Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна

Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна

Доведено спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спеціальними спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна. Встановлено скінченновимірність усіх незвідних сімей лінійно пов'язаних операторів із довільними спектрами, асоційованих із р...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний журнал
Datum:2006
Hauptverfasser: Островський, В.Л., Самойленко, Ю.С.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2006
Schlagworte:
Статті
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165534
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна / В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1556–1570. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-165534
record_format dspace
spelling Островський, В.Л.
Самойленко, Ю.С.
2020-02-14T08:27:56Z
2020-02-14T08:27:56Z
2006
Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна / В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1556–1570. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
1027-3190
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165534
517.98
Доведено спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спеціальними спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна. Встановлено скінченновимірність усіх незвідних сімей лінійно пов'язаних операторів із довільними спектрами, асоційованих із розширеними графами Динкіна.
We prove spectral theorems for families of linearly connected self-adjoint operators with given special spectra associated with extended Dynkin graphs. We establish that all irreducible families of linearly connected operators with arbitrary spectra associated with extended Dynkin graphs are finite-dimensional.
uk
Інститут математики НАН України
Український математичний журнал
Статті
Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
On spectral theorems for families of linearly connected self-adjoint operators with given spectra associated with extended Dynkin graphs
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
spellingShingle Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
Островський, В.Л.
Самойленко, Ю.С.
Статті
title_short Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
title_full Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
title_fullStr Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
title_full_unstemmed Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна
title_sort про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами динкіна
author Островський, В.Л.
Самойленко, Ю.С.
author_facet Островський, В.Л.
Самойленко, Ю.С.
topic Статті
topic_facet Статті
publishDate 2006
language Ukrainian
container_title Український математичний журнал
publisher Інститут математики НАН України
format Article
title_alt On spectral theorems for families of linearly connected self-adjoint operators with given spectra associated with extended Dynkin graphs
description Доведено спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спеціальними спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна. Встановлено скінченновимірність усіх незвідних сімей лінійно пов'язаних операторів із довільними спектрами, асоційованих із розширеними графами Динкіна. We prove spectral theorems for families of linearly connected self-adjoint operators with given special spectra associated with extended Dynkin graphs. We establish that all irreducible families of linearly connected operators with arbitrary spectra associated with extended Dynkin graphs are finite-dimensional.
issn 1027-3190
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/165534
citation_txt Про спектральні теореми для сімей лінійно пов'язаних самоспряжених операторів із заданими спектрами, що асоційовані з розширеними графами Динкіна / В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Український математичний журнал. — 2006. — Т. 58, № 11. — С. 1556–1570. — Бібліогр.: 21 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT ostrovsʹkiivl prospektralʹníteoremidlâsímeilíníinopovâzanihsamosprâženihoperatorívízzadanimispektramiŝoasocíiovanízrozširenimigrafamidinkína
AT samoilenkoûs prospektralʹníteoremidlâsímeilíníinopovâzanihsamosprâženihoperatorívízzadanimispektramiŝoasocíiovanízrozširenimigrafamidinkína
AT ostrovsʹkiivl onspectraltheoremsforfamiliesoflinearlyconnectedselfadjointoperatorswithgivenspectraassociatedwithextendeddynkingraphs
AT samoilenkoûs onspectraltheoremsforfamiliesoflinearlyconnectedselfadjointoperatorswithgivenspectraassociatedwithextendeddynkingraphs
first_indexed 2025-11-24T21:50:58Z
last_indexed 2025-11-24T21:50:58Z
_version_ 1850498671458648064
fulltext UDK 517.98 V. L. Ostrovs\kyj, G. S. Samojlenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v) PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO POV’QZANYX SAMOSPRQÛENYX OPERATORIV IZ ZADANYMY SPEKTRAMY, WO ASOCIJOVANI Z ROZÍYRENYMY HRAFAMY DYNKINA We prove spectral theorems for families of linearly connected self-adjoint operators with prescribed special spectra associated with extended Dynkin graphs. We establish the finite dimensionality of all irreducible families of linearly connected operators with arbitrary spectra associated with extended Dynkin graphs. Dovedeno spektral\ni teoremy dlq simej linijno pov’qzanyx samosprqΩenyx operatoriv iz zadanymy special\nymy spektramy, wo asocijovani z rozßyrenymy hrafamy Dynkina. Vstanov- leno skinçennovymirnist\ usix nezvidnyx simej linijno pov’qzanyx operatoriv iz dovil\nymy spektramy, asocijovanyx iz rozßyrenymy hrafamy Dynkina. Vstup. 