Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами
Рассматривается задача нахождения оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно-квадратичной задачи, состоящей из параболического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами и распределенным управлением в правой части, на коэффициенты Фурье которого наложено ограничение ти...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний журнал |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165494 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами / О.В. Капустян, А.В. Русіна// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 355–365. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165494 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Капустян, О.В. Русіна, А.В. 2020-02-13T17:18:11Z 2020-02-13T17:18:11Z 2015 Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами / О.В. Капустян, А.В. Русіна// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 355–365. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165494 517.9 Рассматривается задача нахождения оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно-квадратичной задачи, состоящей из параболического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами и распределенным управлением в правой части, на коэффициенты Фурье которого наложено ограничение типа неравенств, и квадратичного критерия качества. Найдена точная формула синтеза и обоснована его приближенная форма, которая заключается в замене быстроосциллирующих параметров на усредненные. We study the problem of finding the optimal control in the form of feedback (synthesis) for a linear-quadratic problem in the form of a parabolic equation with rapidly oscillating coefficients and distributed control on the right-hand side (whose Fourier coefficients obey certain restrictions in the form of inequalities) and a quadratic quality criterion. We deduce the exact formula of synthesis and justify its approximate form corresponding to the replacement of rapidly oscillating coefficients by their averaged values. uk Інститут математики НАН України Український математичний журнал Статті Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами Approximate Synthesis of Distributed Bounded Control for a Parabolic Problem with Rapidly Oscillating Coefficients Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| spellingShingle |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами Капустян, О.В. Русіна, А.В. Статті |
| title_short |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| title_full |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| title_sort |
наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами |
| author |
Капустян, О.В. Русіна, А.В. |
| author_facet |
Капустян, О.В. Русіна, А.В. |
| topic |
Статті |
| topic_facet |
Статті |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний журнал |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Approximate Synthesis of Distributed Bounded Control for a Parabolic Problem with Rapidly Oscillating Coefficients |
| description |
Рассматривается задача нахождения оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно-квадратичной задачи, состоящей из параболического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами и распределенным управлением в правой части, на коэффициенты Фурье которого наложено ограничение типа неравенств, и квадратичного критерия качества. Найдена точная формула синтеза и обоснована его приближенная форма, которая заключается в замене быстроосциллирующих параметров на усредненные.
We study the problem of finding the optimal control in the form of feedback (synthesis) for a linear-quadratic problem in the form of a parabolic equation with rapidly oscillating coefficients and distributed control on the right-hand side (whose Fourier coefficients obey certain restrictions in the form of inequalities) and a quadratic quality criterion. We deduce the exact formula of synthesis and justify its approximate form corresponding to the replacement of rapidly oscillating coefficients by their averaged values.
|
| issn |
1027-3190 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165494 |
| citation_txt |
Наближений синтез розподіленого обмеженого керування в параболічній задачі зі швидкоосцилюючими коефіцієнтами / О.В. Капустян, А.В. Русіна// Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 355–365. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT kapustânov nabliženiisintezrozpodílenogoobmeženogokeruvannâvparabolíčníizadačízíšvidkooscilûûčimikoefícíêntami AT rusínaav nabliženiisintezrozpodílenogoobmeženogokeruvannâvparabolíčníizadačízíšvidkooscilûûčimikoefícíêntami AT kapustânov approximatesynthesisofdistributedboundedcontrolforaparabolicproblemwithrapidlyoscillatingcoefficients AT rusínaav approximatesynthesisofdistributedboundedcontrolforaparabolicproblemwithrapidlyoscillatingcoefficients |
| first_indexed |
2025-11-26T05:15:45Z |
| last_indexed |
2025-11-26T05:15:45Z |
| _version_ |
1850613082662895616 |
| fulltext |
УДК 517.9
О. В. Капустян, А. В. Русiна (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ
В ПАРАБОЛIЧНIЙ ЗАДАЧI ЗI ШВИДКООСЦИЛЮЮЧИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
We study the problem of finding the optimal control in the form of feedback (synthesis) for a linear–quadratic problem in
the form of a parabolic equation with rapidly oscillating coefficients and distributed control on the right-hand side (whose
Fourier coefficients obey certain restrictions in the form of inequalities) and a quadratic quality criterion. We deduce
the exact formula of synthesis and justify its approximate form corresponding to the replacement of rapidly oscillating
coefficients by their averaged values.
Рассматривается задача нахождения оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно-
квадратичной задачи, состоящей из параболического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами и
распределенным управлением в правой части, на коэффициенты Фурье которого наложено ограничение типа не-
равенств, и квадратичного критерия качества. Найдена точная формула синтеза и обоснована его приближенная
форма, которая заключается в замене быстроосциллирующих параметров на усредненные.
Вступ. В теорiї лiнiйно-квадратичних нескiнченновимiрних задач оптимального керування [1 –
3] однiєю з найважливiших є задача знаходження оптимального керування в формi оберненого
зв’язку (синтезу). При вiдсутностi обмежень у класi розподiлених керувань цю задачу для широ-
кого кола задач розв’язано у [3]. Параметричний синтез для зосереджених обмежених керувань
було отримано в роботi [4], для обмеженої стабiлiзацiї в класi розподiлених керувань — у статтi
[5]. У роботах [6, 7] для задач зi швидкоосцилюючими коефiцiєнтами та зосередженим керуван-
ням g(x)u(t), де g(x) є фiксованим, було запропоновано та обґрунтовано процедуру побудови
наближеного усередненого синтезу, яка полягає в замiнi у формулi точного розв’язку всiх швид-
коосцилюючих параметрiв на усередненi, а всiх нескiнченних сум — на скiнченнi. В данiй роботi
цей пiдхiд реалiзовано для параболiчної задачi з обмеженим розподiленим керуванням u(t, x).
На вiдмiну вiд випадку зосередженого керування, де вихiдна задача зводиться до одновимiрної
задачi оптимального керування, для розподiленого керування задача зводиться до злiченної
кiлькостi задач оптимального керування та з’являється нескiнченна кiлькiсть точок перемикан-
ня у формi параметричного синтезу. В роботi знайдено точну формулу оптимального керування
у формi оберненого зв’язку та обґрунтовано процедуру наближеного усередненого синтезу.
Постановка задачi. Нехай Ω ⊂ Rn — обмежена область, ε ∈ (0, 1) — малий параметр,
ξ = (ξi)
∞
i=1 ∈ l2 — заданий вектор. У цилiндрiQ = (0, T )×Ω розглядається задача оптимального
керування
dy
dt
= Aεy + u(t, x), (t, x) ∈ Q,
y |∂Ω = 0,
y |t=0 = yε0,
(1)
J(y, u) =
∫
Ω
y2(T, x)dx+
∫
Q
u2(t, x)dtdx→ inf, (2)
c© О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 355
356 О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА
u ∈ Uε =
v ∈ L2(Q) | ∀i ≥ 1
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
v(t, x)Xε
i (x)dx
∣∣∣∣∣∣ ≤ ξi для м.в. t
, (3)
де Aε = div(aε∇), aε(x) = a
(x
ε
)
, a =
(
(aij)
)
— вимiрна симетрична перiодична матриця, що
задовольняє умови рiвномiрної елiптичностi та обмеженостi:
∃ v1 > 0, v2 > 0 ∀ η, x ∈ Rn : v1
n∑
i=1
η2
i ≤
n∑
i,j=1
aij(x)ηiηj ≤ v2
n∑
i=1
η2
i . (4)
Нехай {Xε
i }, {λεi} — розв’язки спектральної задачi
AεXε
i = −λεiXε
i ,
Xε
i |∂Ω = 0,
(5)
{Xε
i } ⊂ H1
0 (Ω) — ортонормований базис у L2(Ω), 0 < λε1 ≤ λε2 ≤ . . . , λεi →∞, i→∞.
Далi через ‖ · ‖ i (·, ·) будемо позначати норму i скалярний добуток в L2(Ω).
Оскiльки Uε ⊂ L2(Q) є замкненою опуклою множиною, то задача (1) – (3) має єдиний
розв’язок {yε, uε} у класi W (0, T )× L2(Q) [1, с. 120], де
W (0, T ) =
{
y ∈ L2
(
0, T ;H1
0 (Ω)
) ∣∣∣∣ dydt ∈ L2
(
0, T ;H−1(Ω)
)}
.
У випадку сталої матрицi a та вiдсутностi обмежень
(
Uε = L2(Q)
)
у [3] побудовано оптимальне
керування у формi оберненого зв’язку.
Метою роботи є побудова оптимального синтезу задачi (1) – (3) та обґрунтування за допо-
могою усереднення швидкоосцилюючих параметрiв його наближеної формули.
Перед формулюванням основних результатiв проаналiзуємо множину допустимих керу-
вань Uε.
По-перше, Uε мiстить нетривiальний елемент. Дiйсно, за теоремою Рiсса – Фiшера [11,
с. 153] для будь-якого вектора η = (ηi)
∞
i=1 ∈ l2, |ηi| ≤ ξi iснує функцiя vεη ∈ L2(Ω) така,
що
∫
Ω
vεη(x)Xε
i (x)dx = ηi ∀i ≥ 1. Отже, будь-яка функцiя
u(t, x) =
N∑
i=1
ϕk(t)χTk(t)vεk(x)
належить Uε, де {Tk}Nk=1 — вимiрнi функцiї,
⋃N
k=1 Tk = (0, T ), Tn ∩ Tm = ∅, n 6= m, ϕk —
вимiрнi функцiї, ess supt∈(0,T )
∣∣ϕk(t)∣∣ ≤ 1, функцiя vεk ∈ L2(Ω) вiдповiдає вектору η(k) ∈ l2,∣∣∣η(k)
i
∣∣∣ ≤ ξi.
По-друге, як показано в роботi [5], у випадку сталих коефiцiєнтiв диференцiального опера-
тора обмеження (3) тiсно пов’язанi з оцiнкою на модуль неперервностi функцiї u(t, ·).
По-третє, у випадку dim Ω = 1 можна дати ефективнi достатнi умови належностi функцiї
до множини Uε, що не використовують власних функцiй спектральної задачi (5). Зокрема, за
допомогою iнтегрування частинами одержуємо, що якщо Ω = (0, 1), a ∈ C1(R) задовольняє
(4), для майже всiх t ∈ (0, T ) функцiя u(t, ·) : [0, 1] 7→ R є абсолютно неперервною, u(t, 0) =
= u(t, 1) = 0 та
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ В ПАРАБОЛIЧНIЙ . . . 357
1∫
0
(
u
′
x(t, x)
)2
dx ≤ c
v2
,
де константа c > 0 така, що c2 ≤ ξ2
i λ
ε
i ∀ε > 0 ∀i ≥ 1, то функцiя u = u(t, x) належить
множинi Uε.
Побудова параметричного синтезу. Будемо шукати розв’язок задачi (1) – (3) у виглядi
yε(t, x) =
∞∑
i=1
yεi (t)X
ε
i (x), uε(t, x) =
∞∑
i=1
uεi (t)X
ε
i (x).
Тодi маємо злiченну систему одновимiрних задач оптимального керування
d
dt
yεi (t) = −λεiyεi + uεi (t),
yεi (0) = (yε0, X
ε
i ),
(6)
(
yεi (T )
)2
+
T∫
0
(
uεi (t)
)2
dt→ inf,
∣∣uεi (t)∣∣ ≤ ξi.
Якщо при i ≥ 1 оптимальне керування не виходить на обмеження, то з принципу максимуму
Понтрягiна одержуємо формулу
uεi (t) = − yεi (0)eλ
ε
i (t−2T )
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) . (7)
Оскiльки функцiя uεi є монотонно зростаючою, то за умови
|yεi (0)|e−2λεiT
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) < ξi (8)
оптимальне керування uεi (t) має не бiльше однiєї точки перемикання, i така точка завжди iснує,
якщо
|yεi (0)|e−λεiT
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) > ξi. (9)
Проаналiзуємо умови (8) та (9).
По-перше, якщо yεi (0) = 0, то оптимальним процесом в (6) буде yεi (t) ≡ 0, uεi (t) ≡ 0.
По-друге, одночасне виконання (8) i (9) для всiх значень i ≥ 1 гарантує нерiвнiсть
eλ
ε
iT
(
1 +
1
2λεi
)
<
∣∣yεi (0)
∣∣
ξi
< e2λεiT ∀ i ≥ 1, (10)
що внаслiдок монотонного прямування λεi до +∞ вирiзує непорожню множину початкових
даних задачi (1) – (3).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
358 О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА
По-третє, ефективна перевiрка умов (8), (9) можлива завдяки переходу в них до усереднених
величин власних чисел i функцiй (див. (16) – (18)). Зокрема, якщо Ω = (0, 1), то λ0
i = a0π2i2,
X0
i (x) =
√
2 sin (πix), де a0 =
(∫ 1
0
dx
a(x)
)−1
[8, с. 22]. Тодi якщо ‖yε0‖ ≤ C, то достатньою
умовою для виконання (8) є умова
C < ξie
2a0π2i2T .
При цьому в класi початкових функцiй yε0(x) ≡ C компоненти оптимального керування з пар-
ними номерами дорiвнюють нулю, а для непарних номерiв достатньою умовою для виконання
(9) є така:
C >
iπ
2
√
2
ξi
(
1 +
1
2a0i2π2
)
ea
0π2i2T .
