Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси
With the use of the methods of mechanics of solids and nonequilibrium thermodynamics, the mechanothermodiffusion model of isotropic n-component solid solution is proposed taking into account the local displacement of a mass. It is shown that this approach results in expanding the state parameters sp...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1655 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси / Я.Й. Бурак, В.Ф. Кондрат, О.Р. Грицина // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 59-64. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859794738074353664 |
|---|---|
| author | Бурак, Я.Й. Кондрат, В.Ф. Грицина, О.Р. |
| author_facet | Бурак, Я.Й. Кондрат, В.Ф. Грицина, О.Р. |
| citation_txt | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси / Я.Й. Бурак, В.Ф. Кондрат, О.Р. Грицина // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 59-64. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | With the use of the methods of mechanics of solids and nonequilibrium thermodynamics, the mechanothermodiffusion model of isotropic n-component solid solution is proposed taking into account the local displacement of a mass. It is shown that this approach results in expanding the state parameters space, redefining the stress tensor, and the occurrence of additional volume forces.
|
| first_indexed | 2025-12-02T12:58:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
3 • 2007
МЕХАНIКА
УДК 539.3
© 2007
Член-кореспондент НАН України Я. Й. Бурак, В. Ф. Кондрат,
О.Р. Грицина
Математичне моделювання механотермодифузiйних
процесiв у твердих розчинах при врахуваннi локального
змiщення маси
With the use of the methods of mechanics of solids and nonequilibrium thermodynamics, the
mechanothermodiffusion model of isotropic n-component solid solution is proposed taking into
account the local displacement of a mass. It is shown that this approach results in expanding the
state parameters space, redefining the stress tensor, and the occurrence of additional volume
forces.
У класичних моделях механотермодифузiї [1–5] зазвичай процеси деформування, тепло- та
масоперенесення описують параметрами стану σ̂− ê, T −S, {µ
′
k}−{ck}, k = 1, n − 1, та пото-
ками тепла ~Jq й маси домiшок { ~Jk}. При цьому потоки маси ~Jk трактуються як дифузiйнi,
якi пов’язанi з перенесенням домiшок щодо центра мас. Проте у розчинах можуть реалiзува-
тися також iншi фiзичнi механiзми масоперенесення. Наприклад, якщо молекули твердого
розчину характеризуються несиметричною структурою, то прискорений рух частинок тiла
приведе одночасно до поворотiв таких молекул, що вiдповiдатиме деякому потоку маси ~J∗
у них. Надалi при розглядi взаємозв’язаних механотермодифузiйних процесiв у тiлi будемо
враховувати потоки маси такої природи.
Об’єкт нашого дослiдження — iзотропне тiло, яке є n-компонентним твердим розчином,
що займає область (V ) евклiдового простору й обмежене гладкою поверхнею (Σ). Величини,
що вiдповiдають пiдсистемам домiшок, позначатимемо iндексами k = 1, n − 1, а скелета
(розчинника) — iндексом n. Приймаємо, що компоненти тiла є хiмiчно-iнертними. У тiлi
пiд впливом зовнiшнiх чинникiв (силових, теплових, масових) протiкають взаємозв’язанi
процеси деформування, структурних змiн, тепло- й масоперенесення. При цьому структурнi
змiни в скелетi будемо пов’язувати iз введеним вище потоком маси ~J∗.
1. Балансовi рiвняння. Рiвняння балансу маси. Для домiшкових компонент k =
= 1, n − 1 рiвняння балансу маси за пiдходом Ейлера в iнтегральнiй формi має вигляд [1]
d
dt
∫
(V )
ρkdV = −
∫
(Σ)
ρk~vk · ~n dΣ, (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 59
де ρk, ~vk — густина та вектор швидкостi компоненти k; ~n — зовнiшня нормаль до поверхнi
(Σ). Рiвняння балансу маси скелета при врахуваннi потоку ~J∗ є таким:
d
dt
∫
(V )
ρndV = −
∫
(Σ)
(ρn~vn + ~J∗) · ~n dΣ. (2)
Тут ~vn, ρn — вектор швидкостi частинок скелета та його густина маси.
Введемо вектор змiщення маси скелета ~Πm за формулою
~Πm(~r, t) =
t∫
0
~J∗(~r, t
′) dt′, (3)
де ~r — радiус-вектор. Тодi
~J∗ =
∂~Πm
∂t
(4)
i рiвняння (2) набуде вигляду
d
dt
∫
(V )
ρndV = −
∫
(Σ)
(
ρn~vn +
∂~Πm
∂t
)
· ~n dΣ. (5)
Вiдзначимо, що такий потiк маси вперше введено в роботi [6], а в [7] використано для
аналiзу приповерхневих явищ.
Якщо додати рiвняння (1) для k = 1, n − 1 i (5) та врахувати при цьому, що густина
маси ρ тiла
ρ =
n∑
k=1
ρk, (6)
то отримаємо
d
dt
∫
(V )
ρdV = −
∫
(Σ)
(
n∑
k=1
ρk~vk +
∂~Πm
∂t
)
· ~n dΣ. (7)
Швидкiсть точок континуума центрiв мас тiла в рамках модельного опису природно озна-
чити як
~v =
1
ρ
(
n−1∑
k=1
ρk~vk +
∂~Πm
∂t
)
. (8)
Тодi рiвняння (7) балансу маси твердого розчину набуде вигляду
d
dt
∫
(V )
ρdV = −
∫
(Σ)
ρ~v · ~n dΣ. (9)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
При використаннi теореми Остроградського–Гаусса з рiвнянь (1), (5) та (9) отримуємо такi
балансовi рiвняння у локальнiй формi:
∂ρk
∂t
= −~∇ · (ρk~vk) (k = 1, n − 1), (10)
∂ρn
∂t
= −~∇ ·
(
ρn~vn +
∂~Πm
∂t
)
, (11)
∂ρ
∂t
= −~∇ · (ρ~v). (12)
Тут ~∇ — оператор Гамiльтона.
Якщо ввести вектор потоку маси ~Jk = ρk(~vk − ~v)(k = 1, n) та концентрацiї Ck = ρk/ρ,
то балансовi рiвняння (10), (11) подамо так:
ρ
dCk
dt
= −~∇ · ~Jk (k = 1, n − 1),
ρ
dCn
dt
= −~∇ ·
(
~Jn +
∂~Πm
∂t
)
,
(13)
де d . . ./dt = ∂ . . ./∂t+~v · ~∇ . . . — оператор субстанцiональної похiдної за часом. Вiдзначимо
також, що
n∑
k=1
~Jk = −
∂~Πm
∂t
. (14)
Рiвняння балансу ентропiї. В iнтегральнiй формi рiвняння балансу ентропiї має ви-
гляд [1]
d
dt
∫
(V )
SdV = −
∫
(Σ)
~Js · ~n dΣ −
∫
(Σ)
S~v · ~ndΣ +
∫
(V )
σsdV +
∫
(V )
ρ
ℜ
T
dV, (15)
де S, σs — густина ентропiї та її виробництво; ~Js — потiк ентропiї; T — абсолютна темпе-
ратура; ℜ — питома потужнiсть теплових джерел.
Рiвнянню (15) вiдповiдає така локальна форма:
∂S
∂t
= −~∇ · ~Js + σs + ρ
ℜ
T
. (16)
Спiввiдношенням ~Jq = T ~Js введемо у розгляд потiк тепла ~Jq. Тодi рiвняння (16) балансу
ентропiї можна записати так:
ρT
ds
dt
= −~∇ · ~Jq +
1
T
~Jq · ~∇T + Tσs + ρℜ, (17)
(s = S/ρ — питома ентропiя).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 61
Рiвняння балансу енергiї. Рiвняння балансу енергiї в iнтегральнiй формi має вигляд
d
dt
∫
(V )
ρ
(
u +
1
2
~v2
)
dV = −
∫
(Σ)
[
ρ
(
u +
1
2
~v2
)
~v + ~Jq +
n∑
k=1
µk
~Jk+
+µπ
∂~Πm
∂t
− σ̂ · ~v
]
· ~ndΣ +
∫
(V )
(ρ~F · ~v + ρℜ) dV.
