О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях

Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний енд...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Український математичний журнал
Date:2015
Main Author: Кузаконь, В.М.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут математики НАН України 2015
Subjects:
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860252650485841920
author Кузаконь, В.М.
author_facet Кузаконь, В.М.
citation_txt О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Український математичний журнал
description Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний ендоморфізм наближено келерової структури тоді і тільки тоді, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крім того, доведено, що на квазікелеровому або ермітовому многовиді біголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем. We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds. It is shown that any developable vector field on a K¨ahlerian manifold is an absolutely developable vector field. It is also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field.
first_indexed 2025-12-07T18:45:23Z
format Article
fulltext К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я УДК 517.5 В. М. Кузаконь (Одес. нац. акад. пищ. технологий) О ГОЛОМОРФНОСТИ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds. It is shown that, on a Kählerian manifold, any developable vector field is an absolutely developable vector field. It is also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field. Введено поняття абсолютно торсотвiрного та бiголоморфного векторних полiв на майже ермiтовому многовидi. Доведено, що будь-яке торсотвiрне векторне поле на келеровому многовидi є абсолютно торсотвiрним i абсолютно торсотвiрне векторне поле ξ на наближено келеровому многовидi зберiгає структурний ендоморфiзм наближено келерової структури тодi i тiльки тодi, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крiм того, доведено, що на квазiкелеровому або ермiтовому многовидi бiголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем. Нахождение условий инвариантности геометрических объектов относительно действия той или иной группы преобразований является одной из наиболее актуальных задач геометрического исследования. В работе [1] доказано, что торсообразующее векторное поле ξ на келеровом многообразии сохраняет структурный эндоморфизм келеровой структуры тогда и только тогда, когда ξ — спецконциркулярное векторное поле. В настоящей работе продолжено развитие этой проблематики. Введено понятие абсолютно торсообразующего векторного поля на почти эрмитовом многообразии. Показано, что любое торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии является абсолютно торсообразу- ющим. Доказано, что абсолютно торсообразующее векторное поле ξ на приближенно келеровом многообразии сохраняет структурный эндоморфизм приближенно келеровой структуры тогда и только тогда, когда ξ — спецконциркулярное векторное поле. Более того, доказано, что если это многообразие квазикелерово либо эрмитово, то векторное поле ξ является спецконциркулярным векторным полем. Пусть M — n-мерное гладкое многообразие, X(M) — C∞(M)-модуль гладких векторных полей на M, d — оператор внешнего дифференцирования, LX — оператор дифференцирова- ния Ли в направлении векторного поля X. Все многообразия, тензорные поля и т. п. объекты предполагаются гладкими класса C∞. Фиксируем векторное поле ξ ∈ X(M). Известно, что оно порождает локальную однопара- метрическую группу диффеоморфизмов Ft многообразия M. Рассмотрим дифференциально- геометрическую структуру S = {T1, . . . , TN } на M, определенную конечным числом тензор- ных полей на M. Примерами таких структур являются римановы структуры (N = 1), почти эрмитовы структуры (N = 2), почти контактные структуры (N = 3) и т. п. Определение 1. Структура S называется ξ-инвариантной, если каждый из тензоров, составляющих ее, инвариантен относительно операций увлечения, порожденных элементами локальной однопараметрической группы Ft. c© В. М. КУЗАКОНЬ, 2015 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 427 428 В. М. КУЗАКОНЬ Справедлива следующая лемма. Лемма [2]. Cтруктура S ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда Lξ(Tk) = 0, k = 1, . . . , N. Пример [2]. Риманова структура g = 〈 ·, · 〉 ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда ξ — векторное поле Киллинга, т. е. 〈∇Xξ, Y 〉+ 〈∇Y ξ,X〉 = 0, X, Y ∈ X(M), где ∇ — оператор Кошуля римановой связности метрики g. Определение 2 [2]. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется торсообразующим, если ∇ξ = ρid + a⊗ ξ, и псевдоторсообразующим, если ∇ξ = ρJ + a ⊗ ξ, для некоторых ρ ∈ C∞(M) и a ∈ X∗(M). Дифференциальную 1-форму a и функцию ρ назовем характеристическими. Торсообразующее векторное поле называется конциркулярным, если da = 0, и спецконциркулярным, если a = 0. Пусть S = {g, J} — почти эрмитова (сокращенно AH-) структура на M, J2 = −id, 〈JX, JY 〉 = 〈X,Y 〉 (эндоморфизм J называется почти комплексной структурой). Рассмотрим шесть наиболее изученных подклассов класса почти эрмитовых структур вмес- те с условиями, определяющими их [3]: почти келеровы (AK): dΩ = 0; приближенно келеровы (NK): ∇X(J)Y +∇Y (J)X = 0; квазикелеровы (QK): ∇X(J)Y +∇JX(J)(JY ) = 0; эрмитовы (H): ∇X(J)Y −∇JX(J)(JY ) = 0; келеровы (K): ∇J = 0; локально конформно келеровы (LCK-многообразия). Имеют место следующие включения [3]: K ⊂ AK ⊂ QK, K ⊂ NK ⊂ QK, K ⊂ LCK ⊂ H. (1) Определение 3. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии (M,J, g) назовем абсолютным, если векторное поле Jξ псевдоторсообразующее. Теорема 1. Торсообразующее векторное поле ξ ∈ X(M) будет абсолютно торсообра- зующим тогда и только тогда, когда ∇X(J)ξ = 0 (X ∈ X(M)). (2) Доказательство. Пусть ξ — абсолютно торсообразующее векторное поле на почти эрми- товом многообразии (M,J, g). Введем обозначение Jξ = η. Тогда ∇Xη = ∇X(Jξ) = ∇X(J)ξ + J(∇Xξ) = ∇X(J)ξ + J(a(X)ξ + ρX) = = ∇X(J)ξ + a(X)(Jξ) + (ρ · J)X = ∇X(J)ξ + a(X)η + (ρ · J)X. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 О ГОЛОМОРФНОСТИ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ . . . 429 Отсюда видно, что если выполняется соотношение (2), то η — псевдоторсообразующее век- торное поле с параметрами ã = a, ρ̃ = ρ · J. Следовательно, векторное поле ξ абсолютно торсообразующее. Обратно, пусть η — псевдоторсообразующее векторное поле с параметрами ã = a, ρ̃ = ρ ·J. Учитывая, что J−1 = −J, получаем ∇Xξ = −∇X(Jη) = −∇X(J)η − J(∇Xη) = −∇X(J)η − J(ã(X)η + ρ̃X) = = −∇X(J)η − ã(X)(Jη)− (ρ̃ · J)X = −∇X(J)η + a(X)ξ + ρX. Поскольку ξ — торсообразующее векторное поле, отсюда следует, что 0 = ∇X(J)η = = ∇X(J)Jξ = −J∇X(J)ξ и, значит, ∇X(J)ξ = 0. Теорема 1 доказана. Следствие 1. Любое торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии явля- ется абсолютно торсообразующим. Определение 4. Векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M называется го- ломорфным, если эндоморфизм J ξ-инвариантен, и биголоморфным, если, кроме того, он (Jξ)-инвариантен. Теорема 2 [1]. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M голоморфно тогда и только тогда, когда ∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ, X ∈ X(M). (3) Теорема 3. Абсолютно торсообразующее векторное поле на приближенно келеровом мно- гообразии голоморфно тогда и только тогда, когда оно спецконциркулярно. Доказательство. Пусть ξ — голоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на приближенно келеровом многообразии M. Поскольку ξ — голоморфное векторное поле, в силу теоремы 2 справедливо тождество (3). Поскольку ξ — абсолютно торсообразующее векторное поле, из теоремы 1 следует, что ∇X(J)ξ = 0 (X ∈ X(M)). (4) Наконец, из того, что многообразиеM приближенно келерово, следует, что∇X(J)ξ+∇ξ(J)X = = 0. С учетом этого обстоятельства, почленно складывая (3) и (4), получаем a(JX)ξ − a(X)Jξ = 0, X ∈ X(M). (5) В силу линейной независимости векторных полей ξ, Jξ и произвола в выборе X получаем, что a = 0, а значит, векторное поле ξ спецконциркулярно. Обратно, пусть ξ — абсолютно торсообразующее спецконциркулярное векторное поле на приближенно келеровом многообразии M. Поскольку оно абсолютно торсообразующее, то по теореме 4 ∇X(J)ξ = 0 и в силу приближенной келеровости многообразия ∇ξ(J)X = 0. В силу спецконциркулярности векторного поля ξ a = 0. Осталось заметить, что в силу этих соотношений уравнение (3) выполняется тождественно, а значит, векторное поле ξ голоморфно. Теорема 3 доказана. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 430 В. М. КУЗАКОНЬ Теорема 4. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на квазикелеро- вом многообразии спецконциркулярно. Доказательство. Пусть ξ — биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное по- ле на квазикелеровом многоообразии {M,J, g }. Вследствие его голоморфности ∇ξ(J)X = = a(JX)ξ − a(X)Jξ. Поскольку ξ — биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле, векторное поле η = Jξ голоморфное абсолютно торсообразующее и, значит, удовлетво- ряет тому же уравнению, записанному в виде ∇Jξ(J)X = −a(X)ξ + a(JX)Jξ. Заменив в этом уравнении X на JX, придем к системе уравнений ∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ, ∇Jξ(J)JX = −a(JX)ξ − a(X)Jξ. Складывая почленно эти уравнения, с учетом квазикелеровости многообразия находим, что a = 0, а значит, векторное поле ξ спецконциркулярно. Теорема 4 доказана. Аналогично доказывается следующая теорема. Теорема 5. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на эрмитовом многообразии спецконциркулярно. С учетом теорем 4 и 5, а также включений (1) получаем такие утверждения. Следствие 2. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на почти ке- леровом многообразии спецконциркулярно. Следствие 3. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на локально конформно келеровом многообразии спецконциркулярно. 1. Кириченко В. Ф., Кузаконь В. М. О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 7. – C. 1005 – 1008. 2. Аминова А. В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. – М.: Янус-К, 2003. – 619 c. 3. Gray A., Hervella. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pure and Appl. – 1980. – 123. – P. 35 – 58. Получено 14.05.14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165503
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1027-3190
language Russian
last_indexed 2025-12-07T18:45:23Z
publishDate 2015
publisher Інститут математики НАН України
record_format dspace
spelling Кузаконь, В.М.
2020-02-13T17:55:37Z
2020-02-13T17:55:37Z
2015
О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503
517.5
Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний ендоморфізм наближено келерової структури тоді і тільки тоді, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крім того, доведено, що на квазікелеровому або ермітовому многовиді біголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем.
We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds. It is shown that any developable vector field on a K¨ahlerian manifold is an absolutely developable vector field. It is also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field.
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Короткі повідомлення
О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
On the Holomorphy of Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds
Article
published earlier
spellingShingle О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
Кузаконь, В.М.
Короткі повідомлення
title О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
title_alt On the Holomorphy of Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds
title_full О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
title_fullStr О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
title_full_unstemmed О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
title_short О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
title_sort о голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
topic Короткі повідомлення
topic_facet Короткі повідомлення
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503
work_keys_str_mv AT kuzakonʹvm ogolomorfnostitorsoobrazuûŝihvektornyhpoleinapočtiérmitovyhmnogoobraziâh
AT kuzakonʹvm ontheholomorphyofdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds