О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях
Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний енд...
Saved in:
| Published in: | Український математичний журнал |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860252650485841920 |
|---|---|
| author | Кузаконь, В.М. |
| author_facet | Кузаконь, В.М. |
| citation_txt | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний журнал |
| description | Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний ендоморфізм наближено келерової структури тоді і тільки тоді, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крім того, доведено, що на квазікелеровому або ермітовому многовиді біголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем.
We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds. It is shown that any developable vector field on a K¨ahlerian manifold is an absolutely developable vector field. It is also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:45:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. М. Кузаконь (Одес. нац. акад. пищ. технологий)
О ГОЛОМОРФНОСТИ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
НА ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds.
It is shown that, on a Kählerian manifold, any developable vector field is an absolutely developable vector field. It is
also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex
structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or
Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field.
Введено поняття абсолютно торсотвiрного та бiголоморфного векторних полiв на майже ермiтовому многовидi.
Доведено, що будь-яке торсотвiрне векторне поле на келеровому многовидi є абсолютно торсотвiрним i абсолютно
торсотвiрне векторне поле ξ на наближено келеровому многовидi зберiгає структурний ендоморфiзм наближено
келерової структури тодi i тiльки тодi, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крiм того, доведено, що на
квазiкелеровому або ермiтовому многовидi бiголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем.
Нахождение условий инвариантности геометрических объектов относительно действия той или
иной группы преобразований является одной из наиболее актуальных задач геометрического
исследования. В работе [1] доказано, что торсообразующее векторное поле ξ на келеровом
многообразии сохраняет структурный эндоморфизм келеровой структуры тогда и только тогда,
когда ξ — спецконциркулярное векторное поле.
В настоящей работе продолжено развитие этой проблематики. Введено понятие абсолютно
торсообразующего векторного поля на почти эрмитовом многообразии. Показано, что любое
торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии является абсолютно торсообразу-
ющим. Доказано, что абсолютно торсообразующее векторное поле ξ на приближенно келеровом
многообразии сохраняет структурный эндоморфизм приближенно келеровой структуры тогда и
только тогда, когда ξ — спецконциркулярное векторное поле. Более того, доказано, что если это
многообразие квазикелерово либо эрмитово, то векторное поле ξ является спецконциркулярным
векторным полем.
Пусть M — n-мерное гладкое многообразие, X(M) — C∞(M)-модуль гладких векторных
полей на M, d — оператор внешнего дифференцирования, LX — оператор дифференцирова-
ния Ли в направлении векторного поля X. Все многообразия, тензорные поля и т. п. объекты
предполагаются гладкими класса C∞.
Фиксируем векторное поле ξ ∈ X(M). Известно, что оно порождает локальную однопара-
метрическую группу диффеоморфизмов Ft многообразия M. Рассмотрим дифференциально-
геометрическую структуру S = {T1, . . . , TN } на M, определенную конечным числом тензор-
ных полей на M. Примерами таких структур являются римановы структуры (N = 1), почти
эрмитовы структуры (N = 2), почти контактные структуры (N = 3) и т. п.
Определение 1. Структура S называется ξ-инвариантной, если каждый из тензоров,
составляющих ее, инвариантен относительно операций увлечения, порожденных элементами
локальной однопараметрической группы Ft.
c© В. М. КУЗАКОНЬ, 2015
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3 427
428 В. М. КУЗАКОНЬ
Справедлива следующая лемма.
Лемма [2]. Cтруктура S ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда
Lξ(Tk) = 0, k = 1, . . . , N.
Пример [2]. Риманова структура g = 〈 ·, · 〉 ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда ξ —
векторное поле Киллинга, т. е.
〈∇Xξ, Y 〉+ 〈∇Y ξ,X〉 = 0, X, Y ∈ X(M),
где ∇ — оператор Кошуля римановой связности метрики g.
Определение 2 [2]. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется торсообразующим, если
∇ξ = ρid + a⊗ ξ,
и псевдоторсообразующим, если ∇ξ = ρJ + a ⊗ ξ, для некоторых ρ ∈ C∞(M) и a ∈ X∗(M).