(18)
Тут u — питома внутрiшня енергiя; µk (k = 1, n) — хiмiчний потенцiал компоненти k;
µπ — ефективний хiмiчний потенцiал скелета, пов’язаний з потоком ∂~Πm/∂t; σ̂ — тензор
напружень Кошi; ~F — вектор масових сил.
Локальна форма рiвняння (18) при врахуваннi спiввiдношення (14), рiвнянь балансу
маси (12), (13) та ентропiї (17) є такою:
ρ
du
dt
= ρT
ds
dt
+ σ̂ :
dê
dt
+
n−1∑
k=1
ρµ′
k
dCk
dt
− µ′
π
∂~∇ · ~Πm
∂t
− ~∇µ′
π ·
∂~Πm
∂t
−
−
n−1∑
k=1
~Jk · ~∇µ′
k −
1
T
~Jq · ~∇T − Tσs − ~v ·
(
ρ
d~v
dt
− ~∇ · σ̂ − ρ~F
)
. (19)
Тут µ′
k = µk − µn, µ′
π = µπ − µn.
Введемо питомi величини ~πm = ~Πm/ρ, ρm = Pπ/ρ, де Pπ = ~∇ · ~Πm. Тодi рiвняння (19)
при використаннi рiвняння балансу маси (12) набуде вигляду
ρ
du
dt
= ρT
ds
dt
+ σ̂∗ :
dê
dt
+
n−1∑
k=1
ρµ′
k
dCk
dt
− ρµ′
π
dρπ
dt
− ρ~∇µ′
π ·
d~πm
dt
−
−
(
Tσs +
n−1∑
k=1
~Jk · ~∇µ′
k +
1
T
~Jq · ~∇T
)
− ~v ·
(
ρ
d~v
dt
− ~∇ · σ̂∗ − ρ~F∗
)
, (20)
де
σ̂∗ = σ̂ + ~∇ · (ρ~πmµ′
π)Î , ρ ~F∗ = ρ~F − ~∇ · (ρ~πm
~∇µ′
π), (21)
Î — одиничний тензор. При умовi iнварiантностi рiвняння балансу енергiї щодо просторових
трансляцiй з рiвняння (20) одержуємо рiвняння руху
ρ
d~v
dt
= ~∇ · σ̂∗ + ρ~F∗, (22)
вираз для виробництва ентропiї
σs = −
1
T 2
~Jq · ~∇T −
1
T
n−1∑
k=1
~Jk · ~∇µ′
k > 0 (23)
та рiвняння
ρ
du
dt
= ρT
ds
dt
+ σ̂∗ :
dê
dt
+
n−1∑
k=1
ρµ′
k
dCk
dt
− ρµ′
π
dρπ
dt
− ρ~∇µ′
π ·
d~πm
dt
, (24)
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
яке можна трактувати, як узагальнене рiвняння Гiббса. З нього випливає, що для роз-
глядуваної системи внутрiшня енергiя визначається параметрами s, ê, {Ck}, ρπ, ~πm, якi
приймаємо незалежними. З виразу (23) для виробництва ентропiї та узагальненого рiвнян-
ня Гiббса (24) бачимо, що врахований потiк маси ∂~Πm/∂t пов’язаний тут лише з оборотни-
ми змiнами в системi. Вiдзначимо також, що врахування цього потоку маси приводить до
розширення простору параметрiв стану (виникають новi параметри стану ρπ та ~πm) та до
виникнення додаткового тиску p = −~∇ · (ρ~πmµ′
π) i масової сили ~Fm = −~∇ · (ρ~πm
~∇µ′
π).