Будемо розглядати випадок, коли для всiх i ≥ 1 виконуються умови (8), (9) (щодо iнших
випадкiв див. зауваження в кiнцi роботи.) Тодi програмне оптимальне керування задачi (6) має
вигляд
uεi (t) =
− yεi (0)eλ
ε
i (t−2T )
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) , t ∈ [0, tεi ],
− sign
(
yεi (0)
)
ξi, t ∈ [tεi , T ],
(11)
де точка перемикання tεi визначається рiвнiстю
tεi =
1
λεi
ln
(
ξi
|yεi (0)|
(
e2λεiT +
1
2λεi
(e2λεiT − 1)
))
. (12)
Для побудови оптимального синтезу пiдставимо (11) у формулу розв’язку yεi (t) при t ∈ [0, tεi ] :
yεi (t) = yεi (0)e−λ
ε
i t + e−λ
ε
i t
t∫
0
uεi (s)e
λεi sds.
Одержуємо
yεi (t) = yεi (0)e−λ
ε
i t
1 +
1
2λεi
(
1− e2λεi (t−T )
)
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) при t ∈ [0, tεi ].
Звiдси i з (11) згiдно з рiвнiстю sign
(
yεi (t
ε
i )
)
= sign(yεi (0)) отримуємо
uεi [t, y
ε
i (t)] =
− yεi (t)e
2λεi (t−T )
1 +
1
2λεi
(
1− e2λεi (t−T )
) , t ∈ [0, tεi ],
− sign
(
yεi (t
ε
i )
)
ξi, t ∈ [tεi , T ],
(13)
де tεi визначається з рiвняння у формi синтезу
tεi =
1
λεi
ln
ξie
2λεiT
(
1 +
1
2λεi
(1− e2λεi (t−T )
)
∣∣yεi (t)∣∣eλεi t
. (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ В ПАРАБОЛIЧНIЙ . . . 359
Тут yεi (t), t ∈ [0, tεi ], — розв’язок рiвняння (6) з керуванням (13), (14).
Таким чином, за виконання умов (8), (9) формули (13), (14) для кожного i ≥ 1 визначають
оптимальне керування у формi оберненого зв’язку в задачi (6).
Лема . Формула
uε
[
t, x, yε(t, x)
]
=
∞∑
i=1
(
αεi (t)(y
ε(t), Xε
i ) + βεi (t)
)
Xε
i (x) (15)
визначає оптимальне керування у формi оберненого зв’язку в задачi (1) – (3), де
αεi (t) =
− e2λεi (t−T )
1 +
1
2λεi
(
1− e2λεi (t−T )
) , t ∈ [0, tεi ],
0, t ∈ (tεi , T ],
βεi (t) =
0, t ∈ [0, tεi ],
− sign
(
yε(tεi ), X
ε
i
)
ξi, t ∈ (tεi , T ],
tεi = γεi (t)−
1
λεi
ln
∣∣(yε(t), Xε
i )
∣∣, t ∈ [0, tεi ],
γεi (t) =
1
λεi
ln
(
ξie
−λεi te2λεiT
(
1 +
1
2λεi
(
1− e2λεi (t−T )
)))
.
Доведення. Оскiльки
|αεi (t)| ≤ 1, |βεi (t)| ≤ ξi ∀ t ∈ [0, T ],
то згiдно з рiвнiстю Парсеваля для довiльних t ∈ [0, T ], y ∈ L2(Ω)∥∥∥∥∥
∞∑
i=1
αεi (t)(y,X
ε
i )Xε
i
∥∥∥∥∥ ≤ ‖y‖,
∥∥∥∥∥
∞∑
i=1
βεi (t)X
ε
i
∥∥∥∥∥ ≤ ‖ξ‖.
