О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью

О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью

Розглядається задача Діріхле для класу нелінійних дивергентних рівнянь четвертого порядку, що характеризуються умовою підсиленої еліптичності на коефіцієнти. Основний результат роботи показує, як саме підвищується сумовність узагальнених розв'язків даної задачі в залежності від зміни показника...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Український математичний журнал
Дата:2006
Автори: Ковалевский, А.А., Войтович, М.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут математики НАН України 2006
Теми:
Статті
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165531
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью / М.В. Войтович, А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1511–1524. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165531
record_format dspace
spelling Ковалевский, А.А.
Войтович, М.В.
2020-02-14T08:27:11Z
2020-02-14T08:27:11Z
2006
О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью / М.В. Войтович, А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1511–1524. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165531
517.9
Розглядається задача Діріхле для класу нелінійних дивергентних рівнянь четвертого порядку, що характеризуються умовою підсиленої еліптичності на коефіцієнти. Основний результат роботи показує, як саме підвищується сумовність узагальнених розв'язків даної задачі в залежності від зміни показника сумовності правої частини рівняння, починаючи з деякого критичного значення. При цьому уточнюється показник сумовності, що забезпечує обмеженість розв'язків.
We consider the Dirichlet problem for a class of nonlinear divergent equations of the fourth order characterized by the condition of strengthened ellipticity imposed on their coefficients. The main result of the present paper shows how the summability of generalized solutions of the given problem improves, depending on the variation in the exponent of summability of the right-hand side of the equation beginning with a certain critical value. The exponent of summability that guarantees the boundedness of solutions is determined more exactly.
Выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (проект №01.07/00252)
ru
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
On the improvement of summability of generalized solutions of the Dirichlet problem for nonlinear equations of the fourth order with strengthened ellipticity
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
spellingShingle О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
Ковалевский, А.А.
Войтович, М.В.
Статті
title_short О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
title_full О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
title_fullStr О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
title_full_unstemmed О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
title_sort о повышении суммируемости обобщенных решений задачи дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью
author Ковалевский, А.А.
Войтович, М.В.
author_facet Ковалевский, А.А.
Войтович, М.В.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2006
language Russian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt On the improvement of summability of generalized solutions of the Dirichlet problem for nonlinear equations of the fourth order with strengthened ellipticity
description Розглядається задача Діріхле для класу нелінійних дивергентних рівнянь четвертого порядку, що характеризуються умовою підсиленої еліптичності на коефіцієнти. Основний результат роботи показує, як саме підвищується сумовність узагальнених розв'язків даної задачі в залежності від зміни показника сумовності правої частини рівняння, починаючи з деякого критичного значення. При цьому уточнюється показник сумовності, що забезпечує обмеженість розв'язків. We consider the Dirichlet problem for a class of nonlinear divergent equations of the fourth order characterized by the condition of strengthened ellipticity imposed on their coefficients. The main result of the present paper shows how the summability of generalized solutions of the given problem improves, depending on the variation in the exponent of summability of the right-hand side of the equation beginning with a certain critical value. The exponent of summability that guarantees the boundedness of solutions is determined more exactly.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165531