1. Spektral\ni teoremy dlq simej operatoriv, pov’qzanyx tymy çy inßy- my spivvidnoßennqmy, nadzvyçajno korysni v matematyci ta ]] zastosuvannqx. Cg dumku neodnorazovo vyslovlgvav Q.5B. Lopatyns\kyj (dyv., napryklad, [1]). Protqhom bahat\ox rokiv vin çytav studentam i spivrobitnykam kursy z teori] zobraΩen\ hrup, alhebr Li ta in. 2. Sxema zastosuvannq takyx teorem dobre vidprac\ovana na symetrijnyx me- todax pryrodoznavstva: pov’qzaty z operatornym formulgvannqm zadaçi vidpo- vidnu alhebru, doslidyty j opysaty ]] nezvidni involgtyvni zobraΩennq i zasto- suvaty vidpovidni spektral\ni teoremy pro rozklad dovil\noho zobraΩennq na nezvidni (dyv., napryklad, robotu [2] ta navedenu v nij bibliohrafig). Rqd robit, zokrema, ukra]ns\kyx matematykiv prysvqçeno vyvçenng riznomanitnyx zadaç teori] operatoriv za dopomohog doslidΩennq struktury vidpovidno] alhebry ta ]] involgtyvnyx zobraΩen\. 3. U cij statti dovedeno spektral\ni teoremy dlq simej obmeΩenyx samo- sprqΩenyx operatoriv A An1, ,… u hil\bertovomu prostori H iz zadanymy spektramy σ σ( ), , ( )A An1 … , wo pov’qzani linijnym spivvidnoßennqm A Ik∑ = λ ( λ ∈R , I — odynyçnyj operator v H ) . Taki sim’] operatoriv pryrodno vynyka- gt\ u zv’qzku z riznymy zadaçamy matematyky: problemog Xorna ta ]] vari- aciqmy [3, 4], deformovanymy preproektyvnymy alhebramy [5], lokal\no ska- lqrnymy zobraΩennqmy hrafiv [6], synhulqrnymy intehral\nymy operatoramy [7] ta in. Vyqvylos\, wo skladnist\ opysu takyx nezvidnyx simej operatoriv ( tobto takyx simej, wo slabke zamykannq linijno] obolonky operatoriv A An1, ,… mis- tyt\ vsi obmeΩeni operatory v H ) istotno zaleΩyt\ vid kil\kosti operatoriv A An1, ,… ta kil\kosti toçok u spektri σ( )Ak operatora Ak , k = 1, … , n . 4. Pry vyvçenni sim’] samosprqΩenyx operatoriv iz zadanymy spektramy, dlq qkyx A A In1 + … + = λ , moΩna vvaΩaty, wo λ > 0 ta σ α α α( ) ( ) ( ) ( )A Ml l l l k l l ⊂ = = < < … <{ }0 0 1 , l = 1, … , n . (1) Rozhlqnemo zirçastyj hraf Γ, tobto zv’qznyj neori[ntovanyj hraf bez petel\ ta kratnyx reber, qkyj ma[ n hilok, pryçomu l-ta hilka ma[ kl + 1, l = 1, … , n , verßynu i vsi hilky z’[dnani v [dynij korenevij verßyni. Stavlqçy u vidpovid- nist\ verßynam l-] hilky, poçynagçy z krajn\o] (ne raxugçy korenevu verßynu), dodatni çysla ( )( )α j l j kl =1, v korenevij verßyni pokladagçy ]] rivnog λ, oderΩu- [mo funkcig χ = ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ; ; , , ;α α α α λ1 1 1 11 … … …k n k n n (2) © V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO, 2006 1556 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1557 na mnoΩyni verßyn hrafa Γ ( dali taki funkci] budemo nazyvaty vahamy na hrafi Γ ) . Za hrafom Γ ta vahog χ na Γ vvedemo ∗ -alhebru A Γ,χ = C a a l n p a l n a el l l l l l n = = … = = … =∗ = ∑, , , ( ) , , , ;1 0 1 1 λ , de p x x x xl l k l l ( ) ( ) ( )( ) ( )= − … −α α1 , k = 1, … , n . Todi sim’q A An1, ,… [ ∗ -zobra- Ωennqm alhebry A Γ,χ. ZauvaΩymo, wo alhebry, qki vidpovidagt\ proporcijnym vaham χ1, χ2, tob- to χ αχ1 2= dlq deqkoho α > 0, [ ∗ -izomorfnymy. Takym çynom, z toçky zo- ru zobraΩen\ A Γ,χ taki vahy ekvivalentni. 5. U roboti [8] dovedeno, wo alhebry A Γ,χ, asocijovani z hrafamy Dynkina, skinçennovymirni nezaleΩno vid vyboru vahy χ . OtΩe, koΩne nezvidne ∗ -zobra- Ωennq alhebry A Γ,χ skinçennovymirne, i vona ma[ skinçennu kil\kist\ nezvid- nyx neekvivalentnyx ∗ -zobraΩen\ nezaleΩno vid vyboru vahy χ . Rezul\taty pro opys nezvidnyx ∗ -zobraΩen\ dlq linijno pov’qzanyx operatoriv iz zadanymy spektramy u vypadku, koly Γ [ prostym hrafom Dynkina An , n ≥ 1, Dn , n ≥ 4, E6 , E7 , E8 , navedeno v [6, 4, 9]. 6. U cij roboti rozhlqda[t\sq vypadok, koly Γ — prostyj rozßyrenyj hraf Dynkina D̃4 , Ẽ6 , Ẽ7 , Ẽ8. U pp.53, 4 dlq special\noho vyboru mnoΩyn Ml , l = 1, … , n (dyv. p.52), aso- cijovanyx iz prostym rozßyrenym hrafom Dynkina Γ , navedeno: a) opys mno- Ωyny ΣΓ tyx λ , dlq qkyx isnugt\ taki sim’] operatoriv; b) opys nezvidnyx simej dlq λ ∈ΣΓ . U p.56 dovedeno, wo nezaleΩno vid vyboru vahy χ isnugt\ lyße skinçenno- vymirni nezvidni nabory operatoriv zobraΩennq A Γ,χ, prote neekvivalentnyx zobraΩen\ moΩe buty neskinçenno bahato i ]x rozmirnosti, vzahali kaΩuçy, ne [ obmeΩenymy (dyv. takoΩ [10]). 7. Dlq vsix inßyx zirçastyx hrafiv moΩna vkazaty taky vahy χ , dlq qkyx isnugt\ nabory operatoriv, wo zadagt\ neskinçennovymirni nezvidni zobraΩennq alhebry A Γ,χ [11]. Takym çynom, taki ob’[kty, pov’qzani z hrafamy Dynkina, [ analohamy skin- çennyx hrup, pov’qzani iz rozßyrenymy hrafamy Dynkina — analohamy kompakt- nyx hrup, a pov’qzani z inßymy hrafamy magt\ vlastyvosti, xarakterni dlq ne- kompaktnyx hrup. 1. Funktory Kokstera. Nahada[mo konstrukcig funktoriv Kokstera [12, 13, 4], qki istotno vykorystovugt\sq v podal\ßomu. 1. Rozhlqnemo nevid’[mnyj samosprqΩenyj operator A P P= ⋅ +0 0 1 1α + … … + αm mP zi skinçennym spektrom σ ( A ) ⊂ 0 0 1= < < … <{ }α α αm (deqki z spektral\nyx proektoriv moΩut\ buty nul\ovymy). VidobraΩennq A � à = = αm I A− perevodyt\ A v nevid’[mnyj operator à zi spektrom σ( ˜ )A ⊂ ⊂ 0 0 1= < < … <{ }˜ ˜ ˜α α αm , de α̃ α α0 0= − =m m , α̃ α α1 1= − −m m , … … , α̃ α αm m− = −1 1, α̃ αm m= . Nexaj A Pi k i k i k mi = = ∑ α( ) ( ) 0 , 0 0= < … <α α( ) ( )i m i i , i = 1, … , d , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1558 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO A Ii i d = ∑ = 1 λ , λ ≥ 0. Oçevydno, dlq operatoriv Ãi ˜ ( )A Ii i d m i i d i = = ∑ ∑= −       1 1 α λ . Takym çynom, ma[mo vidobraΩennq z mnoΩyny zobraΩen\ alhebry A Γ,χ u mno- Ωynu zobraΩen\ alhebry A Γ, χ̃, de χ vyznaça[t\sq naborom çysel αk i( ), λ , a χ̃ — çyslamy ˜ ( )αk i , k = 1, … , mi , i = 1, … , d , ta ˜ ( )λ α λ= −=∑ m i i d i1 . Ce vidob- raΩennq budemo poznaçaty S ta nazyvatymemo linijnym vidobraΩennqm. Za- stosuvavßy linijne vidobraΩennq dviçi, oderΩymo poçatkovi operatory. 