Отже, згiдно з результатами [9, с.177] задача (1) з керуванням (15) має єдиний розв’язок yε(t, x)
в W (0, T ). Залишилось показати, що записане за формулою (15) керування
uε(t, x) := uε
[
t, x, yε(t, x)
]
дiйсно є оптимальним керуванням у задачi (1) – (3). Оскiльки yε(t, x) ∈ W (0, T ), то з наве-
дених вище оцiнок випливає, що uε(t, x) ∈ L2(Q). Застосовуючи до задачi (1) з формулою
керування (15) метод Фур’є, одержуємо, що єдиний розв’язок yε(t, x) цiєї задачi має вигляд
yε(t, x) =
∞∑
i=1
yεi (t)X
ε
i (x),
де для кожного i ≥ 1 функцiя yεi (t) є єдиним розв’язком рiвняння (6) з початковими даними
(yε0, X
ε
i ) i керуванням (13), (14). Це дозволяє стверджувати, що у формулi (15)
uε
[
t, x, yε(t, x)
]
=
∞∑
i=1
uεi (t)X
ε
i (x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
360 О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА
де для кожного i ≥ 1 функцiя uεi — єдиний розв’язок задачi оптимального керування (6), що
визначається з (11), (12). Зокрема, |uεi (t)| ≤ ξi ∀ t ∈ [0, T ] ∀ i ≥ 1, отже, формула (15) визначає
функцiю з множини Uε. Тепер нехай vε(t, x) — оптимальне керування в задачi (1) – (3). Тодi
vε(t, x) =
∑∞
i=1
vεi (t)X
ε
i (x), де для кожного i ≥ 1 vεi (t) — оптимальне керування в задачi (6).
Отже, vεi ≡ uεi . Це означає, що формула (15) задає оптимальний синтез в задачi (1) – (3).
Лему доведено.
Побудова i обґрунтування наближеного усередненого синтезу. Нехай стала матриця a0 є
усередненою [8, c. 20] для a
(x
ε
)
, A0 = div(a0∇), {λ0
i }, {X0
i } — розв’язки вiдповiдної спект-
ральної задачi
A0X0
i = −λ0
iX
0
i ,
X0
i |∂Ω = 0,
причому спектр A0 є простим, тобто
0 < λ0
1 < λ0
2 < . . . < λ0
k < . . . , λ0
i →∞, i→∞. (16)
Ця умова гарантовано виконується, якщо dim Ω = 1. Тодi для довiльних i ≥ 1 справджуються
граничнi рiвностi [8, с. 299]
λεi → λ0
i , Xε
i → X0
i в L2(Ω) при ε→ 0. (17)
Будемо вважати виконаними умови збiжностi
aε
G→ a0, yε0 → y0 слабко в L2(Ω) при ε→ 0. (18)
Слiд зауважити, що клас симетричних матриць, що задовольняють умову (4), є компактним
вiдносно G-збiжностi [8, c. 167].
Тодi з (12) маємо, що для всiх i ≥ 1 при ε→ 0
tεi → t0i =
1
λ0
i
ln
(
ξi
|y0
i |
(
e2λ0i T +
1
2λ0
i
(
e2λ0i T − 1
)))
, (19)
де y0
i = (y0, X
0
i ).
Крiм того, оскiльки sign(yεi (t
ε
i )) = sign(yεi (0)) та yεi (0) → y0
i при ε → 0, то згiдно з
умовами (8), (9) для будь-яких i ≥ 1 та t ∈ [0, T ] \ {t0i }∞i=1 при ε→ 0
αεi (t)→ α0
i (t) =
− e2λ0i (t−T )
1 +
1
2λ0
i
(
1− e2λ0i (t−T )
) , t ∈ [0, t0i ],
0, t ∈ (t0i , T ],
βεi (t)→ β0
i (t) =
0, t ∈ [0, t0i ],
− sign(y0
i )ξi, t ∈ (t0i , T ].
(20)
Дотримуючись робiт [6, 7], на основi параметричного синтезу (15) побудуємо наближений
усереднений синтез для задачi (1) – (3)
u0
N
[
t, x, yεN (t, x)
]
=
N∑
i=1
(
α0
i (t)(y
ε
N (t), X0
i ) + β0
i (t)
)
X0
i (x), (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ В ПАРАБОЛIЧНIЙ . . . 361
де моменти {t0i }∞i=1 визначаються рiвнiстю (19), а функцiї {α0
i }∞i=1, {β0
i }∞i=1 — рiвностями (20),
yεN (t, x) — розв’язок задачi (1) з керуванням (21), iснування i єдинiсть якого у класi W (0, T )
для кожних N ≥ 1 i ε > 0 випливає з [9, с. 177].
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема. Нехай виконуються умови (4), (8), (9), (16), (18). Тодi формула (21) є наближеним
усередненим синтезом для задачi (1) – (3) в тому сенсi, що для будь-яких η > 0 i δ > 0 iснують
N ≥ 1 та ε ∈ (0, 1) такi, що для будь-яких N ≥ N i ε ∈ (0, ε)∥∥uε[·, ·, yε]− u0
N [·, ·, yεN ]
∥∥
L2(Q)
< η,
‖yε − yεN‖C([δ,T ];L2(Ω))) < η,∣∣J(yε, uε[t, x, yε]− J(yεN , u
0
N [t, x, yεN ])
∣∣ < η.
Доведення. Спочатку розглянемо допомiжну задачу
∂z
∂t
= Aεz + u0[t, x, z],
z|∂Ω = 0, (22)
z|t=0 = yε0,
де
u0[t, x, z] =
∞∑
i=1
(α0
i (t)(z,X
0
i ) + β0
i (t))X0
i (x). (23)
Задача (22) у класi W (0, T ) має єдиний розв’язок zε(t, x) [9, c. 177], причому zε ∈ C([0, T ];
L2(Ω)) i для майже всiх t ∈ (0, T ) справджується оцiнка
d
dt
‖zε(t)‖2 + 2v1‖zε(t)‖2H1
0
≤ 2
∞∑
i=1
(∣∣α0
i (t)
∣∣ (zε(t), X0
i )2 +
∣∣β0
i (t)
∣∣ ∣∣(zε(t), X0
i )
∣∣). (24)
З оцiнки (24) та рiвностi Парсеваля, враховуючи, що
∣∣α0
i (t)
∣∣ ≤ 1,
∣∣β0
i (t)
∣∣ ≤ ξi, маємо
‖zε(t)‖2 + 2v1
t∫
0
‖zε(s)‖2H1
0
ds ≤ ‖yε0‖2 + 2
t∫
0
‖zε(s)‖2ds+ 2
t∫
0
‖ξ‖‖zε(s)‖ds ≤
≤ ‖yε0‖2 + 3
t∫
0
‖zε(s)‖2ds+ ‖ξ‖2T. (25)
Iз (25) i нерiвностi Гронуолла одержуємо
‖zε(t)‖2 ≤
(
‖yε0‖2 + ‖ξ‖2T
)
e3T ∀t ∈ [0, T ], (26)
T∫
0
‖zε(t)‖2H1
0
dt ≤ 1
2v1
(
‖yε0‖2 + ‖ξ‖2T
)(
3Te3T + 1
)
. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
362 О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА
При цьому, оскiльки ∥∥u0[t, x, zε]
∥∥2 ≤ 2
(
‖zε(t)‖2 + ‖ξ‖2
)
∀t ∈ [0, T ], (28)
згiдно з (22) {
∂zε
∂t
}
є обмеженою в L2(0, T ;H−1(Ω)). (29)
Спiввiдношення (26) – (29) i лема 63.2 про компактнiсть [9, с. 378] гарантують, що iснує функцiя
z ∈W (0, T ) ⊂ C
(
[0, T ];L2(Ω)
)
така, що по пiдпослiдовностi
zε → z в L2(Q) i майже скрiзь в Q,
zε(t)→ z(t) в L2(Ω) для майже всiх t ∈ [0, T ], (30)
zε → z слабко в L2
(
0, T ;H1
0 (Ω)
)
.
Оскiльки для t ∈ (0, T ) ∥∥u0[t, x, zε]− u0[t, x, z]
∥∥ ≤ ‖zε(t)− z(t)‖, (31)
то з (30) виводимо, що
u0[t, x, zε]→ u0[t, x, z] в L2(Q). (32)
Оскiльки Aε
G→ A0, то з (32) на пiдставi леми 1 [10] одержуємо, що z — розв’язок задачi (22)
при ε = 0, тобто задачi (22) з оператором A0 та початковим значенням y0, причому при ε→ 0
zε → z в C
(
[δ, T ];L2(Ω)
)
∀ δ > 0. (33)
Далi, оскiльки задача (22) має єдиний розв’язок, то збiжнiсть в (30), (33) вiдбувається по всiй
послiдовностi. Звiдси, зокрема, випливає, що
J
(
zε, u0[t, x, zε]
)
→ J
(
z, u0[t, x, z]
)
, ε→ 0. (34)
Тепер покажемо, що для будь-якого η > 0 iснують N1 ≥ 1 i ε1 ∈ (0, 1) такi, що∣∣J(yεN , u0
N [t, x, yεN ]
)
− J
(
zε, u0[t, x, zε]
)∣∣ < η
3
∀N ≥ N1 ∀ε ∈ (0, ε1). (35)
Зауважимо, що yεN задовольняє (24) – (27), u0
N [t, x, yεN ] — (28), тому iснує константа C1 > 0 (що
не залежить вiд N i ε) така, що∣∣J(yεN , u
0
N [t, x, yεN ])− J(zε, u0[t, x, zε])
∣∣ ≤
≤ C1
∥∥yεN (T )− zε(T )
∥∥+
T∫
0
∥∥u0
N [t, yεN ]− u0[t, zε]
∥∥2
dt
1/2
. (36)
Для рiзницi ωεN = yεN − zε маємо задачу
∂ωεN
∂t
= AεωεN +
N∑
i=1
α0
i (t)(ω
ε
N (t), X0
i )X0
i (x) + f εN (t, x),
ωεN |∂Ω = 0, (37)
ωεN |t=0 = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ В ПАРАБОЛIЧНIЙ . . . 363
де
f εN (t, x) = −
∞∑
i=N+1
(
α0
i (t)(z
ε, X0
i ) + β0
i (t)
)
X0
i (x).
Використовуючи рiвнiсть Парсеваля, для t ∈ [0, T ] одержуємо
‖f εN (t)‖2 =
∞∑
i=N+1
∣∣α0
i (t)(z
ε(t), X0
i ) + β0
i (t)
∣∣2 ≤ 2
∞∑
i=N+1
(α0
i (t))
2(zε(t), X0
i )2+
+2
∞∑
i=N+1
(β0
i (t))2 ≤ 2
∞∑
i=N+1
(zε(t), X0
i )2 + 2
∞∑
i=N+1
ξ2
i ≤
≤ 4
∞∑
i=N+1
(z(t), X0
i )2 + 4‖zε(t)− z(t)‖2 + 2
∞∑
i=N+1
ξ2
i , (38)
де z — розв’язок задачi (22) при ε = 0.
З (37) маємо оцiнки для майже всiх t ∈ (0, T ) :
1
2
d
dt
‖ωεN (t)‖2 + v1‖ωεN (t)‖2H1
0
≤ ‖ωεN (t)‖2 +
(
f εN (t), ωεN (t)
)
,
d
dt
‖ωεN (t)‖2 ≤ 3‖ωεN (t)‖2 + ‖f εN (t)‖2.
Тодi з леми Гронуолла випливає, що
‖ωεN (t)‖2 ≤
T∫
0
‖f εN (t)‖2dt · e3T ∀t ∈ [0, T ]. (39)
З (38), (39) одержуємо
∃C2 > 0 ∀t ∈ [0, T ] : ‖ωεN (t)‖2 ≤
≤ C2
T∫
0
∞∑
i=N+1
(z(t), X0
i )2dt+
T∫
0
‖zε(t)− z(t)‖2dt+
∞∑
i=N+1
ξ2
i
. (40)
Оскiльки для будь-якого t ∈ [0, T ] згiдно з нерiвнiстю Бесселя
∞∑
i=N+1
(z(t), X0
i )2 → 0, N →∞,
а на пiдставi (26) ∣∣∣∣∣
∞∑
i=N+1
(z(t), X0
i )2
∣∣∣∣∣ ≤ (‖y0‖2 + ‖ξ‖2T
)
e3T ,
то за теоремою Лебега перший доданок у (40) прямує до 0 при N →∞. Тодi згiдно з (30) для
будь-якого η1 > 0 iснують N1 ≥ 1 i ε1 ∈ (0, 1) такi, що
sup
t∈[0,T ]
‖ωεN (t)‖2 +
T∫
0
∥∥u0
N [t, yεN ]− u0[t, zε]
∥∥2
dt < η1 ∀N ≥ N1 ∀ε ∈ (0, ε1). (41)
Iз нерiвностей (41) i (36) одержуємо (35).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
364 О. В. КАПУСТЯН, А. В. РУСIНА
Залишилось показати, що
J
(
yε, uε[t, x, yε]
)
− J
(
z, u0[t, x, z]
)
→ 0, ε→ 0, (42)
де z — розв’язок задачi (22) при ε = 0.
Зауважимо, що для yε справджуються оцiнки (24) – (28), отже, iснує функцiя y ∈ C([0, T ];
L2(Ω)) така, що по пiдпослiдовностi при ε→ 0
yε → y в сенсi (30). (43)
Покажемо, що при ε→ 0
uε[t, yε]→ u0[t, y] в L2(Q). (44)
Згiдно з (18) – (20) та (43) для майже всiх (t, x) ∈ Q, всiх i ≥ 1 при ε→ 0(
αεi (t)(y
ε(t), Xε
i ) + βεi (t)
)
Xε
i (x)→
(
α0
i (t)
(
y(t), X0
i
)
+ β0
i (t)
)
X0
i (x). (45)
Тому згiдно з оцiнки (26) за теоремою Лебега для будь-якого M > 1
M∑
i=1
(
αεi (t)(y
ε(t), Xε
i ) + βεi (t)
)
Xε
i →
M∑
i=1
(
α0
i (t)
(
y(t), X0
i
)
+ β0
i (t)
)
X0
i в L2(Q). (46)
При цьому аналогiчно до попереднiх мiркувань
T∫
0
∥∥∥∥∥
∞∑
i=M+1
(α0
i (t)
(
y(t), X0
i
)
+ β0
i (t))X0
i
∥∥∥∥∥
2
dt→ 0, M →∞. (47)
Оцiнимо норму вiдповiдної суми для коефiцiєнтiв, що залежать вiд ε. Оскiльки
∞∑
i=M+1
(
αεi (t)(y
ε(t), Xε
i ) + βεi (t)
)
Xε
i (x) =
∞∑
i=M+1
uεi (t)X
ε
i (x),
де uεi визначаються формулою (11) i при цьому |uεi (t)| ≤ ξi ∀t ∈ [0, T ], то∥∥∥∥∥
∞∑
i=M+1
uεi (t)X
ε
i
∥∥∥∥∥
2
≤
∞∑
i=M+1
ξ2
i → 0, M →∞. (48)
Таким чином, виконується збiжнiсть (44), що наслiдок G-збiжностi Aε до A0 означає, що y ≡ z
— розв’язок (22) при ε = 0, збiжнiсть у (43) вiдбувається по всiй послiдовностi i
yε → z в C
(
[δ, T ];L2(Ω)
)
∀δ > 0. (49)
Тодi має мiсце (42).
Таким чином, з (32), (41) та (44) випливає справедливiсть твердження теореми щодо близь-
костi керувань, з (33), (41) i (49) — твердження теореми щодо близькостi станiв та з (34), (35)
та (42) — близькiсть значень критерiїв якостi.
Теорему доведено.
Зауваження. Якщо для всiх i ≥ 1 виконується нерiвнiсть
|yεi (0)|e−λεiT
1 +
1
2λεi
(
1− e−2λεiT
) < ξi, (50)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОБМЕЖЕНОГО КЕРУВАННЯ В ПАРАБОЛIЧНIЙ . . . 365
то оптимальне керування у формi оберненого зв’язку має вигляд
uε[t, x, yε] =
∞∑
i=1
ᾱεi (t)(y
ε(t), Xε
i )Xε
i (x),
де
ᾱεi (t) = − e2λεi (t−T )
1 +
1
2λεi
(
1− e2λεi (t−T )
) , t ∈ [0, T ],
i формула
u0
N [t, x, yεN ] =
N∑
i=1
ᾱ0
i (t)
(
yεN (t), X0
i
)
X0
i (x)
визначає наближений усереднений синтез для задачi (1) – (3).
Легко бачити, що основнi результати роботи можуть бути перенесенi на випадок, коли
для однiєї частини номерiв i ≥ 1 виконуються нерiвностi (8), (9), а для iншої виконується
нерiвнiсть (50).
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. –
М.: Мир, 1972. – 416 с.
2. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. – Новосибирск: Науч. книга, 1999. –
350 с.
3. Егоров А. И. Оптимальное управление линейными системами. – Киев: Вища шк., 1988. – 278 с.
4. Белозеров В. Е., Капустян В. Е. Геометрические методы модального управления. – Киев: Наук. думка, 1999. –
260 с.
5. Егоров А. И., Михайлова Т. Ф. Синтез оптимального управления тепловым процессом с ограниченным управ-
лением. Ч. 1 // Автоматика (Проблемы управления и информатики). – 1990. – № 3. – С. 57 – 61.
6. Сукретна А. В., Капустян О. А. Наближений усереднений синтез задачi оптимального керування для парабо-
лiчного рiвняння // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 10. – С. 1384 – 1394.
7. Капустян О. В., Сукретна А. В. Усереднений синтез оптимального керування для хвильового рiвняння // Укр.
мат. журн. – 2003. – 55, № 5. – С. 612 – 620.
8. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. – М.: Физматлит, 1993. –
464 с.
9. Sell G. R., You Y. Dynamics of evolutionary equations. – New York: Springer, 2002. – 670 p.
10. Капустян О. В., Шкляр Т. Б. Глобальний атрактор параболiчного включення з неавтономною головною
частиною // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 1. – С. 77 – 88.
11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. –
543 c.
Одержано 02.03.14,
пiсля доопрацювання — 05.08.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|