citation_txt О повышении суммируемости обобщенных решений задачи Дирихле для нелинейных уравнений четвертого порядка с усиленной эллиптичностью / М.В. Войтович, А.А. Ковалевский // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1511–1524. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kovalevskiiaa opovyšeniisummiruemostiobobŝennyhrešeniizadačidirihledlânelineinyhuravneniičetvertogoporâdkasusilennoiélliptičnostʹû
AT voitovičmv opovyšeniisummiruemostiobobŝennyhrešeniizadačidirihledlânelineinyhuravneniičetvertogoporâdkasusilennoiélliptičnostʹû
AT kovalevskiiaa ontheimprovementofsummabilityofgeneralizedsolutionsofthedirichletproblemfornonlinearequationsofthefourthorderwithstrengthenedellipticity
AT voitovičmv ontheimprovementofsummabilityofgeneralizedsolutionsofthedirichletproblemfornonlinearequationsofthefourthorderwithstrengthenedellipticity
first_indexed 2025-11-25T07:26:44Z
last_indexed 2025-11-25T07:26:44Z
_version_ 1850510289009639424
fulltext UDK 517.9 A. A. Kovalevskyj, M. V. Vojtovyç (Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck) O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ ZADAÇY DYRYXLE DLQ NELYNEJNÁX URAVNENYJ ÇETVERTOHO PORQDKA S USYLENNOJ ∏LLYPTYÇNOST|G ∗∗∗∗ We consider the Dirichlet problem for a class of nonlinear fourth-order equations in divergence form characterized by a strengthened ellipticity condition on coefficients. The main result of the article shows how the summability of generalized solutions of the given problem improves in dependence on the change of the exponent of summability of the right-hand side of the given equation beginning with a critical value. At the same time, we define more precisely the exponent of summability that guarantees the boundedness of solutions. Rozhlqda[t\sq zadaça Dirixle dlq klasu nelinijnyx dyverhentnyx rivnqn\ çetvertoho porqdku, wo xarakteryzugt\sq umovog pidsyleno] eliptyçnosti na koefici[nty. Osnovnyj rezul\tat ro- boty pokazu[, qk same pidvywu[t\sq sumovnist\ uzahal\nenyx rozv’qzkiv dano] zadaçi v zaleΩnos- ti vid zminy pokaznyka sumovnosti pravo] çastyny rivnqnnq, poçynagçy z deqkoho krytyçnoho znaçennq. Pry c\omu utoçng[t\sq pokaznyk sumovnosti, wo zabezpeçu[ obmeΩenist\ rozv’qzkiv. 1. Vvedenye y formulyrovka osnovnoho rezul\tata. V nastoqwej rabote rassmatryvaetsq zadaça Dyryxle dlq nelynejn¥x uravnenyj çetvertoho porqd- ka, koπffycyent¥ kotor¥x udovletvorqgt uslovyg usylennoj πllyptyçnos- ty. Klass¥ uravnenyj v¥sokoho porqdka s takym uslovyem na koπffycyent¥ y dostatoçno rehulqrn¥my dann¥my b¥ly vveden¥ Y. V. Skr¥pnykom v [1]. Kak pokazano v stat\e [1], vse obobwenn¥e reßenyq uravnenyj v¥delenn¥x klassov neperer¥vn¥ po Hel\deru y, v çastnosty, ohranyçen¥. Uravnenyq v¥sokyx porqdkov s usylennoj πllyptyçnost\g y L1-dann¥my (ne uklad¥vagwymysq v ob¥çn¥e ramky teoryy monotonn¥x operatorov [2]) vperv¥e b¥ly yssledovan¥ v [3 – 5]. V πtyx rabotax na osnove razvytyq podxoda, predloΩennoho v [6], dlq sootvetstvugwej zadaçy Dyryxle poluçen¥ rezul\tat¥ o suwestvovanyy y svojstvax summyruemosty πntropyjn¥x y W-reßenyj, qvlqgwyxsq bolee sla- b¥my, çem obobwenn¥e reßenyq. V sluçae prav¥x çastej uravnenyj yz pro- stranstv, blyzkyx k L1 (t. e. yz Lm s m , bol\ßym edynyc¥ y men\ßym nekoto- roho m0 ) , svojstva summyruemosty πntropyjn¥x y W-reßenyj toj Ωe zadaçy, çto v [3, 4] y dannoj stat\e, opysan¥ v [7]. Dal\nejßee uvelyçenye summyrue- mosty prav¥x çastej rassmatryvaem¥x uravnenyj v ßkale prostranstv Lebeha pryvodyt k obobwenn¥m reßenyqm. Osnovnoj rezul\tat nastoqwej rabot¥ po- kaz¥vaet kak ymenno pov¥ßaetsq summyruemost\ obobwenn¥x reßenyj zadaçy Dyryxle v zavysymosty ot yzmenenyq pokazatelq summyruemosty pravoj çasty uravnenyq v yntervale ( , )m0 +∞ . Pry πtom poluçeno bolee slaboe po sravne- nyg s [1] uslovye na pokazatel\ summyruemosty pravoj çasty, obespeçyvagwee ohranyçennost\ reßenyj. Perejdem k podrobnomu opysanyg rassmatryvaemoj zadaçy y ustanovlennoho rezul\tata. Pust\ n ∈ N, n > 2, Ω — ohranyçennoe otkr¥toe mnoΩestvo v R n. Çerez Λ oboznaçym mnoΩestvo vsex n-mern¥x mul\tyyndeksov α takyx, çto α = 1 yly α = 2. Budem yspol\zovat\ ewe takye oboznaçenyq: R n,2 — prostranst- vo vsex otobraΩenyj ξ : Λ → R; esly u W∈ 2 1, ( )Ω , to ∇ →2 2u n: ,Ω R , pry- çem dlq lgb¥x x ∈ Ω y α ∈ Λ ymeem ( )( ) ( )∇ =2u x D u xα α . ∗ V¥polnena pry podderΩke Hosudarstvennoho fonda fundamental\n¥x yssledovanyj Ukrayn¥ (proekt # 01.07/00252). © A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ, 