2. Nexaj P Pn1, ,… — proektory v hil\bertovomu prostori H, dlq qkyx α λk kP I∑ = dlq deqkyx dodatnyx çysel α α1, ,… n, λ . Pobudu[mo inßyj hil\bertiv prostir Ĥ ta nabir proektoriv ˆ , , ˆP Pn1 … , P̂ v Ĥ , dlq qkyx P̂ Ikk n =∑ = 1 ta ˆ ˆ ˆ ˆP PP Pk k k k= α λ , takym çynom. Nexaj α λk kP I∑ = , λ > 0. Poklademo H k = Im Pk ta nexaj Ok : Hk → → Ĥ — vidpovidne vkladennq, tobto O O Pk k k ∗ = ta O O Ik k Hk ∗ = ; zadamo Ĥ = = �k n kH=1 . Rozhlqnemo operator O = 1 1 1 λ α α O On n ∗ ∗           � : H → Ĥ , todi O∗ : Ĥ → H, O∗ = 1 1 1λ α αO On n…( ) i O O O O P Ik k k k k ∗ − ∗ −= = =∑ ∑λ α λ α1 1 , tobto O : H → Ĥ [ izometryçnym vkladennqm. Nexaj P̂ OO= ∗ , todi Im P̂ H= , i, krim toho, nexaj P̂j — proektory na ortohonal\ni pidprostory Hj v Ĥ , todi P̂ Ij∑ = i ˆ ˆ ˆ ˆP PP Pj j j j= α λ . ZauvaΩy- mo, wo z ostann\o] rivnosti vyplyva[, wo P̂k = 0 i, otΩe, Pk = 0 dlq tyx k , dlq qkyx α λk > . 3. Navedena procedura moΩe buty obernenog. Spravdi, nexaj ˆ , , ˆP Pn1 … , P̂ — proektory v deqkomu hil\bertovomu prostori Ĥ , dlq qkyx P̂ Ikk n =∑ = 1 i dlq deqkyx αk > 0, λ > 0 ma[mo ˆ ˆ ˆP PP Pk k j k= α λ dlq vsix k = 1, … , n . Opy- ßemo vidpovidnu proceduru. Zadamo H P= Im ˆ i nexaj O H H: ˆ→ — vidpovidnyj operator vkladennq. Todi O O IH ∗ = , OO P∗ = ˆ . Zadamo P O P Ok k k= ∗λ α ˆ , k = 1, … , n . Todi ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1559 P O P OO P O O P PP O O P O Pk k k k k k k k k k 2 2 2 2 2= = = =∗ ∗ ∗ ∗λ α λ α λ α ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , α λ λk k k n k k n P O P O I = ∗ = ∑ ∑= = 1 1 ˆ . Zastosuvavßy poslidovno vkazani procedury, oderΩymo nabir proektoriv, unitarno ekvivalentnyj poçatkovomu naboru. 4. Nexaj proektory ˆ , , ˆP Pn1 … , P̂ v Ĥ zadovol\nqgt\ umovu P̂ Ikk n =∑ = 1 , ˆ ˆ ˆ ˆP PP Pk k k k= α λ . Perexodqçy vid P̂ do proektora ˆ ˆ′ = −P I P , ma[mo ˆ ˆ ˆ ˆP P P Pk k k k′ = −λ α λ dlq vsix k = 1, … , n . Takym çynom, qkwo vzqty nabir proektoriv P Pn1, ,… , dlq qkyx αk kk n P=∑ 1 = = λ I , pobuduvaty vidpovidnu sim’g operatoriv ˆ , , ˆP Pn1 … , P̂ , potim perejty do ˆ ˆ′ = −P I P , i, nasamkinec\, vykonaty obernenu proceduru, oderΩymo nabir proektoriv ′ … ′P P1, , , u deqkomu hil\bertovomu prostori ′H , dlq qkyx ( )λ α λ− ′ = = ∑ k k k n P I 1 . 5. Bezposeredn\o z navedeno] konstrukci] vyplyva[, wo P Pj k⊥ todi i til\ky todi, koly dlq vidpovidnyx proektoriv ˆ ˆ ˆP PPj k = 0 . OtΩe, ′ ⊥ ′P Pk j dlq deqkyx j, k todi i lyße todi, koly P Pk j⊥ . 6. Qk pidsumok, ma[mo vidobraΩennq z mnoΩyny zobraΩen\ alhebry A Γ,χ u mnoΩynu zobraΩen\ A Γ, χ̂, de χ vyznaça[t\sq naborom çysel αk i( ), λ , a χ̂ — naborom çysel ˆ ( )αk i , λ, de ˆ ( ) ( )α λ α1 i m i i = − , … , ˆ ( ) ( )α λ αm i i i = − 1 , i = 1, … , d . Ce vidobraΩennq budemo poznaçaty T ta nazyvaty hiperboliçnym vidbyttqm. U roboti [13] dovedeno, wo vidobraΩennq S t a T [ funktoramy z kateho- ri] Rep ( ),A Γ χ vidpovidno v katehori] Rep ( ), ˜A Γ χ t a Rep ( ), ˆA Γ χ , de χ̃ ta χ̂ vyznaçeno vywe. Kvadrat koΩnoho z cyx funktoriv [ totoΩnym funk- torom v Rep ( ),A Γ χ . 7. Dlq zadanoho hrafa Γ funktory S ta T zadagt\ dig na mnoΩyni vah: S : ˜χ χ� , T : ˆχ χ� , qku budemo poznaçaty tymy Ω literamy. 2. Special\ni vahy na rozßyrenyx hrafax Dynkina. Zastosu[mo texniku funktoriv Kokstera do vyvçennq zobraΩen\ ∗ -alhebr, pov’qzanyx iz rozßyre- nymy hrafamy Dynkina. Metodyka doslidΩennq polqha[ v tomu, wo vyvçagt\sq zobraΩennq dlq tyx vah, dlq qkyx ce zrobyty neskladno, a potim funktory T, S zastosovugt\sq dlq oderΩannq zobraΩennq u vypadku bil\ß skladnyx vah. Takym çynom, vynyka[ zadaça vyvçennq evolgci] vah pid di[g vidobraΩen\ T, S . Neruxomi toçky takyx vidobraΩen\ opysugt\sq nastupnym vidomym tverdΩen- nqm. TverdΩennq<1. Nexaj Γ — rozßyrenyj hraf Dynkina, χ — vaha na Γ , invariantna vidnosno vidobraΩen\ T, S . Todi χ αχ= Γ , α > 0, d e χΓ m a [ vyhlqd χ ˜ ( ; ; ; ; ) D4 1 1 1 1 2= , χ ˜ ( , ; , ; , ; ) E6 1 2 1 2 1 2 3= , χ ˜ ( , , ; , , ; ; ) E7 1 2 3 1 2 3 2 3= , χ ˜ ( , , , , ; , ; ; ) E8 1 2 3 4 5 2 4 3 6= . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1560 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO ZauvaΩymo, wo dlq invariantnyx vah texnika funktoriv Kokstera ne da[ vid- povidi na pytannq pro strukturu vsix zobraΩen\ alhebry. Z toçky zoru zadaçi pro strukturu operatoriv iz fiksovanymy spektramy, su- ma qkyx [ skalqrom, najbil\ß cikavymy [ vahy, u qkyx pry di] pevno] kombinaci] vidobraΩen\ T, S zming[t\sq lyße ostannij koefici[nt. Ce oznaça[, wo spekt- ry operatoriv zalyßagt\sq nezminnymy, a suma operatoriv [ (inßym) skalqrom. Poznaçymo çerez χ λΓ, vahu, koefici[nty qko] u zobraΩenni (2) zbihagt\sq z koefici[ntamy χΓ , krim ostann\oho, qkyj poklademo rivnym λ . TverdΩennq<2. Nexaj Γ — rozßyrenyj hraf Dynkina. Todi ( ) ,TS m χ λΓ = = αχ λΓ, ′ , de m = 1 dlq Γ = D̃4, m = 2 dlq Γ = Ẽ6, m = 3 dlq Γ = Ẽ7, m = 5 dlq Γ = Ẽ8, α, λ′ — deqki çysla, wo zaleΩat\ vid hrafa Γ ta λ . Qkwo dlq vahy u vyhlqdi (2) vsi, krim ostann\oho, koefici[nty vahy ( )TS m χ proporcijni koefici[ntam χ dlq vsix λ, to χ αχ λ= Γ, dlq deqkyx α , λ . TverdΩennq vyplyva[ z nastupno] lemy. Lema<1. Nexaj Γ — rozßyrenyj hraf Dynkina. Todi dlq dovil\noho k ∈ N ta dlq dovil\no] vahy χ ma[mo ( ) ( )( )TS kkω ω χ χ ω ω λ χΓ Γ Γ Γ Γ − = − −1 , de ωΓ dorivng[ 2, 3, 4 t a 6 dlq H, rivnoho D̃4 , Ẽ6 , Ẽ7 ta Ẽ8 vidpo- vidno. Dovedennq. Dlq vahy χ na rozßyrenomu hrafi Dynkina Γ vyznaçymo ω χΓ( ) takym çynom: ω λ˜ ( ; ; ; ; ) ( ) D a b c d a b c d 4 1 2 = + + + , ω λ˜ ( , ; , ; , ; ) ( ) E a a b b c c a a b b c c 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 = + + + + + , ω λ˜ ( , , ; , , ; ; ) ( ) E a a a b b b c a a a b b b c 7 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 4 2= + + + + + + , ω λ˜ ( , , , , ; , ; ; ) ( ) E a a a a a b b c a a a a a b b c 8 1 2 3 4 5 1 2 1 2 3 4 5 1 2 1 6 2 2 3= + + + + + + + . Dotrymugçys\ [10], pronormu[mo vahu χ tak, wob ω χ ωΓ Γ( ) = . Todi χ moΩna podaty u vyhlqdi χ χ χ= +Γ ˜ , de χ̃ — (ne obov’qzkovo dodatna) vaha na Γ, dlq qko] ω χΓ( ˜ ) = 0. TakoΩ zapyßemo λ u vyhlqdi λ ω γ= −Γ . Todi tverdΩennq lemy perevirq[t\sq bezposerednimy obçyslennqmy. 