваемых f. Доказательство в случае
p = n завершено.
Шаг 7. Пусть p ∈ (n− 1, n). Согласно следствию 2 [21, с. 513],∫
S(p0,t)
ρp(x)dS ≥ bn,p
tp−n+1
. (17)
Интегрирование неравенства (17) по всем указанным выше значениям t ∈
(
r
2
,
√
3r
2
)
и при-
менение теоремы Фубини (см. [20], теорема 8.1, гл. III) приводит к неравенству
Mp(Γ
′) ≥ Cn,prp−n, (18)
где постоянная Cn,p зависит только от n и p. Из (12) и (18) следует, что
Cn,pr
p−n ≤ C/I α(l ∗, L ∗) ≤ C/I α(l ∗(0, f, r0), L
∗(0, f, r)), (19)
так как I(ε1, ε2) > I(ε3, ε2) при ε3 > ε1. Переходя к пределу в (19) при r → r0, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
180 А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Cn,pr
p−n
0 ≤ C/I α(l ∗(0, f, r0), 1). (20)
Заметим, что из (20) следует неравенство I(ε, 1) <∞ при каждом ε ∈ (0, 1).Пусть l ∗(0, f, r0)→
→ 0. Тогда из (9) следует, что правая часть соотношения (16) стремится к нулю, что противоре-
чит (20). Следовательно, l ∗(0, f, r0) ≥ δ для всех рассматриваемых f. Доказательство в случае
p ∈ (n− 1, n) также завершено.
Лемма доказана.
3. Основные результаты и следствия. Доказательство теоремы 1. Как обычно, мы
придерживаемся соотношений: a/∞ = 0 при a 6= ∞, a/0 = ∞ при a > 0 и 0 · ∞ = 0 (см.
[20, с. 18], § 3, гл. I).
Полагаем
I = I(r1, r2) =
r2∫
r1
dr
r
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (r)
. (21)
Для произвольных 0 < r1 < r2 < r0 = 1 рассмотрим функцию
ψ(t) =
1/
[
t
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (t)
]
, t ∈ (r1, r2),
0, t /∈ (r1, r2).
(22)
Заметим, что функция ψ удовлетворяет всем условиям леммы 1. В частности, по теореме 3 [22]
для конденсатора E =
(
B(0, r2), B(0, r1)
)
, 0 < r1 < r2 < 1, имеем
capp f(E) ≤ ωn−1
Ip−1
, (23)
где I задано в (21), так что
∫ r2
r1
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (t)
< ∞. (В противном случае из (23) следу-
ет, что множество f(B(0, r1)) имеет p-емкость нуль, но тогда Int f(B(0, r1)) = ∅ (см. [6],
следствие 1.16, гл. VII), что невозможно вследствие локальной гомеоморфности (открытости)
отображения f.)
По теореме Фубини (см. [20], теорема 8.1, гл. III) имеем
∫
r1<|x|<r2
Q(x)ψp(|x|) dm(x) =
= ωn−1I(r1, r2). Таким образом, первая часть теоремы 1 следует из леммы 1.
Для доказательства второй части теоремы выберем δ > 0 и произвольную функцию Q ∈
∈ L1
loc(Bn), Q ≥ 1 почти всюду. Для удобства обозначим
ϕp(s) =
1 +
n− p
p− 1
1∫
s
dt
t
n−1
p−1 q̃
1
p−1
0 (t)
p−1
p−n
, p ∈ (1, n),
и
ϕn(s) = exp
−
1∫
s
dt
tq̃
1
n−1
0 (t)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . 181
где
q̃0(r) :=
1
ωn−1rn−1
∫
|x|=r
Q̃(x) dS,
Q̃(x) =
Q(x), |x| > δ,
1/K, |x| ≤ δ,
а постоянная величина K ≥ 1 будет выбрана ниже. Полагаем
fp(x) =
x
|x|
ϕp(|x|), fp(0) = 0. (24)
Заметим, что отображения fp(x) являются гомеоморфизмами, поскольку выбранные таким
образом функции ϕp(s) строго возрастают по s. Покажем, что определенные таким обра-
зом отображения fp также являются кольцевыми (p, Q̃)-отображениями в точке x0 = 0. Для
этого при произвольных r1, r2 ∈ R и 0 < r1 < r2 < 1 рассмотрим конденсатор вида
E =
(
B(0, r2), B(0, r1)
)
. Заметим, что на основании изложенного выше
fp(E) =
(
B(0, ϕp(r2)), B(0, ϕp(r1))
)
и p-емкость конденсатора fp(E) вычисляется в явном виде (см., например, [16, с. 177], соотно-
шение (2), и [19], разд. 7.5), а именно,
cap pfp(E) = ωn−1
(
p− 1
n− p
)1−p
(
ϕ
p−n
p−1
p (r1)− ϕ
p−n
p−1
p (r2)
)1−p
, p ∈ (1, n), (25)
cap nfn(E) =
ωn−1(
log ϕn(r2)
ϕn(r1)
)n−1 . (26)
Подставляя в (25) и (26) значения ϕp, определенные выше, как при p ∈ (1, n), так и при p = n,
получаем
cap pfp(E) = ωn−1/I
p−1,
где I определено соотношением вида (21). Следовательно, в силу теоремы 3 [22] гомеомор-
физмы fp, определенные соотношениями (24), являются кольцевыми (p, Q̃)-отображениями в
точке x0 = 0. Значит, fp — кольцевой (p,Q)-гомеоморфизм в нуле, так как Q̃(x) ≤ Q(x) почти
всюду по построению.
Заметим, что при δ → 0 образ fp(B(0, δ)) шара B(0, δ) при отображении fp содержит
шар B(0, σ), где σ может быть выбрано не зависящим от δ. Отобразим теперь шар B(0, σ) с
помощью некоторого отображения g, которое преднамеренно выберем отображением с огра-
ниченным искажением с постоянной квазиконформности K ≥ 1, являющимся локальным го-
меоморфизмом и не являющимся инъективным в шаре B(0, σ). Например, в качестве g можно
выбрать так называемое закручивание вокруг оси, ось вращения которого не содержится в шаре
Bn = fp(B(0, 1)) (см. [23], разд. 5.2, гл. I). Заметим, что постоянная квазиконформности K не
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
182 А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
зависит от δ. Таким образом, нами построен локальный кольцевой KQ(x)-гомеоморфизм f2 в
нуле, f2 = g ◦ fp, не являющийся инъективным в шаре B(0, δ). Поскольку Q — произвольная
локально интегрируемая функция, удовлетворяющая условиямQ ≥ 1 и (4), мы можем заменить
Q на Q/K в первой части доказательства. Таким образом, мы получили локальный кольцевой
Q(x)-гомеоморфизм в нуле с требуемыми свойствами.
Теорема 1 доказана.
Доказательство следствия 1 вытекает из утверждения теоремы 1. Действительно, по
неравенству Гельдера
Ĩ :=
1∫
0
dt
tq
1
n−1
0 (t)
≤ I
p−1
n−1 ,
где I задается соотношением (21), так что из расходимости Ĩ следует расходимость I в (21).
Если же Q ≥ 1, то имеем
I =
1∫
0
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1
0 (t)
≤
1∫
0
dt
t
n−1
p−1 q
1
n−1
0 (t)
,
так что из конечности интеграла в (6) следует конечность интеграла I.
Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Пусть p ∈ (n− 1, n], f : Bn → Rn, n ≥ 3, — локальный кольцевой (p,Q)-го-
меоморфизм в точке x0 = 0, такой, что Q ∈ L1
loc(Bn). Если при r → 0
q0(r) ≤ C logn−1
1
r
, (27)
то отображение f инъективно в некотором шаре B (0, δ(n,Q, p)), где δ — положительное
число, зависящее только от n, p и функции Q.
Доказательство. Утверждение непосредственно вытекает из следствия 1, так как из соот-
ношения (27) следует выполнение соотношения (5).
Дальнейшее изложение связано со свойствами функций конечного среднего колебания,
определение и примеры которых могут быть найдены в [2] (разд. 6.1, гл. 6) (см. также [24]).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть g : Bn → Rn, n ≥ 3, — локальный кольцевой Q-гомеоморфизм в точке
x0 = 0, такой, что Q ∈ FMO(0). Тогда отображение g инъективно в некотором шаре
B (0, δ(n,Q)), где δ — некоторое положительное число, зависящее только от n и функции Q.
Доказательство. Заметим, что согласно лемме 6.1 [2] найдется ε0 > 0 такое, что∫
B(0,ε0)
Q(x) dm(x)(
|x| log 1
|x|
)n <∞. (28)
Рассмотрим отображение f := g(xε0), x ∈ Bn. Заметим, что g является локальным коль-
цевым Q(ε0x)-гомеоморфизмом в нуле. Применим лемму 1 для отображения g и функции
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
О РАДИУСЕ ИНЪЕКТИВНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ КВАЗИИЗОМЕТРИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . 183
ψ =
1
(ε0t)n/p logn/p
1
ε0t
. Согласно (28) для указанной выше функции выполнено соотноше-
ние (8) при α = p, кроме того, выполнены также соотношения (7) и (9). Необходимое заклю-
чение следует из леммы 1.
Теорема 2 доказана.
4. Заключительные замечания. Ограничение n ≥ 3, содержащееся во всех основных
утверждениях работы, является существенным. Пример последовательности отображений
fj(z) = ejz, соответствующих случаю p = n = 2, не имеющих универсального радиуса инъ-
ективности ни в какой точке плоскости C, показывает, что ни одно из заключений статьи не
является справедливым при n = 2.
Несколько более непростым в этом плане является случай n = 2 и 1 < p < 2. Рассмотрим
последовательность отображений fm(z) = (z−1)m/cm, cm = m ·2m−1, z ∈ B2 = {z ∈ C : |z| <
< 1}. Тогда нетрудно видеть, что l(f ′m(z)) := inf |h|=1 |f ′m(z) ·h| = m|z−1|m−1/cm и J(z, fm) =
= detf ′m(z) = (m|z − 1|m−1/cm)2. Таким образом, так называемая внутренняя дилатация
порядка p, определяемая в регулярных точках равенством KI,p(z, fm) = |J(z, fm)|/lp(f ′m(z)),
равна (m|z − 1|m−1/cm)(2−p). Как и при доказательстве теоремы 8.6 [2] (а также теоремы 1.1
[25]), можно показать, что последовательность локальных гомеоморфизмов fm : B2 → C удов-
летворяет в точке z0 = 0 неравенству (1) при Q = KI,p(z, fm) ≤ 1. Однако ясно, что для
выбранной последовательности fm универсального радиуса инъективности в окрестности нуля
не существует. Таким образом, основные утверждения статьи при n = 2 и 1 < p < 2 не имеют
места.
1. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Develop.
Math. – New York etc.: Springer, 2012. – 26.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
3. Севостьянов Е. А. О некоторых свойствах обобщенных квазиизометрий с неограниченной характеристикой //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 3. – С. 385 – 398.
4. Зорич В. А. Теорема М. А. Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства // Мат. сб. – 1967. –
116, № 3. – С. 415 – 433.
5. Martio O., Rickman S., Väisälä J. Topological and metric properties of quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1. – 1971. – 488. – P. 1 – 31.
6. Rickman S. Quasiregular mappings // Res. Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
7. Perović M. On the problem of radius of injectivity for the mappings quasiconformal in the mean // Glas. Mat. Ser.
III. – 1985. – 20(40), № 2. – P. 345 – 348.
8. Martio O., Srebro U. Locally injective automorphic mappings in Rn // Math. scand. – 1999. – 85, № 1. – P. 49 – 70.
9. Семенов В.И. Интегральное условие локальной гомеоморфности отображений с обобщенными производны-
ми // Сиб. мат. журн. – 1999. – 40, № 6. – С. 1339 – 1346.
10. Koskela P., Onninen J., Rajala K. Mappings of finite distortion: injectivity radius of a local homeomorphism. –
Jyväskylä, 2002. – P. 7. – (Preprint / Univ. Jyväskylä, № 266).
11. Cristea M. Local homeomorphisms having local ACLn inverses // Complex Var. and Ellipt. Equat. – 2008. – 53,
№ 1. – P. 77 – 99.
12. Gutlyanskiı̆ V. Ya., Martio O., Ryazanov V. I., Vuorinen M. On convergence theorems for space quasiregular mappings //
Forum Math. – 1998. – 10, № 3. – P. 353 – 375.
13. Bishop C. J., Gutlyanskiı̆ V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math. and Math.
Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
184 А. Л. ГОЛЬБЕРГ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
14. Golberg A. Differential properties of (α,Q)-homeomorphisms // Further Progr. Anal. – 2009. – P. 218 – 228.
15. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат. сб. – 1970. – 83,
№ 2. – С. 261 – 272.
16. Gehring F. Lipschitz mappings and p-capacity of rings in n-space // Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 – 193.
17. Гольдштейн В. М., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазикон-
формные отображения. – М.: Наука, 1983.
18. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1969. – Т. 2.
19. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.: Springer-Verlag,
1971. – 229.
20. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
21. Caraman P. Relations between p-capacity and p-module (I) // Rev. roum. math. pures et appl. – 1994. – 39, № 6. –
P. 509 – 553.
22. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Аналоги леммы Икома – Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с
неограниченной характеристикой // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 10. – С. 1368 – 1380.
23. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. – Новосибирск: Наука, 1982.
24. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вестн. – 2005. – 2,
№ 3. – С. 395 – 417.
25. Salimov R. R., Sevost’yanov E. A. The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with (p, q)-distortion //
Complex Var. and Ellipt. Equat. – 2014. – 59, № 2. – P. 217 – 231.
Получено 07.11.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 2
|