2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1511 1512 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ Pust\ p n∈( , )/1 2 y q p n∈( , )2 . Çerez W p q 2 1 , , ( )Ω oboznaçym mnoΩestvo vsex funkcyj u W q∈ 1, ( )Ω , ymegwyx obobwenn¥e proyzvodn¥e vtoroho porqdka yz Lp( )Ω . MnoΩestvo W p q 2 1 , , ( )Ω est\ banaxovo prostranstvo s normoj u = u D u dxW p p q1 2 1 , ( ) / Ω Ω +       = ∑ ∫ α α . Çerez � W p q 2 1 , , ( )Ω oboznaçym zam¥kanye mnoΩestva C0 ∞( )Ω v W p q 2 1 , , ( )Ω . PoloΩym q∗ = nq n q− . Kak yzvestno (sm., naprymer, [8], hl.H7), � W q1, ( )Ω ⊂ Lq∗( )Ω , (1) y suwestvuet poloΩytel\naq postoqnnaq c, zavysqwaq tol\ko ot n y q, ta- kaq, çto dlq lgboj funkcyy u ∈ � W q1, ( )Ω Ω ∫ ∗ ∗     u dxq q1/ ≤ c D u dx q q α α = ∑ ∫       1 1 Ω / . (2) Dalee, pust\ c c c1 2 3 0, , > , g g g1 2 3, , — neotrycatel\n¥e summyruem¥e funkcyy na Ω y dlq lgboho α ∈ Λ A n α : ,Ω × →R R 2 — funkcyq Karateo- dory. Budem predpolahat\, çto dlq poçty vsex x ∈ Ω y lgb¥x ξ ∈R n,2 v¥pol- nqgtsq neravenstva α α ξ = −∑ 1 1A x q q( , ) /( ) ≤ c g xq p 1 1 2 1 α α α αξ ξ = = ∑ ∑+         + ( ), (3) α α ξ = −∑ 2 1A x p p( , ) /( ) ≤ c g xq p 2 1 2 2 α α α αξ ξ = = ∑ ∑+         + ( ), (4) α α αξ ξ ∈ ∑ Λ A x( , ) ≥ c g xq p 3 1 2 3 α α α αξ ξ = = ∑ ∑+         − ( ). (5) Pust\ f ∈ L q q∗ ∗−/( )( )1 Ω . (6) Rassmotrym sledugwug zadaçu Dyryxle: α α α α ∈ ∑ − ∇ Λ ( ) ( , )1 2D A x u = f v Ω , (7) D uα = 0, α = 0 , 1, na ∂Ω . (8) Zametym, çto v sylu neravenstv (3) y (4) dlq lgb¥x funkcyj u, v ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω y α ∈ Λ funkcyq A x u Dα α( , )∇2 v summyruema na Ω . Krome toho, yz (1) y (6) sleduet, çto dlq lgboj funkcyy v ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω funkcyq f v summyruema na Ω . Opredelenye. Obobwenn¥m reßenyem zadaçy (7), (8) budem naz¥vat\ funkcyg u ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω takug, çto dlq lgboj funkcyy v ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1513 Ω Λ ∫ ∑ ∈ ∇        α α αA x u D dx( , )2 v = f dx Ω ∫ v . (9) Zametym, çto esly dopolnytel\no k sdelann¥m predpoloΩenyqm otnosy- tel\no koπffycyentov y pravoj çasty uravnenyq (7) dlq poçty vsex x ∈ Ω y lgb¥x ξ ξ, ,′ ∈R n 2 ymeet mesto neravenstvo α α α α αξ ξ ξ ξ ∈ ∑ − ′[ ] − ′ Λ A x A x( , ) ,( ) ( ) ≥ 0, to obobwennoe reßenye zadaçy (7), (8) suwestvuet. ∏to sleduet yz yzvestn¥x rezul\tatov teoryy monotonn¥x operatorov (sm., naprymer, [2], hl.H2). V sylu (1) lgboe obobwennoe reßenye zadaçy (7), (8) prynadleΩyt pros- transtvu Lq∗( )Ω . Odnako esly funkcyy g2 , g3 y f obladagt pov¥ßennoj summyruemost\g, to obobwenn¥e reßenyq rassmatryvaemoj zadaçy ymegt bolee v¥sokug summyruemost\, çem ta, kotoraq xarakteryzuetsq pokazatelem q∗. So- otvetstvugwug zavysymost\ v¥raΩaet sledugwyj, osnovnoj v dannoj rabote, rezul\tat. Teorema. Pust\ m q q> −∗ ∗/ ( )1 , funkcyy g2 , g3 , f prynadleΩat Lm( )Ω y M — maΩoranta dlq g Lm2 ( )Ω , g Lm3 ( )Ω y f Lm( )Ω . Krome toho, pust\ u — obobwennoe reßenye zadaçy (7), (8). Tohda spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq: i)HHHesly m n q< / y q nm q n qm∗ < < − −λ ( ) ( )/1 , to u L∈ λ( )Ω y u Lλ ( )Ω ≤ C1, hde C1 — poloΩytel\noe çyslo, zavysqwee tol\ko ot n, p, q, meas Ω , c, c2 , c3 , m, M y λ ; ii)HHHesly m n q= / , to Ω ∫ ( )exp /b u dx1 σ ≤ C2 , hde σ = + −2 2 2np q p/ ( ), a b y C 2 — poloΩytel\n¥e çysla, zavysqwye tol\ko ot n, p, q, meas Ω , c, c2 , c3 y M ; iii)HHHesly m n q> / , t o u L∈ ∞( )Ω y vrai max Ω u C≤ 3, hde C 3 — polo- Ωytel\noe çyslo, zavysqwee tol\ko ot n, p, q, meas Ω , c, c2 , c3 , m y M . Dokazatel\stvo teorem¥ budet dano v p.H3. ∏tomu predpoßlem neskol\ko za- meçanyj, a takΩe rqd vspomohatel\n¥x rezul\tatov. Zameçanyq. 1. Yz utverΩdenyq ii) teorem¥ sleduet, çto esly v¥polnq- gtsq uslovyq πtoj teorem¥, m n q= / y λ > ∗q , to u L∈ λ( )Ω y u Lλ ( )Ω ≤ ≤ ′C2 , hde ′C2 — poloΩytel\noe çyslo, zavysqwee tol\ko ot n, p, q, meas Ω , c, c2 , c3 , M y λ . 2. UtverΩdenyq iii) y i) teorem¥ sohlasugtsq s sootvetstvugwymy svoj- stvamy obobwenn¥x reßenyj uravnenyj vtoroho porqdka. V svqzy s πtym sm., naprymer, [9] (hl.H1, 4) y [10]. Çto kasaetsq utverΩdenyq ii), to, kak vydym, dlq obobwennoho reßenyq u rassmatryvaemoj zadaçy ono daet summyruemost\ funkcyy vyda exp ( )b u λ s nekotor¥m λ ∈( , )0 1 , tohda kak dlq obobwenn¥x reßenyj uravnenyj vtoroho porqdka ymeet mesto summyruemost\ funkcyj ta- koho vyda s λ = 1 [9]. 