3. Struktura mnoΩyn ΣΣΣΣΓΓΓΓ , de ΓΓΓΓ — rozßyrenyj hraf Dynkina. Nexaj Γ — prostyj rozßyrenyj hraf Dynkina. Vvedemo mnoΩynu ΣΓ ⊂ R , wo skla- da[t\sq z tyx λ , dlq qkyx isnu[ zobraΩennq alhebry A Γ Γ, ,χ λ ; vahy χ λΓ, vy- znaçeno v poperedn\omu punkti. Rezul\taty wodo struktury mnoΩyn ΣΓ anonsovano v roboti [14]. Navede- mo detal\ni dovedennq cyx faktiv. 3.1. Nabory operatoriv, pov’qzani z hrafom D̃4 . Teorema<1. MnoΩyna Σ D̃4 tyx λ , dlq qkyx isnugt\ ortoproektory Pi , i = = 1, … , 4 , taki, wo P Iii=∑ = 1 4 λ , ma[ vyhlqd Σ ˜ , , ; , { } D k s k s 4 2 1 0 1 1 2 1 2= ± + = … ∈{ }      ∪ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1561 Dovedennq. Spoçatku zaznaçymo, wo Σ ˜ [ , ] D4 0 4⊂ . VidobraΩennq S pere- vodyt\ nabir proektoriv, wo vidpovida[ λ , v nabir, wo vidpovida[554 – λ . OtΩe, mnoΩyna Σ ˜ [ , ] D4 0 4⊂ symetryçna vidnosno toçky52. Takym çynom, zalyßa[t\- sq vyvçyty Σ ˜ [ , ] D4 0 2∩ . Rozhlqnemo spoçatku odnovymirni zobraΩennq, tobto nabory çysel p1, p2 , p3, p4 0 1∈{ , }, dlq qkyx p p p p1 2 3 4 0 2+ + + = ∈λ [ , ]. Oçevydno, taki rozv’qzky isnugt\ pry λ ∈{ }0 1 2, , . Oskil\ky vidobraΩennq TS , zhidno z tverdΩennqm52, perevodyt\ zobraΩen- nq, wo vidpovida[ vazi χ λ˜ ,D4 , v zobraΩennq, wo vidpovida[ vazi χ λ˜ ,D4 ′ , mnoΩyna Σ D̃4 mistyt\ takoΩ toçky, wo [ obrazamy pid di[g TS na χ ˜ ,D4 0 , χ ˜ ,D4 1 , χ ˜ ,D4 2 . Dlq vahy χ ˜ ,D4 0 oderΩymo poslidovnist\ 1 2 1 2 1 0 1+ − + = …{ }k k k, , , , dlq vahy χ ˜ ,D4 1 — poslidovnist\ 1 2 2 2 0 1+ + = …{ }k k k, , , , a vaha χ ˜ ,D4 2 invariantna vid- nosno di] TS. Takym çynom, vsi toçky, vkazani v teoremi, naleΩat\ Σ D̃4 . Zalyßylos\ dovesty, wo Σ D̃4 ne mistyt\ inßyx toçok. Lema<2. Nexaj P Pn1, ,… — ortoproektory, dlq qkyx α λk kk n P I=∑ = 1 pry deqkyx dodatnyx α α1, ,… n ta deqkomu λ ≥ 0. Todi Pj = 0 dlq vsix j , dlq qkyx αj > λ . Dovedennq. Spravdi, nexaj α j > λ . PomnoΩymo rivnist\ αk kk j P≠∑ = = λ αI Pj j− na Pj zliva i sprava, todi α λ αk j k jk j j jP P P P≠∑ = −( ) . Liva ças- tyna rivnosti [ nevid’[mnym operatorom, a prava — nedodatnym, otΩe, Pj = 0. Z navedeno] lemy bezposeredn\o vyplyva[, wo Σ D̃4 ne ma[ toçok na (0, 1). PokaΩemo, wo vidrizok ( , / )1 4 3 ne mistyt\ toçok Σ D̃4 . Spravdi, digçy vi- dobraΩennqm T, my b oderΩaly zobraΩennq, wo vidpovida[ vazi χ λ λ ˜ ,D4 1− , ale λ λ − > 1 4 pry λ ∈( , / )1 4 3 . Dlq zaverßennq dovedennq teoremy zauvaΩymo, wo obrazy vidrizka [ , / ]0 4 3 (qkyj mistyt\ lyße toçky 0, 1, 4 3/ ) pid di[g stepeniv vidobraΩennq TS pokryvagt\ uves\ vidrizok [ , )0 2 . 3.2. Nabory operatoriv, pov’qzani z hrafom Ẽ6 . Teorema<2. MnoΩyna Σ Ẽ6 tyx λ , dlq qkyx isnugt\ samosprqΩeni opera- tory A1, A2, A3, dlq qkyx σ( ) { , , }Ai ⊂ 0 1 2 , i = 1, 2, 3, ta vykonu[t\sq riv- nist\ A A A I1 2 3+ + = λ , ma[ vyhlqd Σ ˜ , , ; , , , { } E k s k s 6 3 1 0 1 1 3 1 2 2 3 1 3= ± + = … ∈{ }      ∪ . Dovedennq. Oskil\ky dlq operatoriv A1, A2, A3 vykonu[t\sq umova σ( ) { , , }Aj ⊂ 0 1 2 , Aj ≤ 2, ma[mo ocinku Σ ˜ [ , ] E6 0 6⊂ . VidobraΩennq S vstanovlg[ symetryçnist\ Σ Ẽ6 vidnosno toçky553. Takym çynom, dosyt\ dosli- dyty Σ ˜ [ , ] E6 0 3∩ . Pry λ ∈( , )0 1 za lemog52 zobraΩen\ nema[. S vidobraΩu[ λ ∈( , )0 1 v λ ∈( , )5 6 , a ( )TS 2 — λ ∈( , )5 6 v λ ∈( , / )1 3 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1562 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO Zvidsy vyplyva[, wo Σ ˜ ( , / ) E6 1 3 2∩ = ∅ . Analohiçno, S vidobraΩu[ λ ∈( / , )3 2 2 v λ ∈( , / )4 9 2 , a ( )TS 2 — cg mnoΩynu v λ ∈ − ∞( , )0 , dlq qko] rozv’qzkiv nema[. OtΩe, Σ ˜ ( / , ) E6 3 2 2∩ = ∅ . Nasamkinec\, S vidobraΩu[ λ ∈( , / )2 9 4 v λ ∈( / , )15 4 4 , a ( )TS 2 — cg mno- Ωynu v λ ∈ ∞( , )6 , dlq qko] rozv’qzkiv nema[. Takym çynom, Σ ˜ ( , / ) E6 2 9 4∩ = ∅. Pidsumovugçy, ma[mo ( ) : ( , ) ,TS 2 6 60 9 4 χ χ�     i Σ ˜ , , , , E6 0 9 4 0 1 3 2 2∩     = { }. PokaΩemo, wo dlq pereliçenyx znaçen\ λ rozv’qzky isnugt\. Odnovymirni zobraΩennq — ce trijky çysel a1 , a2 , a3 0 1 2⊂ { , , }, dlq qkyx a a a1 2 3+ + = λ . Na vidrizku [ , ]0 3 taki zobraΩennq isnugt\ pry λ ∈{ , , , }0 1 2 3 . Pry λ = 3 2/ zobraΩennq takoΩ isnugt\. Spravdi, potribno pokazaty, wo isnugt\ proektory P1 , P2 , Q1 , Q2 , R1 , R2 , dlq qkyx P P Q Q R R I1 2 1 2 1 22 2 2 3 2 + + + + + = , PP P P Q Q Q Q R R R R1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0= = = = = = . Za lemog52 ma[mo P Q R2 2 2 0= = = , i zadaça zvodyt\sq do vyhlqdu P Q R I1 1 1 3 2 + + = . Bezposeredn\o perevirq[t\sq, wo rozv’qzkamy ostann\oho rivnqnnq [ proektory P1 1 0 0 0 =     , Q1 1 4 1 3 3 3 =     , R1 1 4 1 3 3 3 = − −     . Oskil\ky obrazy vidrizka [ , / )0 9 4 pid di[g stepeniv ( )TS 2 pokryvagt\ uves\ vidrizok [ , )0 3 , robymo vysnovok, wo Σ ˜ [ , ) E6 0 3∩ sklada[t\sq z obraziv mnoΩy- ny { , , / , }1 1 3 2 2 pid di[g vidobraΩennq λ λ � 2 1 4 + − . Teoremu52 dovedeno. 3.3. Nabory operatoriv, pov’qzani z hrafom Ẽ7. Teorema<3. MnoΩyna Σ Ẽ7 tyx λ , dlq qkyx isnugt\ samosprqΩeni opera- tory A1, A2, A3, dlq qkyx σ( )A1 , σ( ) { , , , }A2 0 1 2 3⊂ , σ( ) { , }A3 0 2⊂ ta vy- konu[t\sq umova A A A I1 2 3+ + = λ , ma[ vyhlqd Σ ˜ , , ; , , , , , { } E k s k s 7 4 1 0 1 1 4 1 3 1 2 2 3 3 4 1 4= ± + = … ∈{ }      ∪ . Dovedennq. Qk i pry dovedenni poperedn\o] teoremy, ma[mo Σ ˜ [ , ] E7 0 8⊂ , i cq mnoΩyna symetryçna vidnosno54. Rozhlqnemo strukturu Σ ˜ [ , ] E7 0 4∩ . Pry λ = 4 isnugt\ odnovymirni zobraΩennq, a vidrizok [ , )0 4 pokryva[t\sq obrazamy vidrizka [ , / )0 16 5 pid di[g vidobraΩennq λ � 2 + 1 5 − λ , qke porod- Ωu[t\sq di[g ( )TS 3. Takym çynom, potribno doslidyty strukturu Σ Ẽ7 ∩ ∩ [ , / )0 16 5 . Qk i raniße, Σ ˜ ( , ) E7 0 1∩ = ∅. Mirkuvannq budemo provodyty dlq vidrizka (1, 2). Oskil\ky λ < 2, dlq proektoriv P1 , P2 , P3 , Q1 , Q2 , Q3 , R1 , dlq qkyx ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1563 P P P Q Q Q R1 2 3 1 2 3 12 3 2 3 2+ + + + + + = λ I , (3) za lemog52 ma[mo P2 = P3 = Q2 = Q3 = R1 = 0, tomu zadaça zvodyt\sq do opy- su par P Q I1 1+ = λ . Ale ce moΩlyvo lyße pry λ ∈{ , , }0 1 2 . OtΩe, Σ Ẽ7 ∩ ∩ ( , )1 2 = ∅. Zastosovugçy S ta ( )TS 3 do λ ∈( , ) ( , )0 1 1 2∪ , pryxodymo do vysnovku, wo Σ ˜ ( / , / ) E7 5 2 8 3∩ = ∅ ta Σ ˜ ( , / ) E7 2 5 2∩ = ∅ . S vidobraΩu[ λ ∈( / , )8 3 3 v λ ∈( , / )5 16 3 , a ( )TS 3 — v λ ∈ − ∞( , )0 , dlq qkyx rozv’qzkiv ne isnu[. OtΩe, Σ ˜ ( / , ) E7 8 3 3∩ = ∅. Analohiçno, S vidobraΩu[ λ ∈( , / )3 16 5 v λ ∈( / , )24 5 5 , a ( )TS 3 — v λ ∈ ∞( , )8 , dlq qkyx rozv’qzkiv ne isnu[. Takym çynom, Σ ˜ ( , / ) E7 3 16 5∩ = ∅ . OtΩe, my pokazaly, wo Σ ˜ [ , / ) { , , , / , / , } E7 0 16 5 0 1 2 5 2 8 3 3∩ ⊂ . U toçkax 0, 1, 2, 3 isnugt\ odnovymirni zobraΩennq, qki lehko pidraxuvaty. Pry λ = 5 2/ i λ = 8 3/ , oskil\ky λ < 3, ma[mo P Q3 3 0= = u spivvidno- ßenni (3), otΩe, umova zvodyt\sq do P P Q Q R I1 2 1 2 12 2 2+ + + + = λ . Pry λ = 5 2/ , zastosovugçy vidobraΩennq S TS( )3 do χ = ( , ; , ; ; / )1 2 1 2 2 5 2 , oderΩu- [mo vahu ( , ; , ; ; )1 2 1 2 2 1 , qka na pidstavi toho, wo 1 2< , pryvodyt\ do spiv- vidnoßennq ′+ ′ =P Q I1 1 , qke ma[ dva odnovymirni nezvidni zobraΩennq. Pry λ = 8 3/ , zastosovugçy te Ω vidobraΩennq do ( , ; , ; ; / )1 2 1 2 2 8 3 , znaxo- dymo vahu ( , ; , ; ; )1 2 1 2 2 0 , dlq qko] vidpovidne rivnqnnq ma[ [dyne tryvial\ne zobraΩennq. Takym çynom, mnoΩynu Σ ˜ [ , ) E7 0 4∩ moΩna otrymaty qk obraz mnoΩyny { , , , / , / , }0 1 2 5 2 8 3 3 pry iteraciqx vidobraΩennq λ λ � 3 1 5 + − , wo porodΩu[t\- sq di[g funktora ( )TS 3. Teoremu53 dovedeno. 3.4. Nabory operatoriv, pov’qzani z hrafom Ẽ8. Teorema<4. MnoΩyna Σ Ẽ8 t y x λ , dlq qkyx isnugt\ samosprqΩeni ope- ratory A1, A2, A3, dlq qkyx σ( ) { , , , , , }A1 0 1 2 3 4 5⊂ , σ( ) { , , }A2 0 2 4⊂ , σ( ) { , }A3 0 3⊂ ta vykonu[t\sq umova A A A I1 2 3+ + = λ , ma[ vyhlqd Σ ˜ , , ; , , , , , , , , , , , { } E k s k s 8 6 1 0 1 1 6 1 5 1 4 1 3 2 5 1 2 3 5 2 3 3 4 4 5 5 6 1 6= ± + = … ∈{ }      ∪ . Dovedennq. Qk i raniße, oderΩu[mo, wo Σ ˜ [ , ] E8 0 12⊂ ta mnoΩyna Σ Ẽ8 symetryçna vidnosno toçky556. U toçci λ = 6 isnugt\ zobraΩennq (napryklad, odnovymirni). Struktura mnoΩyny Σ ˜ [ , ) E8 0 6∩ vyznaça[t\sq strukturog Σ ˜ [ , / ) E8 0 5 1 7∩ + , oskil\ky ( )TS 5 vidobraΩu[ ( , )χ8 0 v ( , / )χ8 5 1 7+ . Rozhlqnemo nabory proektoriv P P Q Q R1 5 1 2, , , , ,… , dlq qkyx P1 + 2 2P + 3 3P + + 4 4P + 5 5P + 2 1Q + 4 2Q + 3 3Q = λ I ta P Pj k = 0, j k≠ , Q Q1 2 0= . Za lemog52 pry λ < 3 ma[mo P P P Q R3 4 5 2 0= = = = = abo P P Q1 2 12 2+ + = = λ I , zvidky vyplyva[, wo Q1 komutu[ z P1 , P2 ; nezvidni zobraΩennq pry c\o- mu odnovymirni ta isnugt\ lyße pry λ ∈{ , , , , }0 1 2 3 4 . Pry 3 < λ < 4 ma[mo P P Q4 5 2 0= = = , abo P P P Q R I1 2 3 12 3 2 3+ + + + = λ . Takym çynom, Σ Σ˜ ,( , , ; ; )( , ) ( , ) E D 8 6 3 4 3 41 2 3 2 3∩ ∩= , de ΣD6 1 2 3 2 3,( , , ; ; ) — mnoΩyna tyx λ ∈ R, dlq qkyx isnugt\ proektory R R R R R1 2 3 4 5, , , , taki, wo R R R1 2 3, , poparno ortohonal\ni i R R R R R I1 2 3 4 52 3 2 3+ + + + = λ . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1564 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO TverdΩennq<3. ΣD6 1 2 3 2 3 3 4 7 2,( , , ; ; ) ( , ) { / }∩ = . Dovedennq. Zastosovugçy STS do ( , , ; ; ; )1 2 3 2 3 λ , oderΩu[mo vahu ( , ,1 2 7 6 5 10 2− − − −λ λ λ λ; ; ; ). Pry λ ∈( , )3 4 ma[mo 7 10 2− > −λ λ , tomu ΣD6 1 2 3 2 3 3 4,( , , ; ; ) ( , )∩ sklada[t\sq z tyx λ , dlq qkyx isnugt\ rozv’qzky P P Q R I1 2 12 6 5 10 2+ + − + − = −( ) ( ) ( )λ λ λ . Zastosovugçy STS do c\oho naboru proektoriv, otrymu[mo vahu ( , , ;1 2 3λ − λ λ− −2 2 6; ). Pry λ ∈( , )3 4 ma[mo λ λ− > −2 2 6 i P P Q1 2 12 3+ + −( )λ = = ( )2 6λ − I , zvidky robymo vysnovok, wo ci proektory komutugt\ i [dyne znaçennq λ , dlq qkoho isnugt\ rozv’qzky, dorivng[ 7 2/ . OtΩe, Σ ˜ ( , ) { / } E8 3 4 7 2∩ = . Dali, ( )TS S5 vidobraΩu[ vidrizok (3, 4) u vidri- zok ( , / )4 9 2 , a λ = 7 2/ u 5 2 3 13 3− =/ / . Vidrizok (0, 3) perevodyt\sq cym Ωe vidobraΩennqm u ( / , / ) ( / , / )9 2 24 5 5 1 2 5 1 5= − − , a toçky { , , , }0 1 2 3 vidobraΩu- gt\sq vidpovidno v toçky { / , / , / , / }5 1 5 5 1 4 5 1 3 5 1 2− − − − . Qk i pry dovedenni po- peredn\o] teoremy, oderΩu[mo Σ ˜ ( / , ) E8 24 5 5∩ = ∅ ta Σ ˜ ( , / ) E8 5 36 7∩ = ∅. Takym çynom, Σ ˜ [ , / ) , , , , , , , , , , , E8 0 36 7 0 1 2 3 7 2 4 13 3 9 2 14 3 19 4 24 5 5∩ = { }, i dovedennq teoremy zaverßu[mo obçyslennqm iteracij vidobraΩennq λ � 5 + + 1 7 − λ na cij mnoΩyni, dodavannqm toçky λ = 6 ta zastosuvannqm symetri] vidnosno λ = 6. 4. ∗∗∗∗ -ZobraΩennq alhebr AAΓΓ χχΓΓ, , de ΓΓΓΓ — rozßyrenyj hraf Dynkina. Dlq alhebry A ˜ , ˜D D4 4 χ navedemo qvni formuly qk dlq zobraΩen\ dyskretno] se- ri], tak i dlq vypadku invariantno] vahy. Dlq inßyx alhebr funktory Kokstera dagt\ alhorytm pobudovy zobraΩen\ dyskretno] seri]. Prote formuly, wo vynykagt\ pry c\omu, nadto hromizdki. Dlq vypadku invariantno] vahy navedemo qvni formuly dlq zobraΩen\ alhebr D̃4 , Ẽ6 , Ẽ7 (vypadok alhebry A ˜ , ˜E E8 8 χ potrebu[ podal\ßoho doslidΩennq). 4.1. ZobraΩennq alhebr, pov’qzanyx iz hrafom D̃4 . ZobraΩennq alhebry A ˜ , ,˜D D4 4 χ λ porodΩugt\sq çetvirkamy proektoriv P1, P2 , P3, P4 , dlq qkyx P P P P I1 2 3 4+ + + = λ , λ ≥ 0. Odnovymirni zobraΩennq isnugt\ pry λ = 0 ([dyne zobraΩennq P1 = P2 = = P3 = P4 = 0 ) ta pry λ = 1 (çotyry zobraΩennq: P1 = 1, P2 = P3 = P4 = 0 ta perestanovky cyx proektoriv). Zastosovugçy funktory Kokstera, oderΩu[mo p’qt\ neskinçennyx serij ne- zvidnyx zobraΩen\. Wob zapysaty qvni formuly dlq cyx zobraΩen\, vvedemo proektory v C 2 vyhlqdu Q m l l m l l m l m l l m, ( ) ( ) = − − −     1 , R m l l m l l m l m l l m, ( ) ( ) = − − − − −     1 , 0 ≤ ≤l m . Todi formuly dlq zobraΩen\ naberut\ takoho vyhlqdu. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1565 Seriq, wo poçyna[t\sq z λ = 0: dim H = n = 2k + 1, k ≥ 0, λ = 2 2± / n . Zapyßemo formuly dlq proektoriv: P Q Q Qn n n n n1 1 3 2 0= …− −, , ,� � � � , P R R Rn n n n n2 1 3 2 0= …− −, , ,� � � � , H = C C C 2 2 1� � �… k � ��� �� , P Q Q Qn n n n n3 2 4 10= …− −� � � �, , , , P R R Rn n n n n4 2 4 10= …− −� � � �, , , , H = C C C 1 2 2� � �… k � ��� �� , pryçomu P P P P n1 2 3 4 2 2+ + + = − / . Krim c\oho, do pereliku slid dodaty çet- virky proektoriv, oderΩani vnaslidok zastosuvannq funktora S , ′ = −P I Pj j , j = 1, … , 4 , dlq qkyx ′+ ′ + ′ + ′ = +P P P P n1 2 3 4 2 2 / . Seriq, wo poçyna[t\sq z λ = 1: dim H = n ≥ 0, λ = 2 1± / n (razom oder- Ωymo54 seri]). Dlq n = 2k P Q Q Qk k k k k1 2 2 4 2 4 4 2 40 0= …− −� � � � �, , , , P k R R Rk k k k k2 2 2 4 2 4 4 2 44 0= …− −� � � � �, , , , H = C C C C 1 2 2 1 1� � � �… −k � ��� �� , P Q Q Qk k k k k3 2 1 4 2 3 4 1 4= …− −, , ,� � � , P R R Rk k k k k4 2 1 4 2 3 4 1 4= …− −, , ,� � � , H = C C 2 2� �… k � ��� �� , dlq n = 2k + 1 P Q Q Qk k k k k1 2 1 4 2 2 3 4 2 1 4 21 2= …− + − + +� � � � �, , , , P R R Rk k k k k2 2 1 4 2 2 3 4 2 1 4 20= …− + − + +� � � �, , , , H = C C C 1 2 2� � �… k � ��� �� , P Q Q Qk k k k k3 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 0= …+ − + +, , ,� � � � , P R R Rk k k k k4 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 0= …+ − + +, , ,� � � � , H = C C C 2 2 1� � �… k � ��� �� . Inßi try seri] oderΩugt\sq v rezul\tati cykliçno] perestanovky navedenyx proektoriv. Dlq pobudovanyx çetvirok proektoriv ma[mo P P P P n1 2 3 4 2 1+ + + = − / . Za- stosovugçy funktor S, doda[mo do pereliku çetvirky proektoriv ′ = −P I Pj j , j = 1, … , 4 , dlq qkyx ′+ ′ + ′ + ′ = +P P P P n1 2 3 4 2 1/ . Nezvidni çetvirky proektoriv, dlq qkyx P P P P I1 2 3 4 2+ + + = , opysano v [15]. Ci zobraΩennq opysugt\sq nastupnym tverdΩennqm. TverdΩennq<4. Nezvidna çetvirka proektoriv, dlq qkyx P P P P1 2 3 4+ + + = = 2I, unitarno ekvivalentna odnij iz nastupnyx: 1) ßistci odnovymirnyx zobraΩen\ P pj j= ∈{ , }0 1 , j = 1, … 4, de dva z çy- sel pj — odynyci, a inßyx dva — nuli; 2) sim’] dvovymirnyx zobraΩen\ vyhlqdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1566 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO P a b ic b ic a 1 1 2 1 1 = + − − − + −     , P a b ic b ic a 2 1 2 1 1 = − − + +     , (4) P a b ic b ic a 3 1 2 1 1 = − − + − − +     , P a b ic b ic a 4 1 2 1 1 = + + − −     , de a b c2 2 2 1+ + = , i abo a > 0, b > 0, c ∈ −( , )1 1 , abo a = 0, b > 0, c > 0, abo a > 0, b = 0, c > 0. Dovedennq. Rozhlqnemo operatory C I P P1 2 3= − − , C I P P2 1 3= − − , C3 = = I P P− −1 2 . Spivvidnoßennq P P P P I1 2 3 4 2+ + + = ekvivalentne nastupnomu spivvidnoßenng dlq C1 , C2 , C3 : { , } { , } { , }C C C C C C1 2 1 3 2 3 0= = = , C C1 2 2 2+ + + C3 2 = I. Todi tverdΩennq vyplyva[ z opysu trijok samosprqΩenyx operatoriv, wo poparno antykomutugt\. 4.2. ZobraΩennq alhebry, pov’qzano] z hrafom Ẽ6 . Dlq λ ≠ 3 vsi nezvid- ni zobraΩennq alhebry A ˜ , ,˜E E6 6 χ λ moΩna oderΩaty z najprostißyx (odno- ta dvovymirnyx) zastosuvannqm funktoriv Kokstera, konstrukcig qkyx navedeno vywe. Prote pry ]x zastosuvanni vynyka[ velyka kil\kist\ hromizdkyx obçys- len\ i ne vda[t\sq oderΩaty rezul\tat u takij kompaktnij formi, qk u vypadku alhebry, pov’qzano] z D̃4 . Nezvidni zobraΩennq alhebry A ˜ , ,˜E E6 6 3χ opysano v [16]. Ci zobraΩennq zada- gt\sq trijkamy samosprqΩenyx operatoriv, spektr qkyx leΩyt\ v { , , }0 1 2 i su- ma qkyx dorivng[ 3I. Perexodqçy do operatoriv A Ij − , oderΩu[mo zadaçu: opysaty nezvidni trijky samosprqΩenyx operatoriv A1, A2, A3, dlq qkyx A Ai i 3 = , i = 1, 2, 3, A A A1 2 3 0+ + = . Teorema<5. KoΩna nezvidna trijka samosprqΩenyx operatoriv A1, A2, A3 v separabel\nomu hil\bertovomu prostori, dlq qko] A A A1 2 3 0+ + = t a σ( ) { , , }Ai ⊂ − 1 0 1 , i = 1, 2, 3, unitarno ekvivalentna odnij iz nastupnyx neekvivalentnyx nezvidnyx trijok: 1) simci odnovymirnyx zobraΩen\: a) A A A1 2 3 0= = = , b) A1 1= − , A2 1= , A3 0= ta ]x dovil\nym perestanovkam; 2) odnomu dvovymirnomu zobraΩenng A1 1 0 0 1 = −     , A2 1 2 1 3 3 1 = −    , A3 1 2 1 3 3 1 = − − −     ; 3) sim’] tryvymirnyx zobraΩen\ A i i 1 1 3 1 2 3 2 0 0 0 = −           λ λ λ λ λ λ , A i i i i i i 2 1 3 1 2 3 2 1 2 0 1 3 3 1 3 0 1 3 3 1 3 0 = − + + − + − + −           λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1567 A i i i i i i 3 1 3 1 2 3 2 1 2 0 1 3 3 1 3 0 1 3 3 1 3 0 = − + − + − − − + + − −           λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , de λi ∈R, i = 1, 2, 3, λ λ1 2 0, > , λ λ λ1 2 2 2 3 2 1+ + = , ta abo λ λ λ3 1 2≠ = , abo λ λ3 1< , λ λ3 2< ta λ λ1 2≠ . Dovedennq. Vyberemo v alhebri element x takyj, wo A x xk k k= + − ∗ε ε , k = 1, 2, 3, de ε = − +( ) /1 3 2i . Takyj element vyznaça[t\sq odnoznaçno i ra- zom z x ∗ porodΩu[ vsg alhebru A ˜ , ,˜E E6 6 3χ . Neskladno pokazaty, wo cej ele- ment centrovanyj, a potim skorystatys\ rezul\tatamy [17] ta tym faktom, wo x 3 leΩyt\ v centri alhebry (detal\ne dovedennq dyv. u [16]). 