2. Визначальнi спiввiдношення. Перейдемо до узагальненої питомої вiльної енергiї
Гельмгольца f
f = u − Ts + ~πm · ~∇µ′
π. (25)
Тодi з рiвнянь (24), (25) одержуємо
ρ
df
dt
= −ρs
dT
dt
+ σ̂∗ :
dê
dt
+
n−1∑
k=1
ρµ′
k
dCk
dt
− ρµ′
π
dρπ
dt
+ ρ~πm ·
d~∇µ′
π
dt
. (26)
Обираючи вiльну енергiю f як функцiю незалежних параметрiв ê, T , {Ck}, ρπ, ~∇µ′
π, тобто
f = f(ê, T, {Ck}, ρπ, ~∇µ′
π), отримуємо такi рiвняння стану:
s = −
∂f
∂T
∣∣∣∣
ê,{Ck},ρπ,~∇µ′
π
, σ̂∗ = ρ
∂f
∂ê
∣∣∣∣
T,{Ck},ρπ,~∇µ′
π
,
µ′
k =
∂f
∂Ck
∣∣∣∣
ê,T,ρπ,~∇µ′
π
(k = 1, n − 1), µ′
π = −
∂f
∂ρπ
∣∣∣∣
ê,T,{Ck},~∇µ′
π
,
~πm =
∂f
∂~∇µ′
π
∣∣∣∣
ê,T,{Ck},ρπ
.
(27)
Кiнетичнi рiвняння випливають iз виразу для виробництва ентропiї (23) i у лiнiйному
наближеннi запишемо [1]
~Jq = Lqq
1
T 2
~∇T +
n−1∑
k=1
Lqk
1
T
~∇µ′
k,
~Jk =
n−1∑
l=1
Lkl
1
T
~∇µ′
l + Lkq
1
T 2
~∇T
(k = 1, n − 1).
(28)
Тут Lqq, Lqk, Lkq, Lkl — кiнетичнi коефiцiєнти i для iзотропного середовища, яке розгля-
даємо, Lqk = Lkq.
Таким чином, рiвняння балансу маси (12), (13) та ентропiї (17), рiвняння руху (22),
визначальнi спiввiдношення (27) i (28) за означеностi вiльної енергiї як функцiї параметрiв
ê, T , {Ck}, ρπ, ~πm та кiнетичних коефiцiєнтiв у формулах (28) разом iз спiввiдношенням
Кошi ê = (~∇~u + ~u~∇)/2 складають повну систему рiвнянь для визначення взаємозв’язаних
механiчних, теплових та концентрацiйних полiв у твердих розчинах при урахуваннi потоку
маси ∂~Πm/∂t.
1. Де Грот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. – Москва: Мир, 1964. – 456 с.
2. Пiдстригач Я.С. Диференцiальнi рiвняння задачi термодифузiї в твердому деформiвному iзотропно-
му тiлi // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1961. – № 2. – С. 169–172.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2007, №3 63
3. Подстригач Я.С., Павлина В.С. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в
n-компонентном растворе // Физ.-хим. механика материалов. – 1965. – № 4. – С. 383–389.
4. Бурак Я.Й., Чапля Є.Я. Континуальнi моделi термомеханiки бiнарних систем // Там же. – 1995. –
№ 4. – С. 7–15.
5. Бурак Я., Чапля Є. Термодинамiчнi моделi механiки бiнарних систем // Мат. пробл. механiки неод-
норiдних структур. – Львiв: Вид. Iн-ту прикл. пробл. мех. i математики, 2000. – Т. 1. – С. 11–15.
6. Бурак Я.Й. Визначальнi спiввiдношення локально-градiєнтної термомеханiки // Доп. НАН України.
Сер. А. – 1987. – № 12. – С. 19–23.
7. Бурак Я.Й., Нагiрний Т.С., Грицина О. Р. Про один пiдхiд до врахування приповерхневої неодно-
рiдностi в термомеханiцi твердих розчинiв // Там же. – 1991. – № 11. – С. 47–51.
Надiйшло до редакцiї 17.07.2006Центр математичного моделювання
Iнституту прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
УДК 539.3
© 2007
В. I. Гуляєв, П. З. Луговий, I. В. Горбунович
Вiльнi коливання бурильних колон, що обертаються
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
The mathematical models are proposed for the simulation of vibrations of rotating deep drill
columns. The factors of their prestressing by gravity forces and torques, the gyroscopic interacti-
on of rotary and linear motions, and a destabilizing effect of the internal flow of a washing
liquid are taken into consideration. The essential “numerical rigidity” of the constructed equati-
ons is found. A technique for their solution in large segments of the column length is elaborated,
and a software is created. The phenomena and effects accompanying the processes of drilling
in large depths are discussed.
1. Освоєння технiки та технологiї бурiння глибоких нафтових i газових свердловин є однiєю
з найбiльш важливих задач сучасного гiрського виробництва. Домiнуюче положення в цiй
технологiї займає роторний спосiб. Пiдвищення ефективностi бурiння глибоких свердловин
таким способом тiсно пов’язано з проблемою виявлення критичних режимiв функцiонуван-
ня бурильних колон (БК) i з розробкою заходiв для зниження їх негативного впливу на
технологiчний процес. Такi режими можуть супроводжуватися ефектами бiфуркацiйного
випинання колон i iнтенсифiкацiєю їх вiбрацiй у випадках рiвностi частот власних коливань
колони та кутової швидкостi її обертання. При цьому важливим виявляється не тiльки вста-
новлення критичних швидкостей обертання колони, але також i визначення форм її згинан-
ня, що дозволяє знаходити зони контактної взаємодiї труби колони зi стiнкою свердловини
й обчислювати реакцiї цих взаємодiй.
У той же час виявлення параметрiв процесу бурiння, при яких реалiзуються критичнi
стани, може бути здiйснено методами математичного моделювання, хоча спроби практично-
го проведення математичних експериментiв з моделювання критичних станiв БК пов’язанi
зi значними обчислювальними труднощами. Вони зумовленi особливостями спiввiдношень
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007, №3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1655 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T12:58:43Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бурак, Я.Й. Кондрат, В.Ф. Грицина, О.Р. 2008-09-01T14:27:59Z 2008-09-01T14:27:59Z 2007 Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси / Я.Й. Бурак, В.Ф. Кондрат, О.Р. Грицина // Доп. НАН України. — 2007. — N 3. — С. 59-64. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1655 539.3 With the use of the methods of mechanics of solids and nonequilibrium thermodynamics, the mechanothermodiffusion model of isotropic n-component solid solution is proposed taking into account the local displacement of a mass. It is shown that this approach results in expanding the state parameters space, redefining the stress tensor, and the occurrence of additional volume forces. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси Article published earlier |
| spellingShingle | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси Бурак, Я.Й. Кондрат, В.Ф. Грицина, О.Р. Механіка |
| title | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| title_full | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| title_fullStr | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| title_short | Математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| title_sort | математичне моделювання механотермодифузійних процесів у твердих розчинах при врахуванні локального зміщення маси |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1655 |
| work_keys_str_mv | AT burakâi matematičnemodelûvannâmehanotermodifuzíinihprocesívutverdihrozčinahprivrahuvannílokalʹnogozmíŝennâmasi AT kondratvf matematičnemodelûvannâmehanotermodifuzíinihprocesívutverdihrozčinahprivrahuvannílokalʹnogozmíŝennâmasi AT gricinaor matematičnemodelûvannâmehanotermodifuzíinihprocesívutverdihrozčinahprivrahuvannílokalʹnogozmíŝennâmasi |