3. Esly p ≥ 2, t n q> / , m n nq n q> − +2 / ( ), g 1 , g 2 , g Lt 3 ∈ ( )Ω y f Lm∈ ( )Ω , to ohranyçennost\ obobwenn¥x reßenyj zadaçy (7), (8) sleduet yz [1]. Poskol\ku n nq n q n q2 / /( )− + > , utverΩdenye iii) teorem¥ daet bolee ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1514 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ slaboe po sravnenyg s [1] uslovye otnosytel\no summyruemosty pravoj çasty uravnenyq (7), pry kotorom obobwenn¥e reßenyq zadaçy (7), (8) ohranyçen¥. ∏to uslovye ( )/m n q> sovpadaet s uslovyem ohranyçennosty obobwenn¥x re- ßenyj uravnenyj vtoroho porqdka [9]. Otmetym ewe, çto ohranyçennost\ obob- wenn¥x reßenyj uravnenyj v¥sokoho porqdka s usylennoj πllyptyçnost\g v rabote [1] b¥la ustanovlena s pomow\g nekotoroj modyfykacyy metoda Moze- ra. Dokazatel\stvo Ωe teorem¥ svqzano s podxodom, podobn¥m metodu Stam- pakk\q, y yspol\zovanyem analohov eho yzvestnoj lemm¥ (sm., naprymer, [11, 12]). ∏ty analohy rassmatryvagtsq v p.H2. Zdes\ Ωe vkratce napomnym, çto me- tod Stampakk\q yzuçenyq svojstv yntehryruemosty obobwenn¥x reßenyj urav- nenyj vtoroho porqdka zaklgçaetsq v podstanovke v yntehral\noe toΩdestvo, sootvetstvugwee reßenyg u, v kaçestve probn¥x πlementov funkcyj u T uk− ( ) , hde Tk , k > 0, — standartn¥e srezky ( T s sk( ) = , esly s k≤ , y T sk ( ) = = k ssign , esly s k> ), zatem s yspol\zovanyem struktur¥ uravnenyq y uslovyq na summyruemost\ eho pravoj çasty ustanovlenyy specyal\n¥x soot- noßenyj meΩdu meramy mnoΩestv { }u k≥ y { }u l≥ pry l k> y, nakonec, poluçenyy yz πtyx sootnoßenyj ocenok mer mnoΩestv vyda { }u k≥ , pozvolq- gwyx sdelat\ v¥vod ob opredelennoj summyruemosty reßenyq u. Podobn¥j podxod v obwyx çertax moΩno realyzovat\ y dlq uravnenyj v¥sßyx porqdkov s usylennoj πllyptyçnost\g, çto y sdelano v nastoqwej rabote otnosytel\no uravnenyj çetvertoho porqdka. Pry πtom vmesto standartn¥x srezagwyx funkcyj Tk yspol\zugtsq podxodqwye srezky klassa C 2 . V rassmatryvaemom sluçae pry poluçenyy neobxodym¥x ocenok voznykagt bolee suwestvenn¥e trudnosty po sravnenyg so sluçaem uravnenyj vtoroho porqdka, tak kak soot- vetstvugwee yntehral\noe toΩdestvo soderΩyt slahaem¥e, svqzann¥e s proyz- vodn¥my vtoroho porqdka probn¥x funkcyj, y πty slahaem¥e dolΩn¥ b¥t\ pravyl\no uçten¥ pry realyzacyy ukazannoho podxoda. 2. Vspomohatel\n¥e predloΩenyq. H. Stampakk\q prynadleΩyt sledug- wyj rezul\tat (sm. [12], lemmaH4.1). Lemma;1. Pust\ ϕ — nevozrastagwaq neotrycatel\naq funkcyq na [ , )k0 +∞ takaq, çto yz l > k ≥ k0 sleduet neravenstvo ϕ ( l ) ≤ C l k k ( ) ( ) − [ ]τ γϕ (10) s poloΩytel\n¥my postoqnn¥my C, τ y γ . Tohda : i) esly γ > 1, to ϕ ( )k d0 0+ = , hde çyslo d opredelqetsq ravenstvom d τ = C kϕ γ τγ γ ( ) / ( ) 0 12 1 [ ] − − ; ii) esly γ = 1, to dlq lgboho k > k0 ϕ ( k ) ≤ ϕ τ( ) exp ( ) ( )/k Ce k k0 1 01 − −{ }− ; iii) esly γ < 1 y k0 > 0, to dlq lgboho k > k0 ϕ ( k ) ≤ 2 2 1 2 1 1 0 1 0 1τ γ γ τ γ τ γϕ / ( ) / ( ) ( ) ( )/( ) /( )− − +{ }− − −C k k k . Nepoln¥e varyant¥ πtoj lemm¥ soderΩatsq v stat\e [11] (utverΩdenyq i) y iii) ) y monohrafyy [13] (utverΩdenye i) ) . Rol\ lemm¥H1 v upomqnutom v zameçanyyH3 metode Stampakk\q sostoyt v tom, çto podstanovka v yntehral\noe toΩdestvo, sootvetstvugwee reßenyg u urav- nenyq vtoroho porqdka, v kaçestve probn¥x πlementov funkcyj u T u kk− >( ), ,0 pryvodyt v koneçnom sçete kak raz k sootnoßenyg vyda (10) s funkcyej ϕ, zadannoj ravenstvom ϕ ( )s u s= ≥{ }meas , s ≥ 0, y çyslom γ, zavysqwym, v ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1515 çastnosty, ot pokazatelq summyruemosty pravoj çasty uravnenyq. Poπtomu prymenenye lemm¥H1 v takom sluçae pozvolqet v zavysymosty ot znaçenyq γ (a znaçyt, v çastnosty, ot znaçenyq pokazatelq summyruemosty pravoj çasty urav- nenyq) sdelat\ v¥vod yly ob ohranyçennosty reßenyq u, yly (s yspol\zovany- em nekotor¥x dopolnytel\n¥x faktov) ob opredelennoj summyruemosty πtoho reßenyq. Zametym, çto obsuΩdaem¥j zdes\ metod pervonaçal\no b¥l realyzovan dlq lynejn¥x uravnenyj vtoroho porqdka (sm., naprymer, rabot¥ [11, 12] y [13], hl.H2). ∏tot metod, vklgçaq lemmu Stampakk\q, prymenym y dlq nelynejn¥x uravnenyj vtoroho porqdka (sm., naprymer, [14 – 16]). V rassmatryvaemom v nastoqwej stat\e sluçae uravnenyj çetvertoho porqd- ka podstanovka v yntehral\noe toΩdestvo, sootvetstvugwee obobwennomu re- ßenyg u, v kaçestve probn¥x πlementov funkcyj u h uk− ( ) , hde hk , k > 0, — specyal\n¥e hladkye srezky, pryvodyt k sootnoßenyg znaçenyj funkcyy ϕ (opredelennoj ravenstvom ϕ ( )s u s= ≥{ }meas , s ≥ 0 ), analohyçnomu nera- venstvu (10), no spravedlyvomu v bolee uzkyx ramkax y v otlyçye ot (10) soder- Ωawemu v pravoj çasty dopolnytel\n¥j mnoΩytel\, zavysqwyj ot k. Dlq ana- lyza πtoho sootnoßenyq budut polezn¥ sledugwye try lemm¥, analohyçn¥e sootvetstvugwym çastqm lemm¥H1. Lemma;2. Pust\ ϕ — nevozrastagwaq neotrycatel\naq funkcyq na [ , )0 +∞ , C > 0, 0 ≤ τ1 < τ2 , γ > 1, k0 ≥ 0 y dlq lgb¥x k y l takyx, çto k0 < k < l < 2k, v¥polnqetsq neravenstvo ϕ ( l ) ≤ Ck l k k τ τ γϕ 1 2( ) ( ) − [ ] . (11) Krome toho, pust\ d > k0 y dτ τ2 1− ≥ 2 1 22 1 1 0 1τ γ τ γ γϕ+ − − −[ ]( ) /( ) ( )C k . (12) Tohda ϕ( )k d0 0+ = . Dokazatel\stvo. PoloΩym a = −τ γ2 1/ ( ), y pust\ dlq lgboho j ∈ N kj = k d d j0 2 + − . (13) Tohda dlq lgboho j ∈ N ymeem k k k kj j j0 1 2< < <+ , k k d j j j+ +− =1 12 . Yspol\zuq πty sootnoßenyq, (11), (12) y neravenstvo k d0 < , yndukcyej po j ustanavlyvaem, çto dlq lgboho j ∈ N ϕ ( kj ) ≤ 2 1 0 − −a j k( ) ( )ϕ . Otsgda y yz (13), uçyt¥vaq, çto funkcyq ϕ nevozrastagwaq y neotrycatel\- naq, v¥vodym, çto ϕ ( )k d0 0+ = . Lemma dokazana. Otmetym, çto pryvedennoe dokazatel\stvo lemm¥H2 povtorqet s neznaçy- tel\n¥my otlyçyqmy dokazatel\stvo utverΩdenyq i) lemm¥H1. Lemma;3. Pust\ ϕ — nevozrastagwaq neotrycatel\naq funkcyq na [ , )0 +∞ , C > 0, 0 ≤ τ1 < τ2 , k0 ≥ 0 y dlq lgb¥x k y l takyx, çto k0 < k < < l < 2k, v¥polnqetsq neravenstvo ϕ ( l ) ≤ Ck l k k τ τ ϕ 1 2( ) ( ) − . (14) ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1516 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ Krome toho, pust\ λ0 = max , ( ) ( ) ( )/ / /( ) /1 11 0 2 1 2 2 1 2 2 2 1Ce kτ τ τ τ τ τ τ τ τ+ −[ ]{ }− (15) y s0 ∈ N, pryçem s0 > 2 2 1 2 1 2 2 1 2 ( )/ ( )/ τ τ τ τ τ τ − − − . (16) Tohda dlq lgboho k ≥ k0 + λ τ τ τ 0 0 2 2 1s /( )− ymeem ϕ ( k ) ≤ ϕ λ τ τ τ ( ) exp ( )/ k s k k 0 0 0 0 1 2 1 2 + − −            − . (17) Dokazatel\stvo. PoloΩym a = −τ τ τ2 2 1/ ( ) , y pust\ dlq lgboho j ∈ N kj = k ja 0 0+ λ . (18) V sylu (16) y (18) dlq lgboho j ∈ N, j ≥ s0 , ymeem k k k kj j j0 1 12< < <− − , k k a jj j a− ≥ −− − 1 0 11λ ( ) . Tohda, yspol\zuq (14), (15) y (18), poluçaem, çto dlq lgboho j ∈ N, j ≥ s0 , ϕ ( kj ) ≤ e kj − − 1 1ϕ ( ) . Otsgda yndukcyej po j v¥vodym, çto dlq lgboho j ∈ N, j ≥ s0 , ϕ ( kj ) ≤ ϕ ( ) ( )k e j s 0 0− − . (19) Pust\ teper\ k ≥ k0 + λ sa 0 . Voz\mem j ∈ N takoe, çto j ≤ k k a−    0 0 1 λ / < j + 1. (20) Oçevydno, çto j ≥ s0 . V sylu (18) y (20) ymeem k ≥ kj . Sledovatel\no, ϕ ( k ) ≤ ≤ ϕ ( kj ) . Otsgda y yz (19), (20) v¥tekaet neravenstvo (17). Lemma dokazana. Otmetym, çto dokazatel\stvo lemm¥H3 analohyçno dokazatel\stvu utverΩ- denyq ii) lemm¥H1. Opredelenye posledovatel\nosty { }kj formuloj (18) y ocenka (17) po suwestvu obobwagt sootvetstvugwye opredelenye posledova- tel\nosty yz dokazatel\stva utverΩdenyq ii) lemm¥H1 y ocenku, pryvedennug v formulyrovke πtoho utverΩdenyq. Lemma;4. Pust\ ϕ — nevozrastagwaq neotrycatel\naq funkcyq na [ , )0 +∞ , C > 0, τ > 0, γ ∈( , )0 1 , k0 ≥ 0 y dlq lgboho k > k0 v¥polnqetsq neravenstvo ϕ ( 2k ) ≤ Ck k−τ γϕ[ ( )] . (21) Tohda dlq lgboho k > k0 ymeem ϕ ( k ) ≤ 2 2 1 2 1 1 0 0 1 1τ γ γ ϕ τ γ τ γ/ ( ) / ( ) ( )( ) /( ) /( )− − +{ }− − −C k k k . (22) Dokazatel\stvo. Pust\ ϕ1 — funkcyq na [ , )0 +∞ takaq, çto dlq lgboho s ∈ [ , )0 +∞ ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1517 ϕ1( )s = ϕ τ γ ( ) /( ) s s C     −1 1 . V sylu (21) y opredelenyq funkcyy ϕ1 dlq lgboho k > k0 ymeem ϕ1 2( )k ≤ 2 1 1 τ γ γϕ/( ) [ ( )]− k . Yspol\zuq πtot fakt y metod yndukcyy, ustanavlyvaem, çto dlq lgb¥x k > k0 y j ∈ N ϕ1 2( )j k ≤ 2 11 1 2τ γ ϕ/( ) [ ( )]− + k . (23) Pust\ k > k0 . Zafyksyruem proyzvol\noe ε ∈ −( , )0 0k k . PredpoloΩym sna- çala, çto k k> +2 0( )ε . Tohda suwestvuet j ∈ N takoe, çto k kj 0 2< ≤− ≤ 2 0( )k + ε . Otsgda y yz (23) s uçetom opredelenyq funkcyy ϕ1 v¥vodym ne- ravenstvo ϕ1( )k ≤ 2 1 2 2 1 2 1 1 0 0 1τ γ γ ϕ ε τ γ/ ( ) / ( ) ( ) ( ) /( )− − − + +[ ]−k C k . (24) Esly k k≤ +2 0( )ε , to, yspol\zuq opredelenye funkcyy ϕ1 , opqt\ pryxodym k neravenstvu (24). Perexodq v πtom neravenstve k predelu pry ε → 0 y snova uçyt¥vaq opredelenye funkcyy ϕ1 , poluçaem neravenstvo (22). Lemma dokazana. Pryvedennoe dokazatel\stvo lemm¥H4 povtorqet s neznaçytel\n¥my otly- çyqmy dokazatel\stvo utverΩdenyq iii) lemm¥H1. ∏ty otlyçyq svqzan¥ s naßym predpoloΩenyem, çto k0 ≥ 0, tohda kak v formulyrovke utverΩdenyq iii) lemm¥H1 trebuetsq uslovye k0 > 0. Perejdem k druhym vspomohatel\n¥m rezul\tatam. Lemma;5. Pust\ u — yzmerymaq funkcyq na Ω , C > 0, τ > 0 y dlq lg- boho k ∈ N meas u k≥{ } ≤ Ck−τ. Tohda dlq lgboho λ τ∈( , )0 ymeem u L∈ λ( )Ω y Ω ∫ u dxλ ≤ 2τ τ λ τ λ+ + − +( )/( )C measΩ . Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ prostoe. Po suwestvu ono dano v [4]. Ewe ran\- ße podobnoho typa utverΩdenyq yspol\zovalys\, naprymer, v [6]. Lemma;6. Pust\ u — yzmerymaq funkcyq na Ω , C > 0, τ > 0, γ ∈( , )0 1 , k0 ≥ 0, l0 ≥ k0 + 1 y dlq lgboho k ≥ l0 meas u k≥{ } ≤ C k kexp ( )− −{ }τ γ 0 . (25) Tohda dlq lgboho λ τ∈( , )0 funkcyq exp( )λ γu summyruema na Ω y Ω ∫ ( )exp λ γu dx ≤ C e l τ λ τ − +    +measΩ ( )0 1 . (26) Dokazatel\stvo. PoloΩym k l k∗ = −( )0 0 γ , y pust\ dlq lgboho k ∈ N Gk = k k k u k k k0 1 0 11+ + − ≤ < + +{ }∗ ∗( ) ( )/ /γ γ . Qsno, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1518 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ u l≥{ }0 = k kG = ∞ 1 ∪ . (27) Krome toho, dlq lgb¥x k , j ∈ N, k ≠ j , ymeem G Gk j∩ = ∅ . (28) Zametym ewe, çto v sylu (25) dlq lgboho k ∈ N meas Gk ≤ C k kexp ( )− + −{ }∗τ 1 . (29) Pust\ teper\ λ τ∈( , )0 . Yspol\zuq opredelenye mnoΩestv Gk y (29), usta- navlyvaem, çto dlq lgboho k ∈ N Gk u dx∫ ( )exp λ γ ≤ C k kexp ( ) ( )τ τ λγ 0 1+ − −{ }. Otsgda sleduet, çto k Gk u dx = ∞ ∑ ∫ ( ) 1 exp λ γ ≤ C k τ λ τ γ − +{ }exp ( )0 1 . Poluçenn¥j rezul\tat y svojstva (27), (28) pozvolqgt zaklgçyt\, çto u l u dx ≥{ } ∫ ( ) 0 exp λ γ ≤ C k τ λ τ γ − +{ }exp ( )0 1 . (30) Ostaetsq zametyt\, çto u l u dx <{ } ∫ ( ) 0 exp λ γ ≤ e lτ 0 measΩ . (31) Yz (30) y (31) v¥vodym, çto funkcyq exp λ γu( ) summyruema na Ω y ymeet mesto neravenstvo (26). Lemma dokazana. 3. Dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ m q q> −∗ ∗ / ( )1 , funkcyy g2 , g3 , f prynadleΩat Lm( )Ω , M — maΩoranta dlq g Lm2 ( )Ω , g Lm3 ( )Ω , f Lm( )Ω y u — obobwennoe reßenye zadaçy (7), (8). Çerez ci , i = 4, 5, … , budem oboznaçat\ poloΩytel\n¥e çysla, zavysqwye tol\ko ot n, p, q, meas Ω , c, c2 , c3 , m y M . Vvedem rqd vspomohatel\n¥x çysel y funkcyj. V sylu predpoloΩenyq ot- nosytel\no çysla m ymeem ( ) / /m m q− − >∗1 1 0. PoloΩym m m m q1 1 1 1= − −   ∗ − , (32) γ = − −      ∗q m q m mq min ( ) ,1 1 1 1 . (33) V sylu (32) ymeem 1 1 1 1 1m m q + + =∗ . (34) Krome toho, yz opredelenyq çysel m1 y γ sleduet, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1519 esly m n q < , to γ = 1 1 1 1 q m m q − − −    ∗ < 1, (35) esly m n q = , to γ = 1, (36) esly m n q > , to γ > 1. (37) PoloΩym Φ = α α α α = = ∑ ∑+ 1 2 D u D u q p , y pust\ ϕ — funkcyq na [ , )0 +∞ takaq, çto dlq lgboho s ∈ [ , )0 +∞ ϕ ( s ) = meas u s≥{ }. Zametym, çto Ω Φ∫ ≤dx c4 . (38) Dejstvytel\no, poskol\ku u — obobwennoe reßenye zadaçy (7), (8), v sylu (9) ymeem Ω Λ Ω ∫ ∑ ∫ ∈ ∇         =A x u D u dx f udxα α α( , )2 . Otsgda y yz (5) sleduet, çto c dx f u dx g dx3 3 Ω Ω Ω Φ∫ ∫ ∫≤ + . Yz πtoho neravenstva, ocenyvaq pervoe slahaemoe v eho pravoj çasty s pomow\g neravenstv Hel\dera, Gnha y (2), v¥vodym ocenku (38). V sylu (2) y (38) dlq lgboho k > 0 ymeem k k c cq q q q∗ ∗ ∗ ≤ϕ ( ) / 4 . Sledova- tel\no, ϕ ( k ) < 1 ∀ ≥ +k c c( )4 1 . (39) Dalee, poloΩym t = 2 2 2qpm q p− + , (40) y pust\ ψ — funkcyq na ( , )0 +∞ takaq, çto dlq lgboho s ∈ ( , )0 +∞ ψ ( s ) = s s t t st t− + − + +1 1 1. PoloΩym k0 = max ( ), ( )( ) /c c n t c n c4 2 31 6 2+ − +{ } (41) y zafyksyruem proyzvol\noe çyslo k ≥ k0 . Pust\ hk — funkcyq na R takaq, çto hk ( s ) = s s k s k k k s k s k kt t s s k , , , , , . esly esly esly ≤ −    +     < < + ≥       ψ 1 2 2 1 2 sign sign ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1520 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ Ymeem h Ck ∈ 2( )R , h kk < 2 na R , (42) 0 1≤ ′ ≤hk na R , (43) ′′ ≤h t kk na R . (44) Krome toho, spravedlyv¥ sledugwye utverΩdenyq: a) esly ε ∈( , )0 1 , s ∈R y k s k≤ ≤ +( )1 ε , to ′′h sk ( ) ≤ t k t 2 2ε − ; b) esly ε ∈( , )0 1 , s ∈R y k s k( )1 2+ ≤ ≤ε , to ′′h sk ( ) ≤ t k h skε ( ( ))1 − ′ ; v) esly k l k< ≤ 2 , s ∈R y s l≥ , to s h sk− ( ) ≥ 2 1 1 t l k l k k t + − −    − ( ) . Dejstvytel\no, pust\ ε ∈( , )0 1 , s ∈R y k s k≤ ≤ +( )1 ε . PredpoloΩym, çto s k≠ . Tohda v sylu opredelenyq funkcyj hk y ψ ymeem ′′h sk ( ) = 1 k s k k ′′ −   ψ = t k t s k k s k k t ( )− −    − −    − 1 1 2 . Sledovatel\no, ′′ ≤ −h s t kk t( ) 2 2ε . Oçevydno, çto πto neravenstvo verno y v slu- çae s k= . Tem sam¥m spravedlyvost\ utverΩdenyq a) ustanovlena. Pust\ teper\ ε ∈( , )0 1 , s ∈R y k s k( )1 2+ ≤ ≤ε . Yspol\zuq opredelenyq funkcyj hk y ψ , poluçaem ′′ − − ′h s t k h sk k( ) ( ( )) ε 1 = 1 1 k s k k t k s k k ′′ −    − − ′ −       ψ ε ψ = = t k t s k k s k k t ( )− −    − −    − 1 1 2 – – t k t s k k t s k k t t ε −    − − −          −1 1( ) < < t t k s k k s k k s k k t( )− −    − −    − −    −1 1 1 2 ε ≤ 0. Sledovatel\no, utverΩdenye b) dokazano. Pust\, nakonec, k l k< ≤ 2 , s ∈R y s l≥ . PredpoloΩym snaçala, çto s k< 2 . Tohda v sylu opredelenyq funkcyy ψ ymeem s s k k k− −    +     ψ 1 = k s k k t t s k k t−    − − + ⋅ −    1 1 1 ≥ ≥ 2 1 k t l k k t + −    . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1521 Otsgda y yz opredelenyq funkcyy hk sleduet, çto s h sk− ( ) = s s k k k− −    +     ψ 1 ≥ 2 1 1 t l k l k k t + − −    − ( ) . Pust\ teper\ s k≥ 2 . Tohda v sylu opredelenyq funkcyy hk ymeem s h sk− ( ) = s kt t − + 2 1 ≥ 2 1 k t + ≥ 2 1 1 t l k l k k t + − −    − ( ) . Takym obrazom, utverΩdenye v) dokazano. Yz utverΩdenyq v) v¥tekaet sledugwee utverΩdenye: h) esly k l k< ≤ 2 , to ϕ ( l ) ≤ t k l k u h u dx q t q tq k q ∗ ∗ ∗ ∗− − −∫ ( ) ( ) ( ) 1 Ω . (45) Dal\nejßaq zadaça sostoyt v tom, çtob¥ podxodqwym obrazom ocenyt\ yn- tehral v pravoj çasty neravenstva (45). ∏to dast vozmoΩnost\ prymenyt\ lem- m¥H 2 – 4 y v koneçnom sçete poluçyt\ utverΩdenyq teorem¥. Yspol\zuq svojstva (42) – (44), analohyçno lemmeH2.2 yz [4] ustanavlyvaem, çto hk ( u ) ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω y spravedlyv¥ utverΩdenyq: d) dlq lgboho n-mernoho mul\tyyndeksa α, α = 1, D h uk α ( ) = ′h u D uk( ) α p. v. na Ω ; e) dlq lgboho n-mernoho mul\tyyndeksa α, α = 2, D h u h u D uk k α α( ) ( )− ′ ≤ ′′ = ∑h u D uk ( ) β β 1 2 p. v. na Ω . PoloΩym Ik = Ω ∫ −f u h u dxk ( ) , ′Ik = Ω ∫ ∑ ∑ = = ∇                 ′′ α α β β 2 2 1 2 A x u D u h u dxk( , ) ( ) . Poskol\ku u – hk ( u ) ∈ � W p q 2 1 , , ( )Ω , v sylu (9) ymeem Ω Λ ∫ ∑ ∈ ∇ −        α α αA x u D u h u dxk( , ) ( ( ))2 = Ω ∫ −f u h u dxk( ( )) . Yz πtoho ravenstva y utverΩdenyj d) y e) v¥vodym Ω Λ ∫ ∑ ∈ ∇         − ′ α α αA x u D u h u dxk( , ) ( ( ))2 1 ≤ I Ik k+ ′ . Otsgda, yspol\zuq (5), (43) y to, çto ′ =hk 1 na ( , )− k k , poluçaem c h u dxk3 1 Ω Φ∫ − ′( ( )) ≤ u k k kg dx I I ≥{ } ∫ + + ′3 . (46) Ustanovym podxodqwye ocenky dlq slahaem¥x v pravoj çasty πtoho neraven- stva. Qsno, çto ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1522 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ u k g dx ≥{ } ∫ 3 ≤ M k m m[ ( )]( )/ϕ −1 . (47) Ocenym Ik . PreΩde vseho zametym, çto v sylu (2), utverΩdenyq d) y (43) ymeet mesto neravenstvo Ω ∫ −     ∗ ∗ u h u dxk q q ( ) /1 ≤ c h u dxk q Ω Φ∫ − ′     ( ( )) / 1 1 . (48) Yspol\zuq tot fakt, çto h s sk( ) = dlq s k k∈ −( , ) , a takΩe (34), neravenstvo Hel\dera y (48), poluçaem Ik = u k kf u h u dx ≥{ } ∫ − ( ) ≤ ≤ meas u k f u h u dxm L k q q m≥{ }( ) −    ∫ ∗ ∗ 1 1 1/ ( ) / ( )Ω Ω ≤ ≤ cM k h u dxm k q [ ( )] ( ( ))/ / ϕ 1 1 1 1 Ω Φ∫ − ′     . Otsgda y yz neravenstva Gnha sleduet, çto Ik ≤ c h u dx c kk q q m3 5 1 4 1 1 Ω Φ∫ − ′ + −( ( )) [ ( )] /( )ϕ . (49) Perejdem k ocenke yntehrala ′Ik . ∏to qvlqetsq naybolee suwestvenn¥m mo- mentom v dokazatel\stve teorem¥. PredpoloΩym snaçala, çto ϕ ( k ) > 0. Po- loΩym ε = [ ( )] /( )ϕ k t1 2− . (50) Poskol\ku k ≥ k0 , v sylu (41) y (39) ymeem ϕ ( k ) < 1. Sledovatel\no, ε ∈( , )0 1 . Oçevydno, çto p p q q p qp − + + − =1 2 2 1. Yspol\zuq πto ravenstvo y neravenstvo Gnha, ustanavlyvaem, çto esly α — n- mern¥j mul\tyyndeks, α = 2, y β — n-mern¥j mul\tyyndeks, β = 1, to A x u D uα β( , )∇2 2 ≤ ε α 2 2 1A x u p p( , ) /( )∇ − + + ε εβ2 2 2 2D u q qp q p+ − −/( ) na Ω . Otsgda y yz (4) v¥vodym ′Ik ≤ n c n h u dx n g h u dxk k( ) ( ) ( )2 2 2 2+ ′′ + ′′∫ ∫ε ε Ω Ω Φ + + n h u dxqp q p k 3 2 2 2ε − − ∫ ′′/( ) ( ) Ω . (51) V sylu toho, çto ′′ =hk 0 na ( , )− k k , y (44) ymeem ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 O POVÁÍENYY SUMMYRUEMOSTY OBOBWENNÁX REÍENYJ … 1523 Ω ∫ ′′g h u dxk2 ( ) ≤ Mt k k m m[ ( )]( )/ϕ −1 , (52) Ω ∫ ′′h u dxk ( ) ≤ t k kϕ ( ) . (53) Qsno takΩe, çto Ω Φ∫ ′′h u dxk ( ) = k u k k k u k kh u dx h u dx ≤ < +{ } + ≤ ≤{ } ∫ ∫′′ + ′′ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2ε ε Φ Φ . (54) Yz utverΩdenyq a) y (38) sleduet, çto k u k kh u dx ≤ < +{ } ∫ ′′ ( ) ( ) 1 ε Φ ≤ c t k t4 2 2ε − , (55) a v sylu utverΩdenyq b) ymeem k u k kh u dx ( ) ( ) 1 2+ ≤ ≤{ } ∫ ′′ ε Φ ≤ t k h u dxkε Ω Φ∫ − ′( ( ))1 . (56) Yz (54) – (56) v¥tekaet neravenstvo Ω Φ∫ ′′h u dxk ( ) ≤ c t k t k h u dxt k 4 2 2 1ε ε − + − ′∫ Ω Φ( ( )) . (57) V svog oçered\, yz (51) – (53) y (57), uçyt¥vaq (40), (41) y (50), poluçaem ′Ik ≤ c h u dx c kk m m3 6 1 2 1 Ω Φ∫ − ′ + −( ( )) [ ( )]( )/ϕ . (58) ∏to neravenstvo dokazano v predpoloΩenyy, çto ϕ ( k ) > 0. Odnako, lehko vy- det\, çto ono ymeet mesto y v sluçae ϕ ( k ) = 0. Yz (46), (47), (49) y (58) sleduet, çto c h u dxk3 1 Ω Φ∫ − ′( ( )) ≤ 4 46 1 5 1 1( )[ ( )] [ ( )]( )/ /( )M c k c km m q q m+ +− −ϕ ϕ . (59) Neravenstva (48), (59) y ravenstvo (33) pozvolqgt zaklgçyt\, çto Ω ∫ − ∗ u h u dxk q( ) ≤ c k7[ ( )]ϕ γ . Otsgda y yz utverΩdenyq h) v¥vodym, çto spravedlyvo sledugwee utverΩde- nye: Ω) esly k k l k0 2≤ < ≤ , to ϕ ( l ) ≤ c k l k k t q tq 8 1( ) ( ) [ ( )] − ∗ ∗ − ϕ γ . Yspol\zuq πto utverΩdenye, a takΩe (35) y lemm¥H4, 5, ustanavlyvaem, çto spravedlyvo utverΩdenye i) teorem¥. V sylu utverΩdenyq Ω), (36) y lemmH3, 6 verno utverΩdenye ii) teorem¥. Nakonec, yz utverΩdenyq Ω), (37) y lem- m¥H2 v¥vodym, çto spravedlyvo utverΩdenye iii) teorem¥. Teorema dokazana. Zameçanyq. 4. Opredelenye y svojstva funkcyj hk , yspol\zovann¥x v dokazatel\stve teorem¥, analohyçn¥ opredelenyg y svojstvam hladkyx srezok, vvedenn¥x v [4]. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1524 A. A. KOVALEVSKYJ, M. V. VOJTOVYÇ 5. Otnosytel\no druhyx analohov lemm¥ Stampakk\q y yx yspol\zovanyq pry yssledovanyy svojstv reßenyj nekotor¥x πvolgcyonn¥x uravnenyj çet- vertoho porqdka sm., naprymer, [17, 18]. 1. Skr¥pnyk Y. V. O kvazylynejn¥x πllyptyçeskyx uravnenyqx v¥sßeho porqdka s nepre- r¥vn¥my obobwenn¥my reßenyqmy // Dyfferenc. uravnenyq. – 1978. – 14 , # 6. – S.H1104 – 1118. 2. Lions J. L. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires. – Paris: Dunod, Gauthier-Villars, 1969. – 554 p. 3. Kovalevsky A. Entropy solutions of Dirichlet problem for a class of nonlinear elliptic fourth-order equations with L1-data // Nonlinear Boundary Value Problems. – 1999. – 9. – P. 46 – 54. 4. Kovalevskyj A. A. ∏ntropyjn¥e reßenyq zadaçy Dyryxle dlq odnoho klassa nelynejn¥x πllyptyçeskyx uravnenyj çetvertoho porqdka s L1-prav¥my çastqmy // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2001. – 65, # 2. – S. 27 – 80. 5. Kovalevsky A. Entropy solutions of Dirichlet problem for a class of nonlinear elliptic high-order equations with L1-data // Nelynejn¥e hranyçn¥e zadaçy. – 2002. – 12. – C. 119 – 127. 6. Bénilan Ph., Boccardo L., Gallouët T. et al. An L1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations // Ann. Scuola norm. super. Pisa, Cl. Sci. IV.Ser. – 1995. – 22. – P. 241 – 273. 7. Kovalevskyj A. A. O summyruemosty πntropyjn¥x reßenyj zadaçy Dyryxle dlq odnoho klassa nelynejn¥x πllyptyçeskyx uravnenyj çetvertoho porqdka // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2003. – 67, # 5. – S. 35 – 48. 8. Gilbarg D., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order. – Berlin: Springer, 1983. – 513 p. 9. Lad¥Ωenskaq O. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravnenyq πllyptyçesko- ho typa. – M.: Nauka, 1973. – 576 s. 10. Alvino A., Boccardo L., Ferone V. et al. Existence results for nonlinear elliptic equations with de- generate coercivity // Ann. mat. pura ed appl. IV. Ser. – 2003. – 182. – P. 53 – 79. 11. Stampacchia G. Regularisation des solutions de problemes aux limites elliptiques a donnees dis- continues // Proc. Int. Symp. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). – 1961. – P. 399 – 408. 12. Stampacchia G. Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus // Semin. math. super. n. 16 (ete 1965). – Montreal: Les Press. Univ. de Montreal, 1966. – 326 p. 13. Kynderlerer D., Stampakk\q H. Vvedenye v varyacyonn¥e neravenstva y yx pryloΩenyq. – M.: Myr, 1983. – 256Hs. 14. Boccardo L., Giachetti D. Alcuni osservazioni sulla regolarità delle soluzioni di problemi forte- mente non lineari e applicazioni // Ric. mat. – 1985. – 34. – P. 309 – 323. 15. Boccardo L., Marcellini P., Sbordone C. L∞ -regularity for variational problems with sharp non standard growth conditions // Boll. Unione mat. ital. – 1990. – 4-A. – P. 219 – 225. 16. Stroffolini B. Global boundedness of solutions of anisotropic variational problems // Ibid. – 1991. – 5-A. – P. 345 – 352. 17. Shishkov A. E., Taranets R. M. On the thin-film equation with nonlinear convection in multidimen- sional domains // Ukr. Math. Bull. – 2004. – 1, # 3. – P. 407 – 450. 18. Giacomelli L., Shishkov A. Propagation of support in one-dimensional convected thin-film flow // Indiana Univ. Math. J. – 2005. – 54, # 4. – P. 1181 – 1215. Poluçeno 29.06.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11

Схожі ресурси