4.3. ZobraΩennq alhebry, pov’qzano] z hrafom Ẽ7. Qk i v poperednix vy- padkax, obmeΩymos\ vypadkom A ˜ , ˜E E7 7 χ . U vypadku λ ≠ 4 vsi nezvidni zobra- Ωennq oderΩugt\ qk rezul\tat zastosuvannq funktoriv Kokstera do vyrodΩe- nyx zobraΩen\ (qki faktyçno [ zobraΩennqmy deqko] skinçennovymirno] pidal- hebry). Nezvidni zobraΩennq A ˜ , ,˜E E7 7 4χ opysano v [18]. Vony zadagt\sq trijkamy sa- mosprqΩenyx operatoriv A1, A2, A3, dlq qkyx spektry A1 ta A2 leΩat\ v { , , , }0 1 2 3 , a spektr A3 — v { , }0 2 i vykonu[t\sq umova A A A I1 2 3 4+ + = . V ek- vivalentnij formi ce zadaça opysu par samosprqΩenyx operatoriv A = = A I1 3 2− / , B A I= −2 3 2/ zi spektramy v { , }/ /± ±1 2 3 2 , dlq qkyx ( )A B I+ =2 . Teorema<6. Pary operatoriv A = 1 8 16 2 4 0 2 16 0 4 4 0 16 2 0 4 2 16 4 2 4 2 4 2 4 2 φ β λ φ β λ β φ β φ β β λ φ β λ β − − − + − − − − + − − −               , B = 1 8 16 2 4 0 2 16 0 4 4 0 16 2 0 4 2 16 4 2 4 2 4 2 4 2 φ β λω φ β λω β φ β φ β β λω φ β λω β − − − − + − − − + − − −               , de λ φ φ2 4 220 64= − + − , β φ λ ω ω2 2 216 1 1= − + +( )( ), ω = 1, φ ∈[ , ]2 4 , za- dagt\ zobraΩennq alhebry A ˜ , ,˜E E7 7 4χ . Pry φ = 2 zobraΩennq rozklada[t\sq v prqmu sumu çotyr\ox odnovymirnyx zobraΩen\: A = ±1 2/ , B = ∓3 2/ ta A = ±3 2/ , B = ∓1 2/ . Pry φ = 2 2 , ω = 1 zobraΩennq rozklada[t\sq v prqmu sumu dvox odno- vymirnyx zobraΩen\ A B= = ±1 2/ ta odnoho dvovymirnoho zobraΩennq A = −    2 1 2 1 2 2 / / , B = −     2 1 2 1 2 2 / / , v qkomu spektry operatoriv A ta B magt\ vyhlqd { , }/ /−3 2 3 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1568 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO Pry φ = 4 zobraΩennq rozklada[t\sq v prqmu sumu dvox nezvidnyx dvovy- mirnyx zobraΩen\ A = −     1 2 0 0 3 2 / / , B =     0 3 2 3 2 1 / / , σ( ) { , }/ /A = −1 2 3 2 , σ( ) { , }/ /B = −1 2 3 2 ta A = −    1 2 0 0 3 2 / / , B = − − −     0 3 2 3 2 1 / / , σ( ) { , }/ /A = −1 2 3 2 , σ( ) { , }/ /B = −1 2 3 2 . Pry vsix inßyx znaçennqx ( , )φ ω , φ ∈( , )2 4 , ω = 1, zobraΩennq nezvidne, pryçomu σ σ( ) ( ) { , }/ /A B= = ± ±1 2 3 2 . Navedeni zobraΩennq skladagt\ povnyj perelik nezvidnyx zobraΩen\ z toç- nistg do unitarno] ekvivalentnosti. Dovedennq. Navedemo lyße osnovni etapy dovedennq. Spoçatku, vykorys- tovugçy spivvidnoßennq v alhebri, pokazu[mo, wo operatory A ta B magt\ vyhlqd A I I I I 2 1 4 5 2 5 2 = + − − −     ( ) ( ) λ µ µ λ , B I I I I 2 1 4 5 2 5 2 = − − − +     ( ) ( ) λ µ µ λ . Tut µ, λ ≥ 0 ta µ λ2 2+ = 16. Vykorystavßy cej rozklad, podamo A ta B u vyhlqdi A U A A U=     ∗1 2 0 0 2 1 1 2 1 , B U B B U=     ∗1 2 0 0 3 2 1 2 2 , de U1 ta U 2 — unitarni matryci, dlq qkyx vkazano qvnyj vyhlqd. Potim z dopomohog spivvidnoßennq miΩ operatoramy A, B ta umov na ]x spektry pislq deqkyx obçyslen\ oderΩymo potribni formuly (detal\nyj vyklad dyv. u [18]). 4.4. ZobraΩennq alhebr, pov’qzanyx iz hrafom Ẽ8. Qk i u vypadkax, wo rozhlqdalysq vywe, vsi zobraΩennq alhebry A ˜ , ,˜E E8 8 χ λ pry λ ≠ 6 (dyskretna seriq) moΩna oderΩaty z najprostißyx pid di[g funktoriv Kokstera. Formuly dlq nezvidnyx zobraΩen\ A ˜ , ,˜E E8 8 6χ avtoram nevidomi. Prote, qk pokazano v [19], ci zobraΩennq magt\ rozmirnist\ ne bil\ßu556, i, qk i v pope- rednix vypadkax, zobraΩennq maksymal\no] rozmirnosti parametryzugt\sq toç- kamy dvovymirno] sfery z tr\oma vykolotymy toçkamy, a v vykolotyx toçkax zobraΩennq zvidni i rozkladagt\sq v prqmu sumu zobraΩen\ menßo] rozmirnosti. 5. Struktura mnoΩyny ΣΣ ΓΓ, M u zahal\nomu vypadku. Uzahal\nggçy re- zul\taty z p.53 dlq naboru mnoΩyn M M Mn= …( , , )1 (mnoΩyny Ml zadano spivvidnoßennqm (2)), asocijovanoho z rozßyrenym hrafom Dynkina Γ, rozhlq- nemo mnoΩyny Σ Γ, M , wo skladagt\sq z tyx λ ∈ R, dlq qkyx isnugt\ samosprqΩeni operatory Al , dlq qkyx σ( )A Ml l⊂ , l = 1, … , n , i A1 + … … + An = λ I . ZauvaΩymo, wo mnoΩyny ΣΓ , wo vyvçalys\ u p.53, [ okremym vypadkom Σ Γ, M pry special\nomu vybori mnoΩyn Ml . Nabir mnoΩyn M M Mn= …( , , )1 ta çyslo λ ∈ R pryrodnym çynom vyznaça- gt\ vahu na hrafi Γ, qku budemo poznaçaty χ λ= ( , )M . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 PRO SPEKTRAL|NI TEOREMY DLQ SIMEJ LINIJNO … 1569 Nastupne tverdΩennq [20] opysu[ vlastyvosti mnoΩyny Σ Γ, M u vypadku zahal\noho naboru mnoΩyn M na rozßyrenomu hrafi Dynkina Γ. Teorema<7. Nexaj Γ — rozßyrenyj hraf Dynkina, χ λ= ( , )M . Todi: 1. MnoΩyna Σ Γ, M skinçenna abo zliçenna. MnoΩyna Σ Γ, M neskinçenna todi i lyße todi, koly dlq vsix koefici[ntiv vahy χ ma[ misce χ ω χk < Γ( ) ta ˜ ( ˜ )χ ω χk < Γ , de χ̃ χ= T . 2. Qkwo mnoΩyna Σ Γ, M neskinçenna, vona ma[ [dynu hranyçnu toçku ω χΓ( ). 6. ZobraΩennq u vypadku dovil\nyx vah. Teorema<8. Vsi nezvidni nabory operatoriv, pov’qzani z rozßyrenymy hrafa- my Dynkina, skinçennovymirni. Dovedennq. Nexaj π — nezvidne zobraΩennq alhebry AΓ,χ , de Γ — roz- ßyrenyj hraf Dynkina. Rozhlqnemo okremo dva vypadky. 1. Nexaj λ ω χ= Γ( ) ( λ — znaçennq vahy v korenevij verßyni, ωΓ vyznaçe- no v dovedenni lemy51 ) . V [19, 8] pokazano, wo vidpovidna alhebra skinçennovy- mirna nad centrom i tomu [ alhebrog z polinomial\nym spivvidnoßennqm ( PI-al- hebrog; pro PI-alhebry dyv., napryklad, [21]). Zvidsy vyplyva[, wo rozmirnosti vsix ]] nezvidnyx zobraΩen\ obmeΩeni odnym çyslom. 