Дифференциальную 1-форму a и функцию ρ назовем характеристическими. Торсообразующее
векторное поле называется конциркулярным, если da = 0, и спецконциркулярным, если a = 0.
Пусть S = {g, J} — почти эрмитова (сокращенно AH-) структура на M, J2 = −id,
〈JX, JY 〉 = 〈X,Y 〉 (эндоморфизм J называется почти комплексной структурой).
Рассмотрим шесть наиболее изученных подклассов класса почти эрмитовых структур вмес-
те с условиями, определяющими их [3]:
почти келеровы (AK): dΩ = 0;
приближенно келеровы (NK): ∇X(J)Y +∇Y (J)X = 0;
квазикелеровы (QK): ∇X(J)Y +∇JX(J)(JY ) = 0;
эрмитовы (H): ∇X(J)Y −∇JX(J)(JY ) = 0;
келеровы (K): ∇J = 0;
локально конформно келеровы (LCK-многообразия).
Имеют место следующие включения [3]:
K ⊂ AK ⊂ QK, K ⊂ NK ⊂ QK, K ⊂ LCK ⊂ H. (1)
Определение 3. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии
(M,J, g) назовем абсолютным, если векторное поле Jξ псевдоторсообразующее.
Теорема 1. Торсообразующее векторное поле ξ ∈ X(M) будет абсолютно торсообра-
зующим тогда и только тогда, когда
∇X(J)ξ = 0 (X ∈ X(M)). (2)
Доказательство. Пусть ξ — абсолютно торсообразующее векторное поле на почти эрми-
товом многообразии (M,J, g). Введем обозначение Jξ = η. Тогда
∇Xη = ∇X(Jξ) = ∇X(J)ξ + J(∇Xξ) = ∇X(J)ξ + J(a(X)ξ + ρX) =
= ∇X(J)ξ + a(X)(Jξ) + (ρ · J)X = ∇X(J)ξ + a(X)η + (ρ · J)X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
О ГОЛОМОРФНОСТИ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ . . . 429
Отсюда видно, что если выполняется соотношение (2), то η — псевдоторсообразующее век-
торное поле с параметрами ã = a, ρ̃ = ρ · J. Следовательно, векторное поле ξ абсолютно
торсообразующее.
Обратно, пусть η — псевдоторсообразующее векторное поле с параметрами ã = a, ρ̃ = ρ ·J.
Учитывая, что J−1 = −J, получаем
∇Xξ = −∇X(Jη) = −∇X(J)η − J(∇Xη) = −∇X(J)η − J(ã(X)η + ρ̃X) =
= −∇X(J)η − ã(X)(Jη)− (ρ̃ · J)X = −∇X(J)η + a(X)ξ + ρX.
Поскольку ξ — торсообразующее векторное поле, отсюда следует, что 0 = ∇X(J)η =
= ∇X(J)Jξ = −J∇X(J)ξ и, значит, ∇X(J)ξ = 0.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Любое торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии явля-
ется абсолютно торсообразующим.
Определение 4. Векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M называется го-
ломорфным, если эндоморфизм J ξ-инвариантен, и биголоморфным, если, кроме того, он
(Jξ)-инвариантен.
Теорема 2 [1]. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M
голоморфно тогда и только тогда, когда
∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ, X ∈ X(M). (3)
Теорема 3. Абсолютно торсообразующее векторное поле на приближенно келеровом мно-
гообразии голоморфно тогда и только тогда, когда оно спецконциркулярно.
Доказательство. Пусть ξ — голоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на
приближенно келеровом многообразии M. Поскольку ξ — голоморфное векторное поле, в силу
теоремы 2 справедливо тождество (3). Поскольку ξ — абсолютно торсообразующее векторное
поле, из теоремы 1 следует, что
∇X(J)ξ = 0 (X ∈ X(M)). (4)
Наконец, из того, что многообразиеM приближенно келерово, следует, что∇X(J)ξ+∇ξ(J)X =
= 0. С учетом этого обстоятельства, почленно складывая (3) и (4), получаем
a(JX)ξ − a(X)Jξ = 0, X ∈ X(M). (5)
В силу линейной независимости векторных полей ξ, Jξ и произвола в выборе X получаем, что
a = 0, а значит, векторное поле ξ спецконциркулярно.