2. Nexaj λ ω χ< Γ( ) . Viz\memo zobraΩennq π alhebry A Γ,χ ta zastosu[mo do n\oho funktory ( )ST n , n ∈ N. V rezul\tati oderΩymo zobraΩennq alhebr, wo vidpovidagt\ vaham χ χk kST= ( ) . Z lemy51 vyplyva[, wo koefici[nty vah χk neobmeΩeno spadagt\. Ce oznaça[, wo na deqkomu kroci n podal\ße zastosu- vannq funktoriv bude nemoΩlyvym (konstrukciq ma[ sens lyße dlq vah iz ne- vid’[mnymy koefici[ntamy). PokaΩemo, wo u c\omu vypadku u alhebry, wo vid- povida[ χn, abo nema[ zobraΩen\ (a tomu nema[ zobraΩen\ takoΩ u A Γ,χ), abo zobraΩennq [ oçevydnym prodovΩennqm zobraΩennq deqko] pidalhebry, wo vid- povida[ pevnomu pidhrafu hrafa Γ (takyj pidhraf [ hrafom Dynkina, vidpovid- na alhebra skinçennovymirna i ma[ skinçenne çyslo nezvidnyx zobraΩen\, rozmir- nist\ qkyx skinçenna). Ce oznaçatyme, wo zobraΩennq π moΩna otrymaty v re- zul\tati zastosuvannq funktora ( )TS n do skinçennovymirnoho zobraΩennq al- hebry A Γ,χn , a otΩe, vono [ skinçennovymirnym. Nexaj vsi koefici[nty vah χk , k ≤ n , dodatni, a odyn iz koefici[ntiv vahy χn+1 vid’[mnyj abo dorivng[ nulg. Vraxovugçy formuly dlq di] funktoriv na vahax, baçymo, wo vidpovidnyj koefici[nt vahy χn bil\ßyj abo dorivng[ λn ( λn — koefici[nt vahy χn u korenevij verßyni). ZauvaΩymo, wo qkwo odyn iz koefici[ntiv vahy χn bil\ßyj, niΩ λn , to vidpovidnyj proektor [ nulem (lema52). U vypadku, koly odyn iz koefici[ntiv χn dorivng[ λn , vidpovidnyj proek- tor komutu[ z usima inßymy proektoramy, a otΩe, [ odynyceg (todi vsi inßi pro- ektory budut\ nulqmy) abo nulem. Takym çynom, u koΩnomu iz zaznaçenyx vypadkiv zobraΩennq zada[t\sq zob- raΩennqm deqko] pidalhebry v A Γ,χn , wo vidpovida[ pidhrafu. Dlq zaverßennq dovedennq dostatn\o pokazaty, wo dlq dovil\noho λ ω χ< Γ( ) isnu[ çyslo n, dlq qkoho deqkyj koefici[nt vahy χn+1 [ vid’[mnym abo nulem. Ale ce bezposeredn\o vyplyva[ z lemy51. Dovedennq u vypadku λ ω χ< Γ( ) zaverßeno. 3. Nexaj λ ω χ> Γ( ) . Zastosovugçy zobraΩennq S do vahy χ, oderΩu[mo vahu ′χ , dlq qko] ′ < ′λ ω χΓ( ), i moΩemo zastosuvaty navedeni vywe mirku- vannq. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11 1570 V. L. OSTROVS|KYJ, G. S. SAMOJLENKO Teoremu58 dovedeno. 1. Lopatynskyj Q. B. RazloΩenye polynomyal\noj matryc¥ na mnoΩytely // Nauçn. zap. L\vov. polytex. yn-ta. Ser. fyz.-mat. – 1957. – 38, #52. – S.53 – 7. 2. Faddeev L. D., Qkubovskyj O. A. Lekcyy po kvantovoj mexanyke dlq studentov- matematykov. – L.: Yzd-vo Lenynhr. un-ta, 1980. – 200 s. 3. Fulton W. Eigenvalues, invariant factors, highest weights, and Schubert calculus // Bull. Amer. Math. Soc. (New Ser.) – 2000. – 37, # 3. – P. 209 – 249. 4. Kruglyak S., Popovych S., Samoilenko Y. The spectral problem and ∗-representations of algebras associated with Dynkin graphs // J. Algebra and Appl. – 2005. – 4, # 6. – P. 761 – 776. 5. Crawley-Boevey W., Holland M. P. Noncommutative deformations of Kleinian singularities // Duke Math. J. – 1998. – 92, # 3. – P. 605 – 635. 6. Kruglyak S. A., Roiter A. V. Locally scalar graph representations in the category of Hilbert spaces // Funct. Anal. and Appl. – 2005. – 39, # 2. – P. 91 – 105. 7. Vasilevski N. C∗ -algebras generated by orthogonal projections and their applications // Int. Equat. Oper. Theory. – 1998. – 31. – P. 113 – 132. 8. Mellit A. S., Samoilenko Yu. S., Vlasenko M. A. Algebras generated with linearly dependent elements with prescribed spectra // Funct. Anal. and Appl. – 2005. – 39, # 3. – P. 175 – 186. 9. Samoilenko Yu. S., Zavodovsky M. V. Spectral theorems for ∗-representations of the algebras PΓ, ,χ com associated with Dynkin graphs // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2005. – 11, # 1. – P. 88 – 96. 10. Ostrovskyi V. L. On ∗-representations of a certain class of algebras related to a graph // Ibid. – 2005. – 11, # 3. – P. 250 – 256. 11. Ostrovskyi V. Special characters on star graphs and representations of ∗-algebras. arXiv: math.RA/0509240, 2005. 12. Kruglyak S. A. Coxeter functors for a certain class of ∗-quivers and ∗-algebras // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, # 4. – P. 49 – 57. 13. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. analyz y eho pryl. – 2002. – 36, # 3. – S. 20 – 25. 14. Mellit A., Samoilenko Yu., Zavodovsky M. On ∗-representations of algebras of Temperley – Lieb type and algebras generated by linearly dependent generators with given spectra // Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukraine. – 2004. – 50. – P. 1139 – 1144. 15. Ostrovskyi V. L., Samoilenko Yu. S. Introduction to the theory of representations of finitely presented ∗-algebras. I. Representations by bounded operators // Rev. Math. and Math. Phys. – 1999. – 11. 16. Mellyt A. S. Kohda summa trex çastyçn¥x otraΩenyj ravna nulg // Ukr. mat. Ωurn. – 2003. – 55, # 9. – S. 1277 – 1283. 17. Ostrovskyi V. On operator relations, centered operators, and nonbijective dynamical systems // Meth. Funct. Anal. and Top. – 1996. – 2, # 3-4. – P. 114 – 121. 18. Ostrovs\kyj V. L. ZobraΩennq alhebry, asocijovano] z hrafom Dynkina Ẽ7 // Ukr. mat. Ωurn. – 2004. – 56, # 9. – S. 1193 – 1204. 19. Mellit A. Certain examples of deformed preprojective algebras and geometry of their ∗-representa- tions. arXiv:math.RT/0502055, 2005. 20. Yusenko K. A. On existence of ∗-representations of certain algebras related to extended Dynkin graphs // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2006. – 12, # 2. – P. 197 – 204. 21. Pierce R. S. Associative algebras // Grad. Texts Math. – 1982. – 88. – XII + 436 p. OderΩano 27.06.2006 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2006, t. 58, # 11

Ähnliche Einträge