Обратно, пусть ξ — абсолютно торсообразующее спецконциркулярное векторное поле на
приближенно келеровом многообразии M. Поскольку оно абсолютно торсообразующее, то
по теореме 4 ∇X(J)ξ = 0 и в силу приближенной келеровости многообразия ∇ξ(J)X = 0.
В силу спецконциркулярности векторного поля ξ a = 0. Осталось заметить, что в силу этих
соотношений уравнение (3) выполняется тождественно, а значит, векторное поле ξ голоморфно.
Теорема 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
430 В. М. КУЗАКОНЬ
Теорема 4. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на квазикелеро-
вом многообразии спецконциркулярно.
Доказательство. Пусть ξ — биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное по-
ле на квазикелеровом многоообразии {M,J, g }. Вследствие его голоморфности ∇ξ(J)X =
= a(JX)ξ − a(X)Jξ. Поскольку ξ — биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное
поле, векторное поле η = Jξ голоморфное абсолютно торсообразующее и, значит, удовлетво-
ряет тому же уравнению, записанному в виде
∇Jξ(J)X = −a(X)ξ + a(JX)Jξ.
Заменив в этом уравнении X на JX, придем к системе уравнений
∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ,
∇Jξ(J)JX = −a(JX)ξ − a(X)Jξ.
Складывая почленно эти уравнения, с учетом квазикелеровости многообразия находим, что
a = 0, а значит, векторное поле ξ спецконциркулярно.
Теорема 4 доказана.
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 5. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на эрмитовом
многообразии спецконциркулярно.
С учетом теорем 4 и 5, а также включений (1) получаем такие утверждения.
Следствие 2. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на почти ке-
леровом многообразии спецконциркулярно.
Следствие 3. Биголоморфное абсолютно торсообразующее векторное поле на локально
конформно келеровом многообразии спецконциркулярно.
1. Кириченко В. Ф., Кузаконь В. М. О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти
эрмитовых многообразиях // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 7. – C. 1005 – 1008.
2. Аминова А. В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. – М.: Янус-К, 2003. – 619 c.
3. Gray A., Hervella. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pure
and Appl. – 1980. – 123. – P. 35 – 58.
Получено 14.05.14
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2015, т. 67, № 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165503 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1027-3190 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:45:23Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузаконь, В.М. 2020-02-13T17:55:37Z 2020-02-13T17:55:37Z 2015 О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях / В.М. Кузаконь // Український математичний журнал. — 2015. — Т. 67, № 3. — С. 427–430. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503 517.5 Введено поняття абсолютно тopcoтвipного та біголоморфного векторних полів на майже ермітовому многовиді. Доведено, що будь-яке торсотвірне векторне поле на келеровому многовиді є абсолютно торсотвірним і абсолютно торсотвірне векторне поле ξ на наближено келеровому многовиді зберігає структурний ендоморфізм наближено келерової структури тоді і тільки тоді, коли ξ — спецконциркулярне векторне поле. Крім того, доведено, що на квазікелеровому або ермітовому многовиді біголоморфне векторне поле ξ є спецконциркулярним векторним полем. We introduce the notion of absolutely developable and biholomorphic vector fields defined on almost Hermitian manifolds. It is shown that any developable vector field on a K¨ahlerian manifold is an absolutely developable vector field. It is also proved that, on a nearly Kählerian manifold, an absolutely developable vector field ξ preserves the almost complex structure if and only if ξ is a special concircular vector field. In addition, we conclude that, on a quasi-Kählerian or Hermitian manifold, a biholomorphic vector field ξ is a special concircular vector field. ru Інститут математики НАН України Український математичний журнал Короткі повідомлення О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях On the Holomorphy of Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds Article published earlier |
| spellingShingle | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях Кузаконь, В.М. Короткі повідомлення |
| title | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_alt | On the Holomorphy of Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_full | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_fullStr | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_full_unstemmed | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_short | О голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_sort | о голоморфности торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях |
| topic | Короткі повідомлення |
| topic_facet | Короткі повідомлення |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165503 |
| work_keys_str_mv | AT kuzakonʹvm ogolomorfnostitorsoobrazuûŝihvektornyhpoleinapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kuzakonʹvm ontheholomorphyofdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds |